Formelen for volumet til et trekantet prisme. Hvordan ser et prisme ut

PÅ skolepensum i løpet av solid geometri begynner studiet av tredimensjonale figurer vanligvis med en enkel geometrisk kropp - et prismepolyeder. Rollen til basene utføres av 2 like polygoner som ligger i parallelle plan. Et spesielt tilfelle er et vanlig firkantet prisme. Basene er 2 identiske vanlige firkanter, som sidene er vinkelrette på, og har form av parallellogrammer (eller rektangler hvis prismet ikke er skråstilt).

Hvordan ser et prisme ut

Et vanlig firkantet prisme er en sekskant, ved basen av hvilken det er 2 firkanter, og sideflatene er representert av rektangler. Et annet navn for dette geometrisk figur- et rett parallellepiped.

Figuren, som viser et firkantet prisme, er vist nedenfor.

Du kan også se på bildet essensielle elementer, som den består av geometrisk kropp . De blir ofte referert til som:

Noen ganger i problemer i geometri kan du finne konseptet med en seksjon. Definisjonen vil høres slik ut: en seksjon er alle punkter i en volumetrisk kropp som tilhører skjæreplanet. Seksjonen er vinkelrett (krysser kantene på figuren i en vinkel på 90 grader). Til rektangulært prisme diagonalsnittet vurderes også ( maksimalt beløp seksjoner som kan bygges - 2) passerer gjennom 2 kanter og diagonaler av basen.

Hvis snittet er tegnet på en slik måte at skjæreplanet ikke er parallelt med verken basene eller sideflatene, blir resultatet et avkortet prisme.

Ulike forholdstall og formler brukes for å finne de reduserte prismatiske elementene. Noen av dem er kjent fra løpet av planimetri (for eksempel for å finne arealet av bunnen av et prisme, er det nok å huske formelen for arealet av en firkant).

Overflateareal og volum

For å bestemme volumet til et prisme ved hjelp av formelen, må du kjenne arealet av bits base og høyde:

V = Sprim h

Siden bunnen av et vanlig tetraedrisk prisme er en firkant med side en, Du kan skrive formelen i en mer detaljert form:

V = a² h

Hvis vi snakker om en kube - et vanlig prisme med lik lengde, bredde og høyde, volumet beregnes som følger:

For å forstå hvordan du finner sideoverflatearealet til et prisme, må du forestille deg sveipet.

Det kan ses av tegningen at sideflaten er bygd opp av 4 like rektangler. Området beregnes som produktet av omkretsen av basen og høyden på figuren:

Side = Pos h

Siden omkretsen av en firkant er P = 4a, formelen har formen:

Side = 4a t

For kube:

Side = 4a²

For å beregne det totale overflatearealet til et prisme, legg til 2 grunnflater til sidearealet:

Full = Sside + 2Sbase

Som brukt på et firkantet regulært prisme, har formelen formen:

Full = 4a t + 2a²

For overflatearealet til en kube:

Full = 6a²

Når du kjenner volumet eller overflaten, kan du beregne de individuelle elementene i en geometrisk kropp.

Finne prismeelementer

Ofte er det problemer der volumet er gitt eller verdien av det laterale overflatearealet er kjent, hvor det er nødvendig å bestemme lengden på siden av basen eller høyden. I slike tilfeller kan formler utledes:

• base side lengde: a = Sside / 4h = √(V / h);
• høyde eller sideribbelengde: h = side / 4a = V / a²;
• basisareal: Sprim = V/h;
• sideflate: Side gr = side / 4.

For å bestemme hvor stort areal et diagonalt snitt har, må du vite lengden på diagonalen og høyden på figuren. For en firkant d = a√2. Derfor:

Sdiag = ah√2

For å beregne diagonalen til prismet, brukes formelen:

dprize = √(2a² + h²)

For å forstå hvordan du bruker forholdstallene ovenfor, kan du øve og løse noen få enkle oppgaver.

Eksempler på problemer med løsninger

Her er noen av oppgavene som vises på de statlige avsluttende eksamenene i matematikk.

Øvelse 1.

Sand helles i en boks formet som et vanlig firkantet prisme. Høyden på nivået er 10 cm.Hva vil nivået av sand være hvis du flytter det inn i en beholder med samme form, men med en grunnlengde som er 2 ganger lengre?

Det bør argumenteres som følger. Mengden sand i den første og andre beholderen endret seg ikke, det vil si at volumet i dem er det samme. Du kan definere lengden på basen som en. I dette tilfellet, for den første boksen, vil volumet av stoffet være:

V1 = ha² = 10a²

For den andre boksen er lengden på basen 2a, men høyden på sandnivået er ukjent:

V2 = h(2a)² = 4ha²

Fordi det V1 = V2, kan uttrykkene likestilles:

10a² = 4ha²

Etter å ha redusert begge sider av ligningen med a², får vi:

Som et resultat nytt nivå sand vil være h = 10/4 = 2,5 cm.

Oppgave 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ er et vanlig prisme. Det er kjent at BD = AB₁ = 6√2. Finn det totale overflatearealet av kroppen.

For å gjøre det lettere å forstå hvilke elementer som er kjent, kan du tegne en figur.

Siden vi snakker om et regulært prisme, kan vi konkludere med at grunnflaten er en firkant med en diagonal på 6√2. Diagonalen til sideflaten har samme verdi, derfor har sideflaten også formen av en firkant, lik basen. Det viser seg at alle tre dimensjonene - lengde, bredde og høyde - er like. Vi kan konkludere med at ABCDA₁B₁C₁D₁ er en kube.

Lengden på en hvilken som helst kant bestemmes gjennom den kjente diagonalen:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Det totale overflatearealet er funnet av formelen for kuben:

Full = 6a² = 6 6² = 216

Oppgave 3.

Rommet er under oppussing. Det er kjent at gulvet har form av en firkant med et areal på 9 m². Høyden på rommet er 2,5 m. Hva er den laveste kostnaden for å tapetsere et rom hvis 1 m² koster 50 rubler?

Siden gulvet og taket er firkanter, det vil si vanlige firkanter, og veggene er vinkelrette på horisontale flater, kan vi konkludere med at det er et vanlig prisme. Det er nødvendig å bestemme arealet av sideoverflaten.

Lengden på rommet er a = √9 = 3 m.

Plassen skal dekkes med tapet Side = 4 3 2,5 = 30 m².

Den laveste kostnaden for tapet for dette rommet vil være 50 30 = 1500 rubler.

For å løse problemer for et rektangulært prisme er det altså nok å kunne beregne arealet og omkretsen til et kvadrat og et rektangel, samt å kjenne formlene for å finne volumet og overflatearealet.

Hvordan finne arealet til en kube

I fysikk brukes ofte et trekantet prisme laget av glass for å studere spekteret hvitt lys, fordi den er i stand til å dekomponere den i separate komponenter. I denne artikkelen vil vi vurdere volumformelen

Hva er et trekantet prisme?

Før du gir volumformelen, vurder egenskapene til denne figuren.

For å få dette, må du ta en trekant med vilkårlig form og flytte den parallelt med seg selv i en viss avstand. Toppunktene til trekanten i start- og sluttposisjonen skal være forbundet med rette segmenter. Mottatt volumetrisk figur kalt et trekantet prisme. Den har fem sider. To av dem kalles baser: de er parallelle og like hverandre. Basene til det betraktede prismet er trekanter. De tre gjenværende sidene er parallellogrammer.

I tillegg til sidene er prismet som vurderes preget av seks hjørner (tre for hver base) og ni kanter (6 kanter ligger i planene til basene og 3 kanter er dannet av skjæringspunktet mellom sidene). Hvis sidekantene er vinkelrette på basene, kalles et slikt prisme rektangulært.

Forskjellen mellom et trekantet prisme og alle andre figurer i denne klassen er at det alltid er konveks (fire-, fem-, ..., n-gonale prismer kan også være konkave).

den rektangulær figur, som er basert på likesidet trekant.

Volum av et trekantet prisme av generell type

Hvordan finne volumet til et trekantet prisme? formel i generelt syn lik det for et prisme av noe slag. Den har følgende matematiske notasjon:

Her er h høyden på figuren, det vil si avstanden mellom basene, So er arealet av trekanten.

Verdien av So kan bli funnet hvis noen parametere for en trekant er kjent, for eksempel én side og to vinkler, eller to sider og én vinkel. Arealet til en trekant er lik halvparten av produktet av høyden og lengden på siden som denne høyden senkes på.

Når det gjelder høyden h på figuren, er det lettest å finne den for et rektangulært prisme. PÅ siste tilfelle h sammenfaller med lengden på sidekanten.

Volum av et vanlig trekantet prisme

Generell formel volum av et trekantet prisme, som er gitt i forrige del av artikkelen, kan brukes til å beregne den tilsvarende verdien for et vanlig trekantet prisme. Siden basen er en likesidet trekant, er arealet:

Alle kan få denne formelen hvis de husker at i en likesidet trekant er alle vinkler like med hverandre og utgjør 60 o. Her er symbolet a lengden på siden av trekanten.

Høyden h er lengden på kanten. Det har ingenting med stiftelsen å gjøre. høyre prisme og kan ta vilkårlige verdier. Som et resultat, formelen for volumet av et trekantet prisme riktig type ser slik ut:

Etter å ha beregnet roten, kan vi skrive om denne formelen som følger:

For å finne volumet til et vanlig prisme med en trekantet base, er det derfor nødvendig å kvadrere siden av basen, multiplisere denne verdien med høyden og multiplisere den resulterende verdien med 0,433.

Volumet av prismet. Problemløsning

Geometri er det kraftigste verktøyet for å foredle våre mentale evner og gjør oss i stand til å tenke og resonnere riktig.

G. Galileo

Hensikten med leksjonen:

• å lære å løse problemer for å beregne volumet av prismer, å generalisere og systematisere informasjonen som elevene har om prismet og dets elementer, for å danne evne til å løse problemer med økt kompleksitet;
• utvikle logisk tenkning, evnen til å jobbe selvstendig, ferdighetene til gjensidig kontroll og selvkontroll, evnen til å snakke og lytte;
• utvikle en vane med fast ansettelse, noen nyttig ting, utdanning av lydhørhet, flid, nøyaktighet.

Type undervisning: en leksjon i anvendelse av kunnskap, ferdigheter og evner.

Utstyr: kontrollkort, medieprojektor, presentasjon «Leksjon. Prismevolum”, datamaskiner.

I løpet av timene

• Sideribber av prismet (fig. 2).
• Sideflate prismer (Figur 2, Figur 5).
• Høyden på prismet (Figur 3, Figur 4).
• Direkte prisme (fig. 2,3,4).
• skrå prisme(Figur 5).
• Korrekt prisme (fig. 2, fig. 3).
• Diagonalt snitt av et prisme (fig. 2).
• Prisme diagonal (Figur 2).
• Vinkelrett snitt av prismet (pi3, fig4).
• Arealet av sideoverflaten til prismet.
• Det totale overflatearealet til prismet.
• Volumet av prismet.

1. SJEKK LEKSER (8 min)

Bytt ut notatbøker, sjekk løsningen på lysbildene og merk merket (merk 10 hvis oppgaven er sammensatt)

Tegn et problem og løs det. Eleven forsvarer oppgaven han har satt sammen ved tavlen. Figur 6 og Figur 7.





Kapittel 2, §3
Oppgave.2. Lengdene på alle kantene til et vanlig trekantet prisme er lik hverandre. Beregn volumet til prismet hvis overflatearealet er cm 2 (fig. 8)



Kapittel 2, §3
Oppgave 5. Grunnlaget til det direkte prismet ABCA 1B 1C1 er høyre trekant ABC (vinkel ABC=90°), AB=4cm. Regn ut volumet til prismet hvis radiusen til den omskrevne trekanten ABC er 2,5 cm og høyden på prismet er 10 cm. (Figur 9).



Kapittel 2, § 3
Oppgave 29. Lengden på siden av basen til et vanlig firkantet prisme er 3 cm. Prismets diagonal danner en vinkel på 30° med sideflatens plan. Regn ut volumet til prismet (Figur 10).



2. Felles arbeid av lærer med klassen (2-3 min.).

Formål: oppsummere resultatene av den teoretiske oppvarmingen (elevene setter karakterer til hverandre), lære å løse problemer om temaet.

3. FYSISK MINUTT (3 min)
4. PROBLEMLØSNING (10 min)

På dette stadiet læreren organiserer frontalarbeid med repetisjon av metoder for løsning av planimetriske problemer, planimetriformler. Klassen er delt inn i to grupper, noen løser oppgaver, andre jobber ved datamaskinen. Så forandrer de seg. Studentene inviteres til å løse alle nr. 8 (muntlig), nr. 9 (muntlig). Etter at de er delt inn i grupper og overskrider for å løse oppgaver nr. 14, nr. 30, nr. 32.

Kapittel 2, §3, side 66-67

Oppgave 8. Alle kantene på et regulært trekantet prisme er like med hverandre. Finn volumet av prismet hvis tverrsnittsarealet til planet som går gjennom kanten av den nedre basen og midten av siden av den øvre basen er cm (fig. 11).



Kapittel 2, §3, side 66-67
Oppgave 9. Grunnlaget til et rett prisme er et kvadrat, og sidekantene er to ganger siden av bunnen. Beregn volumet av prismet hvis radiusen til sirkelen omskrevet nær seksjonen av prismet av et plan som går gjennom siden av basen og midten av motsatt sidekant er cm (fig. 12)



Kapittel 2, §3, side 66-67
Oppgave 14.Basen til et rett prisme er en rombe, hvor en av diagonalene er lik siden. Beregn omkretsen av snittet ved et plan som går gjennom den store diagonalen til den nedre basen, hvis volumet til prismet er likt og alle sideflater er kvadratiske (fig. 13).



Kapittel 2, §3, side 66-67
Oppgave 30.ABCA 1 B 1 C 1 er et regulært trekantet prisme, hvor alle kantene er like med hverandre, punktet omtrent midt på kanten BB 1. Beregn radiusen til sirkelen som er innskrevet i snittet av prismet av AOS-planet, hvis volumet til prismet er likt (fig. 14).



Kapittel 2, §3, side 66-67
Oppgave 32.I et vanlig firkantet prisme er summen av arealene til basene lik arealet av sideflaten. Beregn volumet av prismet hvis diameteren til sirkelen omkranset nær seksjonen av prismet av et plan som går gjennom to toppunkter på den nedre basen og motsatt toppunkt på den øvre basen er 6 cm (fig. 15).



Mens de løser problemer, sammenligner elevene svarene sine med de som er vist av læreren. Dette er en eksempelløsning på problemet med detaljerte kommentarer ... Individuelt arbeid lærere med «sterke» elever (10 min.).

5. Selvstendig arbeid studenter på en test ved en datamaskin

1. Siden av bunnen av et vanlig trekantet prisme er , og høyden er 5. Finn volumet til prismet.

1) 152) 45 3) 104) 125) 18

2. Velg riktig utsagn.

1) Volumet til et rett prisme, hvis basis er en rettvinklet trekant, er lik produktet av grunnflaten og høyden.

2) Volumet til et vanlig trekantet prisme beregnes med formelen V \u003d 0,25a 2 h - hvor a er siden av basen, h er høyden på prismet.

3) Volumet til et rett prisme er lik halvparten av produktet av arealet av basen og høyden.

4) Volumet til et vanlig firkantet prisme beregnes med formelen V \u003d a 2 h-hvor a er siden av basen, h er høyden på prismet.

5) Volumet til et vanlig sekskantet prisme beregnes med formelen V \u003d 1.5a 2 h, hvor a er siden av basen, h er høyden på prismet.

3. Siden av basen til et vanlig trekantet prisme er lik. Et plan trekkes gjennom siden av den nedre basen og den motsatte toppen av den øvre basen, som passerer i en vinkel på 45° til basen. Finn volumet til prismet.

1) 92) 9 3) 4,54) 2,255) 1,125

4. Basen til et rett prisme er en rombe, hvis side er 13, og en av diagonalene er 24. Finn volumet til prismet hvis diagonalen på sideflaten er 14.

Studenter som forbereder seg til bestått eksamen i matematikk bør du definitivt lære hvordan du løser problemer for å finne området med et rett og vanlig prisme. Mange års praksis bekrefter det faktum at mange studenter anser slike oppgaver i geometri som ganske vanskelige.

Samtidig skal elever på videregående med et hvilket som helst treningsnivå kunne finne arealet og volumet til et vanlig og direkte prisme. Bare i dette tilfellet vil de kunne regne med å motta konkurrerende poeng basert på resultatene av å bestå eksamen.

Nøkkelpunkter å huske

• Hvis sidekantene av prismet er vinkelrett på basen, kalles det rett. Alle sideflatene på denne figuren er rektangler. Høyden på et rett prisme faller sammen med kanten.
• Et prisme er riktig, hvis sidekanter er vinkelrett på basen der det er plassert. vanlig polygon. Sideflatene til denne figuren er like rektangler. Riktig prisme er alltid rett.

Forberedelse til den enhetlige statseksamenen sammen med Shkolkovo er nøkkelen til din suksess!

For å gjøre undervisningen enkel og så effektiv som mulig, velg vår matematiske portal. Her finner du alt nødvendig materiale som hjelper deg med å forberede deg til sertifiseringsprøven.

Spesialister pedagogisk prosjekt Shkolkovo foreslår å gå fra enkel til kompleks: først gir vi teori, grunnleggende formler, teoremer og elementære problemer med løsninger, og går deretter gradvis videre til oppgaver på ekspertnivå.

Grunnleggende informasjon er systematisert og tydelig presentert i avsnittet "Teoretisk referanse". Hvis du allerede har klart å gjenta det nødvendige materialet, anbefaler vi at du trener på å løse problemer med å finne arealet og volumet til et rett prisme. I "Katalog"-delen er det et stort utvalg av øvelser varierende grader vanskeligheter.

Prøv å beregne arealet til et rett og vanlig prisme eller akkurat nå. Demonter enhver oppgave. Hvis det ikke forårsaket vanskeligheter, kan du trygt gå videre til øvelser på ekspertnivå. Og hvis visse vanskeligheter fortsatt oppstår, anbefaler vi at du regelmessig forbereder deg til eksamen på nettet sammen med Shkolkovo matematiske portal, og oppgaver om emnet "Direkte og vanlig prisme" vil være enkle for deg.

Ulike prismer er forskjellige fra hverandre. Samtidig har de mye til felles. For å finne området til bunnen av et prisme, må du finne ut hvilken type det ser ut.

Generell teori

Et prisme er et hvilket som helst polyeder hvis sider har form av et parallellogram. Dessuten kan et hvilket som helst polyeder være ved basen - fra en trekant til en n-gon. Dessuten er basene til prismet alltid like med hverandre. Det som ikke gjelder sideflatene - de kan variere betydelig i størrelse.

Når du løser problemer, er det ikke bare området til bunnen av prismet som oppstår. Det kan være nødvendig å kjenne sideflaten, det vil si alle flater som ikke er baser. full overflate det vil allerede være en forening av alle ansiktene som utgjør prismet.

Noen ganger dukker det opp høyder i oppgaver. Den er vinkelrett på basene. Diagonalen til et polyeder er et segment som parvis forbinder to hjørner som ikke tilhører samme flate.

Det skal bemerkes at arealet av bunnen av et rett eller skrånende prisme ikke avhenger av vinkelen mellom dem og sideflatene. Hvis de har identiske figurer i de øvre og nedre ansiktene, vil deres arealer være like.

trekantet prisme

Den har i bunnen en figur med tre hjørner, det vil si en trekant. Det er kjent for å være annerledes. Hvis det da er nok å huske at området bestemmes av halvparten av produktet av bena.

Matematisk notasjon ser slik ut: S = ½ av.

For å finne ut arealet av basen i en generell form, er formlene nyttige: Heron og den der halvparten av siden er tatt til høyden trukket til den.

Den første formelen skal skrives slik: S \u003d √ (p (p-a) (p-in) (p-s)). Denne oppføringen inneholder en semi-perimeter (p), det vil si summen av tre sider delt på to.

For det andre: S = ½ n a * a.

Hvis du vil vite arealet av bunnen av et trekantet prisme, som er regelmessig, viser trekanten seg å være likesidet. Den har sin egen formel: S = ¼ a 2 * √3.

firkantet prisme

Basen er hvilken som helst av de kjente firkantene. Det kan være et rektangel eller et kvadrat, et parallellepiped eller en rombe. I hvert tilfelle, for å beregne arealet av bunnen av prismet, trenger du din egen formel.

Hvis grunnflaten er et rektangel, bestemmes arealet som følger: S = av, hvor a, b er sidene til rektangelet.

Når vi snakker om et firkantet prisme, beregnes arealet av bunnen av et vanlig prisme ved å bruke formelen for et kvadrat. For det er han som ligger ved basen. S \u003d a 2.

I tilfellet når basen er et parallellepiped, vil følgende likhet være nødvendig: S \u003d a * n a. Det hender at en side av et parallellepiped og en av vinklene er gitt. Deretter, for å beregne høyden, må du bruke en tilleggsformel: na \u003d b * sin A. Dessuten er vinkelen A ved siden av siden "b", og høyden er na motsatt av denne vinkelen.

Hvis en rombe ligger ved bunnen av prismet, vil den samme formelen være nødvendig for å bestemme arealet som for et parallellogram (siden det er et spesielt tilfelle av det). Men du kan også bruke denne: S = ½ d 1 d 2. Her er d 1 og d 2 to diagonaler av romben.

Vanlig femkantet prisme

Dette tilfellet innebærer å dele polygonet i trekanter, hvis områder er lettere å finne ut. Selv om det hender at figurene kan være med et annet antall hjørner.

Siden bunnen av prismet er en vanlig femkant, kan den deles inn i fem likesidede trekanter. Da er arealet av prismets grunnflate lik arealet til en slik trekant (formelen kan sees ovenfor), multiplisert med fem.

Vanlig sekskantet prisme

I henhold til prinsippet som er beskrevet for et femkantet prisme, er det mulig å dele grunnsekskanten i 6 likesidede trekanter. Formelen for arealet av bunnen av et slikt prisme er lik den forrige. Bare i den skal multipliseres med seks.

Formelen vil se slik ut: S = 3/2 og 2 * √3.

Oppgaver

nr. 1. En vanlig rett linje er gitt. Dens diagonal er 22 cm, høyden på polyederet er 14 cm. Beregn arealet av prismebunnen og hele overflaten.

Løsning. Grunnlaget til et prisme er et kvadrat, men siden er ikke kjent. Du kan finne verdien fra diagonalen til kvadratet (x), som er relatert til diagonalen til prismet (d) og høyden (h). x 2 \u003d d 2 - n 2. På den annen side er dette segmentet "x" hypotenusen i en trekant hvis ben er lik siden av kvadratet. Det vil si x 2 \u003d a 2 + a 2. Dermed viser det seg at en 2 \u003d (d 2 - n 2) / 2.

Erstatt tallet 22 i stedet for d, og erstatt "n" med verdien - 14, det viser seg at siden av firkanten er 12 cm. Nå er det enkelt å finne ut grunnarealet: 12 * 12 \u003d 144 cm 2 .

For å finne ut arealet av hele overflaten, må du legge til to ganger verdien av basisområdet og firedoble siden. Sistnevnte er lett å finne med formelen for et rektangel: multipliser høyden på polyederet og siden av basen. Det vil si 14 og 12, dette tallet vil være lik 168 cm 2. Det totale overflatearealet til prismet er funnet å være 960 cm 2 .

Svar. Grunnflaten til prismet er 144 cm2. Hele overflaten - 960 cm 2 .

nr. 2. Dana Ved basen ligger en trekant med en side på 6 cm. I dette tilfellet er diagonalen på sideflaten 10 cm. Regn ut arealene: basen og sideflaten.

Løsning. Siden prismet er regelmessig, er basen en likesidet trekant. Derfor viser arealet seg å være lik 6 kvadrat ganger ¼ og kvadratroten av 3. En enkel beregning fører til resultatet: 9√3 cm 2. Dette er arealet av en base av prismet.

Alle sideflater er like og er rektangler med sider på 6 og 10 cm. For å beregne arealene deres er det nok å multiplisere disse tallene. Gang dem så med tre, fordi prismet har nøyaktig så mange sideflater. Deretter vikles området av sideflaten 180 cm 2 .

Svar. Områder: base - 9√3 cm 2, sideflate på prismet - 180 cm 2.