Graf for funksjonen y cos x 2. Grafer over trigonometriske funksjoner med flere vinkler

"Graffer over funksjoner og deres egenskaper" - y = ctg x. 4) Begrenset funksjon. 3) Odd funksjon. (Grafen til funksjonen er symmetrisk om opprinnelsen). y = tgx. 7) Funksjonen er kontinuerlig på et hvilket som helst intervall av formen (?k; ? + ?k). Funksjonen y = tg x er kontinuerlig på et hvilket som helst intervall på skjemaet. 4) Funksjonen avtar på et hvilket som helst intervall i formen (?k; ? + ?k). Grafen til funksjonen y \u003d tg x kalles tangentoiden.

"Graf av funksjon Y X" - Parabolmal y \u003d x2. Klikk for å se grafer. Eksempel 2. La oss bygge en graf av funksjonen y = x2 + 1, basert på grafen til funksjonen y=x2 (museklikk). Eksempel 3. La oss bevise at grafen til funksjonen y \u003d x2 + 6x + 8 er en parabel, og bygge en graf. Grafen til funksjonen y=(x - m)2 er en parabel med et toppunkt i punktet (m; 0).

"Mathematics of graphics" - Hvordan kan du bygge grafer? De mest naturlige funksjonelle avhengighetene reflekteres ved hjelp av grafer. En interessant applikasjon: tegninger, ... Hvorfor studerer vi grafer? Grafer over elementære funksjoner. Hva kan du tegne med grafer? Vi vurderer bruken av grafer i akademiske fag: matematikk, fysikk, ...

"Graphing with the Derivative" - Generalisering. Konstruer en skisse av grafen til funksjonen. Finn asymptotene til grafen til funksjonen. Graf av den deriverte av en funksjon. Ekstra oppgave. Utforsk funksjonen. Nevn intervallene for avtagende funksjon. Selvstendig arbeid av studenter. Utvide kunnskap. Leksjon for å konsolidere det studerte materialet. Vurder ferdighetene dine. Maks poeng for funksjonen.

"Charts med modulen" - Vis den "nedre" delen i det øvre halvplanet. Modulus til et reelt tall. Egenskaper for funksjonen y = |x|. |x|. Tall. Algoritme for å konstruere en graf for en funksjon. Konstruksjonsalgoritme. Funksjon y=lхl. Eiendommer. Selvstendig arbeid. Funksjonen null. Flott råd. Gjør-det-selv-løsning.

"tangential equation" - Tangent equation. Normal ligning. Hvis, så krysser kurvene i rette vinkler. Betingelser for parallellitet og perpendikularitet av to linjer. Vinkel mellom funksjonsgrafer. Ligningen for tangenten til grafen til en funksjon i et punkt. La funksjonen være differensierbar på et punkt. La linjene være gitt ved likningene og.

Det er totalt 25 presentasjoner i emnet

Nå skal vi vurdere spørsmålet om hvordan man plotter de trigonometriske funksjonene til flere vinkler ωx, hvor ω er et positivt tall.

Å plotte en funksjon y = synd ωx La oss sammenligne denne funksjonen med funksjonen vi allerede har studert y = sin x. La oss anta at kl x = x 0 funksjon y = sin x tar en verdi lik 0. Deretter

y 0 = synd x 0 .

La oss transformere dette forholdet som følger:

Derfor funksjonen y = synd ωx på X = x 0 / ω tar samme verdi på 0 , som er funksjonen y = sin x på x = x 0 . Og dette betyr at funksjonen y = synd ωx gjentar sine verdier i ω ganger oftere enn funksjonen y = sin x. Så grafen til funksjonen y = synd ωx oppnådd ved å "komprimere" grafen til funksjonen y = sin x i ω ganger langs x-aksen.

For eksempel grafen til funksjonen y \u003d synd 2x oppnådd ved å "komprimere" sinusoiden y = sin x to ganger langs abscissen.

Funksjonsgraf y \u003d sin x / 2 oppnådd ved å "strekke" sinusformen y \u003d sin x to ganger (eller "komprimere" i 1 / 2 ganger) langs x-aksen.

Siden funksjonen y = synd ωx gjentar sine verdier i ω ganger oftere enn funksjonen
y = sin x, så er perioden i ω ganger mindre enn funksjonens periode y = sin x. For eksempel perioden for funksjonen y \u003d synd 2x er lik 2π / 2 = π , og perioden for funksjonen y \u003d sin x / 2 er lik π / x / 2 = 4π .

Det er interessant å studere funksjonens oppførsel y \u003d synd øks på eksemplet med animasjon, som veldig enkelt kan lages i programmet lønnetre:

På samme måte er grafer konstruert for andre trigonometriske funksjoner med flere vinkler. Figuren viser en graf over funksjonen y = cos 2x, som oppnås ved å "komprimere" cosinus y = cos x to ganger langs x-aksen.

Funksjonsgraf y = cos x / 2 oppnådd ved å "strekke" cosinusbølgen y = cos x to ganger langs x-aksen.

På figuren ser du en graf over funksjonen y = tg 2x, oppnådd ved å "komprimere" tangentoiden y = tgx to ganger langs abscissen.

Funksjonsgraf y = tg x / 2 , oppnådd ved å "strekke" tangentoiden y = tgx to ganger langs x-aksen.

Og til slutt, animasjonen utført av programmet lønnetre:

Øvelser

1. Bygg grafer for disse funksjonene og angi koordinatene til skjæringspunktene mellom disse grafene med koordinataksene. Bestem periodene for disse funksjonene.

en). y=synd 4x / 3 G). y=tg 5x / 6 og). y = cos 2x / 3

b). y= cos 5x / 3 e). y=ctg 5x / 3 h). y=ctg x / 3

i). y=tg 4x / 3 e). y = synd 2x / 3

2. Definer funksjonsperioder y \u003d sin (πx) og y = tg (πх / 2).

3. Gi to eksempler på en funksjon som tar alle verdier fra -1 til +1 (inkludert disse to tallene) og endres periodisk med en periode på 10.

4 *. Gi to eksempler på funksjoner som tar alle verdier fra 0 til 1 (inkludert disse to tallene) og endres periodisk med en periode π / 2.

5. Gi to eksempler på funksjoner som tar alle reelle verdier og endres periodisk med periode 1.

6 *. Gi to eksempler på funksjoner som tar alle negative verdier og null, men ikke ta positive verdier og endre periodisk med en periode på 5.

Leksjon og presentasjon om temaet: "Funksjon y=cos(x). Definisjon og graf for en funksjon"

Ytterligere materialer
Kjære brukere, ikke glem å legge igjen kommentarer, tilbakemeldinger, forslag. Alt materiale kontrolleres av et antivirusprogram.

Læremidler og simulatorer i nettbutikken "Integral" for 10. klasse
Algebraiske problemer med parametere, klassetrinn 9–11
Programvaremiljø "1C: Mathematical constructor 6.1"

Hva skal vi studere:
1. Definisjon.
2. Graf over funksjonen.
3. Egenskaper for funksjonen Y=cos(X).
4. Eksempler.

Definisjon av cosinusfunksjonen y=cos(x)

Gutter, vi har allerede møtt funksjonen Y=sin(X).

La oss huske en av spøkelsesformlene: sin(X + π/2) = cos(X).

Takket være denne formelen kan vi hevde at funksjonene sin(X + π/2) og cos(X) er identiske, og funksjonsgrafene deres er de samme.

Grafen til sin(X + π/2)-funksjonen hentes fra grafen til sin(X)-funksjonen ved å parallellforskyve π/2-enheter til venstre. Dette vil være grafen til funksjonen Y=cos(X).

Grafen til funksjonen Y=cos(X) kalles også en sinusformet.

cos(x) funksjonsegenskaper

Definisjonsdomenet er settet av reelle tall.
Funksjonen er jevn. La oss huske definisjonen av en jevn funksjon. En funksjon kalles selv om likheten y(-x)=y(x) holder. Som vi husker fra spøkelsesformlene: cos(-x)=-cos(x), er definisjonen oppfylt, da er cosinus en jevn funksjon.
Funksjonen Y=cos(X) avtar på intervallet og øker på intervallet [π; 2π]. Vi kan bekrefte dette på grafen til funksjonen vår.
Funksjonen Y=cos(X) er avgrenset nedenfra og over. Denne egenskapen kommer fra det faktum at
-1 ≤ cos(X) ≤ 1
Den minste verdien av funksjonen er -1 (for x = π + 2πk). Den største verdien av funksjonen er 1 (for x = 2πk).
Funksjonen Y=cos(X) er en kontinuerlig funksjon. La oss se på grafen og sørge for at funksjonen vår ikke har hull, noe som betyr kontinuitet.
Verdiområdet er segmentet [- 1; en]. Dette er også godt synlig fra grafen.
Funksjonen Y=cos(X) er en periodisk funksjon. La oss se på grafen igjen og se at funksjonen får de samme verdiene med noen intervaller.

Eksempler med cos(x)-funksjonen

1. Løs ligningen cos(X)=(x - 2π) 2 + 1

Løsning: La oss bygge 2 grafer av funksjonen: y=cos(x) og y=(x - 2π) 2 + 1 (se figur).

y \u003d (x - 2π) 2 + 1 er en parabel forskjøvet til høyre med 2π og opp med 1. Grafene våre skjærer hverandre i ett punkt A (2π; 1), dette er svaret: x \u003d 2π.

2. Plott funksjonen Y=cos(X) for x ≤ 0 og Y=sin(X) for x ≥ 0

Løsning: For å bygge den nødvendige grafen, la oss plotte to grafer av funksjonen bit for bit. Første skive: y=cos(x) for x ≤ 0. Andre skive: y=sin(x)
for x ≥ 0. La oss skildre begge "brikkene" på én graf.

3. Finn den største og minste verdien av funksjonen Y=cos(X) på segmentet [π; 7π/4]

Løsning: La oss bygge en graf av funksjonen og vurdere segmentet vårt [π; 7π/4]. Grafen viser at de største og minste verdiene oppnås ved enden av segmentet: henholdsvis i punktene π og 7π/4.
Svar: cos(π) = -1 er den minste verdien, cos(7π/4) = den største verdien.

4. Plott funksjonen y=cos(π/3 - x) + 1

Løsning: cos(-x)= cos(x), så vil den ønskede grafen fås ved å flytte grafen til funksjonen y=cos(x) π/3 enheter til høyre og 1 enhet opp.

Oppgaver for selvstendig løsning

1) Løs ligningen: cos (x) \u003d x - π / 2.
2) Løs ligningen: cos(x)= - (x - π) 2 - 1.
3) Plott funksjonen y=cos(π/4 + x) - 2.
4) Plott funksjonen y=cos(-2π/3 + x) + 1.
5) Finn den største og minste verdien av funksjonen y=cos(x) på segmentet .
6) Finn den største og minste verdien av funksjonen y=cos(x) på intervallet [- π/6; 5π/4].