Graf over projeksjonen av akselerasjon mot bevegelsestid. Like variabel lineær bevegelse

Spørsmål.

1. Skriv ned en formel som kan brukes til å beregne projeksjonen av en vektor øyeblikkelig hastighet rettlinjet jevnt akselerert bevegelse, hvis kjent: a) projeksjon av vektoren starthastighet og projeksjon av akselerasjonsvektoren; b) projeksjon av akselerasjonsvektoren gitt at starthastigheten er null.

2. Hva er projeksjonsgrafen til hastighetsvektoren for jevnt akselerert bevegelse ved en starthastighet: a) lik null; b) ikke lik null?

3. Hvordan er bevegelsene, hvis grafer er presentert i figur 11 og 12, like og forskjellige fra hverandre?

I begge tilfeller skjer bevegelsen med akselerasjon, men i det første tilfellet er akselerasjonen positiv, og i det andre tilfellet er den negativ.

Øvelser.

1. En hockeyspiller slo pucken lett med pinnen, og ga den en hastighet på 2 m/s. Hva blir hastigheten til pucken 4 s etter støtet hvis den, som følge av friksjon med is, beveger seg med en akselerasjon på 0,25 m/s 2?

2. En skiløper sklir ned et fjell fra hvile med en akselerasjon på 0,2 m/s 2 . Etter hvilken tidsperiode vil hastigheten øke til 2 m/s?

3. I de samme koordinataksene, konstruer grafer av projeksjonen av hastighetsvektoren (på X-aksen, samretning med starthastighetsvektoren) for rettlinjet jevnt akselerert bevegelse for tilfellene: a) v ox = 1 m/s, a x = 0,5 m/s2; b) voks = 1 m/s, a x = 1 m/s2; c) v ox = 2 m/s, a x = 1 m/s 2.
Skalaen er den samme i alle tilfeller: 1 cm - 1 m/s; 1 cm - 1s.

4. I de samme koordinataksene, konstruer grafer av projeksjonen av hastighetsvektoren (på X-aksen, samretning med starthastighetsvektoren) for rettlinjet jevnt akselerert bevegelse for tilfellene: a) v ox = 4,5 m/s, a x = -1,5 m/s2; b) v ox = 3 m/s, a x = -1 m/s 2
Velg skalaen selv.

5. Figur 13 viser grafer over avhengigheten av størrelsen til hastighetsvektoren av tid under den rettlinjede bevegelsen til to legemer. Med hvilken absolutt akselerasjon beveger kroppen jeg? kropp II?

Uniform rettlinjet bevegelse - Dette spesielt tilfelle ujevn bevegelse.

Ujevn bevegelse- dette er en bevegelse der en kropp (materiell punkt) gjør ulik bevegelse over like tidsperioder. For eksempel beveger en bybuss seg ujevnt, siden bevegelsen hovedsakelig består av akselerasjon og retardasjon.

Like vekslende bevegelse er en bevegelse der kroppens hastighet ( materiell poeng) endres likt over alle like tidsperioder.

Kroppsakselerasjon kl jevn vekslende bevegelse forblir konstant i størrelse og retning (a = const).

Ensartet bevegelse kan akselereres jevnt eller jevnt bremses.

Ensartet akselerert bevegelse- dette er bevegelsen til en kropp (materiell punkt) med positiv akselerasjon, det vil si med en slik bevegelse akselererer kroppen med konstant akselerasjon. Ved jevnt akselerert bevegelse øker modulen til kroppens hastighet over tid, og akselerasjonsretningen faller sammen med bevegelseshastighetens retning.

Like sakte film- dette er bevegelsen til en kropp (materiell punkt) med negativ akselerasjon, det vil si at med en slik bevegelse bremser kroppen jevnt. Med jevn sakte bevegelse er hastighets- og akselerasjonsvektorene motsatte, og hastighetsmodulen avtar over tid.

I mekanikk akselereres enhver rettlinjet bevegelse, derfor skiller sakte bevegelse seg fra akselerert bevegelse bare i tegnet på projeksjonen av akselerasjonsvektoren på den valgte aksen til koordinatsystemet.

Gjennomsnittlig variabel hastighet bestemmes ved å dele kroppens bevegelse med tiden denne bevegelsen ble gjort. Enheten for gjennomsnittshastighet er m/s.

V cp = s/t

er hastigheten til kroppen (materiell punkt) inn for øyeblikket tid eller på et gitt punkt i banen, det vil si grensen som den har en tendens til gjennomsnittlig hastighet med en uendelig reduksjon i tidsperioden Δt:

Øyeblikkelig hastighetsvektor jevn vekslende bevegelse kan finnes som den første deriverte av forskyvningsvektoren med hensyn til tid:

Hastighetsvektorprojeksjon på OX-aksen:

V x = x’

dette er den deriverte av koordinaten med hensyn til tid (projeksjonene av hastighetsvektoren på andre koordinatakser oppnås på samme måte).

er en størrelse som bestemmer endringshastigheten i et legemes hastighet, det vil si grensen som endringen i hastighet tenderer til med en uendelig reduksjon i tidsperioden Δt:

Akselerasjonsvektor med jevn vekslende bevegelse kan finnes som den første deriverte av hastighetsvektoren med hensyn til tid eller som den andre deriverte av forskyvningsvektoren med hensyn til tid:

Hvis en kropp beveger seg rettlinjet langs OX-aksen rettlinjet Kartesisk system koordinater som sammenfaller i retning med kroppens bane, så bestemmes projeksjonen av hastighetsvektoren på denne aksen av formelen:

V x = v 0x ± a x t

"-" (minus)-tegnet foran projeksjonen av akselerasjonsvektoren refererer til jevn sakte bevegelse. Ligningene for projeksjoner av hastighetsvektoren på andre koordinatakser er skrevet på samme måte.

Siden akselerasjonen i jevn bevegelse er konstant (a = const), er akselerasjonsgrafen en rett linje parallelt med 0t-aksen (tidsaksen, fig. 1.15).

Ris. 1.15. Avhengighet av kroppsakselerasjon på tid.

Avhengighet av hastighet på tid- Dette lineær funksjon, hvis graf er en rett linje (fig. 1.16).

Ris. 1.16. Avhengighet av kroppshastighet på tid.

Hastighet kontra tid graf(Fig. 1.16) viser det

I dette tilfellet er forskyvningen numerisk lik arealet til figuren 0abc (fig. 1.16).

Arealet til en trapes er lik produktet av halve summen av lengdene på basene og høyden. Basene til trapesen 0abc er numerisk like:

0a = v 0 bc = v

Høyden på trapesen er t. Dermed er arealet av trapeset, og derfor projeksjonen av forskyvning på OX-aksen lik:

Ved jevn sakte bevegelse er akselerasjonsprojeksjonen negativ og i formelen for forskyvningsprojeksjonen er et "–" (minus) tegn plassert før akselerasjonen.

En graf over hastigheten til et legeme versus tid ved forskjellige akselerasjoner er vist i fig. 1.17. Grafen for forskyvning mot tid for v0 = 0 er vist i fig. 1.18.

Ris. 1.17. Avhengighet av kroppshastighet på tid for forskjellige betydninger akselerasjon.

Ris. 1.18. Avhengighet av kroppsbevegelse til tid.

Hastigheten til kroppen på et gitt tidspunkt t 1 er lik tangenten til helningsvinkelen mellom tangenten til grafen og tidsaksen v = tg α, og forskyvningen bestemmes av formelen:

Hvis tidspunktet for bevegelse av kroppen er ukjent, kan du bruke en annen forskyvningsformel ved å løse et system med to ligninger:

Det vil hjelpe oss å utlede formelen for forskyvningsprojeksjon:

Siden koordinaten til kroppen til enhver tid bestemmes av summen av den innledende koordinaten og forskyvningsprojeksjonen, vil den se slik ut:

Grafen til koordinaten x(t) er også en parabel (som forskyvningsgrafen), men toppunktet til parablen er på generell sak ikke sammenfaller med opprinnelsen. Når en x< 0 и х 0 = 0 ветви параболы направлены вниз (рис. 1.18).

Grafer brukes til å vise avhengigheten av en mengde av en annen. I dette tilfellet plottes endringen i en mengde på en akse, og endringen i en annen mengde plottes på den andre aksen. Med en rett linje jevn bevegelse kroppens hastighet forblir konstant, bare tiden og veien som er reist avhengig av den endres. Det er derfor størst interesse for en slik bevegelse presenterer en graf som viser banens avhengighet av tid.

Når du konstruerer en slik graf på en av aksene koordinatplan en endring i tid (t) noteres. For eksempel 1s, 2s, 3s osv. La dette være x-aksen. Den andre aksen (i dette tilfellet y) markerer endringen i tilbakelagt distanse. For eksempel 10m, 20m, 30m osv.

Opprinnelsen til koordinatsystemet tas som opprinnelsen til bevegelse. Dette er utgangspunktet hvor tiden brukt til å bevege seg er null, og den tilbakelagte distansen er også null. Dette er det første punktet på kurven mot tid.

Deretter finnes det andre punktet i grafen på koordinatplanet. For å gjøre dette, for en gitt tid, er det funnet at banen er tilbakelagt i løpet av denne tiden. Hvis kroppens hastighet er 30 m/s, kan det være et punkt med koordinater (1; 30) eller (2; 60) og så videre.

Etter at det andre punktet er merket, tegner du en stråle gjennom to punkter (det første er opprinnelsen). Opprinnelsen til strålen er opprinnelsen til koordinatene. Denne strålen er en graf over banen versus tid for rettlinjet jevn bevegelse. Bjelken har ingen ende, noe som betyr at jo lengre tid som brukes på stien, desto lengre er tilbakelagt.

Generelt sier de at grafen til banen versus tid er en rett linje som går gjennom koordinatenes opprinnelse.

For å bevise at grafen er en rett linje, og la oss si ikke brutt linje, kan du konstruere en serie punkter på koordinatplanet. For eksempel, hvis hastigheten er 5 km/t, kan punktene (1; 5), (2; 10), (3; 15), (4; 20) merkes på koordinatplanet. Koble dem deretter i serie med hverandre. Du vil se at det blir rett.

Jo høyere hastighet kroppen har, desto raskere øker den tilbakelagte avstanden. Hvis vi på samme koordinatplan plotter banen mot tid for to kropper som beveger seg med ulik hastighet, så vil grafen til kroppen som beveger seg raskere ha en større vinkel med den positive retningen til tidsaksen.

For eksempel, hvis en kropp beveger seg med en hastighet på 10 km/t, og den andre - 20 km/t, kan du på koordinatplanet merke punkter (1; 10) for en kropp og (1; 20) for annen. Det er tydelig at det andre punktet ligger lenger fra tidsaksen, og den rette linjen gjennom det danner en større vinkel enn den rette linjen gjennom punktet som er merket for den første kroppen.

Grafer over banen versus tid for rettlinjet jevn bevegelse kan brukes for raskt å finne medgått tid ved å kjent verdi banen tilbakelagt eller banen over en kjent tid. For å gjøre dette må du tegne en vinkelrett linje fra verdien av koordinataksen, som er kjent, til skjæringspunktet med grafen. Deretter, fra det resulterende skjæringspunktet, tegn en vinkelrett på den andre aksen, for derved å oppnå ønsket verdi.

I tillegg til grafer over bane mot tid, kan du plotte grafer over bane mot hastighet og hastighet mot tid. Men siden i rettlinjet jevn bevegelse hastigheten er konstant, er disse grafene rette linjer parallelle med aksene til banen eller tiden og passerer på nivået til den deklarerte hastigheten.

Ensartet bevegelse– dette er en bevegelse med konstant hastighet, det vil si når hastigheten ikke endres (v = const) og akselerasjon eller retardasjon ikke forekommer (a = 0).

Rettlinjet bevegelse- dette er bevegelse i en rett linje, det vil si at banen til rettlinjet bevegelse er en rett linje.

Ensartet lineær bevegelse- dette er en bevegelse der en kropp gjør like bevegelser med alle like tidsintervaller. For eksempel, hvis vi deler et bestemt tidsintervall i ett sekunds intervaller, vil kroppen med jevn bevegelse bevege seg samme avstand for hvert av disse tidsintervallene.

Hastigheten til ensartet rettlinjet bevegelse er ikke avhengig av tid og på hvert punkt av banen er rettet på samme måte som kroppens bevegelse. Det vil si at forskyvningsvektoren faller sammen i retning med hastighetsvektoren. I dette tilfellet er gjennomsnittshastigheten for en hvilken som helst tidsperiode lik den øyeblikkelige hastigheten:

V cp = v

Tilbakelagt avstand i rett bevegelse lik modul bevegelse. Hvis den positive retningen til OX-aksen faller sammen med bevegelsesretningen, er projeksjonen av hastigheten på OX-aksen lik størrelsen på hastigheten og er positiv:

V x = v, det vil si v > 0

Projeksjonen av forskyvning på OX-aksen er lik:

S = vt = x – x 0

hvor x 0 er den opprinnelige koordinaten til kroppen, x er den endelige koordinaten til kroppen (eller koordinaten til kroppen til enhver tid)

Bevegelsesligning, det vil si at kroppens koordinaters avhengighet av tiden x = x(t), har formen:

X = x 0 + vt

Hvis den positive retningen til OX-aksen er motsatt av kroppens bevegelsesretning, så er projeksjonen av kroppens hastighet på OX-aksen negativ, hastigheten er mindre enn null (v< 0), и тогда уравнение движения принимает вид:

X = x 0 - vt

Avhengighet av hastighet, koordinater og bane på tid

Avhengigheten av projeksjonen av kroppshastigheten på tid er vist i fig. 1.11. Siden hastigheten er konstant (v = const), er hastighetsgrafen en rett linje parallelt med tidsaksen Ot.

Ris. 1.11. Avhengighet av projeksjonen av kroppshastighet på tid for jevn rettlinjet bevegelse.

Projisering av forskyvning på koordinataksen er numerisk lik arealet av rektangelet OABC (fig. 1.12), siden størrelsen på forskyvningsvektoren er lik produktet av hastighetsvektoren og tiden forskyvningen ble gjort.

Ris. 1.12. Avhengighet av projeksjonen av kroppsforskyvning i tide for jevn rettlinjet bevegelse.

En graf over forskyvning mot tid er vist i fig. 1.13. Grafen viser at projeksjonen av hastigheten er lik

V = s 1 / t 1 = tan α

der α er helningsvinkelen til grafen til tidsaksen Jo større vinkelen α er, jo raskere beveger kroppen seg, det vil si jo større hastighet (jo større avstand går kroppen på kortere tid). Tangensen til tangenten til grafen til koordinaten mot tid er lik hastigheten:

Tg α = v

Ris. 1.13. Avhengighet av projeksjonen av kroppsforskyvning i tide for jevn rettlinjet bevegelse.

Koordinatens avhengighet av tid er vist i fig. 1.14. Av figuren er det tydelig at

Tg α 1 > tg α 2

derfor er hastigheten til kropp 1 høyere enn hastigheten til kropp 2 (v 1 > v 2).

Tg α 3 = v 3< 0

Hvis kroppen er i ro, er koordinatgrafen en rett linje parallelt med tidsaksen, dvs.

X = x 0

Ris. 1.14. Avhengighet av kroppskoordinater på tid for jevn rettlinjet bevegelse.