Total sannsynlighetsformel: teori og eksempler på problemløsning. Total sannsynlighetsformel og Bayes-formler

La en komplett gruppe av hendelser vurderes (parvis inkompatible, som kalles hypoteser), og hvis en hendelse bare kan oppstå når en av disse hypotesene dukker opp, beregnes sannsynligheten for hendelsen av formel full sannsynlighet:

hvor er sannsynligheten for hypotesen. .

er den betingede sannsynligheten for hendelsen under denne hypotesen. Hvis før eksperimentet var sannsynlighetene for hypotesene Bayes formel:

Bayes-formelen gjør det mulig å overvurdere sannsynlighetene for hypoteser, allerede tatt i betraktning kjent resultat erfaring.

Eksempel 1

Det er tre like urner. I de første hvite kulene og svart; i den andre - hvit og svart; i den tredje bare hvite kuler. Noen nærmer seg tilfeldig en av urnene og trekker en ball fra den. Finn sannsynligheten for at denne ballen er hvit.

Løsning.

La hendelsen være utseendet hvit ball. Vi formulerer hypoteser: – valg av første urne;

– valg av den andre urnen;

– valg av tredje urne;

, , ;

i henhold til totalsannsynlighetsformelen

Eksempel 2

Det er to urner: i den første er det hvite kuler og svarte, i den andre - svarte. En ball overføres fra den første urnen til den andre; ballene stokkes og deretter overføres en ball fra den andre urnen til den første. Etter det tas en ball tilfeldig fra den første urnen. Finn sannsynligheten for at han var hvit.

Løsning.

Hypoteser: – sammensetningen av kulene i den første urnen har ikke endret seg;

– i den første urnen erstattes en svart kule med en hvit;

– i den første urnen erstattes en hvit kule med en svart;

;

Den resulterende løsningen sier at sannsynligheten for å tegne en hvit kule ikke endres hvis proporsjonene av hvite kuler og svarte kuler i begge urnene er de samme .

Svar: .

Eksempel 3

Enheten består av to noder, driften av hver node er absolutt nødvendig for driften av enheten som helhet. Påliteligheten (sannsynligheten for feilfri drift i løpet av tiden ) til den første noden er lik , den andre. Enheten er testet for tid, som et resultat av at det viser seg at den er ute av drift (mislyktes). Finn sannsynligheten for at bare den første noden mislyktes, og den andre er operativ.

Løsning.

Før eksperimentet er fire hypoteser mulige:

- begge nodene fungerer;

- den første noden mislyktes, den andre er brukbar;

- den første er tjenlig, den andre nektet;

– begge nodene mislyktes;

Hypotese sannsynligheter:

En hendelse ble observert - enheten mislyktes:

I følge Bayes-formelen:

Gjentakelse av eksperimenter

Hvis uavhengige eksperimenter utføres under de samme forholdene, og i hver av dem vises en hendelse med sannsynlighet, så uttrykkes sannsynligheten for at hendelsen vil skje nøyaktig én gang i disse eksperimentene med formelen:

Sannsynligheten for at minst én forekomst av en hendelse i uavhengige eksperimenter under samme forhold er lik:

Sannsynligheten for at en hendelse vil inntreffe a) mindre enn én gang; b) mer enn én gang; c) minst én gang; d) ikke mer enn én gang finner vi henholdsvis, men formlene:

Generell teorem om repetisjon av eksperimenter

Hvis det utføres uavhengige eksperimenter i ulike forhold, og sannsynligheten for en hendelse i det -te eksperimentet er lik , så er sannsynligheten for at hendelsen vil dukke opp i disse eksperimentene nøyaktig én gang lik koeffisienten ved i potenseringsutvidelsen til den genererende funksjonen

, Hvor .

Eksempel 1

Enheten består av 10 noder. Pålitelighet (sannsynlighet for feilfri drift over tid) for hver node . Noder svikter uavhengig av hverandre. Finn sannsynligheten for at i tid:

a) minst én node vil mislykkes;

b) nøyaktig én node vil mislykkes;

c) nøyaktig to noder vil mislykkes;

d) minst to noder vil mislykkes.

Løsning.

Eksempel 2

En urne inneholder 30 hvite og 15 sorte kuler. Det tas ut 5 kuler på rad, og hver kule som tas ut føres tilbake til urnen før neste tas ut og kulene i urnen blandes. Hva er sannsynligheten for at 3 av de 5 kulene som trekkes er hvite?

Løsning.

Sannsynligheten for å trekke en hvit ball , kan betraktes som den samme i alle 5 forsøkene: da sannsynligheten for ikke å få en hvit ball. Ved å bruke Bernoulli-formelen får vi:

Eksempel 3

En mynt kastes åtte ganger. Hva er sannsynligheten for at den faller opp ned seks ganger?

Løsning.

Vi har en Bernoulli-testordning. Sannsynligheten for at Ge dukker opp i en rettssak , Deretter

Svar: 0,107.

Eksempel 4

Fire uavhengige skudd avfyres, og - sannsynligheten for å treffe målet er gjennomsnittet av sannsynlighetene

Finn sannsynligheter: .

Løsning.

Etter Bernoulli-formelen har vi

Eksempel 5

Det er fem stasjoner som kommunikasjonen opprettholdes med. Fra tid til annen blir kommunikasjonen avbrutt på grunn av atmosfærisk forstyrrelse. På grunn av avstanden til stasjonene fra hverandre, oppstår et brudd i kommunikasjonen med hver av dem uavhengig av de andre med en sannsynlighet på 0,2. Finn sannsynligheten for at kommunikasjon vil opprettholdes med maksimalt to stasjoner på et gitt tidspunkt.

Løsning.

Arrangement - det er en forbindelse med ikke mer enn to stasjoner.

Svar: 0,72.

Eksempel 6

Systemet med radarstasjoner overvåker en gruppe objekter, bestående av ti enheter. Hvert av objektene kan gå tapt (uavhengig av de andre) med en sannsynlighet på 0,1. Finn sannsynligheten for at minst en av gjenstandene går tapt.

Løsning.

Sannsynligheten for å miste minst ett objekt kan bli funnet ved formelen:

men det er lettere å utnytte motsatt hendelse- ingen gjenstand går tapt - og trekk den fra en

Svar: 0,65.

Jobbmuligheter for kontrollarbeid № 5

valg 1

1. To blir kastet terning. Finn sannsynligheten for at summen av de rullede poengene er 7.

2. La være tre vilkårlige hendelser. Skriv ned et uttrykk for hendelsene at av disse tre hendelsene har minst to hendelser skjedd.

3. En mynt kastes 5 ganger. Finn sannsynligheten for at "våpenskjoldet" dukker opp: a) minst to ganger, b) minst to ganger.

4. Det er 2 like urner. Den første urnen inneholder 3 hvite og 5 svarte kuler, den andre urnen inneholder 3 hvite og 7 svarte kuler. En ball trekkes fra en tilfeldig valgt urne. Bestem sannsynligheten for at ballen
svart.

5. 18 lag deltar i det nasjonale fotballmesterskapet.Hvert to lag møtes på fotballbanene 2 ganger. Hvor mange kamper spilles i løpet av en sesong?

Alternativ 2

1. Når han ringte et telefonnummer, glemte abonnenten de tre siste sifrene, og husket bare at disse numrene er forskjellige, ringte han dem tilfeldig. Finn sannsynligheten for at de riktige sifrene blir slått.

2. Er det sant .

3. Finn sannsynligheten for at hendelsen skal inntreffe minst 2 ganger i 4 uavhengige forsøk hvis sannsynligheten for at hendelsen inntreffer i ett forsøk er 0,6.

4. Elektriske apparater leveres til butikken av tre fabrikker. Den første leverer 50%, den andre - 20%, den tredje - 30% av alle produktene. Sannsynligheter for produksjon av enheter høyeste kvalitet hver plante, henholdsvis, er lik:. Bestem sannsynligheten for at enheten kjøpt i butikken vil være av høyeste kvalitet.

5. Morsebokstaver dannes som en sekvens av prikker og
bindestrek. Hvor mange forskjellige bokstaver kan dannes ved å bruke 5
tegn?

Alternativ 3

1. Det er 10 nummererte baller i boksen med tall fra 1 til 10. En ball tas ut. Hva er sannsynligheten for at tallet på den trukket ballen ikke overstiger 10.

2. Er likheten sann ?

3. Sannsynligheten for at en hendelse inntreffer minst én gang av tre forsøk er 0,936. Finn sannsynligheten for at en hendelse inntreffer i ett forsøk.

4. Det er tre like urner. Den første urnen inneholder 5 hvite og 5 svarte kuler, den andre urnen inneholder 3 hvite og 2 svarte kuler, og den tredje urnen inneholder 7 hvite og 3 svarte kuler. En ball trekkes fra en tilfeldig valgt urne. Bestem sannsynligheten for at ballen er hvit.

5. På hvor mange måter kan 12 personer sitte ved et bord med 12 bestikk.

Alternativ 4

1. 6 menn og 4 kvinner jobber på verkstedet. 7 personer ble tilfeldig valgt i henhold til personell. Finn sannsynligheten for at det blir 3 kvinner blant de utvalgte personene.

2. Bevis det .

3. La sannsynligheten for at en del tatt tilfeldig er ikke-standard være 0,1. Finn sannsynligheten for at blant 5 deler tatt tilfeldig er det ikke mer enn 2 ikke-standarddeler.

4. Det er tre like urner. Den første urnen inneholder 3 hvite og 3 svarte kuler, den andre urnen inneholder 2 hvite og 6 svarte kuler, og den tredje urnen inneholder 5 hvite og 2 svarte. En ball trekkes fra en tilfeldig valgt urne. Bestem sannsynligheten for at ballen er svart.

5. Det er påkrevd å lage en tidsplan over togavganger for ulike ukedager. Samtidig er det nødvendig at: 2 tog per dag går i 3 dager, 1 tog per dag i 2 dager, 3 tog per dag i 2 dager. Hvor mange forskjellige tidsplaner kan lages?

Alternativ 5

1. En kube, som alle sider er malt, kuttes i 64 terninger av samme størrelse, som deretter blandes. Finn sannsynligheten for at en tilfeldig tegnet kube har to fargede ansikter.

2. Bevis det .

3. La sannsynligheten for at TV-en trenger reparasjon i garantiperioden være 0,2. Finn sannsynligheten for at i løpet av garantiperioden av 6 TV-er: a) ikke mer enn 1 vil kreve reparasjon, b) minst 1 ikke trenger reparasjon.

4. Samme type deler produseres på tre automatiske linjer. På grunn av uorden i maskinene er produksjon av defekte produkter mulig: den første linjen med en sannsynlighet på 0,02; den andre - med en sannsynlighet på 0,01; den tredje - med en sannsynlighet på 0,05. Den første linjen gir 70%, den andre - 20%, den tredje - 10% av alle produkter. Bestem sannsynligheten for å få et ekteskap.

5. I en urne med hvite og svarte kuler. På hvor mange måter kan du velge blant urnekulene, som det vil være hvite brikker av. (Kollene i hver farge er nummerert.)

Alternativ 6

1. Det er 12 kuler i en urne: 3 hvite, 4 svarte og 5 røde kuler. Hva er sannsynligheten for å trekke en rød kule fra urnen?

2. Bevis at .

3. Sannsynligheten for å vinne på et lodd er . Finn sannsynligheten for å vinne minst 2 av 6 billetter.

4. I to bokser er det deler av samme type: i den første boksen 8 serviceable og 2 defekte, i den andre 6 serviceable og 4 defekte. To elementer er tilfeldig tatt fra den første boksen, og en gjenstand fra den andre. Delene, blandet, ble plassert i den tredje boksen, hvorfra en del ble tatt tilfeldig. Bestem sannsynligheten for at denne varen er riktig.

5. På hvor mange måter kan 2 sparkort velges fra en kortstokk med 36 kort?

Alternativ 7

1. Det er 15 kuler i urnen med tall fra 1 til 15. Hva er sannsynligheten for å trekke kulen med nummer 18?

2. Bevis at .

3. Sannsynligheten for å treffe hvert skudd er 0,4. Finn sannsynligheten for å ødelegge objektet hvis det kreves minst 3 treff for dette, og det avfyres 15 skudd.

4. To like urner inneholder hvite og svarte kuler. En ball overføres fra den første urnen til den andre. I den andre urnen blandes kulene og en ball overføres til den første urnen. Deretter trekkes en ball fra den første urnen. Finn sannsynligheten for at ballen er hvit.

5. To tall velges fortløpende fra settet uten erstatning. Hvor mange sett er det der det andre tallet mer enn den første?

Alternativ 8

1. Det er en sirkel inne i ellipsen. Finn sannsynligheten for at et punkt faller inn i en ring avgrenset av en ellipse og en sirkel.

2. La være tre vilkårlige hendelser. Finn uttrykk for hendelser som: a) hendelser og skjedde, men hendelsen skjedde ikke; b) Nøyaktig 2 hendelser har skjedd.

3. Finn sannsynligheten for at i en familie med 6 barn, minst
2 jenter. (Sannsynlighetene for å ha en gutt og en jente betraktes som de samme.)

4. Det er to urner. Den første urnen inneholder 3 hvite og 5 svarte kuler, den andre urnen inneholder 4 hvite og 6 svarte kuler. To baller overføres fra den første urnen til den andre urnen uten å se. Kulene i den andre urnen blandes grundig og en kule tas fra den. Finn sannsynligheten for at ballen vil
hvit.

5. På hvor mange måter kan toppunktene i en gitt trekant merkes ved hjelp av bokstavene ?

Alternativ 9

1. Fra fem bokstaver delt alfabet, komponerte ordet "bok". Et barn som ikke kunne lese spredte disse bokstavene og satte dem deretter sammen i tilfeldig rekkefølge. Finn sannsynligheten for at han igjen fikk ordet «bok».

2. Finn alle hendelser slik at , hvor og er noen hendelser.

3. Av 15 lodd, vinner 4. Hva er sannsynligheten for at det blant 6 tilfeldig utvalgte lodd vil være to vinnende?

4. Det er tre like urner. Den første urnen inneholder 4 hvite og 2 svarte kuler, den andre urnen inneholder 3 hvite og 3 svarte kuler, og den tredje urnen inneholder 1 hvit og 5 svarte kuler. Fra andre og tredje urne, uten å se, overføres to kuler til den første urnen. Kulene i den første urnen stokkes og to kuler trekkes tilfeldig. Finn sannsynligheten for at de er hvite.

5. Av fem sjakkspillere må to sendes for å delta i turneringen. På hvor mange måter kan dette gjøres?

Alternativ 10

1. Fra en kortstokk med 52 kort trekkes tre tilfeldig. Finn sannsynligheten for at det blir en treer, en sjuer og et ess.

2. To dupliserte blokker og er gitt. Registrer hendelsen at systemet er sunt.

3. For å signalisere en ulykke er det installert to uavhengige signalenheter. Sannsynligheten for at signalenheten vil fungere i tilfelle en ulykke er 0,95 for den første og 0,9 for den andre. Finn sannsynligheten for at bare én signalenhet vil fungere i tilfelle en ulykke.

4. På tre automatiske linjer produseres deler med samme navn. Den første linjen gir 70%, den andre - 20%, den tredje - 10% av alle produkter. Sannsynlighetene for å motta defekte produkter på hver linje er henholdsvis: 0,02; 0,01; 0,05. Heldig del viste seg å være defekt. Bestem sannsynligheten for at delen ble laget på den første linjen.

5. 10 punkter er valgt på sirkelen. Hvor mange akkorder kan trekkes med ender på disse punktene.

Alternativ 11

1. I en urne av hvite, svarte og røde kuler. Tre baller trekkes tilfeldig. Hva er sannsynligheten for at de vil ha forskjellige farger.

2. Er likheten sann ?

3. Avdeling for teknisk kontroll kontrollerer produkter for standarditet. Sannsynligheten for at varen er standard er 0,9. Finn sannsynligheten for at bare ett av de to testede produktene er standard.

4. Tre skyttere skyter uavhengig av hverandre mot skiven, og hver avgir ett skudd. Sannsynligheten for å treffe målet for den første skytteren er 0,4, for den andre - 0,6 og for den tredje - 0,7. Etter å ha skutt mot målet ble det funnet to treff. Bestem sannsynligheten for at de tilhører den første og tredje pilen.

5. På hvor mange måter kan 5 røde, 4 svarte og 5 hvite kuler ordnes i 1 rad slik at kulene som ligger på kantene har samme farge?

Alternativ 12

1. Et møte med 25 personer, inkludert 5 kvinner, velger en delegasjon på 3 personer. Tatt i betraktning at hver av de fremmøtte med samme sannsynlighet kan bli valgt. Finn sannsynligheten for at delegasjonen inkluderer 2 kvinner og en mann.

3. Finn sannsynligheten gitt sannsynlighetene , .

4. Kode 1111 med en sannsynlighet på 0,2, kode 0000 med en sannsynlighet på 0,3 og kode 1001 med en sannsynlighet på 0,5 kan overføres over kommunikasjonskanalen. På grunn av interferens, sannsynligheten riktig mottak av hvert siffer (0 eller 1) i koden er 0,9, og sifrene er forvrengt uavhengig av hverandre. Finn sannsynligheten for at koden 1111 blir overført hvis koden 1011 mottas på mottakerenheten.

5. Hvor mange forskjellige ruter kan en fotgjenger velge hvis han bestemmer seg for å gå 9 blokker, 5 av dem mot vest, 4 mot nord.

Alternativ 13

1. En gruppe på 10 menn og 10 kvinner deles tilfeldig inn i to like deler. Finn sannsynligheten for at menn og kvinner i hver del er like.

2. og er noen hendelser. Er likheten sann ?

3. Finn sannsynligheten gitt sannsynlighetene , , .

4. Det er mulig å overføre kode 1234 med en sannsynlighet på 0,6 og kode 4321 med en sannsynlighet på 0,4 over kommunikasjonslinjen. Koden vises på resultattavlen, noe som kan forvrenge tallene. Sannsynligheten for å ta 1 for 1 er 0,8, og 1 for 4 er 0,2. Sannsynligheten for å ta 4 for 4 er 0,9, og 4 for 1 er 0,1. Sannsynligheten for å ta 2 for 2 og 3 for 3 er 0,7. Sannsynligheten for å ta 2 for 3 og 3 for 2 er 0,3. Operatøren godtok koden 4231. Bestem sannsynligheten for at koden ble mottatt:
a) 1234; b) 4321.

5. Mellom tre personer - du må dele 15 ulike gjenstander, og bør motta 2 elementer, - 3 og - 10. Hvor mange måter kan denne distribusjonen gjøres.

Alternativ 14

1. Det er 4 defekte varer i en batch på 10 varer. Velg tilfeldig
5 varer. Bestem sannsynligheten for at det blant disse 5 produktene vil være tre defekte.

2. Bevis at , , danner en komplett gruppe av hendelser.

3. Studenten kan 20 av de 25 spørsmålene i programmet. Finn sannsynligheten for at studenten svarer på 2 spørsmål gitt til ham av sensor.

4. Det er 4 partier med deler. I det første partiet er det 3% ekteskap, i det andre -4%, i det tredje og fjerde partiet er det ingen ekteskap. Hva er sannsynligheten for å ta en defekt del hvis en del er tatt fra et tilfeldig valgt parti? Hva er sannsynligheten for at delen som er tatt tilhører den første batchen hvis den viser seg å være defekt?

5. Studenten skal bestå 4 eksamener innen 10 dager. På hvor mange måter kan du planlegge ham?

Alternativ 15

1. Det er 50 plasser i salen. Finn sannsynligheten for at av 10 personer vil 5 okkupere visse steder, hvis plassene er okkupert av dem tilfeldig.

2. Bevis det .

3. Tre skyttere skyter uavhengig mot skiven. Sannsynligheten for å treffe målet for den første skytteren er 0,75, for den andre - 0,8, for den tredje - 0,9. Finn sannsynligheten for at alle tre pilene treffer målet.

4. Fra en urne som inneholder 4 svarte 6 hvite kuler, går en kule av ukjent farge tapt. For å bestemme sammensetningen av kulene i urnen ble to kuler trukket tilfeldig fra den. De viste seg å være hvite. Finn sannsynligheten for at den hvite ballen gikk tapt.

5. På hvor mange måter kan 7 bøker ordnes på en hylle hvis to bestemte bøker alltid må stå side om side.

4. Sannsynligheten for å treffe målet med ett skudd er 0,7. Bestem sannsynligheten for at seks uavhengige skudd resulterer i fem treff.

5. Det er 7 seter i bilen. På hvor mange måter kan 7 personer sette seg inn i denne bilen hvis bare 3 av dem kan ta førersetet.

Alternativ 18

1. For industriell praksis 15 plasser ble gitt til 30 studenter i Moskva, 8 i Taiga og 7 i Novosibirsk. Hva er sannsynligheten for at to spesifikke studenter får praksisplass i samme by?

2. La være tre vilkårlige hendelser. Finn uttrykk for hendelser som består av det som skjedde fra: a) bare ; b) bare én hendelse.

3. Det er 6 hvite og 8 svarte kuler i en boks. To baller tas ut av boksen (uten å returnere den fjernede ballen til boksen). Finn sannsynligheten for at begge kulene er hvite.

3. I den første boksen er det 2 hvite og 10 sorte kuler, i den andre 8 hvite og
4 svarte kuler. En ball ble tatt fra hver boks. Hva er sannsynligheten for at begge kulene er hvite?

4. 25 motorer testes. Sannsynligheten for feilfri drift av hver motor er den samme og lik 0,95. Bestem det mest sannsynlige antallet mislykkede motorer.

5. Tanya har 20 merker, Natasha har 30. På hvor mange måter kan Tanyas ene mark byttes mot en Natashas?

Alternativ 20

1. Kast 4 terninger. Finn sannsynligheten for at alle får samme nummer poeng.

2. Må hendelsene og , hvis , samsvare?

3. Tre skyttere skyter uavhengig mot skiven. Sannsynligheten for å treffe målet for den første skytteren er 0,75, for den andre - 0,8. for den tredje - 0,9. Bestem sannsynligheten for at minst én skytter treffer målet.

4. Et parti transistorer testes. Sannsynligheten for feilfri drift av hver transistor er 0,92. Bestem hvor mange transistorer som skal testes slik at minst én feil kan registreres med en sannsynlighet på minst 0,95.

5. Hvor mange femsifrede tall kan lages fra tallene 1, 2, 4, 6, 7, 8, hvis hvert siffer i et hvilket som helst tall ikke brukes mer enn 1 gang?

Eksempel #1. Et datamaskinproduksjonsselskap får de samme delene fra tre leverandører. Den første leverer 50% av alle komponenter, den andre - 20%, den tredje - 30% av delene.
Det er kjent at kvaliteten på de leverte delene er forskjellig, og i produktene til den første leverandøren er prosentandelen av feil 4%, den andre - 5%, den tredje - 2%. Bestem sannsynligheten for at en del valgt tilfeldig fra alle mottatte vil være defekt.

Løsning. La oss betegne hendelsene: A - "den valgte delen er defekt", H i - "den valgte delen ble mottatt fra den i-te leverandøren", i =1, 2, 3 Hypoteser H 1 , H 2 , H 3 danner en komplett gruppe uforenlige hendelser. Etter tilstand
P(Hl) = 0,5; P(H2) = 0,2; P(H3) = 0,3
P(A|Hl) = 0,04; P(A|H2) = 0,05; P(A|H3) = 0,02

I følge totalsannsynlighetsformelen (1.11) er sannsynligheten for hendelsen A lik
P(A) = P(H 1) P(A|H 1) + P(H 2) P(A|H 2) + P(H 3) P(A|H 3) = 0,5 0,04 + 0,2 0,05 + 0,3 0,02=0,036
Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt del vil være defekt er 0,036.

La hendelse A allerede ha skjedd under betingelsene i forrige eksempel: den valgte delen viste seg å være defekt. Hva er sannsynligheten for at den ble mottatt fra den første leverandøren? Svaret på dette spørsmålet er gitt av Bayes-formelen.
Vi startet analysen av sannsynligheter med bare foreløpige, a priori verdier av sannsynlighetene for hendelser. Så ble det gjort et eksperiment (en del ble valgt), og vi fikk Ytterligere informasjon om arrangementet av interesse. Å ha dette ny informasjon, kan vi avgrense verdiene til tidligere sannsynligheter. De nye verdiene av sannsynlighetene for de samme hendelsene vil allerede være a posteriori (post-eksperimentelle) sannsynligheter for hypotesene (fig. 1.5).

Opplegg for ny vurdering av hypoteser
La hendelse A bare realiseres sammen med en av hypotesene H 1 , H 2 , …, H n (komplett gruppe av uforenlige hendelser). Vi betegnet a priori sannsynligheter for hypoteser P(H i) betingede sannsynligheter for hendelsen A - P(A|H i), i = 1, 2,..., n. Hvis eksperimentet allerede er utført og som et resultat av det har hendelsen A skjedd, vil a posteriori-sannsynlighetene til hypotesene være de betingede sannsynlighetene P(H i |A), i = 1, 2,..., n. I notasjonen til forrige eksempel er P(H 1 |A) sannsynligheten for at den valgte delen, som viste seg å være defekt, ble mottatt fra den første leverandøren.
Vi er interessert i sannsynligheten for hendelsen H k |A Vurder den felles forekomsten av hendelsene H k og A, det vil si hendelsen AH k . Sannsynligheten kan finnes på to måter, ved å bruke multiplikasjonsformlene (1.5) og (1.6):
P(AHk) = P(Hk)P(A|Hk);
P(AH k) = P(A)P(H k |A).

Sett likhetstegn mellom høyresidene av disse formlene
P(H k) P(A|H k) = P(A) P(H k |A),

derav den bakre sannsynligheten for hypotesen H k er

Nevneren er den totale sannsynligheten for hendelsen A. Ved å erstatte dens verdi i stedet for P(A) i henhold til totalsannsynlighetsformelen (1.11), får vi:
(1.12)
Formel (1.12) kalles Bayes formel og brukes til å revurdere sannsynlighetene for hypoteser.
I betingelsene i forrige eksempel finner vi sannsynligheten for at den defekte delen ble mottatt fra den første leverandøren. La oss i en tabell oppsummere a priori-sannsynlighetene for hypotesene P(H i) kjent for oss av betingelsen, de betingede sannsynlighetene P(A|H i) beregnet i prosessen med å løse felles sannsynligheter P(AH i) = P(H i) P(A|H i) og beregnet med formel (1.12) a posteriori sannsynligheter P(H k |A), i,k = 1, 2,..., n (tabell 1.3 ).

Tabell 1.3 - Revurdering av hypoteser

Hypoteser H i	Sannsynligheter
Hypoteser H i	Tidligere P(H i)	Betinget P(A\|H i)	Ledd P(AH i)	A posteriori P(H i \|A)
1	2	3	4	5
H 1 - del mottatt fra første leverandør	0.5	0.04	0.02
H 2 - del mottatt fra en annen leverandør	0.2	0.05	0.01
H 3 - del mottatt fra en tredje leverandør	0.3	0.02	0.006
Sum	1.0	-	0.036	1

Tenk på den siste raden i denne tabellen. Den andre kolonnen inneholder summen av sannsynlighetene for uforenlige hendelser H 1 , H 2 , H 3 som danner en komplett gruppe:
P(Ω) = P(H 1 + H 2 + H 3) = P(H 1) + P(H 2) + P(H 3) = 0,5 + 0,2 + 0,3 = 1
I den fjerde kolonnen oppnås verdien i hver rad (felles sannsynligheter) ved regelen om multiplikasjon av sannsynligheter ved å multiplisere de tilsvarende verdiene i den andre og tredje kolonnen, og i den siste raden er 0,036 den totale sannsynligheten for hendelse A (etter total sannsynlighetsformelen).
I kolonne 5 beregnes de bakre sannsynlighetene for hypotesene ved å bruke Bayes-formelen (1.12):

De bakre sannsynlighetene P(H 2 |A) og P(H 3 |A) beregnes på samme måte, der telleren for brøken er fellessannsynlighetene registrert i de tilsvarende radene i kolonne 4, og nevneren er den totale sannsynligheten for hendelse A registrert i siste rad i kolonne 4.
Summen av sannsynligheter for hypoteser etter eksperimentet er lik 1 og er skrevet i den siste linjen i den femte kolonnen.
Så sannsynligheten for at den defekte delen ble mottatt fra den første leverandøren er 0,555. Den post-eksperimentelle sannsynligheten er større enn den a priori (på grunn av det store tilbudet). Den post-eksperimentelle sannsynligheten for at den defekte delen ble mottatt fra den andre leverandøren er 0,278 og er også større enn den pre-eksperimentelle (pga. et stort antall ekteskap). Den post-eksperimentelle sannsynligheten for at en defekt del ble hentet fra en tredje leverandør er 0,167.

Eksempel #3. Det er tre like urner; den første urnen inneholder to hvite og en svart kule; i den andre, tre hvite og en svart; i den tredje - to hvite og to svarte kuler. For forsøket velges en urne tilfeldig og en ball tas ut av den. Finn sannsynligheten for at denne ballen er hvit.
Løsning. La oss vurdere tre hypoteser: H 1 - den første urnen er valgt, H 2 - den andre urnen er valgt, H 3 - den tredje urnen er valgt og hendelse A - den hvite ballen tas ut.
Siden hypotesene er like sannsynlige av problemets tilstand, da

De betingede sannsynlighetene for hendelsen A under disse hypotesene er henholdsvis like:
I henhold til total sannsynlighetsformelen

Eksempel #4. Det er 19 rifler i pyramiden, 3 av dem med optisk sikte. Skytteren, som skyter fra en rifle med et optisk sikte, kan treffe målet med en sannsynlighet på 0,81, og skyting fra en rifle uten et optisk sikte, med en sannsynlighet på 0,46. Finn sannsynligheten for at skytteren vil treffe målet ved å skyte fra en tilfeldig valgt rifle.
Løsning. Her er den første testen et tilfeldig valg av rifle, den andre er målskyting. Tenk på følgende hendelser: A - skytteren vil treffe målet; H 1 - skytteren vil ta en rifle med et optisk sikte; H 2 - skytteren vil ta en rifle uten optisk sikte. Vi bruker totalsannsynlighetsformelen. Vi har

Gitt at rifler velges en om gangen, og ved hjelp av formelen klassisk sannsynlighet, får vi: P(H 1) = 3/19, P(H 2) = 16/19.
Betingede sannsynligheter er gitt i problemstillingen: P(A|H 1) = 0;81 og P(A|H 2) = 0;46. Derfor,

Eksempel nummer 5. Fra en urne som inneholder 2 hvite og 3 sorte kuler trekkes to kuler tilfeldig og 1 hvit kule legges til urnen. Finn sannsynligheten for at en tilfeldig trukket ball er hvit.
Løsning. Arrangementet "en hvit ball trekkes" vil bli merket med A. Hendelsen H 1 - to hvite kuler trekkes tilfeldig; H 2 - to svarte kuler ble trukket tilfeldig; H 3 - en hvit kule og en svart kule er trukket. Deretter sannsynlighetene for de fremsatte hypotesene

De betingede sannsynlighetene under disse hypotesene er henholdsvis like: P(A|H 1) = 1/4 - sannsynligheten for å trekke en hvit kule hvis det for øyeblikket er én hvit og tre svarte kuler i urnen, P(A|H 2) = 3/ 4 - sannsynligheten for å trekke en hvit ball hvis det for øyeblikket er tre hvite og en svart kuler i urnen, P(A|H 3) = 2/4 = 1/2 - sannsynligheten for å trekke en hvit ball hvis det er to hvite og en sorte kuler i urnen for øyeblikket to svarte kuler. I henhold til total sannsynlighetsformelen

Eksempel nummer 6. To skudd skytes mot målet. Sannsynligheten for å treffe med det første skuddet er 0,2, med det andre - 0,6. Sannsynligheten for å ødelegge målet med ett treff er 0,3, med to - 0,9. Finn sannsynligheten for at målet vil bli ødelagt.
Løsning. La hendelse A være målet er ødelagt. For å gjøre dette er det nok å treffe med ett skudd av to eller treffe målet på rad med to skudd uten bom. La oss legge frem hypoteser: H 1 - begge skuddene treffer målet. Da er P(H 1) = 0,2 0,6 = 0;12. H 2 - enten første gang eller andre gang en glipp ble gjort. Deretter P (H 2) \u003d 0,2 0,4 + 0,8 0,6 \u003d 0,56. Hypotese H 3 - begge skuddene var bom - er ikke tatt i betraktning, siden sannsynligheten for å ødelegge målet er null. Da er de betingede sannsynlighetene henholdsvis like: sannsynligheten for å ødelegge målet under betingelsen for begge vellykkede skudd er P(A|H 1) = 0,9, og sannsynligheten for å ødelegge skiven under betingelsen av bare ett vellykket skudd er P( A|H 2) = 0,3. Da er sannsynligheten for å ødelegge målet i henhold til totalsannsynlighetsformelen lik.

Følgen av begge hovedsetningene - sannsynlighetsaddisjonsteoremet og sannsy- er den såkalte totalsannsynlighetsformelen.

La det være nødvendig å bestemme sannsynligheten for en hendelse som kan oppstå sammen med en av hendelsene:

danner en komplett gruppe av uforenlige hendelser. Vi vil kalle disse hendelsene hypoteser.

La oss bevise det i dette tilfellet

, (3.4.1)

de. sannsynligheten for en hendelse beregnes som summen av produktene av sannsynligheten for hver hypotese og sannsynligheten for hendelsen under denne hypotesen.

Formel (3.4.1) kalles total sannsynlighetsformel.

Bevis. Siden hypotesene utgjør en komplett gruppe, kan hendelsen bare vises i kombinasjon med noen av disse hypotesene:

Siden hypotesene er inkonsekvente, er kombinasjonene også uforenlig; ved å bruke addisjonsteoremet på dem får vi:

Ved å bruke multiplikasjonsteoremet på hendelsen får vi:

Q.E.D.

Eksempel 1. Det er tre identiske urner; den første urnen inneholder to hvite og en svart kule; i den andre - tre hvite og en svart; i den tredje - to hvite og to svarte kuler. Noen velger en av urnene tilfeldig og trekker en ball fra den. Finn sannsynligheten for at denne ballen er hvit.

Løsning. La oss vurdere tre hypoteser:

Valg av første urne,

Valg av den andre urnen,

Valg av tredje urne

og begivenheten er utseendet til en hvit ball.

Siden hypotesene, i henhold til problemets tilstand, er like sannsynlige, altså

De betingede sannsynlighetene for hendelsen under disse hypotesene er henholdsvis like:

I henhold til total sannsynlighetsformelen

Eksempel 2. Tre enkeltskudd skytes mot et fly. Sannsynligheten for å treffe med det første skuddet er 0,4, med det andre - 0,5, med det tredje 0,7. Tre treff er åpenbart nok til å deaktivere et fly; med ett treff feiler flyet med en sannsynlighet på 0,2, med to treff, med en sannsynlighet på 0,6. Finn sannsynligheten for at flyet som et resultat av tre skudd blir satt ut av spill.

Løsning. La oss vurdere fire hypoteser:

Ikke et eneste granat traff flyet,

Ett granat traff flyet

Flyet ble truffet av to granater.

Tre granater traff flyet.

Ved å bruke addisjons- og multiplikasjonssetningene finner vi sannsynlighetene for disse hypotesene:

De betingede sannsynlighetene for hendelsen (flyfeil) under disse hypotesene er:

Ved å bruke formelen for total sannsynlighet får vi:

Merk at den første hypotesen ikke kunne ha blitt introdusert i betraktning, siden det tilsvarende leddet i totalsannsynlighetsformelen forsvinner. Dette gjøres vanligvis når man bruker den totale sannsynlighetsformelen, og vurderer ikke hele gruppen av inkonsistente hypoteser, men bare de av dem der en gitt hendelse er mulig.

Eksempel 3. Motordriften styres av to regulatorer. Under vurdering viss periode tid, hvor det er ønskelig å sikre problemfri drift av motoren. Hvis begge regulatorene er til stede, svikter motoren med sannsynlighet , hvis bare den første av dem fungerer, med sannsynlighet , hvis bare den andre fungerer, hvis begge regulatorene svikter, med sannsynlighet . Den første av regulatorene har pålitelighet, den andre -. Alle elementer svikter uavhengig av hverandre. Finn den totale påliteligheten (sannsynligheten for feilfri drift) til motoren.

Nyttig side? Lagre eller fortell vennene dine

Den generelle erklæringen om problemet er omtrent * følgende:

En urne inneholder $K$ hvite og $N-K$ svarte kuler (totalt $N$ baller). $n$ baller tas ut av den tilfeldig og uten erstatning. Finn sannsynligheten for at nøyaktig $k$ hvite og $n-k$ svarte kuler vil bli valgt.

Av klassisk definisjon sannsynlighet, den ønskede sannsynligheten er funnet av den hypergeometriske sannsynlighetsformelen (se forklaringer):

$$ P=\frac(C_K^k \cdot C_(N-K)^(n-k))(C_N^n). \qquad (1) $$

* La meg forklare hva "omtrent" betyr: kulene kan ikke tas ut fra urnen, men fra kurven, eller de kan ikke være svarte og hvite, men røde og grønne, store og små, og så videre. Hovedsaken er at de er TO typer, så vurderer du den ene typen betinget "hvite kuler", den andre - "svarte kuler" og bruk gjerne formelen for å løse (korrigere teksten på de riktige stedene, selvfølgelig :) ).

Videoopplæring og Excel-mal

Se videoen vår om å løse problemer om baller i det hypergeometriske sannsynlighetsskjemaet, lær hvordan du bruker Excel til å løse vanlige problemer.

Excel-beregningsfilen fra videoen kan lastes ned gratis og brukes til å løse problemene dine.

Eksempler på løsninger på problemer ved valg av baller

Eksempel 1 En urne inneholder 10 hvite og 8 sorte kuler. 5 baller velges tilfeldig. Finn sannsynligheten for at det er nøyaktig 2 hvite kuler blant dem.

Bytt inn i formel (1) følgende verdier: $K=10$, $N-K=8$, totalt $N=10+8=18$, velg $n=5$ baller, $k=2$ av dem skal være hvit og henholdsvis $n-k=5-2=3$ svart. Vi får:

$$ P=\frac(C_(10)^2 \cdot C_(8)^(3))(C_(18)^5) = \frac(45 \cdot 56)(8568) = \frac(5) (17) = 0,294. $$

Eksempel 2 En urne inneholder 5 hvite og 5 røde kuler. Hva er sannsynligheten for å trekke begge hvite kulene tilfeldig?

Her er ikke ballene svarte og hvite, men røde og hvite. Men dette påvirker ikke forløpet av vedtaket og svaret i det hele tatt.

Bytt inn følgende verdier i formel (1): $K=5$ (hvite kuler), $N-K=5$ (røde baller), totalt $N=5+5=10$ (totalt baller i urnen), velg $ n=2 $ kuler, hvorav det må være $k=2$ hvite og følgelig $n-k=2-2=0$ røde. Vi får:

$$ P=\frac(C_(5)^2 \cdot C_(5)^(0))(C_(10)^2) = \frac(10 \cdot 1)(45) = \frac(2) (9) = 0,222. $$

Eksempel 3 Det er 4 hvite og 2 sorte kuler i en kurv. 2 baller tas fra kurven. Hva er sannsynligheten for at de har samme farge?

Her blir oppgaven litt mer komplisert, og vi skal løse den steg for steg. Skriv inn ønsket hendelse
$A = $ (Utvalgte kuler av samme farge) = (Velg enten 2 hvite eller 2 svarte kuler).
La oss representere denne hendelsen som summen av to inkompatible hendelser: $A=A_1+A_2$, der
$A_1 = $ (2 hvite kuler valgt),
$A_2 = $ (2 svarte kuler valgt).

La oss skrive ned verdiene til parameterne: $K=4$ (hvite baller), $N-K=2$ (svarte baller), totalt $N=4+2=6$ (totalt baller i kurven). Velg $n=2$ baller.

For hendelsen $A_1$ må $k=2$ av dem være hvite og følgelig $n-k=2-2=0$ svarte. Vi får:

$$ P(A_1)=\frac(C_(4)^2 \cdot C_(2)^(0))(C_(6)^2) = \frac(6 \cdot 1)(15) = \frac (2)(5) = 0,4. $$

For begivenheten $A_2$ må $k=0$ hvite og $n-k=2$ svarte baller velges fra de valgte ballene. Vi får:

$$ P(A_2)=\frac(C_(4)^0 \cdot C_(2)^(2))(C_(6)^2) = \frac(1 \cdot 1)(15) = \frac (1)(15). $$

Da er sannsynligheten for den ønskede hendelsen (trukne baller av samme farge) summen av sannsynlighetene for disse hendelsene:

$$ P(A)=P(A_1)+P(A_2)=\frac(2)(5) + \frac(1)(15) =\frac(7)(15) = 0,467. $$

Det er tre identiske urner; den første urnen inneholder 2 hvite og 1 svarte kuler; i den andre urnen er det 3 hvite og 1 svarte kuler; i den tredje er det 2 hvite og 2 svarte kuler.

Noen velger en av urnene tilfeldig og trekker en ball fra den. Finn sannsynligheten for at denne ballen er hvit.

La oss vurdere tre hypoteser:

H1-valg av første urne

H2-valg av andre urne

H3-valg av tredje urne

en komplett gruppe av uforenlige hendelser.

La hendelsen A være utseendet til en hvit ball. Fordi hypoteser, i henhold til tilstanden til problemet er like mulige, da er Р(Н1) = Р(Н2) = Р(Н3) = 1\3

De betingede sannsynlighetene for hendelsen A under disse hypotesene er henholdsvis like: Р(А/Н1) =2\3; P(A/H2) = 3\4; P (A / H3) \u003d 1/2.

I henhold til total sannsynlighetsformelen

P(A)=1\3*3\2+1\3*3\4+1\3*1\2=23\36

Svar: 23\36

S.2. Hypoteseteorem.

En konsekvens av multiplikasjonssetningen og totalsannsynlighetsformelen er den såkalte hypotesesetningen, eller Bayes (Bayes)-formelen.

La oss sette følgende oppgave.

Det er en komplett gruppe av inkompatible hypoteser H1, H2,. . Hn. sannsynlighetene for disse hypotesene før eksperimentene er kjent og lik henholdsvis Р(Н1),Р(Н2)...,Р(Нn). Det ble gjort et eksperiment, som et resultat av at det ble observert utseendet til en eller annen hendelse A. Spørsmålet er hvordan skal sannsynlighetene for hypoteser endres i forbindelse med at denne hendelsen dukker opp?

Her, egentlig vi snakker om å finne den betingede sannsynligheten P(H1/A) for hver hypotese.

Fra multiplikasjonssetningen har vi:

P(A*Hi) =P(A) P(Hi/A) =P(Hi) P(A/Hi), (i=1,2,3, .n) eller, forkaste venstre side Nutrend enduro bcaa 120 caps kjøp.

P(A) P(Hi/A) =P(Hi) P(A/Hi),(i=1,2,. .,n)

Hvorfra P (Hi/A) =P(Hi) P(A/Hi) ÷P(A),(i=1,2,3, .. n)

Uttrykke med P(A) ved å bruke den totale sannsynligheten, har vi

P(Hi/A) =P(Hi) P(A/Hi) ÷∑P(Hi) P(A\Hi),(i=1,2,3, .. n) (2)

Formel (2) kalles Bays-formelen eller hypotesesetningen

Eksempel 2. i en fabrikk produseres 30 % av produktene av maskin I, 25 % av produktene er produsert av maskin II, resten av produktene er produsert av maskin III. For maskin I er 1% av produksjonen defekt, for maskin II - 1,5%, for maskin III - 2%, viste en tilfeldig valgt produksjonsenhet seg å være en defekt. Hva er sannsynligheten for at den ble produsert av maskin I?

La oss introdusere notasjon for hendelser.

A - det valgte produktet viste seg å være defekt

H1-produkt produsert av maskin I

H2 - produkt produsert av maskin II

H3 - produkt produsert av maskin III

P(Hl)=0,30; P(H2)=0,25; P(H3) = 0,45

P (A/H1) \u003d 0,01,

P (A / H2) \u003d 0,015

P (A / H3) \u003d 0,02

P(A) \u003d 0,01 * 0,30 + 0,015 * 0,25 + 0,02 * 0,45 \u003d 0,015,

P(H1/A) = 0,01*0,30÷0,015=0,20

Svar: 20 % av alle defekte produkter er produsert av maskin I.

§9. Bernoulli formel

Lov store tall

La A tilfeldig hendelse med hensyn til noe erfaring σ. Vi vil bare være interessert i om hendelsen A skjedde eller ikke skjedde som et resultat av eksperimentet, så vi vil ta følgende synspunkt: space elementære hendelser, assosiert med erfaring σ, består av kun to elementer - A og A. Angi sannsynlighetene for disse elementene, henholdsvis gjennom p og q, (p+q=1).

La oss nå anta at eksperimentet σ under uendrede forhold gjentas et visst antall ganger, for eksempel 3 ganger. La oss bli enige om å betrakte trippelrealiseringen av σ som en viss ny erfaringη. Hvis vi, som før, bare er interessert i forekomst eller ikke-forekomst av A., bør vi selvsagt anta at rommet av elementære hendelser som tilsvarer eksperimentet η består av alle mulige sekvenser med lengde 3: (A, A, A), (A, A, A), (A, A, A), (A, A, A), (A, A, A), (A, A, A), (A, A, A) , (A, A, A), som kan være sammensatt av A og A.

Hver av disse sekvensene betyr en eller annen sekvens av forekomst eller ikke-forekomst av hendelser A i tre eksperimenter σ, for eksempel betyr sekvensen (A, A, A) at A skjedde i det første eksperimentet, og A skjedde i det andre og for det tredje. La oss definere hvilke sannsynligheter som skal tilordnes hver av sekvensene (1)

Betingelsen om at forsøket σ utføres alle tre gangene under uendrede forhold bør bety følgende: utfallet av hvert av de tre forsøkene er ikke avhengig av hvilke utfall som fant sted i de to andre forsøkene. De. enhver kombinasjon av resultatene av de tre forsøkene er en trippel uavhengige arrangementer. I dette tilfellet er det naturlig å tilordne en elementær hendelse (A, A, A) en sannsynlighet lik p*q*q, til en hendelse (A, A, A), sannsynligheten q*y*y , etc.

At. vi kommer til følgende beskrivelse av den sannsynlige modellen for eksperimentet η (dvs. for den tredelte implementeringen av eksperimentet σ). Rommet Ω for elementære hendelser er et sett med 2 til 3 sekvenser. (1). Hver sekvens er assosiert som en sannsynlighet med tallet p hevet til potensen k, q hevet til potensen e, hvor eksponentene bestemmer hvor mange ganger symbolene A og A vises i uttrykket for denne sekvensen.

Sannsynlighetsmodeller av denne typen kalles Bernoulli-skjemaer. I generell sak Bernoulli-skjemaet bestemmes av verdien av tallene n og p, der n er antall repetisjoner av det innledende eksperimentet σ (i forrige forsøk vurderte vi n=3), og p er sannsynligheten for hendelsen A i forhold til eksperimentet σ.

Teorem 1. La sannsynligheten for hendelse A være lik p, og la Pmn være sannsynligheten for at i en serie av n uavhengige tester denne hendelsen vil skje m-ganger.

Da er Bernoulli-formelen gyldig.

Pmn=Cn i potensen av m *P i potensen av m *q in grader n-m

Mynten kastes 10 ganger. Hva er sannsynligheten for at våpenskjoldet vises nøyaktig 3 ganger?

I denne saken tapet av våpenskjoldet anses som en suksess, sannsynligheten p for denne hendelsen i hvert eksperiment er 1/2.

Derfor: Р10,3=С10i 3. grad*(1\2) i 3. grad*(1\2) i 7. grad=10*9*8÷1*2*3*(1÷2i 10. grad ) =15\128

Svar: 15\128

På store tall tester, skiller den relative frekvensen av forekomst av en hendelse seg lite fra sannsynligheten for denne hendelsen. Den matematiske formuleringen av denne kvalitative påstanden er gitt av Bernoullis lov om store tall, som ble foredlet av Chebyshev.

Teorem 2. La sannsynligheten for hendelse A i forsøk p være lik p, og la en serie bestående av n uavhengige repetisjoner av denne prøven gjennomføres.

Vi angir med m antall forsøk som hendelsen A fant sted i. Deretter for evt positivt tallα gjelder følgende ulikhet:

3(|m\n-p|> α)

Betydningen av denne ulikheten er at uttrykket m÷n er lik den relative frekvensen av hendelse A i en rekke eksperimenter, og |m\n-p|> α betyr at avviket til denne relative fra den teoretiske verdien p. Ulikheten |m\n-p|> α betyr at avviket er større enn α. Men ved en konstant verdi av α, med økende n høyre del ulikhet (3) har en tendens til null. Serien hvor avviket til eksperimentell frekvens fra den teoretiske er stort utgjør med andre ord en liten brøkdel av alle mulige testserier.

Påstanden oppnådd av Bernoulli følger av teoremet: under betingelsene for teoremet, for enhver verdi på α>0, har vi