Det kan skrives i parametrisk form ved å bruke hyperbolske funksjoner (dette forklarer navnet deres).

La oss betegne y= b·sht, så x2 / a2=1+sh2t =ch2t. Hvor x=± a·cht .

Dermed kommer vi til følgende parametriske hyperbelligninger:

У= i ·sht , –< t < . (6)

Ris. 1.

"+"-tegnet i den øvre formelen (6) tilsvarer den høyre grenen av hyperbelen, og ""– ""-tegnet til den venstre (se fig. 1). Toppunktene til hyperbelen A(– a; 0) og B(a; 0) tilsvarer parameterverdien t=0.

Til sammenligning kan vi gi parametriske ligninger for en ellipse ved å bruke trigonometriske funksjoner:

X=a·kostnad ,

Y=в·sint , 0 t 2p . (7)

3. Det er klart at funksjonen y=chx er jevn og tar bare positive verdier.

Funksjonen y=shx er oddetall, fordi :

4. Funksjonene y=thx og y=cthx er oddetall som kvotienter av en partall og oddetall funksjon. Merk at, i motsetning til trigonometriske funksjoner, er ikke hyperbolske funksjoner periodiske.

La oss studere oppførselen til funksjonen y= cthx i nærheten av diskontinuitetspunktet x=0:

Dermed er Oy-aksen den vertikale asymptoten til grafen til funksjonen y=cthx. La oss definere skrå (horisontale) asymptoter:

Derfor er den rette linjen y=1 den høyre horisontale asymptoten til grafen til funksjonen y=cthx.

4)

På grunn av rariteten til denne funksjonen, er dens venstre horisontale asymptote den rette linjen y = –1.

Det er lett å vise at disse linjene samtidig er asymptoter for funksjonen y=thx. Funksjonene shx og chx har ingen asymptoter.

2) (chx)"=shx (vist på samme måte).

Det er også en viss analogi med trigonometriske funksjoner her. En fullstendig tabell over derivater av alle hyperbolske funksjoner er gitt i seksjon IV. Tangent, cotangens
, -∞ < x < +∞; -∞ < y < +∞ .
Definisjoner av hyperbolske funksjoner, deres domener av definisjoner og verdier sh x
, -∞ < x < +∞; - hyperbolsk sinus< +∞ .
lm x- hyperbolsk cosinus
, -∞ < x < +∞; - 1 < y < +1 .
1 ≤ y th x
- hyperbolsk tangent cth x< -1 или y > +1 .

- hyperbolsk kotangens

, x ≠ Det er også en viss analogi med trigonometriske funksjoner her. En fullstendig tabell over derivater av alle hyperbolske funksjoner er gitt i seksjon IV.

0 ; y Definisjoner av hyperbolske funksjoner, deres domener av definisjoner og verdier

Grafer over hyperbolske funksjoner lm x

Hyperbolsk sinusgraf y = 1 ≤ y

Graf av hyperbolsk cosinus y =

Graf av hyperbolsk tangens y =

Graf over hyperbolsk kotangens y =
Formler med hyperbolske funksjoner
tg iz = i th z; sprinkelseng iz = - i cth z
th iz = i tg z; cth iz = - i barneseng z
Her er i den imaginære enheten, i 2 = - 1 .

Ved å bruke disse formlene på trigonometriske funksjoner får vi formler som relaterer hyperbolske funksjoner.

Paritet

sh(-x) = - sh x; ch(-x) = ch x.
th(-x) = - th x; cth(-x) = - cth x.

Funksjon ch(x)- til og med. Funksjoner sh(x), th(x), cth(x)- merkelig.

Forskjell på ruter

2 lm x - sh 2 x = 1.

Formler for summen og forskjellen av argumenter

sh(x y) = sh x ch y ch x sh y,
ch(x y) = lm x ch y sh x sh y,
,
,

sh 2 x = 2 sh x lm x,
2 lm x = 2 lm x + 2 lm = 2 lm 2 x - 1 = 1 + 2 sh 2 x,
.

Formler for produktene av hyperbolsk sinus og cosinus

,
,
,

,
,
.

Formler for summen og forskjellen av hyperbolske funksjoner

,
,
,
,
.

Relasjon mellom hyperbolsk sinus og cosinus med tangent og cotangens

, ,
, .

Derivater

,

Integraler av sh x, ch x, th x, cth x

,
,
.

Serieutvidelser

Inverse funksjoner

Areasinus

Ved - ∞< x < ∞ и - ∞ < y < ∞ имеют место формулы:
,
.

Areacosinus

På 1 ≤ x< ∞ Og 0 ≤ y< ∞ følgende formler gjelder:
,
.

Den andre grenen av areacosinus er lokalisert ved 1 ≤ x< ∞ og - ∞< y ≤ 0 :
.

Areatangens

På - 1 < x < 1 og - ∞< y < ∞ имеют место формулы:
,

Andre betegnelser: sinh x, Sh x, cosh x, Ch x, tgh x, tanh x, Th x. Se fig. for grafer. 1.

Grunnleggende forhold:

Geometrisk geometrisk f. ligner på tolkningen av trigonometriske funksjoner (fig. 2). Parametrisk Ligningene til en hyperbel lar oss tolke abscissen og ordinaten til et punkt i en likesidet hyperbel som en hyperbel. cosinus og sinus; hyperbolsk tangentsegment AB. Parameteren t er lik to ganger sektorarealet OAM, Hvor ER- bue av hyperbole. For et punkt (ved ) er parameteren t negativ. Inverse hyperbolske funksjoner

bestemmes av formlene:

Derivater og hovedintegraler av G.-funksjonen:

I hele planet til den komplekse variabelen z, G. f. og kan defineres av rader:

Slik, Det er omfattende tabeller for G. f. Verdier av G.f. kan også fås fra tabellene for Og e x

e-x. Tent. : Janke E., Emde F., Lesch F., Spesialfunksjoner. Formler, grafer, tabeller, 2. utgave, overs. fra German, M., 1968; Tabeller over sirkulære og hyperbolske sinus og cosinus i strålingsmål for vinkel, M., 1958; Tabeller Og e x e -x, M., 1955.

V. I. Bityutskov. Matematisk leksikon. - M.: Sovjetisk leksikon

.

I. M. Vinogradov.

1977-1985. Se hva "HYPERBOLISKE FUNKSJONER" er i andre ordbøker:

Funksjoner definert av formlene: shx = (ex e x)/2(hyperbolsk sinus), chх (ex + e k)/2 (hyperbolsk cosinus), thх = shx/chx (hyperbolsk tangens). Grafer av G. f. se bilde...

En familie av elementære funksjoner som uttrykkes gjennom eksponenter og er nært knyttet til trigonometriske funksjoner. Innhold 1 Definisjon 1.1 Geometrisk definisjon ... Wikipedia

Funksjoner definert av formlene: shx = (ex – e x)/2 (hyperbolsk sinus), chx = (ex + e x)/2 (hyperbolsk cosinus), thx = shx/chx (hyperbolsk tangens). For grafer over hyperbolske funksjoner, se fig. * * * HIPERBOLISKE FUNKSJONER … … Encyklopedisk ordbok

Funksjoner. definert av flammer: (hyperbolsk sinus), (hyperbolsk cosinus), (sett inn bilder!!!) Grafer over hyperbolske funksjoner... Big Encyclopedic Polytechnic Dictionary

I analogi med de trigonometriske funksjonene Sinx, cosx, bestemt, som kjent, ved å bruke Euler-formlene sinx = (exi xi)/2i, cosx = (exi + e xi)/2 (hvor e er basisen til Napper-logaritmer, a i = √[ 1]); noen ganger introdusert i betraktning ... ... Encyclopedic Dictionary F.A. Brockhaus og I.A. Ephron

Funksjoner invers til hyperbolske funksjoner (se hyperbolske funksjoner) sh x, ch x, th x; de uttrykkes med formler (les: area sinus hyperbolsk, area cosinus hyperbolsk, area tangent... ... Stor sovjetisk leksikon

Funksjoner invers til hyperbolsk. funksjoner; uttrykt med formler... Naturvitenskap. Encyklopedisk ordbok

Inverse hyperbolske funksjoner er definert som de inverse funksjonene til hyperbolske funksjoner. Disse funksjonene bestemmer arealet av sektoren til enheten hyperbel x2 − y2 = 1 på samme måte som inverse trigonometriske funksjoner bestemmer lengden... ... Wikipedia

Bøker

• Hyperbolske funksjoner, Yanpolsky A.R.. Boken skisserer egenskapene til hyperbolske og inverse hyperbolske funksjoner og gir relasjoner mellom dem og andre elementære funksjoner. Anvendelser av hyperbolske funksjoner til...

Introduksjon

I matematikk og dens anvendelser på vitenskap og teknologi, er eksponentielle funksjoner mye brukt. Dette er spesielt forklart av det faktum at mange fenomener studert i naturvitenskap er blant de såkalte organiske vekstprosessene, der endringshastighetene til funksjonene involvert i dem er proporsjonale med verdiene til funksjonene i seg selv. .

Hvis vi betegner det gjennom en funksjon og gjennom et argument, så kan differensialloven til den organiske vekstprosessen skrives i formen hvor er en viss konstant proporsjonalitetskoeffisient.

Integrering av denne ligningen fører til en generell løsning i form av en eksponentiell funksjon

Hvis du setter startbetingelsen til, kan du bestemme en vilkårlig konstant og dermed finne en spesiell løsning som representerer den integrerte loven til prosessen som vurderes.

Organiske vekstprosesser inkluderer, under visse forenklede antagelser, slike fenomener som for eksempel en endring i atmosfærisk trykk avhengig av høyden over jordoverflaten, radioaktivt forfall, avkjøling eller oppvarming av et legeme i et miljø med konstant temperatur, en unimolekylær kjemikalie. reaksjon (for eksempel oppløsning av et stoff i vann ), der massevirkningsloven finner sted (reaksjonshastigheten er proporsjonal med den tilgjengelige mengden av reaktanten), reproduksjon av mikroorganismer og mange andre.

Økningen i en sum penger på grunn av periodisering av renters rente (renter på renter) er også en prosess med organisk vekst.

Disse eksemplene kan videreføres.

Sammen med individuelle eksponensielle funksjoner brukes ulike kombinasjoner av eksponentielle funksjoner i matematikk og dens applikasjoner, blant hvilke noen lineære og brøk-lineære kombinasjoner av funksjoner og de såkalte hyperbolske funksjonene er av spesiell betydning. Det er seks av disse funksjonene følgende spesielle navn og betegnelser er introdusert for dem:

(hyperbolsk sinus),

(hyperbolsk cosinus),

(hyperbolsk tangens),

(hyperbolsk kotangens),

(hyperbolsk sekant),

(hyperbolsk sekant).

Spørsmålet oppstår, hvorfor akkurat disse navnene er gitt, og her er en hyperbel og navnene på funksjoner kjent fra trigonometri: sinus, cosinus, etc.? Det viser seg at relasjonene som forbinder trigonometriske funksjoner med koordinatene til punktene på en sirkel med enhetsradius ligner på relasjonene som forbinder hyperbolske funksjoner med koordinatene til punktene på en likesidet hyperbel med en enhetshalvakse. Dette rettferdiggjør navnet hyperbolske funksjoner.

Hyperbolske funksjoner

Funksjonene gitt av formlene kalles henholdsvis hyperbolsk cosinus og hyperbolsk sinus.

Disse funksjonene er definert og kontinuerlig på, og - er en jevn funksjon, og - er en oddetallsfunksjon.

Figur 1.1 - Funksjonsgrafer

Fra definisjonen av hyperbolske funksjoner følger det at:

I analogi med trigonometriske funksjoner bestemmes hyperbolsk tangens og cotangens av henholdsvis formlene

Funksjonen er definert og kontinuerlig på, og funksjonen er definert og kontinuerlig på settet med et punktert punkt; begge funksjonene er odde, grafene deres er presentert i figurene nedenfor.

Figur 1.2 - Funksjonsgraf

Figur 1.3 - Funksjonsgraf

Det kan vises at funksjonene og er strengt økende, og funksjonen er strengt tatt synkende. Derfor er disse funksjonene inverterbare. La oss betegne funksjonene invers til dem med hhv.

La oss vurdere funksjonen invers til funksjonen, dvs. funksjon. La oss uttrykke det gjennom elementære. Løser vi ligningen relativt, får vi Siden, da, hvorfra

Ved å erstatte med, og med, finner vi formelen for den inverse funksjonen for den hyperbolske sinus.

HYPERBOLISKE FUNKSJONER— Hyperbolsk sinus (sh x) og cosinus (сh x) er definert av følgende likheter:

Hyperbolsk tangens og cotangens er definert i analogi med trigonometrisk tangens og cotangens:

Hyperbolsk sekant og cosecant er definert på samme måte:

Følgende formler gjelder:

Egenskapene til hyperbolske funksjoner er på mange måter lik egenskapene til (se). Ligningene x=cos t, y=sin t definerer sirkelen x²+y² = 1; ligningene x=сh t, y=sh t definerer hyperbelen x² - y²=1. Akkurat som trigonometriske funksjoner bestemmes fra en sirkel med enhetsradius, bestemmes hyperbolske funksjoner fra en likebenet hyperbel x² - y²=1. Argumentet t er det doble arealet av den skraverte, krumlinjede trekanten OME (fig. 48), på samme måte som for sirkulære (trigonometriske) funksjoner argumentet t er numerisk lik det doble arealet til den krumlinjede trekanten OKE (fig. 49):

for en sirkel

for hyperbel

Addisjonsteoremer for hyperbolske funksjoner ligner addisjonsteoremer for trigonometriske funksjoner:

Disse analogiene er lett å se hvis vi tar den komplekse variabelen r som argumentet x Hyperbolske funksjoner er relatert til trigonometriske funksjoner med følgende formler: sh x = - i sin ix, cosh x = cos ix, hvor i er en av verdiene. av roten √-1. Hyperbolske funksjoner sh x, så vel som ch x: kan ta alle store verdier (derav, naturlig nok, store enheter) i motsetning til de trigonometriske funksjonene sin x, cos x, som for reelle verdier ikke kan være større enn en i absolutt verdi.
Hyperbolske funksjoner spiller en rolle i Lobachevsky-geometri (se), de brukes i studiet av materialers styrke, i elektroteknikk og andre kunnskapsgrener. Det er også notasjoner for hyperbolske funksjoner i litteraturen som sinh x; сosh x; tgh x.