Formler for aritmetiske og geometriske progresjoner 9. Algebratime «Aritmetiske og geometriske progresjoner» (9. klasse)

Hensikten med spillet :

Generalisering og systematisering av elevenes kunnskap om dette emnet.
Gjøre elevene kjent med historisk materiale.

Utstyr: plakat for spillet "Progresio - moving forward."

Alle elevene er delt inn i fem grupper + råd av vise menn

Det tjuende århundre er over.
Hvor strever en person?
Rom og hav har blitt utforsket,
Strukturen til stjernene og hele jorden.
Men det kaller matematikere
Kjent slagord:
"Progressio - går fremover."

I dag skal vi ha råd i klassen vår – Vismannsrådet. Vismennene er elever som sitter i grupper i et klasserom. Og vismennene som satt ved dette bordet.

Kjenner du dem igjen?

Sitter ved bordet: Archimedes, Gauss, Magnitsky.

Hvem fant formelen for summen av kvadrater?
Og har du kommet for å utvikle deg på den rette veien?
Matematiker og fysiker. Jeg er Archimedes.
Det er mange legender om livet mitt.

OM! Jeg er Karl Gauss! Jeg fant umiddelbart summen av alt naturlige tall fra 1 til 100 som barneskoleelev.

Magnitsky. Mine herrer! Jeg har æren av å presentere meg selv. Jeg er Leonty Filippovich Magnitsky, skaperen av den første læreboken "Aritmetikk".

Lærer. Fortell meg, folkens, hvorfor samlet disse forskerne seg plutselig ved ett bord? Hvilket spørsmål i matematikk forener dem? Hvis du ikke skjønte det, se nøye på scenen.

Gammel indisk legende

En hinduisk konge og en tjener dukker opp i klasserommet.

Tsar. Jeg, hindukongen Sheram, har lært meg sjakkspillet og er fornøyd med dets vidd og variasjonen av posisjoner i det. Tjener, la oss kalle oppfinneren Seta. Jeg ønsker å belønne deg skikkelig, Seth, for det fantastiske spillet du kom opp med. Nevn en belønning som vil tilfredsstille deg, og du vil motta den.

Seth. Overlord. Beordre å gi meg ett hvetekorn til den første ruten på sjakkbrettet

Tsar. Et enkelt hvetekorn?

Seth. Ja, herre, bestill 2 korn for den andre cellen, 4 for den tredje, 8 for den fjerde, 16 for den femte, og så videre til den 64. cellen.

Kong Sheram lo.

Lærer. O vismenn i 9. klasse, la oss rådføre deg. Skulle kongen le?

Skriv på tavlen: 1,2,4,8,16,….. S 64 – ?

Studentene bestemmer. b 1= 1, q=2, n=64, S 64 = 2 64 – 1.

Lærer. Hvor stort er dette tallet? Hvem kan forklare dette?

Arkimedes. Den klokeste! Hvis tsaren klarte å så hvete på hele jordens overflate, inkludert hav, hav, fjell, ørkener, Arktis og Antarktis, og få en tilfredsstillende høsting, ville han kanskje kunne betale seg om fem år.

Gauss. Matematikk er eksakt vitenskap. (Skriver 18 446 744 073 709 551 615 på tavlen). 18 kvintillioner 446 kvadrillioner 744 trillioner 73 milliarder 709 millioner 551 tusen 615.

Magnitsky. Mine herrer, vismenn i 9. klasse! Mine samtidige vil si at S 64 18,5 10 18. Riktignok innrømmer jeg for deg at i læreboken min "Aritmetikk", utgitt for 200 år siden, hvor barn studerte i et halvt århundre, er det mange problemer om emnet "Progresjon", men jeg løste noen av dem selv med store vanskeligheter, siden jeg ennå ikke hadde funnet alle formlene som forbinder mengdene som er inkludert i dem.

Under ripen av en penn på et ark.
Fyll ut disse arkene!
Måtte våre bestrebelser hjelpe deg!

Arbeidsark deles ut for å teste kunnskap om teorien, det vil si at den grunnleggende disposisjonen om emnet "Progresjon" gjenopprettes.

Elevene fyller ut tabellen. Følgende tabell vises på tavlen:

Progresjon	Aritmetikk a n	Geometrisk b n
Definisjon		b n+1 =b n q (q0,q1)
Formel n første ledd	a n =a 1 + (n-1)d
Summen av de første n leddene i progresjonen	S n =	S n = Og vårt søk etter dem ble verdsatt. Ordene skal nå kobles sammen, Hvilken setning kan de kombineres til? "Matematikk er dronningen av vitenskaper, aritmetikk er dronningen av matematikk" O tidens vise menn! Du kunne ikke vært mer vennlig. Rådet er ferdig i dag, Men alle burde vite: Kunnskap, utholdenhet, arbeid De vil føre til fremgang i livet!

Å forstå mange emner i matematikk og fysikk er assosiert med kunnskap om egenskapene til tallserier. Skolebarn i 9. klasse, når de studerer emnet "Algebra", vurdere en av de viktige sekvensene av tall - en aritmetisk progresjon. Vi presenterer de grunnleggende formlene for aritmetisk progresjon (9. klasse), samt eksempler på deres bruk for å løse problemer.

Algebraisk eller aritmetisk progresjon

Nummerserien som vil bli omtalt i denne artikkelen heter to på forskjellige måter presentert i tittelen til dette avsnittet. Så med aritmetisk progresjon i matematikk mener vi følgende nummerserie, der alle to tilstøtende tall avviker med samme mengde, kalt forskjellen. Tall i en slik serie er vanligvis betegnet med bokstaver med en lavere heltallsindeks, for eksempel en 1, en 2, en 3 og så videre, hvor indeksen angir nummeret på elementet i serien.

Når vi tar i betraktning definisjonen ovenfor av aritmetisk progresjon, kan vi skrive følgende likhet: a 2 -a 1 =...=a n -a n-1 =d, her er d forskjellen til den algebraiske progresjonen og n er et hvilket som helst heltall . Hvis d>0, kan vi forvente at hvert påfølgende medlem av serien vil være større enn det forrige, i dette tilfellet snakker vi om en økende progresjon. Hvis d<0, тогда предыдущий член будет больше последующего, то есть ряд будет убывать. Частный случай возникает, когда d = 0, то есть ряд представляет собой последовательность, в которой a 1 =a 2 =...=a n .

Aritmetiske progresjonsformler (9. klasse skole)

Serien med tall det er snakk om, siden den er ordnet og adlyder en matematisk lov, har to egenskaper som er viktige for bruken:

For det første, når du bare kjenner to tall a 1 og d, kan du finne et hvilket som helst medlem av sekvensen. Dette gjøres ved å bruke følgende formel: a n = a 1 +(n-1)*d.
For det andre, for å beregne summen av de første n leddene, er det ikke nødvendig å legge dem til i rekkefølge, siden du kan bruke følgende formel: S n = n*(a n +a 1)/2.

Den første formelen er lett å forstå, siden den er en direkte konsekvens av det faktum at hvert medlem av serien under vurdering skiller seg fra naboen med samme forskjell.

Den andre formelen for en aritmetisk progresjon kan fås ved å merke seg at summen a 1 +a n viser seg å være ekvivalent med summene a 2 +a n-1, a 3 +a n-2 og så videre. Faktisk, siden a 2 = d+a 1, a n-2 = -2*d+a n, a 3 = 2*d+a 1, og a n-1 = -d+a n, og deretter erstatte disse uttrykkene i tilsvarende beløp, finner vi at de vil være de samme. Faktoren n/2 i den 2. formelen (for S n) vises på grunn av at summer av typen a i+1 +a n-i viser seg å være nøyaktig n/2, her er i et heltall fra 0 til n /2 -1.

I følge overlevende historiske bevis ble formelen for summen S n først oppnådd av Carl Gauss (den berømte tyske matematikeren) da han fikk i oppgave av sin skolelærer å legge til de første 100 tallene.

Eksempel på problem #1: Finn forskjellen

Problemer der spørsmålet stilles som følger: å kjenne formlene til en aritmetisk progresjon, hvordan finne d (d), er de enkleste som bare kan være for dette emnet.

La oss gi et eksempel: gitt en numerisk sekvens -5,-2, 1, 4, ..., er det nødvendig å bestemme forskjellen, det vil si d.

Dette kan gjøres så enkelt som mulig: du må ta to elementer og trekke det minste fra det større. I dette tilfellet har vi: d = -2 - (-5) = 3.

For å være sikker på svaret mottatt, anbefales det å sjekke de gjenværende forskjellene, siden den presenterte sekvensen kanskje ikke tilfredsstiller den algebraiske progresjonsbetingelsen. Vi har: 1-(-2)=3 og 4-1=3. Disse dataene indikerer at vi fikk riktig resultat (d=3) og beviste at tallrekka i problemformuleringen virkelig representerer en algebraisk progresjon.

Eksempeloppgave nr. 2: finn forskjellen ved å kjenne to ledd i progresjonen

La oss vurdere et annet interessant problem, som spør hvordan du finner forskjellen. I dette tilfellet må den aritmetiske progresjonsformelen brukes for n'te ledd. Så, oppgaven: gitt det første og femte tallet i en serie som tilsvarer alle egenskapene til en algebraisk progresjon, for eksempel, er disse tallene a 1 = 8 og a 5 = -10. Hvordan finne forskjellen d?

Du bør begynne å løse dette problemet ved å skrive den generelle formen for formelen for det n-te elementet: a n = a 1 +d*(-1+n). Nå kan du gå på to måter: enten erstatte tallene umiddelbart og jobbe med dem, eller uttrykke d, og deretter gå videre til spesifikke en 1 og en 5. Ved å bruke den siste metoden får vi: a 5 = a 1 +d*(-1+5) eller a 5 = 4*d+a 1, som betyr at d = (a 5 -a 1)/4. Nå kan du trygt erstatte de kjente dataene fra betingelsen og få det endelige svaret: d = (-10-8)/4 = -4,5.

Merk at i dette tilfellet viste progresjonsforskjellen seg å være negativ, det vil si at det er en avtagende tallrekke. Det er nødvendig å ta hensyn til dette faktum når du løser problemer for ikke å forvirre tegnene "+" og "-". Alle formlene gitt ovenfor er universelle, så de bør alltid følges uavhengig av tegnet på tallene som operasjonene utføres med.

Et eksempel på å løse oppgave nr. 3: finn a1, kjenne forskjellen og elementet

La oss endre problemformuleringen litt. La det være to tall: forskjellen d=6 og det 9. elementet i progresjonen a 9 = 10. Hvordan finne a1? Formlene for aritmetisk progresjon forblir uendret, la oss bruke dem. For tallet a 9 har vi følgende uttrykk: a 1 +d*(9-1) = a 9. Derfra får vi lett det første elementet i serien: a 1 = a 9 -8*d = 10 - 8*6 = -38.

Et eksempel på å løse oppgave nr. 4: finn a1, kjennskap til to elementer

Denne versjonen av problemet er en komplisert versjon av den forrige. Essensen er den samme, det er nødvendig å beregne en 1, men nå er forskjellen d ikke kjent, og i stedet for den er et annet element i progresjonen gitt.

Et eksempel på denne typen problemer er følgende: finn det første tallet i en sekvens som er kjent for å være en aritmetisk progresjon og at dens 15. og 23. element er henholdsvis 7 og 12.

Det er nødvendig å løse dette problemet ved å skrive et uttrykk for det n-te leddet for hvert element kjent fra betingelsen, vi har: a 15 = d*(15-1)+a 1 og a 23 = d*(23-1) +a 1. Som du ser har vi fått to lineære ligninger som må løses for a 1 og d. La oss gjøre dette: trekke den første fra den andre ligningen, så får vi følgende uttrykk: a 23 -a 15 = 22*d - 14*d = 8*d. Når den siste ligningen ble utledet, ble verdiene til en 1 utelatt fordi de kanselleres når de ble trukket fra. Ved å erstatte de kjente dataene finner vi forskjellen: d = (a 23 -a 15)/8 = (12-7)/8 = 0,625.

Verdien av d må erstattes i en hvilken som helst formel for et kjent element for å få det første leddet i sekvensen: a 15 = 14*d+a 1, hvorfra: a 1 =a 15 -14*d = 7-14* 0,625 = -1,75.

La oss sjekke resultatet som er oppnådd; for å gjøre dette finner vi et 1 til det andre uttrykket: a 23 = d*22+a 1 eller a 1 = a 23 -d*22 = 12 - 0,625*22 = -1,75.

Et eksempel på å løse oppgave nr. 5: finn summen av n elementer

Som du kan se, ble det til dette tidspunktet bare brukt én aritmetisk progresjonsformel (9. klasse) for løsningen. Nå presenterer vi et problem, hvis løsninger krever kunnskap om den andre formelen, det vil si for summen S n.

Det er følgende rekkefølge med tall -1,1, -2,1, -3,1,..., du må beregne summen av de første 11 elementene.

Fra denne serien er det tydelig at den er synkende, og en 1 = -1,1. Differansen er lik: d = -2,1 - (-1,1) = -1. La oss nå definere det 11. leddet: a 11 = 10*d + a 1 = -10 + (-1,1) = -11,1. Etter å ha fullført de forberedende beregningene, kan du bruke formelen nevnt ovenfor for beløpet, vi har: S 11 =11*(-1,1 +(-11,1))/2 = -67,1. Siden alle leddene var negative tall, har summen deres også tilsvarende fortegn.

Et eksempel på å løse oppgave nr. 6: finn summen av elementer fra n til m

Kanskje er denne typen problemer det vanskeligste for de fleste skolebarn. La oss gi et typisk eksempel: gitt en serie med tall 2, 4, 6, 8..., må du finne summen fra det 7. til det 13. leddet.

Formler aritmetisk progresjon(9. klasse) brukes nøyaktig likt som i alle oppgaver tidligere. Det anbefales å løse dette problemet trinn for trinn:

Finn først summen av 13 ledd ved å bruke standardformelen.
Regn deretter ut denne summen for de første 6 elementene.
Etter dette trekker du 2. fra 1. beløp.

La oss komme til løsningen. Akkurat som i forrige tilfelle vil vi utføre forberedende beregninger: a 6 = 5*d+a 1 = 10+2 = 12, a 13 = 12*d+a 1 = 24+2 = 26.

La oss regne ut to summer: S 13 = 13*(2+26)/2 = 182, S 6 = 6*(2+12)/2 = 42. Vi tar differansen og får ønsket svar: S 7-13 = S 13 - S 6 = 182-42 = 140. Merk at når denne verdien ble oppnådd, var det summen av 6 elementer av progresjonen som ble brukt som subtrahend, siden det 7. leddet er inkludert i summen S 7-13.

Aritmetiske og geometriske progresjoner

Teoretisk informasjon

Teoretisk informasjon

	Aritmetisk progresjon	Geometrisk progresjon
Definisjon	Aritmetisk progresjon en n er en sekvens der hvert medlem, fra det andre, er lik det forrige medlemmet lagt til det samme tallet d (d- progresjonsforskjell)	Geometrisk progresjon b n er en sekvens av tall som ikke er null, hvor hvert ledd, fra det andre, er lik det forrige leddet multiplisert med det samme tallet q (q- nevner for progresjon)
Gjentakelsesformel	For enhver naturlig n a n + 1 = a n + d	For enhver naturlig n b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
Formel n-te ledd	a n = a 1 + d (n – 1)	b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0
Karakteristisk egenskap
Summen av de første n leddene

Eksempler på oppgaver med kommentarer

Oppgave 1

I aritmetisk progresjon ( en n) en 1 = -6, en 2

I henhold til formelen til det n-te leddet:

en 22 = en 1+ d (22 - 1) = en 1+ 21 d

I henhold til tilstanden:

en 1= -6, da en 22= -6 + 21 d.

Det er nødvendig å finne forskjellen i progresjoner:

d = en 2 – en 1 = -8 – (-6) = -2

en 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Svar: en 22 = -48.

Oppgave 2

Finn det femte leddet i den geometriske progresjonen: -3; 6;....

1. metode (ved hjelp av n-term formel)

I henhold til formelen for det n-te leddet i en geometrisk progresjon:

b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

Fordi b 1 = -3,

Andre metode (ved hjelp av tilbakevendende formel)

Siden nevneren for progresjonen er -2 (q = -2), så:

b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Svar: b 5 = -48.

Oppgave 3

I aritmetisk progresjon ( a n ) a 74 = 34; en 76= 156. Finn det syttifemte leddet i denne progresjonen.

For en aritmetisk progresjon har den karakteristiske egenskapen formen .

Av dette følger:

La oss erstatte dataene i formelen:

Svar: 95.

Oppgave 4

I aritmetisk progresjon ( a n ) a n= 3n - 4. Finn summen av de første sytten leddene.

For å finne summen av de første n leddene i en aritmetisk progresjon, brukes to formler:

Hvilken av dem er mer praktisk å bruke i dette tilfellet?

Ved betingelse er formelen for det n-te leddet i den opprinnelige progresjonen kjent ( en n) en n= 3n - 4. Du kan finne umiddelbart og en 1, Og en 16 uten å finne d. Derfor vil vi bruke den første formelen.

Svar: 368.

Oppgave 5

I aritmetisk progresjon( en n) en 1 = -6; en 2= -8. Finn det tjueandre leddet i progresjonen.

I henhold til formelen til det n-te leddet:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = en 1+ 21d.

Etter betingelse, hvis en 1= -6, da en 22= -6 + 21d. Det er nødvendig å finne forskjellen i progresjoner:

d = en 2 – en 1 = -8 – (-6) = -2

en 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Svar: en 22 = -48.

Oppgave 6

Flere påfølgende ledd for den geometriske progresjonen er skrevet:

Finn leddet for progresjonen merket x.

Ved løsning skal vi bruke formelen for n'te ledd b n = b 1 ∙ q n - 1 for geometriske progresjoner. Første termin av progresjonen. For å finne nevneren for progresjonen q, må du ta noen av de gitte leddene i progresjonen og dele på den forrige. I vårt eksempel kan vi ta og dele med. Vi får at q = 3. I stedet for n erstatter vi 3 i formelen, siden det er nødvendig å finne det tredje leddet i en gitt geometrisk progresjon.

Ved å erstatte de funnet verdiene i formelen får vi:

Svar:.

Oppgave 7

Fra de aritmetiske progresjonene gitt av formelen til det n-te leddet, velg den som betingelsen er oppfylt for en 27 > 9:

Siden den gitte betingelsen må være oppfylt for den 27. terminen av progresjonen, erstatter vi 27 i stedet for n i hver av de fire progresjonene. I den 4. progresjonen får vi:

Svar: 4.

Oppgave 8

I aritmetisk progresjon en 1= 3, d = -1,5. Spesifiser den største verdien av n som ulikheten gjelder for en n > -6.

Algebra leksjonsnotater i 9. klasse

Leksjonsemne: Definisjon av aritmetisk og geometrisk progresjon.

Aritmetisk og geometrisk formel for n'te ledd

progresjon.

Leksjonstype : leksjon i å lære nytt materiale

Mål for leksjonen:

Dannelse av begrepene aritmetisk og geometrisk progresjon, som typer numeriske sekvenser; avledning av formelen for det n-te leddet i en aritmetisk og geometrisk sekvens.

Introduksjon til de karakteristiske egenskapene til medlemmer av en aritmetisk og geometrisk progresjon.

Dannelse av elevenes ferdigheter til å bruke tilegnet kunnskap ved problemløsning.

Leksjonens mål:

Pedagogisk: introduser begrepene aritmetisk og geometrisk progresjon; nth term formler; en karakteristisk egenskap som medlemmer av aritmetiske og geometriske progresjoner har.

Utviklingsmessig: øke bevisst assimilering av materiale gjennom kontrast; utvikle evnen til å sammenligne matematiske begreper, finne likheter og forskjeller, se mønstre, resonnere ved analogi, utvikle hukommelse og logisk tenkning.

Pedagogisk: legge forholdene til rette for utvikling av kognitiv interesse for faget.

Leksjonsplan:

1. Organisere begynnelsen av leksjonen, sette mål og mål for leksjonen.

2. Motivasjon for å studere emnet ("The Legend of the Chessboard")

3. Lære nytt stoff

4. Primær konsolidering

5. Oppsummering av leksjonen

6. Lekser

Leksjonsfremgang

1. Organisering av begynnelsen av timen.

Nevn emnet for leksjonen, formålet med leksjonen, de tildelte oppgavene.

2. Motivasjon til å studere temaet.

"Legenden om sjakkbrettet."

Sjakk er et av de eldste spillene. Det har eksistert i mange århundrer, og det er ikke overraskende at legender er knyttet til det, hvis sannhet ikke kan verifiseres på grunn av lang tid. Jeg vil fortelle deg en av disse legendene. For å forstå det, trenger du ikke å vite hvordan du spiller sjakk i det hele tatt - det er nok å vite at spillet foregår på et brett delt inn i 64 ruter (vekselvis svart og hvitt).

Sjakkspillet ble oppfunnet i India, og da den indiske kongen Sheram ble kjent med det, var han henrykt over dets vidd og mangfoldet av posisjoner som var mulig i det. Etter å ha fått vite at spillet ble oppfunnet av en av hans undersåtter, beordret kongen å ringe ham for å belønne ham personlig for hans vellykkede oppfinnelse.

Oppfinneren - han het Seth - kom til herskerens trone. Han var en beskjedent kledd lærd som fikk levebrødet fra studentene sine.

"Jeg ønsker å belønne deg tilstrekkelig, Seth, for det fantastiske spillet du kom opp med," sa kongen.

Vismannen bukket.

«Jeg er rik nok til å oppfylle ditt villeste ønske,» fortsatte kongen «Nevn belønningen som vil tilfredsstille deg, og du vil motta den.»

Seta var stille.

«Ikke vær redd,» oppmuntret kongen ham. Jeg vil ikke spare på noe for å oppfylle det!

Stor er din godhet, herre. Men gi deg selv tid til å tenke over svaret ditt. I morgen, etter moden refleksjon, vil jeg fortelle deg min forespørsel.

Da Seta neste dag igjen dukket opp ved trontrappen, overrasket han kongen med den enestående beskjedenhet i forespørselen hans.

"Overlord," sa Seth, "beordre meg til å gi ett hvetekorn for den første ruten på sjakkbrettet."

Et enkelt hvetekorn? - Kongen ble overrasket.

Ja, herre. Bestill to korn for den andre cellen, fire for den tredje, 8 for den fjerde, 16 for den femte, 32 for den sjette ...

Nok! - Kongen avbrøt ham med irritasjon - Du vil motta kornene dine for alle 64 rutene på brettet, etter ditt ønske: for hver enkelt dobbelt så mye som den forrige. Men vit at forespørselen din ikke er min generøsitet verdig. Ved å be om en så ynkelig belønning, ser du respektløst bort fra min nåde. Sannelig, som lærer kan du være et bedre eksempel på respekt for godheten til din suveren. Gå! Mine tjenere vil bringe deg en pose hvete.

Seta smilte, forlot salen og begynte å vente ved portene til palasset.

Under middagen husket kongen oppfinneren av sjakken og sendte for å finne ut om den hensynsløse Seth allerede hadde tatt bort hans ynkelige belønning.

"Overlord," var svaret, "ordren din blir utført." Rettsmatematikere beregner antall korn som skal følges.

Kongen rynket pannen – han var ikke vant til at ordrene hans ble utført så sakte.

Om kvelden, da han la seg, spurte kong Sheram nok en gang hvor lenge siden Seth og hveteposen hans hadde forlatt palassgjerdet.

"Herre," svarte de ham, "dine matematikere jobber utrettelig og håper å fullføre utregningen før daggry.

Hvorfor utsetter de denne saken?! - utbrøt kongen sint: "I morgen, før jeg våkner, må hvert eneste korn gis til Sethe." Jeg bestiller ikke to ganger!

Om morgenen ble kongen informert om at sjefen for hoffmatematikere ba om å høre på en viktig rapport. Kongen beordret ham å bli hentet inn.

"Før du snakker om saken din," kunngjorde Sheram, "jeg vil høre om Sethe endelig har fått den ubetydelige belønningen han tildelte seg selv."

"Av denne grunn våget jeg å dukke opp for deg på en så tidlig time," svarte den gamle mannen "Vi regnet samvittighetsfullt ut hele mengden korn som Seth ønsker å motta.

Uansett hvor flott det er," avbrøt kongen arrogant, "mine kornmagasiner vil ikke bli knappe!" Belønningen er lovet og må gis...

Det er ikke i din makt, herre, å oppfylle slike ønsker. I alle låvene dine er det ikke så mange korn som Seth forlangte. Det er ikke engang i kornmagasinene i hele riket. Det er ikke et slikt antall korn i hele jordens rom. Og hvis du definitivt vil gi den lovede belønningen, så beordre at de jordiske rikene skal gjøres om til dyrkbare åkre, beordre hav og hav å bli drenert, beordre isen og snøen som dekker de fjerne nordlige ødemarkene som skal smeltes. La hele plassen deres være helt sådd med hvete. Og beordre at alt som er født i disse feltene skal gis til Sethe. Da vil han få sin belønning.

Kongen lyttet med forundring til den eldstes ord.

Fortell meg dette monstrøse nummeret,” sa han ettertenksomt.

Atten kvintillioner fire hundre førtiseks kvadrillioner syv hundre førti-fire trillioner sytti-tre milliarder syv hundre ni millioner fem hundre og femti-en tusen seks hundre og femten, Herre! (18 446 744 073 709 551 615)

Slik er legenden. Hvorvidt det som fortelles her virkelig skjedde er ukjent, men belønningen som legenden snakker om burde vært uttrykt i nettopp dette nummeret.

Hvis du vil forestille deg hvor stor denne numeriske giganten er, anslå hvor stor en låve som kreves for å romme en slik mengde korn. Det er kjent at en kubikkmeter hvete inneholder rundt 15 millioner korn. Dette betyr at belønningen for en sjakkoppfinner må oppta et volum på ca

12 000 000 000 000 kubikkmeter m, eller 12.000 kubikkmeter. km. Med en låvehøyde på 4 m og en bredde på 10 m, ville lengden måtte strekke seg 300 000 000 km, det vil si dobbelt så langt som fra jorden til solen!

Selvfølgelig var den indiske kongen ikke i stand til å gi en slik belønning.

3. Presentasjon av nytt stoff.

Del ut til hver elev ark hvor teoretisk materiale presenteres i form av en tabell som viser forskjellene i definisjonene av aritmetiske og geometriske progresjoner, deres karakteristiske egenskaper, formler for å finne det n-te leddet, formler for å finne summen av de første n leddene og for en geometrisk progresjon gis formelen for summen uendelig avtagende geometrisk progresjon.

Aritmetisk progresjon(a/p)

Geometrisk progresjon(g/p)

Def. En aritmetisk progresjon er en tallsekvens der hvert medlem, fra det andre, er lik det forrige som er lagt til det samme tallet.

For eksempel: -6; -4; -2; 0; 2; 4;...

6; = -4; = -2; =0; = 2…

Def. En geometrisk progresjon er en sekvens av tall som ikke er null, hvor hvert ledd, fra det andre, er lik den forrige, multiplisert med det samme tallet, ikke lik null.

For eksempel: 5; 15; 45; 135, …

5; =15; =45; =135; …

d = 2 – forskjell a/p

d = -;

d = -

q = 3 – g/p nevner

q = ;

Formel for n'te ledd a/p

D = + 2 d;

D = + 3 d; = + 4 d;

Formel for n'te ledd av h/n

Q = ;

Formel for gjennomsnittlig medlem a/p