Raske multiplikasjonsformler. Online kalkulator. Polynom forenkling. Polynom multiplikasjon

Matematiske uttrykk (formler) forkortet multiplikasjon(kvadraten av summen og forskjellen, terningen av summen og forskjellen, forskjellen av kvadrater, summen og forskjellen av terninger) er ekstremt uerstattelige på mange områder eksakte vitenskaper. Disse 7 tegnoppføringene er uerstattelige når du forenkler uttrykk, løser likninger, multipliserer polynomer, reduserer brøker, løser integraler og mye mer. Så det vil være veldig nyttig å finne ut hvordan de oppnås, hva de er til for, og viktigst av alt, hvordan du husker dem og deretter bruker dem. Deretter søker forkortede multiplikasjonsformler i praksis vil det vanskeligste være å se hva som er X og hva har. Det er åpenbart ingen begrensninger på en og b nei, noe som betyr at det kan være et hvilket som helst numerisk eller bokstavelig uttrykk.

Og så her er de:

Først x 2 - kl 2 = (x - y) (x + y).Å beregne forskjell på kvadrater to uttrykk, er det nødvendig å multiplisere forskjellene til disse uttrykkene med summene deres.

Sekund (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2. Å finne sum i annen to uttrykk, må du legge til kvadratet av det første uttrykket to ganger produktet av det første uttrykket med det andre pluss kvadratet av det andre uttrykket.

Tredje (x - y) 2 = x 2 - 2xy + y 2. Å beregne forskjell i annen to uttrykk må trekkes fra kvadratet til det første uttrykket dobbelt produkt av det første uttrykket med det andre pluss kvadratet av det andre uttrykket.

Fjerde (x + y) 3 = x 3 + 3x 2 år + 3x 2 + på 3.Å beregne sum kube to uttrykk, må du legge til kuben til det første uttrykket tre ganger produktet av kvadratet av det første uttrykket og det andre, pluss tre ganger produktet av det første uttrykket og kvadratet av det andre, pluss kuben til andre uttrykk.

Femte (x - y) 3 = x 3 - 3x 2 år + 3x 2 - kl 3. Å beregne forskjellskube to uttrykk, er det nødvendig å trekke fra kuben til det første uttrykket tre ganger produktet av kvadratet til det første uttrykket med det andre pluss tre ganger produktet av det første uttrykket og kvadratet av det andre minus kuben til det andre uttrykk.

sjette x 3 + y 3 = (x + y) (x 2 - xy + y 2)Å beregne summen av kuber to uttrykk, må du multiplisere summene av det første og andre uttrykket med det ufullstendige kvadratet av forskjellen mellom disse uttrykkene.

syvende x 3 - kl 3 \u003d (x - y) (x 2 + xy + y 2) For å gjøre en beregning kubeforskjeller to uttrykk, er det nødvendig å multiplisere forskjellen mellom det første og andre uttrykket med det ufullstendige kvadratet av summen av disse uttrykkene.

Det er ikke vanskelig å huske at alle formler brukes til å gjøre beregninger i motsatt retning (fra høyre til venstre).

Eksistensen av disse regelmessighetene ble kjent for rundt 4 tusen år siden. De ble mye brukt av folket gamle Babylon og Egypt. Men i disse epoker ble de uttrykt verbalt eller geometrisk og brukte ikke bokstaver i beregninger.

La oss analysere sum kvadrat bevis(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 .

Dette matematisk regularitet beviste den antikke greske forskeren Euclid, som jobbet i Alexandria i det 3. århundre f.Kr., brukte han den geometriske metoden for å bevise formelen for dette, siden forskere ikke brukte bokstaver for å betegne tall gamle Hellas. De brukte overalt ikke "a 2", men "kvadrat på segment a", ikke "ab", men "rektangel innelukket mellom segmentene a og b".

Personvernet ditt er viktig for oss. Av denne grunn har vi utviklet en personvernerklæring som beskriver hvordan vi bruker og lagrer informasjonen din. Vennligst les vår personvernerklæring og gi oss beskjed hvis du har spørsmål.

Innsamling og bruk av personopplysninger

Personopplysninger refererer til data som kan brukes til å identifisere eller kontakte en bestemt person.

Du kan bli bedt om å oppgi din personlig informasjon når som helst når du kontakter oss.

Følgende er noen eksempler på hvilke typer personopplysninger vi kan samle inn og hvordan vi kan bruke slik informasjon.

Hvilken personlig informasjon samler vi inn:

• Når du sender inn en søknad på nettstedet, kan vi samle inn ulike opplysninger, inkludert navn, telefonnummer, adresse E-post etc.

Hvordan vi bruker dine personopplysninger:

• Personopplysningene vi samler inn lar oss kontakte deg og informere deg om unike tilbud, kampanjer og andre arrangementer og kommende arrangementer.
• Fra tid til annen kan vi bruke din personlige informasjon til å sende deg viktige varsler og meldinger.
• Vi kan også bruke personopplysninger til interne formål, som å gjennomføre revisjoner, dataanalyser og ulike undersøkelser for å forbedre tjenestene vi leverer og gi deg anbefalinger angående våre tjenester.
• Hvis du deltar i en premietrekning, konkurranse eller lignende insentiv, kan vi bruke informasjonen du gir til å administrere slike programmer.

Offentliggjøring til tredjeparter

Vi utleverer ikke informasjon mottatt fra deg til tredjeparter.

Unntak:

• Om nødvendig - i samsvar med loven, rettsorden, i rettssaker, og/eller basert på offentlige forespørsler eller forespørsler fra offentlige etater på den russiske føderasjonens territorium - oppgi din personlige informasjon. Vi kan også avsløre informasjon om deg hvis vi fastslår at slik avsløring er nødvendig eller hensiktsmessig for sikkerhet, rettshåndhevelse eller andre formål av allmenn interesse.
• Ved en omorganisering, fusjon eller salg kan vi overføre personopplysningene vi samler inn til den aktuelle tredjeparts etterfølgeren.

Beskyttelse av personopplysninger

Vi tar forholdsregler - inkludert administrative, tekniske og fysiske - for å beskytte din personlige informasjon mot tap, tyveri og misbruk, samt mot uautorisert tilgang, avsløring, endring og ødeleggelse.

Opprettholde personvernet ditt på bedriftsnivå

For å sikre at din personlige informasjon er sikker, kommuniserer vi personvern- og sikkerhetspraksis til våre ansatte og håndhever strengt personvernpraksis.

Maktformler brukes i prosessen med reduksjon og forenkling komplekse uttrykk, i å løse likninger og ulikheter.

Antall c er n-te potens av et tall en når:

Operasjoner med grader.

1. Multiplisere potenser med samme base deres poengsum er:

en ma n = a m + n .

2. I delingen av grader med samme base trekkes indikatorene deres:

3. Graden av produktet på 2 eller mer faktorer er lik produktet av potensene til disse faktorene:

(abc...) n = a n b n c n …

4. Graden av en brøk er lik forholdet mellom gradene av utbytte og divisor:

(a/b) n = a n / b n .

5. Ved å heve en potens til en potens multipliseres eksponentene:

(am) n = a m n .

Hver formel ovenfor er riktig i retningene fra venstre til høyre og omvendt.

For eksempel. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operasjoner med røtter.

1. Roten til produktet av flere faktorer er lik produktet av røttene til disse faktorene:

2. Roten av forholdet er lik forholdet mellom utbyttet og divisoren til røttene:

3. Når du hever en rot til en potens, er det nok å heve rottallet til denne potensen:

4. Hvis vi øker graden av roten i n en gang og samtidig heve til n potensen er et rottall, så endres ikke verdien av roten:

5. Hvis vi reduserer graden av roten i n rot på samme tid n grad fra det radikale tallet, vil verdien av roten ikke endres:

Grad med negativ eksponent. Graden av et tall med en ikke-positiv (heltalls) eksponent er definert som en delt på graden av samme tall med en eksponent lik absolutt verdi ikke-positiv indikator:

Formel en m:a n = a m - n kan brukes ikke bare til m> n, men også kl m< n.

For eksempel. en4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Til formel en m:a n = a m - n ble rettferdig kl m=n, trenger du tilstedeværelsen av nullgraden.

Grad med null eksponent. Potensen til ethvert tall som ikke er null med en nulleksponent er lik én.

For eksempel. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Grad med en brøkeksponent. For å heve et reelt tall en til en grad m/n, må du trekke ut roten n grad av m potens av dette tallet en.

Formler eller regler for redusert multiplikasjon brukes i aritmetikk, og mer spesifikt i algebra, for en raskere prosess med å beregne store algebraiske uttrykk. Selve formlene er avledet fra de eksisterende reglene i algebra for multiplikasjon av flere polynomer.

Bruken av disse formlene gir en ganske rask løsning av forskjellige matematiske problemer, og bidrar også til å forenkle uttrykk. Regler algebraiske transformasjoner lar deg utføre noen manipulasjoner med uttrykk, deretter kan du få uttrykket på venstre side av likheten, som er på høyre side, eller transformere høyre side lik (for å få uttrykket på venstre side etter likhetstegnet).

Det er praktisk å kjenne til formlene som brukes for forkortet multiplikasjon med minne, da de ofte brukes til å løse problemer og ligninger. Følgende er hovedformlene inkludert i denne listen, og navnet deres.

sum kvadrat

For å beregne kvadratet av summen, må du finne summen som består av kvadratet av det første leddet, to ganger produktet av det første leddet og det andre, og kvadratet av det andre. I form av et uttrykk er denne regelen skrevet som følger: (a + c)² = a² + 2ac + c².

Firkanten av forskjellen

For å beregne kvadratet av differansen, må du beregne summen som består av kvadratet av det første tallet, to ganger produktet av det første tallet med det andre (tatt fra motsatt tegn) og kvadratet av det andre tallet. I form av et uttrykk ser denne regelen slik ut: (a - c)² \u003d a² - 2ac + c².

Forskjell på ruter

Formelen for forskjellen mellom to tall i annen er lik produktet av summen av disse tallene og deres forskjell. I form av et uttrykk ser denne regelen slik ut: a² - c² \u003d (a + c) (a - c).

sum kube

For å beregne kuben av summen av to ledd, er det nødvendig å beregne summen som består av kuben til det første leddet, tredoble produktet av kvadratet av det første leddet og det andre, trippelproduktet av det første leddet og andre kvadrat, og kuben til andre ledd. I form av et uttrykk ser denne regelen slik ut: (a + c)³ \u003d a³ + 3a²c + 3ac² + c³.

Summen av terninger

I henhold til formelen er det lik produktet av summen av disse leddene og deres ufullstendige kvadrat av forskjellen. I form av et uttrykk ser denne regelen slik ut: a³ + c³ \u003d (a + c) (a² - ac + c²).

Eksempel. Det er nødvendig å beregne volumet av figuren, som er dannet ved å legge til to terninger. Bare størrelsen på sidene deres er kjent.

Hvis verdiene på sidene er små, er det enkelt å utføre beregninger.

Hvis lengdene på sidene er uttrykt i tungvinte tall, er det i dette tilfellet lettere å bruke formelen "Sum of Cubes", noe som i stor grad vil forenkle beregningene.

forskjellskube

Uttrykket for kubikkforskjellen høres slik ut: som summen av tredje potens av første ledd, tredoble det negative produktet av kvadratet av første ledd med det andre, tredoble produktet av første ledd med kvadratet av andre ledd , og den negative kuben til andre ledd. I form av et matematisk uttrykk ser differansekuben slik ut: (a - c)³ \u003d a³ - 3a²c + 3ac² - c³.

Forskjell på kuber

Formelen for forskjellen av terninger skiller seg fra summen av terninger med bare ett tegn. Dermed er forskjellen på kuber en formel, lik produktet forskjellen mellom gitte tall med deres ufullstendige kvadrat av summen. I form av et matematisk uttrykk ser forskjellen mellom kuber slik ut: a 3 - c 3 \u003d (a - c) (a 2 + ac + c 2).

Eksempel. Det er nødvendig å beregne volumet av figuren som vil forbli etter å ha trukket fra volumet til den blå kuben volumetrisk figur gul farge, som også er en kube. Bare størrelsen på siden av en liten og stor kube er kjent.

Hvis verdiene på sidene er små, er beregningene ganske enkle. Og hvis lengdene på sidene er uttrykt i betydelige tall, er det verdt å bruke en formel med tittelen "Difference of Cubes" (eller "Difference Cube"), som i stor grad vil forenkle beregningene.

Nøkkelord:

sumkvadrat, differansekvadrat, sumterning, differansekube, forskjell av kvadrater, sum av terninger, forskjell av terninger

sum kvadrat av to mengder er lik kvadratet av den første pluss to ganger produktet av den første og den andre pluss kvadratet av den andre. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2

• Firkanten av forskjellen to mengder er lik kvadratet av den første minus to ganger produktet av den første og den andre pluss kvadratet av den andre. (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2
• Produktet av summen av to mengder og deres forskjell er forskjellene på rutene deres. (a+b)(a-b)=a2-b2
• Tildes beløp to mengder tilsvarer en kube av den første størrelsen pluss tre ganger kvadratet av den første og den andre, pluss tre ganger produktet av den første og kvadratet av den andre, pluss kuben til den andre.

  (a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3

• Tildes forskjell av to mengder er lik kuben av den første minus tre ganger produktet av kvadratet av den første og den andre pluss tre ganger produktet av den første og kvadratet av den andre minus kuben til den andre.

  (a-b) 3 =a 3 -3a 2 b+3ab 2 -b 3

• Produktet av summen av to mengder og det ufullstendige kvadratet av differansen er summen av kubene deres. (a+b)(a 2 -ab+b 2)=a 3 + b 3
• Produktet av forskjellen mellom to størrelser med det ufullstendige kvadratet av summen er forskjellene på kubene deres.

  (a - b)(a 2 +ab+b 2)=a 3 - b 3

Svært ofte reduksjonen av et polynom til standard skjema kan gjøres ved å bruke de forkortede multiplikasjonsformlene. Alle av dem er bevist ved direkte åpning av parentes og reduksjon av like termer. Forkortede multiplikasjonsformler må være kjent utenat:

Eksempel. La oss bevise formelen a 3 + b 3 = (en + b)(en 2 – ab + b 2).

Vi har: (en + b)(en 2 – ab + b 2) = en 3 – en 2 b + ab 2 + ba 2 – ab 2 – b 3

Ved å kombinere like termer ser vi det

(en + b)(en 2 – ab + b 2) = a 3 + b 3, som beviser den ønskede formelen.

På samme måte er det bevist at (en - b)(en 2 + ab + b 2) = a 3 – b 3

Det er ikke nok bare å kunne formlene for forkortet multiplikasjon utenat. Vi må også lære å se i betong algebraisk uttrykk denne formelen.

For eksempel:

49m 2 - 42mn + 9n 2 = (7m - 3n) 2

Eller et annet eksempel, mer komplisert:

Her 3x2 kan tenkes som ( √ 3x) 2

Det er også nyttig å vite hvordan man hever et binomial til en potens større enn 3. Formelen som lar deg skrive ut utvidelsen av den algebraiske summen av to ledd i en vilkårlig grad ble først foreslått av Newton i 1664–1665 og ble kalt Newtons binomial. Formelkoeffisientene kalles binomiale koeffisienter. Hvis n er et positivt heltall, forsvinner koeffisientene for enhver k > n, så utvidelsen inneholder bare endelig antall medlemmer. I alle andre tilfeller er ekspansjonen en uendelig (binomial) serie. (Betingelsene for konvergensen av binomialserien ble først etablert på begynnelsen av 1800-tallet av N. Abel.) Slike spesielle tilfeller som f.eks.

(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 og (a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2+b 3

var kjent lenge før Newton. Hvis n er et positivt heltall, da binomial koeffisient for en n-kb k i binomialformelen er det en rekke kombinasjoner fra n til k , betegnet med C k n . For små verdier av n kan koeffisientene finnes fra Pascals trekant:

der hvert av tallene, med unntak av enere, er lik summen av to tilstøtende tall på linjen over. For en gitt n gir den tilsvarende (n-te) raden i Pascals trekant, i rekkefølge, koeffisientene til den binomiale ekspansjonen n. grad, som er lett å se for n = 2 og n = 3.