Til oppgaver med parameter inkludere for eksempel søket etter en løsning på lineære og kvadratiske ligninger i generell form, studiet av ligningen for antall tilgjengelige røtter, avhengig av parameterens verdi.

Uten å gi detaljerte definisjoner, vurder følgende ligninger som eksempler:

y = kx, hvor x, y er variabler, k er en parameter;

y = kx + b, hvor x, y er variabler, k og b er parametere;

ax 2 + bx + c = 0, hvor x er variabler, a, b og c er parametere.

Å løse en ligning (ulikhet, system) med en parameter betyr som regel å løse et uendelig sett med ligninger (ulikheter, systemer).

Oppgaver med en parameter kan betinget deles inn i to typer:

en) betingelsen sier: løs ligningen (ulikhet, system) - dette betyr, for alle verdiene av parameteren, finne alle løsninger. Dersom minst ett tilfelle forblir uutforsket, kan ikke en slik løsning anses som tilfredsstillende.

b) det er nødvendig å indikere de mulige verdiene for parameteren som ligningen (ulikhet, system) har visse egenskaper for. For eksempel har den én løsning, har ingen løsninger, har løsninger som hører til intervallet osv. I slike oppgaver er det nødvendig å tydelig indikere med hvilken verdi av parameteren den nødvendige betingelsen er oppfylt.

Parameteren, som er et ukjent fast nummer, har så å si en spesiell dualitet. Først og fremst må det tas i betraktning at den påståtte berømmelsen tilsier at parameteren må oppfattes som et tall. For det andre er friheten til å håndtere en parameter begrenset av dens ukjente. Så for eksempel, operasjonene med å dele med et uttrykk der det er en parameter eller trekke ut en rot av en jevn grad fra et lignende uttrykk krever foreløpig forskning. Derfor må man være forsiktig med å håndtere parameteren.

For å sammenligne to tall -6a og 3a for eksempel, må tre tilfeller vurderes:

1) -6a vil være større enn 3a hvis a er et negativt tall;

2) -6a = 3a i tilfellet når a = 0;

3) -6a vil være mindre enn 3a hvis a er et positivt tall 0.

Avgjørelsen vil være svaret.

La ligningen kx = b gis. Denne ligningen er en forkortelse for et uendelig sett med ligninger i én variabel.

Når du løser slike ligninger, kan det være tilfeller:

1. La k være et hvilket som helst reelt tall som ikke er null og b et hvilket som helst tall fra R, da x = b/k.

2. La k = 0 og b ≠ 0, den opprinnelige ligningen vil ha formen 0 · x = b. Denne ligningen har åpenbart ingen løsninger.

3. La k og b være tall lik null, så har vi likheten 0 · x = 0. Løsningen er et hvilket som helst reelt tall.

Algoritmen for å løse denne typen ligninger:

1. Bestem "kontroll"-verdiene til parameteren.

2. Løs den opprinnelige ligningen for x med verdiene til parameteren som ble bestemt i første avsnitt.

3. Løs den opprinnelige ligningen for x med parameterverdier som er forskjellige fra de som er valgt i første avsnitt.

4. Du kan skrive ned svaret i følgende skjema:

1) når ... (parameterverdi), har ligningen røtter ...;

2) når ... (parameterverdi), er det ingen røtter i ligningen.

Eksempel 1

Løs ligningen med parameteren |6 – x| = a.

Løsning.

Det er lett å se at her er en ≥ 0.

Etter regelen for modulo 6 – x = ±a, uttrykker vi x:

Svar: x = 6 ± a, hvor a ≥ 0.

Eksempel 2

Løs ligningen a(x - 1) + 2(x - 1) = 0 med hensyn til variabelen x.

Løsning.

La oss åpne parentesene: øks - a + 2x - 2 \u003d 0

La oss skrive ligningen på standardform: x(a + 2) = a + 2.

Hvis uttrykket a + 2 ikke er null, dvs. hvis a ≠ -2, har vi løsningen x = (a + 2) / (a ​​+ 2), dvs. x = 1.

Hvis a + 2 er lik null, dvs. a \u003d -2, så har vi den riktige likheten 0 x \u003d 0, derfor er x et hvilket som helst reelt tall.

Svar: x \u003d 1 for a ≠ -2 og x € R for a \u003d -2.

Eksempel 3

Løs likningen x/a + 1 = a + x med hensyn til variabelen x.

Løsning.

Hvis en \u003d 0, transformerer vi ligningen til formen a + x \u003d a 2 + ax eller (a - 1) x \u003d -a (a - 1). Den siste ligningen for a = 1 har formen 0 · x = 0, derfor er x et hvilket som helst tall.

Hvis a ≠ 1, vil den siste ligningen ha formen x = -a.

Denne løsningen kan illustreres på koordinatlinjen (Figur 1)

Svar: det er ingen løsninger for a = 0; x - et hvilket som helst tall ved a = 1; x \u003d -a med a ≠ 0 og a ≠ 1.

Grafisk metode

Vurder en annen måte å løse ligninger med en parameter - grafisk. Denne metoden brukes ganske ofte.

Eksempel 4

Hvor mange røtter, avhengig av parameteren a, gir ligningen ||x| – 2| = a?

Løsning.

For å løse med en grafisk metode konstruerer vi grafer for funksjonene y = ||x| – 2| og y = a (Fig. 2).

Tegningen viser tydelig de mulige tilfellene av plasseringen av linjen y = a og antall røtter i hver av dem.

Svar: ligningen vil ikke ha noen røtter hvis a< 0; два корня будет в случае, если a >2 og a = 0; ligningen vil ha tre røtter i tilfellet a = 2; fire røtter - ved 0< a < 2.

Eksempel 5

For hvilken a ligningen 2|x| + |x – 1| = a har en enkelt rot?

Løsning.

La oss tegne grafer for funksjonene y = 2|x| + |x – 1| og y = a. For y = 2|x| + |x - 1|, utvider modulene med gap-metoden, får vi:

(-3x + 1, ved x< 0,

y = (x + 1, for 0 ≤ x ≤ 1,

(3x – 1, for x > 1.

På Figur 3 det er tydelig at ligningen vil ha en unik rot bare når a = 1.

Svar: a = 1.

Eksempel 6

Bestem antall løsninger av ligningen |x + 1| + |x + 2| = a avhengig av parameteren a?

Løsning.

Grafen til funksjonen y = |x + 1| + |x + 2| vil være en brutt linje. Dens toppunkter vil være plassert i punktene (-2; 1) og (-1; 1) (bilde 4).

Svar: hvis parameteren a er mindre enn én, vil ligningen ikke ha noen røtter; hvis a = 1, så er løsningen av ligningen et uendelig sett med tall fra intervallet [-2; -en]; hvis verdiene til parameteren a er større enn én, vil ligningen ha to røtter.

Har du noen spørsmål? Vet du ikke hvordan du løser ligninger med en parameter?
For å få hjelp av en veileder - registrer deg.
Den første leksjonen er gratis!

nettstedet, med hel eller delvis kopiering av materialet, kreves en lenke til kilden.

Otdelkina Olga, elev i 9. klasse

Dette emnet er en integrert del av studiet av skolekurset i algebra. Hensikten med dette arbeidet er å studere dette temaet mer i dybden, for å identifisere den mest rasjonelle løsningen som raskt fører til et svar. Dette essayet vil hjelpe andre studenter å forstå bruken av den grafiske metoden for å løse likninger med parametere, lære om opprinnelsen, utviklingen av denne metoden.

Nedlasting:

Forhåndsvisning:

Innledning 2

Kapittel 1

Historien om fremveksten av ligninger med parameter 3

Vietas teorem4

Grunnleggende konsepter 5

Kapittel 2. Ligningstyper med parametere.

Lineære ligninger 6

Kvadratiske ligninger……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… 7

kapittel 3

Analytisk metode………………………………………………………….......8

Grafisk metode. Historie om forekomst………………………………9

Grafisk løsningsalgoritme ..……………………………………………….10

Løse en ligning med en modul………………………………………………………….11

Praktisk del………………………………………………………………………………12

Konklusjon……………………………………………………………………………………….19

Referanser………………………………………………………………………………20

Introduksjon.

Jeg valgte dette emnet fordi det er en integrert del av studiet av skolealgebrakurset. Ved å forberede dette arbeidet satte jeg meg som mål om en dypere studie av dette emnet, og identifiserte den mest rasjonelle løsningen som raskt fører til et svar. Essayet mitt vil hjelpe andre studenter å forstå bruken av den grafiske metoden for å løse likninger med parametere, lære om opprinnelsen, utviklingen av denne metoden.

I det moderne livet fører studiet av mange fysiske prosesser og geometriske mønstre ofte til å løse problemer med parametere.

For å løse slike ligninger er den grafiske metoden svært effektiv når det er nødvendig å fastslå hvor mange røtter ligningen har avhengig av parameteren α.

Oppgaver med parametere er av rent matematisk interesse, bidrar til intellektuell utvikling av elevene, og fungerer som godt stoff for å øve ferdigheter. De har diagnostisk verdi, siden de kan brukes til å teste kunnskap om hoveddelene av matematikk, nivået på matematisk og logisk tenkning, innledende forskningsferdigheter og lovende muligheter for å lykkes med å mestre et matematikkkurs i høyere utdanningsinstitusjoner.

I abstraktet mitt er vanlige ligningstyper tatt i betraktning, og jeg håper at kunnskapen jeg har tilegnet meg i arbeidsprosessen vil hjelpe meg når jeg består skoleeksamener, fordiligninger med parameteremed rette betraktet som en av de vanskeligste oppgavene i løpet av skolematematikk. Det er disse oppgavene som faller inn på listen over oppgaver på den enhetlige staten eksamen USE.

Historien om fremveksten av ligninger med en parameter

Problemer for ligninger med en parameter ble allerede møtt i den astronomiske avhandlingen "Aryabhattam", kompilert i 499 av den indiske matematikeren og astronomen Aryabhatta. En annen indisk forsker, Brahmagupta (7. århundre), skisserte den generelle regelen for å løse kvadratiske ligninger redusert til en enkelt kanonisk form:

αх 2 + bx = c, α>0

I ligningen, koeffisientene, bortsett fra parameteren, kan også være negativ.

Kvadratiske ligninger i al-Khwarizmi.

Al-Khwarizmis algebraiske avhandling gir en klassifisering av lineære og kvadratiske ligninger med en parameter. Forfatteren lister opp 6 typer ligninger, og uttrykker dem som følger:

1) "Kvadrater er lik røtter", dvs. αx 2 = bx.

2) "Kvadrater er lik et tall", dvs. αx 2 = c.

3) "Røttene er lik tallet", dvs. αx = c.

4) "Kvadrater og tall er lik røtter", dvs. αx 2 + c = bx.

5) "Kvadrater og røtter er lik et tall", dvs. αx 2 + bx = c.

6) "Røtter og tall er lik kvadrater", dvs. bx + c = αx 2 .

Formlene for å løse kvadratiske ligninger i henhold til al-Khorezmi i Europa ble først fremsatt i "Book of the Abacus", skrevet i 1202 av den italienske matematikeren Leonardo Fibonacci.

Vieta har en generell avledning av formelen for å løse en kvadratisk ligning med en parameter, men Vieta gjenkjente bare positive røtter. De italienske matematikerne Tartaglia, Cardano, Bombelli var blant de første på det tolvte århundre. ta hensyn til, i tillegg til positive, og negative røtter. Bare i det XVII århundre. takket være verkene til Girard, Descartes, Newton og andre forskere har metoden for å løse kvadratiske ligninger fått et moderne utseende.

Vietas teorem

Et teorem som uttrykker forholdet mellom parameterne, koeffisientene til en kvadratisk ligning og dens røtter, som bærer navnet Vieta, ble formulert av ham for første gang i 1591. Som følger: «Hvis b + d multiplisert med α minus α 2 er lik bc, så er α lik b og lik d.

For å forstå Vieta bør man huske at α, som enhver vokal, betydde det ukjente (vår x), mens vokalene b, d er koeffisienter for det ukjente. På språket til moderne algebra betyr Vietas formulering ovenfor:

Hvis det er

(α + b)x - x 2 \u003d αb,

Det vil si x 2 - (α -b)x + αb \u003d 0,

da x 1 = α, x 2 = b.

Ved å uttrykke forholdet mellom røttene og koeffisientene til ligninger ved hjelp av generelle formler skrevet ved hjelp av symboler, etablerte Vieta enhetlighet i metodene for å løse ligninger. Imidlertid er symbolikken til Vieta fortsatt langt fra sin moderne form. Han gjenkjente ikke negative tall, og derfor vurderte han bare tilfeller der alle røtter er positive når han løste ligninger.

Enkle konsepter

Parameter - en uavhengig variabel, hvis verdi anses å være et fast eller vilkårlig tall, eller et tall som tilhører intervallet spesifisert av tilstanden til problemet.

Ligning med parameter- matematiskligningen, hvis utseende og løsning avhenger av verdiene til en eller flere parametere.

Bestemme seg for ligning med parametermidler for hver verdifinn x-verdier som tilfredsstiller denne ligningen, og også:

1. 1. Undersøk for hvilke verdier av parameterne ligningen har røtter og hvor mange av dem for ulike verdier av parameterne.
2. 2. Finn alle uttrykk for røttene og angi for hver av dem verdiene til parameterne som dette uttrykket virkelig bestemmer roten til ligningen for.

Tenk på ligningen α(х+k)= α +c, der α, c, k, x er variabler.

Systemet med tillatte verdier av variablene α, c, k, xethvert system av verdier av variabler kalles, der både venstre og høyre del av denne ligningen tar reelle verdier.

La A være settet av alle tillatte verdier av α, K - settet av alle tillatte verdier av k, X - settet med alle tillatte verdier av x, C - settet med alle tillatte verdier Av c. Hvis vi for hver av mengdene A, K, C, X velger og fikser henholdsvis én verdi α, k, c, og erstatter dem i ligningen, får vi en ligning for x, dvs. ligning med en ukjent.

Variablene α, k, c, som anses som konstante når man løser ligningen, kalles parametere, og selve ligningen kalles en ligning som inneholder parametere.

Parametre er merket med de første bokstavene i det latinske alfabetet: α, b, c, d, …, k , l, m, n og ukjente - med bokstavene x, y, z.

To ligninger som inneholder de samme parameterne kalles tilsvarende hvis:

a) de gir mening for de samme verdiene av parameterne;

b) hver løsning av den første ligningen er en løsning av den andre og omvendt.

Typer av ligninger med parametere

Ligninger med parametere er: lineære og firkantet.

1) Lineær ligning. Generell form:

α x = b, hvor x er ukjent;α , b - parametere.

For denne ligningen er den spesielle verdien eller kontrollverdien til parameteren den der koeffisienten forsvinner i det ukjente.

Når du løser en lineær ligning med en parameter, vurderes tilfeller når parameteren er lik dens spesielle verdi og forskjellig fra den.

Den spesielle verdien til parameteren α er verdienα = 0.

1.Hvis, a ≠0 , deretter for et hvilket som helst parameterparα og b den har en unik løsning x = .

2.Hvis, a =0, så har ligningen formen: 0 x = b . I dette tilfellet, verdien b = 0 er en spesiell parameterverdi b.

2.1. For b ≠ 0 ligningen har ingen løsninger.

2.2. For b =0 vil ligningen ha formen: 0 x=0.

Løsningen på denne ligningen er et hvilket som helst reelt tall.

Andregradsligning med en parameter.

Generell form:

α x 2 + bx + c = 0

hvor parameter α ≠0, b og c - vilkårlige tall

Hvis α =1, så kalles ligningen en redusert andregradsligning.

Røttene til den andregradsligningen finnes av formlene

Uttrykk D = b 2 - 4 α c kalt diskriminanten.

1. Hvis D> 0 - har ligningen to forskjellige røtter.

2. Hvis D< 0 — уравнение не имеет корней.

3. Hvis D = 0 - har ligningen to like røtter.

Metoder for å løse likninger med en parameter:

1. Analytisk - en direkte løsningsmetode som gjentar standardprosedyrene for å finne svaret i en ligning uten parametere.
2. Grafisk - avhengig av tilstanden til problemet, vurderes posisjonen til grafen til den tilsvarende kvadratiske funksjonen i koordinatsystemet.

Analytisk metode

Løsningsalgoritme:

1. Før du fortsetter å løse problemet med parametere ved hjelp av den analytiske metoden, er det nødvendig å forstå situasjonen for en spesifikk numerisk verdi av parameteren. Ta for eksempel verdien av parameteren α =1 og svar på spørsmålet: er verdien av parameteren α =1 den nødvendige verdien for dette problemet.

Eksempel 1: Bestem deg for X lineær ligning med parameter m:

I henhold til betydningen av oppgaven (m-1)(x+3) = 0, det vil si m= 1, x = -3.

Ved å multiplisere begge sider av ligningen med (m-1)(x+3), får vi ligningen

Vi får

Derfor, ved m = 2,25.

Nå er det nødvendig å sjekke om det ikke er slike verdier av m som

x-verdien som ble funnet er -3.

løser denne ligningen, får vi at x er -3 når m = -0,4.

Svar: ved m=1, m=2,25.

Grafisk metode. Forekomsthistorie

Studiet av generelle avhengigheter begynte på 1300-tallet. Middelaldervitenskapen var skolastisk. Med en slik karakter var det ikke rom for studiet av kvantitative avhengigheter, det handlet kun om kvalitetene til objekter og deres forhold til hverandre. Men blant skolastikere oppsto det en skole som hevdet at kvaliteter kan være mer eller mindre intense (drakten til en person som har falt i elven er våtere enn den til en som nettopp har blitt fanget i regnet)

Den franske forskeren Nicholas Oresme begynte å skildre intensiteten til lengdene på segmentene. Da han arrangerte disse segmentene vinkelrett på en rett linje, dannet endene deres en linje, som han kalte "intensitetslinjen" eller "linjen til den øvre kanten" (en graf over den tilsvarende funksjonelle avhengigheten). Oresmus studerte til og med "plan" og "kroppslige" kvaliteter, dvs. funksjoner avhengig av to eller tre variabler.

En viktig prestasjon av Oresmes var et forsøk på å klassifisere de resulterende grafene. Han pekte ut tre typer kvaliteter: Ensartet (med konstant intensitet), jevnt ujevnt (med en konstant endringshastighet i intensitet) og ujevnt ujevnt (alle resten), samt de karakteristiske egenskapene til grafene til slike kvaliteter.

For å lage et matematisk apparat for å studere funksjonsgrafer, tok det konseptet med en variabel. Dette konseptet ble introdusert i vitenskapen av den franske filosofen og matematikeren René Descartes (1596-1650). Det var Descartes som kom opp med ideer om enheten til algebra og geometri og om rollen til variabler; Descartes introduserte et fast enhetssegment og begynte å vurdere forholdet mellom andre segmenter og det.

Dermed har grafene over funksjoner over hele perioden av deres eksistens gått gjennom en rekke grunnleggende transformasjoner som har brakt dem til den formen vi er vant til. Hvert trinn eller trinn i utviklingen av grafer over funksjoner er en integrert del av historien til moderne algebra og geometri.

Den grafiske metoden for å bestemme antall røtter til en ligning avhengig av parameteren som er inkludert i den, er mer praktisk enn den analytiske.

Grafisk løsningsalgoritme

Funksjonsgraf er settet med punkter hvorabscisseer gyldige argumentverdier, a ordinater- tilsvarende verdierfunksjoner.

Algoritme for grafisk løsning av ligninger med en parameter:

1. Finn domenet til ligningen.
2. Vi uttrykker α som en funksjon av x.
3. I koordinatsystemet bygger vi en graf over funksjonenα (x) for de verdiene av x som er innenfor domenet til den gitte ligningen.
4. Finne skjæringspunktene til linjenα =c, med funksjonsgraf

øks). Hvis linjen α =c krysser grafenα (x), så bestemmer vi abscissen til skjæringspunktene. For å gjøre dette er det nok å løse ligningen c = α (x) i forhold til x.

1. Skriv ned svaret

Løse ligninger med modul

Når du løser ligninger med en modul som inneholder en parameter grafisk, er det nødvendig å plotte funksjonsgrafer og vurdere alle mulige tilfeller for forskjellige verdier av parameteren.

For eksempel, │х│= a,

Svar: hvis a < 0, то нет корней, a > 0, så x \u003d a, x \u003d - a, hvis a \u003d 0, så x \u003d 0.

Problemløsning.

Oppgave 1. Hvor mange røtter har ligningen| | x | - 2 | = a avhengig av parameter en?

Løsning. I koordinatsystemet (x; y) plotter vi grafene til funksjonene y = | | x | - 2 | og y= en . Graf for funksjonen y = | | x | - 2 | vist i figuren.

Graf for funksjonen y = a a = 0).

Det kan sees av grafen at:

Hvis a = 0, så er linjen y = a faller sammen med Ox-aksen og har med grafen til funksjonen y = | | x | - 2 | to felles punkter; så den opprinnelige ligningen har to røtter (i denne saken røtter kan bli funnet: x 1,2 = + 2).
Hvis 0< a < 2, то прямая y = α har med funksjonsgrafen y = | | x | - 2 | fire fellespunkter, og derfor har den opprinnelige ligningen fire røtter.
Hvis en en = 2, så har linjen y = 2 tre punkter felles med grafen til funksjonen. Da har den opprinnelige ligningen tre røtter.
Hvis en a > 2, så er linjen y = a vil ha to punkter med grafen til den opprinnelige funksjonen, det vil si at denne ligningen vil ha to røtter.

Svar: hvis a < 0, то корней нет;
hvis a = 0, a > 2, så to røtter;
hvis a = 2, så tre røtter;
hvis 0< a < 2, то четыре корня.

Oppgave 2. Hvor mange røtter har ligningen| x 2 - 2| x | - 3 | = a avhengig av parameter en?

Løsning. I koordinatsystemet (x; y) plotter vi grafene til funksjonene y = | x 2 - 2| x | - 3 | og y = a.

Graf for funksjonen y = | x 2 - 2| x | - 3 | vist i figuren. Graf for funksjonen y =α er en linje parallell med Ox eller sammenfallende med den (når a = 0).

Fra grafen kan du se:

Hvis a = 0, så er linjen y = a faller sammen med Ox-aksen og har med grafen til funksjonen y = | x2 - 2| x | - 3 | to fellespunkter, samt en linje y = en vil ha med funksjonsgrafen y = | x 2 - 2| x | - 3 | to felles punkter a > 4. Derfor, for a = 0 og a > 4 den opprinnelige ligningen har to røtter.
Hvis 0< en< 3, то прямая y = a har med funksjonsgrafen y = | x 2 - 2| x | - 3 | fire fellespunkter, samt en linje y= en vil ha fire fellespunkter med grafen til den konstruerte funksjonen ved a = 4. Derfor ved 0< a < 3, a = 4 den opprinnelige ligningen har fire røtter.
Hvis en a = 3, så er linjen y = a skjærer grafen til funksjonen i fem punkter; derfor har ligningen fem røtter.
Hvis 3< en< 4, прямая y = α skjærer grafen til den konstruerte funksjonen i seks punkter; derfor, for disse verdiene av parameteren, har den opprinnelige ligningen seks røtter.
Hvis en en < 0, уравнение корней не имеет, так как прямая y = α skjærer ikke grafen til funksjonen y = | x 2 - 2| x | - 3 |.

Svar: hvis a < 0, то корней нет;
hvis a = 0, a > 4, så to røtter;
hvis 0< a < 3, a = 4, deretter fire røtter;

hvis en = 3, deretter fem røtter;
hvis 3< a < 4, то шесть корней.

Oppgave 3. Hvor mange røtter har ligningen

avhengig av parameter en?

Løsning. Vi konstruerer i koordinatsystemet (x; y) grafen til funksjonen

men la oss først sette det i skjemaet:

Linjene x = 1, y = 1 er asymptotene til grafen til funksjonen. Graf for funksjonen y = | x | + en hentet fra grafen til funksjonen y = | x | forskjøvet av en enheter langs Oy-aksen.

Funksjonsgrafer skjære et punkt kl en > - 1; derfor har ligning (1) for disse verdiene av parameteren én løsning.

For a = - 1, a = - 2 grafer skjærer hverandre i to punkter; derfor, for disse verdiene av parameteren, har ligning (1) to røtter.
Ved - 2< en< - 1, a < - 2 графики пересекаются в трех точках; значит, уравнение (1) при этих значениях параметра имеет три решения.

Svar: hvis a > - 1, deretter én løsning;
hvis a = - 1, a = - 2, deretter to løsninger;
hvis - 2< a < - 1, a < - 1, то три решения.

Kommentar. Når du løser ligningen av problemet, bør spesiell oppmerksomhet rettes mot tilfelle når en = - 2, siden punktet (- 1; - 1) ikke tilhører grafen til funksjonenmen tilhører grafen til funksjonen y = | x | + en.

Oppgave 4. Hvor mange røtter har ligningen

x + 2 = a | x - 1 |

avhengig av parameter en?

Løsning. Merk at x = 1 ikke er en rot av denne ligningen, siden likheten 3 = en 0 kan ikke være sant for noen parameterverdi en . Vi deler begge sider av ligningen med | x - 1 |(| x - 1 |0), så vil ligningen ha formenI xOy-koordinatsystemet plotter vi funksjonen

Grafen for denne funksjonen er vist i figuren. Graf for funksjonen y = en er en rett linje parallelt med okseaksen eller sammenfallende med den (for a = 0).

Ligninger med parametere regnes med rette som en av de vanskeligste oppgavene i løpet av skolematematikk. Det er disse oppgavene som faller fra år til år i listen over oppgaver av type B og C ved Unified State-eksamenen til Unified State Examination. Imidlertid, blant det store antallet ligninger med parametere, er det de som enkelt kan løses grafisk. La oss vurdere denne metoden på eksemplet med å løse flere problemer.

Finn summen av heltallsverdier av a som ligningen |x 2 – 2x – 3| = a har fire røtter.

Løsning.

For å svare på spørsmålet om oppgaven konstruerer vi grafer over funksjoner på ett koordinatplan

y = |x 2 – 2x – 3| og y = a.

Grafen til den første funksjonen y = |x 2 – 2x – 3| vil bli hentet fra grafen til parabelen y = x 2 - 2x - 3 ved å vise symmetrisk om abscisseaksen til den delen av grafen som er under Ox-aksen. Den delen av grafen over x-aksen vil forbli uendret.

La oss gjøre det steg for steg. Grafen til funksjonen y \u003d x 2 - 2x - 3 er en parabel, hvis grener er rettet oppover. For å bygge grafen finner vi koordinatene til toppunktet. Dette kan gjøres ved å bruke formelen x 0 = -b / 2a. Således, x 0 \u003d 2/2 \u003d 1. For å finne koordinaten til toppen av parabelen langs y-aksen, erstatter vi den oppnådde verdien for x 0 i ligningen til funksjonen som vurderes. Vi får at y 0 \u003d 1 - 2 - 3 \u003d -4. Derfor har toppunktet til parabelen koordinater (1; -4).

Deretter må du finne skjæringspunktene mellom grenene til parablen med koordinataksene. Ved skjæringspunktene mellom grenene til parabelen med abscisseaksen er verdien av funksjonen null. Derfor løser vi den kvadratiske ligningen x 2 - 2x - 3 \u003d 0. Røttene vil være de ønskede punktene. Ved Vieta-setningen har vi x 1 = -1, x 2 = 3.

Ved skjæringspunktene mellom grenene til parabelen med y-aksen er verdien av argumentet null. Dermed er punktet y = -3 skjæringspunktet mellom grenene til parabelen med y-aksen. Den resulterende grafen er vist i figur 1.

For å få grafen til funksjonen y = |x 2 - 2x - 3|, vil vi vise den delen av grafen, som er under x-aksen, symmetrisk om x-aksen. Den resulterende grafen er vist i figur 2.

Grafen til funksjonen y = a er en rett linje parallelt med x-aksen. Det er vist i figur 3. Ved å bruke figuren og finner vi at grafene har fire fellespunkter (og ligningen har fire røtter) hvis a tilhører intervallet (0; 4).

Heltallsverdier av nummer a fra det mottatte intervallet: 1; 2; 3. For å svare på spørsmålet om problemet, la oss finne summen av disse tallene: 1 + 2 + 3 = 6.

Svar: 6.

Finn det aritmetiske gjennomsnittet av heltallsverdier av tallet a, som ligningen |x 2 – 4|x| – 1| = a har seks røtter.

La oss starte med å plotte funksjonen y = |x 2 – 4|x| – 1|. For å gjøre dette bruker vi likheten a 2 = |a| 2 og velg hele kvadratet i undermoduluttrykket skrevet på høyre side av funksjonen:

x 2 – 4|x| – 1 = |x| 2 – 4|x| - 1 = (|x| 2 - 4|x| + 4) - 1 - 4 = (|x | - 2) 2 - 5.

Da vil den opprinnelige funksjonen se ut som y = |(|x| – 2) 2 – 5|.

For å bygge en graf av denne funksjonen bygger vi suksessivt grafer av funksjoner:

1) y \u003d (x - 2) 2 - 5 - en parabel med et toppunkt i et punkt med koordinater (2; -5); (Figur 1).

2) y = (|x| - 2) 2 - 5 - delen av parabelen konstruert i paragraf 1, som er plassert til høyre for ordinataksen, vises symmetrisk til venstre for Oy-aksen; (Fig. 2).

3) y = |(|x| – 2) 2 – 5| - den delen av grafen som er konstruert i paragraf 2, som er under x-aksen, vises symmetrisk i forhold til abscisseaksen oppover. (Fig. 3).

Vurder de resulterende tegningene:

Grafen til funksjonen y = a er en rett linje parallelt med x-aksen.

Ved hjelp av figuren konkluderer vi med at funksjonsgrafene har seks fellespunkter (ligningen har seks røtter) hvis a tilhører intervallet (1; 5).

Dette kan sees i følgende figur:

Finn det aritmetiske gjennomsnittet av heltallsverdiene til parameteren a:

(2 + 3 + 4)/3 = 3.

Svar: 3.

nettstedet, med hel eller delvis kopiering av materialet, kreves en lenke til kilden.

Ligninger med parametere: grafisk løsningsmetode

8-9 klassetrinn

Artikkelen diskuterer en grafisk metode for å løse noen ligninger med parametere, som er veldig effektiv når du skal fastslå hvor mange røtter ligningen har avhengig av parameteren en.

Oppgave 1. Hvor mange røtter har ligningen | | x | – 2 | = en avhengig av parameter en?

Løsning. I koordinatsystemet (x; y) plotter vi grafene til funksjonene y = | | x | – 2 | og y= en. Graf for funksjonen y = | | x | – 2 | vist i figuren.

Grafen til funksjonen y = a er en rett linje parallelt med Ox-aksen eller sammenfallende med den (for en = 0).

Det kan sees av tegningen at:

Hvis en en= 0, så linjen y = en faller sammen med Ox-aksen og har med grafen til funksjonen y = | | x | – 2 | to felles punkter; dette betyr at den opprinnelige ligningen har to røtter (i dette tilfellet kan røttene bli funnet: x 1,2 \u003d q 2).
Hvis 0< en < 2, то прямая y = a имеет с графиком функции y = | | x | – 2 | четыре общие точки и, следовательно, исходное уравнение имеет четыре корня.
Hvis en en= 2, så har linjen y = 2 tre punkter felles med grafen til funksjonen. Da har den opprinnelige ligningen tre røtter.
Hvis en en> 2, så linjen y = en vil ha to punkter med grafen til den opprinnelige funksjonen, det vil si at denne ligningen vil ha to røtter.

hvis en < 0, то корней нет;
hvis en = 0, en> 2, deretter to røtter;
hvis en= 2, deretter tre røtter;
hvis 0< en < 2, то четыре корня.

Oppgave 2. Hvor mange røtter har ligningen | x 2 – 2| x | – 3 | = en avhengig av parameter en?

Løsning. I koordinatsystemet (x; y) plotter vi grafene til funksjonene y = | x 2 – 2| x | – 3 | og y= en.

Graf for funksjonen y = | x 2 – 2| x | – 3 | vist i figuren. Grafen til funksjonen y = a er en rett linje parallelt med Ox eller sammenfallende med den (når en = 0).

Fra tegningen kan du se:

Hvis en en= 0, så linjen y = en faller sammen med Ox-aksen og har med grafen til funksjonen y = | x2-2| x | – 3 | to fellespunkter, samt en linje y = en vil ha med funksjonsgrafen y = | x 2 – 2| x | – 3 | to felles punkter en> 4. Derfor, for en= 0 og en> 4 den opprinnelige ligningen har to røtter.
Hvis 0< en < 3, то прямая y = en har med funksjonsgrafen y = | x 2 – 2| x | – 3 | fire fellespunkter, samt en linje y= en vil ha fire fellespunkter med grafen til den konstruerte funksjonen ved en= 4. Derfor, ved 0< en < 3, en= 4 den opprinnelige ligningen har fire røtter.
Hvis en en= 3, så linjen y = en skjærer grafen til funksjonen i fem punkter; derfor har ligningen fem røtter.
Hvis 3< en < 4, прямая y = a пересекает график построенной функции в шести точках; значит, при этих значениях параметра исходное уравнение имеет шесть корней.
Hvis en en < 0, уравнение корней не имеет, так как прямая y = a не пересекает график функции y = | x 2 – 2| x | – 3 |.

hvis en < 0, то корней нет;
hvis en = 0, en> 4, deretter to røtter;
hvis 0< en < 3, en= 4, deretter fire røtter;
hvis en= 3, deretter fem røtter;
hvis 3< en < 4, то шесть корней.

Oppgave 3. Hvor mange røtter har ligningen

avhengig av parameter en?

Løsning. Vi konstruerer i koordinatsystemet (x; y) grafen til funksjonen men la oss først sette det i skjemaet:

Linjene x = 1, y = 1 er asymptotene til grafen til funksjonen. Graf for funksjonen y = | x | + en hentet fra grafen til funksjonen y = | x | forskjøvet av en enheter langs Oy-aksen.

Funksjonsgrafer skjære et punkt kl en> – 1; derfor har ligning (1) for disse verdiene av parameteren én løsning.

På en = – 1, en= – 2 grafer skjærer hverandre i to punkter; derfor, for disse verdiene av parameteren, har ligning (1) to røtter.
Ved - 2< en < – 1, en < – 2 графики пересекаются в трех точках; значит, уравнение (1) при этих значениях параметра имеет три решения.

hvis en> – 1, deretter én løsning;
hvis en = – 1, en= – 2, deretter to løsninger;
hvis - 2< en < – 1, en < – 1, то три решения.

Kommentar. Ved løsning av likning (1) i oppgave 3, bør man være spesielt oppmerksom på tilfellet når en= - 2, siden punktet (- 1; - 1) ikke tilhører grafen til funksjonen men tilhører grafen til funksjonen y = | x | + en.

La oss gå videre til å løse et annet problem.

Oppgave 4. Hvor mange røtter har ligningen

x + 2 = en| x – 1 | (2)

avhengig av parameter en?

Løsning. Merk at x = 1 ikke er en rot av denne ligningen, siden likheten 3 = en 0 kan ikke være sant for noen parameterverdi en. Vi deler begge sider av ligningen med | x – 1 |(| x – 1 | Nr. 0), så vil ligning (2) ha formen I xOy-koordinatsystemet plotter vi funksjonen

Grafen for denne funksjonen er vist i figuren. Graf for funksjonen y = en er en rett linje parallelt med okseaksen eller sammenfallende med den (for en = 0).

hvis en J - 1, da er det ingen røtter;
hvis - 1< enЈ 1, deretter en rot;
hvis en> 1, så er det to røtter.

Tenk på den mest komplekse ligningen.

Oppgave 5. For hvilke verdier av parameteren en ligningen

en x 2 + | x – 1 | = 0 (3)

har tre løsninger?

Løsning. 1. Kontrollverdien til parameteren for denne ligningen vil være tallet en= 0, hvor ligning (3) har formen 0 + | x – 1 | = 0, hvorav x = 1. Derfor, for en= 0 ligning (3) har én rot, som ikke tilfredsstiller problemets tilstand.

2. Vurder saken når en № 0.

La oss omskrive ligning (3) i følgende form: en x 2 = - | x – 1 |. Merk at ligningen kun vil ha løsninger for en < 0.

I xOy-koordinatsystemet plotter vi grafene til funksjonene y = | x – 1 | og y= en x 2. Graf for funksjonen y = | x – 1 | vist i figuren. Graf for funksjonen y = en x 2 er en parabel hvis grener er rettet nedover, siden en < 0. Вершина параболы - точка (0; 0).

Ligning (3) vil bare ha tre løsninger når linjen y = – x + 1 er tangent til grafen til funksjonen y= en x 2.

La x 0 være abscissen til kontaktpunktet med linjen y = - x + 1 med parabelen y = en x 2. Tangentligningen har formen

y \u003d y (x 0) + y "(x 0) (x - x 0).

La oss skrive ned berøringsbetingelsene:

Denne ligningen kan løses uten å bruke begrepet en derivert.

La oss vurdere en annen måte. Vi bruker det faktum at hvis linjen y = kx + b har et enkelt felles punkt med parabelen y = en x 2 + px + q, deretter ligningen en x 2 + px + q = kx + b må ha en unik løsning, det vil si at dens diskriminant er null. I vårt tilfelle har vi ligningen en x 2 \u003d - x + 1 ( en nr. 0). Likningsdiskriminant

Oppgaver for selvstendig løsning

6. Hvor mange røtter har ligningen avhengig av parameteren en?

1)| | x | – 3 | = en;
2)| x + 1 | + | x + 2 | = en;
3)| x 2 – 4| x | + 3 | = en;
4)| x 2 – 6| x | + 5 | = en.

1) hvis en<0, то корней нет; если en=0, en>3, deretter to røtter; hvis en=3, deretter tre røtter; hvis 0<en<3, то четыре корня;
2) hvis en<1, то корней нет; если en=1, deretter et uendelig sett med løsninger fra segmentet [– 2; - en]; hvis en> 1, deretter to løsninger;
3) hvis en<0, то корней нет; если en=0, en<3, то четыре корня; если 0<en<1, то восемь корней; если en=1, deretter seks røtter; hvis en=3, deretter tre løsninger; hvis en>3, deretter to løsninger;
4) hvis en<0, то корней нет; если en=0, 4<en<5, то четыре корня; если 0<en< 4, то восемь корней; если en=4, deretter seks røtter; hvis en=5, deretter tre røtter; hvis en>5, deretter to røtter.

7. Hvor mange røtter har ligningen | x + 1 | = en(x – 1) avhengig av parameteren en?

Instruksjon. Siden x = 1 ikke er en rot av ligningen, kan denne ligningen reduseres til formen .

Svar: hvis en J -1, en > 1, en=0, deretter én rot; hvis - 1<en<0, то два корня; если 0<enЈ 1, så er det ingen røtter.

8. Hvor mange røtter er ligningen x + 1 = en| x – 1 | avhengig av parameteren en?

Lag en graf (se figur).

Svar: hvis enЈ –1, da er det ingen røtter; hvis - 1<enЈ 1, deretter en rot; hvis en>1, så er det to røtter.

9. Hvor mange røtter har ligningen

2| x | – 1 = a(x – 1)

avhengig av parameter en?

Instruksjon. Ta med ligningen til skjemaet

Svar: hvis en J -2, en>2, en=1, deretter én rot; hvis -2<en<1, то два корня; если 1<enЈ 2, så er det ingen røtter.

10. Hvor mange røtter har ligningen

avhengig av parameter en?

Svar: hvis enЈ 0, en i 2, så en rot; hvis 0<en<2, то два корня.

11. Ved hvilke verdier av parameteren en ligningen

x 2 + en| x – 2 | = 0

har tre løsninger?

Instruksjon. Få likningen til formen x 2 = - en| x - 2 |.

Svar: når enЈ -8.

12. Ved hvilke verdier av parameteren en ligningen

en x 2 + | x + 1 | = 0

har tre løsninger?

Instruksjon. Bruk oppgave 5. Denne ligningen har tre løsninger bare hvis ligningen en x 2 + x + 1 = 0 har én løsning, og tilfellet en= 0 tilfredsstiller ikke betingelsen for problemet, det vil si at tilfellet forblir når

13. Hvor mange røtter har ligningen

x | x – 2 | = 1 - en

avhengig av parameter en?

Instruksjon. Få likningen til formen –x |x – 2| + 1 = en

avhengig av parameter en?

Instruksjon. Konstruer grafer av venstre og høyre del av denne ligningen.

Svar: hvis en<0, en>2, deretter to røtter; hvis 0Ј enЈ 2, deretter én rot.

16. Hvor mange røtter har ligningen

avhengig av parameter en?

Instruksjon. Konstruer grafer av venstre og høyre del av denne ligningen. Å plotte en funksjon finn intervaller for konstantitet for uttrykk x + 2 og x:

Svar: hvis en>– 1, deretter én løsning; hvis en= – 1, deretter to løsninger; hvis - 3<en<–1, то четыре решения; если enЈ –3, deretter tre løsninger.