Geometriske transformasjoner av grafer av funksjonstabell. Transformere grafer av trigonometriske funksjoner

Hypotese: Hvis du studerer bevegelsen til grafen under dannelsen av funksjonsligningen, kan du se at alle grafer adlyder generelle mønstre derfor er det mulig å formulere generelle lover uavhengig av funksjonene, som ikke bare vil lette konstruksjonen av grafer for ulike funksjoner, men også bruke dem til å løse problemer.

Formål: Å studere bevegelsen til grafer av funksjoner:

1) Oppgaven med å studere litteratur

2) Lær å bygge grafer over ulike funksjoner

3) Lær hvordan du konverterer diagrammer lineære funksjoner

4) Vurder bruken av grafer for å løse problemer

Studieobjekt: Grafer over funksjoner

Forskningsemne: Bevegelser av grafer av funksjoner

Relevans: Konstruksjonen av funksjonsgrafer tar som regel mye tid og krever oppmerksomhet fra studenten, men ved å kjenne reglene for å transformere funksjonsgrafer og grafer for grunnleggende funksjoner, kan du raskt og enkelt bygge funksjonsgrafer, som vil tillate du ikke bare fullføre oppgaver for å plotte funksjonsgrafer, men også løse relaterte problemer (for å finne maksimum (minimumshøyde på tid og møtepunkt))

Dette prosjektet er nyttig for alle skolens elever.

Litteraturanmeldelse:

Litteraturen diskuterer måter å konstruere en graf av ulike funksjoner, samt eksempler på transformasjon av grafer for disse funksjonene. Grafer over nesten alle hovedfunksjoner brukes i ulike tekniske prosesser, noe som gjør det mulig å tydeligere presentere forløpet av prosessen og programmere resultatet

Permanent funksjon. Denne funksjonen er gitt av formelen y = b, hvor b er et tall. rute permanent funksjon er en rett linje parallelt med x-aksen og som går gjennom punktet (0; b) på y-aksen. Grafen til funksjonen y \u003d 0 er abscisseaksen.

Typer funksjon 1Direkte proporsjonalitet. Denne funksjonen er gitt av formelen y \u003d kx, hvor proporsjonalitetskoeffisienten k ≠ 0. Den direkte proporsjonalitetsgrafen er en rett linje som går gjennom origo.

Lineær funksjon. En slik funksjon er gitt av formelen y = kx + b, hvor k og b er reelle tall. Grafen til en lineær funksjon er en rett linje.

Lineære funksjonsgrafer kan krysse eller være parallelle.

Så linjene til grafene til lineære funksjoner y \u003d k 1 x + b 1 og y \u003d k 2 x + b 2 krysser hvis k 1 ≠ k 2; hvis k 1 = k 2, så er linjene parallelle.

2 Invers proporsjonalitet er en funksjon som er gitt av formelen y \u003d k / x, hvor k ≠ 0. K kalles koeffisienten omvendt proporsjonalitet. Den inverse proporsjonalitetsgrafen er en hyperbel.

Funksjonen y \u003d x 2 er representert av en graf kalt en parabel: på intervallet [-~; 0] funksjonen avtar, på intervallet øker funksjonen.

Funksjonen y \u003d x 3 øker langs hele talllinjen og er grafisk representert av en kubisk parabel.

Strømfunksjon med naturlig indikator. Denne funksjonen er gitt av formelen y \u003d x n, hvor n er naturlig tall. Grafer strømfunksjon med en naturlig eksponent er avhengig av n. For eksempel, hvis n = 1, vil grafen være en rett linje (y = x), hvis n = 2, vil grafen være en parabel osv.

Power-funksjon med heltall negativ indikator representert ved formelen y \u003d x -n, der n er et naturlig tall. Denne funksjonen er definert for alle x ≠ 0. Grafen til funksjonen avhenger også av eksponenten n.

Power funksjon med positiv brøkindikator. Denne funksjonen er representert av formelen y \u003d x r, der r er en positiv irreduserbar brøk. Denne funksjonen er heller ikke partall eller merkelig.

Graflinje som viser forholdet mellom avhengige og uavhengige variabler på koordinatplanet. Grafen tjener til å vise disse elementene visuelt.

En uavhengig variabel er en variabel som kan ta på seg en hvilken som helst verdi i omfanget av en funksjon (hvor gitt funksjon gir mening (kan ikke dele på null)

For å plotte en funksjonsgraf,

1) Finn ODZ (utvalg av akseptable verdier)

2) ta noen vilkårlige verdier for den uavhengige variabelen

3) Finn verdien av den avhengige variabelen

4) Bygg koordinatplan merk disse punktene på den

5) Koble sammen linjene deres om nødvendig, undersøk den resulterende grafen Transformasjon av grafer av elementære funksjoner.

Grafkonvertering

I ren form de grunnleggende elementære funksjonene påtreffes, dessverre, ikke så ofte. Mye mer sannsynlig å håndtere elementære funksjoner hentet fra de grunnleggende elementære ved å legge til konstanter og koeffisienter. Grafer for slike funksjoner kan bygges ved å bruke geometriske transformasjoner til grafene til de tilsvarende grunnleggende elementære funksjonene (eller gå til nytt system koordinater). For eksempel er den kvadratiske funksjonsformelen kvadratisk parabel en formel komprimert tre ganger i forhold til ordinataksen, symmetrisk vist i forhold til abscisseaksen, forskjøvet mot retningen til denne aksen med 2/3 enheter og forskjøvet langs retningen til ordinataksen med 2 enheter.

La oss forstå disse geometriske transformasjonene av en funksjonsgraf trinn for trinn ved å bruke spesifikke eksempler.

Ved hjelp av geometriske transformasjoner av grafen til funksjonen f (x), kan en graf for en hvilken som helst funksjon av formformelen konstrueres, der formelen er kompresjons- eller ekspansjonskoeffisienten langs henholdsvis oy- og okseaksen, minus tegn foran koeffisientformelen og formelen indikerer en symmetrisk visning av grafen mht koordinatakser, a og b definerer skiftet i forhold til henholdsvis abscissen og ordinataksen.

Dermed er det tre typer geometriske transformasjoner av funksjonsgrafen:

Den første typen er skalering (komprimering eller ekspansjon) langs abscissen og ordinataksene.

Behovet for skalering er indikert med andre formelkoeffisienter enn én, hvis tallet er mindre enn 1, så komprimeres grafen i forhold til oy og strekkes i forhold til okse, hvis tallet er større enn 1, så strekker vi oss langs ordinataksen og krympe langs abscisseaksen.

Den andre typen er en symmetrisk (speil) visning med hensyn til koordinataksene.

Behovet for denne transformasjonen er indikert med minustegnet foran koeffisientene til formelen (i dette tilfellet viser vi grafen symmetrisk i forhold til okseaksen) og formelen (i dette tilfellet viser vi grafen symmetrisk med i forhold til y-aksen). Hvis det ikke er noen minustegn, hoppes dette trinnet over.

Sammendrag av algebratimen og begynnelsen av analyse i klasse 10

om emnet: "Kartkonvertering trigonometriske funksjoner»

Hensikten med leksjonen: å systematisere kunnskap om emnet "Egenskaper og grafer for trigonometriske funksjoner y \u003d sin (x), y \u003d cos (x)".

Leksjonens mål:

gjenta egenskapene til trigonometriske funksjoner y \u003d sin (x), y \u003d cos (x);
gjenta reduksjonsformlene;
konvertering av grafer av trigonometriske funksjoner;
utvikle oppmerksomhet, hukommelse, logisk tenkning; aktivere mental aktivitet evnen til å analysere, generalisere og resonnere;
utdanning av arbeidsomhet, flid for å nå målet, interesse for faget.

Leksjonsutstyr:ict

Leksjonstype: lære nytt

I løpet av timene

Før timen bygger 2 elever på tavlen grafer fra leksene sine.

Organiseringstid:

Hei folkens!

I dag i leksjonen vil vi konvertere grafene til trigonometriske funksjoner y \u003d sin (x), y \u003d cos (x).

Muntlig arbeid:

Sjekker lekser.

løse gåter.

Lære nytt stoff

Alle transformasjoner av funksjonsgrafer er universelle - de passer for alle funksjoner, inkludert trigonometriske. Her begrenser vi oss til en kort påminnelse om de viktigste transformasjonene av grafer.

Transformasjon av grafer av funksjoner.

Funksjonen y \u003d f (x) er gitt. Vi begynner å bygge alle grafer fra grafen til denne funksjonen, så utfører vi handlinger med den.

Funksjon

Hva skal man gjøre med timeplanen

y = f(x) + a

Vi hever alle punktene i den første grafen med en enhet opp.

y = f(x) – a

Alle punktene i den første grafen senkes med en enhet ned.

y = f(x + a)

Vi forskyver alle punktene i den første grafen med en enhet til venstre.

y = f (x - a)

Vi forskyver alle punktene i den første grafen med en enhet til høyre.

y = a*f(x),a>1

Vi fikser nullene på plass, vi flytter de øvre punktene høyere en ganger, de nedre senker vi ned en ganger.

Grafen vil "strekke seg" opp og ned, nullene forblir på plass.

y = a*f(x), a<1

Vi fikser nullene, de øvre punktene vil gå ned en gang, de nedre vil stige flere ganger. Grafen vil "krympe" til x-aksen.

y=-f(x)

Speil den første grafen om x-aksen.

y = f(akse), a<1

Fest et punkt på y-aksen. Hvert segment på x-aksen økes med en ganger. Grafen vil strekke seg fra y-aksen i forskjellige retninger.

y = f(ax), a>1

Fest et punkt på ordinataksen, hvert segment på abscisseaksen reduseres med en ganger. Grafen vil "krympe" til y-aksen på begge sider.

y= | f(x)|

Delene av grafen som ligger under abscisseaksen, er speilvendt. Hele grafen vil være plassert i det øvre halvplanet.

Løsningsordninger.

1)y = sin x + 2.

Vi bygger en graf y \u003d sin x. Vi hever hvert punkt i grafen med 2 enheter (null også).

2)y \u003d cos x - 3.

Vi bygger en graf y \u003d cos x. Vi senker hvert punkt på grafen med 3 enheter.

3)y = cos (x - /2)

Vi bygger en graf y \u003d cos x. Vi flytter alle punkter n/2 til høyre.

4) y = 2 synd x.

Vi bygger en graf y \u003d sin x. Vi lar nullene være på plass, hever de øvre punktene 2 ganger, senker de nedre med samme mengde.

PRAKTISK ARBEID Plotte trigonometriske funksjoner ved hjelp av Advanced Grapher-programmet.

La oss plotte funksjonen y = -cos 3x + 2.

La oss plotte funksjonen y \u003d cos x.
Reflekter det om x-aksen.
Denne grafen må komprimeres tre ganger langs x-aksen.
Til slutt må en slik graf løftes opp med tre enheter langs y-aksen.

y = 0,5 sin x.

y=0,2 for x-2

y = 5 cos 0 .5 x

y=-3sin(x+π).

2) Finn feilen og fiks den.

V. Historisk materiale. Eulers melding.

Leonhard Euler er den største matematikeren på 1700-tallet. Født i Sveits. I mange år bodde og arbeidet han i Russland, medlem av St. Petersburg-akademiet.

Hvorfor skal vi vite og huske navnet på denne forskeren?

På begynnelsen av 1700-tallet var trigonometri fortsatt utilstrekkelig utviklet: det var ingen symboler, formler ble skrevet i ord, det var vanskelig å assimilere dem, spørsmålet om tegn på trigonometriske funksjoner i forskjellige kvartaler av sirkelen var også uklart, bare vinkler eller buer ble forstått som et argument for en trigonometrisk funksjon. Bare i verkene til Euler fikk trigonometri et moderne utseende. Det var han som begynte å vurdere den trigonometriske funksjonen til et tall, dvs. argumentet ble ikke bare forstått som buer eller grader, men også som tall. Euler utledet alle trigonometriske formler fra flere grunnleggende, strømlinjeformet spørsmålet om tegnene på den trigonometriske funksjonen i forskjellige kvartaler av sirkelen. For å betegne trigonometriske funksjoner introduserte han symboler: sin x, cos x, tg x, ctg x.

På terskelen til 1700-tallet dukket en ny retning opp i utviklingen av trigonometri - analytisk. Hvis hovedmålet med trigonometri før det ble ansett for å være løsningen av trekanter, betraktet Euler trigonometri som vitenskapen om trigonometriske funksjoner. Den første delen: funksjonslæren er en del av den generelle funksjonslæren, som studeres i matematisk analyse. Den andre delen: løsningen av trekanter - kapittelet om geometri. Slike innovasjoner ble laget av Euler.

VI. Gjentakelse

Selvstendig arbeid "Legg til formelen."

VII. Leksjonssammendrag:

1) Hva nytt lærte du på leksjonen i dag?

2) Hva mer vil du vite?

3) Karaktersetting.

Teksten til verket er plassert uten bilder og formler.
Den fullstendige versjonen av verket er tilgjengelig i fanen "Jobbfiler" i PDF-format

Introduksjon

Transformasjon av grafer for en funksjon er et av de grunnleggende matematiske konseptene som er direkte knyttet til praktiske aktiviteter. Transformasjonen av grafer av funksjoner blir først møtt i algebra klasse 9 når man studerer emnet "Kvadratisk funksjon". Den andregradsfunksjonen introduseres og studeres i nær sammenheng med andregradsligninger og ulikheter. Mange matematiske konsepter vurderes også av grafiske metoder, for eksempel i klasse 10-11, studiet av en funksjon gjør det mulig å finne definisjonsdomenet og funksjonens omfang, områdene med reduksjon eller økning, asymptoter, intervaller med konstant fortegn, etc. Dette viktige spørsmålet er også brakt til GIA. Det følger at konstruksjon og transformasjon av funksjonsgrafer er en av hovedoppgavene ved undervisning i matematikk på skolen.

For å plotte mange funksjoner kan det imidlertid brukes en rekke metoder for å lette konstruksjonen. Ovennevnte definerer relevans forskningsemner.

Studieobjekt er studiet av transformasjonen av grafer i skolematematikk.

Studieemne - prosessen med å konstruere og transformere funksjonsgrafer i en ungdomsskole.

problem spørsmål: er det mulig å bygge en graf av en ukjent funksjon, med ferdighetene til å transformere grafer for elementære funksjoner?

Mål: plotte en funksjon i en ukjent situasjon.

Oppgaver:

1. Analyser undervisningsmaterialet om problemet som studeres. 2. Identifisere skjemaer for transformering av funksjonsgrafer i et skolematematikkkurs. 3. Velg de mest effektive metodene og verktøyene for å konstruere og konvertere funksjonsgrafer. 4. Kunne anvende denne teorien i problemløsning.

Nødvendig grunnleggende kunnskap, ferdigheter, evner:

Bestem verdien av funksjonen ved verdien av argumentet på forskjellige måter å spesifisere funksjonen på;

Bygge grafer av de studerte funksjonene;

Beskriv oppførselen og egenskapene til funksjoner fra grafen og, i de enkleste tilfellene, fra formelen, finn de største og minste verdiene fra grafen til funksjonen;

Beskrivelser ved hjelp av funksjoner av ulike avhengigheter, deres representasjon grafisk, tolkning av grafer.

Hoveddel

Teoretisk del

Som den første grafen til funksjonen y = f(x), vil jeg velge en kvadratisk funksjon y=x 2 . Jeg vil vurdere tilfeller av transformasjon av denne grafen assosiert med endringer i formelen som definerer denne funksjonen og trekke konklusjoner for enhver funksjon.

1. Funksjon y = f(x) + a

I den nye formelen endres funksjonsverdiene (koordinatene til grafpunktene) med tallet a, sammenlignet med den "gamle" funksjonsverdien. Dette fører til en parallell oversettelse av grafen til funksjonen langs OY-aksen:

opp hvis a > 0; ned hvis a< 0.

KONKLUSJON

Dermed er grafen til funksjonen y=f(x)+a hentet fra grafen til funksjonen y=f(x) ved hjelp av parallell translasjon langs y-aksen med a enheter opp hvis a > 0, og ved a enheter ned hvis en< 0.

2. Funksjon y = f(x-a),

I den nye formelen endres argumentverdiene (abscissen til grafpunktene) med tallet a, sammenlignet med den "gamle" argumentverdien. Dette fører til en parallell overføring av grafen til funksjonen langs OX-aksen: til høyre hvis a< 0, влево, если a >0.

KONKLUSJON

Så grafen til funksjonen y= f(x - a) er hentet fra grafen til funksjonen y=f(x) ved parallell translasjon langs x-aksen med en enheter til venstre hvis a > 0, og med en enheter til høyre hvis en< 0.

3. Funksjon y = k f(x), hvor k > 0 og k ≠ 1

I den nye formelen endres funksjonsverdiene (koordinatene til grafpunktene) k ganger sammenlignet med den "gamle" funksjonsverdien. Dette fører til: 1) "strekk" fra punktet (0; 0) langs OY-aksen med k ganger, hvis k > 1, 2) "komprimering" til punktet (0; 0) langs OY-aksen med en faktor av 0, hvis 0< k < 1.

KONKLUSJON

Derfor: for å bygge en graf for funksjonen y = kf(x), hvor k > 0 og k ≠ 1, må du multiplisere ordinatene til punktene til den gitte grafen til funksjonen y = f(x) med k. En slik transformasjon kalles å strekke seg fra punktet (0; 0) langs OY-aksen med k ganger hvis k > 1; sammentrekning til punktet (0; 0) langs OY-aksen med en faktor hvis 0< k < 1.

4. Funksjon y = f(kx), hvor k > 0 og k ≠ 1

I den nye formelen endres argumentverdiene (abscissen til grafpunktene) k ganger sammenlignet med den "gamle" argumentverdien. Dette fører til: 1) "strekk" fra punktet (0; 0) langs OX-aksen med 1/k ganger hvis 0< k < 1; 2) «сжатию» к точке (0; 0) вдоль оси OX. в k раз, если k > 1.

KONKLUSJON

Og så: for å bygge en graf for funksjonen y = f(kx), der k > 0 og k ≠ 1, må du multiplisere abscissen til punktene til den gitte grafen til funksjonen y=f(x) med k . En slik transformasjon kalles å strekke seg fra punktet (0; 0) langs OX-aksen med 1/k ganger hvis 0< k < 1, сжатием к точке (0; 0) вдоль оси OX. в k раз, если k > 1.

5. Funksjon y = - f (x).

I denne formelen er verdiene til funksjonen (koordinatene til grafpunktene) reversert. Denne endringen resulterer i en symmetrisk visning av den opprinnelige grafen til funksjonen om x-aksen.

KONKLUSJON

For å bygge en graf av funksjonen y = - f (x), trenger du en graf for funksjonen y = f (x)

reflekterer symmetrisk om OX-aksen. En slik transformasjon kalles en symmetritransformasjon om OX-aksen.

6. Funksjon y = f (-x).

I denne formelen er verdiene til argumentet (abscissen til grafpunktene) reversert. Denne endringen resulterer i en symmetrisk visning av den opprinnelige funksjonsgrafen i forhold til OY-aksen.

Et eksempel for funksjonen y \u003d - x² denne transformasjonen er ikke merkbar, siden denne funksjonen er jevn og grafen ikke endres etter transformasjonen. Denne transformasjonen er synlig når funksjonen er oddetall og når verken partall eller oddetall.

7. Funksjon y = |f(x)|.

I den nye formelen er funksjonsverdiene (koordinatene til grafpunktene) under modultegnet. Dette fører til at deler av grafen til den opprinnelige funksjonen forsvinner med negative ordinater (det vil si de som ligger i det nedre halvplanet i forhold til Ox-aksen) og en symmetrisk visning av disse delene i forhold til Ox-aksen.

8. Funksjon y= f (|x|).

I den nye formelen er argumentverdiene (abscissen til grafpunktene) under modultegnet. Dette fører til at deler av grafen til den opprinnelige funksjonen med negative abscisser (det vil si de som ligger i venstre halvplan i forhold til OY-aksen) forsvinner og at de erstattes med deler av den opprinnelige grafen som er symmetriske om OY. akser.

Praktisk del

Tenk på noen få eksempler på anvendelsen av teorien ovenfor.

EKSEMPEL 1.

Løsning. La oss transformere denne formelen:

1) La oss bygge en graf av funksjonen

EKSEMPEL 2.

Tegn funksjonen gitt av formelen

Løsning. La oss transformere denne formelen ved å fremheve i denne kvadratisk trinomium binomial kvadrat:

1) La oss bygge en graf av funksjonen

2) Utfør en parallell overføring av den konstruerte grafen til vektoren

EKSEMPEL 3.

OPPGAVE FRA BRUKEN Plotte en stykkevis funksjon

Funksjonsgraf Funksjonsgraf y=|2(x-3)2-2|; 1

Parallell overføring.

OVERFØRING LANGS Y-AKSEN

f(x) => f(x) - b
La det være nødvendig å plotte funksjonen y \u003d f (x) - b. Det er lett å se at ordinatene til denne grafen for alle verdier av x på |b| enheter mindre enn de tilsvarende ordinatene til grafen til funksjonene y = f(x) for b>0 og |b| flere enheter - ved b 0 eller opp ved b For å plotte funksjonen y + b = f(x), plott funksjonen y = f(x) og flytt x-aksen til |b| enheter opp for b>0 eller med |b| enheter nede ved b

OVERFØRING LANGS X-AKSEN

f(x) => f(x + a)
La det være nødvendig å plotte funksjonen y = f(x + a). Tenk på en funksjon y = f(x), som på et tidspunkt tar x = x1 verdien y1 = f(x1). Det er klart at funksjonen y = f(x + a) vil ha samme verdi i punktet x2, hvis koordinat bestemmes fra likheten x2 + a = x1, dvs. x2 = x1 - a, og likheten som vurderes er gyldig for totaliteten av alle verdier fra funksjonens domene. Derfor kan grafen til funksjonen y = f(x + a) oppnås ved parallell forskyvning av grafen til funksjonen y = f(x) langs x-aksen til venstre med |a| ener for a > 0 eller til høyre ved |a| enheter for a For å plotte funksjonen y = f(x + a), plott funksjonen y = f(x) og flytt y-aksen til |a| enheter til høyre for a>0 eller |a| enheter til venstre for en

Eksempler:

1.y=f(x+a)

2.y=f(x)+b

Speilbilde.

GRATTERING AV EN FUNKSJON AV VISNING Y = F(-X)

f(x) => f(-x)
Det er klart at funksjonene y = f(-x) og y = f(x) har like verdier på punkter hvis abscisser er like i absolutt verdi, men motsatt i fortegn. Med andre ord, ordinatene til grafen til funksjonen y = f(-x) i området med positive (negative) verdier av x vil være lik ordinatene til grafen til funksjonen y = f(x) med negative (positive) x-verdier som tilsvarer absolutt verdi. Dermed får vi følgende regel.
For å plotte funksjonen y = f(-x), bør du plotte funksjonen y = f(x) og reflektere den langs y-aksen. Den resulterende grafen er grafen til funksjonen y = f(-x)

GRATTERING AV EN FUNKSJON AV VISNING Y = - F(X)

f(x) => - f(x)
Ordinatene til grafen til funksjonen y = - f(x) for alle verdiene av argumentet er like i absolutt verdi, men motsatt i fortegn til ordinatene til grafen til funksjonen y = f(x) for samme verdier av argumentet. Dermed får vi følgende regel.
For å plotte funksjonen y = - f(x), bør du plotte funksjonen y = f(x) og reflektere den om x-aksen.

Eksempler:

1.y=-f(x)

2.y=f(-x)

3.y=-f(-x)

Deformasjon.

DEFORMASJON AV GRAFEN LANGS Y-AKSEN

f(x) => kf(x)
Betrakt en funksjon av formen y = k f(x), hvor k > 0. Det er lett å se at for like verdier av argumentet vil ordinatene til grafen til denne funksjonen være k ganger større enn ordinatene til grafen til funksjonen y \u003d f (x) for k > 1 eller 1/k ganger mindre enn ordinatene til grafen til funksjonen y = f (x) for k For å plotte grafen til funksjonen y = k f (x) bør du plotte funksjonen y = f(x) og øke dens ordinater med k ganger for k > 1 (strekk grafen langs ordinataksen) eller reduser ordinatene med 1/k ganger for k
k > 1- strekker seg fra okseaksen
0 - kompresjon til OX-aksen

GRAF DEFORMASJON LANGS X-AKSEN

f(x) => f(kx)
La det være nødvendig å plotte funksjonen y = f(kx), hvor k>0. Tenk på en funksjon y = f(x), som i vilkårlig poeng x = x1 tar verdien y1 = f(x1). Det er åpenbart at funksjonen y = f(kx) har samme verdi i punktet x = x2, hvis koordinat bestemmes av likheten x1 = kx2, og denne likheten er gyldig for totalen av alle verdier av x fra domenet til funksjonen. Følgelig blir grafen til funksjonen y = f(kx) komprimert (for k 1) langs abscisseaksen i forhold til grafen til funksjonen y = f(x). Dermed får vi regelen.
For å plotte funksjonen y = f(kx), plott funksjonen y = f(x) og reduser dens abscisse med k ganger for k>1 (komprimer grafen langs abscisse-aksen) eller øk abscissen med 1/k ganger for k
k > 1- kompresjon til Oy-aksen
0 - strekker seg fra OY-aksen

Arbeidet ble utført av Alexander Chichkanov, Dmitry Leonov under tilsyn av Tkach T.V., Vyazovov S.M., Ostroverkhova I.V.
©2014

Grunnleggende elementære funksjoner i sin rene form uten transformasjon er sjeldne, så som oftest må man jobbe med elementære funksjoner som hentes fra de grunnleggende ved å legge til konstanter og koeffisienter. Slike grafer bygges ved hjelp av geometriske transformasjoner av gitte elementære funksjoner.

La oss se på et eksempel kvadratisk funksjon av formen y \u003d - 1 3 x + 2 3 2 + 2, hvis graf er en parabel y \u003d x 2, som er komprimert tre ganger i forhold til O y og symmetrisk i forhold til O x, dessuten, forskjøvet med 2 3 med O x til høyre, med 2 enheter med O opp. På koordinatlinjen ser det slik ut:

Yandex.RTB R-A-339285-1

Geometriske transformasjoner av en graf for en funksjon

Ved å bruke geometriske transformasjoner av den gitte grafen får vi at grafen er representert av en funksjon av formen ± k 1 f (± k 2 (x + a)) + b, når k 1 > 0, k 2 > 0 er kompresjonsforhold på 0< k 1 < 1 , 0 < k 2 < 1 или растяжения при k 1 >1, k 2 > 1 langs O y og O x. Tegnet foran koeffisientene k 1 og k 2 indikerer den symmetriske visningen av grafen i forhold til aksene, a og b forskyver den langs O x og O y.

Definisjon 1

Det er 3 typer geometrisk transformasjonsgrafikk:

Skalering langs O x og O y. Dette påvirkes av koeffisientene k 1 og k 2, forutsatt at 1 ikke er lik, når 0< k 1 < 1 , 0 < k 2 < 1 , то график сжимается по О у, а растягивается по О х, когда k 1 >1, k 2 > 1, så strekkes grafen langs O y og komprimeres langs O x.
Symmetrisk visning om koordinatakser. Hvis det er et "-"-tegn før k 1, går symmetrien i forhold til O x, før k 2 går den i forhold til O y. Hvis "-" mangler, hoppes beslutningspunktet over;
Parallell oversettelse (skift) langs O x og O y. Transformasjonen utføres når koeffisientene a og b ikke er lik 0 . Hvis verdien av a er positiv, flyttes grafen til venstre med | en | enheter, hvis negativ a , så til høyre med samme avstand. Verdien av b bestemmer bevegelsen langs O y-aksen, som betyr at hvis b er positiv, beveger funksjonen seg opp, og hvis b er negativ, beveger den seg ned.

Vurder løsninger ved å bruke eksempler, start med en potensfunksjon.

Eksempel 1

Transformer y = x 2 3 og plott funksjonen y = - 1 2 · 8 x - 4 2 3 + 3 .

Løsning

La oss representere funksjonene slik:

y = - 1 2 8 x - 4 2 3 + 3 = - 1 2 8 x - 1 2 2 3 + 3 = - 2 x - 1 2 2 3 + 3

Hvor k 1 \u003d 2, bør du være oppmerksom på tilstedeværelsen av "-", a \u003d - 1 2, b \u003d 3. Herfra får vi at geometriske transformasjoner er laget ved å strekke seg langs O y to ganger, vist symmetrisk i forhold til O x, forskjøvet til høyre med 1 2 og opp med 3 enheter.

Hvis vi representerer den opprinnelige potensfunksjonen, får vi det

når strukket to ganger langs O y, har vi det

En kartleggingssymmetrisk med hensyn til O x har formen

og flytt til høyre med 12

flytte 3 enheter opp har formen

Vi vil vurdere transformasjonene av eksponentialfunksjonen ved å bruke eksempler.

Eksempel 2

Tegn graf eksponentialfunksjonen y = - 1 2 1 2 (2 - x) + 8 .

Løsning.

Vi transformerer funksjonen basert på egenskapene til potensfunksjonen. Da får vi det

y = - 1 2 1 2 (2 - x) + 8 = - 1 2 - 1 2 x + 1 + 8 = - 1 2 1 2 - 1 2 x + 8

Dette viser at vi får en kjede av transformasjoner y = 1 2 x:

y = 1 2 x → y = 1 2 1 2 x → y = 1 2 1 2 1 2 x → → y = - 1 2 1 2 1 2 x → y = - 1 2 1 2 - 1 2 x → → y = - 1 2 1 2 - 1 2 x + 8

Vi får det originalen eksponentiell funksjon har formen

Klem to ganger langs O y gir

Strekker seg langs O x

Symmetrisk kartlegging med hensyn til O x

Kartleggingen er symmetrisk med hensyn til O y

Skift opp 8 enheter

Tenk på løsningen med et eksempel logaritmisk funksjon y = log(x) .

Eksempel 3

Konstruer funksjonen y = ln e 2 · - 1 2 x 3 ved å bruke transformasjonen y = ln (x) .

Løsning

For å løse det må du bruke egenskapene til logaritmen, da får vi:

y = ln e 2 - 1 2 x 3 = ln (e 2) + ln - 1 2 x 1 3 = 1 3 ln - 1 2 x + 2

Transformasjonene av den logaritmiske funksjonen ser slik ut:

y = ln (x) → y = 1 3 ln (x) → y = 1 3 ln 1 2 x → → y = 1 3 ln - 1 2 x → y = 1 3 ln - 1 2 x + 2

Tegn en graf av den opprinnelige logaritmiske funksjonen

Vi komprimerer systemet i henhold til O y

Vi strekker oss langs O x

Vi gjør en kartlegging med hensyn til O y

Vi gjør et skifte opp med 2 enheter, får vi

For å transformere grafene til en trigonometrisk funksjon, er det nødvendig å tilpasse løsninger av formen ± k 1 · f (± k 2 · (x + a)) + b til skjemaet. Det er nødvendig at k 2 er lik T k 2 . Derfor får vi den 0< k 2 < 1 дает понять, что график функции увеличивает период по О х, при k 1 уменьшает его. От коэффициента k 1 зависит амплитуда колебаний синусоиды и косинусоиды.

Tenk på eksempler på å løse oppgaver med transformasjoner y = sin x .

Eksempel 4

Plott y = - 3 sin 1 2 x - 3 2 - 2 ved å bruke transformasjonene til y=sinx-funksjonen.

Løsning

Det er nødvendig å bringe funksjonen til formen ± k 1 · f ± k 2 · x + a + b . For dette:

y = - 3 sin 1 2 x - 3 2 - 2 = - 3 sin 1 2 (x - 3) - 2

Det kan sees at k 1 \u003d 3, k 2 \u003d 1 2, a \u003d - 3, b \u003d - 2. Siden det er "-" før k 1, men ikke før k 2, får vi en kjede av transformasjoner av formen:

y = sin (x) → y = 3 sin (x) → y = 3 sin 1 2 x → y = - 3 sin 1 2 x → → y = - 3 sin 1 2 x - 3 → y = - 3 sin 1 2 (x - 3) - 2

Detaljert sinusbølgekonvertering. Når vi plotter den opprinnelige sinusformen y \u003d sin (x), finner vi at T \u003d 2 π regnes som den minste positive perioden. Finne maksimum i punktene π 2 + 2 π · k ; 1, og minimum - π 2 + 2 π · k; - 1 , k ∈ Z .

Strekk langs O y utføres tre ganger, noe som betyr at økningen i amplituden til oscillasjoner vil øke med 3 ganger. T = 2 π er den minste positiv periode. Maksimene går til π 2 + 2 π · k ; 3, k ∈ Z, minimum - - π 2 + 2 π · k; - 3 , k ∈ Z .

Når vi strekker langs O x to ganger, får vi at den minste positive perioden øker med 2 ganger og er lik T \u003d 2 π k 2 \u003d 4 π. Maksima går til π + 4 π · k ; 3 , k ∈ Z , minima - i - π + 4 π · k ; - 3 , k ∈ Z .

Bildet produseres symmetrisk i forhold til O x. Den minste positive perioden i denne saken endres ikke og er lik T = 2 π k 2 = 4 π . Den maksimale overgangen ser ut som - π + 4 π · k ; 3 , k ∈ Z , og minimum er π + 4 π · k ; - 3 , k ∈ Z .

Grafen er forskjøvet ned med 2 enheter. Det er ingen endring i den minste fellesperioden. Finne maksima med overgang til punkter - π + 3 + 4 π · k ; 1, k ∈ Z, minimum - π + 3 + 4 π · k; - 5 , k ∈ Z .

På dette stadiet grafen til en trigonometrisk funksjon anses som transformert.

Ta i betraktning detaljert konvertering funksjoner y = cos x .

Eksempel 5

Tegn funksjonen y = 3 2 cos 2 - 2 x + 1 ved å bruke en funksjonstransformasjon av formen y = cos x .

Løsning

I følge algoritmen, gitt funksjon reduser til formen ± k 1 · f ± k 2 · x + a + b . Da får vi det

y = 3 2 cos 2 - 2 x + 1 = 3 2 cos (- 2 (x - 1)) + 1

Det kan sees fra betingelsen at k 1 \u003d 3 2, k 2 \u003d 2, a \u003d - 1, b \u003d 1, hvor k 2 har "-", og den er fraværende før k 1.

Herfra får vi at vi får en graf av en trigonometrisk funksjon av formen:

y = cos (x) → y = 3 2 cos (x) → y = 3 2 cos (2 x) → y = 3 2 cos (- 2 x) → → y = 3 2 cos (- 2 (x - 1) )) → y = 3 2 cos - 2 (x - 1) + 1

Steg for steg kosinustransformasjon med grafisk illustrasjon.

På gitt tidsplan y = cos (x) det kan sees at den minste felles perioden er lik T = 2 π . Finne maksima i 2 π · k ; 1 , k ∈ Z , og minimum π + 2 π · k ; - 1 , k ∈ Z .

Når den strekkes langs O y med en faktor på 32, øker oscillasjonsamplituden med en faktor på 32. T = 2 π er den minste positive perioden. Finne maksima i 2 π · k ; 3 2 , k ∈ Z , minimum i π + 2 π · k ; - 3 2 , k ∈ Z .

Ved komprimering langs O x to ganger får vi at den minste positive perioden er tallet T = 2 π k 2 = π . Maksima overføres til π · k ; 3 2 , k ∈ Z , minimum - π 2 + π · k ; - 3 2 , k ∈ Z .

Symmetrisk kartlegging med hensyn til O y. Siden grafen er merkelig, vil den ikke endre seg.

Når du flytter grafen med 1 . Det er ingen endringer i den minste positive perioden T = π . Finne maksima i π · k + 1 ; 3 2 , k ∈ Z , minimum - π 2 + 1 + π · k ; - 3 2 , k ∈ Z .

Når forskjøvet med 1, er den minste positive perioden T = π og endres ikke. Finne maksima i π · k + 1 ; 5 2 , k ∈ Z , minimum i π 2 + 1 + π · k ; - 1 2 , k ∈ Z .

Transformasjonen av cosinusfunksjonen er fullført.

Vurder transformasjoner ved å bruke eksemplet y = t g x .

Eksempel 6

Tegn funksjonen y = - 1 2 t g π 3 - 2 3 x + π 3 ved å bruke transformasjonene til funksjonen y = t g (x) .

Løsning

Til å begynne med er det nødvendig å bringe den gitte funksjonen til formen ± k 1 f ± k 2 x + a + b, hvoretter vi får det

y = - 1 2 t g π 3 - 2 3 x + π 3 = - 1 2 t g - 2 3 x - π 2 + π 3

Det er tydelig sett at k 1 \u003d 1 2, k 2 \u003d 2 3, a \u003d - π 2, b \u003d π 3, og før koeffisientene k 1 og k 2 er det en "-". Så, etter å ha transformert tangentoidene, får vi

y = t g (x) → y = 1 2 t g (x) → y = 1 2 t g 2 3 x → y = - 1 2 t g 2 3 x → → y = - 1 2 t g - 2 3 x → y = - 1 2 t g - 2 3 x - π 2 → → y = - 1 2 t g - 2 3 x - π 2 + π 3

Trinn-for-trinn transformasjon av en tangentoid med et grafisk bilde.

Vi har at den opprinnelige grafen er y = t g (x) . Den positive periodeendringen er T = π . Definisjonsdomenet er - π 2 + π · k ; π 2 + π · k , k ∈ Z .

Vi klemmer 2 ganger langs O y. T \u003d π regnes som den minste positive perioden, der definisjonsdomenet er - π 2 + π · k ; π 2 + π · k , k ∈ Z .

Strekk langs O x 3 2 ganger. La oss beregne den minste positive perioden, og var lik T = π k 2 = 3 2 π . Og domenet til funksjonen med koordinater - 3 π 4 + 3 2 π · k ; 3 π 4 + 3 2 π · k , k ∈ Z , bare definisjonsdomenet endres.

Symmetri går på siden av O x. Perioden vil ikke endres på dette tidspunktet.

Det er nødvendig å vise koordinataksene symmetrisk. Definisjonsdomenet er i dette tilfellet uendret. Diagrammet er det samme som før. Dette antyder at tangentfunksjonen er oddetall. Hvis til merkelig funksjon sett en symmetrisk avbildning O x og O y, så vil vi transformere til den opprinnelige funksjonen.