Den har den lengste kystlinjen. II tre klassiske fraktaler - helt tamme

Siden land har funksjoner på alle nivåer, fra hundrevis av kilometer i størrelse til små brøkdeler av en millimeter og lavere, er det ingen åpenbare begrensninger på størrelse minst funksjoner, og derfor er ingen klart definert landomkrets fast. Ulike tilnærminger eksisterer under visse forutsetninger om minimumsstørrelse.

Et eksempel på et paradoks er det velkjente Storbritannias kyst. Hvis den britiske kystlinjen måles ved bruk av fraktale enheter på 100 km (62 mi) i lengde, vil lengden kystlinje er omtrent 2800 km (1700 miles). Med en enhet på 50 km (31 mi), Total lengde er omtrent 3.400 km (2.100 mi), omtrent 600 km (370 mi) lenger.

Matematiske aspekter

Grunnbegrepet lengde kommer fra Euklidisk avstand. I en venn Euklidisk geometri, representerer den rette linjen korteste avstand mellom to punkter; denne linjen har bare en endelig lengde. Geodesisk lengde på overflaten av en kule, kalt lang lengde sirkel, måles langs overflaten av en kurve som eksisterer i et plan som inneholder endepunktene til banen og midten av kulen. Lengden på hovedkurven er mer kompleks, men kan også beregnes. Når du måler med en linjal, kan en person tilnærme lengdene på en kurve ved å legge til summen av de rette linjene som forbinder punktene:

Ved å bruke flere rette linjer som tilnærmer lengden på kurven vil det bli produsert lav karakter. Bruker mer og mer korte linjer vil produsere en sum av lengder som tilnærmer den sanne lengden på kurven. Den nøyaktige verdien av denne lengden kan bestemmes ved hjelp av kalkulus, en gren av matematikk som lar deg beregne uendelige avstander. Følgende animasjon illustrerer dette eksemplet:

Imidlertid kan ikke alle kurver måles på denne måten. Per definisjon anses en kurve med komplekse endringer i måleskalaen som fraktal. Gitt at en jevn kurve beveger seg nærmere og nærmere samme verdi ettersom målepresisjonen øker, kan den målte verdien av fraktaler endre seg betydelig.

Lengde" ekte fraktal" har alltid en tendens til uendelig. Imidlertid er denne figuren basert på ideen om at rommet kan deles inn til punktet av ubestemthet, dvs. å være ubegrenset. Dette er en fantasi som ligger til grunn for euklidisk geometri og fungerer som en nyttig modell i hverdagsmålinger, reflekterer nesten helt sikkert ikke de skiftende realitetene til "rom" og "avstand" på atomnivå.Kystlinjer er forskjellige fra matematiske fraktaler, de er dannet av mange små detaljer som bare skaper mønstre statistisk.

Av praktiske årsaker, kan du bruke målingen med passende valg av minimumsstørrelsen på ordensenheten. Hvis kystlinjen måles i kilometer, er små variasjoner mye mindre enn én kilometer og kan lett ignoreres. For å måle kystlinje i centimeter, må små endringer i størrelse vurderes. Bruk ulike teknikker målinger for ulike enheter ødelegger også den vanlige tilliten til at blokker kan konverteres ved hjelp av enkel multiplikasjon. Ekstreme kysttilfeller inkluderer fjordparadokset til de tunge kystene i Norge, Chile og Stillehavskysten i Nord-Amerika.

Rett før 1951, Lewis Fry Richardson, i en studie av mulig innflytelse av grenselengde på sannsynligheten for krig, bemerket at portugiserne presenterte sin målte grense til Spania som 987 km lang, men Spania rapporterte den som 1214 km. Dette var begynnelsen på strandlinjeproblemet, som er matematisk vanskelig å måle på grunn av uregelmessigheten i selve linjen. Den dominerende metoden for å estimere lengden på en grense (eller kystlinje) var å overlappe N tall med like lengdesegmenter ℓ med skilletegn på et kart eller flyfoto. Hver ende av segmentet må være på en grense. Ved å undersøke avvik i grensestimering, oppdaget Richardson det som nå kalles Richardson-effekten: summen av segmenter er omvendt proporsjonal med den totale lengden av segmentene. I hovedsak, jo kortere linjalen er, desto større er den målte grensen; Spanske og portugisiske geografer målte ganske enkelt grensen ved å bruke forskjellige lengder på linjaler. Som et resultat ble Richardson slått av det faktum at, under visse omstendigheter, når lengden på linjalen ℓ har en tendens til null, har lengden på kystlinjen også en tendens til uendelig. Richardson mener at basert på Euklids geometri, kystlinjen vil nærme seg en fast lengde, hvordan gjøre lignende estimater av vanlige geometriske former. For eksempel omkrets vanlig polygon innskrevet i en sirkel nærmer seg sirkelen etter hvert som antall sider øker (og lengden på den ene siden avtar). I geometrisk målteori kalles en jevn kurve som en sirkel, som små rette segmenter kan tilnærmes til med en viss grense, en utrettbar kurve.

Mer enn ti år etter at Richardson fullførte arbeidet sitt, Benoit Mandelbrot utviklet nytt område matematikk, - fraktal geometri for å beskrive nettopp slike ikke-korrigerbare komplekser i naturen i form av en endeløs kystlinje. Egen definisjon av en ny figur som tjener som grunnlag for hans forskning: Jeg kom opp med en fraktal fra det latinske adjektivet " fragmentert» for å lage uregelmessige fragmenter. Så det er fornuftig... at i tillegg til "fragmentert"... skal ødelagt også bety "uregelmessig".

Nøkkelegenskapen til en fraktal er selvlikhet, det vil si at den samme generelle konfigurasjonen vises i enhver skala. Kystlinjen oppfattes som bukter vekslende med kapper. I en hypotetisk situasjon har en gitt kystlinje denne egenskapen til selvlikhet, uansett hvor mye en liten del av kystlinjen virker forstørret, et lignende mønster av mindre bukter og nes lagt over større bukter og nes, ned til sandkornet. Samtidig endres skalaen til kystlinjen øyeblikkelig til en potensielt uendelig lang tråd med et tilfeldig arrangement av bukter og kapper dannet av små gjenstander. Under slike forhold (i motsetning til jevne kurver) hevder Mandelbrot, "lengden på kystlinjen er et unnvikende konsept som glir mellom fingrene på de som ønsker å forstå det." forskjellige typer fraktaler. Kystlinjen med de spesifiserte parameterne er i den "første kategorien fraktaler, nemlig kurver med fraktal dimensjon større enn 1." Denne siste uttalelsen representerer Mandelbrots utvidelse av Richardsons tanke.

Mandelbrot Richardson-effektuttalelse:

der L, lengden av kystlinjen, er en funksjon av måleenheten, ε, og er tilnærmet med lign. F er en konstant og D er Richardson-parameteren. Han ga ingen teoretisk forklaring, men Mandelbrot definerte D med en ikke-heltallsform Hausdorff dimensjoner, senere - fraktal dimensjon. Ved å omgruppere høyresiden av uttrykket får vi:

hvor Fε-D må være antallet ε-enheter som trengs for å oppnå L. Fraktal dimensjon- antall fraktale dimensjoner brukt for å tilnærme en fraktal: 0 for et punkt, 1 for en linje, 2 for et område. D i uttrykket er mellom 1 og 2, for kysten er det vanligvis mindre enn 1,5. Kystens brutte dimensjon strekker seg ikke i én retning og representerer ikke et område, men er mellomliggende. Dette kan tolkes som tykke linjer eller striper med en bredde på 2ε. Flere brutte kystlinjer har større D og derfor større L, for samme ε. Mandelbrot viste at D ikke er avhengig av ε.

Kilde: http://en.wikipedia.org/wiki/Coast#Coastline_problem

http://en.wikipedia.org/wiki/Coastline_paradox

Oversettelse: Dmitry Shakhov

Et eksempel på et paradoks: Hvis den britiske kystlinjen måles i 100 km seksjoner, er lengden omtrent 2800 km. Dersom det benyttes 50 km strekninger er lengden ca 3400 km, som er 600 km lengre.

Lengden på kystlinjen avhenger av hvordan den måles. Siden en landmasse kan karakteriseres av kurver av enhver størrelse, fra hundrevis av kilometer til brøkdeler av en millimeter eller mindre, er det ingen åpenbar måte å velge størrelsen på det minste elementet som skal tas for måling. Følgelig er det umulig å entydig bestemme omkretsen av dette området. Det finnes ulike matematiske tilnærminger for å løse dette problemet.

Hovedmetoden for å estimere lengden på en grense eller kystlinje var å overlappe N like lange segmenter l på et kart eller flyfoto ved hjelp av et kompass. Hver ende av segmentet må tilhøre grensen som måles. Ved å undersøke avvik i grensevurdering, oppdaget Richardson det som nå kalles Richardson-effekten: Måleskalaen er omvendt proporsjonal med den totale lengden av alle segmenter. Det vil si at jo kortere linjalen brukes, desto lengre er den målte grensen. Dermed ble spanske og portugisiske geografer rett og slett veiledet av målinger på forskjellige skalaer.

Det som var mest slående for Richardson var at når verdien l har en tendens til null, lengden på kysten har en tendens til uendelig. Richardson trodde opprinnelig, basert på euklidisk geometri, at denne lengden ville nå en fast verdi, slik tilfellet er med vanlig geometriske former. For eksempel nærmer omkretsen til en vanlig polygon innskrevet i en sirkel seg lengden på selve sirkelen når antall sider øker (og lengden på hver side avtar). I teorien om geometriske målinger kalles en jevn kurve som en sirkel, som tilnærmet kan representeres i form av små segmenter med en gitt grense, en utrettbar kurve.

Mer enn ti år etter at Richardson fullførte arbeidet sitt, utviklet Mandelbrot en ny gren av matematikk, fraktal geometri, for å beskrive slike ikke-korrigerbare komplekser som finnes i naturen, for eksempel den endeløse kystlinjen. Hans egen definisjon fraktal som grunnlag for forskningen er som følger:

Jeg fant på et ord fraktal, basert på Latinsk adjektiv fraktus. Tilsvarende latinske verb frangere midler gå i stykker: Lag uregelmessige fragmenter. Det er derfor rimelig at i tillegg til "fragmentarisk", fraktus må også bety "uregelmessig".

Nøkkelegenskapen til fraktaler er selvlikhet, som består i utseendet til den samme generelle figuren i enhver skala. Kystlinjen oppfattes som en veksling av bukter og kapper. Hypotetisk, hvis en gitt kystlinje har egenskapen til selvlikhet, vil det uansett hvor mye en eller annen del er skalert, fortsatt være et lignende mønster av mindre bukter og nes lagt over større bukter og nes, ned til kornene av sand. På disse skalaene ser kystlinjen ut til å være en øyeblikkelig skiftende, potensielt endeløs tråd med et stokastisk arrangement av bukter og nes. Under slike forhold (i motsetning til jevne kurver) uttaler Mandelbrot: «Lengden av kystlinjen er et unnvikende konsept, som glir mellom fingrene på de som prøver å forstå det.»

hvor kystlinjelengden L er en funksjon av enheten ε og tilnærmes ved uttrykket på høyre side. F er en konstant, D er Richardson-parameteren, avhengig av selve kystlinjen (Richardson ga ikke teoretisk forklaring denne mengden, men Mandelbrot definerte D som en ikke-heltallsform av Hausdorff-dimensjonen, senere fraktaldimensjonen. Med andre ord, D er den praktisk målte verdien av "ruhet"). Etter å ha omgruppert høyre side uttrykk får vi:

hvor Fε -D må være antallet ε-enheter som trengs for å oppnå L. Fraktaldimensjon er antall dimensjoner til et objekt som brukes til å tilnærme en fraktal: 0 for et punkt, 1 for en linje, 2 for arealfigurer. Siden den stiplede linjen som måler kystens lengde ikke strekker seg i én retning og ikke representerer et område, er verdien av D i uttrykket mellom 1 og 2 (for kysten er den vanligvis mindre enn 1,5). Det kan tolkes som en tykk linje eller stripe 2ε bred. Flere "brutte" kyster har en større verdi på D og dermed viser L seg å være lengre for samme ε. Mandelbrot viste at D ikke er avhengig av ε.

Generelt er kystlinjer forskjellig fra matematiske fraktaler fordi de er dannet ved hjelp av mange små detaljer som bare skaper mønstre statistisk.

I virkeligheten er det ingen detaljer mindre enn 1 cm på kystlinjer [ ] . Dette skyldes erosjon og andre marine fenomener. De fleste steder er minimumsstørrelsen mye høyere. Derfor er den uendelige fraktale modellen ikke egnet for kystlinjer.

Av praktiske årsaker, velg minimumsstørrelsen på deler som er lik rekkefølgen på måleenheter. Så hvis kystlinjen måles i kilometer, da Små forandringer linjer mye mindre enn én kilometer er rett og slett ikke tatt i betraktning. For å måle en kystlinje i centimeter, må alle små variasjoner rundt en centimeter vurderes. Ved skalaer i størrelsesorden centimeter må det imidlertid gjøres ulike vilkårlige ikke-fraktale forutsetninger, for eksempel hvor elvemunningen slutter seg til sjøen, eller på steder der det må måles med brede watt. I tillegg kommer bruken ulike metoder målinger for ulike måleenheter tillater ikke konvertering av disse enhetene ved hjelp av enkel multiplikasjon.

For å bestemme tilstanden territorialfarvann bygger de såkalte kurvene til kysten av den kanadiske provinsen British Columbia; de utgjør mer enn 10 % av lengden på den kanadiske kystlinjen (medregnet alle øyene i den kanadiske arktiske skjærgården) - 25 725 km av 243 042 km i en lineær avstand på bare 965 km

Før vi blir kjent med den første typen fraktaler - nemlig med kurver hvis fraktaldimensjon overstiger 1 - la oss vurdere en typisk del av en eller annen kysten. Det er klart at lengden ikke kan være mindre enn den rette linjeavstanden mellom start- og sluttpunktet. Imidlertid har kystlinjer som regel uregelmessig form- de er kronglete og ødelagte, og lengdene deres overstiger uten tvil betydelig avstandene mellom deres ytterpunkter, målt i en rett linje.

Det er mange måter å beregne lengden på en kystlinje mer nøyaktig, og i dette kapittelet vil vi analysere noen av dem. Til slutt vil vi komme til en veldig bemerkelsesverdig konklusjon: lengden på kystlinjen er et veldig glatt konsept, og du kan ikke fatte det med bare hender. Uansett hvilken målemetode vi bruker, er resultatet alltid det samme: lengden på en typisk kystlinje er veldig lang og så dårlig definert at det er mest praktisk å betrakte den som uendelig. Følgelig, hvis noen bestemmer seg for å sammenligne forskjellige kyster med tanke på lengden deres, må han finne noe for å erstatte lengdebegrepet, som denne saken ikke aktuelt.

I dette kapittelet starter vi letingen etter en passende erstatter, og i søkeprosessen kan vi ikke unngå å bli kjent med ulike former fraktale begreper om dimensjon, mål og kurve.

ALTERNATIVE MÅLEMETODER

Metode A. La oss sette åpningen av målekompasset til en viss gitt lengde, som vi vil kalle trinnlengden, og vi vil gå med dette kompasset langs kysten av interesse for oss, og starter hver nytt trinn på punktet der den forrige sluttet. Antall trinn multiplisert med lengden e vil gi oss omtrentlig lengde på banken. Vi vet fra skolen at hvis vi gjentar denne operasjonen, hver gang vi reduserer åpningen av kompasset, så kan vi forvente at verdien raskt vil haste til noen fullstendig en viss verdi, kalt sann lengde. Det som faktisk skjer samsvarer imidlertid ikke med våre forventninger. I et typisk tilfelle har den observerte lengden en tendens til å øke uten grenser.

Årsaken til denne oppførselen er åpenbar: hvis du ser på en halvøy eller bukt på kart i målestokk 1/100 000 og 1/10 000, så siste kart vi kan tydelig skille mindre halvøyer og bukter som ikke var synlige på den første. Et kart over det samme området, laget i målestokk 1/1000, vil vise oss enda mindre halvøyer og viker, og så videre. Hver ny detalj øker den totale lengden på banken.

Fremgangsmåten ovenfor forutsetter at strandlinjen er for uregelmessig i form til at dens lengde direkte kan representeres som summen av lengdene til enkle geometriske kurver, hvis lengder kan finnes i oppslagsverk. Det er, Metode A erstatter kystlinje med sekvens brutte linjer, sammensatt av rette seksjoner, hvor lengden vi kan bestemme.

Metode B. Den samme "utjevningen" kan oppnås på andre måter. Se for deg en person som går langs kysten langs den korteste stien, hvis bane aldri avviker fra vannet lenger enn spesifisert avstand. Etter å ha nådd sluttpunktet, vender han tilbake, noe som reduserer verdien. Så igjen og igjen, inntil verdien til slutt når f.eks. 50 cm Det er ikke mulig å redusere den ytterligere, siden personen er for stor og klønete til å kunne spore en mer detaljert bane. Det kan innvendes mot meg at disse uoppnåelige små detaljene for det første ikke er av umiddelbar interesse for mennesker, og for det andre er de gjenstand for så betydelige endringer avhengig av tid på året og tidevannshøyden at deres detaljerte registrering generelt mister all mening. Vi vil ta for oss den første av disse innvendingene senere i dette kapittelet. Når det gjelder den andre innvendingen, kan den nøytraliseres ved å begrense oss til å vurdere en steinete kyst ved lavvann og stille vann. I prinsippet kan en person spore mer detaljerte omtrentlige kurver ved å ringe en mus for å hjelpe ham, deretter en maur, og så videre. Og igjen, ettersom vandreren vår følger en sti nærmere og nærmere vannet, øker avstanden han må tilbakelegge i det uendelige.

Metode C. Metode B innebærer en viss asymmetri mellom vann og land. For å unngå denne asymmetrien foreslo Kantor å se kystlinjen som gjennom en ufokusert linse, som et resultat av at hvert punkt blir til et rundt punkt med radius . Med andre ord, Cantor vurderer alle punkter - både på land og vann - avstanden til selve kystlinjen ikke overskrider . Disse punktene danner en slags pølse eller bånd med bredde (et eksempel på en slik "pølse" - om enn i en annen sammenheng - er vist i fig. 56). La oss måle arealet til det resulterende båndet og dele det med. Hvis kystlinjen var rett, ville båndet være et rektangel, og verdien funnet på måten beskrevet ovenfor ville vise seg å være den faktiske lengden på kysten. Når vi har å gjøre med ekte kystlinjer, får vi et grovt estimat på lengden , som øker ubegrenset med .

MetodeD. Se for deg et kart laget på samme måte som pointillistiske kunstnere, det vil si et kart der kontinentene og havene er avbildet med fargede runde flekker med radius. I stedet for å betrakte senterpunktene som punkter som tilhører kystlinjen, som i metode C, vil vi kreve at antallet flekker som fullstendig skjuler linjen er det minste. Som et resultat vil flekker nær kapper stort sett ligge på land, mens de nær bukter vil ligge i sjøen. Et estimat av lengden på kystlinjen her vil være et resultat av å dele området som dekkes av flekkene med . «Atferden» til denne vurderingen etterlater også mye å være ønsket.

TILFELDIGHET AV MÅLERESULTATER

Ved å oppsummere forrige avsnitt, merker vi at resultatet av å bruke en av de fire metodene alltid er det samme. Når e avtar, tenderer den omtrentlige lengden på kurven til uendelig.

For å forstå betydningen av dette faktum, la oss gjøre en lignende måling av lengden til enhver vanlig euklidisk kurve. For eksempel, på et rett linjesegment, faller de omtrentlige estimerte måledataene i utgangspunktet sammen og bestemmer den nødvendige lengden. Når det gjelder en sirkel, øker den omtrentlige verdien av lengden, men nærmer seg ganske raskt en bestemt grense. Kurver hvis lengde kan bestemmes på denne måten kalles utrettbare.

Det er enda mer lærerikt å prøve å måle lengden på noen av kystlinjene som er domestisert av mennesker – for eksempel kysten nær Chelsea slik den ser ut i dag. Siden folk fortsatt lar svært store folder av terrenget være uendret, vil vi installere en veldig stor løsning på kompasset vårt og gradvis redusere det. Som man kunne forvente vil lengden på kystlinjen øke.

Det er imidlertid en interessant funksjon: med ytterligere reduksjon befinner vi oss uunngåelig i en viss mellomsone, hvor lengden forblir nesten uendret. Denne sonen strekker seg fra omtrent 20 m til 20 cm (svært omtrentlig). Når den blir mindre enn 20 cm, begynner lengden å øke igjen - nå påvirker enkeltsteiner måleresultatet. Således, hvis du plotter en graf av verdiendringen som funksjon av , vil du uten tvil finne et flatt område på den med verdier på e i området fra 20 m til 20 cm - på lignende grafer for naturlige "ville" kyster observeres ikke slike flate områder.

Det er åpenbart at målinger gjort i denne flate sonen er av enorm praktisk verdi. Siden grensene mellom ulike vitenskapelige disipliner er hovedsakelig et resultat av en avtale mellom forskere om arbeidsdeling, kan vi for eksempel overføre alle fenomener hvis skala overstiger 20 m, det vil si de som mennesket ennå ikke har nådd, til avdelingen for geografi. En slik begrensning vil gi oss en helt spesifikk geografisk lengde. Kystsikkerhet kan med hell bruke den samme verdien for å jobbe med "ville" strender, og leksikon og almanakker vil fortelle alle den tilsvarende lengden.

På den annen side er det vanskelig for meg å forestille meg at alle interesserte myndighetsorganer, selv fra et hvilket som helst land, vil bli enige seg imellom om å bruke en enkelt betydning, og det er helt umulig å forestille seg at alle land i verden kan ta den i bruk. Richardson gir dette eksemplet: Spanske og portugisiske leksikon gir ulik lengde på landgrensen mellom disse landene, med en forskjell på 20 % (det samme er tilfellet med grensen mellom Belgia og Nederland). Dette avviket må delvis forklares med ulike valg. Empiriske bevis, som vi skal diskutere kort, viser at for at en slik forskjell skal oppstå, er det nok at en verdi skiller seg fra en annen med bare en faktor på to; Dessuten er det ikke overraskende at et lite land (Portugal) måler lengden på sine grenser mer nøye enn sin store nabo.

Det andre og mer betydningsfulle argumentet mot vilkårlige valg er av filosofisk og generell vitenskapelig karakter. Naturen eksisterer uavhengig av mennesket, og alle som tillegger en spesiell betydning for stor betydning eller , antar at det avgjørende leddet i prosessen med å forstå naturen er mennesket med sine allment aksepterte standarder eller svært foranderlige tekniske virkemidler. Hvis kystlinjer noen gang skal bli objekter Vitenskapelig forskning, er det lite sannsynlig at vi vil kunne lovfeste for å forby usikkerheten observert i forhold til deres lengder. Uansett, konseptet med geografisk lengde er ikke så ufarlig som det ser ut ved første øyekast. Det er ikke helt "objektivt", siden når man bestemmer lengden på denne måten, er påvirkningen fra observatøren uunngåelig.

ANERKJENNING OG BETYDNING AV DE VILJÆRLIGE RESULTATER AV MÅLINGER

Mange er uten tvil av den oppfatning at kystlinjer er ureduserbare kurver, og for den saks skyld kan jeg ikke huske at noen har tenkt noe annet. Men mitt søk etter skriftlige bevis til fordel for denne oppfatningen var nesten fullstendig mislykket. I tillegg til sitatene fra Perrin gitt i det andre kapittelet, er det også følgende observasjon i en artikkel av Steinhaus: «Ved å måle lengden på venstre bredd av Vistula med økende nøyaktighet, kan man oppnå verdier titalls, hundrevis og til og med tusenvis av ganger større enn det som er gitt av skolekort... Følgende utsagn virker veldig nær virkeligheten: flertallet av buene som finnes i naturen er ikke korrigerbare. Denne uttalelsen motsier den populære oppfatningen, som koker ned til det faktum at ikke-korrigerbare buer er en matematisk fiksjon, og i naturen er alle buer korrigerbare. Av disse to motstridende påstandene bør tilsynelatende den første anses som sann.» Imidlertid gadd verken Perrin eller Steinhaus å utvikle sine gjetninger mer detaljert og bringe dem til sin logiske konklusjon.

K. Fadiman forteller en interessant historie. Hans venn Edward Kasner utførte dette eksperimentet flere ganger: han «spurte små barn om hva de trodde var den totale lengden på kysten av USA. Etter at et av barna uttrykte en ganske "rimelig" gjetning, ba... Kasner... dem til å tenke på hvor mye dette tallet kunne økes hvis de veldig nøye målte omkretsen av alle kapper og bukter, og deretter like nøye sporet mindre kapper og viker i hver av disse kappene og i hver av disse buktene, mål deretter hver rullestein og hvert sandkorn som utgjør kystlinjen, hvert molekyl, hvert atom osv. Det viste seg at kysten kunne være så lang som du liker . Barn forsto dette umiddelbart, men Kasner hadde problemer med voksne.» Historien er selvfølgelig veldig fin, men den har neppe noe med søket mitt å gjøre. Kasner hadde tydeligvis ikke sikte på å fremheve noen aspekter ved virkeligheten som er verdig å studere videre.

Dermed kan vi si at artikkelen og boken du holder i hendene i hovedsak representerer de første verkene viet til dette emnet.

I sin bok The Will to Believe1 skriver William James: «Det som ikke passer inn i klassifiseringsrammen... er alltid et rikt felt for store oppdagelser. I enhver vitenskap, rundt allment aksepterte og ordnede fakta, kretser det alltid en støvete sky av unntak fra reglene – fenomener som er subtile, inkonsekvente, sjelden støter på, fenomener som er lettere å ignorere enn å vurdere. Enhver vitenskap streber etter perfekt tilstand et lukket og strengt system av sannheter... Fenomener som ikke kan klassifiseres innenfor systemet regnes som paradoksale absurditeter og er åpenbart ikke sanne. De blir neglisjert og avvist basert på den vitenskapelige samvittighets beste intensjoner... Alle som seriøst studerer uregelmessige fenomener vil kunne skape ny vitenskap på grunnlaget til den gamle. På slutten av denne prosessen vil reglene for den oppdaterte vitenskapen for det meste bli gårsdagens unntak."

Dette essayet, hvis beskjedne mål er en fullstendig fornyelse av naturens geometri, beskriver fenomener som er så uklassifiserbare at det bare er mulig å snakke om dem med tillatelse fra sensuren. Du vil møte det første av disse fenomenene i neste avsnitt.

RICHARDSON EFFEKT

En empirisk studie av endringen i omtrentlig lengde oppnådd ved bruk av metode A er beskrevet i Richardsons artikkel, koblingen som ved en heldig (eller skjebnesvanger) tilfeldighet kom over øyet mitt. Jeg ga oppmerksomhet til det bare fordi jeg hadde hørt mye om Lewis Fry Richardson som en fremragende vitenskapsmann hvis originalitet i tenkningen var beslektet med eksentrisitet (se kapittel 40). Som vi vil se i kapittel 10, skylder menneskeheten noen av sine mest dyptgående og varige ideer angående turbulensens natur - spesiell oppmerksomhet Blant dem er den som fortjener den ifølge hvilken turbulens forutsetter fremveksten av en selvliknende kaskade. Han behandlet også andre komplekse spørsmål, for eksempel arten av væpnet konflikt mellom stater. Eksperimentene hans var eksempler på klassisk enkelhet, men han nølte ikke med å bruke mer sofistikerte konsepter når behovet meldte seg.

Vist i fig. 57 grafer, oppdaget etter Richardsons død blant avisene hans, ble publisert i den nesten hemmelige (og helt upassende for slike publikasjoner) "Yearbook on vanlige systemer" Etter å ha undersøkt disse grafene, kommer vi til den konklusjon at det er to konstanter (la oss kalle dem og ) - slik at for å bestemme lengden på kystlinjen ved å konstruere en brutt linje som tilnærmer den, er det nødvendig å ta omtrentlige lengdeintervaller og skrive følgende formel:

Verdien av indikatoren avhenger tilsynelatende av arten av kystlinjen som måles, og ulike deler av denne linjen, vurdert separat, kan gi ulike verdier. For Richardson var størrelsen ganske enkelt en praktisk indikator uten noen spesiell mening. Verdien av denne indikatoren ser imidlertid ikke ut til å avhenge av den valgte metoden for å estimere strandlinjelengden. Dette betyr at han fortjener den nærmeste oppmerksomheten.

FRAKTALDIMENSJON AV KYSTLINJE

Etter å ha studert Richardsons arbeid, foreslo jeg at selv om eksponenten ikke er et heltall, kan og bør den forstås som en dimensjon – mer presist, som en fraktal dimensjon. Jeg var selvfølgelig fullstendig klar over at alle de ovennevnte målemetodene er basert på ikke-standardiserte generaliserte definisjoner av dimensjon, som allerede brukes i ren matematikk. Lengdebestemmelse basert på strandlinjedekning det minste tallet radiusflekker, brukes til å bestemme dimensjonen på belegget. Lengdebestemmelsen, basert på å dekke kystlinjen med et bånd av bredde, legemliggjør ideen om Cantor og Minkowski (se fig. 56), og vi skylder Buligan den tilsvarende dimensjonen. Imidlertid antyder disse to eksemplene bare eksistensen av mange dimensjoner (hvorav de fleste bare er kjent for noen få spesialister) som skinner i forskjellige høyt spesialiserte områder av matematikk. Vi vil diskutere noen av disse dimensjonene mer detaljert i kapittel 39.

Hvorfor trengte matematikere å introdusere denne overfloden av forskjellige dimensjoner? Deretter aksepterer de i visse tilfeller forskjellige betydninger. Heldigvis vil du ikke støte på slike tilfeller i dette essayet, så en liste over mulige alternative dimensjoner finner du her. god samvittighet redusere til to, som jeg imidlertid ikke har nevnt ennå. Den eldste og mest grundig studerte dimensjonen på listen vår går tilbake til Hausdorff og tjener til å definere den fraktale dimensjonen - vi vil behandle det veldig snart. Den andre, enklere, dimensjonen kalles likhetsdimensjonen: den er ikke den samme generell karakter, ettersom den første dimensjonen imidlertid viser seg å være mer enn tilstrekkelig i mange tilfeller - vi vil vurdere den i neste kapittel.

Jeg skal selvfølgelig ikke gi her matematisk bevis at Richardson-eksponenten er en dimensjon. For å være ærlig, kan jeg ikke forestille meg hvordan et slikt bevis kan utføres innenfor rammen av noen naturvitenskap. Jeg vil bare trekke leserens oppmerksomhet til det faktum at begrepet lengde utgjør et konseptuelt problem, og indikatoren gir en praktisk og elegant løsning. Nå som den fraktale dimensjonen har tatt sin plass i studiet av kystlinjer, er det usannsynlig at vi av noen spesielle grunner vil ønske å vende tilbake til de tidene da vi tankeløst og naivt trodde. Den som fortsatt tror må nå prøve om han vil bevise at han har rett.

Det neste trinnet – å forklare formen på kystlinjer og utlede mening fra andre, mer grunnleggende betraktninger – foreslår jeg å utsette til kapittel 28. På dette stadiet er det nok å si at, som en første tilnærming, . Denne verdien er for stor til å kunne beskrive fakta nøyaktig, men det er mer enn nok for oss å si at det er mulig, bør og naturlig å tro at dimensjonen til kystlinjen overstiger den vanlige euklidiske verdien for kurven.

FRAKTALDIMENSJON PÅ HAUSDORFF

Hvis vi aksepterer at ulike naturlige kystlinjer er av uendelig lengde, og også at lengdeverdien basert på den antropometriske verdien bare gir en delvis ide om reell situasjon anliggender, hvordan kan da forskjellige kyster sammenlignes med hverandre? Siden uendelig ikke er forskjellig fra uendelig multiplisert med fire, hva hjelper det oss å si at lengden på en bank er fire ganger større enn lengden på noen av dens fjerdedeler? Obligatorisk Den beste måtenå uttrykke den ganske rimelige ideen om at en kurve skal ha et eller annet "mål", og dette målet for hele kurven bør være fire ganger større enn det samme målet for noen av dens kvartaler.

En ekstremt genial metode for å oppnå dette målet ble foreslått av Felix Hausdorff. Metoden hans er basert på det faktum at det lineære målet til en polygon beregnes ved å legge til lengdene på sidene uten noen transformasjoner. Det kan antas at disse sidelengdene heves til en styrke lik den euklidiske dimensjonen til linjen (årsaken til denne antakelsen vil snart bli åpenbar). Mål på overflaten av det indre området til en lukket polygon beregnes på lignende måte - ved å dekke den med kvadrater, finne summen av lengdene på sidene til disse kvadratene og heve den til en potens (euklidisk dimensjon av planet ). Hvis vi bruker "feil" grad i beregningene, vil ikke resultatet av disse beregningene gi oss noen nyttig informasjon: Arealet til enhver lukket polygon vil være null, og lengden på dens indre region vil være uendelig.

La oss vurdere fra slike posisjoner en polygonal (stykkevis lineær) tilnærming av en kystlinje sammensatt av små lengdeintervaller. Ved å heve lengden på intervallet til en potens og multiplisere den med antall intervaller, får vi en viss verdi som foreløpig kan kalles "omtrentlig lengde i dimensjon". Siden antallet sider ifølge Richardson er likt, tar vår omtrentlige utstrekning verdien .. Det vil si at den omtrentlige utstrekningen av kystlinjen viser forsvarlig oppførsel hvis og bare hvis .

FRAKTALDIMENSJONEN PÅ EN KURVE KAN VÆRE STØRRE ENN ENHET; FRAKTALE KURVER

Som ment av skaperen, beholder Hausdorff-dimensjonen pliktene til en vanlig dimensjon og fungerer som en eksponent for å bestemme mål.

Men på den annen side er dimensjonen høyst uvanlig – den kommer til uttrykk brøktall! Dessuten er det større enn enhet, som er den "naturlige" dimensjonen for kurver (det kan strengt tatt bevises at deres topologiske dimensjon også er lik enhet).

Jeg foreslår å kalle kurver hvis fraktale dimensjon overstiger deres topologiske dimensjon 1 fraktale kurver. Som en rask oppsummering for dette kapittelet kan jeg tilby følgende utsagn: I geografiske skalaer kan kystlinjer modelleres ved hjelp av fraktale kurver. Kystlinjer har fraktal struktur.

Ris. 55. APETRE

På sånn som det er nå dette lille designet bør betraktes som et dekorativt element, det fyller bare et tomt rom.

Men etter å ha lest kapittel 14, vil leseren her kunne finne en ledetråd for å løse den "arkitektoniske" gåten i fig. 210. En mer alvorlig ledetråd er gitt av generatoren nedenfor:

Hvis en matematiker trenger å "temme" en spesielt uregelmessig kurve, kan han bruke følgende standardprosedyre: en viss verdi velges, og en sirkel med radius konstrueres rundt hvert punkt på kurven. Denne prosedyren, som i det minste dateres tilbake til Hermann Minkowski, og til og med Georg Cantor selv, er noe grov, men veldig effektiv. (Når det gjelder begrepet pølse, er opprinnelsen, ifølge ubekreftede rykter, på en eller annen måte forbundet med Norbert Wieners anvendelse av denne prosedyren på brunske kurver.)

I illustrasjonene som er lagt ut her, er utjevningen beskrevet ovenfor ikke brukt på virkelige kyster, men på én teoretisk kurve, som vi skal konstruere litt senere (se fig. 79) ved å stadig legge til flere og flere fine detaljer. Ved å sammenligne pølsestykket vist til høyre med høyre ende av pølsen plassert øverst, ser vi at det kritiske stadiet i konstruksjonen av kurven oppstår når kurven begynner å inkludere deler mindre enn . På senere stadier endres ikke pølsen nevneverdig.

Ris. 57. RICHARDSONS EMPIRISKE DATA OM VEKSTRASTEN AV KYSTLENGDER

Denne figuren viser de eksperimentelle resultatene av kurvelengdemålinger gjort på forskjellige kurver ved bruk av likesidede polygoner med avtagende sidelengde. Som forventet, når det gjelder en sirkel, gir målinger med økende presisjon en verdi som veldig raskt stabiliserer seg rundt en veldig spesifikk verdi.

Når det gjelder kystlinjer, stabiliserer ikke de omtrentlige lengdeverdiene seg i det hele tatt. Ettersom trinnlengden har en tendens til null, danner de omtrentlige lengdeverdiene, plottet i et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem, en rett linje med negativ helning. Det samme gjelder med landegrenser mellom land. Referansene laget av Richardson i forskjellige leksikon ble åpnet betydelige forskjeller ved å bestemme lengden på den felles grensen av kartografer fra de respektive land: for eksempel er lengden på grensen mellom Spania og Portugal 987 km fra spanjolenes synspunkt og 1214 km fra portugisernes synspunkt; grensen mellom Nederland og Belgia (380 og 449 km) ble på samme måte påvirket. Siden helningen til de tilsvarende linjene er -0,25, betyr en tjue prosent forskjell mellom målingene en todelt forskjell mellom verdiene akseptert for disse målingene - ikke en så utrolig antagelse.

Richardson ga ingen teoretisk tolkning av de forskjellige bakkene på linjene hans. Vi har til hensikt å tolke kystlinjer som tilnærminger til fraktale kurver og vurdere bakker de tilsvarende rette linjene som omtrentlige verdier av forskjellen, hvor er fraktaldimensjonen.

Fraktaler er geometriske objekter: overflatelinjer, romlige kropper som har en svært robust form og har egenskapen til selvlikhet. Ordet fraktal kommer fra ordet fractus og er oversatt med brøk, brutt. Selvlikhet, som en grunnleggende egenskap, betyr at den er ordnet mer eller mindre jevnt over et bredt spekter av skalaer. Så når forstørret, viser små fragmenter av en fraktal seg å være veldig like store. I det ideelle tilfellet fører slik selvlikhet til det faktum at fraktalobjektet viser seg å være invariant under utvidelser, dvs. det sies å ha dilatasjonssymmetri. Den antar at de grunnleggende geometriske egenskapene til fraktalen forblir uendret når skalaen endres.

Selvfølgelig, for en ekte naturlig fraktal er det en viss minimumslengdeskala, slik at dens hovedegenskap - selvlikhet - forsvinner på avstander. I tillegg, på tilstrekkelig store lengdeskalaer, hvor er karakteristikken geometrisk størrelse gjenstander, er denne egenskapen til selvlikhet også krenket. Derfor vurderes egenskapene til naturlige fraktaler kun på skalaer jeg, tilfredsstiller forholdet . Slike restriksjoner er ganske naturlige, for når vi som eksempel gir en fraktal - en ødelagt, ikke-glatt bane av en Brownsk partikkel, så forstår vi at bildet er en åpenbar idealisering. Poenget er at på små skalaer er nedslagstiden begrenset. Når disse omstendighetene tas i betraktning, blir banen til en Brownsk partikkel en jevn kurve.

Merk at egenskapen til selvlikhet bare er karakteristisk for vanlige fraktaler. Hvis, i stedet for en deterministisk konstruksjonsmetode, et element av tilfeldighet er inkludert i algoritmen for deres opprettelse (slik det for eksempel skjer i mange prosesser med diffusjonsvekst av klynger, elektrisk havari etc.), så oppstår såkalte tilfeldige fraktaler. Deres hovedforskjell fra vanlige er at selvlikhetsegenskapene kun er gyldige etter passende gjennomsnitt over alle statistisk uavhengige realiseringer av objektet. I dette tilfellet er den forstørrede delen av fraktalen ikke helt identisk med det opprinnelige fragmentet, men de statistiske egenskaper matche opp. Men fraktalen vi studerer er en av de klassiske fraktalene, og derfor regulære.

Kystlinjelengde

Opprinnelig oppsto konseptet om en fraktal i fysikken i forbindelse med problemet med å finne en kystlinje. Når man målte det ved hjelp av et eksisterende kart over området, dukket det opp en interessant detalj - jo større skala kartet er tatt, jo lengre viser denne kystlinjen seg å være.

Figur 1 - Kystlinjekart

La for eksempel den rette linjeavstanden mellom punkter som ligger på kystlinjen EN Og B er lik R(se fig. 1). Deretter, for å måle lengden på kystlinjen mellom disse punktene, vil vi plassere stivt langs kysten relatert venn med hverandre poler slik at avstanden mellom tilstøtende poler blir f.eks. l=10 km. Lengde på kystlinjen i kilometer mellom punktene EN Og B vi vil da ta det lik antall milepæler minus én multiplisert med ti. Vi vil gjøre neste måling av denne lengden på lignende måte, men vi vil gjøre avstanden mellom tilstøtende poler lik l=1 km.

Det viser seg at resultatene av disse målingene vil være annerledes. Når den er zoomet ut l vi får alt store verdier lengde. I motsetning til en jevn kurve, viser kysten seg ofte å være så innrykket (ned til minste skala) at med en nedgang i segmentet l omfanget L- lengden på kystlinjen - pleier ikke å begrenset grense, og øker i henhold til en gradvis lov

Hvor D- en viss eksponent, som kalles den fraktale dimensjonen til kystlinjen. Jo større verdi D, jo mer robust er denne kystlinjen. Opprinnelsen til avhengighet (1) er intuitiv: jo mindre skala vi bruker, desto mindre vil kystlinjedetaljene bli tatt i betraktning og bidra til den målte lengden. Tvert imot, ved å øke skalaen, retter vi kysten, og reduserer lengden L.

Dermed er det åpenbart at for å bestemme lengden på kystlinjen L ved hjelp av hard skala l(for eksempel å bruke et kompass med en fast løsning), må du gjøre N=L/l trinn, og størrelsen L endringer c l Så N kommer an på l i lov. Som et resultat, når skalaen minker, øker lengden på kystlinjen uten grenser. Denne omstendigheten skiller skarpt en fraktalkurve fra en vanlig glatt kurve (som en sirkel, ellipse), der grensen for lengden på den tilnærmede stiplede linjen er L ettersom lengden på lenken har en tendens til null l avgrenset. Som et resultat, for en jevn kurve er dens fraktale dimensjon D=1, dvs. sammenfaller med den topologiske.

La oss presentere verdiene til fraktale dimensjoner D for ulike kystlinjer. For eksempel for de britiske øyer D? 1. 3, og for Norge D? 15. Fraktal dimensjon av den australske kysten D ? 1. 1. De fraktale dimensjonene til andre kyster viser seg også å være nær enhet.

Ovenfor ble konseptet med den fraktale dimensjonen til kystlinjen introdusert. La oss gi det nå generell definisjon denne verdien. La d- den vanlige euklidiske dimensjonen til rommet der fraktalobjektet vårt befinner seg ( d=1- linje, d=2- fly, d=3- vanlig tredimensjonalt rom). La oss nå dekke dette objektet helt d-dimensjonale "kuler" med radius l. La oss anta at for dette trengte vi ikke mindre enn N(l) baller. Deretter, hvis for tilstrekkelig liten l omfanget N(l) endringer i henhold til en maktlov:

At D- kalles Hausdorff- eller fraktaldimensjonen til dette objektet.

Når du studerer geografi, husker du selvfølgelig at hvert land har sitt eget område og grenselengde, spesielt hvis et land vaskes av et hav eller hav, så har det en maritim grense av en viss lengde. Har du noen gang lurt på hvordan denne kantlengden bestemmes? I 1977 satte den amerikanske matematikeren Benoit Mandelbrot seg selv neste spørsmål: Hva er lengden på den britiske kystlinjen? Det viste seg at det var umulig å svare riktig på dette "barnslige spørsmålet". I 1988 bestemte den norske vitenskapsmannen Jens Feder seg for å finne ut hvor lang den norske kystlinjen er. Vær oppmerksom på at kysten av Norge er sterkt innrykket av fjorder. Andre forskere har stilt seg lignende spørsmål om lengden på kystlinjene til Australias kyster, Sør-Afrika, Tyskland, Portugal og andre land.

Vi kan bare måle lengden på kystlinjen omtrentlig. Når vi zoomer ut, må vi måle flere og flere små nes og bukter – lengden på kystlinjen øker, og det er rett og slett ingen objektiv grense for å redusere skalaen (og dermed øke lengden på kystlinjen); vi er tvunget til å innrømme at denne linjen har uendelig lengde. Vi vet at dimensjonen til en rett linje er én, dimensjonen til en firkant er to, og dimensjonen til en terning er tre. Mandelbrot foreslo å bruke brøkdimensjoner - Hausdorff - Besicovitch-dimensjoner - for å måle "monstrøse" kurver. Uendelige brutte kurver som en kystlinje er ikke helt linjer. De ser ut til å "feie" en del av flyet, som en overflate. Men de er heller ikke overflater. Dette betyr at det er rimelig å anta at deres dimensjon er mer enn én, men også mindre enn to, det vil si at disse er brøkdimensjonale objekter.

Den norske forskeren E. Feder foreslo en annen måte å måle lengden på kystlinjen på. Kartet var dekket med et kvadratisk rutenett, hvis celler har dimensjonene e? e. Man kan se at antallet N(e) av slike celler som dekker kystlinjen på kartet er omtrent lik antall trinn man kan gå rundt kystlinjen på kartet ved hjelp av et kompass med en løsning e. Hvis e reduseres, vil tallet N(e) øke. Hvis lengden på den britiske kystlinjen var viss lengde L, deretter antall trinn på et kompass med en løsning (eller tallet kvadratiske celler N(e) som dekker kystlinjen på kartet) ville være omvendt proporsjonal med e, og verdien Ln (e)=N(e) ? e ville ha en tendens til å være konstant L når k avtar. Dessverre har beregninger utført av mange forskere vist at dette ikke er helt sant. Når tonehøyden minker, øker den målte lengden. Det viste seg at forholdet mellom den målte lengden L(e) og trinnet e kan beskrives ved den omtrentlige relasjonen

Koeffisienten D kalles den fraktale dimensjonen. Ordet fraktal kommer fra latinsk ord fraktal - brøk, ikke-heltall. Et sett kalles fraktal hvis det har en ikke-heltallsdimensjon. For Norge D=1,52, og for Storbritannia D=1,3. Dermed er kystlinjen til Norge og Storbritannia en fraktal med fraktal dimensjon D. Det ble også utført beregninger for en sirkel, og den fraktale dimensjonen til sirkelen er D=1, som man kunne forvente. Dermed er den fraktale dimensjonen en generalisering av den ordinære dimensjonen.

Hvordan forstå dette og hva kan det bety? Matematikere begynte å huske om noe slikt hadde eksistert før i matematikk eller ikke? Og de husket! La oss vurdere en del av en bestemt linje AB på planet (fig. 3). La oss ta en firkant med kant e og spørre oss selv: hvor mange ruter N(e) med kantlengde e trengs for å dekke linje AB med slike ruter? Det kan sees at N(e) er proporsjonal

Tilsvarende, hvis et lukket begrenset område på et plan (fig. 4) er dekket med et firkantet rutenett med side e, vil minimum antall ruter med side e som dekker området være lik

Hvis vi vurderer en lukket avgrenset region i tredimensjonalt rom og ta en kube med kant e, så er antallet kuber som fyller dette området

La oss bestemme fraktaldimensjonen basert på det som ble angitt ovenfor i generell sak på følgende måte:

La oss ta logaritmen til venstre og høyre side

Å passere til grensen ettersom e har en tendens til null (N har en tendens til uendelig), får vi

Denne likheten er definisjonen av dimensjonen, som er betegnet med d.