Formler for volumet til en vanlig trekantet pyramide. Eksempler på problemløsning

Teorem.

Volumet av en pyramide er lik en tredjedel av produktet av arealet av basen og høyden..

Bevis:

Først beviser vi teoremet for en trekantet pyramide, deretter for en vilkårlig.

1. Tenk på en trekantet pyramideOABCmed volum V, grunnflateS og høyde h. Tegn en akse oh (OM2- høyde), vurder seksjonenA1 B1 C1pyramider med et plan vinkelrett på aksenÅhog derfor parallelt med basens plan. Angi medX abscissepunkt M1 skjæring av dette planet med x-aksen, og gjennomS(x)- tverrsnittsareal. Uttrykke S(x) gjennom S, h Og X. Legg merke til at trekanter A1 I1 MED1 Og ABC er like. Faktisk A1 I1 II AB, altså trekant OA 1 I 1 ligner på trekant OAB. MED følgelig, EN1 I1 : ENB= OA 1: OA .

rette trekanter OA 1 I 1 og OAB er også like (de har en felles spiss vinkel med toppunktet O). Derfor, OA 1: OA = O 1 M1 : OM = x: h. Dermed EN 1 I 1 : A B = x: h.På samme måte er det bevist atB1 C1:Sol = X: h Og A1 C1:AC = X: h.Så trekantenA1 B1 C1 Og ABClik med likhetskoeffisient X: h.Derfor, S(x): S = (x: h)², eller S(x) = S x²/ h².

La oss nå bruke den grunnleggende formelen for å beregne volumene av kropper veden= 0, b=h vi får

2. La oss nå bevise teoremet for en vilkårlig pyramide med høyde h og basisareal S. En slik pyramide kan deles inn i trekantede pyramider med total høyde h. Vi uttrykker volumet til hver trekantede pyramide i henhold til formelen vi har bevist og legger til disse volumene. Tar vi fellesfaktoren 1/3h ut av parentes, får vi i parentes summen av basene til trekantede pyramider, dvs. området S av basene til den opprinnelige pyramiden.

Dermed er volumet til den opprinnelige pyramiden 1/3Sh. Teoremet er bevist.

Konsekvens:

Volum V av en avkortet pyramide med høyde h og grunnflate S og S1 , beregnes av formelen

h - høyden på pyramiden

Stoppe - området av den øvre basen

S lavere - området av den nedre basen

For å finne volumet til en pyramide, må du kunne flere formler. La oss vurdere dem.

Hvordan finne volumet til en pyramide - 1. vei

Volumet til en pyramide kan bli funnet ved å bruke høyden og arealet til basen. V = 1/3*S*h. Så, for eksempel, hvis høyden på pyramiden er 10 cm, og arealet av basen er 25 cm 2, vil volumet være lik V \u003d 1/3 * 25 * 10 \u003d 1 /3 * 250 \u003d 83,3 cm 3

Hvordan finne volumet til en pyramide - 2. metode

Hvis en vanlig polygon ligger ved bunnen av pyramiden, kan volumet bli funnet ved å bruke følgende formel: V \u003d na 2 h / 12 * tg (180 / n), hvor a er siden av polygonen som ligger ved base, og n er tallet på sidene. For eksempel: Grunnlaget er en regulær sekskant, det vil si n = 6. Siden den er regulær, er alle sidene like, det vil si at alle a er like. La oss si a = 10 og h - 15. Vi setter inn tallene i formelen og vi får et omtrentlig svar - 1299 cm 3

Hvordan finne volumet til en pyramide - 3. vei

Hvis en likesidet trekant ligger ved bunnen av pyramiden, kan volumet finnes ved hjelp av følgende formel: V = ha 2 /4√3, der a er siden av den likesidede trekanten. For eksempel: høyden på pyramiden er 10 cm, siden av basen er 5 cm. Volumet vil være lik V \u003d 10 * 25 / 4 √ 3 \u003d 250 / 4 √ 3. Vanligvis, hva skjedde i nevneren er ikke beregnet og etterlatt i samme form. Du kan også multiplisere både telleren og nevneren med 4√3 for å få 1000√3/48. Ved å redusere får vi 125√ 3/6 cm 3.

Hvordan finne volumet til en pyramide - 4. vei

Hvis en firkant ligger ved bunnen av pyramiden, kan volumet finnes ved hjelp av følgende formel: V = 1/3*h*a 2, hvor a er sidene av firkanten. For eksempel: høyde - 5 cm, siden av firkanten - 3 cm. V \u003d 1/3 * 5 * 9 \u003d 15 cm 3

Hvordan finne volumet til en pyramide - 5. vei

Hvis pyramiden er et tetraeder, det vil si at alle flatene er likesidede trekanter, kan du finne volumet til pyramiden ved å bruke følgende formel: V = a 3 √2/12, hvor a er en kant av tetraederet. For eksempel: tetraederkant \u003d 7. V \u003d 7 * 7 * 7√2 / 12 \u003d 343 cm 3

Ordet "pyramide" er ufrivillig assosiert med de majestetiske gigantene i Egypt, som trofast holder faraoenes fred. Kanskje er det derfor pyramiden er umiskjennelig anerkjent av alle, også barn.

La oss imidlertid prøve å gi det en geometrisk definisjon. La oss forestille oss flere punkter (A1, A2,..., An) på planet og ett til (E) som ikke tilhører det. Så hvis punkt E (øverst) er koblet til toppunktene til polygonet som er dannet av punktene A1, A2, ..., An (base), får du et polyeder, som kalles en pyramide. Åpenbart kan polygonen ved bunnen av pyramiden ha et hvilket som helst antall hjørner, og avhengig av antallet kan pyramiden kalles trekantet og firkantet, femkantet, etc.

Hvis du ser nøye på pyramiden, vil det bli klart hvorfor den også er definert annerledes - som en geometrisk figur med en polygon i bunnen, og trekanter forent av et felles toppunkt som sideflater.

Siden pyramiden er en romlig figur, har den også en slik kvantitativ karakteristikk, da den beregnes fra den velkjente like store tredjedelen av produktet av bunnen av pyramiden og dens høyde:

Volumet av pyramiden, når man utleder formelen, beregnes først for en trekantet, og tar utgangspunkt i et konstant forhold som relaterer denne verdien til volumet til et trekantet prisme med samme base og høyde, som, som det viser seg, er tre ganger større enn dette volumet.

Og siden enhver pyramide er delt inn i trekantede, og volumet ikke avhenger av konstruksjonene utført i beviset, er gyldigheten av volumformelen ovenfor åpenbar.

Står fra hverandre blant alle pyramidene er de riktige, som basen ligger i. Når det gjelder, skal den "ende" i midten av basen.

I tilfelle av en uregelmessig polygon ved basen, for å beregne arealet av basen, trenger du:

• del den i trekanter og firkanter;

• beregne arealet til hver av dem;

• legge til de mottatte dataene.

Når det gjelder en vanlig polygon ved bunnen av pyramiden, beregnes arealet ved hjelp av ferdige formler, så volumet til en vanlig pyramide beregnes veldig enkelt.

For å beregne volumet til en firkantet pyramide, hvis den er regelmessig, blir lengden på siden av en vanlig firkant (kvadrat) ved bunnen kvadratisk, og multiplisert med høyden på pyramiden deles det resulterende produktet med tre.

Volumet av pyramiden kan beregnes ved å bruke andre parametere:

• som en tredjedel av produktet av ballens radius innskrevet i pyramiden og arealet av dens totale overflate;

• som to tredjedeler av produktet av avstanden mellom to vilkårlig tatt kryssende kanter og området til parallellogrammet som danner midtpunktene til de resterende fire kantene.

Volumet av pyramiden beregnes også ganske enkelt i tilfelle når høyden sammenfaller med en av sidekantene, det vil si i tilfelle av en rektangulær pyramide.

Når vi snakker om pyramider, kan man ikke ignorere de avkortede pyramidene som oppnås ved å kutte pyramiden med et plan parallelt med basen. Volumet deres er nesten lik forskjellen mellom volumene til hele pyramiden og den avskårne toppen.

Det første volumet av pyramiden, selv om det ikke er helt i sin moderne form, men lik 1/3 av volumet av prismet kjent for oss, ble funnet av Democritus. Arkimedes kalte tellemetoden sin "uten bevis", siden Democritus nærmet seg pyramiden som en figur bygd opp av uendelig tynne, lignende plater.

Vektoralgebra "adresserte" også spørsmålet om å finne volumet til pyramiden, ved å bruke koordinatene til toppunktene for dette. Pyramiden bygget på tripletten av vektorene a,b,c er lik en sjettedel av modulen til det blandede produktet av de gitte vektorene.

Definisjon. Side ansikt- dette er en trekant der en vinkel ligger på toppen av pyramiden, og den motsatte siden av den faller sammen med siden av basen (polygon).

Definisjon. Sideribber er de vanlige sidene av sideflatene. En pyramide har like mange kanter som det er hjørner i en polygon.

Definisjon. pyramidehøyde er en vinkelrett som faller fra toppen til bunnen av pyramiden.

Definisjon. Apotem- dette er vinkelrett på sideflaten til pyramiden, senket fra toppen av pyramiden til siden av basen.

Definisjon. Diagonalt snitt- dette er en del av pyramiden av et plan som går gjennom toppen av pyramiden og diagonalen til basen.

Definisjon. Riktig pyramide– Dette er en pyramide der basen er en vanlig polygon, og høyden går ned til midten av basen.

Volum og overflateareal av pyramiden

Formel. pyramidevolum gjennom grunnflate og høyde:

pyramideegenskaper

Hvis alle sidekanter er like, kan en sirkel omskrives rundt bunnen av pyramiden, og midten av bunnen faller sammen med sentrum av sirkelen. Dessuten passerer den perpendikulære som faller fra toppen gjennom midten av basen (sirkelen).

Hvis alle sideribber er like, er de skråstilt til grunnplanet i samme vinkel.

Sideribbene er like når de danner like vinkler med grunnplanet, eller hvis det kan beskrives en sirkel rundt bunnen av pyramiden.

Hvis sideflatene er skråstilt til basens plan i en vinkel, kan en sirkel skrives inn i bunnen av pyramiden, og toppen av pyramiden projiseres inn i midten.

Hvis sideflatene er skråstilt til grunnplanet i en vinkel, så er apotemene til sideflatene like.

Egenskaper til en vanlig pyramide

1. Toppen av pyramiden er like langt fra alle hjørner av basen.

2. Alle sidekanter er like.

3. Alle sideribber er skråstilt i samme vinkel til basen.

4. Apotemer på alle sideflater er like.

5. Arealene på alle sideflatene er like.

6. Alle flater har de samme dihedriske (flate) vinklene.

7. En kule kan beskrives rundt pyramiden. Sentrum av den beskrevne kulen vil være skjæringspunktet for perpendikulærene som går gjennom midten av kantene.

8. En kule kan skrives inn i en pyramide. Sentrum av den innskrevne sfæren vil være skjæringspunktet for halveringslinjene som kommer fra vinkelen mellom kanten og basen.

9. Hvis midten av den innskrevne sfæren sammenfaller med senteret av den omskrevne sfæren, så er summen av de flate vinklene ved spissen lik π eller omvendt, en vinkel er lik π / n, hvor n er tallet av vinkler ved bunnen av pyramiden.

Forbindelsen av pyramiden med sfæren

En kule kan beskrives rundt pyramiden når ved bunnen av pyramiden ligger et polyeder som en sirkel kan beskrives rundt (en nødvendig og tilstrekkelig betingelse). Sentrum av sfæren vil være skjæringspunktet for plan som passerer vinkelrett gjennom midtpunktene på sidekantene til pyramiden.

En kule kan alltid beskrives rundt en hvilken som helst trekantet eller vanlig pyramide.

En kule kan skrives inn i en pyramide hvis halveringsplanene til de indre dihedrale vinklene til pyramiden krysser hverandre på ett punkt (en nødvendig og tilstrekkelig betingelse). Dette punktet vil være sentrum av sfæren.

Forbindelsen av pyramiden med kjeglen

En kjegle kalles innskrevet i en pyramide hvis hjørnene deres faller sammen og kjeglens base er innskrevet i bunnen av pyramiden.

En kjegle kan skrives inn i en pyramide hvis apotemene til pyramiden er like.

En kjegle sies å være omskrevet rundt en pyramide hvis hjørnene deres faller sammen og kjeglens base er omskrevet rundt bunnen av pyramiden.

En kjegle kan beskrives rundt en pyramide hvis alle sidekanter av pyramiden er like hverandre.

Forbindelse av en pyramide med en sylinder

En pyramide sies å være innskrevet i en sylinder hvis toppen av pyramiden ligger på en base av sylinderen, og bunnen av pyramiden er innskrevet i en annen base av sylinderen.

En sylinder kan omskrives rundt en pyramide hvis en sirkel kan omskrives rundt bunnen av pyramiden.

Definisjon. Avkortet pyramide (pyramideformet prisme)– Dette er et polyeder som er plassert mellom bunnen av pyramiden og et snittplan parallelt med bunnen. Dermed har pyramiden en stor base og en mindre base som ligner på den større. Sideflatene er trapeser.

Definisjon. Trekantet pyramide (tetraeder)- dette er en pyramide der tre flater og basen er vilkårlige trekanter.

Et tetraeder har fire flater og fire hjørner og seks kanter, der to kanter ikke har noen felles hjørner, men ikke berører hverandre.

Hver toppunkt består av tre flater og kanter som dannes triedral vinkel.

Segmentet som forbinder toppunktet til tetraederet med midten av den motsatte flaten kalles medianen av tetraederet(GM).

Bimedian kalles et segment som forbinder midtpunktene til motsatte kanter som ikke berører (KL).

Alle bimedianer og medianer av et tetraeder skjærer hverandre i ett punkt (S). I dette tilfellet er bimedianene delt i to, og medianene i forholdet 3: 1 fra toppen.

Definisjon. skrå pyramide er en pyramide der en av kantene danner en stump vinkel (β) med basen.

Definisjon. Rektangulær pyramide er en pyramide der en av sideflatene er vinkelrett på basen.

Definisjon. Akutt vinklet pyramide er en pyramide der apotem er mer enn halvparten av lengden av siden av basen.

Definisjon. stump pyramide er en pyramide der apotemet er mindre enn halvparten av lengden på siden av basen.

Definisjon. vanlig tetraeder Et tetraeder hvis fire flater er likesidede trekanter. Det er en av fem vanlige polygoner. I et vanlig tetraeder er alle dihedriske vinkler (mellom flatene) og trihedriske vinkler (ved et toppunkt) like.

Definisjon. Rektangulært tetraeder et tetraeder kalles som har en rett vinkel mellom tre kanter i toppunktet (kantene er vinkelrette). Tre ansikter dannes rektangulær trihedrisk vinkel og flatene er rette trekanter, og basen er en vilkårlig trekant. Apotemet til ethvert ansikt er lik halvparten av siden av basen som apotemet faller på.

Definisjon. Isoedrisk tetraeder Et tetraeder kalles der sideflatene er like med hverandre, og basen er en vanlig trekant. Ansiktene til et slikt tetraeder er likebente trekanter.

Definisjon. Ortosentrisk tetraeder et tetraeder kalles der alle høydene (perpendikulærene) som er senket fra toppen til motsatt side krysser hverandre i ett punkt.

Definisjon. stjernepyramide Et polyeder hvis base er en stjerne kalles.

Definisjon. Bipyramide- et polyeder bestående av to forskjellige pyramider (pyramider kan også kuttes av), som har en felles base, og toppunktene ligger på hver sin side av grunnplanet.

En av de enkleste volumetriske figurene er en trekantet pyramide, siden den består av det minste antallet ansikter som en figur kan dannes fra i rommet. I denne artikkelen vil vi vurdere formler som du kan finne volumet til en trekantet vanlig pyramide med.

trekantet pyramide

I følge den generelle definisjonen er en pyramide en polygon, hvis toppunkter er koblet til ett punkt som ikke er plassert i planet til denne polygonen. Hvis sistnevnte er en trekant, kalles hele figuren en trekantet pyramide.

Den betraktede pyramiden består av en base (trekant) og tre sideflater (trekanter). Punktet der de tre sideflatene henger sammen kalles toppunktet på figuren. Perpendikulæren som faller til basen fra dette toppunktet er høyden på pyramiden. Hvis skjæringspunktet for perpendikulæren med basen sammenfaller med skjæringspunktet for medianene til trekanten ved basen, snakker de om en vanlig pyramide. Ellers blir det skrånende.

Som det er sagt, kan bunnen av en trekantet pyramide være en generell trekant. Men hvis den er likesidet, og selve pyramiden er rett, snakker de om den riktige tredimensjonale figuren.

Hver har 4 flater, 6 kanter og 4 topper. Hvis lengdene på alle kantene er like, kalles en slik figur et tetraeder.

generell type

Før vi skriver ned en vanlig trekantet pyramide, gir vi et uttrykk for denne fysiske størrelsen for en pyramide av generell type. Dette uttrykket ser slik ut:

Her er S o arealet av basen, h er høyden på figuren. Denne likheten vil være gyldig for enhver type base av pyramidepolygonen, så vel som for kjeglen. Hvis det ved basen er en trekant med sidelengden a og høyden h o senket til den, vil formelen for volum bli skrevet som følger:

Formler for volumet til en vanlig trekantet pyramide

Trekantet har en likesidet trekant ved bunnen. Det er kjent at høyden til denne trekanten er relatert til lengden på siden ved likheten:

Ved å erstatte dette uttrykket i formelen for volumet til en trekantet pyramide, skrevet i forrige avsnitt, får vi:

V = 1/6*a*h o *h = √3/12*a 2 *h.

Volumet til en vanlig pyramide med en trekantet base er en funksjon av lengden på siden av basen og høyden på figuren.

Siden en hvilken som helst vanlig polygon kan skrives inn i en sirkel hvis radius unikt bestemmer lengden på siden av polygonet, kan denne formelen skrives i form av den tilsvarende radius r:

Denne formelen er lett å få fra den forrige, gitt at radius r til den omskrevne sirkelen gjennom lengden på siden a i trekanten bestemmes av uttrykket:

Oppgaven med å bestemme volumet til et tetraeder

La oss vise hvordan du bruker formlene ovenfor for å løse spesifikke geometriproblemer.

Det er kjent at tetraederet har en kantlengde på 7 cm Finn volumet til en vanlig trekantet pyramide-tetraeder.

Husk at et tetraeder er en vanlig trekantet pyramide der alle baser er like med hverandre. For å bruke formelen for volumet til en vanlig trekantet pyramide, må du beregne to mengder:

• lengden på siden av trekanten;
• figurhøyde.

Den første verdien er kjent fra tilstanden til problemet:

For å bestemme høyden, vurder figuren vist i figuren.

Den markerte trekanten ABC er en rettvinklet trekant hvor vinkelen ABC er 90o. AC-siden er hypotenusen, hvis lengde er a. Ved enkel geometrisk resonnement kan det vises at siden BC har lengde:

Legg merke til at lengden BC er radiusen til den omskrevne sirkelen rundt trekanten.

h \u003d AB \u003d √ (AC 2 - BC 2) \u003d √ (a 2 - a 2 / 3) \u003d a * √ (2/3).

Nå kan du erstatte h og a i den tilsvarende formelen for volum:

V = √3/12*a 2 *a*√(2/3) = √2/12*a 3 .

Dermed har vi fått formelen for volumet til et tetraeder. Det kan sees at volumet bare avhenger av lengden på ribben. Hvis vi erstatter verdien fra tilstanden til problemet inn i uttrykket, får vi svaret:

V \u003d √2 / 12 * 7 3 ≈ 40,42 cm 3.

Hvis vi sammenligner denne verdien med volumet til en terning som har samme kant, får vi at volumet til et tetraeder er 8,5 ganger mindre. Dette indikerer at tetraederet er en kompakt figur, som er realisert i noen naturlige stoffer. For eksempel er metanmolekylet tetraedrisk, og hvert karbonatom i diamant er koblet til fire andre atomer for å danne et tetraeder.

Problem med homotetiske pyramider

La oss løse et merkelig geometrisk problem. Anta at det er en trekantet regulær pyramide med noe volum V 1 . Hvor mange ganger bør størrelsen på denne figuren reduseres for å oppnå en pyramidehomotetikk til den med et volum som er tre ganger mindre enn den opprinnelige?

La oss begynne å løse problemet ved å skrive formelen for den opprinnelige vanlige pyramiden:

V 1 \u003d √3 / 12 * a 1 2 * h 1.

La volumet av figuren som kreves av tilstanden til problemet oppnås ved å multiplisere parameterne med koeffisienten k. Vi har:

V2 = √3/12*k2*a12*k*h1 = k3*V1.

Siden forholdet mellom volumene av figurer er kjent fra betingelsen, får vi verdien av koeffisienten k:

k \u003d ∛ (V 2 / V 1) \u003d ∛ (1/3) ≈ 0,693.

Legg merke til at vi ville fått en lignende verdi av koeffisienten k for en vilkårlig type pyramide, og ikke bare for en vanlig trekantet.