Hvor mange asymptoter kan en graf av en funksjon ha?

Ingen, en, to, tre... eller et uendelig antall. Vi vil ikke gå langt for eksempler, vi vil huske elementære funksjoner. Parabel, kubisk parabel, sinusoid har ingen asymptoter i det hele tatt. Grafen til en eksponentiell, logaritmisk funksjon har en enkelt asymptote. Arktangensen, arccotangensen har to av dem, og tangenten, cotangensen har et uendelig antall. Det er ikke uvanlig at en graf har både horisontale og vertikale asymptoter. Hyperbole, vil alltid elske deg.

Hva betyr det å finne asymptotene til en graf til en funksjon?

Dette betyr å finne ut ligningene deres, og tegne rette linjer hvis tilstanden til problemet krever det. Prosessen innebærer å finne grensene for funksjonen.

Vertikale asymptoter av en graf for en funksjon

Den vertikale asymptoten til grafen er som regel ved punktet med uendelig diskontinuitet av funksjonen. Det er enkelt: Hvis funksjonen på et tidspunkt får et uendelig brudd, er den rette linjen gitt av ligningen den vertikale asymptoten til grafen.

Merk: Vær oppmerksom på at notasjonen brukes til å referere til to helt forskjellige konsepter. Poenget er underforstått eller ligningen til en rett linje - avhenger av konteksten.

For å etablere tilstedeværelsen av en vertikal asymptote på et punkt, er det derfor tilstrekkelig å vise at minst én av de ensidige grensene er uendelig. Oftest er dette punktet hvor nevneren til funksjonen er lik null. Faktisk har vi allerede funnet vertikale asymptoter i de siste eksemplene av leksjonen om kontinuiteten til en funksjon. Men i en rekke tilfeller er det bare en ensidig grense, og hvis den er uendelig, så igjen - elsk og favoriser den vertikale asymptoten. Den enkleste illustrasjonen: og y-aksen.

Det åpenbare faktum følger også av ovenstående: hvis funksjonen er kontinuerlig på, er det ingen vertikale asymptoter. Av en eller annen grunn dukket det opp en parabel. Faktisk, hvor kan du "stikke" en rett linje her? ... ja ... jeg forstår ... følgerne til onkel Freud krøp sammen i hysteri =)

Det omvendte utsagnet er generelt ikke sant: funksjonen er for eksempel ikke definert på hele den reelle linjen, men den er fullstendig fratatt asymptoter.

Skråasymptoter av en graf til en funksjon

Skråstilte (som et spesialtilfelle - horisontale) asymptoter kan tegnes hvis funksjonsargumentet har en tendens til "pluss uendelig" eller "minus uendelig". Derfor kan grafen til en funksjon ikke ha mer enn 2 skrå asymptoter. For eksempel har grafen til en eksponentiell funksjon en enkelt horisontal asymptote ved, og grafen til arctangensen ved har to slike asymptoter, og forskjellige.

Definisjon . En asymptote av en graf til en funksjon er en linje som har den egenskapen at avstanden fra punktet til grafen til funksjonen til denne linjen har en tendens til null med en ubegrenset avstand fra opprinnelsen til grafpunktet.

I henhold til metodene for å finne dem, skilles tre typer asymptoter ut: vertikal, horisontal, skrå.

Tydeligvis er horisontale spesielle tilfeller av skråstilte (for ).

Å finne asymptotene til funksjonsgrafen er basert på følgende utsagn.

Teorem 1 . La funksjonen være definert i det minste i et eller annet semi-nabolag av punktet og la minst en av dets ensidige grenser være uendelig på dette punktet, dvs. lik. Da er den rette linjen den vertikale asymptoten til grafen til funksjonen.

Dermed bør de vertikale asymptotene til funksjonsgrafen søkes ved diskontinuitetspunktene til funksjonen eller i enden av dens definisjonsdomene (hvis disse er endelige tall).

Teorem 2 . La funksjonen defineres for argumentverdier som er tilstrekkelig store i absolutt verdi, og det er en begrenset grense for funksjonen . Da er linjen den horisontale asymptoten til grafen til funksjonen.

Det kan hende det , a , og er endelige tall, så har grafen to forskjellige horisontale asymptoter: venstrehendt og høyrehendt. Hvis bare én av de endelige grensene eller eksisterer, så har grafen enten én venstrehendt eller én høyrehendt horisontal asymptote.

Teorem 3 . La funksjonen defineres for verdier av argumentet som er tilstrekkelig store i absolutt verdi, og det er begrensede grenser og . Da er den rette linjen den skrå asymptoten til grafen til funksjonen.

Merk at hvis minst en av disse grensene er uendelig, så er det ingen skrå asymptote.

Den skrå asymptoten, som den horisontale, kan være ensidig.

Eksempel. Finn alle asymptotene til funksjonsgrafen.

Løsning.

Funksjonen er definert med . La oss finne dens ensidige grenser på punkter.

Fordi og (de to andre ensidige grensene kan ikke lenger finnes), så er linjene de vertikale asymptotene til grafen til funksjonen.

Beregn

(bruk L'Hopitals regel) = .

Så linjen er en horisontal asymptote.

Siden den horisontale asymptoten eksisterer, leter vi ikke lenger etter skrå asymptoter (de finnes ikke).

Svar: Grafen har to vertikale og en horisontal asymptoter.

Generell funksjonsstudiey = f (x ).

Funksjonsomfang. Finn domenet D(f). Hvis det ikke er for vanskelig, er det nyttig å også finne utvalget E(f). (Men i mange tilfeller er spørsmålet om å finne E(f) er forsinket til ytterpunktene av funksjonen er funnet.)

Spesielle egenskaper ved en funksjon. Finn ut de generelle egenskapene til funksjonen: partall, oddetall, periodisitet, etc. Ikke alle funksjoner har slike egenskaper som partall eller oddetall. En funksjon er absolutt verken partall eller oddetall hvis dens definisjonsdomene er asymmetrisk rundt punktet 0 på aksen Okse. På samme måte, for enhver periodisk funksjon, består definisjonsdomenet enten av hele den reelle aksen, eller av foreningen av periodisk repeterende systemer av gap.

Vertikale asymptoter. Finn ut hvordan funksjonen oppfører seg når argumentet nærmer seg grensepunktene til definisjonsdomenet D(f) hvis det er slike grensepunkter. I dette tilfellet kan vertikale asymptoter vises. Hvis funksjonen har slike diskontinuitetspunkter der den ikke er definert, blir disse punktene også sjekket for tilstedeværelsen av vertikale asymptoter av funksjonen.

Skrå og horisontale asymptoter. Hvis omfanget D(f) inkluderer stråler av formen (a;+) eller (−;b), så kan vi prøve å finne skrå asymptoter (eller horisontale asymptoter) ved henholdsvis x+ eller x−, dvs. finn limxf(x). Skrå asymptoter : y = kx + b, hvor k=limx+xf(x) og b=limx+(f(x)−x). Horisontale asymptoter : y = b, hvor limxf(x)=b.

Finne skjæringspunktene til grafen med aksene. Finne skjæringspunktet for grafen med aksen Oy. For å gjøre dette må du beregne verdien f(0). Finn også skjæringspunktene til grafen med aksen Okse, hvorfor finne røttene til ligningen f(x) = 0 (eller sørg for at det ikke er røtter). Ligningen kan ofte bare løses tilnærmet, men separasjonen av røttene bidrar til å forstå strukturen til grafen bedre. Deretter må du bestemme tegnet til funksjonen på intervallene mellom røttene og bruddpunktene.

Finne skjæringspunktene til grafen med asymptoten. I noen tilfeller kan det være nødvendig å finne karakteristiske punkter på grafen som ikke ble nevnt i de foregående avsnittene. For eksempel, hvis funksjonen har en skrå asymptote, kan du prøve å finne ut om det er noen skjæringspunkter for grafen med denne asymptoten.

Finne intervaller for konveksitet og konkavitet. Dette gjøres ved å undersøke fortegnet til den andre deriverte f(x). Finn bøyningspunktene ved kryssene mellom de konvekse og konkavite intervallene. Regn ut verdien av funksjonen ved vendepunktene. Hvis funksjonen har andre kontinuitetspunkter (annet enn bøyningspunkter) hvor den andre deriverte er lik 0 eller ikke eksisterer, så er det også nyttig på disse punktene å beregne verdien av funksjonen. Etter å ha funnet f(x) løser vi ulikheten f(x)0. På hvert av løsningsintervallene vil funksjonen være nedadkonveks. Ved å løse den omvendte ulikheten f(x)0 finner vi intervallene som funksjonen er konveks på oppover (det vil si konkav). Vi definerer bøyningspunkter som de punktene der funksjonen endrer retningen på konveksitet (og er kontinuerlig).

Slik er en typisk oppgave formulert, og det går ut på å finne ALLE asymptoter på grafen (vertikal, skrå/horisontal). Selv om vi, for å være mer presis i formuleringen av spørsmålet, snakker om en studie for tilstedeværelsen av asymptoter (tross alt er det kanskje ikke noen i det hele tatt).

La oss starte med noe enkelt:

Eksempel 1

Løsning Det er praktisk å dele det inn i to punkter:

1) Først sjekker vi om det er vertikale asymptoter. Nevneren forsvinner ved , og det er umiddelbart klart at på dette tidspunktet lider funksjonen uendelig gap, og den rette linjen gitt av ligningen er den vertikale asymptoten til grafen til funksjonen . Men før du trekker en slik konklusjon, er det nødvendig å finne ensidige grenser:

Jeg minner om regneteknikken, som jeg også dvele ved i artikkelen funksjonskontinuitet. pausepunkter. I uttrykket under grensetegnet erstatter vi i stedet for "x". Det er ikke noe interessant i telleren:
.

Men i nevneren viser det seg uendelig negativt tall:
, det bestemmer skjebnen til grensen.

Den venstre grensen er uendelig, og i prinsippet er det allerede mulig å avsi en dom om tilstedeværelsen av en vertikal asymptote. Men ensidige grenser trengs ikke bare for dette – de HJELPER Å FORSTÅ HVORDAN grafen til funksjonen er lokalisert og plott den RIKTIG. Derfor må vi også beregne høyre grense:

Konklusjon: ensidige grenser er uendelige, noe som betyr at linjen er en vertikal asymptote av grafen til funksjonen ved .

Første grense avgrenset, som betyr at det er nødvendig å "fortsette samtalen" og finne den andre grensen:

Den andre grensen også avgrenset.

Så vår asymptote er:

Konklusjon: den rette linjen gitt av ligningen er den horisontale asymptoten til grafen til funksjonen ved .

For å finne den horisontale asymptoten Du kan bruke den forenklede formelen:

Hvis det er en begrenset grense, er linjen en horisontal asymptote av grafen til funksjonen ved .

Det er lett å se at telleren og nevneren til funksjonen én vekstorden, som betyr at den ønskede grensen vil være begrenset:

Svar:

I henhold til betingelsen er det ikke nødvendig å fullføre tegningen, men hvis den er i full gang funksjonsforskning, så på utkastet lager vi umiddelbart en skisse:

Basert på de tre grensene som er funnet, prøv å uavhengig finne ut hvordan grafen til funksjonen kan lokaliseres. Ganske vanskelig? Finn 5-6-7-8 punkter og merk dem på tegningen. Imidlertid er grafen til denne funksjonen konstruert ved hjelp av transformasjoner av elementærfunksjonsgrafen, og lesere som nøye har undersøkt eksempel 21 i denne artikkelen vil lett gjette hva slags kurve det er.

Eksempel 2

Finn asymptoter til grafen til en funksjon

Dette er et gjør-det-selv eksempel. Prosessen, jeg minner deg om, er praktisk delt inn i to punkter - vertikale asymptoter og skrå asymptoter. I prøveløsningen er den horisontale asymptoten funnet ved hjelp av et forenklet skjema.

I praksis oppstår oftest brøk-rasjonelle funksjoner, og etter trening på hyperbler vil vi komplisere oppgaven:

Eksempel 3

Finn asymptoter til grafen til en funksjon

Løsning: En, to og ferdig:

1) De vertikale asymptotene er funnet på punktene med uendelig diskontinuitet, så du må sjekke om nevneren går til null. Vi bestemmer kvadratisk ligning :

Diskriminanten er positiv, så ligningen har to reelle røtter, og arbeid legges til betydelig =)

For ytterligere å finne ensidige grenser er det praktisk å faktorisere kvadrattrinomialet:
(for kompakt notasjon ble "minus" introdusert i første parentes). For sikkerhetsnett vil vi utføre en sjekk, mentalt eller på et utkast, og åpne brakettene.

La oss omskrive funksjonen i skjemaet

Finn ensidige grenser på punktet:

Og på punktet:

Dermed er de rette linjene de vertikale asymptotene til grafen til funksjonen som vurderes.

2) Hvis du ser på funksjonen , så er det ganske åpenbart at grensen vil være endelig og vi har en horisontal asymptote. La oss vise det på en kort måte:

Dermed er den rette linjen (abscissen) den horisontale asymptoten til grafen til denne funksjonen.

Svar:

De funnet grensene og asymptotene gir mye informasjon om grafen til funksjonen. Prøv å mentalt forestille deg tegningen, ta hensyn til følgende fakta:

Skisser din versjon av grafen på et utkast.

Selvfølgelig bestemmer ikke grensene som er funnet utvetydig hvilken type graf, og du kan gjøre en feil, men selve øvelsen vil være til uvurderlig hjelp under full funksjonsstudie. Riktig bilde er på slutten av leksjonen.

Eksempel 4

Finn asymptoter til grafen til en funksjon

Eksempel 5

Finn asymptoter til grafen til en funksjon

Dette er oppgaver for selvstendig beslutning. Begge grafene har igjen horisontale asymptoter, som umiddelbart oppdages av følgende funksjoner: i eksempel 4 vekstrekkefølge nevneren er større enn vekstrekkefølgen til telleren, og i eksempel 5 er telleren og nevneren én vekstorden. I prøveløsningen blir den første funksjonen undersøkt for tilstedeværelsen av skrå asymptoter på en full måte, og den andre - gjennom grensen .

Horisontale asymptoter, etter mitt subjektive inntrykk, er merkbart mer vanlige enn de som er "virkelig tilted". Etterlengtet generell sak:

Eksempel 6

Finn asymptoter til grafen til en funksjon

Løsning: klassikere av sjangeren:

1) Siden nevneren er positiv, funksjonen kontinuerlige på hele tallinjen, og det er ingen vertikale asymptoter. …Er det bra? Ikke det rette ordet - utmerket! Vare nr. 1 er stengt.

2) Sjekk tilstedeværelsen av skrå asymptoter:

Første grense avgrenset, så la oss gå videre. Under beregningen av den andre grensen for å eliminere usikkerhet "uendelig minus uendelig" vi bringer uttrykket til en fellesnevner:

Den andre grensen også avgrenset, derfor har grafen til funksjonen som vurderes en skrå asymptote:

Konklusjon:

Altså for grafen til funksjonen uendelig nær nærmer seg en rett linje:

Legg merke til at den skjærer sin skrå asymptote ved origo, og slike skjæringspunkter er ganske akseptable - det er viktig at "alt er normalt" i det uendelige (faktisk er det der diskusjonen om asymptoter kommer opp).

Eksempel 7

Finn asymptoter til grafen til en funksjon

Løsning: det er ikke mye å kommentere, så jeg vil lage et omtrentlig utvalg av en endelig løsning:

1) Vertikale asymptoter. La oss utforske poenget.

Den rette linjen er den vertikale asymptoten for plottet ved .

2) Skråasymptoter:

Den rette linjen er den skrå asymptoten for grafen ved .

Svar:

De funnet ensidige grensene og asymptotene gjør at vi med stor sikkerhet kan anta hvordan grafen til denne funksjonen ser ut. Riktig tegning på slutten av leksjonen.

Eksempel 8

Finn asymptoter til grafen til en funksjon

Dette er et eksempel på en uavhengig løsning, for enkelhets skyld å beregne noen grenser, kan du dele telleren med nevneren begrep for begrep. Og igjen, analyser resultatene, prøv å tegne en graf av denne funksjonen.

Det er klart at eierne av de "ekte" skrå asymptotene er grafene til de brøk-rasjonelle funksjonene der den høyeste graden av telleren en til den høyeste graden av nevneren. Hvis mer, vil det ikke være noen skrå asymptote (for eksempel ).

Men andre mirakler skjer i livet:

Eksempel 9

Løsning: funksjon kontinuerlige på hele tallinjen, som betyr at det ikke er noen vertikale asymptoter. Men det kan godt være bakker. Vi sjekker:

Jeg husker hvordan jeg kom over en lignende funksjon på universitetet og rett og slett ikke kunne tro at den hadde en skrå asymptote. Inntil jeg beregnet den andre grensen:

Strengt tatt er det to usikkerhetsmomenter her: og , men på en eller annen måte må du bruke løsningsmetoden, som er omtalt i eksemplene 5-6 i artikkelen om grensene for økt kompleksitet. Multipliser og del med det konjugerte uttrykket for å bruke formelen:

Svar:

Kanskje den mest populære skråasymptoten.

Til nå har uendelighet klart å "klippes med samme pensel", men det hender at grafen til funksjonen to forskjellige skrå asymptoter for og for:

Eksempel 10

Undersøk grafen til en funksjon for asymptoter

Løsning: rotuttrykket er positivt, som betyr domene- et hvilket som helst reelt tall, og det kan ikke være noen vertikale pinner.

La oss sjekke om det finnes skrå asymptoter.

Hvis "x" har en tendens til "minus uendelig", så:
(når du introduserer "x" under kvadratroten, må du legge til et "minus"-tegn for ikke å miste den negative nevneren)

Det ser uvanlig ut, men her er usikkerheten «uendelig minus uendelig». Multipliser telleren og nevneren med det tilstøtende uttrykket:

Dermed er den rette linjen den skrå asymptoten til grafen ved .

Med "pluss uendelig" er alt mer trivielt:

Og den rette linjen - kl.

Svar:

Hvis en ;
, hvis .

Jeg kan ikke motstå det grafiske bildet:


Dette er en av grenene overdrivelse .

Det er ikke uvanlig når den potensielle tilstedeværelsen av asymptoter i utgangspunktet er begrenset funksjonsomfang:

Eksempel 11

Undersøk grafen til en funksjon for asymptoter

Løsning: det er åpenbart at , derfor vurderer vi bare det høyre halvplanet, hvor det er en graf over funksjonen.

1) Funksjon kontinuerlige på intervallet , som betyr at hvis den vertikale asymptoten eksisterer, så kan den bare være y-aksen. Vi studerer funksjonen til funksjonen nær punktet til høyre:

Merk, det er INGEN tvetydighet her(på slike tilfeller ble oppmerksomheten fokusert i begynnelsen av artikkelen Begrens løsningsmetoder).

Dermed er den rette linjen (y-aksen) den vertikale asymptoten for grafen til funksjonen ved .

2) Studiet av den skrå asymptoten kan utføres i henhold til hele skjemaet, men i artikkelen Lopital regler vi fant at en lineær funksjon av en høyere vekstorden enn en logaritmisk, derfor: (se eksempel 1 i samme leksjon).

Konklusjon: abscisseaksen er den horisontale asymptoten til grafen til funksjonen ved .

Svar:

Hvis en ;
, hvis .

Tegning for klarhet:

Interessant nok har en tilsynelatende lignende funksjon ingen asymptoter i det hele tatt (de som ønsker det kan sjekke dette).

To siste eksempler på selvstudier:

Eksempel 12

Undersøk grafen til en funksjon for asymptoter

For å teste for vertikale asymptoter, må vi først finne funksjonsomfang, og beregn deretter et par ensidige grenser ved "mistenkelige" punkter. Skråasymptoter er heller ikke ekskludert, siden funksjonen er definert til "pluss" og "minus" uendelig.

Eksempel 13

Undersøk grafen til en funksjon for asymptoter

Og her kan det bare være skrå asymptoter, og retningene , bør vurderes separat.

Jeg håper du fant den rette asymptoten =)

Ønsker deg suksess!

Løsninger og svar:

Eksempel 2:Løsning :
. La oss finne ensidige grenser:

Rett er den vertikale asymptoten til grafen til funksjonen ved .
2) Skrå asymptoter.

Rett .
Svar:

Tegning til eksempel 3:

Eksempel 4:Løsning :
1) Vertikale asymptoter. Funksjonen lider av en uendelig pause på et punkt . La oss beregne ensidige grenser:

Merk: et infinitesimalt negativt tall til en partall er lik et infinitesimalt positivt tall: .

Rett er den vertikale asymptoten til grafen til funksjonen.
2) Skrå asymptoter.


Rett (abscisse) er den horisontale asymptoten til grafen til funksjonen ved .
Svar:

I mange tilfeller er det lettere å plotte en funksjon hvis du først plotter asymptotene til kurven.

Definisjon 1. Asymptoter kalles slike linjer, som grafen til funksjonen nærmer seg så nært som ønsket når variabelen har en tendens til pluss uendelig eller minus uendelig.

Definisjon 2. En rett linje kalles en asymptote av grafen til en funksjon hvis avstanden fra det variable punktet M grafen til funksjonen opp til denne linjen har en tendens til null når punktet beveger seg bort i det uendelige M fra opprinnelsen til koordinatene langs en hvilken som helst gren av grafen til funksjonen.

Det er tre typer asymptoter: vertikal, horisontal og skrå.

Vertikale asymptoter

Definisjon. Rett x = en er vertikal asymptote av grafen til funksjonen hvis punkt x = en er bruddpunkt av den andre typen for denne funksjonen.

Det følger av definisjonen at linjen x = en er den vertikale asymptoten til grafen til funksjonen f(x) hvis minst ett av følgende vilkår er oppfylt:

Samtidig funksjonen f(x) er kanskje ikke definert i det hele tatt, henholdsvis for x ≥ en og x ≤ en .

Kommentar:

Eksempel 1 Funksjonsgraf y=ln x har en vertikal asymptote x= 0 (dvs. sammenfaller med aksen Oy) på grensen til definisjonsdomenet, siden grensen for funksjonen som x har en tendens til null til høyre er lik minus uendelig:

(fig. over).

på egen hånd og se deretter løsningene

Eksempel 2 Finn asymptotene til grafen til funksjonen.

Eksempel 3 Finn asymptoter til grafen til en funksjon

Horisontale asymptoter

If (grensen for funksjonen når argumentet har en tendens til pluss eller minus uendelig er lik en verdi b), deretter y = b – horisontal asymptote krokete y = f(x ) (høyre når x har en tendens til pluss uendelig, venstre når x har en tendens til minus uendelig, og tosidig hvis grensene når x har en tendens til pluss eller minus uendelig er like).

Eksempel 5 Funksjonsgraf

på en> 1 har en venstre horisontal asymptote y= 0 (dvs. sammenfaller med aksen Okse), siden grensen for funksjonen når "x" har en tendens til minus uendelig er lik null:

Kurven har ikke en høyre horisontal asymptote, siden grensen for funksjonen som x har en tendens til pluss uendelig er lik uendelig:

Skrå asymptoter

De vertikale og horisontale asymptotene som vi vurderte ovenfor er parallelle med koordinataksene, derfor trengte vi bare et visst tall for å konstruere dem - et punkt på abscissen eller ordinataksen som asymptoten passerer gjennom. Mer må til for skrå asymptote - skråning k, som viser helningsvinkelen til den rette linjen, og skjæringspunktet b, som viser hvor mye linjen er over eller under origo. De som ikke hadde tid til å glemme analytisk geometri, og fra den - likningene til en rett linje, vil legge merke til at for en skrå asymptote finner de helningsligning. Eksistensen av en skrå asymptote bestemmes av følgende teorem, på grunnlag av hvilken koeffisientene som nettopp er nevnt, blir funnet.

Teorem. For å lage en kurve y = f(x) hadde en asymptote y = kx + b , er det nødvendig og tilstrekkelig at det finnes begrensede grenser k og b av funksjonen under vurdering som variabelen har en tendens til x til pluss uendelig og minus uendelig:

(1)

(2)

Tallene ble dermed funnet k og b og er koeffisientene til den skrå asymptoten.

I det første tilfellet (når x har en tendens til pluss uendelig), oppnås den høyre skråasymptoten, i det andre (når x har en tendens til minus uendelig), blir den venstre. Den høyre skrå asymptoten er vist i fig. nedenfra.

Når du finner ligningen til den skrå asymptoten, er det nødvendig å ta hensyn til tendensen til x til både pluss uendelig og minus uendelig. For noen funksjoner, for eksempel for brøkrasjonaler, er disse grensene sammenfallende, men for mange funksjoner er disse grensene forskjellige, og bare én av dem kan eksistere.

Når grensene sammenfaller med at x har en tendens til pluss uendelig og minus uendelig, den rette linjen y = kx + b er en tosidig asymptote av kurven.

Hvis minst en av grensene definerer asymptoten y = kx + b , eksisterer ikke, så har ikke grafen til funksjonen en skrå asymptote (men kan ha en vertikal).

Det er lett å se at den horisontale asymptoten y = b er et spesielt tilfelle av skrå y = kx + b på k = 0 .

Derfor, hvis en kurve har en horisontal asymptote i en hvilken som helst retning, er det ingen skrå asymptote i den retningen, og omvendt.

Eksempel 6 Finn asymptoter til grafen til en funksjon

Løsning. Funksjonen er definert på hele tallinjen unntatt x= 0 , dvs.

Derfor ved bristepunktet x= 0 kan kurven ha en vertikal asymptote. Faktisk er grensen for funksjonen som x har en tendens til null fra venstre pluss uendelig:

Følgelig x= 0 er den vertikale asymptoten til grafen til denne funksjonen.

Grafen til denne funksjonen har ikke en horisontal asymptote, siden grensen for funksjonen når x har en tendens til pluss uendelig er lik pluss uendelig:

La oss finne ut tilstedeværelsen av en skrå asymptote:

Har begrensede grenser k= 2 og b= 0 . Rett y = 2x er en tosidig skrå asymptote av grafen til denne funksjonen (fig. inne i eksemplet).

Eksempel 7 Finn asymptoter til grafen til en funksjon

Løsning. Funksjonen har ett knekkpunkt x= −1 . La oss beregne ensidige grenser og bestemme typen diskontinuitet:

Konklusjon: x= −1 er et diskontinuitetspunkt av den andre typen, så linjen x= −1 er den vertikale asymptoten til grafen til denne funksjonen.

Ser etter skrå asymptoter. Siden denne funksjonen er fraksjonelt rasjonell, vil grensene for og for falle sammen. Dermed finner vi koeffisientene for å erstatte den rette linjen - skrå asymptote i ligningen:

Ved å erstatte de funnet koeffisientene i ligningen til en rett linje med en helning, får vi ligningen for den skrå asymptoten:

y = −3x + 5 .

På figuren er grafen til funksjonen markert med burgunder, og asymptotene er i svart.

Eksempel 8 Finn asymptoter til grafen til en funksjon

Løsning. Siden denne funksjonen er kontinuerlig, har grafen ingen vertikale asymptoter. Vi ser etter skrå asymptoter:

.

Dermed har grafen til denne funksjonen en asymptote y= 0 at og har ingen asymptote ved .

Eksempel 9 Finn asymptoter til grafen til en funksjon

Løsning. Først ser vi etter vertikale asymptoter. For å gjøre dette finner vi domenet til funksjonen. Funksjonen defineres når ulikheten holder og . variabelt tegn x samsvarer med skiltet. Vurder derfor den tilsvarende ulikheten . Fra dette får vi omfanget av funksjonen: . Den vertikale asymptoten kan bare være på grensen til funksjonens domene. Men x= 0 kan ikke være en vertikal asymptote, siden funksjonen er definert for x = 0 .

Tenk på høyre grense ved (venstre grense eksisterer ikke):

.

Punktum x= 2 er et diskontinuitetspunkt av den andre typen, så linjen x= 2 - vertikal asymptote av grafen til denne funksjonen.

Vi ser etter skrå asymptoter:

Så, y = x+ 1 - skrå asymptote av grafen til denne funksjonen ved . Vi ser etter en skrå asymptote for:

Så, y = −x − 1 - skrå asymptote ved .

Eksempel 10 Finn asymptoter til grafen til en funksjon

Løsning. Funksjonen har et omfang . Siden den vertikale asymptoten til grafen til denne funksjonen bare kan være på grensen til definisjonsdomenet, vil vi finne de ensidige grensene for funksjonen ved .

Asymptote av grafen til en funksjon y \u003d f (x) kalles en linje som har egenskapen at avstanden fra punktet (x, f (x)) til denne linjen har en tendens til null med en ubegrenset fjerning av grafpunktet fra origo.

Figur 3.10. grafiske eksempler er gitt vertikal, horisontal og skrå asymptote.

Å finne asymptotene til grafen er basert på følgende tre teoremer.

Den vertikale asymptoteteoremet. La funksjonen y \u003d f (x) være definert i et eller annet område av punktet x 0 (muligens unntatt dette punktet selv) og minst en av de ensidige grensene for funksjonen er lik uendelig, dvs. Da er linjen x \u003d x 0 den vertikale asymptoten til grafen til funksjonen y \u003d f (x).

Det er klart at linjen x \u003d x 0 ikke kan være en vertikal asymptote hvis funksjonen er kontinuerlig i punktet x 0, siden i dette tilfellet . Derfor bør vertikale asymptoter søkes ved diskontinuitetspunktene til en funksjon eller i enden av dens domene.

Teorem om den horisontale asymptoten. La funksjonen y \u003d f (x) være definert for tilstrekkelig stor x og det er en begrenset grense for funksjonen . Da er linjen y = b den horisontale asymptoten til grafen til funksjonen.

Kommentar. Hvis bare én av grensene er endelig, har funksjonen hhv. venstresidig eller høyresidig horisontal asymptote.

I tilfelle at , kan funksjonen ha en skrå asymptote.

Skråasymptoteteorem. La funksjonen y = f(x) være definert for tilstrekkelig stor x og det er endelige grenser . Da er linjen y = kx + b en skrå asymptote av grafen til funksjonen.

Uten bevis.

Den skrå asymptoten, så vel som den horisontale, kan være høyrehendt eller venstrehendt hvis grunnlaget for de tilsvarende grensene er uendelighet av et visst tegn.

Studiet av funksjoner og konstruksjonen av deres grafer inkluderer vanligvis følgende trinn:

1. Finn domenet til funksjonen.

2. Undersøk funksjonen for partall-oddetall.

3. Finn de vertikale asymptotene ved å undersøke diskontinuitetspunktene og funksjonen til funksjonen på grensene til definisjonsdomenet, hvis de er endelige.

4. Finn horisontale eller skrå asymptoter ved å undersøke funksjonen til funksjonen ved uendelig.

5. Finn ekstrema og monotonisitetsintervaller for funksjonen.

6. Finn konveksitetsintervallene til funksjonen og bøyningspunktene.

7. Finn skjæringspunkter med koordinataksene og muligens noen tilleggspunkter som avgrenser grafen.

Funksjonsdifferensial

Det kan bevises at hvis en funksjon har en grense lik et endelig tall for en viss base, så kan den representeres som summen av dette tallet og en uendelig verdi for samme base (og omvendt): .

La oss bruke denne teoremet på en differensierbar funksjon: .

Dermed består inkrementet til funksjonen Dy av to ledd: 1) lineært med hensyn til Dx, dvs. f`(x)Dx; 2) ikke-lineær med hensyn til Dx, dvs. a(Dx)Dx. Samtidig siden , er dette andre leddet en infinitesimal av høyere orden enn Dx (ettersom Dx har en tendens til null, har den en tendens til null enda raskere).

Differensial funksjon kalles hoveddelen av funksjonen inkrement, lineær med hensyn til Dx, lik produktet av den deriverte og inkrementet til den uavhengige variabelen dy = f `(x)Dx.

Finn differensialen til funksjonen y = x.

Siden dy = f `(x)Dx = x`Dx = Dx, så er dx = Dx, dvs. differensialen til en uavhengig variabel er lik økningen til denne variabelen.

Derfor kan formelen for differensialen til en funksjon skrives som dy = f `(x)dх. Det er derfor et av symbolene for den deriverte er brøken dy/dх.

Den geometriske betydningen av differensialen er illustrert
figur 3.11. Ta et vilkårlig punkt M(x, y) på grafen til funksjonen y = f(x). La oss gi argumentet x en økning Dx. Da vil funksjonen y = f(x) motta et inkrement Dy = f(x + Dх) - f(x). La oss tegne en tangent til grafen til funksjonen i punktet M, som danner en vinkel a med x-aksens positive retning, dvs. f `(x) = tg a. Fra rettvinklet MKN
KN \u003d MN * tg a \u003d Dx * tg a \u003d f `(x) Dx \u003d dy.

Dermed er differensialen til en funksjon inkrementet i ordinaten til tangenten trukket til grafen til funksjonen ved et gitt punkt når x økes med Dx.

Egenskapene til en differensial er i utgangspunktet de samme som for et derivat:

3. d(u ± v) = du ± dv.

4. d(uv) = v du + u dv.

5. d(u/v) = (v du - u dv)/v 2 .

Imidlertid er det en viktig egenskap ved differensialen til en funksjon som dens deriverte ikke har - dette er differensialforminvarians.

Fra definisjonen av differensialen for funksjonen y = f(x), er differensialen dy = f`(x)dх. Hvis denne funksjonen y er kompleks, dvs. y = f(u), hvor u = j(x), så y = f og f `(x) = f `(u)*u`. Da er dy = f`(u)*u`dx. Men for funksjonen
u = j(x) differensial du = u`dx. Derfor dy = f `(u)*du.

Ved å sammenligne likhetene dy = f `(x)dх og dy = f `(u)*du, sørger vi for at differensialformelen ikke endres hvis vi i stedet for en funksjon av den uavhengige variabelen x vurderer en funksjon av avhengig variabel u. Denne egenskapen til differensialen kalles invariansen (dvs. invariansen) til formen (eller formelen) til differensialen.

Imidlertid er det fortsatt en forskjell i disse to formlene: i den første av dem er differensialen til den uavhengige variabelen lik økningen til denne variabelen, dvs. dx = Dx, og i den andre er differensialen til funksjonen du bare den lineære delen av inkrementet til denne funksjonen Du, og bare for liten Dх du » Du.