Formler for aritmetiske og geometriske progresjoner 9. Algebra: Aritmetiske og geometriske progresjoner

Kapittel 3 RELASJONER OG FORHOLD

Proporsjoner kan brukes til å løse problemer.

Du vet for eksempel at prisen på en vare avhenger av dens mengde: stor kvantitet varer kjøpes, jo større blir verdien. Slike mengder kalles direkte proporsjonale.

Huske!

To mengder sies å være direkte proporsjonale hvis, når en mengde øker (minker) flere ganger, den andre mengden øker (minker) like mange ganger.

Oppgave 1. For 2 kg søtsaker betalte de 72 UAH. Hvor mye vil 4,5 kg av disse søtsakene koste?

Løsninger.

Merk:

hvis to mengder er direkte proporsjonale, dannes andelen av forholdet mellom de tilsvarende verdiene av disse kvantitetene.

I praksis, i tillegg til den direkte proporsjonale avhengigheten av mengder, er det også en omvendt. proporsjonal avhengighet. For eksempel, på vei til skolen, når tiden renner ut, øker du hastigheten på bevegelsen for ikke å komme for sent til timen. Derfor avhenger hastigheten på bevegelsen din av bevegelsestimen: jo kortere bevegelsestiden er, desto større blir hastigheten. Slike mengder kalles omvendt proporsjonale.

Huske!

To mengder kalles omvendt proporsjonale hvis, når en mengde øker (minker) flere ganger, den andre mengden avtar (øker) med samme antall ganger.

Oppgave 2. En bil som beveget seg med en hastighet på 90 km/t, kjørte avstanden fra Cherkassy til Kiev på 2 h 3 Hvor fort beveget han seg? motsatt retning, hvis han dekket avstanden fra Kiev til Cherkasy på 2,5 h?

Løsninger.

Merk:

hvis to mengder er omvendt proporsjonale, dannes andelen av de gjensidige omvendte forholdene mellom de tilsvarende verdiene til disse kvantitetene.

Er to størrelser alltid direkte proporsjonale eller omvendt proporsjonale? La oss diskutere. For eksempel, under en sykdom, kan et barns temperatur stige og falle i flere dager. Og her er det ingen avhengighet, noe som betyr at det ikke kan være proporsjonalitet. Men veksten til barnet øker stadig med økende alder. Det er følgelig en sammenheng mellom mengdene, som gjør at det er grunn til å analysere proporsjonalt med disse mengdene. Det er klart at det ikke er noen proporsjonal avhengighet her, derfor er det ikke nødvendig å finne ut nøyaktig hvordan disse proporsjonale verdiene er direkte eller omvendt. Hvis to mengder er proporsjonale, er bare to alternativer mulige som gjensidig utelukker hverandre - enten direkte proporsjonalitet eller omvendt proporsjonalitet.

Finne ut mer

Navnet på den italienske matematikermunken er indirekte forbundet med historien til det gylne snitt. Leonardo av Pisa (1180–1240 s.), bedre kjent som Fibonacci (sønn av Bonacci).

Han reiste mye i øst, introduserte Europa for indiske (arabiske) tall. I 1202 ble hans matematiske verk "The Book of the Abacus" (telletavler) publisert, der alle problemene kjent på den tiden ble samlet. En av oppgavene var: «Hvor mange par kaniner blir født fra ett par i løpet av ett år?». Ved å krangle om dette emnet bygde Fibonacci følgende tallserie:

0, 1, 1,2, 3, 5, 8, 13,21, 34,55, ... .

Nå er denne tallsekvensen kjent som Fibonacci-serien. Det særegne ved denne tallrekkefølgen er at hver av dens medlemmer, fra den tredje, er lik summen de to forrige:

0 + 1 = 1; 1+1 = 2; 1+2 = 3; 2 + 3 = 5;

3 + 5 = 8; 5 + 8=13; 8 + 13 = 21; 13 + 21=34

lignende, og forholdet mellom nabotall i serien nærmer seg forholdet mellom det gylne snitt. For eksempel:

21: 34 = 0,617, a34: 55 = 0,618.

HUSK DE VIKTIGSTE TINGENE

1. Hvilke mengder kalles direkte proporsjonale? Gi eksempler.

2. Hvordan løser du problemer for direkte proporsjonalitet?

3. Hvilke mengder kalles omvendt proporsjonale? Gi eksempler.

4. Løser jeg problemer med omvendt proporsjonalitet?

5. Er to mengder alltid proporsjonale?

589". To verdier er direkte proporsjonale. Hvordan vil den ene verdien endres hvis den andre: a) øker med 5 ganger; b) reduseres med 2 ganger?

Forklar svaret.

590". I henhold til tilstanden til problemet, laget de en forkortet registrering:

1)3-36, 2) 70-3, 3) 2-100,

4-48; 60-2; 4-50.

Er disse mengdene direkte proporsjonale?

591". To verdier er omvendt proporsjonale, hvordan vil en verdi endres hvis den andre:

a) vil øke med 4 ganger; b) redusere med 6 ganger?

Forklar svaret.

592". I henhold til tilstanden til problemet, laget de en forkortet registrering:

1) 80-4, 2)3-18, 3)10-8,

160 - 2; 5 - 30; 4 - 20.

Er disse mengdene omvendt proporsjonale?

593°. Bestem om er direkte proporsjonal denne avhengigheten verdier:

1) kostnaden for varer kjøpt til én pris og mengden varer;

2) massen av godteriboksen og antall identiske søtsaker i esken;

3) banen som bilen har kjørt med konstant hastighet, og bevegelsestidspunktet;

4) bevegelseshastigheten og bevegelsestiden for å overvinne en viss avstand;

5) personens vekt og høyde;

b) massen av bær og massen av sukker for å lage syltetøy;

7) omkretsen av rektangelet og lengden på en av sidene;

8) lengden på siden av firkanten og dens omkrets.

594°. Fra den forkortede notasjonen til oppgaven, finn x hvis mengdene er direkte proporsjonale.

1) 3 kg søtsaker -36 UAH, 2) 15 deler - 3 timer,

6 kg søtsaker x; x -2 timer.

595°. Hvor mye koster 10 kg søtsaker hvis 128 UAH ble betalt for 4 kg slike søtsaker?

596°. For 3 kg epler betalte de 24 UAH. Hvor mye koster 7 kg av disse eplene?

597°. Båten gikk 80 km på 4 timer. Hvor langt vil båten reise på 2 timer med samme hastighet?

598°. En turist gikk 20 km på 5 timer. Hvor mange timer tar det en turist å tilbakelegge en distanse på 28 km, og beveger seg med samme hastighet?

599°. Når du baker brød av 1 kg rugmel, får du 1,4 kg brød. Hvor mye mel trengs for å få 42 kvint brød?

600°. Fra 3 kg rå kaffebønner oppnås 2,5 kg brente bønner. Hvor mange kilo rå kaffebønner må du ta for å få 10 kg brente?

601°. Bilen kjørte en strekning på 210 km på 3 timer. Hvilken avstand er lettere for en bil på 2 timer, som beveger seg med samme hastighet?

602°. En haleløs gibbonape som hopper fra tre til tre, dekker en avstand på 32 km på 2 timer. Hvor langt vil en gibbon reise på 3 timer?

603°. Bestem om denne avhengigheten av mengdene er omvendt proporsjonal:

1) prisen på varene og kjøpesummen;

2) massen av boksen med søtsaker og dens pris;

3) bevegelseshastigheten og bevegelsestiden for å overvinne en viss avstand;

4) hastigheten til bilen og banen den reiste med konstant hastighet;

5) mengden utført arbeid og tidspunktet for implementeringen;

6) arbeidsproduktivitet og tid for implementering av en viss mengde arbeid;

7) antall biler og lasten de skal transportere i løpet av en viss tid;

8) lengden på siden av kvadratet og området.

604°. Bruk den forkortede notasjonen til oppgaven, finn x hvis mengdene er omvendt proporsjonale.

1) 3 t - 80 km/t, 2) 5 -8 virkedager,

4 h - x; x -10 dager.

605°. 3 snekkere fullførte en ordre på produksjon av møbler på 12 dager. Om hvor mange dager vil det ta 6 snekkere å fullføre bestillingen hvis arbeidsproduktiviteten deres er den samme?

606°, Hvor mange dager vil 6 arbeidere fullføre oppgaven hvis 2 arbeidere kan fullføre denne oppgaven på 9 dager?

607°. Den røde kenguruen beveget seg i 3 timer med en hastighet på 55 km/t. Hva bør hastigheten til en kenguru være slik at den kan tilbakelegge denne distansen på 2,5 timer?

608°. Hva skal hastigheten til toget være i henhold til den nye ruteplanen for å reise avstanden mellom to stasjoner på 4 timer, hvis den, i henhold til den gamle rutetabellen, beveger seg med en hastighet på 100 km/t, dekket det på 5 timer ?

609. For 4 kg informasjonskapsler betalte de 56 UAH. Hvor mye vil 3 kg søtsaker koste 2 UAH mer enn prisen på informasjonskapsler?

610. 5 kg epler koster 40 UAH. Finn prisen på 2 kg pærer, hvis pris er 4 UAH mer enn prisen på epler.

611. Veggklokkependel gjør 730 svingninger på 15 minutter. Hvor mange svingninger vil han gjøre på 1 time? Hvor lang tid tar det før pendelen gjør 2190 svingninger?

612. Natalia betalte 60 UAH for 24 notatbøker. Hvor mye koster 20 av disse notatbøkene? Hvor mange av disse notatbøkene kan kjøpes for 45 UAH?

613. Det er 12 liter melk i en boks. Det ble helt likt i 6 bokser. Hvor mange liter melk er det i hver krukke? Hvor mange treliters krukker kan fylles med melk fra denne dunken?

614. Gjennom vannkran 6 liter vann renner ut i minuttet. Hvor mye vann renner ut av kranen på en halvtime? Hvor lang tid vil det ta før 27 liter vann strømmer gjennom kranen?

615. Avstanden mellom stasjonene er 360 km. Hvor lang tid vil det ta et tog å kjøre 90 km på én time? Hva må hastigheten på toget være for å tilbakelegge denne avstanden på 4 timer og 30 minutter?

616. Avstanden mellom landsbyene er 18 km. Hvor mye lettere er avstanden for en syklist som har en hastighet på 12 km/t? Med hvilken hastighet må fotgjengeren bevege seg for å tilbakelegge denne avstanden på 6 timer?

617. To traktorer pløyde åkeren på 6 dager. Hvor mange dager vil det ta 4 traktorer å grave dette feltet hvis de jobber med samme arbeidsproduktivitet? Hvor mange traktorer skal til for å pløye denne åkeren på 2 dager?

618. Åtte lastebiler kan frakte last på 3 dager. Om hvor mange dager vil 6 slike lastebiler kunne frakte varene? Hvor mange lastebiler vil det ta for å frakte denne lasten på 2 dager?

619. Komponer og løs en oppgave for:

1) direkte proporsjonalitet, for løsningen du må lage en proporsjon

2) invers proporsjonalitet, for løsningen som du må utgjøre proporsjonen x: 4 \u003d 120: 160.

620. Lag opp og løs problemet for: 1) direkte proporsjonalitet, for løsningen må du lage en proporsjon

2) omvendt proporsjonalitet, for løsningen som det er nødvendig å lage en andel på 3: x \u003d 90: 60.

621*. Tarasik kan gå fra jernbanestasjon til landsbyen på 20 minutter. Hvor lang tid vil det ta ham å sykle fra stasjonen til landsbyen hvis hastigheten på bevegelsen hans på en sykkel er 2 ganger høyere enn bevegelseshastigheten til fots?

622*. Mesteren, som jobber selvstendig, fullfører arbeidet på 3 dager, og sammen med studenten - på 2 dager. På hvor mange dager kan studenten fullføre dette arbeidet på egen hånd?

623*. Dima løper 4 runder på tredemøllen samtidig som Katya løper 3 runder. Katya løp 12 runder. Hvor mange runder løp Dima i løpet av denne tiden?

624*. Vann kan pumpes ut av bassenget på 1 time og 15 minutter. Hvor lang tid etter oppstart av arbeidet i bassenget vil det være 0,2 av vannmengden som var først?

SØK I PRAKSIS

625. For trykking av boken skulle det legges 28 linjer på hver side, 40 bokstaver i hver linje. Det viste seg imidlertid at det var mer hensiktsmessig å plassere 35 linjer på hver side. I dette tilfellet, hvor mange bokstaver vil bli plassert i hver linje med bokstaver under utskrift av denne boken, hvis antall bokstaver per side ikke endres?

626. For å tilberede 12 kaker, må du ta proteinet til ett egg og 3 ss sukker. Hvor mange av disse produktene bør brukes for å forberede 24 slike stabler? Hvor mange kaker får du hvis du har 3 egg?

REPETSJONSOPPGAVE

627. Hvilket tall skal legges inn i den siste cellen i kjeden?

628. Løs ligningen:

De to mengdene kalles direkte proporsjonal, hvis når en av dem økes flere ganger, økes den andre med samme beløp. Følgelig, når en av dem reduseres med flere ganger, reduseres den andre med samme mengde.

Forholdet mellom slike mengder er et direkte proporsjonalt forhold. Eksempler på et direkte proporsjonalt forhold:

1) kl konstant hastighet tilbakelagt avstand er direkte proporsjonal med tid;

2) omkretsen av en firkant og dens side er direkte proporsjonale;

3) kostnaden for en vare kjøpt til én pris er direkte proporsjonal med dens mengde.

For å skille et direkte proporsjonalt forhold fra et omvendt, kan du bruke ordtaket: "Jo lenger inn i skogen, jo mer ved."

Det er praktisk å løse problemer for direkte proporsjonale mengder ved å bruke proporsjoner.

1) For fremstilling av 10 deler trengs 3,5 kg metall. Hvor mye metall skal brukes til å lage 12 slike deler?

(Vi argumenterer slik:

1. I den utfylte kolonnen setter du pilen i retning fra mer til den minste.

2. Jo flere deler, jo mer metall trengs for å lage dem. Så det er et direkte proporsjonalt forhold.

La x kg metall være nødvendig for å lage 12 deler. Vi utgjør proporsjonen (i retningen fra begynnelsen av pilen til slutten):

12:10=x:3,5

For å finne må vi dele produktet av de ekstreme leddene med det kjente mellomleddet:

Dette betyr at det kreves 4,2 kg metall.

Svar: 4,2 kg.

2) 1680 rubler ble betalt for 15 meter stoff. Hvor mye koster 12 meter slikt stoff?

(1. I den utfylte kolonnen setter du pilen i retning fra det største tallet til det minste.

2. Jo mindre stoff du kjøper, jo mindre må du betale for det. Så det er et direkte proporsjonalt forhold.

3. Derfor er den andre pilen rettet i samme retning som den første).

La x rubler koste 12 meter stoff. Vi utgjør andelen (fra begynnelsen av pilen til slutten):

15:12=1680:x

For å finne det ukjente ekstreme medlemmet av proporsjonen, deler vi produktet av midtleddet med det kjente ekstreme medlemmet av proporsjonen:

Så 12 meter koster 1344 rubler.

Svar: 1344 rubler.

6. klasse

LEKSJON 12 Kapittel 1 . Forhold, proporsjoner, prosenter (26 timer)

Emne . Direkte og omvendt proporsjon. C/r nr. 3.

Mål. P teste elevenes kunnskaper om emnet proporsjoner. Definer direkte proporsjonale og omvendt proporsjonale mengder. Lær å løse problemer om dette emnet.

I løpet av timene.

Alternativ 1. Alternativ 1.

Løs proporsjon: Løs proporsjon:

1)
, 1)
,

,
,

. Svar:
.
. Svar:
.

2) , 2)
,

,
,

. Svar: .
. Svar:
.

3)
, 3)
,

,
,

. Svar:
.
. Svar:
.

Forklaring av nytt materiale.

Direkte og omvendt proporsjon.

multimediatavle. Elektronisk søknad. Katalog. Animasjon. Strømforbruk i leiligheten. (1 min 31 sek)

(lysbilde 2). La pennen koste 3 stk. (dette er prisen). Da er det enkelt å beregne kostnaden for to, tre osv. håndtak i henhold til formelen:.

Antall håndtak, stk.

Kostnad, r.

Merk at med en økning i antall penner flere ganger, øker kostnadene med samme beløp.

Det sies at kostnaden ved et kjøp er direkte proporsjonal med antall kjøpte penner.

(lysbilde 3). Definisjon. De to mengdene kallesdirekte proporsjonal , hvis når en av dem økes flere ganger, økes den andre med samme beløp.

Hvis to mengder er direkte proporsjonale, er forholdene mellom de tilsvarende verdiene av disse mengdene like.

(lysbilde 4). Eksempler på direkte proporsjonale mengder:

1. Omkretsen av en firkant og lengden på en side av en firkant er direkte proporsjonale.
.

2. Hvis bevegelseshastigheten er konstant, er tilbakelagt distanse og bevegelsestidspunktet direkte proporsjonale.
.

3. Hvis arbeidsproduktiviteten er konstant, er mengden utført arbeid og tid direkte proporsjonale.
.

4. Inntektene til kinokassen er direkte proporsjonal med antall solgte billetter til samme pris. Etc.

(lysbilde 5). Oppgave 1 . For 5 notatbøker i et bur betalte 40 rubler. Hvor mye vil de betale for 12 av de samme notatbøkene?

Antall kostnad

5 notatbøker - 40 rubler. Direkte proporsjonalitet

12 notatbøker - x r.

Løsning.

Fordi mengder direkte proporsjonal er lik

96 s. betale for 12 notatbøker. Svar: 96 s.

(lysbilde 6). De ønsker å kjøpe for 120 rubler. flere av de samme bøkene. Da er det enkelt å beregne antall bøker for 10 rubler, 20 rubler, 30 rubler. 40 r. etc. i henhold til formelen:
.

Pris, r.

Antall bøker, stk.

Merk at med en økning i prisen på en bok flere ganger, reduseres antallet med samme beløp. .

De sier at antall kjøpte bøker omvendt prisen deres.

(lysbilde 7). Definisjon. De to mengdene kallesomvendt proporsjonal , hvis når en av dem økes flere ganger, reduseres den andre med samme mengde.

Hvis mengder er omvendt proporsjonale, er forholdet mellom verdiene til en mengde lik det omvendte forholdet mellom verdiene til den andre mengden.

(lysbilde 8). Eksempler på omvendt proporsjonale mengder:

1. Hvis tilbakelagt avstand er konstant, er bevegelseshastigheten og bevegelsestiden omvendt proporsjonale.
.

2. Hvis arbeidsproduktiviteten er konstant, er mengden utført arbeid og tid omvendt proporsjonale.
.

(lysbilde 9). Oppgave 2 . 6 arbeidere fullfører jobben på 5 timer. Hvor lang tid vil det ta 3 arbeidere å fullføre denne jobben?

Antall tid

6 arbeidere - 5 timer Omvendt proporsjonalitet

3 arbeidere - x t

Løsning.

Fordi mengder omvendt proporsjonal, deretter forholdene mellom to vilkårlige verdier av samme mengde er lik omvendt forholdet mellom de tilsvarende verdiene for en annen mengde.

Om 10 timer skal 3 arbeidere klare dette arbeidet. Svar: 10 timer

Algoritme for å løse problemer.

Skriv kort notat og bestemme typen proporsjonalitet. (Verdiene med samme navn er skrevet under hverandre)

Sett opp en proporsjon.

Hvis to mengder direkte proporsjonal, da er forholdet mellom to vilkårlige verdier av den første mengden lik forholdet mellom de to tilsvarende verdiene for den andre mengden.
Hvis to mengder omvendt proporsjonal, da er forholdet mellom to vilkårlige verdier av en mengde lik det inverse forholdet mellom de tilsvarende verdiene til den andre mengden.

Finn det ukjente leddet til andelen.

Analyser resultatet og skriv ned svaret.

Løsning av øvelser.

Uch.s.21 nr. 75 (a). 100 g løsning inneholder 4 g salt. Hvor mye salt er det i 300 g av denne løsningen?

Saltløsning

100 g - 4 g Direkte proporsjonalitet

300 g - x g

Løsning.

Fordi mengder direkte proporsjonal, deretter forholdene mellom to vilkårlige verdier av den første mengden er lik forholdet mellom to tilsvarende verdier av den andre mengden.

12 g salt er inneholdt i 300 g av denne løsningen. Svar: 12 g.

Uch.s.22 nr. 88. Noe arbeid vil bli utført av 6 personer i løpet av 18 dager. Om hvor mange dager vil 9 personer gjøre den samme jobben, og jobbe like vellykket som de første?

Antall tid

6 personer - 18 dager. Omvendt proporsjonalitet kg jernrik malm. Hvor mye malm erstatter 4 tonn skrap?

Hjemmelekser. § 1.5 (lær teorien). nr. 73, 75(b), 77(a), 84(b).

Matematikk er grunnlaget og dronningen av alle vitenskaper, og jeg råder deg til å bli venn med den, min venn. Henne kloke lover hvis du gjør det, vil du øke kunnskapen din, du vil bruke den. Kan du svømme i havet, kan du fly i verdensrommet. Du kan bygge et hus for mennesker: Det vil stå i hundre år. Ikke vær lat, jobb, prøv, Å kjenne saltet av vitenskaper. Prøv å bevise alt, men utrettelig.

3 Valg av et svar med den tilsvarende bokstaven i det skjulte ordet: 17-c; 7-1; 0,1-i; 14-s; 0,2-a; 25-k. Finn de manglende tallene og finn ut ordet: 3+37:5 3. 0.3 +4.1: .45: .7 5.6:0.7:2 0 +4.8:26 ord.9 50.050.1 0.050.337 80,45,20 ,2 sila Dette ordet er makt. Leksjonens motto: Makt ligger i kunnskap! Jeg leter, så jeg lærer!

En direkte proporsjonal relasjon er en slik avhengighet av mengder der ... En invers proporsjonal sammenheng er en slik avhengighet av mengder der ... For å finne det ukjente ekstreme medlemmet av andelen ... Midtleddet av andelen er . .. Andelen er sann hvis ...

C) ... når en verdi øker flere ganger, reduseres den andre med samme mengde. X) ... produktet av de ekstreme leddene er lik produktet av de midterste leddene i andelen. A) ... når en verdi økes flere ganger, øker den andre med samme beløp. P) ... du må dele produktet av de midterste medlemmene av andelen med det kjente ekstreme medlemmet. Y) ... når en verdi økes flere ganger, øker den andre med samme beløp. E) ... forholdet mellom produktet av de ekstreme leddene og det kjente gjennomsnittet

4. Bilens hastighet og tidspunktet for dens bevegelse er omvendt proporsjonale. 5. Bilens hastighet og dens tilbakelagte distanse er omvendt proporsjonal. 6. To størrelser kalles omvendt proporsjonale hvis, når en av dem dobles, den andre halveres.

La oss sjekke svarene:

Løsning. Antall bulldosere. 150 min. \u003d 2,5 timer Svar: om 2,5 timer Algoritme for å løse problemer for direkte og inverse proporsjonale avhengigheter: ukjent nummer betegnet med x. Betingelsen er skrevet i form av en tabell. Typen av avhengighet mellom mengder er etablert. Direkte proporsjonal avhengighet er indikert med like rettede piler, og omvendt proporsjonal avhengighet er indikert med motsatt rettede piler. Andelen er registrert. Et ukjent medlem er funnet.

Sjekk selv: Hvilke mengder kalles direkte proporsjonale? Gi eksempler på direkte proporsjonale mengder. Hvilke mengder kalles omvendt proporsjonale? Gi eksempler på omvendt proporsjonale mengder. Gi eksempler på mengder hvis avhengighet verken er direkte eller omvendt proporsjonal.

Hjemmelekser. P; 811; 812.

Sammendrag av leksjonen i algebra i klasse 9

Leksjonsemne: Definisjon av aritmetisk og geometrisk progresjon.

Formel for n'te medlem av aritmetikken og geometrien

progresjoner.

Leksjonstype : leksjonslæring nytt materiale

Hensikten med leksjonen:

Dannelse av begrepene aritmetisk og geometrisk progresjon som typer tallsekvenser; avledning av formelen til det n-te medlemmet av den aritmetiske og geometriske sekvensen.

Bekjentskap med den karakteristiske egenskapen til medlemmene i en aritmetisk og geometrisk progresjon.

Dannelse av elevenes ferdigheter til å bruke tilegnet kunnskap i problemløsning.

Leksjonens mål:

Pedagogisk: introduser begrepene aritmetisk og geometrisk progresjon; formler for det n'te medlem; karakteristisk egenskap som medlemmer av en aritmetisk og geometrisk progresjon har.

Utvikle: å øke den bevisste assimileringen av materialet gjennom opposisjon; utvikle evnen til å sammenligne matematiske begreper, finne likheter og forskjeller, se mønstre, resonnere ved analogi, utvikle hukommelse og logisk tenkning.

Pedagogisk: skape forutsetninger for utvikling kognitiv interesse til emnet.

Timeplan:

1. Organisering av begynnelsen av leksjonen, sette mål og mål for leksjonen.

2. Motivasjon for å studere emnet ("The Legend of the Chessboard")

3. Lære nytt stoff

4. Primær feste

5. Oppsummering av leksjonen

6. Lekser

I løpet av timene

1. Organisering av begynnelsen av timen.

Nevn emnet for leksjonen, formålet med leksjonen, oppgavene.

2. Motivasjon til å studere temaet.

"Legenden om sjakkbrettet".

Sjakk er et av de eldste spillene. Det har eksistert i mange århundrer, og det er ikke overraskende at legender er knyttet til det, hvis sannhet ikke kan verifiseres på grunn av tidsforskriften. Jeg vil fortelle en av disse legendene. For å forstå det, trenger man ikke vite hvordan man spiller sjakk i det hele tatt - det er nok å vite at spillet foregår på et brett delt inn i 64 celler (vekselvis svart og hvitt).

Sjakkspillet ble oppfunnet i India, og da den indiske kongen Sheram møtte henne, var han henrykt over hennes vidd og mangfoldet av mulige posisjoner i det. Etter å ha fått vite at spillet ble oppfunnet av en av hans undersåtter, beordret kongen å ringe ham for å personlig belønne ham for en vellykket oppfinnelse.

Oppfinneren - han het Seta - dukket opp ved herskerens trone. Han var en beskjedent kledd vitenskapsmann som fikk sitt levebrød fra studentene sine.

Jeg vil belønne deg tilstrekkelig, Seth, for det fantastiske spillet du kom opp med, sa kongen.

Vismannen bukket.

Jeg er rik nok til å oppfylle ditt mest dristige ønske, - fortsatte kongen.- Nevn belønningen som vil tilfredsstille deg, og du vil få den.

Seth var stille.

Ikke vær sjenert, - oppmuntret kongen ham. - Uttrykk ønsket ditt. Jeg sparer ingenting for å oppfylle det!

Stor er din godhet, min herre. Men gi meg tid til å tenke over svaret. I morgen, etter moden refleksjon, vil jeg kommunisere forespørselen min til deg.

Da Seta neste dag igjen dukket opp ved trontrappen, overrasket han kongen med den enestående beskjedenhet i forespørselen hans.

Herre, - sa Seth, - beordre meg å gi meg ett hvetekorn til den første cellen på sjakkbrettet.

Et enkelt hvetekorn? - Kongen ble overrasket.

Ja mester. For den andre cellen, beordre å gi ut to korn, for den tredje - fire, for den fjerde - 8, for den femte - 16, for den sjette - 32 ...

Nok! - Kongen avbrøt ham med irritasjon - Du vil motta kornene dine for alle 64 cellene på brettet, etter ditt ønske: for hver dobbelt så mye som den forrige. Men vit at forespørselen din ikke er min generøsitet verdig. Ved å be om en så ubetydelig belønning, ser du respektløst bort fra min nåde. Virkelig som en lærer du kan vise beste eksempel respekt for godheten til sin suveren. Gå! Mine tjenere skal bringe deg en sekk hvete.

Seta smilte, forlot salen og ventet ved portene til palasset.

Ved middagen husket kongen sjakkens oppfinner og sendte for å finne ut om den hensynsløse Seth allerede hadde tatt fra seg hans elendige belønning.

Herre, - var svaret, - din ordre blir oppfylt. Rettsmatematikere beregner antall korn som skal følges.

Kongen rynket pannen – han var ikke vant til at ordrene hans ble utført så sakte.

Om kvelden, da han la seg, spurte kong Sheram nok en gang om Seta hadde forlatt palassgjerdet med hvetesekken sin.

Herre, - svarte de ham, - matematikerne dine jobber utrettelig og håper å fullføre tellingen før daggry.

Hvorfor utsetter de dette? - utbrøt kongen sint.- I morgen, før jeg våkner, må alt til siste korn gis til Seth. Jeg bestiller ikke to ganger!

Om morgenen fikk kongen beskjed om at formannen for hoffmatematikerne ba om å få høre på en viktig rapport. Kongen beordret å bringe ham inn.

Før du snakker om saken din," kunngjorde Sheram, "vil jeg høre om Seta endelig har mottatt den ubetydelige belønningen han tildelte seg selv.

Av denne grunn våget jeg å dukke opp for deg på en så tidlig "time," svarte den gamle mannen. "Vi telte samvittighetsfullt hele antallet korn som Seth ønsker å motta. Antallet er så stort ...

Uansett hvor flott det er, - avbrøt kongen arrogant, - mine kornmagasiner blir ikke knappe! En belønning har blitt lovet og må gis...

Det er ikke i din makt, herre, å oppfylle slike ønsker. I alle låvene dine er det ikke så mange korn som Seth forlangte. Det er heller ikke i hele rikets kornmagasiner. Det er ikke et slikt antall korn i hele jordens rom. Og hvis du vil gi den lovede belønningen uten å svikte, så beordre å gjøre de jordiske kongedømmene om til dyrkbare åkre, beordre å tørke opp hav og hav, beordre å smelte isen og snøen som dekker de fjerne nordlige ødemarkene. La hele plassen deres være fullstendig sådd med hvete. Og alt som er født i disse feltene, beordre å gi til Seth. Da vil han få sin belønning.

Med forundring lyttet kongen til den eldstes ord.

Gi meg det monstrøse tallet, sa han ettertenksomt.

Atten kvintillioner fire hundre og førtiseks kvadrillioner syv hundre og førti-fire billioner sytti-tre milliarder syv hundre ni millioner fem hundre og femti-en tusen seks hundre og femten, O Herre! (18 446 744 073 709 551 615)

Slik er legenden. Hvorvidt det som her fortelles virkelig skjedde vites ikke, men at belønningen tradisjonen taler om må ha vært uttrykt i nettopp et slikt tall.

Hvis du ønsker å forestille deg hele omfanget av denne numeriske giganten, anslå hvilken størrelse låve vil være nødvendig for å romme et slikt antall korn. Det er kjent at kubikkmeter hvete inneholder omtrent 15 millioner korn. Dette betyr at belønningen for en sjakkoppfinner burde ha tatt opp ca

12 000 000 000 000 kubikkmeter m, eller 12.000 kubikkmeter. km. Med en låvehøyde på 4 m og en bredde på 10 m, ville lengden måtte strekke seg over 300 000 000 km, det vil si dobbelt så langt som fra jorden til solen!

Selvfølgelig var den indiske kongen ikke i stand til å utstede en slik pris.

3. Presentasjon av nytt stoff.

Gi hver elev et ark med teoretisk materiale i form av en tabell som viser forskjellene i definisjonene av aritmetiske og geometriske progresjoner, deres karakteristiske egenskaper, formler for å finne det n-te leddet, formler for å finne summen av de n-første leddene og for en geometrisk progresjon, er formelen for summen av en uendelig avtagende geometrisk progresjon gitt.

Aritmetisk progresjon(a/p)

Geometrisk progresjon(g/n)

Def. En aritmetisk progresjon er en sekvens av tall, hvor hvert ledd, fra den andre, er lik den forrige, lagt til med samme tall.

For eksempel: -6; -fire; -2; 0; 2; fire;...

6; = -4; = -2; =0; = 2…

Def. En geometrisk progresjon er en sekvens av tall som ikke er null, hvor hvert ledd, fra det andre, er lik den forrige, multiplisert med det samme tallet som ikke er lik null.

For eksempel: 5; femten; 45; 135, ...

5; =15; =45; =135; …

d = 2 – forskjell a/n

d = -;

d=-

q = 3 - nevner g/n

q = ;

Formel for n'te medlem av a / s

D = + 2d;

D = + 3d; = + 4d;

Formel for det n-te medlemmet av g / p

Q = ;