Grafisk løsning av en ulikhet med to variabler. Spesifisere figurer på koordinatplanet ved likninger og ulikheter

Det er ofte nødvendig å skildre på koordinatplanet sett med løsninger på en ulikhet med to variabler. En løsning på en ulikhet med to variabler er et par verdier av disse variablene som gjør den gitte ulikheten til en sann numerisk ulikhet.

2 år+ Zx< 6.

La oss først tegne en rett linje. For å gjøre dette skriver vi ulikheten som en ligning 2 år+ Zx = 6 og uttrykke y. Dermed får vi: y=(6-3x)/2.

Denne linjen deler settet med alle punkter i koordinatplanet i punkter over det og punkter under det.

Ta en meme fra hvert område kontrollpunkt, for eksempel A (1; 1) og B (1; 3)

Koordinatene til punkt A tilfredsstiller den gitte ulikheten 2y + 3x< 6, т. е. 2 . 1 + 3 . 1 < 6.

Punkt B koordinater ikke tilfredsstille denne ulikheten 2∙3 + 3∙1< 6.

Siden denne ulikheten kan endre fortegnet på linjen 2y + Zx = 6, så tilfredsstiller ulikheten settet med punkter i området hvor punktet A befinner seg. La oss skyggelegge dette området.

Dermed har vi skildret settet med løsninger på ulikheten 2y + Zx< 6.

Eksempel

Vi skildrer settet med løsninger til ulikheten x 2 + 2x + y 2 - 4y + 1 > 0 på koordinatplanet.

Først konstruerer vi en graf av ligningen x 2 + 2x + y 2 - 4y + 1 \u003d 0. Vi deler sirkelligningen i denne ligningen: (x 2 + 2x + 1) + (y 2 - 4y + 4) \u003d 4, eller (x + 1) 2 + (y - 2) 2 \u003d 2 2.

Dette er ligningen til en sirkel sentrert ved punktet 0 (-1; 2) og radius R = 2. La oss konstruere denne sirkelen.

Siden denne ulikheten er streng og punktene som ligger på selve sirkelen ikke tilfredsstiller ulikheten, konstruerer vi sirkelen med en stiplet linje.

Det er lett å sjekke at koordinatene til sentrum O i sirkelen ikke tilfredsstiller denne ulikheten. Uttrykket x 2 + 2x + y 2 - 4y + 1 endrer fortegn på den konstruerte sirkelen. Da tilfredsstilles ulikheten av punkter som ligger utenfor sirkelen. Disse punktene er skyggelagt.

Eksempel

La oss skildre på koordinatplanet sett med løsninger av ulikheten

(y - x 2) (y - x - 3)< 0.

Først konstruerer vi en graf av ligningen (y - x 2) (y - x - 3) \u003d 0. Det er en parabel y \u003d x 2 og en rett linje y \u003d x + 3. Vi bygger disse linjene og merk at endringen i fortegnet til uttrykket (y - x 2) (y - x - 3) bare skjer på disse linjene. For punktet A (0; 5) bestemmer vi tegnet for dette uttrykket: (5-3) > 0 (dvs. denne ulikheten er ikke tilfredsstilt). Nå er det enkelt å markere poengsettet som denne ulikheten er oppfylt for (disse områdene er skyggelagt).

Algoritme for å løse ulikheter med to variabler

1. Vi reduserer ulikheten til formen f (x; y)< 0 (f (х; у) >0; f (x; y) < 0; f (x; y) ≥ 0;)

2. Vi skriver likheten f (x; y) = 0

3. Gjenkjenne grafene som er registrert på venstre side.

4. Vi bygger disse grafene. Hvis ulikheten er streng (f (x; y)< 0 или f (х; у) >0), deretter - med streker, hvis ulikheten ikke er streng (f (x; y) ≤ 0 eller f (x; y) ≥ 0), så - med en heltrukket linje.

5. Bestem hvor mange deler av grafikken som er delt inn i koordinatplanet

6. Velg et kontrollpunkt i en av disse delene. Bestem tegnet for uttrykket f (x; y)

7. Vi arrangerer skilt i andre deler av flyet, tar hensyn til vekslingen (som ved metoden for intervaller)

8. Vi velger delene vi trenger i samsvar med tegnet på ulikheten som vi løser, og bruker skravering

I denne artikkelen svarer jeg på et annet spørsmål fra abonnentene mine. Spørsmålene er forskjellige. Ikke alle er riktig formulert. Og noen av dem er formulert slik at det ikke umiddelbart er mulig å forstå hva forfatteren vil spørre om. Derfor, blant det store antallet spørsmål som sendes, må jeg velge virkelig interessante, slike "perler", svarene på disse er ikke bare spennende, men også nyttige, som det virker for meg, for mine andre lesere. I dag svarer jeg på et av disse spørsmålene. Hvordan representere settet med løsninger på et system av ulikheter?


Dette er et veldig godt spørsmål. Fordi metoden for grafisk problemløsning i matematikk er en veldig kraftig metode. En person er arrangert på en slik måte at det er mer praktisk for ham å oppfatte informasjon ved hjelp av forskjellige visuelle materialer. Derfor, hvis du mestrer denne metoden, så tro meg, den vil være uunnværlig for deg både når du løser oppgaver fra Unified State Examination, spesielt fra den andre delen, andre eksamener, og når du løser optimaliseringsproblemer, og så videre og så videre.

Så. Hvordan kan vi svare på dette spørsmålet. La oss starte enkelt. La systemet med ulikheter bare inneholde én variabel.

Eksempel 1. Tegn settet med løsninger til systemet med ulikheter: Title="(!LANG:Gengitt av QuickLaTeX.com">!}

La oss forenkle dette systemet. For å gjøre dette legger vi til 7 til begge deler av den første ulikheten og deler begge delene med 2, uten å endre fortegnet på ulikheten, siden 2 er et positivt tall. Vi legger til 4 til begge deler av den andre ulikheten. Som et resultat får vi følgende system av ulikheter:

Title="(!LANG:Gengitt av QuickLaTeX.com">!}

Vanligvis kalles et slikt problem endimensjonalt. Hvorfor? Ja, for for å skildre settet med løsningene, er en rett linje nok. En talllinje, for å være nøyaktig. Merk punkt 6 og 8 på denne talllinjen. Det er klart at punkt 8 vil være til høyre enn punkt 6, for på tallinjen er store tall til høyre for mindre. I tillegg vil punkt 8 være skravert, siden det ifølge notasjonen til den første ulikheten er inkludert i løsningen. Tvert imot vil punkt 6 være umalt, siden det ikke er inkludert i løsningen av den andre ulikheten:

La oss nå markere med en pil over verdiene som er mindre enn eller lik 8, som kreves av den første ulikheten i systemet, og med en pil nedenfra, verdiene som er større enn 6, etter behov ved den andre ulikheten i systemet:

Det gjenstår å svare på spørsmålet, hvor på talllinjen er løsningene til systemet med ulikheter. Husk en gang for alle. Systemets tegn - en krøllete parentes - i matematikk erstatter fagforeningen "Og". Det vil si å oversette formlerspråket til menneskelig språk, vi kan si at vi er pålagt å indikere verdier som er større enn 6 OG mindre enn eller lik 8. Det vil si at det nødvendige intervallet ligger i skjæringspunktet av de merkede intervallene:

Så vi har avbildet settet med løsninger til systemet med ulikheter på den reelle linjen hvis systemet med ulikheter inneholder bare én variabel. Dette skraverte intervallet inkluderer alle verdier som alle ulikheter skrevet i systemet er tilfredsstilt for.

La oss nå vurdere en mer komplisert sak. La systemet vårt inneholde ulikheter med to variabler og . I dette tilfellet vil det ikke være mulig å administrere bare en rett linje for å representere løsningene til et slikt system. Vi går utover den endimensjonale verden og legger til en annen dimensjon til den. Her trenger vi et helt fly. Vurder situasjonen på et spesifikt eksempel.

Så, hvordan kan man skildre settet med løsninger for et gitt system av ulikheter med to variabler i et rektangulært koordinatsystem på et plan? La oss starte med det enkleste. La oss spørre oss selv hvilket område av dette planet som er definert av ulikheten. Ligningen definerer en rett linje som går vinkelrett på aksen OKSE gjennom punktet (0;0). Det vil si at denne linjen faktisk sammenfaller med aksen OY. Vel, siden vi er interessert i verdier som er større enn eller lik 0, vil hele halvplanet som ligger til høyre for den rette linjen gjøre:

Dessuten alle punkter som ligger på aksen OY, passer også for oss, fordi ulikheten ikke er streng.

For å forstå hvilket område på koordinatplanet som definerer den tredje ulikheten, må du plotte funksjonen. Dette er en rett linje som går gjennom origo og for eksempel punktet (1;1). Det vil si at det faktisk er en rett linje som inneholder halveringslinjen til vinkelen som danner det første koordinatkvartalet.

La oss nå se på den tredje ulikheten i systemet og tenke på det. Hvilket område må vi finne? La oss se: . Større enn eller likhetstegn. Det vil si at situasjonen er lik den i forrige eksempel. Bare her betyr "mer" ikke "mer til høyre", men "høyere". fordi OY Dette er vår vertikale akse. Det vil si at området definert på planet av den tredje ulikheten er settet med punkter over eller på linjen:

Med den første ulikheten i systemet er det litt mindre praktisk. Men når vi først har klart å definere omfanget av den tredje ulikheten, tror jeg det er klart hvordan vi skal gå frem.

Det er nødvendig å representere denne ulikheten på en slik måte at bare variabelen er til venstre, og bare variabelen er til høyre. For å gjøre dette trekker vi fra ulikheten fra begge sider og deler begge sider med 2 uten å endre fortegnet på ulikheten, fordi 2 er et positivt tall. Som et resultat får vi følgende ulikhet:

Det gjenstår bare å tegne på koordinatplanet en rett linje som skjærer aksen OY ved punktet A(0;4) og en rett linje i punktet . Jeg lærte det siste ved å sette likhetstegn mellom de riktige delene av linjenes ligninger og få ligningen. Fra denne ligningen blir koordinaten til skjæringspunktet funnet, og koordinaten, jeg tror du gjettet det, er lik koordinaten. For de som fortsatt ikke gjettet, er dette fordi vi har ligningen til en av de kryssende linjene:.

Så snart vi har tegnet denne rette linjen, kan vi umiddelbart markere området vi leter etter. Ulikhetstegnet her er "mindre enn eller lik". Dette betyr at det ønskede området er plassert under eller direkte på den avbildede linjen:

Vel, det siste spørsmålet. Hvor er tross alt ønsket region som tilfredsstiller alle tre ulikhetene i systemet? Det er åpenbart plassert i skjæringspunktet mellom alle tre merkede områdene. Kryss igjen! Husk: systemets tegn i matematikk betyr skjæringspunktet. Her er det, dette området:

Vel, det siste eksemplet. Enda mer generelt. Anta nå at vi ikke har én variabel i systemet og ikke to, men så mange som tre!

Siden det er tre variabler, for å representere løsningssettet til et slikt system av ulikheter, trenger vi en tredje dimensjon i tillegg til de to som vi jobbet med i forrige eksempel. Det vil si at vi kommer ut av planet til verdensrommet og skildrer allerede et romlig koordinatsystem med tre dimensjoner: X, Y og Z. Som tilsvarer lengden, bredden og høyden.

La oss starte med å skildre i dette koordinatsystemet overflaten gitt av ligningen. I form er det veldig likt ligningen til en sirkel på et plan, bare ett ledd til med en variabel legges til. Det er lett å gjette at dette er ligningen til en kule sentrert i punktet (1; 3; 2), kvadratet med radiusen til 4. Det vil si at selve radien er 2.

Så et spørsmål. Og hva setter da selve ulikheten? For de som er forundret over dette spørsmålet, foreslår jeg å resonnere som følger. Når vi oversetter formlerspråket til mennesker, kan vi si at det er nødvendig å indikere alle kuler sentrert ved punktet (1;3;2), hvis radier er mindre enn eller lik 2. Men da vil alle disse kulene være innenfor avbildet sfære! Det vil si at denne ulikheten faktisk definerer hele det indre området av den avbildede sfæren. Hvis du vil, gis en ball, avgrenset av den avbildede sfæren:

Overflaten gitt av ligningen x+y+z=4 er et plan som skjærer koordinataksene i punktene (0;0;4), (0;4;0) og (4;0;0). Vel, det er klart at jo større tallet til høyre for likhetstegnet, desto lenger fra sentrum av koordinatene vil skjæringspunktene til dette planet med koordinataksene være. Det vil si at den andre ulikheten definerer et halvrom plassert "over" det gitte planet. Ved å bruke det betingede uttrykket "høyere", mener jeg videre i retning av å øke verdiene til koordinatene langs aksene.

Dette planet skjærer den avbildede sfæren. I dette tilfellet er tverrsnittet en sirkel. Du kan til og med beregne hvor langt fra sentrum av koordinatsystemet er sentrum av denne sirkelen. Forresten, den som gjetter hvordan du gjør dette, skriv løsningene og svarene dine i kommentarfeltet. Dermed definerer det opprinnelige systemet med ulikheter et romområde som er lenger fra dette planet i retning av økende koordinater, men innelukket i den avbildede sfæren:

Slik er settet med løsninger til systemet med ulikheter fremstilt. Hvis det er mer enn 3 variabler i systemet (for eksempel 4), vil det ikke lenger være mulig å visuelt avbilde settet med løsninger. For det ville kreve et 4-dimensjonalt koordinatsystem. Men en normal person er ikke i stand til å forestille seg hvordan 4 innbyrdes vinkelrette koordinatakser kan lokaliseres. Selv om jeg har en venn som påstår at han kan gjøre det, og med letthet. Jeg vet ikke om han forteller sannheten, kanskje sannheten. Men likevel tillater ikke den normale menneskelige fantasien dette.

Jeg håper du fant dagens leksjon nyttig. For å sjekke hvor godt du lærte det, gjør leksene nedenfor.

Tegn settet med løsninger til systemet med ulikheter:

ql-right-eqno"> title="(!LANG:Gengitt av QuickLaTeX.com">!}

Utarbeidet av Sergey Valerievich

En ulikhet er to tall eller matematiske uttrykk forbundet med ett av tegnene: > (mer, i tilfelle strenge ulikheter),< (меньше, в случае строгих неравенств), ≥ (больше или равно, в случае нестрогих неравенств), ≤ (меньше или равно, в случае нестрогих неравенств).

ulikhet er lineær under de samme betingelsene som en ligning: den inneholder variabler bare i første grad og inneholder ikke produkter av variabler.

Løsningen av lineære ulikheter og systemer med lineære ulikheter er uløselig knyttet til deres geometriske betydning: løsningen av en lineær ulikhet er et visst halvplan, der hele planet er delt av en rett linje, hvis ligning er gitt av en lineær ulikhet. Dette halvplanet, og i tilfelle av et system med lineære ulikheter, en del av planet avgrenset av flere rette linjer, må finnes på tegningen.

Mange økonomiske problemer reduseres til å løse systemer med lineære ulikheter med et stort antall variabler, spesielt lineære programmeringsproblemer der det kreves å finne maksimum eller minimum av en funksjon.

Løse systemer med lineære ulikheter med et hvilket som helst antall ukjente

La oss først analysere lineære ulikheter i planet. Tenk på en ulikhet med to variabler og:

,

hvor er koeffisientene til variablene (noen tall), er frileddet (også noe tall).

En ulikhet med to ukjente, som en ligning, har et uendelig antall løsninger. En løsning på denne ulikheten er et tallpar som tilfredsstiller denne ulikheten. Geometrisk er settet med løsninger til ulikheten avbildet som et halvplan avgrenset av en rett linje

,

som vi vil kalle grenselinjen.

Trinn 1. Konstruer en rett linje som avgrenser settet med løsninger for den lineære ulikheten

For å gjøre dette, må du kjenne til to punkter på denne linjen. La oss finne skjæringspunktene med koordinataksene. Kryssordinat EN er null (figur 1). De numeriske verdiene på aksene i denne figuren refererer til eksempel 1, som vi vil analysere umiddelbart etter denne teoretiske digresjonen.

Abscissen finner vi ved å løse som et system likningen av en rett linje med likningen til aksen.

La oss finne skjæringspunktet med aksen:

Ved å erstatte verdien i den første ligningen får vi

Hvor .

Dermed fant vi abscissen til punktet EN .

La oss finne koordinatene til skjæringspunktet med aksen.

Abscissepunkt B er lik null. La oss løse likningen til grenselinjen med likningen til koordinataksen:

,

derav koordinatene til punktet B: .

Trinn 2. Tegn en linje som avgrenser settet med løsninger til ulikheten.Å kjenne poengene EN og B skjæringspunktet mellom grenselinjen og koordinataksene, kan vi tegne denne linjen. Den rette linjen (figur 1 igjen) deler hele planet i to deler som ligger til høyre og venstre (over og under) for denne rette linjen.

Trinn 3. Bestem hvilket av halvplanene som er løsningen på denne ulikheten. For å gjøre dette, må vi erstatte opprinnelsen til koordinatene (0; 0) i denne ulikheten. Hvis koordinatene til origo tilfredsstiller ulikheten, så er løsningen på ulikheten halvplanet som origo ligger i. Hvis koordinatene ikke tilfredsstiller ulikheten, så er løsningen på ulikheten et halvplan som ikke inneholder opprinnelsen. Halvplanet til løsningen av ulikheten vil bli betegnet med streker fra den rette linjen inne i halvplanet, som i figur 1.

Hvis vi løser systemet med lineære ulikheter, så utføres hvert trinn for hver av ulikhetene i systemet.

Eksempel 1 Løs ulikheten

Løsning. La oss tegne en rett linje

Setter vi inn en rett linje i ligningen, får vi, og erstatter, får vi. Derfor vil koordinatene til skjæringspunktene med aksene være EN(3; 0) , B(0; 2). Tegn en rett linje gjennom disse punktene (igjen, figur 1).

Vi velger et halvt plan av løsninger på ulikheten. For å gjøre dette, erstatter vi koordinatene til begynnelsen (0; 0) med ulikheten:

vi oppnår , dvs. koordinatene til opprinnelsen tilfredsstiller denne ulikheten. Følgelig er løsningen på ulikheten et halvplan som inneholder origo, dvs. venstre (eller nedre) halvplan.

Hvis denne ulikheten var streng, det vil si, ville den hatt formen

da ville ikke punktene på grenselinjen vært en løsning, siden de ikke tilfredsstiller ulikheten.

Vurder nå et system med lineære ulikheter med to ukjente:

Hver av ulikhetene til dette systemet på planet definerer et halvplan. Et system med lineære ulikheter kalles konsistent hvis det har minst én løsning, og inkonsistent hvis det ikke har noen løsninger. En løsning på et system med lineære ulikheter er et hvilket som helst tallpar () som tilfredsstiller alle ulikhetene i dette systemet.

Geometrisk er løsningen på et system med lineære ulikheter settet med punkter som tilfredsstiller alle ulikhetene i systemet, det vil si den vanlige delen av de resulterende halvplanene. Derfor, geometrisk, i det generelle tilfellet, kan løsningen avbildes som en viss polygon, i et bestemt tilfelle kan det være en linje, et segment og til og med et punkt. Hvis systemet med lineære ulikheter er inkonsekvent, er det ikke et eneste punkt på planet som tilfredsstiller alle ulikhetene i systemet.

Eksempel 2

Løsning. Så det er nødvendig å finne en polygon av løsninger for dette systemet av ulikheter. La oss konstruere en grenselinje for den første ulikheten, det vil si en linje, og en grenselinje for den andre ulikheten, det vil si en linje.

Dette gjør vi trinn for trinn, som det ble vist i den teoretiske referansen og i eksempel 1, spesielt siden det i eksempel 1 ble bygget en grenselinje for ulikheten, som er den første i dette systemet.

Løsningens halvplan som tilsvarer ulikhetene til dette systemet er skyggelagt innover i figur 2. Den vanlige delen av løsningens halvplan er en åpen vinkel ABC. Dette betyr at settet med punkter i planet som utgjør den åpne vinkelen ABC, er en løsning på både den første og andre ulikheten i systemet, det vil si er en løsning på et system med to lineære ulikheter. Med andre ord tilfredsstiller koordinatene til ethvert punkt fra dette settet begge ulikhetene i systemet.

Eksempel 3 Løs et system med lineære ulikheter

Løsning. La oss konstruere grenselinjene som tilsvarer systemets ulikheter. Dette gjør vi ved å følge trinnene gitt i den teoretiske bakgrunnen for hver ulikhet. Nå definerer vi halvplanene av løsninger for hver ulikhet (Figur 3).

Løsningens halvplan som tilsvarer ulikhetene til det gitte systemet er skyggelagt innover. Skjæringspunktet mellom halvplanene til løsningene er avbildet, som vist på figuren, i form av en firkant ABCE. Vi har funnet at løsningspolygonet til et system med lineære ulikheter med to variabler er en firkant ABCE .

Alt beskrevet ovenfor om systemer med lineære ulikheter med to ukjente gjelder også for et system av ulikheter med et hvilket som helst antall ukjente, med den eneste forskjellen at løsningen av en ulikhet med n det ukjente vil være helheten n tall () som tilfredsstiller alle ulikheter, og i stedet for grenselinjen vil det være et grensehyperplan n-dimensjonalt rom. Løsningen vil være et løsningspolyeder (simpleks) avgrenset av hyperplan.

Det er bare "X'er" og kun abscisseaksen, nå legges "Ys" til og aktivitetsfeltet utvides til hele koordinatplanet. Videre i teksten forstås uttrykket "lineær ulikhet" i en todimensjonal betydning, som vil bli tydelig i løpet av sekunder.

I tillegg til analytisk geometri er materialet relevant for en rekke problemstillinger innen matematisk analyse, økonomisk og matematisk modellering, så jeg anbefaler at du studerer denne forelesningen med fullt alvor.

Lineære ulikheter

Det er to typer lineære ulikheter:

1) Streng ulikheter:.

2) Ikke-streng ulikheter:.

Hva er den geometriske betydningen av disse ulikhetene? Hvis en lineær ligning definerer en rett linje, definerer en lineær ulikhet halvfly.

For å forstå informasjonen nedenfor, må du kjenne til typene linjer på flyet og kunne bygge linjer. Hvis du har noen problemer i denne delen, les hjelpen Grafer og egenskaper til funksjoner– et avsnitt om en lineær funksjon.

La oss starte med de enkleste lineære ulikhetene. Den blå drømmen til enhver taper er et koordinatplan der det ikke er noe i det hele tatt:

Som du vet, er abscisseaksen gitt av ligningen - "y" er alltid (for enhver verdi av "x") lik null

La oss vurdere ulikheten. Hvordan forstå det uformelt? "Y" er alltid (for enhver verdi av "x") positiv. Det er åpenbart at denne ulikheten bestemmer det øvre halvplanet, siden alle punkter med positive "spill" ligger der.

I tilfelle ulikheten ikke er streng, til det øvre halvplanet i tillegg akse legges til.

Tilsvarende: ulikheten tilfredsstilles av alle punkter i det nedre halvplanet, den ikke-strenge ulikheten tilsvarer det nedre halvplanet + aksen .

Med y-aksen, den samme prosaiske historien:

– ulikheten definerer det høyre halvplanet;
– ulikheten definerer det høyre halvplanet, inkludert y-aksen;
– ulikheten definerer venstre halvplan;
– ulikheten definerer venstre halvplan, inkludert y-aksen.

På det andre trinnet tar vi for oss ulikheter der en av variablene mangler.

Mangler "y":

Eller mangler "x":

Disse ulikhetene kan håndteres på to måter. Vennligst vurder begge tilnærmingene. La oss underveis huske og konsolidere skolehandlinger med ulikheter som allerede er diskutert i leksjonen Funksjonsomfang.

Eksempel 1

Løs lineære ulikheter:

Hva vil det si å løse en lineær ulikhet?

Å løse en lineær ulikhet betyr å finne et halvplan, hvis punkter tilfredsstiller den gitte ulikheten (pluss selve linjen, hvis ulikheten ikke er streng). Løsning, vanligvis, grafikk.

Det er mer praktisk å utføre tegningen umiddelbart og deretter kommentere alt:

a) Løs ulikheten

Metode én

Metoden er veldig lik historien med koordinatakser, som vi diskuterte ovenfor. Ideen er å transformere ulikheten - å la én variabel stå på venstre side uten konstanter, i dette tilfellet x-variabelen.

regel: I ulikheten overføres begrepene fra del til del med fortegnsendring, mens tegnet på selve ulikheten endres ikke(hvis det for eksempel var et «mindre enn»-tegn, vil det forbli «mindre»).

Vi overfører de "fem" til høyre side med tegnskifte:

regel POSITIV endres ikke.

Tegn nå en rett linje (stiplet blå linje). Den rette linjen er stiplet på grunn av ulikheten streng, og punktene som hører til denne linjen vil absolutt ikke være med i løsningen.

Hva er meningen med ulikhet? "X" er alltid (for enhver verdi av "y") mindre enn . Denne påstanden er åpenbart tilfredsstilt av alle punkter i venstre halvplan. Dette halvplanet kan i prinsippet skygges, men jeg vil begrense meg til små blå piler for ikke å gjøre tegningen om til en kunstnerisk palett.

Metode to

Dette er en universell måte. LES VELDIG NØYE!

Tegn først en rett linje. For klarhetens skyld er det forresten tilrådelig å representere ligningen i skjemaet .

Velg nå et hvilket som helst punkt på flyet, ikke tilhører en rett linje. I de fleste tilfeller det deiligste poenget, selvfølgelig. Bytt ut koordinatene til dette punktet med ulikheten:

Mottatt feil ulikhet(med enkle ord kan dette ikke være det), noe som betyr at punktet ikke tilfredsstiller ulikheten .

Nøkkelregelen for vår oppgave:
tilfredsstiller ikke ulikhet altså ALLE punkter i et gitt halvplan ikke tilfredsstiller til denne ulikheten.
– Hvis noe punkt i halvplanet (tilhører ikke linjen) tilfredsstiller ulikhet altså ALLE punkter i et gitt halvplan tilfredsstille til denne ulikheten.

Du kan teste: ethvert punkt til høyre for linjen vil ikke tilfredsstille ulikheten .

Hva er konklusjonen fra forsøket med prikken? Det er ingen steder å gå, ulikheten er tilfredsstilt av alle punkter i den andre - venstre halvplan (du kan også sjekke).

b) Løs ulikheten

Metode én

La oss transformere ulikheten:

regel: Begge sider av ulikheten kan multipliseres (deltes) med NEGATIV tall, mens ulikhetstegnet ENDRINGER til det motsatte (hvis det for eksempel var et "større enn eller lik"-tegn, vil det bli "mindre enn eller lik").

Multipliser begge sider av ulikheten med:

La oss tegne en rett linje (rød farge), dessuten tegne en hel linje, siden vi har ulikhet ikke-streng, og linjen hører absolutt til løsningen.

Etter å ha analysert den resulterende ulikheten, kommer vi til den konklusjon at løsningen er det nedre halvplanet (+ selve linjen).

Et passende halvplan skraveres eller markeres med piler.

Metode to

La oss tegne en rett linje. La oss velge et vilkårlig punkt på planet (som ikke tilhører en rett linje), for eksempel, og erstatte dets koordinater med vår ulikhet:

Mottatt riktig ulikhet, så tilfredsstiller punktet ulikheten , og generelt tilfredsstiller ALLE punktene i det nedre halvplanet denne ulikheten.

Her, med det eksperimentelle punktet, "treffer" vi ønsket halvplan.

Løsningen på problemet er indikert med en rød rett linje og røde piler.

Personlig liker jeg den første løsningen mer, fordi den andre er mer formell.

Eksempel 2

Løs lineære ulikheter:

Dette er et gjør-det-selv eksempel. Prøv å løse problemet på to måter (det er forresten en god måte å sjekke løsningen på). I svaret på slutten av leksjonen vil det kun være den endelige tegningen.

Jeg tror at etter alle handlingene som er gjort i eksemplene, må du gifte deg med dem, det vil ikke være vanskelig å løse den enkleste ulikheten, som osv.

Vi vender oss til betraktningen av det tredje, generelle tilfellet, når begge variablene er tilstede i ulikheten:

Alternativt kan det frie uttrykket "ce" være null.

Eksempel 3

Finn halvplan som tilsvarer følgende ulikheter:

Løsning: Dette bruker den universelle punktsubstitusjonsmetoden.

a) La oss konstruere likningen av en rett linje, mens linjen skal tegnes med en stiplet linje, siden ulikheten er streng og selve den rette linjen ikke vil inkluderes i løsningen.

Vi velger for eksempel et eksperimentelt punkt på planet som ikke tilhører den gitte linjen, og erstatter dets koordinater med vår ulikhet:

Mottatt feil ulikhet, så punktet og ALLE punktene til dette halvplanet tilfredsstiller ikke ulikheten . Løsningen på ulikheten vil være et annet halvplan, vi beundrer det blå lynet:

b) La oss løse ulikheten. La oss først tegne en rett linje. Dette er enkelt å gjøre, vi har en kanonisk direkte proporsjonalitet. Linjen er trukket solid, siden ulikheten ikke er streng.

Vi velger et vilkårlig punkt på flyet som ikke tilhører linjen. Jeg vil gjerne bruke opprinnelsen igjen, men dessverre er den ikke egnet. Derfor må du jobbe med en annen kjæreste. Det er mer lønnsomt å ta et punkt med små koordinatverdier, for eksempel . Erstatt dens koordinater i vår ulikhet:

Mottatt riktig ulikhet, så punktet og alle punktene i det gitte halvplanet tilfredsstiller ulikheten . Ønsket halvplan er markert med røde piler. I tillegg inkluderer løsningen selve ledningen.

Eksempel 4

Finn halvplan som tilsvarer ulikhetene:

Dette er et gjør-det-selv eksempel. En komplett løsning, et grovt utvalg av etterbehandling og et svar på slutten av leksjonen.

La oss se på det omvendte problemet:

Eksempel 5

a) Gitt en rett linje. Definere halvplanet som punktet ligger i, mens selve linjen må inngå i løsningen.

b) Gitt en rett linje. Definere halvplanet som punktet befinner seg i. Selve ledningen er ikke inkludert i løsningen.

Løsning: det er ikke behov for en tegning her og løsningen vil være analytisk. Ikke noe vanskelig:

a) Lag et hjelpepolynom og beregne verdien ved punktet:
. Dermed vil den ønskede ulikheten være med "mindre enn"-tegnet. Etter betingelse er linjen inkludert i løsningen, så ulikheten vil ikke være streng:

b) Komponer polynomet og beregn verdien ved punktet:
. Dermed vil den ønskede ulikheten være med et "større enn"-tegn. Etter betingelse er linjen ikke inkludert i løsningen, derfor vil ulikheten være streng: .

Svar:

Kreativt eksempel for selvstudium:

Eksempel 6

Gitt poeng og en linje. Blant de listede punktene, finn de som sammen med origo ligger på samme side av den gitte linjen.

Et lite hint: først må du skrive en ulikhet som definerer halvplanet som opprinnelsen er plassert i. Analytisk løsning og svar på slutten av timen.

Systemer med lineære ulikheter

Et system med lineære ulikheter er, som du forstår, et system sammensatt av flere ulikheter. Lol, vel, jeg ga ut definisjonen =) Et pinnsvin er et pinnsvin, en kniv er en kniv. Men sannheten er - det viste seg enkelt og rimelig! Nei, seriøst, jeg ønsker ikke å gi noen eksempler på en generell måte, så la oss umiddelbart gå videre til presserende problemer:

Hva vil det si å løse et system med lineære ulikheter?

Løs et system med lineære ulikheter- Dette betyr finn settet med punkter i planet som tilfredsstiller til hver systemulikhet.

Som de enkleste eksemplene kan du vurdere systemer med ulikheter som bestemmer koordinatfjerdingene til et rektangulært koordinatsystem ("tegningen av toer" er helt i begynnelsen av leksjonen):

Systemet med ulikheter definerer det første koordinatkvartalet (øverst til høyre). Koordinater for et hvilket som helst punkt i første kvartal, for eksempel, etc. tilfredsstille til hver ulikhet i dette systemet.

På samme måte:
– systemet med ulikheter definerer det andre koordinatkvartalet (øverst til venstre);
– systemet med ulikheter definerer det tredje koordinatkvartalet (nederst til venstre);
– systemet med ulikheter definerer det fjerde koordinatkvartalet (nedre til høyre).

Et system med lineære ulikheter har kanskje ikke løsninger, det vil si å være uforenlig. Igjen, det enkleste eksemplet: . Det er ganske åpenbart at "x" ikke kan være mer enn tre og mindre enn to samtidig.

Løsningen på ulikhetssystemet kan være en rett linje, for eksempel: . Svane, kreps, uten gjedde, trekker vogna i to forskjellige retninger. Ja, ting er der fortsatt - løsningen på dette systemet er en rett linje.

Men det vanligste tilfellet, når løsningen av systemet er noen flyområdet. Beslutningsområde kan være ubegrenset(for eksempel koordinatkvartaler) eller begrenset. Det begrensede domenet av løsninger kalles polygonløsningssystem.

Eksempel 7

Løs et system med lineære ulikheter

I praksis må du i de fleste tilfeller forholde deg til ikke-strenge ulikheter, så de vil danse resten av timen.

Løsning: det faktum at det er for mange ulikheter burde ikke være skummelt. Hvor mange ulikheter kan det være i et system? Ja, så mye du vil. Det viktigste er å følge en rasjonell algoritme for å konstruere løsningsområdet:

1) Først tar vi for oss de enkleste ulikhetene. Ulikhetene definerer det første koordinatkvartalet, inkludert grensen til koordinataksene. Allerede mye enklere, siden søkeområdet har blitt betydelig innsnevret. På tegningen markerer vi umiddelbart de tilsvarende halvplanene med piler (røde og blå piler)

2) Den nest enkleste ulikheten - det er ingen "y" her. For det første bygger vi selve linjen, og for det andre, etter å ha transformert ulikheten til formen , blir det umiddelbart klart at alle "xer" er mindre enn 6. Vi markerer det tilsvarende halvplanet med grønne piler. Vel, søkeområdet har blitt enda mindre - et slikt rektangel som ikke er begrenset ovenfra.

3) På siste trinn løser vi "med full ammunisjon" ulikhetene: . Vi diskuterte løsningsalgoritmen i detalj i forrige avsnitt. Kort sagt: først bygger vi en rett linje, så finner vi ved hjelp av et forsøkspunkt halvplanet vi trenger.

Stå opp, barn, stå i en sirkel:


Løsningsområdet til systemet er en polygon, på tegningen er den sirklet med en rød linje og skyggelagt. Jeg overdrev det litt =) I notatboken er det nok å enten skyggelegge området med løsninger, eller skissere det mer dristig med en enkel blyant.

Ethvert punkt i denne polygonen tilfredsstiller HVER ulikhet i systemet (for interesse kan du sjekke).

Svar: løsningen av systemet er en polygon.

Når du lager en ren kopi, ville det være fint å beskrive i detalj på hvilke punkter du bygde rette linjer (se leksjon Grafer og egenskaper til funksjoner), og hvordan halvplanene ble bestemt (se første avsnitt i denne leksjonen). Men i praksis vil du i de fleste tilfeller bli kreditert med akkurat den riktige tegningen. Selve beregningene kan utføres på utkast eller til og med muntlig.

I tillegg til løsningspolygonen til systemet er det i praksis, om enn sjeldnere, et åpent område. Prøv å analysere følgende eksempel selv. Selv om det for nøyaktighetens skyld ikke er noen tortur her - konstruksjonsalgoritmen er den samme, det er bare at området vil vise seg å ikke være begrenset.

Eksempel 8

Løs systemet

Løsning og svar på slutten av leksjonen. Du vil mest sannsynlig ha andre bokstavbetegnelser for toppunktene til det resulterende området. Dette er ikke viktig, det viktigste er å finne toppunktene riktig og bygge området riktig.

Det er ikke uvanlig når det i oppgaver kreves ikke bare å konstruere domenet til systemets løsninger, men også å finne koordinatene til toppunktene til domenet. I de to foregående eksemplene var koordinatene til disse punktene åpenbare, men i praksis er alt langt fra is:

Eksempel 9

Løs systemet og finn koordinatene til toppunktene til det resulterende området

Løsning: Vi vil skildre området for løsninger til dette systemet på tegningen. Ulikheten setter venstre halvplan med y-aksen, og det er ikke flere freebies her. Etter beregninger på en ren / utkast eller dyp tankeprosess, får vi følgende beslutningsområde:

En graf av en lineær eller kvadratisk ulikhet er bygget på samme måte som en graf for en hvilken som helst funksjon (ligning) er bygget. Forskjellen er at ulikhet innebærer flere løsninger, så en ulikhetsgraf er ikke bare et punkt på en talllinje eller en linje på et koordinatplan. Ved hjelp av matematiske operasjoner og ulikhetstegnet kan du bestemme settet med løsninger på ulikheten.

Trinn

Grafisk representasjon av en lineær ulikhet på en talllinje

1. Løs ulikheten. For å gjøre dette, isoler variabelen ved å bruke de samme algebraiske triksene du bruker for å løse en hvilken som helst ligning. Husk at når du multipliserer eller dividerer en ulikhet med et negativt tall (eller ledd), snu ulikhetstegnet.

   • For eksempel gitt ulikheten 3y + 9 > 12 (\displaystyle 3y+9>12). For å isolere variabelen, trekk 9 fra begge sider av ulikheten, og del deretter begge sider med 3:
     3y + 9 > 12 (\displaystyle 3y+9>12)
     3 y + 9 − 9 > 12 − 9 (\displaystyle 3y+9-9>12-9)
     3 y > 3 (\displaystyle 3y>3)
     3 y 3 > 3 3 (\displaystyle (\frac (3y)(3))>(\frac (3)(3)))
     y > 1 (\displaystyle y>1)
   • En ulikhet må bare ha én variabel. Hvis ulikheten har to variabler, er det bedre å plotte grafen på koordinatplanet.

2. Tegn en talllinje. På talllinjen merker du den funnet verdien (variabelen kan være mindre enn, større enn eller lik denne verdien). Tegn en talllinje med passende lengde (lang eller kort).

   • For eksempel hvis du regnet det ut y > 1 (\displaystyle y>1), merk verdien 1 på talllinjen.

3. Tegn en sirkel for å representere den funnet verdien. Hvis variabelen er mindre enn ( < {\displaystyle <} ) eller mer ( > (\displaystyle >)) av denne verdien fylles ikke sirkelen fordi løsningssettet ikke inkluderer denne verdien. Hvis variabelen er mindre enn eller lik ( ≤ (\displaystyle \leq )) eller større enn eller lik ( ≥ (\displaystyle\geq )) til denne verdien fylles sirkelen fordi løsningssettet inkluderer denne verdien.

   • y > 1 (\displaystyle y>1), på tallinjen, tegn en åpen sirkel ved punkt 1 fordi 1 ikke er i løsningssettet.

4. På talllinjen skygger du for området som definerer settet med løsninger. Hvis variabelen er større enn den funnet verdien, skygger du området til høyre for den, fordi løsningssettet inkluderer alle verdier som er større enn den funnet verdien. Hvis variabelen er mindre enn den funnet verdien, skygger du området til venstre for den, fordi løsningssettet inkluderer alle verdier som er mindre enn den funnet verdien.

   • For eksempel gitt ulikheten y > 1 (\displaystyle y>1), på talllinjen, skyggelegg området til høyre for 1 fordi løsningssettet inkluderer alle verdier større enn 1.

   Grafisk representasjon av en lineær ulikhet på koordinatplanet

   1. Løs ulikheten (finn verdien y (\displaystyle y)). For å få en lineær ligning, isoler variabelen på venstre side ved å bruke kjente algebraiske metoder. Variabelen skal forbli på høyre side x (\displaystyle x) og muligens noen konstante.

      • For eksempel gitt ulikheten 3y + 9 > 9x (\displaystyle 3y+9>9x). For å isolere en variabel y (\displaystyle y), trekk 9 fra begge sider av ulikheten, og del deretter begge sider med 3:
        3y + 9 > 9x (\displaystyle 3y+9>9x)
        3 y + 9 − 9 > 9 x − 9 (\displaystyle 3y+9-9>9x-9)
        3 y > 9 x − 9 (\displaystyle 3y>9x-9)
        3 y 3 > 9 x − 9 3 (\displaystyle (\frac (3y)(3))>(\frac (9x-9)(3)))
        y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3)

   2. Plott den lineære ligningen på koordinatplanet. plott grafen slik du plotter en hvilken som helst lineær ligning. Plott skjæringspunktet med Y-aksen, og plott deretter andre punkter ved hjelp av helningen.

      • y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3) plott ligningen y = 3 x − 3 (\displaystyle y=3x-3). Skjæringspunktet med Y-aksen har koordinater , og helningen er 3 (eller 3 1 (\displaystyle (\frac (3)(1)))). Så først plott et punkt med koordinater (0 , − 3) (\displaystyle (0,-3)); punktet over skjæringspunktet med y-aksen har koordinater (1 , 0) (\displaystyle (1,0)); punktet under skjæringspunktet med y-aksen har koordinater (− 1 , − 6) (\displaystyle (-1,-6))

   3. Tegn en rett linje. Hvis ulikheten er streng (inkluderer tegnet < {\displaystyle <} eller > (\displaystyle >)), tegne en stiplet linje, fordi settet med løsninger ikke inkluderer verdier som ligger på linjen. Hvis ulikheten ikke er streng (inkluderer tegnet ≤ (\displaystyle \leq ) eller ≥ (\displaystyle\geq )), tegne en heltrukket linje, fordi settet med løsninger inkluderer verdier som ligger på linjen.

      • For eksempel ved ulikhet y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3) tegne den stiplede linjen, fordi settet med løsninger ikke inkluderer verdier som ligger på linjen.

   4. Skyggelegg det tilsvarende området. Hvis ulikheten har formen y > m x + b (\displaystyle y>mx+b), fyll ut området over linjen. Hvis ulikheten har formen y< m x + b {\displaystyle y, fyll ut området under linjen.

      • For eksempel ved ulikhet y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3) skygge området over linjen.

   Grafisk representasjon av en kvadratisk ulikhet på koordinatplanet

   1. Bestem at denne ulikheten er kvadratisk. Den kvadratiske ulikheten har formen a x 2 + b x + c (\displaystyle ax^(2)+bx+c). Noen ganger inneholder ikke ulikheten en førsteordens variabel ( x (\displaystyle x)) og/eller fri term (konstant), men må inkludere en annenordens variabel ( x 2 (\displaystyle x^(2))). Variabler x (\displaystyle x) og y (\displaystyle y) må isoleres på ulike sider av ulikheten.

      • For eksempel må du plotte ulikheten y< x 2 − 10 x + 16 {\displaystyle y.

   2. Tegn en graf på koordinatplanet. For å gjøre dette, konverter ulikheten til en ligning og bygg en graf, slik du bygger en graf av en annengradsligning. Husk at grafen til en andregradsligning er en parabel.

      • For eksempel ved ulikhet y< x 2 − 10 x + 16 {\displaystyle y plott andregradsligningen y = x 2 − 10 x + 16 (\displaystyle y=x^(2)-10x+16). Toppen av parabelen er på punktet (5 , − 9) (\displaystyle (5,-9)), og parabelen skjærer x-aksen i punkter (2 , 0) (\displaystyle (2,0)) og (8 , 0) (\displaystyle (8,0)).