Integrasjon er brøkdel. Integrasjon av rasjonelle brøker

Integrasjon av rasjonelle funksjoner Brøk - rasjonell funksjon Enkleste rasjonelle brøker Dekomponering av en rasjonell brøk til enkleste brøker Integrasjon av enkleste brøker Generell regel for integrering av rasjonelle brøker

polynom av grad n. Rasjonell brøkfunksjon En rasjonell brøkfunksjon er en funksjon som er lik forholdet mellom to polynomer: En rasjonell brøk kalles egen hvis graden av telleren er mindre enn graden av nevneren, dvs.< n , в противном случае дробь называется неправильной. многочлен степени m Всякую неправильную рациональную дробь можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена L(x) и правильной рациональной дроби:)()()(x. Q x. P xf n m)()()(x. Q x. R x. L x. Q x. P

Brøk - rasjonell funksjon Konverter uekte brøk til riktig form: 2 95 4 x xx 95 4 xx 2 x 3 x 34 2 xx 952 3 xx 2 2 x 23 42 xx 954 2 xx x 4 xx 84 2 93 x 3 63 15 2 95 4 x xx 342 23 xxx 2 15 x

De enkleste rasjonelle brøkene Egne rasjonelle brøker av formen: De kalles de enkleste rasjonelle brøkene av typer. axA); 2(Nkk ax A k)04(2 2 qp qpxx NMx); 2; 04(2 2 Nkkqp qpxx NMx k V V,

Dekomponering av en rasjonell brøk til enkle brøker Teorem: Enhver egen rasjonell brøk, hvis nevner er faktorisert: kan dessuten representeres på en unik måte som summen av enkle brøker: s k qxpxxxxxx. Q)()()(22 2 11 2 21)()(x. Q x. P 1 xx A k k xx B)()(2 2 2 1 11 2 qxpx DCx 2 22 22 2 11)(qxpx Nx. M s ss qxpx Nx. M)(

Dekomponering av en rasjonell brøk til enkle brøker La oss avklare formuleringen av teoremet ved å bruke følgende eksempler: For å finne de ubestemte koeffisientene A, B, C, D ... brukes to metoder: metoden for å sammenligne koeffisienter og metoden for partiell verdiene til en variabel. La oss se på den første metoden med et eksempel. 3 2)3)(2(4 xx x 2 x A 3 3 2 21)3()3(3 x B x B 1 2 x DCx 22 22 2 11)1(1 xx Nx. M)1(3 22 3 xx x 2 21 x A 22 2)1)(4(987 xxx xx 4 x

Dekomponering av en rasjonell brøk til enkle brøker Representer en brøk som summen av enkle brøker: Reduser de enkleste brøkene til en fellesnevner Lik tellerne til de resulterende og opprinnelige brøkene Lik koeffisientene med de samme potensene x)52)(1( 332 2 2 xxx xx 1 x A 52 2 xx CBx )52)(1()1)(()52(2 2 xxx x. CBxxx. A 33252 222 xx. CBx. Cx. Bx. AAx. Ax 35 32 2 0 1 2 CAx BAx 2 3 1 C B A 52 23 1 1 2 xx x x

Integrasjon av de enkleste brøkene La oss finne integralene til de enkleste rasjonelle brøkene: La oss vurdere integrasjonen av brøker av 3. type ved å bruke et eksempel. dx ax A k dx qpxx NMx 2 ax axd A)(Cax. Aln)(axdax. A k C k ax. A k

Integrasjon av enkle brøker dx xx x 102 13 2 dx xx x 9)12(13 2 dx x x 9)1(13 2 dtdx tx tx 1 1 dt t t 9 1)1(3 2 dt t t 9 23 2 9 dtt 3 9 2 3 2 2 t td 33 2 t arctg.C t arctgt 33 2 9 ln 2 32 C x arctgxx 3 1 3 2 102 ln

Integrasjon av enkle brøker Et integral av denne typen ved hjelp av en substitusjon: reduseres til summen av to integraler: Det første integralet beregnes ved å introdusere t under differensialens fortegn. Det andre integralet beregnes ved å bruke den rekursive formelen: dx qpxx NMx k 2 V t p x 2 kk ved dt N ved dtt M 22122 1221222))(1(222 321 kkkk atk t k k aat dt

Integrasjon av enkle brøker a = 1; k = 3 323)1(t dt tarctg t dt 1 21)1)(12(2222 322 1 21222 t t t dt)1(22 1 2 t t tarctg 2223)1)(13(2232 322 t) t 2t (4)1(

Generell regel for integrering av rasjonelle brøker Hvis brøken er uekte, representer den som summen av et polynom og en egenbrøk. Etter å ha dekomponert nevneren til en riktig rasjonell brøk i faktorer, representer den som en sum av enkle brøker med ubestemte koeffisienter. Finn ubestemte koeffisienter ved å sammenligne koeffisienter eller ved hjelp av metoden for partielle verdier av en variabel. Integrer polynomet og den resulterende summen av enkle brøker.

Eksempel La oss bringe brøken til riktig form. dx xxx 23 35 2 442 35 xxxxxx 23 2 2 x 345 2 xxx 442 34 xxx x 2 234 242 xxx 4425 23 xxx xxx 23 35 2 442 xxx xx xx 2252 xx 5 23 52 xx 5

Eksempel Faktorering av nevneren til en egenbrøk Representere en brøk som summen av enkle brøker Finne usikre koeffisienter ved å bruke metoden for partielle verdier av variabelen xxx xx 23 2 2 48 2 2)1(48 xx xx 2)1(1) x C x B x A 2 2)1 ()1(xx Cxx. Bxx. A 48)1()1(22 xx. Cxx. Bxx. A 5241 31 40 CBAx Cx Ax 3 12 4 C B A xxx xx 23 2 2 48 2)1(3 1 124 xxx

Eksempel dx xx 2 2)1(3 1 124 52 2 2)1(3 1 12452 x dx dxxdxdxx C x xxxx x 1 3 1 ln 12 ln

Kontrollarbeid om integrering av funksjoner, inkludert rasjonelle brøker, gis til studenter på 1. og 2. emne. Eksempler på integraler vil hovedsakelig være av interesse for matematikere, økonomer og statistikere. Disse eksemplene ble spurt ved kontrollarbeidet ved LNU. I. Frank. Betingelsene for de følgende eksemplene er "Finn integralet" eller "Regn ut integralet", derfor ble de ikke skrevet ut for å spare plass og tid.

Eksempel 15. Vi kom til integrasjonen av rasjonelle brøkfunksjoner. De inntar en spesiell plass blant integraler, fordi de krever mye tid til å beregne og hjelpe lærere med å teste kunnskapen din, ikke bare i integrering. For å forenkle funksjonen under integralet legger vi til og trekker fra et uttrykk i telleren som lar oss dele funksjonen under integralet i to enkle

Som et resultat finner vi en integral ganske raskt, i den andre må vi utvide brøken til summen av elementære brøker

Når vi reduserer til en fellesnevner, får vi slike tall

Deretter åpner du parentesene og gruppen

Vi setter likhetstegn mellom verdien ved samme grader av "x" på høyre og venstre side. Som et resultat kommer vi til et system med tre lineære ligninger (SLAE) med tre ukjente.

Hvordan løse ligningssystemer er beskrevet i andre artikler på nettstedet. I den endelige versjonen vil du motta følgende SLAE-løsninger
A=4; B=-9/2; C=-7/2.
Vi erstatter konstantene i ekspansjonen av brøker til de enkleste og utfører integrasjonen

Dette eksemplet er løst.

Eksempel 16. Igjen må du finne integralet til den rasjonelle brøkfunksjonen. Til å begynne med dekomponerer vi kubikkligningen som er inneholdt i nevneren til brøken i enkle faktorer

Deretter utfører vi dekomponeringen av brøken til den enkleste

Vi reduserer høyre side til en fellesnevner og åpner parentesene i telleren.

Vi setter likhetstegn mellom koeffisientene ved de samme potensene til variabelen. Igjen kommer vi til SLAE med tre ukjente

Vi erstatter verdiene A, B, C i utvidelsen og beregner integralet

De to første leddene gir logaritmen, den siste er også lett å finne.

Eksempel 17. I nevneren til en rasjonell brøkfunksjon har vi forskjellen på terninger. I henhold til formlene for forkortet multiplikasjon, dekomponerer vi den i to primfaktorer

Deretter maler vi den resulterende brøkfunksjonen for summen av enkle brøker og reduserer dem til en fellesnevner

I telleren får vi følgende uttrykk.

Fra den danner vi et system med lineære ligninger for å beregne 3 ukjente

A=1/3; B=-1/3; C=1/3.
Vi erstatter A, B, C i formelen og utfører integrasjonen. Som et resultat kommer vi til følgende svar

Her ble telleren til det andre integralet omgjort til en logaritme, mens resten under integralet gir buetangens.
Det er mange lignende eksempler på integrering av rasjonelle brøker på Internett. Lignende eksempler finnes i materialene nedenfor.

Materialet som presenteres i dette emnet er basert på informasjonen presentert i emnet "Rasjonelle brøker. Dekomponering av rasjonelle brøker til elementære (enkle) brøker". Jeg anbefaler deg på det sterkeste å i det minste skumle gjennom dette emnet før du fortsetter å lese dette materialet. I tillegg vil vi trenge en tabell med ubestemte integraler.

La meg minne deg om et par termer. De ble diskutert i det aktuelle temaet, så her skal jeg begrense meg til en kort formulering.

Forholdet mellom to polynomer $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ kalles en rasjonell funksjon eller en rasjonell brøk. Den rasjonelle brøken kalles riktig hvis $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется feil.

Elementære (enkleste) rasjonelle brøker er rasjonelle brøker av fire typer:

$\frac(A)(x-a)$;
$\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
$\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
$\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

Merk (ønskelig for en bedre forståelse av teksten): vis\skjul

Hvorfor er $p^2-4q-betingelsen nødvendig?< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

For eksempel, for uttrykket $x^2+5x+10$ får vi: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. Siden $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

For denne sjekken er det forresten ikke nødvendig at koeffisienten foran $x^2$ er lik 1. For $5x^2+7x-3=0$ får vi for eksempel: $D=7^2- 4\cdot 5 \cdot (-3)=109$. Siden $D > 0$, er uttrykket $5x^2+7x-3$ faktoriserbart.

Eksempler på rasjonelle brøker (vanlige og uekte), samt eksempler på dekomponering av en rasjonell brøk til elementære, kan finnes. Her er vi kun interessert i spørsmål om deres integrering. La oss starte med integrering av elementære brøker. Så hver av de fire typene av elementærbrøkene ovenfor er enkle å integrere ved å bruke formlene nedenfor. La meg minne deg på at ved integrering av brøker av typen (2) og (4) antas $n=2,3,4,\ldots$. Formler (3) og (4) krever betingelsen $p^2-4q< 0$.

\begin(equation) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end(equation) \begin(equation) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \end(ligning) \begin(ligning) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(ligning)

For $\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$ gjøres erstatningen $t=x+\frac(p)(2)$, hvoretter det resulterende integralet er delt i to. Den første vil bli beregnet ved å sette den inn under differensialtegnet, og den andre vil se ut som $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$. Dette integralet er tatt ved hjelp av gjentaksrelasjonen

\begin(ligning) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)I_n, \; n\in N \end(ligning)

Beregningen av et slikt integral er analysert i eksempel nr. 7 (se tredje del).

Skjema for beregning av integraler fra rasjonelle funksjoner (rasjonelle brøker):

Hvis integranden er elementær, bruk formlene (1)-(4).
Hvis integranden ikke er elementær, representer den som en sum av elementære brøker, og integrer deretter med formlene (1)-(4).

Algoritmen ovenfor for integrering av rasjonelle brøker har en ubestridelig fordel - den er universell. De. Ved å bruke denne algoritmen kan man integrere noen rasjonell brøk. Det er derfor nesten alle erstatninger av variabler i det ubestemte integralet (Euler, Chebyshev-substitusjoner, universell trigonometrisk substitusjon) gjøres på en slik måte at vi etter denne erstatningen får en rasjonell brøk under intervallet. Og bruk algoritmen på det. Vi vil analysere den direkte anvendelsen av denne algoritmen ved å bruke eksempler, etter å ha laget et lite notat.

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$

I prinsippet er denne integralen enkel å få tak i uten mekanisk påføring av formelen. Hvis vi tar konstanten $7$ ut av integrertegnet og tar i betraktning at $dx=d(x+9)$, så får vi:

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9) )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$

For detaljert informasjon anbefaler jeg å se på emnet. Den forklarer i detalj hvordan slike integraler løses. Forresten, formelen er bevist av de samme transformasjonene som ble brukt i dette avsnittet når du løste "manuelt".

2) Igjen, det er to måter: å bruke en ferdig formel eller å klare seg uten den. Hvis du bruker formelen, bør du ta hensyn til at koeffisienten foran $x$ (tallet 4) må fjernes. For å gjøre dette tar vi ganske enkelt ut de fire av dem i parentes:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\right)\right)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\venstre(x+\frac(19)(4)\høyre)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\venstre(x+\frac(19)(4)\høyre)^8). $$

Nå er det på tide å bruke formelen:

$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=-\frac(\frac(11)(4) ^8))((8-1)\venstre(x+\frac(19)(4) \right)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\venstre(x+\frac(19)(4) \right)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \venstre(x+\frac(19)(4) \right )^7)+C. $$

Du kan klare deg uten å bruke formelen. Og selv uten å sette den konstante $4$ ut av parentesene. Hvis vi tar i betraktning at $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$, får vi:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7) )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$

Detaljerte forklaringer om å finne slike integraler er gitt i emnet "Integrasjon ved substitusjon (introduksjon under differensialtegnet)" .

3) Vi må integrere brøken $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$. Denne brøken har strukturen $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$, der $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. Men for å være sikker på at dette faktisk er en elementær brøkdel av den tredje typen, må du sjekke betingelsen $p^2-4q< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot) 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

La oss løse det samme eksempelet, men uten å bruke den ferdige formelen. La oss prøve å isolere den deriverte av nevneren i telleren. Hva betyr dette? Vi vet at $(x^2+10x+34)"=2x+10$. Det er uttrykket $2x+10$ vi må isolere i telleren. Så langt inneholder telleren kun $4x+7$ , men dette er ikke lenge. Bruk følgende transformasjon på telleren:

$$ 4x+7=2\cdot 2x+7=2\cdot (2x+10-10)+7=2\cdot(2x+10)-2\cdot 10+7=2\cdot(2x+10) -1. 3. $$

Nå har det nødvendige uttrykket $2x+10$ dukket opp i telleren. Og vår integral kan skrives om som følger:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$

La oss dele integranden i to. Vel, og følgelig er selve integralet også "delt":

$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10))(x^2 +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \høyre)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$

La oss snakke om det første integralet først, dvs. omtrent $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. Siden $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$, så er nevnerdifferensialen plassert i telleren til integranden. Kort sagt, i stedet av uttrykket $( 2x+10)dx$ skriver vi $d(x^2+10x+34)$.

La oss nå si noen ord om den andre integralen. La oss skille ut hele kvadratet i nevneren: $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$. I tillegg tar vi hensyn til $dx=d(x+5)$. Nå kan summen av integraler oppnådd av oss tidligere skrives om i en litt annen form:

$$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ 9). $$

Hvis vi gjør endringen $u=x^2+10x+34$ i det første integralet, vil det ha formen $\int\frac(du)(u)$ og tas ved å bruke den andre formelen fra . Når det gjelder det andre integralet, er erstatningen $u=x+5$ mulig for den, hvoretter den har formen $\int\frac(du)(u^2+9)$. Dette er det reneste vannet, den ellevte formelen fra tabellen over ubestemte integraler. Så, tilbake til summen av integraler, vil vi ha:

$$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5) )^2+9) =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Vi fikk det samme svaret som når vi brukte formelen , noe som faktisk ikke er overraskende. Generelt er formelen bevist med de samme metodene som vi brukte for å finne dette integralet. Jeg tror at en oppmerksom leser kan ha ett spørsmål her, derfor vil jeg formulere det:

Spørsmål 1

Hvis vi bruker den andre formelen fra tabellen med ubestemte integraler på integralet $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$, får vi følgende:

$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$

Hvorfor manglet modulen i løsningen?

Svar på spørsmål #1

Spørsmålet er helt legitimt. Modulen var fraværende bare fordi uttrykket $x^2+10x+34$ for enhver $x\in R$ er større enn null. Dette er ganske enkelt å vise på flere måter. For eksempel, siden $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ og $(x+5)^2 ≥ 0$, deretter $(x+5)^2+9 > 0$ . Det er mulig å dømme på en annen måte, uten å involvere valg av en hel rute. Siden $10^2-4\cdot 34=-16< 0$, то $x^2+10x+34 >0$ for enhver $x\in R$ (hvis denne logiske kjeden er overraskende, anbefaler jeg deg å se på den grafiske metoden for å løse kvadratulikheter). I alle fall, siden $x^2+10x+34 > 0$, så $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, dvs. du kan bruke vanlige parenteser i stedet for en modul.

Alle punkter i eksempel nr. 1 er løst, det gjenstår bare å skrive ned svaret.

Svar:

$\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
$\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
$\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x) +5)(3)+C$.

Eksempel #2

Finn integralet $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$.

Ved første øyekast er integranden $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ veldig lik en elementær brøk av den tredje typen, dvs. til $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$. Det ser ut til at den eneste forskjellen er koeffisienten $3$ foran $x^2$, men det vil ikke ta lang tid å fjerne koeffisienten (ut av parentes). Imidlertid er denne likheten åpenbar. For brøken $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ betingelsen $p^2-4q< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.

Vår koeffisient foran $x^2$ er ikke lik én, så sjekk betingelsen $p^2-4q< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D >0$, så uttrykket $3x^2-5x-2$ kan faktoriseres. Og dette betyr at brøken $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ ikke er en elementær brøk av den tredje typen, og gjelder for integralet $\int\frac(7x+12)( Formel 3x^2- 5x-2)dx$ er ikke tillatt.

Vel, hvis den gitte rasjonelle brøken ikke er elementær, må den representeres som en sum av elementære brøker, og deretter integreres. Kort sagt, trail dra nytte av . Hvordan dekomponere en rasjonell brøk til elementære er skrevet i detalj. La oss starte med å faktorisere nevneren:

$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \begin(justert) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5-7)(6)=\frac(-2)(6)=-\frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2.\ \ \end(justert)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\venstre(x-\venstre(-\frac(1)(3)\høyre)\høyre)\cdot (x-2)= 3\cdot\venstre(x+\frac(1)(3)\høyre)(x-2). $$

Vi representerer den subinterne brøken i følgende form:

$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\venstre(x+\frac(1)(3)\høyre)(x-2)). $$

La oss nå utvide brøken $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ til elementære:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\venstre(x+\frac(1)(3)\høyre)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\venstre(x+\frac(1)(3)\høyre))(\venstre(x+ \frac(1)(3)\høyre)(x-2));\\ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\venstre(x+\frac(1)( 3)\høyre). $$

For å finne koeffisientene $A$ og $B$ er det to standardmåter: metoden for ubestemte koeffisienter og metoden for substitusjon av partielle verdier. La oss bruke metoden for delvis verdierstatning ved å erstatte $x=2$ og deretter $x=-\frac(1)(3)$:

$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\venstre(x+\frac(1)(3)\høyre).\\ x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\venstre(2+\frac(1)(3)\høyre); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\\ x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \right)+4=A\venstre(-\frac(1)(3)-2\høyre)+B\venstre (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\right); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$

Siden koeffisientene er funnet, gjenstår det bare å skrive ned den ferdige utvidelsen:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\venstre(x+\frac(1)(3)\høyre)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+\frac(1)(3))+\frac(\frac(26)(7))(x-2). $$

I prinsippet kan du legge igjen denne oppføringen, men jeg liker en mer nøyaktig versjon:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\venstre(x+\frac(1)(3)\høyre)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot\frac(1)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2). $$

Når vi går tilbake til det opprinnelige integralet, erstatter vi den resulterende utvidelsen i den. Deretter deler vi integralet i to, og bruker formelen på hver. Jeg foretrekker å umiddelbart ta ut konstantene utenfor integrertegnet:

$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\venstre(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\right)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2) )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\venstre|x+\frac(1)(3)\right|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$

Svar: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\venstre|x+\frac(1)(3)\right| +\frac(26)(7)\cdot\ln|x-2|+C$.

Eksempel #3

Finn integralet $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$.

Vi må integrere brøken $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$. Telleren er et polynom av andre grad, og nevneren er et polynom av tredje grad. Siden graden av polynomet i telleren er mindre enn graden av polynomet i nevneren, dvs. $2< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:

$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x +4)-\frac(1)(x-9). $$

Vi må bare bryte det gitte integralet i tre, og bruke formelen på hver. Jeg foretrekker å umiddelbart ta ut konstantene utenfor integrertegnet:

$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \right)dx=\\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+C. $$

Svar: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.

En fortsettelse av analysen av eksempler på dette emnet er plassert i den andre delen.

En rasjonell funksjon er en brøkdel av formen , hvis teller og nevner er polynomer eller produkter av polynomer.

Eksempel 1 Steg 2

Vi multipliserer ubestemte koeffisienter med polynomer som ikke er i denne individuelle brøken, men som er i andre oppnådde brøker:

Vi åpner parentesene og setter likhetstegn mellom telleren til den opprinnelige integranden mottatt med det oppnådde uttrykket:

I begge deler av likheten ser vi etter ledd med samme potenser av x og lager et ligningssystem fra dem:

Vi kansellerer alle x-er og får et ekvivalent system av ligninger:

Dermed er den endelige utvidelsen av integranden til summen av enkle brøker:

Eksempel 2 Steg 2 På trinn 1 fikk vi følgende utvidelse av den opprinnelige brøken til summen av enkle brøker med ubestemte koeffisienter i tellerne:

Nå begynner vi å lete etter usikre koeffisienter. For å gjøre dette, setter vi likhetstegn mellom telleren til den opprinnelige brøken i funksjonsuttrykket til telleren til uttrykket oppnådd etter å ha redusert summen av brøkene til en fellesnevner:

Nå må du lage og løse et likningssystem. For å gjøre dette, setter vi likhetstegn mellom koeffisientene til variabelen i passende grad i telleren til det opprinnelige uttrykket for funksjonen og lignende koeffisienter i uttrykket oppnådd i forrige trinn:

Vi løser det resulterende systemet:

Så herfra

Eksempel 3 Steg 2 På trinn 1 fikk vi følgende utvidelse av den opprinnelige brøken til summen av enkle brøker med ubestemte koeffisienter i tellerne:

Vi begynner å lete etter usikre koeffisienter. For å gjøre dette, setter vi likhetstegn mellom telleren til den opprinnelige brøken i funksjonsuttrykket til telleren til uttrykket oppnådd etter å ha redusert summen av brøkene til en fellesnevner:

Som i de foregående eksemplene, komponerer vi et system av ligninger:

Vi reduserer x-er og får et ekvivalent system av ligninger:

Ved å løse systemet får vi følgende verdier av usikre koeffisienter:

Vi får den endelige utvidelsen av integranden til summen av enkle brøker:

Eksempel 4 Steg 2 På trinn 1 fikk vi følgende utvidelse av den opprinnelige brøken til summen av enkle brøker med ubestemte koeffisienter i tellerne:

Hvordan likestille telleren til den opprinnelige brøken til uttrykket i telleren oppnådd etter å ha dekomponert brøken til summen av enkle brøker og redusert denne summen til en fellesnevner, vet vi allerede fra de foregående eksemplene. Derfor, bare for kontroll, presenterer vi det resulterende likningssystemet:

Ved å løse systemet får vi følgende verdier av usikre koeffisienter:

Vi får den endelige utvidelsen av integranden til summen av enkle brøker:

Eksempel 5 Steg 2 På trinn 1 fikk vi følgende utvidelse av den opprinnelige brøken til summen av enkle brøker med ubestemte koeffisienter i tellerne:

Vi bringer uavhengig denne summen til en fellesnevner, likestiller telleren til dette uttrykket med telleren til den opprinnelige brøken. Resultatet skal være følgende ligningssystem:

Ved å løse systemet får vi følgende verdier av usikre koeffisienter:

Vi får den endelige utvidelsen av integranden til summen av enkle brøker:

Eksempel 6 Steg 2 På trinn 1 fikk vi følgende utvidelse av den opprinnelige brøken til summen av enkle brøker med ubestemte koeffisienter i tellerne:

Vi utfører de samme handlingene med dette beløpet som i de foregående eksemplene. Resultatet skal være følgende ligningssystem:

Ved å løse systemet får vi følgende verdier av usikre koeffisienter:

Vi får den endelige utvidelsen av integranden til summen av enkle brøker:

Eksempel 7 Steg 2 På trinn 1 fikk vi følgende utvidelse av den opprinnelige brøken til summen av enkle brøker med ubestemte koeffisienter i tellerne:

Etter kjente handlinger med den resulterende summen, bør følgende ligningssystem oppnås:

Ved å løse systemet får vi følgende verdier av usikre koeffisienter:

Vi får den endelige utvidelsen av integranden til summen av enkle brøker:

Eksempel 8 Steg 2 På trinn 1 fikk vi følgende utvidelse av den opprinnelige brøken til summen av enkle brøker med ubestemte koeffisienter i tellerne:

La oss gjøre noen endringer i handlingene som allerede er satt i gang for å få et system av ligninger. Det finnes et kunstig triks, som i noen tilfeller bidrar til å unngå unødvendige beregninger. Ved å bringe summen av brøker til en fellesnevner, får vi og likestiller telleren til dette uttrykket med telleren til den opprinnelige brøken vi får.

TEMA: Integrasjon av rasjonelle brøker.

Merk følgende! Når du studerer en av hovedmetodene for integrasjon - integrering av rasjonelle brøker - er det nødvendig å vurdere polynomer i det komplekse domenet for strenge bevis. Derfor er det nødvendig studere på forhånd noen egenskaper ved komplekse tall og operasjoner på dem.

Integrasjon av de enkleste rasjonelle brøkene.

Hvis en P(z) og Q(z) er polynomer i det komplekse domenet, så er det en rasjonell brøk. Det kalles riktig hvis graden P(z) mindre grad Q(z) , og feil hvis graden R ikke mindre grad Q.

Enhver uekte brøk kan representeres som: ,

P(z) = Q(z) S(z) + R(z),

en R(z) – polynom hvis grad er mindre enn graden Q(z).

Dermed reduseres integrasjonen av rasjonelle brøker til integrasjonen av polynomer, det vil si potensfunksjoner, og egenbrøker, siden det er en egenbrøk.

Definisjon 5. De enkleste (eller elementære) brøkene er brøker av følgende typer:

1) , 2) , 3) , 4) .

La oss finne ut hvordan de er integrert.

3) (utforsket tidligere).

Teorem 5. Enhver egenbrøk kan representeres som en sum av enkle brøker (uten bevis).

Konsekvens 1. Hvis er en riktig rasjonell brøk, og hvis det blant røttene til polynomet bare er enkle reelle røtter, vil det i utvidelsen av brøken til summen av enkle brøker bare være enkle brøker av 1. type:

Eksempel 1

Konsekvens 2. Hvis er en egen rasjonell brøk, og hvis det blant røttene til polynomet bare er flere reelle røtter, vil det i utvidelsen av brøken til summen av enkle brøker bare være enkle brøker av 1. og 2. type :

Eksempel 2

Konsekvens 3. Hvis er en riktig rasjonell brøk, og hvis det blant røttene til polynomet bare er enkle komplekse konjugerte røtter, vil det i utvidelsen av brøken til summen av enkle brøker bare være enkle brøker av den 3. typen:

Eksempel 3

Konsekvens 4. Hvis er en egen rasjonell brøk, og hvis det blant røttene til polynomet bare er flere komplekse konjugerte røtter, vil det i utvidelsen av brøken til summen av enkle brøker bare være enkle brøker av 3. og 4. typer:

For å bestemme de ukjente koeffisientene i utvidelsene ovenfor, fortsett som følger. Venstre og høyre del av utvidelsen som inneholder ukjente koeffisienter multipliseres med Likheten til to polynomer oppnås. Ligninger for de ønskede koeffisientene hentes fra den ved å bruke at:

1. likhet er gyldig for alle verdier av X (metode for delverdier). I dette tilfellet oppnås et hvilket som helst antall ligninger, hvorav enhver m lar oss finne ukjente koeffisienter.

2. koeffisientene faller sammen med samme potenser av X (metode for ubestemte koeffisienter). I dette tilfellet oppnås et system av m - ligninger med m - ukjente, hvorfra ukjente koeffisienter er funnet.

3. kombinert metode.

Eksempel 5. Utvid en brøk til det enkleste.

Løsning:

Finn koeffisientene A og B.

1 vei – metode for privat verdi:

Metode 2 - metoden for usikre koeffisienter:

Svar:

Integrasjon av rasjonelle brøker.

Teorem 6. Det ubestemte integralet av enhver rasjonell brøk på ethvert intervall der dens nevner ikke er lik null eksisterer og uttrykkes i form av elementære funksjoner, nemlig rasjonelle brøker, logaritmer og arctangenser.

Bevis.

Vi representerer en rasjonell brøk i formen: . Dessuten er det siste leddet en egenbrøk, og ved teorem 5 kan det representeres som en lineær kombinasjon av enkle brøker. Dermed reduseres integrering av en rasjonell brøk til å integrere et polynom S(x) og de enkleste fraksjonene, hvis antiderivater, som det ble vist, har formen som er angitt i teoremet.

Kommentar. Hovedvanskeligheten i dette tilfellet er dekomponeringen av nevneren i faktorer, det vil si søket etter alle dens røtter.

Eksempel 1. Finn integralet