Gradmål for en vinkel. Radianmål for en vinkel

Gradmål for en vinkel. Radianmålet for en vinkel. Konverter grader til radianer og omvendt.

Merk følgende!
Det er flere
materiale i spesialseksjon 555.
For de som sterkt "ikke veldig..."
Og for de som "veldig mye...")

I forrige leksjon mestret vi telling av vinkler på en trigonometrisk sirkel. Lærte å telle positive og negative vinkler. Innså hvordan man tegner en vinkel større enn 360 grader. Det er på tide å ta for seg måling av vinkler. Spesielt med tallet "Pi", som prøver å forvirre oss i vanskelige oppgaver, ja ...

Standardoppgaver i trigonometri med tallet "Pi" løses ganske bra. Visuelt minne hjelper. Men ethvert avvik fra malen - slår ned på stedet! For ikke å falle - forstå nødvendig. Hva vil vi lykkes med nå. På en måte – vi forstår alt!

Så, hva teller vinkler? PÅ skolekurs trigonometri bruker to mål: gradmål av en vinkel og radianmål for en vinkel. La oss ta en titt på disse tiltakene. Uten dette, i trigonometri - ingen steder.

Gradmål for en vinkel.

Vi er på en måte vant til grader. Geometri gikk i det minste gjennom ... Ja, og i livet møter vi ofte uttrykket "snudd 180 grader", for eksempel. Grad, kort sagt, en enkel ting ...

Ja? Svar meg da hva er en grad? Hva fungerer ikke umiddelbart? Noe...

Grader ble oppfunnet i det gamle Babylon. Det var lenge siden ... 40 århundrer siden ... Og de kom akkurat på det. De tok og brøt sirkelen inn i 360 like deler. 1 grad er 1/360 av en sirkel. Og det er det. Kan deles i 100 deler. Eller med 1000. Men de brøt det inn i 360. Forresten, hvorfor akkurat med 360? Hvorfor er 360 bedre enn 100? 100 ser ut til å være jevnere... Prøv å svare på dette spørsmålet. Eller svak mot Det gamle Babylon?

Et sted samtidig Det gamle Egypt plaget av en annen sak. Hvor mange ganger større er omkretsen av en sirkel enn lengden på dens diameter? Og så målte de, og på den måten ... Alt ble litt mer enn tre. Men på en eller annen måte ble det shaggy, ujevnt ... Men de, egypterne, har ikke skylden. Etter dem led de i ytterligere 35 århundrer. Inntil de endelig beviste at uansett hvor fint skjære sirkelen i like biter, fra slike biter å lage glatt lengden på diameteren er umulig ... I prinsippet er det umulig. Vel, hvor mange ganger er omkretsen større enn diameteren, selvfølgelig. Omtrent. 3,1415926... ganger.

Dette er tallet "Pi". Det er raggete, så raggete. Etter desimaltegnet - et uendelig antall sifre uten rekkefølge ... Slike tall kalles irrasjonelle. Dette betyr forresten at fra like deler av en sirkel, diameteren glatt ikke brett. Aldri.

Til praktisk anvendelse Det er vanlig å huske bare to sifre etter desimaltegn. Huske:

Siden vi har forstått at omkretsen av en sirkel er større enn diameteren med "Pi" ganger, er det fornuftig å huske formelen for omkretsen av en sirkel:

Hvor L er omkretsen, og d er dens diameter.

Nyttig i geometri.

Til allmennutdanning Jeg vil legge til at tallet "Pi" ikke bare sitter i geometri ... I de mest mangfoldige delene av matematikken, og spesielt i sannsynlighetsteori, dukker dette tallet opp hele tiden! Av seg selv. Utover våre ønsker. Som dette.

Men tilbake til grader. Har du funnet ut hvorfor sirkelen i det gamle Babylon ble delt inn i 360 like deler? Men ikke 100, for eksempel? Nei? OK. Jeg skal gi deg en versjon. Du kan ikke spørre de gamle babylonerne... For konstruksjon, eller for eksempel astronomi, er det praktisk å dele en sirkel i like deler. Finn ut hvilke tall som er delbare med helt 100, og hvilke - 360? Og i hvilken versjon av disse skillelinjene helt- mer? Denne inndelingen er veldig praktisk for folk. Men...

Som det viste seg mye senere enn det gamle Babylon, er det ikke alle som liker grader. Høyere matematikk liker dem ikke... høyere matematikk– damen er seriøs, ordnet etter naturlovene. Og denne damen erklærer: "I dag brøt du sirkelen i 360 deler, i morgen vil du dele den i 100 deler, i overmorgen til 245 ... Og hva skal jeg gjøre? Nei egentlig ..." Jeg måtte adlyde. Du kan ikke lure naturen...

Jeg måtte innføre et mål på vinkelen som ikke er avhengig av menneskelige forestillinger. Møt - radian!

Radianmålet for en vinkel.

Hva er en radian? Definisjonen av en radian er uansett basert på en sirkel. En vinkel på 1 radian er vinkelen som skjærer en bue fra en sirkel hvis lengde er ( L) er lik lengden på radiusen ( R). Vi ser på bildene.

En så liten vinkel, det er nesten ingenting av det ... Vi flytter markøren over bildet (eller trykker på bildet på nettbrettet) og vi ser ca. radian. L=R

Føl forskjellen?

Én radian er mye større enn én grad. Hvor mange ganger?

La oss se på neste bilde. Som jeg tegnet en halvsirkel på. Den utvidede vinkelen er selvfølgelig 180 ° i størrelse.

Og nå skal jeg kutte denne halvsirkelen i radianer! Vi svever over bildet og ser at 3 radianer med en hale passer inn i 180°.

Hvem kan gjette hva denne hestehalen er!?

Ja! Denne halen er 0,1415926.... Hei Pi, vi har ikke glemt deg ennå!

Det er faktisk 3,1415926 ... radianer i 180 grader. Som du kan forestille deg, er det upraktisk å skrive 3.1415926 hele tiden. Derfor, i stedet for dette uendelige antallet, skriver de alltid enkelt:

Og her er nummeret på Internett

det er upraktisk å skrive ... Derfor, i teksten skriver jeg det ved navn - "Pi". Ikke bli forvirret...

Nå er det ganske meningsfylt å skrive en omtrentlig likhet:

Eller eksakt likhet:

Bestem hvor mange grader det er i en radian. Hvordan? Lett! Hvis det er 180 grader i 3,14 radianer, så er 1 radian 3,14 ganger mindre! Det vil si at vi deler den første likningen (formelen er også en likning!) med 3,14:

Dette forholdet er nyttig å huske. Det er omtrent 60° i en radian. I trigonometri må du ofte finne ut, vurdere situasjonen. Det er her kunnskap hjelper mye.

Men hovedferdigheten til dette emnet er konvertere grader til radianer og omvendt.

Hvis vinkelen er gitt i radianer med tallet "pi", er alt veldig enkelt. Vi vet at "pi" radianer = 180°. Så vi erstatter i stedet for "Pi" radianer - 180 °. Vi får vinkelen i grader. Vi reduserer det som reduseres, og svaret er klart. Vi må for eksempel finne ut hvor mye grader i hjørnet "Pi"/2 radian? Her skriver vi:

Eller mer eksotisk uttrykk:

Enkelt, ikke sant?

Den omvendte oversettelsen er litt mer komplisert. Men ikke mye. Hvis vinkelen er gitt i grader, må vi finne ut hva en grad er i radianer og gange dette tallet med antall grader. Hva er 1° i radianer?

Vi ser på formelen og innser at hvis 180° = "Pi" radianer, så er 1° 180 ganger mindre. Eller, med andre ord, vi deler likningen (formelen er også en likning!) med 180. Det er ikke nødvendig å representere "Pi" som 3.14, det skrives alltid med en bokstav uansett. Vi får at en grad er lik:

Det er alt. Multipliser antall grader med denne verdien for å få vinkelen i radianer. For eksempel:

Eller på samme måte:

Som du ser, i en rolig samtale med digresjoner Det viste seg at radianer er veldig enkle. Ja, og oversettelsen er uten problemer ... Og "Pi" er en helt utholdelig greie ... Så hvor er forvirringen fra !?

Jeg skal avsløre hemmeligheten. Faktum er at i trigonometriske funksjoner er graderikonet skrevet. Er alltid. For eksempel sin35°. Dette er sinus 35 grader . Og radianer-ikonet ( glad) er ikke skrevet! Han er underforstått. Enten grep latskapen til matematikere, eller noe annet ... Men de bestemte seg for å ikke skrive. Hvis det ikke er noen ikoner inne i sinus - cotangensen, så vinkelen - i radianer ! For eksempel er cos3 cosinus av tre radianer .

Dette fører til misforståelser ... En person ser "Pi" og tror at det er 180 °. Når som helst og hvor som helst. Dette fungerer forresten. Foreløpig, mens eksemplene er standard. Men Pi er et tall! Tallet 3,14 er ikke grader! Det er "Pi" radianer = 180°!

Nok en gang: «Pi» er et tall! 3.14. Irrasjonelt, men et tall. Samme som 5 eller 8. Du kan for eksempel ta ca "Pi"-trinn. Tre trinn og litt til. Eller kjøp "Pi" kilo søtsaker. Hvis en utdannet selger blir tatt...

"Pi" er et tall! Hva, jeg fikk deg med denne frasen? Har du allerede forstått alt? OK. La oss sjekke. Kan du fortelle meg hvilket tall som er høyest?

Eller hva er mindre?

Dette er fra en serie litt ikke-standard spørsmål som kan drive inn i en stupor ...

Hvis du også falt i stupor, husk trolldommen: "Pi" er et tall! 3.14. I den aller første sinus er det tydelig indikert at vinkelen - i grader! Derfor er det umulig å erstatte "Pi" med 180 °! "Pi" grader er omtrent 3,14°. Derfor kan vi skrive:

Det er ingen symboler i den andre sinusen. Så der - radianer! Her vil det å erstatte "Pi" med 180 ° fungere ganske bra. Konvertering av radianer til grader, som skrevet ovenfor, får vi:

Det gjenstår å sammenligne disse to sine. Hva. glemt hvordan? Ved hjelp av en trigonometrisk sirkel, selvfølgelig! Vi tegner en sirkel, tegner omtrentlige vinkler på 60° og 1,05°. Vi ser på sinusen til disse vinklene. Kort sagt, alt, som på slutten av emnet om den trigonometriske sirkelen, er malt. På en sirkel (selv den skjeve!) vil det tydelig sees det sin 60° betydelig mer enn sin 1,05°.

Vi vil gjøre akkurat det samme med kosinus. På sirkelen tegner vi vinkler på omtrent 4 grader og 4 radian(husk, hva er omtrent 1 radian?). Sirkelen vil si alt! Selvfølgelig er cos4 mindre enn cos4°.

La oss øve på å håndtere vinkelmål.

Konverter disse vinklene fra grader til radianer:

360°; 30°; 90°; 270°; 45°; 0°; 180°; 60°

Du bør ende opp med disse verdiene i radianer (i en annen rekkefølge!)

0

Jeg har forresten spesielt merket ut svarene på to linjer. Vel, la oss finne ut hva hjørnene er i den første linjen? Enten i grader eller radianer?

Ja! Dette er aksene til koordinatsystemet! Hvis du ser på den trigonometriske sirkelen, er den bevegelige siden av vinkelen ved disse verdiene passer rett på akselen. Disse verdiene må være kjent ironisk nok. Og jeg la merke til vinkelen på 0 grader (0 radianer) ikke forgjeves. Og så kan noen ikke finne denne vinkelen på sirkelen på noen måte ... Og følgelig blir de forvirret i de trigonometriske funksjonene til null ... En annen ting er at posisjonen til den bevegelige siden ved null grader sammenfaller med posisjonen ved 360 °, så tilfeldigheter på sirkelen er hele tiden nær.

I den andre linjen er det også spesielle vinkler... Disse er 30°, 45° og 60°. Og hva er så spesielt med dem? Ikke noe spesielt. Den eneste forskjellen mellom disse hjørnene og alle de andre er at du bør vite om disse hjørnene. alt. Og hvor er de plassert, og hva er de trigonometriske funksjonene til disse vinklene. La oss si verdien sin100° du trenger ikke vite. OG sin 45°- vær så snill! Dette er obligatorisk kunnskap, uten som det ikke er noe å gjøre i trigonometri ... Men mer om dette i neste leksjon.

Inntil da, la oss fortsette å øve. Konverter disse vinklene fra radianer til grader:

Du bør få resultater som dette (i et rot):

210°; 150°; 135°; 120°; 330°; 315°; 300°; 240°; 225°.

Skjedd? Da kan vi anta det konvertere grader til radianer og omvendt- ikke ditt problem lenger.) Men å oversette vinkler er det første trinnet for å forstå trigonometri. På samme sted må du fortsatt jobbe med sines-cosinus. Ja, og med tangenter, cotangenter også ...

Det andre kraftige trinnet er muligheten til å bestemme posisjonen til ethvert hjørne på trigonometrisk sirkel. Både i grader og radianer. Om akkurat denne ferdigheten, vil jeg kjedelig tipse deg om all trigonometri, ja ...) Hvis du vet alt (eller tror du vet alt) om den trigonometriske sirkelen, og tellingen av vinkler på den trigonometriske sirkelen, kan du sjekke det ute. Løs disse enkle oppgavene:

1. Hvilket kvartal faller hjørnene inn i:

45°, 175°, 355°, 91°, 355° ?

Lett? Vi fortsetter:

2. I hvilket kvartal faller hjørnene:

402°, 535°, 3000°, -45°, -325°, -3000°?

Ikke noe problem heller? Vel, se...)

3. Du kan plassere hjørner i kvartaler:

Klarte du det? Vel, du gir..)

4. Hvilke akser vil hjørnet falle på:

og hjørne:

Er det lett også? Hm...)

5. Hvilket kvartal faller hjørnene inn i:

Og det fungerte!? Vel, da vet jeg virkelig ikke...)

6. Bestem hvilken fjerdedel hjørnene faller inn i:

1, 2, 3 og 20 radianer.

Jeg vil bare gi svaret på det siste spørsmålet (det er litt vanskelig) i den siste oppgaven. En vinkel på 20 radianer vil falle inn i første kvartal.

Jeg vil ikke gi resten av svarene av grådighet.) Bare hvis du bestemte seg ikke noe tvil som et resultat, eller brukt på oppgave nr. 4 mer enn 10 sekunder du er dårlig orientert i en sirkel. Dette vil være ditt problem i all trigonometri. Det er bedre å bli kvitt det (et problem, ikke trigonometri!) med en gang. Dette kan gjøres i emnet: Praktisk arbeid med trigonometrisk sirkel i seksjon 555.

Den forteller hvordan du løser slike oppgaver enkelt og riktig. Vel, disse oppgavene er løst, selvfølgelig. Og den fjerde oppgaven ble løst på 10 sekunder. Ja, så bestemte meg for at alle kan!

Hvis du er helt sikker på svarene dine og du ikke er interessert i enkle og problemfrie måter å jobbe med radianer på, kan du ikke besøke 555. Jeg insisterer ikke.)

god forståelse- nok god grunnå gå videre!)

Hvis du liker denne siden...

Forresten, jeg har et par flere interessante nettsteder for deg.)

Du kan trene på å løse eksempler og finne ut nivået ditt. Testing med umiddelbar verifisering. Læring - med interesse!)

du kan bli kjent med funksjoner og deriverte.

Matematikere over hele verden spiser et stykke kake hvert år den 14. mars – dette er tross alt Pi-dagen, det mest kjente irrasjonelle tallet. Denne datoen er direkte relatert til nummeret hvis første sifre er 3.14. Pi er forholdet mellom omkretsen av en sirkel og diameteren. Siden det er irrasjonelt, er det umulig å skrive det som en brøk. Dette er et uendelig langt tall. Den ble oppdaget for tusenvis av år siden og har blitt studert konstant siden den gang, men har Pi noen hemmeligheter igjen? Fra gammel opprinnelse inntil en ubestemt fremtid, her er noen av de mest interessante fakta om pi.

Memorering av Pi

Rekorden for å huske tall etter desimaltegnet tilhører Rajveer Meena fra India, som klarte å huske 70 000 sifre – han satte rekorden 21. mars 2015. Før det var rekordholderen Chao Lu fra Kina, som klarte å memorere 67 890 sifre – denne rekorden ble satt i 2005. Den uoffisielle rekordholderen er Akira Haraguchi, som filmet hans repetisjon på 100 000 sifre i 2005 og nylig la ut en video der han klarer å huske 117 000 sifre. En offisiell rekord ville bare bli hvis denne videoen ble spilt inn i nærvær av en representant for Guinness rekordbok, og uten bekreftelse gjenstår den bare imponerende faktum, men regnes ikke som en prestasjon. Matematikkentusiaster elsker å huske tallet Pi. Mange bruker ulike mnemoniske teknikker, som poesi, hvor antall bokstaver i hvert ord er det samme som pi. Hvert språk har sine egne varianter av slike fraser, som hjelper til med å huske både de første par sifrene og et helt hundre.

Det er et Pi-språk

Fasinert av litteratur oppfant matematikere en dialekt der antall bokstaver i alle ord tilsvarer sifrene til Pi i nøyaktig rekkefølge. Forfatteren Mike Keith skrev til og med en bok, Not a Wake, som er fullstendig skrevet på Pi-språket. Entusiaster av slik kreativitet skriver verkene sine i full samsvar med antall bokstaver og betydningen av tallene. Dette har ingen praktisk anvendelse, men er et ganske vanlig og velkjent fenomen i kretsene til entusiastiske forskere.

Eksponensiell vekst

Pi er et uendelig tall, så folk, per definisjon, vil aldri kunne finne ut de nøyaktige tallene til dette tallet. Imidlertid har antall sifre etter desimaltegnet økt kraftig siden den første bruken av Pi. Selv babylonerne brukte det, men en brøkdel av tre og en åttendedel var nok for dem. kinesere og skapere Det gamle testamente og var helt begrenset til tre. I 1665 hadde Sir Isaac Newton beregnet 16 sifre i pi. Innen 1719 fransk matematiker Tom Fante de Lagny beregnet 127 sifre. Fremkomsten av datamaskiner har radikalt forbedret menneskets kunnskap om Pi. Fra 1949 til 1967 nummeret kjent for mennesket tallene skjøt i været fra 2037 til 500 000. For ikke så lenge siden var Peter Trueb, en vitenskapsmann fra Sveits, i stand til å beregne 2,24 billioner sifre av Pi! Dette tok 105 dager. Dette er selvfølgelig ikke grensen. Det er sannsynlig at med utviklingen av teknologi vil det være mulig å installere enda flere eksakt tall- siden Pi er uendelig, er det rett og slett ingen grense for nøyaktighet, og bare de tekniske egenskapene til datateknologi kan begrense den.

Beregner Pi for hånd

Hvis du vil finne nummeret selv, kan du bruke den gammeldagse teknikken - du trenger en linjal, en krukke og snor, du kan også bruke en gradskive og en blyant. Ulempen med å bruke en krukke er at den må være rund, og nøyaktigheten vil avgjøres av hvor godt personen kan vikle tauet rundt den. Det er mulig å tegne en sirkel med en gradskive, men dette krever også dyktighet og presisjon, da en ujevn sirkel kan forvrenge målingene dine alvorlig. Mer eksakt metode innebærer bruk av geometri. Del sirkelen i mange segmenter, som pizzaskiver, og beregn deretter lengden på en rett linje som vil gjøre hvert segment til likebent trekant. Summen av sidene vil gi et omtrentlig antall pi. Jo flere segmenter du bruker, desto mer nøyaktig blir tallet. Selvfølgelig vil du i dine beregninger ikke kunne nærme deg resultatene til en datamaskin, likevel disse enkle eksperimenter lar deg forstå mer detaljert hva tallet pi er generelt og hvordan det brukes i matematikk.

Oppdagelsen av Pi

De gamle babylonerne visste om eksistensen av tallet Pi allerede for fire tusen år siden. De babylonske tavlene beregner Pi som 3.125, og den egyptiske matematiske papyrusen inneholder tallet 3.1605. I Bibelen er tallet Pi gitt i en foreldet lengde - i alen, og den greske matematikeren Archimedes brukte Pythagoras teorem for å beskrive Pi, det geometriske forholdet mellom lengden på sidene i en trekant og arealet av \u200b \u200bfigurene i og utenfor sirklene. Dermed er det trygt å si at Pi er en av de eldste matematiske begreper, selv om det nøyaktige navnet gitt nummer og dukket opp relativt nylig.

En ny versjon av Pi

Selv før pi var relatert til sirkler, hadde matematikere allerede mange måter å navngi dette nummeret på. For eksempel kan man i gamle lærebøker i matematikk finne en setning på latin, som grovt kan oversettes til «mengden som viser lengden når diameteren multipliseres med den». Det irrasjonelle tallet ble kjent da den sveitsiske forskeren Leonhard Euler brukte det i sitt arbeid med trigonometri i 1737. Det greske symbolet for pi ble imidlertid fortsatt ikke brukt – det skjedde bare i en bok av den mindre kjente matematikeren William Jones. Han brukte den allerede i 1706, men den ble lenge forsømt. Over tid adopterte forskere dette navnet, og nå er dette den mest kjente versjonen av navnet, selv om det før også ble kalt Ludolf-nummeret.

Er pi normalt?

Tallet pi er definitivt merkelig, men hvordan overholder det de normale matematiske lovene? Forskere har allerede løst mange spørsmål knyttet til dette irrasjonelt tall men noen mysterier gjenstår. For eksempel er det ikke kjent hvor ofte alle sifre brukes - tallene fra 0 til 9 skal brukes i like store forhold. Statistikk kan imidlertid spores for de første billioner sifrene, men på grunn av at antallet er uendelig, er det umulig å bevise noe sikkert. Det er andre problemer som fortsatt unngår forskere. Det er godt mulig det videre utvikling vitenskapen vil bidra til å kaste lys over dem, men på dette øyeblikket det forblir utenfor det menneskelige intellektet.

Pi høres guddommelig ut

Forskere kan ikke svare på noen spørsmål om tallet Pi, men hvert år forstår de essensen bedre. Allerede på det attende århundre ble irrasjonaliteten til dette tallet bevist. I tillegg er det bevist at tallet er transcendentalt. Dette betyr nei bestemt formel, som gjør at pi kan beregnes ved hjelp av rasjonelle tall.

Misnøye med Pi

Mange matematikere er rett og slett forelsket i Pi, men det er de som mener at disse tallene ikke har noen spesiell betydning. I tillegg hevder de at tallet Tau, som er dobbelt så stort som Pi, er mer praktisk å bruke som et irrasjonelt. Tau viser forholdet mellom omkretsen og radiusen, som ifølge noen representerer en mer logisk beregningsmetode. Imidlertid for entydig å definere noe i dette problemet umulig, og det ene og det andre nummeret vil alltid ha støttespillere, begge metodene har livets rett, så det er bare interessant fakta, og ikke en grunn til å tro at du ikke bør bruke tallet Pi.

Tabell over verdier trigonometriske funksjoner kompilert for vinkler på 0, 30, 45, 60, 90, 180, 270 og 360 grader og deres tilsvarende vinkler inn radianer. Fra trigonometriske funksjoner tabellen viser sinus, cosinus, tangens, cotangens, sekant og cosecant. For enkelhets skyld for løsningen skoleeksempler verdier trigonometriske funksjoner i tabellen er skrevet som en brøk med bevaring av tegnene for å trekke ut kvadratroten av tall, noe som veldig ofte bidrar til å redusere komplekse matematiske uttrykk. Til tangent og cotangens noen vinkler kan ikke bestemmes. For verdier tangent og cotangens slike vinkler i tabellen over verdier for trigonometriske funksjoner er en strek. Det er generelt akseptert at tangent og cotangens slike vinkler er lik uendelig. På en egen side er formler for å redusere trigonometriske funksjoner.

Tabellen med verdier for den trigonometriske funksjonen sinus viser verdiene for følgende vinkler: sin 0, sin 30, sin 45, sin 60, sin 90, sin 180, sin 270, sin 360 in gradsmål, som tilsvarer sin 0 pi, sin pi / 6, sin pi / 4, sin pi / 3, sin pi / 2, sin pi, sin 3 pi / 2, sin 2 pi i radianmål av vinkler. skolebord bihuler.

For den trigonometriske cosinusfunksjonen viser tabellen verdiene​ for følgende vinkler: cos 0, cos 30, cos 45, cos 60, cos 90, cos 180, cos 270, cos 360 i gradmål, som tilsvarer cos 0 pi, cos pi til 6, cos pi med 4, cos pi med 3, cos pi med 2, cos pi, cos 3 pi med 2, cos 2 pi i radianmål av vinkler. Skolebord med kosiner.

Den trigonometriske tabellen for den trigonometriske funksjonen tangens gir verdier for følgende vinkler: tg 0, tg 30, tg 45, tg 60, tg 180, tg 360 i gradmål, som tilsvarer tg 0 pi, tg pi / 6, tg pi / 4, tg pi/3, tg pi, tg 2 pi i radianmål for vinkler. Følgende verdier trigonometriske funksjoner til tangenten er ikke definert tg 90, tg 270, tg pi / 2, tg 3 pi / 2 og regnes som lik uendelig.

For den trigonometriske funksjonens cotangens i den trigonometriske tabellen er verdiene for følgende vinkler gitt: ctg 30, ctg 45, ctg 60, ctg 90, ctg 270 i gradmål, som tilsvarer ctg pi / 6, ctg pi / 4, ctg pi / 3, tg pi / 2, tg 3 pi/2 i radianmål for vinkler. Følgende verdier for trigonometriske cotangensfunksjoner er ikke definert ctg 0, ctg 180, ctg 360, ctg 0 pi, ctg pi, ctg 2 pi og anses som lik uendelig.

Verdiene til de trigonometriske funksjonene sekant og cosecant er gitt for de samme vinklene i grader og radianer som sinus, cosinus, tangens, cotangens.

Tabellen over verdier for trigonometriske funksjoner for ikke-standardvinkler viser verdiene av sinus, cosinus, tangens og cotangens for vinkler i grader 15, 18, 22,5, 36, 54, 67,5 72 grader og i radianer pi/12 , pi/10, pi/ 8, pi/5, 3pi/8, 2pi/5 radianer. Verdiene til trigonometriske funksjoner er uttrykt i form av brøker og kvadratrøtter for å forenkle reduksjonen av brøker i skoleeksempler.

Tre monstre til med trigonometri. Den første er tangenten på 1,5 grader og en halv, eller pi delt på 120. Den andre er cosinus til pi delt på 240, pi/240. Den lengste er cosinus til pi delt på 17, pi/17.

Den trigonometriske sirkelen av verdiene til sinus- og cosinusfunksjonene representerer visuelt tegnene til sinus og cosinus avhengig av størrelsen på vinkelen. Spesielt for blondiner er cosinusverdiene understreket med en grønn strek for å bli mindre forvirret. Konverteringen av grader til radianer er også veldig tydelig presentert når radianer uttrykkes gjennom pi.

Denne trigonometriske tabellen presenterer verdiene for sinus, cosinus, tangens og cotangens for vinkler fra 0 null til 90 nitti grader i én grads intervaller. For de første førtifem gradene må navnene på trigonometriske funksjoner ses på øverst i tabellen. Den første kolonnen inneholder grader, verdiene av sinus, cosinus, tangens og cotangens er skrevet i de neste fire kolonnene.

For vinkler fra førtifem grader til nitti grader er navnene på de trigonometriske funksjonene skrevet nederst i tabellen. Den siste kolonnen inneholder grader, verdiene til cosinus, sinus, cotangenter og tangenter er skrevet i de fire foregående kolonnene. Du bør være forsiktig, for i bunnen trigonometrisk tabell navnene på trigonometriske funksjoner er forskjellige fra navnene øverst i tabellen. Sinus og cosinus er vekslet, akkurat som tangent og cotangens. Dette skyldes symmetrien til verdiene til trigonometriske funksjoner.

Tegnene på trigonometriske funksjoner er vist i figuren ovenfor. sinus har positive verdier 0 til 180 grader eller 0 til pi. Negative verdier sinusen har 180 til 360 grader, eller pi til 2 pi. Cosinusverdier er positive fra 0 til 90 og 270 til 360 grader, eller 0 til 1/2 pi og 3/2 til 2 pi. Tangent og cotangens har positive verdier fra 0 til 90 grader og fra 180 til 270 grader, tilsvarende verdier fra 0 til 1/2 pi og fra pi til 3/2 pi. Negativ tangens og cotangens er 90 til 180 grader og 270 til 360 grader, eller 1/2 pi til pi og 3/2 pi til 2 pi. Når du bestemmer tegnene til trigonometriske funksjoner for vinkler større enn 360 grader eller 2 pi, bør periodisitetsegenskapene til disse funksjonene brukes.

De trigonometriske funksjonene sinus, tangens og cotangens er oddetallsfunksjoner. Verdiene til disse funksjonene for negative vinkler vil være negative. Cosinus er en jevn trigonometrisk funksjon - cosinusverdien for negativ vinkel vil være positiv. Når du multipliserer og deler trigonometriske funksjoner, må du følge tegnreglene.

Roten av 2/2 er hvor mange pi?– Det skjer på forskjellige måter (se bilde). Du må vite hvilken trigonometrisk funksjon som er lik roten av to delt på to.

Hvis du likte innlegget og vil vite mer, er jeg i gang med å jobbe med annet materiale.

cos pi delt på 2

Hjem > Katalog > Matematiske formler.

Matematiske formler.

Konverter radianer til grader.
A d = A r * 180 / pi

Konverter grader til radianer.
A r = A d * pi / 180
Der A d er vinkelen i grader, er A r vinkelen i radianer.

Omkrets.
L = 2 * pi * R

Lengden på sirkelbuen.
L=A*R

Arealet av en trekant.

p=(a+b+c)/2 - semi-perimeter.

Arealet av en sirkel.
S = pi * R 2

Sektorområde.
S \u003d L d * R / 2 \u003d (A * R 2) / 2

Overflatearealet til en kule.
S = 4 * pi * R 2

S = 2 * Pi * R * H

Der S er arealet av sideflaten til sylinderen, R er radiusen til sylinderens base, H er høyden på sylinderen.

S = pi * R * L

S = pi * R * L + pi * R 2

Volumet på ballen.
V = 4/3 * pi * R 3

Sylindervolum.
V = pi * R2 * H

Kjeglevolum.

Skrevet: 15.01.13
Oppdatert: 15.11.14
Visninger totalt: 10754
i dag: 1

Hjem > Katalog > Matematiske formler.

Egor

God kveld! Du spurte veldig interesse Spør håper vi kan hjelpe deg.

Hvordan løse C1. Leksjon 2

Du og jeg må løse følgende problem: finn cos pi delt på 2.
Oftest, for å løse slike problemer, er det nødvendig å bestemme cosinus- eller sinusindikatorene. For vinkler fra 0 til 360 grader kan nesten enhver verdi av cos eller sin lett finnes i de tilsvarende platene som finnes og er vanlige, som disse:

Men vi har ikke en sinus (sin), men en cosinus. La oss først forstå hva cosinus er. Cos (cosinus) er en av de trigonometriske funksjonene. For å beregne cosinus til en akutt høyre trekant Du må vite forholdet mellom den inkluderte vinkelens ben og hypotenusen. Cosinus til pi delt på 2 kan enkelt beregnes ut fra trigonometrisk formel, som viser til standard formler trigonometri. Men hvis vi snakker om verdien av cosinus pi delt på 2, vil vi bruke tabellen for dette, som vi allerede har nevnt mer enn en gang:

Lykke til med dine fremtidige bestrebelser som dette!
Svar:

Hjem > Katalog > Matematiske formler.

Matematiske formler.

Konverter radianer til grader.
A d = A r * 180 / pi

Konverter grader til radianer.
A r = A d * pi / 180
Der A d er vinkelen i grader, er A r vinkelen i radianer.

Omkrets.
L = 2 * pi * R
Der L er omkretsen, er R sirkelens radius.

Lengden på sirkelbuen.
L=A*R
Der L er lengden på sirkelbuen, R er radiusen til sirkelen, A er sentralt hjørne, uttrykt i radianer
For en sirkel A = 2*pi (360 grader), får vi L = 2*pi*R.

Arealet av en trekant.
S = (p * (p-a) * (p-b) * (p-c)) 1/2
Der S er arealet av trekanten, er a, b, c lengdene på sidene,
p=(a+b+c)/2 - semi-perimeter.

Arealet av en sirkel.
S = pi * R 2
Der S er arealet av sirkelen, er R sirkelens radius.

Sektorområde.
S \u003d L d * R / 2 \u003d (A * R 2) / 2
Der S er arealet av sektoren, R er radiusen til sirkelen, Ld er lengden på buen.

Overflatearealet til en kule.
S = 4 * pi * R 2
Der S er overflaten til ballen, er R ballens radius.

Arealet av sylinderens sideflate.
S = 2 * Pi * R * H
Der S er arealet av sideflaten til sylinderen, R er radiusen til sylinderens base, H er høyden på sylinderen.

Torget full overflate sylinder.
S = 2 * pi * R * H + 2 * pi * R 2
Der S er arealet av sideflaten til sylinderen, R er radiusen til sylinderens base, H er høyden på sylinderen.

Området til kjeglens sideoverflate.
S = pi * R * L
Der S er arealet av kjeglens sideoverflate, R er radiusen til kjeglens base, L er lengden på kjeglens generatrise.

Det totale overflatearealet til en kjegle.
S = pi * R * L + pi * R 2
Der S er arealet av hele overflaten av kjeglen, R er radiusen til kjeglens base, L er lengden på kjeglens generatrise.

Volumet på ballen.
V = 4/3 * pi * R 3
Der V er volumet til ballen, er R ballens radius.

Sylindervolum.
V = pi * R2 * H
Der V er sylinderens volum, R er radiusen til sylinderbunnen, H er høyden til sylinderen.

Kjeglevolum.
V = pi * R * L = pi * R * H/cos (A/2) = pi * R * R/sin (A/2)
Der V er volumet til kjeglen, R er radiusen til kjeglens base, L er lengden på kjeglens generatrise, A er vinkelen på toppen av kjeglen.

Skrevet: 15.01.13
Oppdatert: 15.11.14
Visninger totalt: 10742
i dag: 1

Hjem > Katalog > Matematiske formler.

Egor
Du kan feste ledningen på Krona-batteriterminalene med et rør avskåret fra hetten på en medisinsk nål.

I dag er bursdagen til nummeret Pi, som etter initiativ fra amerikanske matematikere feires 14. mars klokken 1 time og 59 minutter på ettermiddagen. Dette skyldes en mer nøyaktig verdi av Pi: vi er alle vant til å telle denne konstanten som 3,14, men tallet kan fortsettes slik: 3, 14159... Oversetter vi dette til en kalenderdato, får vi 03.14, 1: 59.

Foto: AIF / Nadezhda Uvarova

Vladimir Zalyapin, professor ved Institutt for matematisk og funksjonell analyse ved South Ural State University, sier at 22. juli fortsatt bør betraktes som «pi-dag», fordi i det europeiske datoformatet er denne dagen skrevet som 22/7, og verdien av denne brøkdelen er omtrent lik verdien av Pi .

"Historien til tallet som gir forholdet mellom omkretsen av en sirkel og diameteren til en sirkel går tilbake til antikken," sier Zalyapin. — Sumererne og babylonerne visste allerede at dette forholdet ikke avhenger av sirkelens diameter og er konstant. En av de første omtalene av tallet Pi finnes i tekstene Den egyptiske skriveren Ahmes(ca. 1650 f.Kr.). De gamle grekerne, som lånte mye av egypterne, bidro til utviklingen av denne mystiske mengden. I følge legenden, Arkimedes ble så revet med av beregningene at han ikke la merke til hvordan de romerske soldatene tok ham fødeby Syracuse. Da en romersk soldat nærmet seg ham, ropte Arkimedes på gresk: "Ikke rør kretsene mine!" Som svar stakk soldaten ham med et sverd.

Platon fikk en ganske nøyaktig verdi av pi for sin tid - 3.146. Ludolf van Zeilen brukt mest av hans liv på beregningene av de første 36 sifrene etter desimalpunktet til pi, og de ble gravert inn på gravsteinen hans etter døden.

Irrasjonelt og unormalt

Ifølge professoren ble jakten på å beregne nye desimaler til enhver tid bestemt av ønsket om å få den nøyaktige verdien av dette tallet. Det ble antatt at tallet Pi er rasjonelt og derfor kan uttrykkes som en enkel brøk. Og dette er grunnleggende feil!

Pi er også populær fordi den er mystisk. Siden antikken har det vært en religion av tilbedere av det konstante. Bortsett fra tradisjonell betydning Pi - en matematisk konstant (3.1415 ...), som uttrykker forholdet mellom omkretsen av en sirkel og diameteren, det er mange andre verdier av tallet. Slike fakta er nysgjerrige. I ferd med å måle dimensjoner Den store pyramiden i Giza viste det seg at den har samme forhold mellom høyde og omkretsen av basen som radiusen til en sirkel til lengden, det vil si ½ pi.

Hvis vi beregner lengden på jordens ekvator ved hjelp av Pi til niende desimal, er regnefeilen bare ca. 6 mm. Tretti-ni desimaler i tallet Pi er nok til å beregne omkretsen av en sirkel som omkranser den kjente romobjekter i universet, med en feil som ikke er større enn radiusen til et hydrogenatom!

Studiet av Pi er blant annet engasjert i matematisk analyse. Foto: AIF / Nadezhda Uvarova

Kaos i antall

I følge en professor i matematikk, i 1767 Lambert etablerte irrasjonaliteten til tallet Pi, det vil si umuligheten av å representere det som et forhold mellom to heltall. Dette betyr at sekvensen av desimalsiffer i pi er kaos nedfelt i tall. Med andre ord, "halen" av desimaler inneholder et hvilket som helst tall, hvilken som helst rekkefølge av tall, alle tekster som var, er og vil bli, men det er ikke mulig å trekke ut denne informasjonen!

"Det er umulig å vite den nøyaktige verdien av Pi," fortsetter Vladimir Ilyich. Men disse forsøkene blir ikke forlatt. I 1991 Chudnovsky oppnådd nye 2260000000 desimalsifre av konstanten, og i 1994 - 4044000000. Etter det økte antallet riktige sifre i tallet Pi som et snøskred.

Kinesisk mann har verdensrekord i å huske pi Liu Chao, som klarte å huske 67890 desimaler uten feil og reprodusere dem innen 24 timer og 4 minutter.

Om "det gylne snittet"

Forresten, sammenhengen mellom "pi" og en annen fantastisk mengde - det gylne snitt - er faktisk ikke bevist. Folk har lenge lagt merke til at den "gyldne" andelen - det er også Phi-tallet - og tallet Pi delt på to skiller seg fra hverandre med mindre enn 3 % (1,61803398... og 1,57079632...). For matematikk er imidlertid disse tre prosentene en for betydelig forskjell til å betrakte disse verdiene identiske. På samme måte kan vi si at tallet Pi og tallet Phi er slektninger til en annen kjent konstant – Euler-tallet, siden roten av det er nær halvparten av tallet til Pi. Ett sekund av Pi er 1,5708, Phi er 1,6180, roten til E er 1,6487.

Dette er bare en del av betydningen av Pi. Foto: Skjermdump

Pis bursdag

I Sør-Ural statlig universitet Constants bursdag feires av alle lærere og matematikkstudenter. Det har alltid vært slik - det kan ikke sies at interessen bare dukket opp i i fjor. Tallet 3.14 ønskes til og med velkommen med en spesiell høytidskonsert!

Denne artikkelen har samlet tabeller over sinus, cosinus, tangenter og cotangenter. Først gir vi en tabell med grunnleggende verdier​ for trigonometriske funksjoner, det vil si en tabell med sinus, cosinus, tangens og cotangens av vinklene 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 grader ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2π radian). Etter det vil vi gi en tabell over sinus og cosinus, samt en tabell over tangenter og cotangenter av V. M. Bradis, og vise hvordan du bruker disse tabellene når du finner verdiene til trigonometriske funksjoner.

Sidenavigering.

Tabell over sinus, cosinus, tangens og cotangens for vinkler 0, 30, 45, 60, 90, ... grader

Bibliografi.

• Algebra: Proc. for 9 celler. gj.sn. skole / Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Enlightenment, 1990.- 272 s.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
• Bashmakov M.I. Algebra og begynnelsen av analysen: Proc. for 10-11 celler. gj.sn. skole - 3. utg. - M.: Opplysning, 1993. - 351 s.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
• Algebra og begynnelsen av analysen: Proc. for 10-11 celler. allmennutdanning institusjoner / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn og andre; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14. utg.- M.: Opplysning, 2004.- 384 s.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematikk (en manual for søkere til tekniske skoler): Proc. godtgjørelse.- M.; Høyere skole, 1984.-351 s., ill.
• Bradis V. M. Firesifrede matematiske tabeller: For allmennutdanning. lærebok bedrifter. - 2. utg. - M.: Bustard, 1999.- 96 s.: ill. ISBN 5-7107-2667-2