Grafiske ligninger. Grafisk løsning av blandede ligninger

Hvis du vil lære å svømme, gå frimodig inn i vannet, og hvis du vil lære hvordan du løser problemer, løs dem.

D. Polya

Ligning er en likhet som inneholder en eller flere ukjente, forutsatt at oppgaven er å finne de verdiene til de ukjente som den er sann for.

Løs ligningen- dette betyr å finne alle verdiene til de ukjente der det blir til en korrekt numerisk likhet, eller fastslå at det ikke finnes slike verdier.

Rekkevidde av akseptable verdier ligninger (O.D.Z.) er settet med alle verdiene til variabelen (variablene) der alle uttrykk som er inkludert i ligningen er definert.

Mange ligninger presentert i Unified State Examination løses ved hjelp av standardmetoder. Men ingen forbyr å bruke noe uvanlig, selv i de enkleste tilfellene.

Så tenk for eksempel på ligningen 3 – x 2 = 6 / (2 – x).

La oss løse det grafisk, og finn deretter det aritmetiske gjennomsnittet av røttene økt med seks ganger.

For å gjøre dette, vurder funksjonene y=3 – x 2 Og y = 6 / (2 – x) og bygge sine grafer.

Funksjonen y = 3 – x 2 er kvadratisk.

La oss skrive om denne funksjonen i formen y = -x 2 + 3. Grafen er en parabel, hvis grener er rettet nedover (siden a = -1< 0).

Toppunktet til parablen vil bli forskjøvet langs ordinataksen med 3 enheter oppover. Dermed er koordinaten til toppunktet (0; 3).

For å finne koordinatene til skjæringspunktene til parabelen med abscisseaksen, likestiller vi denne funksjonen til null og løser den resulterende ligningen:

Således, i punkter med koordinater (√3; 0) og (-√3; 0) skjærer parablen abscisseaksen (fig. 1).

Grafen til funksjonen y = 6 / (2 – x) er en hyperbel.

Grafen til denne funksjonen kan plottes ved hjelp av følgende transformasjoner:

1) y = 6 / x – omvendt proporsjonalitet. Grafen til en funksjon er en hyperbel. Det kan bygges punkt for punkt for å gjøre dette, la oss lage en tabell med verdier for x og y:

x | -6 | -3 | -2 | -1 | 1 | 2 | 3 | 6 |

y | -1 | -2 | -3 | -6 | 6 | 3 | 2 | 1 |

2) y = 6 / (-x) – grafen til funksjonen oppnådd i trinn 1 vises symmetrisk i forhold til ordinataksen (fig. 3).

3) y = 6 / (-x + 2) – skift grafen oppnådd i trinn 2 langs x-aksen med to enheter til høyre (fig. 4).

La oss nå plotte funksjonene y = 3 – x 2 og y = 6 / (2 – x) i samme koordinatsystem (fig. 5).

Figuren viser at grafene skjærer hverandre i tre punkter.

Det er viktig å forstå at den grafiske løsningen ikke lar deg finne den nøyaktige verdien av roten. Så tallene er -1; 0; 3 (abscisser av skjæringspunktene til funksjonsgrafene) er så langt bare de antatte røttene til ligningen.

Ved hjelp av en sjekk vil vi sørge for at tallene er -1; 0; 3 er faktisk røttene til den opprinnelige ligningen:

Rot -1:

3 – 1 = 6 / (2 – (-1));

3 – 0 = 6 / (2 – 0);

3 – 9 = 6 / (2 – 3);

Deres aritmetiske gjennomsnitt:

(-1 + 0 + 3) / 3 = 2/3.

La oss øke den seks ganger: 6 2/3 = 4.

Denne ligningen kan selvfølgelig løses på en mer kjent måte – algebraisk.

Så finn gjennomsnittet økt med seks ganger aritmetiske røtter ligninger 3 – x 2 = 6 / (2 – x).

La oss begynne å løse ligningen ved å søke etter O.D.Z. Nevneren til brøken skal ikke være null, derfor:

For å løse ligningen bruker vi den grunnleggende egenskapen proporsjon, dette vil tillate oss å bli kvitt brøken.

(3 – x 2)(2 – x) = 6.

La oss åpne parentesene og presentere lignende termer:

6-3x – 2x 2 + x 3 = 6;

x 3 – 2x 2 – 3x = 0.

La oss ta den felles faktoren ut av parentes:

x(x 2 – 2x – 3) = 0.

La oss dra nytte av det faktum at produktet er lik null bare når minst en av faktorene er lik null, så vi har:

x = 0 eller x 2 – 2x – 3 = 0.

La oss løse den andre ligningen.

x 2 – 2x – 3 = 0. Det er kvadratisk, så vi bruker diskriminanten.

D=4 – 4 · (-3) = 16;

x 1 = (2 + 4) / 2 = 3;

x 2 = (2 – 4) / 2 = -1.

Alle tre oppnådde røtter tilfredsstiller O.D.Z.

La oss derfor finne deres aritmetiske gjennomsnitt og øke det seks ganger:

6 · (-1 + 3 + 0) / 3 = 4.

Faktisk brukes den grafiske metoden for å løse ligninger ganske sjelden. Dette skyldes det faktum at grafisk representasjon funksjoner lar deg løse ligninger bare tilnærmet. Denne metoden brukes hovedsakelig i de problemene der det er viktig å ikke søke etter røttene til ligningen selv - deres numeriske verdier, men bare etter deres mengde.

blog.site, når du kopierer materiale helt eller delvis, kreves en lenke til originalkilden.

Presentasjon og leksjon om emnet: "Grafisk løsning av kvadratiske ligninger"

Ytterligere materialer
Kjære brukere, ikke glem å legge igjen kommentarer, anmeldelser, ønsker! Alt materiale er sjekket av et antivirusprogram.

Læremidler og simulatorer i Integral nettbutikk for 8. klasse
Potenser og røtter Funksjoner og grafer

Grafer over kvadratiske funksjoner

I den siste leksjonen lærte vi hvordan vi bygger en graf av evt kvadratisk funksjon. Ved hjelp av slike funksjoner kan vi løse de såkalte kvadratiske ligningene, som i generelt syn skrives som følger: $ax^2+bx+c=0$,
$a, b, c$ er alle tall, men $a≠0$.
Gutter, sammenlign ligningen skrevet ovenfor og denne: $y=ax^2+bx+c$.
De er nesten identiske. Forskjellen er at i stedet for $y$ skrev vi $0$, dvs. $y=0$. Hvordan løser man da andregradsligninger? Det første du tenker på er å konstruere en graf av parabelen $ax^2+bx+c$ og finne skjæringspunktene til denne grafen med den rette linjen $y=0$. Det finnes andre løsninger. La oss se på dem ved å bruke et spesifikt eksempel.

Metoder for å løse andregradsfunksjoner

Eksempel.
Løs ligningen: $x^2+2x-8=0$.

Løsning.
Metode 1. La oss plotte funksjonen $y=x^2+2x-8$ og finne skjæringspunktene med den rette linjen $y=0$. Koeffisienten av høyeste grad er positiv, noe som betyr at grenene til parablen peker oppover. La oss finne koordinatene til toppunktet:
$x_(c)=-\frac(b)(2a)=\frac(-2)(2)=-1$.
$y_(в)=(-1)^2+2*(-1)-8=1-2-8=-9$.

Vi tar punktet med koordinatene $(-1;-9)$ som begynnelsen nytt system koordinater og konstruer en graf av parabelen $y=x^2$ i den.

Vi ser to skjæringspunkter. De er merket med svarte prikker på grafen. Vi løser ligningen for x, så vi må velge abscissen til disse punktene. De er lik $-4$ og $2$.
Dermed er løsningen på den kvadratiske ligningen $x^2+2x-8=0$ to røtter: $ x_1=-4$ og $x_2=2$.

Metode 2. Transformer den opprinnelige ligningen til formen: $x^2=8-2x$.
Dermed kan vi løse denne ligningen på vanlig grafisk måte ved å finne abscissen til skjæringspunktene til de to grafene $y=x^2$ og $y=8-2x$.
Vi oppnådde to skjæringspunkter, hvor abscissene sammenfaller med løsningene oppnådd i den første metoden, nemlig: $x_1=-4$ og $x_2=2$.

Metode 3.
La oss transformere den opprinnelige ligningen til denne formen: $x^2-8=-2x$.
La oss bygge to grafer $y=x^2-8$ og $y=-2x$ og finne skjæringspunktene deres.
Grafen til $y=x^2-8$ er en parabel skiftet ned 8 enheter.
Vi fikk to skjæringspunkter, og abscissene til disse punktene er de samme som i de to foregående metodene, nemlig: $x_1=-4$ og $x_2=2$.

Metode 4.
La oss velge det perfekte kvadratet i den opprinnelige ligningen: $x^2+2x-8=x^2+2x+1-9=(x+1)^2-9$.
La oss konstruere to grafer av funksjonene $y=(x+1)^2$ og $y=9$. Grafen til den første funksjonen er en parabel forskjøvet en enhet til venstre. Grafen til den andre funksjonen er en rett linje parallelt med abscisseaksen og går gjennom ordinaten lik $9$.
Nok en gang fikk vi to skjæringspunkter for grafene, og abscissen til disse punktene sammenfaller med de som ble oppnådd i de tidligere metodene $x_1=-4$ og $x_2=2$.

Metode 5.
Del den opprinnelige ligningen med x: $\frac(x^2)(x)+\frac(2x)(x)-\frac(8)(x)=\frac(0)(x)$.
$x+2-\frac(8)(x)=0$.
$x+2=\frac(8)(x)$.
La oss løse denne ligningen grafisk, konstruer to grafer $y=x+2$ og $y=\frac(8)(x)$.
Igjen fikk vi to skjæringspunkter, og abscissene til disse punktene sammenfaller med de oppnådd over $x_1=-4$ og $x_2=2$.

Algoritme for grafisk løsning av kvadratiske funksjoner

Gutter, vi så på fem måter å løse dette grafisk på andregradsligninger. I hver av disse metodene viste røttene til ligningene seg å være de samme, noe som betyr at løsningen ble oppnådd riktig.

Grunnleggende metoder for grafisk løsning av kvadratiske ligninger $ax^2+bx+c=0$, $a, b, c$ - alle tall, men $a≠0$:
1. Konstruer en graf for funksjonen $y=ax^2+bx+c$, finn skjæringspunktene med abscisseaksen, som vil være løsningen på ligningen.
2. Konstruer to grafer $y=ax^2$ og $y=-bx-c$, finn abscissen til skjæringspunktene til disse grafene.
3. Konstruer to grafer $y=ax^2+c$ og $y=-bx$, finn abscissen til skjæringspunktene til disse grafene. Grafen til den første funksjonen vil være en parabel, forskjøvet enten ned eller opp, avhengig av tegnet til tallet c. Den andre grafen er en rett linje som går gjennom origo.
4. Velg en komplett firkant, det vil si bring den opprinnelige ligningen til formen: $a(x+l)^2+m=0$.
Konstruer to grafer for funksjonen $y=a(x+l)^2$ og $y=-m$, finn skjæringspunktene deres. Grafen til den første funksjonen vil være en parabel forskjøvet enten til venstre eller høyre, avhengig av tegnet til tallet $l$. Grafen til den andre funksjonen vil være en rett linje parallelt med abscisseaksen og skjærer ordinataksen i et punkt lik $-m$.
5. Del den opprinnelige ligningen med x: $ax+b+\frac(c)(x)=0$.
Konverter til formen: $\frac(c)(x)=-ax-b$.
Konstruer to grafer igjen og finn skjæringspunktene deres. Den første grafen er en hyperbel, den andre grafen er en rett linje. Dessverre, grafisk metode løse andregradsligninger er ikke alltid på en god måte løsninger. Skjæringspunktene til forskjellige grafer er ikke alltid heltall eller kan ha veldig store tall i abscissen (ordinaten). store tall, som ikke kan bygges på et vanlig ark papir.

La oss demonstrere alle disse metodene tydeligere med et eksempel.

Eksempel.
Løs ligningen: $x^2+3x-12=0$,

Løsning.
La oss plotte parablen og finne koordinatene til toppunktene: $x_(c)=-\frac(b)(2a)=\frac(-3)(2)=-1,5$.
$y_(в)=(-1,5)^2+2*(-1,5)-8=2,25-3-8=-8,75$.
Når man konstruerer en slik parabel, oppstår det umiddelbart problemer, for eksempel med å korrekt markere parabelens toppunkt. For å markere ordinaten til toppunktet nøyaktig, må du velge en celle som tilsvarer 0,25 skalaenheter. På denne skalaen må du gå ned 35 enheter, noe som er upraktisk. Uansett, la oss bygge timeplanen vår.
Det andre problemet vi møter er at grafen til funksjonen vår skjærer x-aksen i et punkt med koordinater som ikke kan bestemmes nøyaktig. En omtrentlig løsning er mulig, men matematikk er en eksakt vitenskap.
Dermed er ikke den grafiske metoden den mest praktiske. Derfor krever det mer å løse andregradsligninger universell metode, som vi skal studere i de neste leksjonene.

Problemer å løse selvstendig

1. Løs ligningen grafisk (på alle fem måter): $x^2+4x-12=0$.
2. Løs ligningen ved å bruke en hvilken som helst grafisk metode: $-x^2+6x+16=0$.

Grafisk løsning ligninger

Heyday, 2009

Introduksjon

Behovet for å løse andregradsligninger i antikken var forårsaket av behovet for å løse problemer knyttet til å finne områder tomter og med jordarbeider av militær karakter, samt med utviklingen av astronomi og matematikk selv. Babylonerne var i stand til å løse andregradsligninger rundt 2000 f.Kr. Regelen for å løse disse ligningene, som er angitt i de babylonske tekstene, er i hovedsak sammenfallende med moderne, men det er ikke kjent hvordan babylonerne kom frem til denne regelen.

Formler for å løse kvadratiske ligninger i Europa ble først satt frem i Abacus-boken, skrevet i 1202 av den italienske matematikeren Leonardo Fibonacci. Boken hans bidro til spredningen av algebraisk kunnskap ikke bare i Italia, men også i Tyskland, Frankrike og andre europeiske land.

Men generell regel løsninger på kvadratiske ligninger for alle mulige kombinasjoner av koeffisientene b og c ble formulert i Europa først i 1544 av M. Stiefel.

I 1591 Francois Viet introduserte formler for å løse andregradsligninger.

I gamle Babylon kunne løse noen typer andregradsligninger.

Diophantus av Alexandria Og Euklid, Al-Khwarizmi Og Omar Khayyam løst likninger ved hjelp av geometriske og grafiske metoder.

I 7. klasse studerte vi funksjoner y = C, y =kx, y =kx+ m, y =x 2,y = –x 2, i 8. klasse - y = √x, y =|x|, y =øks2 + bx+ c, y =k/ x. I algebra-læreboken i 9. klasse så jeg funksjoner som ennå ikke var kjent for meg: y =x 3, y =x 4,y =x 2n, y =x- 2n, y = 3√x, (x– en) 2 + (y –b) 2 = r 2 og andre. Det er regler for å konstruere grafer for disse funksjonene. Jeg lurte på om det var andre funksjoner som følger disse reglene.

Min jobb er å studere funksjonsgrafer og løse ligninger grafisk.

1. Hva er funksjonene?

Grafen til en funksjon er settet av alle punkter koordinatplan, hvis abscisse er lik verdiene til argumentene, og ordinatene er lik de tilsvarende verdiene til funksjonen.

Lineær funksjon gitt av ligningen y =kx+ b, Hvor k Og b- noen tall. Grafen til denne funksjonen er en rett linje.

Funksjon omvendt proporsjonalitet y =k/ x, hvor k ¹ 0. Grafen til denne funksjonen kalles en hyperbel.

Funksjon (x– en) 2 + (y –b) 2 = r2 , Hvor EN, b Og r- noen tall. Grafen til denne funksjonen er en sirkel med radius r med sentrum i punktet A ( EN, b).

Kvadratisk funksjon y= øks2 + bx+ c Hvor EN,b, Med– noen tall og EN¹ 0. Grafen til denne funksjonen er en parabel.

Ligning på2 (en– x) = x2 (en+ x) . Grafen til denne ligningen vil være en kurve som kalles en strofoid.

/>Ligning (x2 + y2 ) 2 = en(x2 – y2 ) . Grafen til denne ligningen kalles Bernoullis lemniscat.

Ligning. Grafen til denne ligningen kalles en astroid.

Kurve (x2 y2 – 2 øks)2 =4a2 (x2 + y2 ) . Denne kurven kalles en kardioide.

Funksjoner: y =x 3 - kubisk parabel, y =x 4, y = 1/x 2.

2. Konseptet med en ligning og dens grafiske løsning

Ligning– et uttrykk som inneholder en variabel.

Løs ligningen– dette betyr å finne alle røttene, eller bevise at de ikke eksisterer.

Roten til ligningen er et tall som, når det erstattes i en ligning, gir en korrekt numerisk likhet.

Løse ligninger grafisk lar deg finne den nøyaktige eller omtrentlige verdien av røttene, lar deg finne antall røtter til ligningen.

Ved konstruksjon av grafer og løsning av ligninger brukes egenskapene til en funksjon, derfor kalles metoden ofte funksjonell-grafisk.

For å løse ligningen «deler» vi den i to deler, introduserer to funksjoner, bygger grafene deres og finner koordinatene til grafenes skjæringspunkter. Abscissen til disse punktene er røttene til ligningen.

3. Algoritme for å plotte en funksjonsgraf

Å kjenne grafen til en funksjon y =f(x) , kan du bygge grafer over funksjoner y =f(x+ m) ,y =f(x)+ l Og y =f(x+ m)+ l. Alle disse grafene er hentet fra grafen til funksjonen y =f(x) ved hjelp av parallell bæretransformasjon: til │ m│ skalaenheter til høyre eller venstre langs x-aksen og videre │ l│ skalaenheter opp eller ned langs en akse y.

4. Grafisk løsning av andregradsligningen

Ved å bruke en kvadratisk funksjon som eksempel, vil vi vurdere den grafiske løsningen av en kvadratisk ligning. Grafen til en kvadratisk funksjon er en parabel.

Hva visste de gamle grekerne om parabelen?

Moderne matematisk symbolikk oppsto på 1500-tallet.

Det gjorde ikke de gamle greske matematikerne koordinere metode, var det ikke noe funksjonsbegrep. Likevel ble egenskapene til parablen studert i detalj av dem. Oppfinnsomheten til gamle matematikere er rett og slett fantastisk - de kunne tross alt bare bruke tegninger og verbale beskrivelser avhengigheter.

Mest fullstendig utforsket parabelen, hyperbelen og ellipsen Apollonius av Perga, som levde i det 3. århundre f.Kr. Han ga disse kurvene navn og indikerte hvilke betingelser punktene som ligger på denne eller den kurven tilfredsstiller (det var tross alt ingen formler!).

Det er en algoritme for å konstruere en parabel:

Finn koordinatene til toppunktet til parabelen A (x0; y0): X=- b/2 en;

y0=axo2+in0+s;

Finn symmetriaksen til parabelen (rett linje x=x0);

PAGE_BREAK--

Vi setter sammen en tabell med verdier for å konstruere kontrollpunkter;

Vi konstruerer de resulterende punktene og konstruerer punkter som er symmetriske til dem i forhold til symmetriaksen.

1. Ved hjelp av algoritmen skal vi konstruere en parabel y= x2 – 2 x– 3 . Abscisse av skjæringspunkter med aksen x og det er røtter til kvadratisk ligning x2 – 2 x– 3 = 0.

Det er fem måter å løse denne ligningen grafisk på.

2. La oss dele ligningen i to funksjoner: y= x2 Og y= 2 x+ 3

3. La oss dele ligningen i to funksjoner: y= x2 –3 Og y=2 x. Røttene til ligningen er abscissen til skjæringspunktene mellom parabelen og linjen.

4. Transformer ligningen x2 – 2 x– 3 = 0 ved hjelp av utvalg full firkant til funksjoner: y= (x–1) 2 Og y=4. Røttene til ligningen er abscissen til skjæringspunktene mellom parabelen og linjen.

5. Del begge sider av ligningsleddet etter ledd x2 – 2 x– 3 = 0 på x, får vi x– 2 – 3/ x= 0 , la oss dele denne ligningen i to funksjoner: y= x– 2, y= 3/ x. Røttene til ligningen er abscissen til skjæringspunktene mellom linjen og hyperbelen.

5. Grafisk løsning av gradligningern

Eksempel 1. Løs ligningen x5 = 3 – 2 x.

y= x5 , y= 3 – 2 x.

Svare: x = 1.

Eksempel 2. Løs ligningen 3 √ x= 10 – x.

Røtter gitt ligning er abscissen til skjæringspunktet mellom grafene til to funksjoner: y= 3 √ x, y= 10 – x.

Svare: x = 8.

Konklusjon

Etter å ha sett på grafene til funksjonene: y =øks2 + bx+ c, y =k/ x, у = √x, y =|x|, y =x 3, y =x 4,y = 3√x, Jeg la merke til at alle disse grafene er bygget i henhold til regelen for parallell translasjon i forhold til aksene x Og y.

Ved å bruke eksempelet på å løse en andregradsligning kan vi konkludere med at den grafiske metoden også er anvendelig for ligninger av grad n.

Grafiske metoder løsninger på ligninger er vakre og forståelige, men gir ingen 100 % garanti for å løse noen ligning. Abscissen til skjæringspunktene til grafene kan være omtrentlige.

I 9. klasse og på videregående skal jeg fortsette å sette meg inn i andre funksjoner. Jeg er interessert i å vite om disse funksjonene følger reglene for parallell overføring når de konstruerer grafene deres.

På neste år Jeg vil også vurdere spørsmålene om grafisk løsning av likningssystemer og ulikheter.

Litteratur

1. Algebra. 7. klasse. Del 1. Lærebok for utdanningsinstitusjoner/ A.G. Mordkovich. M.: Mnemosyne, 2007.

2. Algebra. 8. klasse. Del 1. Lærebok for utdanningsinstitusjoner / A.G. Mordkovich. M.: Mnemosyne, 2007.

3. Algebra. 9. klasse. Del 1. Lærebok for utdanningsinstitusjoner / A.G. Mordkovich. M.: Mnemosyne, 2007.

4. Glazer G.I. Matematikkens historie på skolen. VII–VIII karakterer. – M.: Utdanning, 1982.

5. Tidsskriftsmatematikk nr. 5 2009; nr. 8 2007; nr. 23 2008.

6. Grafisk løsning av ligninger nettsteder på Internett: Tol VIKI; stimul.biz/ru; wiki.iot.ru/images; berdsk.edu; side 3–6.htm.

>>Matematikk: Grafisk løsning av ligninger

Grafisk løsning av ligninger

La oss oppsummere vår kunnskap om grafer funksjoner. Vi har lært hvordan du bygger grafer for følgende funksjoner:

y =b (rett linje parallelt med x-aksen);

y = kx (linje som går gjennom origo);

y - kx + m (rett linje);

y = x 2 (parabel).

Kunnskap om disse grafene vil tillate oss, om nødvendig, å erstatte den analytiske modell geometrisk (grafisk), for eksempel, i stedet for modellen y = x 2 (som representerer en likhet med to variabler x og y), bør du vurdere en parabel i koordinatplanet. Spesielt er det noen ganger nyttig for å løse ligninger. La oss diskutere hvordan dette gjøres ved å bruke flere eksempler.

A. V. Pogorelov, Geometri for klassetrinn 7-11, Lærebok for utdanningsinstitusjoner

Leksjonens innhold leksjonsnotater støttende frame leksjon presentasjon akselerasjon metoder interaktive teknologier Øv oppgaver og øvelser selvtestverksteder, treninger, case, oppdrag leksediskusjonsspørsmål retoriske spørsmål fra studenter Illustrasjoner lyd, videoklipp og multimedia fotografier, bilder, grafikk, tabeller, diagrammer, humor, anekdoter, vitser, tegneserier, lignelser, ordtak, kryssord, sitater Tillegg sammendrag artikler triks for nysgjerrige cribs lærebøker grunnleggende og tilleggsordbok over begreper andre Forbedre lærebøker og leksjonerrette feil i læreboka oppdatere et fragment i en lærebok, elementer av innovasjon i leksjonen, erstatte utdatert kunnskap med ny Kun for lærere perfekte leksjoner kalenderplan i et år metodiske anbefalinger diskusjonsprogrammer Integrerte leksjoner

La det være en fullstendig andregradsligning: A*x2+B*x+C=0, hvor A, B og C er alle tall, og A ikke er lik null. Dette er et generelt tilfelle av en kvadratisk ligning. Det er også en redusert form hvor A=1. For å løse en ligning grafisk, må du flytte begrepet med høyeste grad til en annen del og likestille begge deler til en variabel.

Etter dette vil A*x2 forbli på venstre side av ligningen, og B*x-C til høyre (vi kan anta at B er negativt tall, dette endrer ikke essensen). Den resulterende ligningen er A*x2=B*x-C=y. For klarhets skyld er begge deler i dette tilfellet likestilt med variabelen y.

Plotte grafer og bearbeide resultater

Nå kan vi skrive to ligninger: y=A*x2 og y=B*x-C. Deretter må du plotte en graf for hver av disse funksjonene. Grafen y=A*x2 er en parabel med et toppunkt i origo, hvis grener er rettet oppover eller nedover, avhengig av tegnet på tallet A. Hvis det er negativt, er grenene rettet nedover, hvis de er positive, grenene er rettet oppover.

Grafen y=B*x-C er en vanlig rett linje. Hvis C=0, går linjen gjennom origo. I generell sak den skjærer av et segment lik C fra ordinataksen Helningsvinkelen til denne linjen i forhold til abscisseaksen bestemmes av koeffisienten B. Den. lik tangent helningen til denne vinkelen.

Etter at grafene er plottet, vil det sees at de skjærer hverandre i to punkter. Koordinatene til disse punktene langs x-aksen bestemmer røttene til kvadratisk ligning. For dem presis definisjon du må tydelig bygge grafer og velge riktig skala.

En annen grafisk løsning

Det er en annen måte å løse en andregradsligning grafisk på. Det er ikke nødvendig å flytte B*x+C til en annen side av ligningen. Du kan umiddelbart plotte funksjonen y=A*x2+B*x+C. Denne grafen er en parabel med et toppunkt ved vilkårlig poeng. Denne metoden er mer komplisert enn den forrige, men du kan bare bygge én graf for å...

Først må du bestemme toppunktet til parabelen med koordinatene x0 og y0. Abscissen beregnes ved å bruke formelen x0=-B/2*a. For å bestemme ordinaten, må du erstatte den resulterende abscisseverdien i den opprinnelige funksjonen. Matematisk er denne setningen skrevet som følger: y0=y(x0).

Deretter må du finne to punkter symmetriske til parabelens akse. I dem må den opprinnelige funksjonen forsvinne. Etter dette kan du bygge en parabel. Punktene i dens skjæringspunkt med X-aksen vil gi to røtter av kvadratisk ligning.