Studerer algebraisk materiale i barneskolen. Algebraisk materiale i det innledende matematikkkurset

I «Obligatorisk minimumsinnhold grunnskoleutdanning"Av utdanningsfeltet"Matematikk", studiet av algebraisk materiale, som tidligere var tilfellet, er ikke identifisert som en egen fagdidaktisk enhet obligatorisk studium. Denne delen av dokumentet bemerker kort at det er nødvendig å "gi kunnskap om numeriske og alfabetiske uttrykk, deres betydninger og forskjellene mellom disse uttrykkene." I "Krav til kvaliteten på utdannet opplæring" kan du bare finne en kort setning av vag betydning "å lære hvordan man beregner den ukjente komponenten av en aritmetisk operasjon." Spørsmålet om hvordan man lærer "beregne en ukjent komponent" bør avgjøres av forfatteren av programmet eller opplæringsteknologien.

La oss vurdere hvordan begrepene "uttrykk", "likhet", "ulikhet", "likning" karakteriseres og hva er metodikken for å studere dem i ulike metodiske undervisningssystemer

7.1. Uttrykk og deres typer...
i matematikkkurs

grunnskole

Uttrykk er en matematisk notasjon som består av tall representert med bokstaver eller tall forbundet med tegn aritmetiske operasjoner. Et enkelt tall er også et uttrykk. Et uttrykk der alle tall er angitt med sifre kalles numerisk uttrykk.

Hvis vi utfører de angitte handlingene i numerisk uttrykk, vil vi få et nummer kalt betydningen av uttrykket.

Uttrykk kan klassifiseres etter antall aritmetiske operasjoner som brukes når du skriver uttrykk, og etter metoden for notasjon av tall. I henhold til det første grunnlaget er uttrykk delt inn i grupper: elementære (som ikke inneholder et aritmetisk operasjonstegn), enkle (ett regneoperasjonstegn) og sammensatte (mer enn ett aritmetisk operasjonstegn) uttrykk. I henhold til den andre basen skilles det mellom numeriske (tall skrives i tall) og alfabetiske (minst ett tall eller alle tall er angitt med bokstaver) uttrykk.

En matematisk notasjon, som i matematikk vanligvis kalles et uttrykk, må skilles fra andre typer notasjoner.

Eksempel eller beregningsøvelse kalt en registrering av et uttrykk sammen med kravet til dets evaluering.

5+3 er et uttrykk, 8 er dets betydning

5+3= regneøvelse (eksempel),

8- resultat av beregningsøvelse (eksempel)

Avhengig av tegnet på den aritmetiske operasjonen som brukes til å skrive et enkelt uttrykk, deles enkle uttrykk inn i grupper av uttrykk med tegnet "+", "-," ","," ":." Disse uttrykkene har spesielle navn (2 + 3 - sum; 7 - 4 - forskjell; 7 × 2 - produkt; 6: 3 - kvotient) og allment aksepterte lesemåter som grunnskoleelever blir introdusert for.

Måter å lese uttrykk med et "+"-tegn:

25+17 – 25 pluss 17

25+17 – legg til 17 til 25

25+17 – 25 ja 17

25+17 – 25 og 17 til.

25+17 – summen av tallene tjuefem og sytten (summen av 25 og 17)

25+17 – 25 øker med 17

25+17 – 1. termin 25, 2. termin 17

Med opptak enkle uttrykk barn blir kjent når den tilsvarende matematiske operasjonen introduseres. For eksempel blir kjent med handlingen addisjon ledsaget av å skrive et uttrykk for tillegg av 2 + 1, og eksempler på de første formene for å lese disse uttrykkene er gitt her: "legg til en til to," "to og en," "to og en," "to pluss en." Andre formuleringer introduseres etter hvert som barn blir kjent med de aktuelle begrepene. Ved å studere navnene på komponentene i handlinger og deres resultater, lærer barn å lese et uttrykk ved å bruke disse navnene (det første leddet er 25, det andre er 17, eller summen av 25 og 17). Kjennskap til begrepene "øke med ...", "reduser med ..." lar deg introdusere en ny formulering for å lese uttrykk for addisjon og subtraksjon med disse begrepene "tjuefem økning med sytten", "tjuefem redusere med sytten" . Det samme gjøres med andre typer enkle uttrykk.

Barn blir kjent med begrepene «uttrykk» og «betydning av uttrykk» i en rekke utdanningssystemer («Russian School» og «Harmony») noe senere enn de lærer å skrive, regne og lese dem, ikke i alle, men i mange formuleringer. I andre programmer og utdanningssystemer (L.V. Zankovs system, "School 2000...", "School 2100"), kalles disse matematiske postene umiddelbart uttrykk, og dette ordet brukes i beregningsoppgaver.

Lære barn å lese uttrykk ulike formuleringer, vi introduserer dem til en verden av matematiske termer, gir dem muligheten til å lære det matematiske språket, regner ut betydningen av matematiske relasjoner, som utvilsomt forbedrer studentens matematiske kultur, fremmer bevisst assimilering mange matematiske begreper.

Ø «Gjør som jeg gjør»-teknikk. Riktig tale lærere, etter hvem barn gjentar ordlyden, er grunnlaget for literate matematisk tale skolebarn. En betydelig effekt oppnås ved å bruke teknikken for å sammenligne ordlyden som barn uttaler med en gitt modell. Det er nyttig å bruke en teknikk når læreren spesifikt tillater det talefeil, og barna retter ham.

Ø Gi flere uttrykk og tilby å lese disse uttrykkene på forskjellige måter. En elev leser uttrykket og de andre sjekker det. Det er nyttig å gi så mange uttrykk som barna kjenner til på dette tidspunktet.

Ø Læreren dikterer uttrykk på ulike måter, og barna skriver selv ned uttrykkene uten å regne på betydningen. Slike oppgaver er rettet mot å teste barns kunnskap om matematisk terminologi, nemlig evnen til å skrive ned uttrykk eller regneøvelser lest i ulike matematiske formuleringer.

Hvis en oppgave er satt som involverer å kontrollere utviklingen av en beregningsferdighet, er det nyttig å lese uttrykk eller beregningsøvelser bare i de formuleringene som er godt mestret, uten å bekymre seg for deres mangfold, og be barna om å skrive ned kun resultatene av beregningene , selve uttrykkene trenger ikke skrives ned.

Et uttrykk som består av flere enkle kalles kompositt.

Følgelig er et vesentlig trekk ved et sammensatt uttrykk dets sammensetning fra enkle uttrykk. Å bli kjent med et sammensatt uttrykk kan gjøres i henhold til følgende plan:

1. Gi et enkelt uttrykk og beregn verdien

(7 + 2 = 9), kall det først eller gitt.

2. Komponer det andre uttrykket slik at verdien av det første blir en komponent av det andre (9 - 3), kall dette uttrykket en fortsettelse for det første. Beregn verdien av det andre uttrykket (9 – 3 = 6).

3. Illustrer prosessen med å slå sammen det første og andre uttrykket, basert på manualen.

Håndboken er et rektangulært ark, som er delt i 5 deler og brettet som et trekkspill. Hver del av håndboken inneholder visse oppføringer:

7 + 2

— 3

= 6

Ved å skjule den andre og tredje delen av denne håndboken (fra det første uttrykket skjuler vi kravet til dets beregning og dets verdi, og i det andre skjuler vi svaret på spørsmålet til det første), får vi et sammensatt uttrykk og dets verdi ( 7 + 2-3 = 6). Vi gir den et navn - sammensatt (sammensatt av andre).

Vi illustrerer prosessen med å slå sammen andre uttrykkspar eller beregningsøvelser, med vekt på:

ü bare et par uttrykk kan kombineres til en sammensetning når verdien av ett av dem er en komponent av det andre;

ü verdien av fortsettelsesuttrykket faller sammen med verdien av det sammensatte uttrykket.

For å forsterke konseptet med et sammensatt uttrykk, er det nyttig å utføre to typer oppgaver.

1 type. Gitt et sett med enkle uttrykk, er det nødvendig å velge par fra dem der forholdet "verdien av en av dem er en komponent av den andre" er sann. Lag ett sammensatt uttrykk fra hvert par enkle uttrykk.

2. visning. Et sammensatt uttrykk er gitt. Det er nødvendig å skrive ned de enkle uttrykkene som den er sammensatt av.

Den beskrevne teknikken er nyttig av flere grunner:

§ Ved analogi kan vi introdusere begrepet et sammensatt problem;

§ det vesentlige ved et sammensatt uttrykk skiller seg tydeligere ut;

§ feil forhindres ved beregning av verdier sammensatte uttrykk;

§ Denne teknikken lar deg illustrere rollen til parenteser i sammensatte uttrykk.

Sammensatte uttrykk som inneholder tegnene "+", "-" og parentes studeres fra første klasse. Noen utdanningssystemer ("Russian School", "Harmony", "School 2000") sørger ikke for studiet av parentes i første klasse. De introduseres i andre klasse når de studerer egenskapene til aritmetiske operasjoner (kombinasjonsegenskapen til summer). Klammer er introdusert som tegn som man i matematikk kan vise rekkefølgen av handlinger med i uttrykk som inneholder mer enn én handling. I fremtiden blir barn kjent med sammensatte uttrykk som inneholder handlinger fra første og andre trinn med og uten parentes. Studiet av sammensatte uttrykk er ledsaget av studiet av regler for handlingsrekkefølgen i disse uttrykkene og måter å lese sammensatte uttrykk på.

Betydelig oppmerksomhet i alle programmer er viet til transformasjon av uttrykk, som utføres på grunnlag av de kombinatoriske egenskapene til sum og produkt, reglene for å trekke et tall fra en sum og en sum fra et tall, multiplisere en sum med en tall og å dele en sum på et tall. Etter vår mening er det i noen programmer ikke nok øvelser rettet mot å utvikle evnen til å lese sammensatte uttrykk, noe som naturligvis senere påvirker evnen til å løse ligninger på den andre måten (se nedenfor). I siste utgaver pedagogiske og metodiske komplekser i matematikk for primærklasser for alle programmer stor oppmerksomhet gis til oppgaver om å lage programmer og beregningsalgoritmer for sammensatte uttrykk i tre til ni trinn.

Uttrykk, der ett tall eller alle tall er angitt med bokstaver kalles alfabetisk (EN+ 6; (EN+V)× Med– bokstavelige uttrykk). Propedeutikk for innføring av bokstavuttrykk er uttrykk der ett av tallene er erstattet med prikker eller en tom firkant. Denne oppføringen kalles uttrykket "med et vindu" (+4 - uttrykk med et vindu).

Typiske oppgaver som inneholder bokstavuttrykk er oppgaver for å finne betydningen av uttrykk, forutsatt at bokstaven tar forskjellige betydninger fra en gitt verdiliste. (Kalkulere uttrykks betydninger EN+ V Og EN— V, Hvis EN= 42, V= 90 eller EN = 100, V= 230). For å beregne verdiene til bokstavelige uttrykk, blir de gitte verdiene til variablene vekselvis erstattet i uttrykkene og deretter fungert som med numeriske uttrykk.

Bokstavelige uttrykk kan brukes til å introdusere generaliserte registreringer av egenskapene til aritmetiske operasjoner, danne ideer om muligheten for variable verdier av handlingskomponenter og tillate barn å bringes til det sentrale matematiske konseptet "variabel mengde". I tillegg, ved hjelp av bokstavuttrykk, innser barn egenskapene til eksistensen av verdier av sum, forskjell, produkt, kvotient på settet med ikke-negative heltall. Altså i uttrykket EN+ V for alle verdier av variabler EN Og V du kan beregne verdien av summen, og verdien av uttrykket EN— V, kan kun beregnes på det angitte settet hvis V mindre enn eller lik EN. Analysere oppgaver rettet mot å etablere mulige begrensninger på verdier EN Og V i uttrykk EN V Og EN: V, etablerer barn egenskapene til eksistensen av verkets mening og betydningen av det spesielle i en alderstilpasset form.

Bokstavsymboler brukes som et middel til å generalisere barns kunnskap og ideer om kvantitative egenskaper gjenstander fra omverdenen og egenskapene til aritmetiske operasjoner. Den generaliserende rollen til bokstavsymboler gjør det til et veldig sterkt apparat for dannelse av generaliserte ideer og handlingsmetoder med matematisk innhold, noe som utvilsomt øker matematikkens evner i utvikling og dannelse abstrakte former tenker.

7.2. Studerer likheter og ulikheter i kurset

matematikere på grunnskolen

Sammenligning av tall og/eller uttrykk fører til fremveksten av nye matematiske begreper «likhet» og «ulikhet».

Likestilling de kaller en post som inneholder to uttrykk forbundet med tegnet "=" - lik (3 = 1 + 2; 8 + 2 = 7 + 3 - lik).

Ulikhet er en post som inneholder to uttrykk og et sammenligningstegn som indikerer "større enn" eller "mindre enn"-forholdet mellom disse uttrykkene

(3 < 5; 2+4 >2+3 - ulikheter).

Det er likheter og ulikheter sant og usant. Hvis verdiene til uttrykkene på venstre og høyre side av likheten faller sammen, anses likheten som sann hvis ikke, vil likheten være falsk. Følgelig: hvis sammenligningstegnet i notasjonen av en ulikhet korrekt indikerer forholdet mellom tall (elementære uttrykk) eller verdiene til uttrykk, så er ulikheten sann, ellers er ulikheten falsk.

De fleste oppgaver i matematikk innebærer å beregne betydningen av uttrykk. Hvis verdien av uttrykket blir funnet, kan uttrykket og dets verdi kobles med "lik"-tegnet, som vanligvis skrives som en likhet: 3+1=4. Hvis verdien av uttrykket ble beregnet riktig, kalles likheten sann hvis den er feil, så anses den skriftlige likheten som feil.

Barn blir introdusert for likestilling i første klasse samtidig med begrepet «uttrykk» i temaet «Tall på de ti første». Mestring av den symbolske modellen for utdanning for påfølgende og forrige dato, barn skriver likhetene 2 + 1 = 3 og 4 – 1 = 3. I fremtiden brukes likheter aktivt til å studere sammensetningen av ensifrede tall, og da er studiet av nesten alle emner i matematikkkurset i grunnskolen. knyttet til dette konseptet.

Spørsmålet om å introdusere begrepene "sann" og "falsk" likhet i ulike programmer er løst tvetydig. I "School 2000..."-systemet introduseres dette konseptet samtidig med registrering av likestilling, i "School of Russia" -systemet - når man studerer emnet "Sammensetning av ensifrede tall" i registrering av likheter "med et vindu” (+3 = 5; 3 + = 5). Ved å velge et tall som kan settes inn i vinduet, er barn overbevist om at i noen tilfeller er ligningene riktige og i andre feil. Det skal bemerkes at disse matematiske postene på den ene siden lar deg konsolidere sammensetningen av tall eller annet beregningsmateriale om emnet for leksjonen, på den annen side danner de en idé om en variabel og er forberedelser til å mestre konseptet "ligning".

I alle programmer brukes oftest to typer oppgaver knyttet til begrepene likhet og ulikhet, sanne og falske likheter og ulikheter:

· Gitt tall eller uttrykk, må du sette et tegn mellom dem slik at oppføringen blir riktig. For eksempel, "Sett tegn: "<», «>", "=" 7-5 ... 7-3; 6+4 ... 6+3".

· Gitt poster med et sammenligningstegn, må du erstatte tall i stedet for boksen for å få en sann likhet eller ulikhet. For eksempel "Velg tallene slik at oppføringene er riktige: > ; eller +2< +3».

Hvis to tall sammenlignes, rettferdiggjør barn valget av tegn basert på prinsippet om å konstruere en serie naturlige tall, betydningen av et tall eller dets sammensetning. Når man sammenligner to numeriske uttrykk eller et uttrykk med et tall, beregner barn verdiene til uttrykkene og sammenligner deretter verdiene deres, det vil si at de reduserer sammenligningen av uttrykk til sammenligningen av tall. I utdanningssystem"School of Russia" denne metoden er gitt i form av en regel: "Å sammenligne to uttrykk betyr å sammenligne deres betydninger." Barn utfører det samme settet med handlinger for å kontrollere at sammenligningen er korrekt. "Sjekk om ulikhetene er sanne:

42 + 6 > 47; 47 - 5 > 47 - 4".

Den største utviklingseffekten oppnås ved oppgaver som krever at du setter et sammenligningstegn (eller sjekker om sammenligningstegnet er satt riktig) uten å beregne verdiene til datauttrykk i venstre og riktige deler ulikhet (likestilling). I dette tilfellet må barn sette et sammenligningstegn, basert på de identifiserte matematiske mønstrene.

Formen oppgaven presenteres i og metodene for å gjennomføre den varierer både innenfor ett program og på tvers av ulike programmer.

Tradisjonelt, når man bestemmer seg ulikheter med variabel to metoder ble brukt: seleksjonsmetoden og reduksjonsmetoden.

Første vei kalles seleksjonsmetoden, som fullt ut gjenspeiler handlingene som utføres av barnet når den bruker den. Med denne metoden er ikke verdien kjent nummer velges enten fra et vilkårlig sett med tall eller fra et gitt sett av dem. Etter hvert valg av en variabelverdi ( ukjent dato) riktigheten av valget kontrolleres. For å gjøre dette, erstattes den funnet verdien i den gitte ulikheten i stedet for det ukjente tallet. Verdien av venstre og høyre del av ulikheten beregnes (verdien av en av delene kan være et elementært uttrykk, dvs. et tall), og deretter sammenlignes verdien av venstre og høyre del av den resulterende ulikheten. Alle disse handlingene kan utføres muntlig eller med mellomberegninger nedskrevet.

Andre vei er det i notasjonen av ulikhet, i stedet for tegnet "<» или «>«Sett et likhetstegn og løs likestillingen på en måte kjent for barn. Deretter gjennomføres resonnement der barns kunnskap om endringer i resultatet av en handling avhengig av en endring i en av dens komponenter brukes og bestemmes gyldige verdier variabel.

For eksempel, "avgjør hvilke verdier som kan ta EN i ulikhet 12 - EN < 7». Решение и образец рассуждений:

La oss finne verdien EN, hvis 12 – EN= 7

· Jeg beregner ved å bruke regelen for å finne den ukjente subtrahenden: EN= 12 — 7, EN= 5.

· Jeg skal avklare svaret: når EN lik 5 ("roten av ligningen er lik 5" i Zankov og "School 2000..."-systemet), verdien av uttrykket 12 - 5 er lik 7, og vi må finne verdier av dette uttrykk som ville være mindre enn 7, noe som betyr at vi trenger å trekke fra tall større enn fem fra 12. Disse kan være tallene 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. (enn større antall vi trekker fra det samme tallet, altså mindre verdi forskjeller). Betyr, EN= 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. Verdier stor 12 variabel EN kan ikke akseptere, siden et større tall ikke kan trekkes fra et mindre (vi vet ikke hvordan man gjør det med mindre negative tall er lagt inn).

Et eksempel på en lignende oppgave fra en 3. klasse lærebok (1-4), forfattere: I.I. Arginskaya, E.I. Ivanovskaya:

nr. 224. «Løs ulikheter ved å bruke løsningen av de tilsvarende ligningene:

Til— 37 < 29, 75 — Med > 48, EN+ 44 < 91.

Sjekk løsningene dine: bytt inn i hver ulikhet flere tall større og mindre enn roten av den tilsvarende ligningen.

Komponer ulikhetene dine med ukjente tall, løs dem og sjekk løsningene du har funnet.

Tilby din fortsettelse av oppgaven."

Det skal bemerkes at en rekke teknologier og opplæringsprogrammer, styrker den logiske komponenten og betydelig overstiger standard innholdskrav matematikkundervisning V grunnskole, introduser begrepene:

Ø variabel verdi, variabel verdi;

Ø begrepet "utsagn" (sanne og usanne utsagn kalles utsagn (M3P)), "sanne og usanne utsagn";

Ø vurdere ligningssystemer (I.I. Arginskaya, E.I. Ivanovskaya).

7.3. Å studere likninger i et matematikkkurs

primærklasser

Likestilling inneholder variabel verdi, kalt ligning.Å løse en ligning betyr å finne en verdi av en variabel (et ukjent tall) der ligningen transformeres til en korrekt numerisk likhet. Verdien av variabelen som ligningen er transformert til en sann likhet kalles roten av ligningen.

I noen utdanningssystemer ("Russian School" og "Harmony") er ikke introduksjonen av konseptet "variabel" gitt. I dem behandles ligningen som en likhet som inneholder et ukjent tall. Og videre betyr å løse en ligning å finne et tall slik at når det erstattes med det ukjente, oppnås en sann likhet. Dette tallet kalles verdien av det ukjente eller løsningen på ligningen. Dermed brukes begrepet "løse en ligning" i to betydninger: som et tall (rot), når den erstattes med et ukjent tall, blir ligningen til en ekte likhet, og som prosessen med å løse selve ligningen.

De fleste grunnskoleprogrammer og -systemer lærer to måter å løse ligninger på.

Første vei kalles seleksjonsmetoden, som fullt ut gjenspeiler handlingene som utføres av barnet når den bruker den. Med denne metoden velges verdien av et ukjent tall enten fra et vilkårlig sett med tall eller fra et gitt sett av dem. Etter hvert valg av en verdi kontrolleres riktigheten av løsningen. Essensen av sjekken følger av definisjonen av ligningen og kommer ned til å utføre fire sammenhengende handlinger:

1. B gitt ligning Den funnet verdien erstattes med det ukjente tallet.

2. Verdien av venstre og høyre side av ligningen beregnes (verdien av en av delene kan være et elementært uttrykk, dvs. et tall).

3. Verdien av venstre og høyre side av den resulterende likheten sammenlignes.

4. Det trekkes en konklusjon om riktigheten eller ukorrektheten av den resulterende likheten og videre om det funnet tallet er en løsning (rot) av ligningen.

Først utføres bare den første handlingen, og resten blir sagt opp. Denne verifiseringsalgoritmen beholdes for hver metode for å løse ligningen.

En rekke treningssystemer ("School 2000", treningssystem til D.B. Elkonin - V.V. Davydov) for å løse enkle ligninger bruke forholdet mellom del og helhet.

8 + X=10; 8 og X - deler; 10 er en helhet. For å finne en del kan du trekke den kjente delen fra helheten: X= 10 — 8; X= 2.

I disse treningssystemene, selv på stadiet med å løse ligninger ved hjelp av seleksjonsmetoden, introduseres konseptet "roten til en ligning" i talepraksis, og selve løsningsmetoden kalles å løse en ligning ved å bruke "utvalg av røtter."

Andre vei løsning av ligningen er basert på forholdet mellom resultatet og komponentene i handlingen. Fra denne avhengigheten følger regelen for å finne en av komponentene. For eksempel høres forholdet mellom verdien av en sum og ett av begrepene slik ut: "hvis du trekker ett av dem fra verdien av summen av to ledd, får du et annet ledd." Fra denne avhengigheten følger regelen for å finne et av begrepene: «å finne ukjent begrep, er det nødvendig å trekke det kjente leddet fra verdien av summen." Når man løser en ligning, resonnerer barn slik:

Oppgave: Løs ligning 8 + X= 11.

Det andre leddet i denne ligningen er ukjent. Vi vet at for å finne det andre leddet må vi trekke det første leddet fra sumverdien. Dette betyr at vi må trekke 8 fra 11. Jeg skriver ned: X= 11 – 8. Jeg regner, 11 minus 8 er lik 3, skriver jeg X= 3.

Den komplette løsningen med verifisering vil se slik ut:

8 + X = 11

X = 11 — 8

X = 3

Ved å bruke metoden nevnt ovenfor løses likninger med to eller flere handlinger med og uten parentes. I dette tilfellet må du bestemme rekkefølgen av handlinger i et sammensatt uttrykk, og ved å navngi komponentene i et sammensatt uttrykk basert på den siste handlingen, bør du markere det ukjente, som igjen kan være et uttrykk for addisjon, subtraksjon, multiplikasjon eller divisjon (uttrykt som en sum, differanse, produkt eller kvotient) . Deretter brukes en regel for å finne den ukjente komponenten, uttrykt som en sum, forskjell, produkt eller kvotient, og tar hensyn til navnene på komponentene fra den siste handlingen i det sammensatte uttrykket. Ved å utføre beregninger i samsvar med denne regelen oppnås en enkel ligning (eller igjen en sammensatt hvis uttrykket opprinnelig hadde tre eller flere handlingstegn). Løsningen utføres i henhold til algoritmen som allerede er beskrevet ovenfor. Tenk på følgende oppgave.

Løs ligningen ( X + 2) : 3 = 8.

I denne ligningen er utbyttet uttrykt ved summen av tall ukjent X og 2. (I samsvar med reglene for handlingsrekkefølgen i uttrykket utføres delingshandlingen sist).

For å finne det ukjente utbyttet, kan du multiplisere kvoteverdien med divisoren: X+ 2 = 8 × 3

Vi beregner verdien av uttrykket til høyre for likhetstegnet, vi får: X+ 2 = 24.

Hele oppføringen ser slik ut: ( X+ 2) : 3 = 8

X+ 2 = 8 × 3

X+ 2 = 24

X = 24 — 2

Sjekk: (22 + 2): 3 = 8

I utdanningssystemet «Skole 2000...» er det på grunn av den utbredte bruken av algoritmer og deres typer gitt en algoritme (blokkdiagram) for å løse slike ligninger (se diagram 3).

Den andre metoden for å løse ligninger er ganske tungvint, spesielt for sammensatte ligninger, der regelen for forholdet mellom komponentene og resultatet av handlingen brukes gjentatte ganger. I denne forbindelse inkluderer mange forfattere av programmer (systemer "School of Russia", "Harmony") ikke kjennskap til ligninger i det hele tatt i grunnskolens læreplan kompleks struktur eller de introduseres i slutten av fjerde klasse.

Disse systemene er hovedsakelig begrenset til studiet av ligninger av følgende typer:

X+ 2 = 6; 5 + X= 8 - ligninger for å finne det ukjente leddet;

X – 2 = 6; 5 – X= 3 - ligninger for å finne henholdsvis den ukjente minuend og subtrahend;

X× 5 = 20,5 × X= 35 - ligninger for å finne en ukjent faktor;

X: 3 = 8, 6: X= 2 - ligninger for å finne henholdsvis ukjent utbytte og divisor.

X x 3 = 45 - 21; X x (63 - 58) = 20; (58 - 40): X= (2 × 3) - ligninger der ett eller to tall inkludert i ligningen er representert med et numerisk uttrykk. Metoden for å løse disse ligningene kommer ned til å beregne verdiene til disse uttrykkene, hvoretter ligningen har form av en av de enkle ligningene av de ovennevnte typene.

En rekke programmer for undervisning i matematikk i grunnskoleklasser (utdanningssystemet til L.V. Zankova og "School 2000...") øver på å introdusere barn for mer komplekse ligninger, der regelen for forholdet mellom komponentene og resultatet av handlingen må brukes gjentatte ganger og ofte krever implementering av handlinger for å transformere en av delene av ligningen basert på egenskapene til matematiske handlinger. For eksempel, i disse programmene tilbys elever i tredje klasse følgende ligninger å løse:

3× X — (20 + X) = 70 eller 2 × X– 8 + 5 × X= 97.

I matematikk er det også tredje veiå løse likninger, som er basert på teoremer om ekvivalens av likninger og konsekvenser fra dem. For eksempel lyder en av teoremene om ekvivalens av ligninger i en forenklet formulering slik: «Hvis begge sider av en ligning med et definisjonsdomene X legg til det samme uttrykket med en variabel definert på samme sett, så får vi en ny ligning som tilsvarer den gitte."

Korollarer følger av denne teoremet, som brukes til å løse ligninger.

Konsekvens 1. Hvis vi legger til samme tall på begge sider av ligningen, får vi en ny ligning tilsvarende den gitte.

Konsekvens 2. Hvis et av leddene (et numerisk uttrykk eller et uttrykk med en variabel) i en likning overføres fra en del til en annen, og endrer begrepets fortegn til det motsatte, får vi en likning tilsvarende den gitte. .

Dermed reduseres prosessen med å løse ligningen til å erstatte gitt ligning, ekvivalent, og denne utskiftingen (transformasjonen) kan bare utføres under hensyntagen til teoremer om ekvivalens av ligninger eller konsekvenser fra dem.

Denne metoden for å løse ligninger er universell; barn blir introdusert for den i L.V.s utdanningssystem. Zankov og på videregående.

Metodikken for å jobbe med ligninger har akkumulert stort antall kreative oppgaver :

· å velge ligninger for et gitt kriterium fra en rekke foreslåtte;

· å sammenligne ligninger og metoder for å løse dem;

· å komponere ligninger ved å bruke gitte tall;

· å endre et av de kjente tallene i ligningen slik at verdien av variabelen blir større (mindre) enn den opprinnelig funnet verdien;

· for å velge et kjent tall i en ligning;

· å kompilere løsningsalgoritmer basert på blokkdiagrammer for å løse ligninger eller uten dem;

· utarbeide likninger basert på oppgavetekster.

Det skal bemerkes at i moderne lærebøker Det er en tendens til å introdusere materiale på et konseptuelt nivå. For eksempel er hvert av konseptene ovenfor gitt en detaljert definisjon som gjenspeiler dets essensielle egenskaper. Imidlertid oppfyller ikke alle definisjoner man møter kravene til det vitenskapelige prinsippet. For eksempel tolkes begrepet "uttrykk" i en av matematikkbøkene for grunnkarakterer som følger: "En matematisk notasjon av aritmetiske operasjoner som ikke inneholder tegnene større enn, mindre enn eller lik kalles et uttrykk" (utdanningssystemet "Skolen 2000"). Merk at i i dette tilfellet definisjonen er satt opp feil, siden den beskriver noe som ikke står i journalen, men det er ikke kjent hva som står der. Dette er en ganske typisk unøyaktighet som er laget i definisjonen.

Merk at begrepsdefinisjoner ikke gis umiddelbart, dvs. ikke ved første bekjentskap, men i en forsinket tid, etter at barna ble kjent med den tilsvarende matematiske notasjonen og lærte å operere med den. Definisjoner er oftest gitt implisitt, beskrivende.

Til referanse: I matematikk forekommer de som eksplisitt og implisitt definisjoner av begreper. Mellom åpenbar definisjoner er mest vanlige definisjoner gjennom nærmeste slekts- og artsforskjell. (En ligning er en likhet som inneholder en variabel.) Implisitte definisjoner kan deles inn i to typer: kontekstuelle og ostensive. I kontekstuelle definisjoner avsløres innholdet i et nytt konsept gjennom en tekstpassasje, gjennom en analyse av en spesifikk situasjon.

For eksempel: 3 + X= 9. X- et ukjent nummer som må finnes.

Ostensive definisjoner brukes til å introdusere begreper ved å demonstrere objektene som begrepene betegner. Derfor kalles disse definisjonene også definisjoner ved demonstrasjon. For eksempel er begrepene likhet og ulikhet definert på denne måten i grunnskolen.

2 + 7 > 2 + 6 9 + 3 = 12

78 — 9 < 78 6 × 4 = 4 × 6

ulikhet i likhet

7.4. Rekkefølge for utførelse av handlinger i uttrykk

Våre observasjoner og analyser student jobber viser at studiet av denne innholdslinjen er ledsaget av følgende typer skolebarns feil:

· Kan ikke bruke prosedyreregelen korrekt;

· Feil tall er valgt for å utføre handlingen.

For eksempel, i uttrykket 62 + 30: (18 - 3) utføres handlingene i følgende rekkefølge:

62 + 30 = 92 eller så: 18 – 3 = 15

18 — 3 = 15 30: 15 = 2

30: 15 = 2 62 + 30 = 92

Basert på data om typiske feil, som oppstår hos skolebarn, kan vi skille to hovedhandlinger som bør dannes i prosessen med å studere denne innholdslinjen:

1) handlingen for å bestemme rekkefølgen for å utføre aritmetiske operasjoner i numeriske termer;

2) handlingen med å velge tall for å beregne verdiene for mellomliggende matematiske operasjoner.

I grunnskolekurs i matematikk er reglene for handlingsrekkefølgen tradisjonelt formulert slik.

Regel 1. I uttrykk uten parentes som kun inneholder addisjon og subtraksjon eller multiplikasjon og divisjon, utføres operasjonene i den rekkefølgen de er skrevet: fra venstre til høyre.

Regel 2. I uttrykk uten parentes utføres multiplikasjon eller divisjon først, i rekkefølge fra venstre mot høyre, og deretter addisjon eller subtraksjon.

Regel 3. I uttrykk med parentes vurderes først verdien av uttrykkene i parentes. Deretter, i rekkefølge fra venstre til høyre, utføres multiplikasjon eller divisjon, og deretter addisjon eller subtraksjon.

Hver av disse reglene er fokusert på en bestemt type uttrykk:

1) uttrykk uten parentes, som bare inneholder handlinger av ett trinn;

2) uttrykk uten parentes som inneholder handlinger fra første og andre trinn;

3) uttrykk med parenteser som inneholder handlinger fra både første og andre trinn.

Med denne logikken med å introdusere regler og sekvensen av deres studie, vil de ovennevnte handlingene bestå av operasjonene som er oppført nedenfor, og mestring av disse sikrer assimilering av dette materialet:

§ gjenkjenne strukturen til uttrykket og gi navn til hvilken type det tilhører;

§ korrelere dette uttrykket med regelen som må følges ved beregning av verdien;

§ etablere en prosedyre i samsvar med regelen;

§ riktig velg tallene for å utføre neste handling;

§ utføre beregninger.

Disse reglene er introdusert i tredje klasse som en generalisering for å bestemme rekkefølgen av handlinger i uttrykk for ulike strukturer. Det skal bemerkes at før de lærte disse reglene, hadde barn allerede møtt uttrykk med parentes. I første og andre klasse, når de studerer egenskapene til aritmetiske operasjoner (den kombinatoriske egenskapen til addisjon, den distributive egenskapen til multiplikasjon og divisjon), er de i stand til å beregne verdiene til uttrykk som inneholder handlinger på ett nivå, dvs. de er kjent med regel nr. 1. Siden det er introdusert tre regler, som gjenspeiler handlingsrekkefølgen i uttrykk av tre typer, er det først og fremst nødvendig å lære barn å identifisere ulike uttrykk med tanke på funksjonene som hver regel er fokusert på.

I utdanningssystemet "Harmony"» Hovedrollen i å studere dette emnet spilles av et system med passende utvalgte øvelser, der barna lærer generell metode bestemme rekkefølgen av handlinger i uttrykk for ulike strukturer. Det skal bemerkes at forfatteren av matematikkprogrammet i dette systemet veldig logisk bygger en metodikk for å introdusere regler for handlingsrekkefølgen, konsekvent tilbyr barn øvelser for å praktisere operasjonene som er en del av de ovennevnte handlingene. De vanligste oppgavene er:

ü sammenligning av uttrykk og påfølgende identifikasjon av tegn på likhet og forskjell i dem (likhetstegnet gjenspeiler typen uttrykk, fra synspunktet om dets orientering til regelen);

ü å klassifisere uttrykk i henhold til et gitt kriterium;

ü å velge uttrykk med gitte egenskaper;

ü å konstruere uttrykk i henhold til en gitt regel (betingelse);

ü å anvende regelen i ulike uttrykksmodeller (symbolsk, skjematisk, grafisk);

ü å utarbeide en plan eller flytskjema for gjennomføring av handlinger;

ü å plassere parenteser i et uttrykk for en gitt verdi;

ü for å bestemme rekkefølgen av handlinger i et uttrykk gitt dens beregnede verdi.

I systemer "Skole 2000..." Og « Grunnskole XXI århundre" En litt annen tilnærming til å studere rekkefølgen av handlinger i sammensatte uttrykk er foreslått. I denne tilnærmingen er det fokus på elevenes forståelse av strukturen i et uttrykk. Det viktigste pedagogisk handling dette innebærer å velge flere deler i et sammensatt uttrykk (splitte uttrykket i deler). I prosessen med å beregne verdiene til sammensatte uttrykk bruker elevene arbeidsregler:

1. Hvis uttrykket inneholder parenteser, er det delt inn i deler slik at den ene delen er forbundet med den andre ved handlingene til det første trinnet (pluss- og minustegn), ikke omsluttet av parentes, finn verdien av hver del, og deretter utføres handlingene til det første trinnet i rekkefølge - fra venstre til høyre.

2. Hvis uttrykket ikke inneholder handlinger fra det første trinnet som ikke er omsluttet av parentes, men det er handlinger av multiplikasjon og divisjon som ikke er omsluttet av parentes, så er uttrykket delt inn i deler, med fokus på disse tegnene.

Disse reglene lar deg beregne verdiene til uttrykk som inneholder et stort antall aritmetiske operasjoner.

La oss se på et eksempel.

Ved å bruke pluss- og minustegn som ikke er omsluttet av parentes, deler vi uttrykket inn i deler: fra begynnelsen til det første tegnet (minus), ikke omsluttet av parentes, deretter fra dette tegnet til det neste (pluss) og fra plusstegnet til slutt.

3 40 – 20 (60 – 55) + 81: (36: 4)

Det viste seg å være tre deler:

Del 1 – 3 40

Del 2 – 20 · (60 – 55)

og 3. del 81: (36:4).

Finn verdien av hver del:

1) 3 40 = 120 2) 60 — 55 = 5 3) 36: 4 = 9 4) 120 -100 = 20

20 5 = 100 81: 9 = 9 20 + 9 = 29

Svar: Verdien av uttrykket er 29.

Formålet med seminarene langs denne innholdslinjen

· abstrakte og oversiktsartikler (manualer) av didaktiske, pedagogiske og psykologisk innhold;

· kompilere en fil for rapporten for å studere et spesifikt emne;

· utføre logisk og didaktisk analyse av skolebøker, pedagogiske sett, samt analyse av implementeringen i lærebøker av en viss matematisk idé, linje;

· velge oppgaver for undervisningsbegreper, underbyggelse av matematiske utsagn, dannelse av en regel eller konstruksjon av en algoritme.

Selvstudieoppgaver

Leksjonens tema. Kjennetegn ved begrepene "uttrykk", "likhet", "ulikhet", "ligning" og metoder for å studere dem i ulike metodologiske

Forelesning 8. Metoder for å studere algebraisk materiale.

Forelesning 7. Begrepet omkretsen til en polygon

1. Metodikk for å vurdere elementene i algebra.

2. Numeriske likheter og ulikheter.

3. Forbereder seg på å bli kjent med variabelen. Elementer av bokstavsymboler.

4. Ulikheter med en variabel.

5. Ligning

1. Innføringen av algebraelementer i det innledende matematikkurset gjør det mulig, helt fra begynnelsen av opplæringen, å utføre systematisk arbeid rettet mot å utvikle så viktige matematiske begreper hos barn som: uttrykk, likhet, ulikhet, likning. Å bli kjent med bruken av en bokstav som et symbol som angir et hvilket som helst tall fra tallfeltet kjent for barn, skaper forutsetninger for å generalisere mange til innledende kurs spørsmål aritmetisk teori, er en god forberedelse til å introdusere barn for konsepter i fremtiden. funksjonsvariabel. Tidligere kjent med bruken av den algebraiske metoden for å løse problemer gjør det mulig å gjøre alvorlige forbedringer i hele systemet for å lære barn å løse en rekke ordproblemer.

Oppgaver: 1. Utvikle elevenes evne til å lese, skrive og sammenligne numeriske uttrykk.2. Introduser elevene til reglene for å utføre handlingsrekkefølgen i numeriske uttrykk og utvikle evnen til å beregne verdiene til uttrykk i samsvar med disse reglene.3. Å utvikle hos elevene evnen til å lese, skrive bokstavuttrykk og beregne deres betydninger gitt bokstavenes betydning.4. Å gjøre studentene kjent med ligninger av 1. grad, som inneholder handlingene fra første og andre trinn, for å utvikle evnen til å løse dem ved hjelp av seleksjonsmetoden, samt på grunnlag av kunnskap om forholdet mellom m/y-komponenter og resultat av aritmetiske operasjoner.

Grunnskoleopplegget legger opp til å introdusere elevene til bruk av bokstavsymboler, løsninger elementære ligninger første grad med en ukjent og bruke dem på problemer i én handling. Disse spørsmålene studeres i nær forbindelse med aritmetisk materiale, som bidrar til dannelsen av tall og regneoperasjoner.

Fra de første dagene av opplæringen starter arbeidet med å utvikle begrepene likestilling blant elevene. Til å begynne med lærer barn å sammenligne mange objekter, å utjevne ulike grupper og forvandle like grupper til ulike. Allerede når man studerer et dusin tall, introduseres sammenligningsøvelser. Først utføres de med støtte på gjenstander.

Uttrykksbegrepet er dannet av ungdomsskolebarn i nær sammenheng med begrepene aritmetiske operasjoner. Metodikken for å arbeide med uttrykk involverer to stadier. Ved 1 dannes konseptet med de enkleste uttrykkene (sum, forskjell, produkt, kvotient av to tall), og ved 2 om komplekse uttrykk (summen av et produkt og et tall, forskjellen av to kvotienter, etc.) . Begrepene "matematisk uttrykk" og "verdien av et matematisk uttrykk" (uten definisjoner) introduseres. Etter å ha registrert flere eksempler i én aktivitet, informerer læreren om at disse eksemplene ellers kalles metamatematiske uttrykk. Når man studerer regneoperasjoner, er øvelser om å sammenligne uttrykk inkludert de er delt inn i 3 grupper; Studerer prosedyrereglene. Mål på på dette stadiet- stole på studentenes praktiske ferdigheter, trekke oppmerksomheten deres til rekkefølgen for å utføre handlinger i slike uttrykk og formulere den tilsvarende regelen. Elevene løser selvstendig eksempler valgt av læreren og forklarer rekkefølgen de utførte handlingene i hvert eksempel. Deretter formulerer de konklusjonen selv eller leser den fra en lærebok. En identisk transformasjon av et uttrykk er erstatning av et gitt uttrykk med et annet hvis verdi er lik verdien av det gitte uttrykket. Elever utfører slike transformasjoner av uttrykk, og stoler på egenskapene til aritmetiske operasjoner og konsekvensene som oppstår av dem (hvordan legge en sum til et tall, hvordan trekke et tall fra en sum, hvordan multiplisere et tall med et produkt, etc. ). Når man studerer hver egenskap, blir studentene overbevist om at i uttrykk av en bestemt type kan handlinger utføres på forskjellige måter, men betydningen av uttrykket endres ikke.

2. Numeriske uttrykk betraktes helt fra begynnelsen i uløselig sammenheng med numeriske lik og ulik. Numeriske likheter og ulikheter er delt inn i "sant" og "uriktig". Oppgaver: sammenligne tall, sammenligne aritmetiske uttrykk, løse enkle ulikheter med en ukjent, gå fra ulikhet til likhet og fra likhet til ulikhet

1. En øvelse som tar sikte på å klargjøre elevenes kunnskap om regneoperasjoner og deres anvendelse. Ved introduksjon av elevene til regneoperasjoner sammenlignes uttrykk på formen 5+3 og 5-3; 8*2 og 8/2. Uttrykkene sammenlignes først ved å finne verdiene til hver og sammenligne de resulterende tallene. I fremtiden utføres oppgaven basert på det faktum at summen av to tall er større enn forskjellen deres, og produktet er større enn kvotienten deres; beregningen brukes kun til å kontrollere resultatet. En sammenligning av uttrykk på formen 7+7+7 og 7*3 er utført for å konsolidere elevenes kunnskap om sammenhengen mellom addisjon og multiplikasjon.

I løpet av sammenligningsprosessen blir elevene kjent med rekkefølgen for å utføre aritmetiske operasjoner. Først vurderer vi uttrykk som inneholder parenteser av formen 16 - (1+6).

2. Etter dette vurderes rekkefølgen av handlinger i uttrykk uten parentes som inneholder handlinger på én og to grader. Elevene lærer disse betydningene når de fullfører eksemplene. Først vurderes handlingsrekkefølgen i uttrykk som inneholder handlinger på ett nivå, for eksempel: 23 + 7 - 4, 70: 7 * 3. Samtidig må barn lære at hvis uttrykk bare inneholder addisjon og subtraksjon eller bare multiplikasjon og deling, så blir de utført i den rekkefølgen de er skrevet. Deretter introduseres uttrykk som inneholder handlinger fra begge stadier. Elevene blir informert om at de i slike uttrykk først må utføre multiplikasjons- og divisjonsoperasjonene i rekkefølge, og deretter addisjon og subtraksjon, for eksempel: 21/3+4*2=7+8=15; 16+5*4=16+20=36. For å overbevise elevene om den ekstreme viktigheten av å følge handlingsrekkefølgen, er det nyttig å utføre dem i samme uttrykk i en annen rekkefølge og sammenligne resultatene.

3. Øvelser der elevene lærer og konsoliderer kunnskap om sammenhengen mellom komponentene og resultatene av regneoperasjoner. Οʜᴎ er inkludert allerede når man studerer tallene ti.

I denne øvelsesgruppen blir studentene kjent med tilfeller av endringer i resultater av handlinger basert på endring i en av komponentene. Uttrykk der ett av leddene endres (6+3 og 6+4) eller reduseres med 8-2 og 9-2 osv. sammenlignes. Lignende oppgaver inngår også når man studerer tabellmultiplikasjon og divisjon og utføres ved hjelp av beregninger (5*3 og 6*3, 16:2 og 18:2) etc. I fremtiden kan du sammenligne disse uttrykkene uten å stole på beregninger.

Øvelsene som vurderes er nært knyttet til programmaterialet og bidrar til assimilering av det. Sammen med dette, i prosessen med å sammenligne tall og uttrykk, får elevene de første ideene om likhet og ulikhet.

Så i 1. klasse, der begrepene "likhet" og "ulikhet" ennå ikke er brukt, kan læreren, når han sjekker riktigheten av beregningene utført av barna, stille spørsmål i følgende form: "Kolya la til åtte til seks og fikk 15. Er denne løsningen riktig eller feil?», eller foreslå for barn, øvelser der du må sjekke løsningen på gitte eksempler, finne de riktige oppføringene osv. Tilsvarende når man vurderer numeriske ulikheter type 5<6,8>4 og mer komplekse, kan læreren stille et spørsmål i følgende form: "Er disse postene korrekte?", og etter å ha innført en ulikhet - "Er disse ulikhetene sanne?"

Fra 1. klasse blir barna kjent med transformasjoner numeriske uttrykk, utført på grunnlag av anvendelsen av de studerte elementene i aritmetisk teori (nummerering, betydning av handlinger, etc.). For eksempel, basert på kunnskap om nummerering og plassverdien til tall, kan elevene representere et hvilket som helst tall som summen av stedsdelene. Denne ferdigheten brukes når man vurderer uttrykkstransformasjoner i forhold til uttrykket av mange beregningsteknikker.

I forbindelse med slike transformasjoner, allerede i første klasse, møter barn en "kjede" av likheter.

Forelesning 8. Metoder for å studere algebraisk materiale. - konsept og typer. Klassifisering og trekk ved kategorien "Forelesning 8. Metoder for å studere algebraisk materiale." 2017, 2018.

1.1. Generelle spørsmål metoder for å studere algebraisk materiale.

1.2.

Metoder for å studere numeriske uttrykk.

1.3.

Lære bokstavuttrykk.

1.4. Studie av numeriske likheter og ulikheter. 1.5.

Metoder for å studere ligninger.

Introduksjonen av algebraisk materiale i det innledende matematikkkurset gjør det mulig å forberede studentene på å studere de grunnleggende begrepene i moderne matematikk (variabler, ligninger, likhet, ulikhet, etc.), bidrar til generalisering av aritmetisk kunnskap, og dannelsen av funksjonell tenkning hos barn.

Grunnskoleelever skal få innledende informasjon om matematiske uttrykk, talllikheter og ulikheter, lære å løse ligninger gitt læreplan og enkle regneoppgaver ved å komponere en ligning ( teoretisk grunnlag velge en aritmetisk operasjon der forbindelsen mellom komponentene og resultatet av den tilsvarende aritmetiske operasjonen0.

Studiet av algebraisk materiale utføres i nær sammenheng med aritmetisk materiale.

1.2. Metodikk for å studere numeriske uttrykk

I matematikk forstås et uttrykk som en sekvens av matematiske symboler konstruert i henhold til visse regler, som angir tall og operasjoner på dem.

Uttrykk som: 6; 3+2; 8:4+(7-3) - numeriske uttrykk;

type: 8-a; 30:c; 5+(3+c) - bokstavelige uttrykk (uttrykk med en variabel).

Mål med å studere emnet

2) Gjør elevene kjent med reglene for rekkefølgen på utførelse av regneoperasjoner. 3) Lær å finne numeriske verdier

uttrykk.

4) Introduser identiske transformasjoner av uttrykk basert på egenskapene til aritmetiske operasjoner.

Løsningen på de tildelte oppgavene utføres gjennom alle år av grunnskoleopplæringen, fra de første dagene av barnets opphold på skolen.

Metodikken for å arbeide med numeriske uttrykk involverer tre stadier: på det første stadiet - dannelsen av konsepter om de enkleste uttrykkene (sum, forskjell, produkt, kvotient av to tall); på andre trinn - om uttrykk som inneholder to eller flere aritmetiske operasjoner på ett nivå;

på tredje trinn - om uttrykk som inneholder to eller flere aritmetiske operasjoner på forskjellige nivåer.

Elevene blir introdusert for de enkleste uttrykkene – sum og forskjell – i første klasse (iht. program 1-4) med produkt og kvotient på andre trinn (med begrepet «produkt» i 2. klasse, med begrepet «kvotient» i tredje klasse). La oss vurdere metodikken for å studere numeriske uttrykk. ordene "legg til", "trekk fra" (legg til 2 til 3). I fremtiden blir handlingsbegrepene dypere: elevene lærer at ved å legge til (trekke fra) flere enheter, øker (reduserer) vi antallet med samme antall enheter (leses: 3 øker med 2), så lærer barna navnet på handlingstegn "pluss" (lesing: 3 pluss 2), "minus".

I emnet "Addisjon og subtraksjon innen 20" blir barn introdusert for begrepene "sum" og "forskjell" som navn på matematiske uttrykk og som navnet på resultatet av de aritmetiske operasjonene for addisjon og subtraksjon.

La oss se på et fragment av leksjonen (2. klasse).

Fest 4 røde og 3 gule sirkler til brettet med vann:

ÅÅ ÅÅÅ

Hvor mange røde sirkler? (Skriv ned tallet 4.)

Hvor mange gule sirkler? (Skriv ned tallet 3.)

Hvilken handling må utføres på de skrevne tallene 3 og 4 for å finne ut hvor mange røde og hvor mange gule sirkler det er til sammen? (oppføringen vises: 4+3).

Fortell meg, uten å telle, hvor mange sirkler er det?

Et slikt uttrykk i matematikk, når det er et "+"-tegn mellom tallene, kalles en sum (La oss si sammen: sum) og leses slik: summen av fire og tre.

La oss nå finne ut hva summen av tallene 4 og 3 er lik (vi gir hele svaret).

Likeså om forskjellen.

Når du lærer addisjon og subtraksjon innenfor 10, uttrykk som består av 3 eller flere tall forbundet med samme og forskjellige tegn aritmetiske operasjoner: 3+1+2, 4-1-1, 7-4+3, etc. Ved å avsløre betydningen av slike uttrykk viser læreren hvordan de skal leses. Ved å beregne verdiene til disse uttrykkene, mestrer barn praktisk talt regelen om rekkefølgen av aritmetiske operasjoner i uttrykk uten parentes, selv om de ikke formulerer det: 10-3+2=7+2=9. Slike oppføringer er det første trinnet i å utføre identitetstransformasjoner.

Metoden for å gjøre deg kjent med uttrykk med parentes kan være forskjellig (Beskriv et fragment av leksjonen i notatboken, forbered deg på praktiske leksjoner).

Evnen til å komponere og finne betydningen av et uttrykk brukes av barn når de løser regneoppgaver samtidig, her oppstår videre beherskelse av uttrykksbegrepet, og den spesifikke betydningen av uttrykk i opptak av problemløsning tilegnes; .

Av interesse er typen arbeid foreslått av den latviske metodologen J.Ya. Mencis.

En tekst er gitt for eksempel slik: "Gutten hadde 24 rubler, kaken koster 6 rubler, godteriet koster 2 rubler," foreslås det:

a) komponer alle typer uttrykk basert på denne teksten og forklar hva de viser;

b) forklar hva uttrykkene viser:

2 klasser 3 karakterer

24-2 24-(6+2) 24:6 24-6 3

I klasse 3, sammen med uttrykkene som er diskutert tidligere, inkluderer de uttrykk som består av to enkle uttrykk (37+6)-(42+1), samt de som består av et tall og produktet eller kvotienten av to tall. For eksempel: 75-50:25+2. Der rekkefølgen handlingene utføres i ikke sammenfaller med rekkefølgen de ble skrevet i, brukes parentes: 16-6:(8-5). Barn må lære å lese og skrive disse uttrykkene riktig og finne betydningen deres.

Begrepene «uttrykk» og «uttrykksverdi» introduseres uten definisjoner. For å gjøre det lettere for barn å lese og finne betydningen av komplekse uttrykk, anbefaler metodologer å bruke et diagram som er samlet og brukt ved lesing av uttrykk:

1) Jeg avgjør hvilken handling som utføres sist.

2) Jeg skal tenke på hva tallene kalles når jeg utfører denne handlingen.

3) Jeg skal lese hvordan disse tallene kommer til uttrykk.

Reglene for rekkefølgen for å utføre handlinger i komplekse uttrykk studeres i 3. klasse, men barn bruker praktisk talt noen av dem i første og andre klasse.

Det første som skal vurderes er regelen om rekkefølgen av operasjoner i uttrykk uten parentes, når tall enten bare er addisjon og subtraksjon, eller multiplikasjon og divisjon (3. klasse). Målet med arbeidet på dette stadiet er å stole på de praktiske ferdighetene til studenter som er ervervet tidligere, å ta hensyn til rekkefølgen for å utføre handlinger i slike uttrykk og å formulere en regel.

Å lede barn til formuleringen av regelen og deres bevissthet om den kan være annerledes. Den viktigste avhengigheten er på eksisterende erfaring, størst mulig uavhengighet, skape en situasjon med søk og oppdagelse, bevis.

Kan brukes metodisk teknikk Sh.A.

Amonashvili «lærerens feil».

For eksempel. Læreren rapporterer at når han fant betydningen av følgende uttrykk, fikk han svar som han er sikker på er riktige (svarene er lukket).

36:2 6=6 osv.

På samme måte kan du introdusere de gjenværende reglene for rekkefølgen av handlinger: når uttrykk uten parentes inneholder handlinger fra 1. og 2. trinn, i uttrykk med parentes.

Det er viktig at barn innser at endring av rekkefølgen for å utføre aritmetiske operasjoner fører til en endring i resultatet, og derfor bestemte matematikere seg for å bli enige og formulerte regler som må følges strengt.Å transformere et uttrykk er å erstatte et gitt uttrykk med et annet med samme numeriske verdi.

Elevene utfører slike transformasjoner av uttrykk, basert på egenskapene til aritmetiske operasjoner og konsekvenser fra dem (s. 249-250). Når man studerer hver eiendom, sørger studentene for at i uttrykkene bestemt type du kan utføre handlinger på forskjellige måter, men meningen med uttrykket er endres ikke. I fremtiden bruker elevene kunnskap om egenskapene til handlinger til å transformere gitte uttrykk til identiske uttrykk

76-(20 + 4) =76-20... (10 + 7) -5= 10-5...

60: (2 10) =60:10...

. For eksempel oppgaver som: fortsett opptak slik at "="-tegnet bevares: , Når de fullfører den første oppgaven, resonnerer elevene slik: til venstre, fra 76, trekk fra summen av tallene 20 og 4

til høyre, trekk 20 fra 76; for å få samme mengde til høyre som til venstre, må du også trekke 4 fra høyre Andre uttrykk transformeres på samme måte, dvs. etter å ha lest uttrykket, husker eleven den tilsvarende regelen. Og ved å utføre handlinger i henhold til regelen, mottar den et transformert uttrykk. For å sikre at transformasjonen er riktig, beregner barn verdiene til de gitte og transformerte uttrykkene og sammenligner dem. Bruke kunnskap om egenskapene til handlinger for å rettferdiggjøre beregningsmetoder,

studenter I-IV

klasser utfører transformasjoner av uttrykk som:

Elever i klasse II-IV transformerer uttrykk ikke bare på grunnlag av egenskapene til handlingen, men også på grunnlag av deres spesifikke betydning. For eksempel erstattes summen av identiske termer med produktet: (6 + 6 + 6 = 6 3, og omvendt: 9 4 = = 9 + 9 + 9 + 9).

Også basert på betydningen av multiplikasjonshandlingen, blir mer komplekse uttrykk transformert: 8 4 + 8 = 8 5, 7 6-7 = 7 5.

(65 + 30)-20 (20 + 4) 3

96 - (16 + 30) (40 + 24): 4

Basert på beregninger og analyse av spesielt utvalgte uttrykk, ledes elever i fjerde klasse til den konklusjon at hvis i uttrykk med parentes ikke parentes påvirker rekkefølgen av handlinger, så kan de utelates. Deretter, ved å bruke de studerte egenskapene til handlinger og regler for handlingsrekkefølgen, øver elevene på å transformere uttrykk med parentes til identiske uttrykk uten parentes. For eksempel foreslås det å skrive disse uttrykkene uten parentes slik at verdiene deres ikke endres:

Forelesning 7. Begrepet omkretsen til en polygon

1. Metodikk for å vurdere elementene i algebra.

2. Numeriske likheter og ulikheter.

3. Forbereder seg på å bli kjent med variabelen. Elementer av bokstavsymboler.

4. Ulikheter med en variabel.

5. Ligning

1. Dermed erstatter barn det første av de gitte uttrykkene med uttrykkene: 65 + 30-20, 65-20 + 30, og forklarer rekkefølgen for å utføre handlinger i dem. På denne måten er elevene overbevist om at betydningen av et uttrykk ikke endres ved endring av handlingsrekkefølgen bare hvis egenskapene til handlingene brukes.

Oppgaver: 1. Utvikle elevenes evne til å lese, skrive og sammenligne numeriske uttrykk.2. Introduser elevene til reglene for å utføre handlingsrekkefølgen i numeriske uttrykk og utvikle evnen til å beregne verdiene til uttrykk i samsvar med disse reglene.3. Å utvikle hos elevene evnen til å lese, skrive bokstavuttrykk og beregne deres betydninger gitt bokstavenes betydning.4. Å gjøre studentene kjent med ligninger av 1. grad, som inneholder handlingene fra første og andre trinn, for å utvikle evnen til å løse dem ved hjelp av seleksjonsmetoden, så vel som på grunnlag av kunnskap om forholdet mellom m / y-komponenter og resultat av aritmetiske operasjoner.

Grunnskoleprogrammet legger opp til å introdusere elevene til bruk av bokstavsymboler, løse elementære ligninger av første grad med en ukjent og bruke dem på problemer i ett trinn. Disse spørsmålene studeres i nær sammenheng med regnestoff, som bidrar til dannelse av tall og regneoperasjoner.

Uttrykksbegrepet dannes hos yngre skoleelever i nær sammenheng med begrepene regneoperasjoner. Metodikken for å arbeide med uttrykk involverer to stadier. Ved 1 dannes konseptet med de enkleste uttrykkene (sum, forskjell, produkt, kvotient av to tall), og ved 2 om komplekse uttrykk (summen av et produkt og et tall, forskjellen av to kvotienter, etc.) . Begrepene "matematisk uttrykk" og "verdien av et matematisk uttrykk" introduseres (uten definisjoner). Etter å ha registrert flere eksempler i én aktivitet, informerer læreren om at disse eksemplene ellers kalles metamatematiske uttrykk. Når man studerer regneoperasjoner, er øvelser om å sammenligne uttrykk inkludert de er delt inn i 3 grupper; Studerer prosedyrereglene. Målet på dette stadiet er, basert på studentenes praktiske ferdigheter, å rette oppmerksomheten mot rekkefølgen for å utføre handlinger i slike uttrykk og å formulere en passende regel. Elevene løser selvstendig eksempler valgt av læreren og forklarer i hvilken rekkefølge de utførte handlingene i hvert eksempel. Deretter formulerer de konklusjonen selv eller leser den fra en lærebok. En identisk transformasjon av et uttrykk er erstatning av et gitt uttrykk med et annet hvis verdi er lik verdien av det gitte uttrykket. Elever utfører slike transformasjoner av uttrykk, og stoler på egenskapene til aritmetiske operasjoner og konsekvensene som oppstår av dem (hvordan legge en sum til et tall, hvordan trekke et tall fra en sum, hvordan multiplisere et tall med et produkt, etc. ). Når man studerer hver egenskap, blir studentene overbevist om at i uttrykk av en bestemt type kan de utføre handlinger på forskjellige måter, men betydningen av uttrykket endres ikke.

2. Numeriske uttrykk betraktes helt fra begynnelsen i uløselig sammenheng med numeriske lik og ulik. Numeriske likheter og ulikheter er delt inn i "sant" og "usant". Oppgaver: sammenligne tall, sammenligne aritmetiske uttrykk, løse enkle ulikheter med en ukjent, gå fra ulikhet til likhet og fra likhet til ulikhet

I løpet av sammenligningsprosessen blir elevene kjent med rekkefølgen for å utføre aritmetiske operasjoner. Først vurderer vi uttrykk som inneholder parenteser av formen 16 - (1+6).

2. Etter dette vurderes rekkefølgen av handlinger i uttrykk uten parentes som inneholder handlinger på én og to grader. Elevene lærer disse betydningene når de fullfører eksemplene. Først vurderes handlingsrekkefølgen i uttrykk som inneholder handlinger på ett nivå, for eksempel: 23 + 7 - 4, 70: 7 * 3. Samtidig må barn lære at hvis uttrykk bare inneholder addisjon og subtraksjon eller bare multiplikasjon og deling, så utføres de i den rekkefølgen de ble skrevet ned i. Deretter introduseres uttrykk som inneholder handlingene til begge stadier. Elevene blir informert om at de i slike uttrykk først må utføre multiplikasjons- og divisjonsoperasjonene i rekkefølge, og deretter addisjon og subtraksjon, for eksempel: 21/3+4*2=7+8=15; 16+5*4=16+20=36. For å overbevise elevene om behovet for å følge rekkefølgen av handlinger, er det nyttig å utføre dem i samme uttrykk i en annen rekkefølge og sammenligne resultatene.

3. Øvelser der elevene lærer og konsoliderer kunnskap om sammenhengen mellom komponentene og resultatene av regneoperasjoner. De slår seg på allerede når de lærer tallene ti.

I denne øvelsesgruppen introduseres studentene for tilfeller der resultatene av handlinger endres avhengig av endring i en av komponentene. Uttrykk der ett av leddene endres (6+3 og 6+4) eller reduseres med 8-2 og 9-2 osv. sammenlignes. Lignende oppgaver inngår også når man studerer tabellmultiplikasjon og divisjon og utføres ved hjelp av beregninger (5*3 og 6*3, 16:2 og 18:2) etc. I fremtiden kan du sammenligne disse uttrykkene uten å stole på beregninger.

Så i klasse 1, der begrepene "likhet" og "ulikhet" ennå ikke er brukt, kan læreren, når han sjekker riktigheten av beregningene utført av barna, stille spørsmål i følgende form: "Kolya la til åtte til seks og fikk 15. Er denne avgjørelsen riktig eller feil?» , eller tilby barna øvelser der de trenger å sjekke løsningen på gitte eksempler, finne de riktige oppføringene osv. På samme måte, når man vurderer numeriske ulikheter i formen 5<6,8>4 og mer komplekse, kan læreren stille et spørsmål i følgende form: "Er disse oppføringene riktige?", og etter å ha introdusert en ulikhet, "Er disse ulikhetene riktige?"

Fra 1. klasse blir barn kjent med transformasjoner av numeriske uttrykk, som utføres på grunnlag av anvendelsen av de studerte elementene i aritmetisk teori (nummerering, betydningen av handlinger, etc.). For eksempel, basert på kunnskap om tall og plassverdien til tall, kan elevene representere et hvilket som helst tall som summen av stedsdelene. Denne ferdigheten brukes når man vurderer uttrykkstransformasjoner i forhold til uttrykket av mange beregningsteknikker.

I forbindelse med slike transformasjoner, allerede i første klasse, møter barn en "kjede" av likheter.

Det er enkelt å sende inn det gode arbeidet ditt til kunnskapsbasen. Bruk skjemaet nedenfor

Studenter, hovedfagsstudenter, unge forskere som bruker kunnskapsbasen i studiene og arbeidet vil være veldig takknemlige for deg.

Lagt ut på http://www.allbest.ru/

Metoder for å studere algebraisk materiale

Forelesning 1. Matematiske uttrykk

1.1 Lære begrepet "matematisk uttrykk"

Algebraisk materiale studeres med start fra klasse 1 i nær sammenheng med aritmetisk og geometrisk materiale. Innføringen av algebraelementer fremmer formidling av begreper om tall, aritmetiske operasjoner og matematiske sammenhenger, og forbereder samtidig barna til å studere algebra i påfølgende klassetrinn.

Hoved algebraiske begreper kurs er "likhet", "ulikhet", "uttrykk", ligning". Det finnes ingen definisjoner av disse begrepene i matematikkkurset i grunnskolen. Elevene forstår disse begrepene på idénivå i prosessen med å utføre spesielt utvalgte øvelser.

Matematikkprogrammet i klasse 1-4 gir barn mulighet til å lese og skrive magmatiske uttrykk: å gjøre dem kjent med reglene for handlingsrekkefølgen og lære dem å bruke dem i beregninger, for å gjøre elevene kjent med identiske transformasjoner av uttrykk.

Når du danner begrepet et matematisk uttrykk hos barn, er det nødvendig å ta hensyn til at handlingstegnet plassert mellom tallene har en dobbel betydning; på den ene siden betegner det en handling som må utføres på tall (for eksempel 6+4 - legg til 4); på den annen side tjener handlingstegnet til å angi uttrykket (6+4 er summen av tallene 6 og 4).

Metodikken for å arbeide med uttrykk involverer to stadier. Ved den første av dem dannes konseptet med enkle uttrykk (sum, forskjell, produkt, kvotient av to tall), og ved den andre - om komplekse (sum om, produkter og tall, forskjell av to kvotienter, etc.) .

Vi introduserer det første uttrykket - summen av to; tall oppstår i 1. klasse når man studerer addisjon og subtraksjon innen 10. Ved å utføre operasjoner på sett lærer barn først og fremst den spesifikke betydningen av addisjon og subtraksjon, derfor i oppføringer av formen 5+1, 6-2, de forstår tegn på handlinger som en kort betegnelse på ordene "legge til", "trekke fra". Dette gjenspeiles i avlesningen (legg til 1 til 5 er lik 6, trekk 2 fra 6 er lik 4). I fremtiden blir konseptene for disse handlingene dypere. Elevene lærer at å legge til noen få enheter øker et tall med samme antall enheter, og å trekke fra et tall reduseres det med samme antall enheter. Dette gjenspeiles også i ny form lese notater (4 økning med 2 tilsvarer 6, 7 redusering med 2 tilsvarer 5), Så lærer barna navnene på handlingstegnene: "pluss", "minus" og les eksempler, navngi handlingstegnene (4+2=6, 7-3 = 4),

Etter å ha blitt kjent med navnene på komponentene og resultatet av addisjon, bruker elevene begrepet "sum" for å referere til tallet som er resultatet av addisjon. Basert på barnas kunnskap om navn på tall i tillegg, forklarer læreren at i tilleggseksempler, kalles en post bestående av to tall forbundet med et plusstegn det samme som tallet på den andre siden av likhetstegnet (9 sum "6+3 er også en sum). Det er tydelig avbildet slik:

For at barn skal lære den nye betydningen av begrepet "sum" som navnet på et uttrykk, gis følgende øvelser: "Skriv ned summen av tallene 7 og 2, regn ut summen av tallene 3 og 4 er lik; les oppføringen (6 + 3), si hva summen er lik; erstatt tall med summen av tall (9= ?+?) , si hvilken som er størst, skriv den ned med et "større enn"-tegn og les oppføringen." I prosessen med slike øvelser innser elevene gradvis den doble betydningen av begrepet "sum": for å skrive ned summen av tall, må de være forbundet med et "pluss"-tegn; For å finne verdien av summen, må du legge til de gitte tallene.

Omtrent samme plan pågående arbeid over med følgende uttrykk: forskjellen, produkt og kvotient av to tall. Men nå introduseres hvert av disse begrepene umiddelbart både som navnet på uttrykket og som navnet på resultatet av handlingen. Evnen til å lese og skrive uttrykk og finne deres betydning ved hjelp av passende handling utvikles gjennom gjentatte øvelser som ligner på øvelser med summer.

Når du lærer addisjon og subtraksjon innen 10, uttrykk som består av tre eller flere tall forbundet med samme eller ulike tegn handlinger av skjemaet: 3+1+1, 4-1-1, 2+2+2. Ved å beregne betydningen av disse uttrykkene, mestrer barn i uttrykk regelen om rekkefølgen for å utføre Handlinger i uttrykk uten parentes, selv om de ikke formulerer den. Noe senere blir barn lært å transformere uttrykk i prosessen med beregninger: for eksempel: 7+5=3+5=8. Slike oppføringer er det første trinnet i å utføre identitetstransformasjoner.

Introduserer førsteklassinger for uttrykk for formen: 10 - (6+2), (7-4)+5, etc. forbereder dem til å studere reglene for å legge et tall til en sum, trekke et tall fra en sum osv., for å skrive ned løsninger på sammensatte problemer, og også bidra til en dypere forståelse av uttrykksbegrepet.

Metodikk for å introdusere elevene til uttrykk for formen: 10+(6-2), (7+4)+5, etc. forbereder dem til å studere reglene for å legge et tall til en sum, trekke et tall fra en sum osv., for å skrive ned løsninger på sammensatte problemer, og også bidra til en dypere forståelse av uttrykksbegrepet.

Metoden for å introdusere elevene til uttrykk på formen: 10+(6-2), (5+3) -1 kan være forskjellig. Du kan umiddelbart lære å lese ferdige uttrykk i analogi med eksemplet og beregne betydningen av uttrykk, og forklare handlingssekvensen. En annen mulig måte å gjøre barn kjent med uttrykk av denne typen er å komponere disse uttrykkene av elever fra et gitt tall og det enkleste uttrykket.

Evnen til å komponere og finne betydningen av uttrykk brukes av studentene ved løsning av sammensatte problemer, her skjer videre beherskelse av uttrykksbegrepet, og den spesifikke betydningen av uttrykk i opptegnelser over problemløsninger tilegnes. En øvelse er nyttig i denne forbindelse: tilstanden til problemet er gitt, for eksempel, "Gutten hadde 24 rubler Iskrem koster 12 rubler, og godteri koster 6 rubler." Barn bør forklare hva følgende uttrykk viser i dette tilfellet:

I andre klasse introduseres begrepene «matematisk uttrykk» og «uttrykkets betydning» (uten definisjon). Etter å ha registrert flere eksempler i én aktivitet, informerer læreren om at disse eksemplene ellers kalles matematiske uttrykk.

Etter instruks fra læreren, utgjør barna selv ulike uttrykk. Læreren foreslår å beregne resultatene og forklarer at resultatene ellers kalles verdiene til matematiske uttrykk. Deretter vurderes mer komplekse matematiske uttrykk.

Senere, når du opptrer ulike øvelser først læreren, og deretter barna, bruker nye begreper (skriv ned uttrykk, finn betydningen av et uttrykk, sammenlign uttrykk osv.).

I komplekse uttrykk har handlingstegn som forbinder de enkleste uttrykkene også en dobbel betydning, som gradvis avsløres av elevene. For eksempel, i uttrykket 20+(34-8), indikerer "+"-tegnet handlingen som må utføres på tallet 20 og forskjellen mellom tallene 34 og 8 (legg til forskjellen mellom tallene 34 og 8 til 20). I tillegg tjener plusstegnet til å indikere en sum - dette uttrykket er en sum der det første leddet er 20, og det andre leddet uttrykkes med forskjellen mellom tallene 34 og 8.

Etter at barn i andre klasse blir kjent med rekkefølgen for å utføre handlinger i komplekse uttrykk, begynner de å danne begrepene sum, forskjell, produkt, kvotient, der individuelle elementer spesifiseres av uttrykk.

Deretter, i prosessen med gjentatte øvelser i å lese, komponere og skrive uttrykk, mestrer studentene gradvis evnen til å etablere typen komplekst uttrykk (i 2-3 trinn).

Et diagram som er satt sammen og brukt ved lesing av uttrykk, letter barnas arbeid i stor grad:

bestemme hvilken handling som utføres sist;

husk hvilke tall som kalles når du utfører denne handlingen;

Lese- og skriveøvelser komplekse handlinger, i de enkleste uttrykkene, hjelper barna å lære prosedyrereglene.

1.2 Lære prosedyrereglene

Regler for rekkefølgen for å utføre handlinger i komplekse uttrykk studeres i 2. klasse, men barn bruker praktisk talt noen av dem i 1. klasse.

Først tar vi for oss regelen om rekkefølgen av operasjoner i uttrykk uten parentes, når tall enten bare er addisjon og subtraksjon, eller bare multiplikasjon og divisjon. Behovet for å introdusere uttrykk som inneholder to eller flere aritmetiske operasjoner på samme nivå oppstår når elevene blir kjent med beregningsteknikkene for addisjon og subtraksjon innen 10, nemlig:

Tilsvarende: 6 - 1 - 1, 6 - 2 - 1, 6 - 2 - 2.

Siden for å finne betydningen av disse uttrykkene, henvender skolebarn seg til objektive handlinger som utføres i en viss rekkefølge, lærer de lett det faktum at aritmetiske operasjoner (addisjon og subtraksjon) som finner sted i uttrykk utføres sekvensielt fra venstre til høyre.

Elevene vil først møte talluttrykk som inneholder addisjons- og subtraksjonsoperasjoner og parenteser i emnet "Addisjon og subtraksjon innen 10." Når barn møter slike uttrykk i 1. klasse, for eksempel: 7 - 2 + 4, 9 - 3 - 1, 4 +3 - 2; i 2. klasse, for eksempel: 70 - 36 +10, 80 - 10 - 15, 32+18 - 17; 4*10:5, 60:10*3, 36:9*3, læreren viser hvordan man leser og skriver slike uttrykk og hvordan man finner betydningen deres (for eksempel 4*10:5 les: 4 gange med 10 og del det resulterende resultatet på 5). Innen de studerer temaet «Handlingsrekkefølge» i 2. klasse, er elevene i stand til å finne betydningen av uttrykk av denne typen. Målet med arbeidet på dette stadiet er å trekke oppmerksomheten deres, basert på studentenes praktiske ferdigheter, til rekkefølgen for å utføre handlinger i slike uttrykk og formulere den tilsvarende regelen. Elevene løser selvstendig eksempler valgt av læreren og forklarer i hvilken rekkefølge de utførte dem; handlinger i hvert eksempel. Deretter formulerer de konklusjonen selv eller leser fra en lærebok: hvis i et uttrykk uten parentes bare addisjons- og subtraksjonsoperasjoner (eller bare multiplikasjons- og divisjonshandlinger) er angitt, utføres de i den rekkefølgen de er skrevet (dvs. fra venstre til høyre).

Til tross for at i uttrykk av formene a+b+c, a+(b+c) og (a+b)+c påvirker ikke tilstedeværelsen av parentes rekkefølgen av handlinger på grunn av den assosiative addisjonsloven, på dette tidspunktet trinn er det mer tilrådelig å orientere elevene til at handlingen i parentes utføres først. Dette skyldes det faktum at for uttrykk av formen a - (b + c) og a - (b - c) er en slik generalisering uakseptabel og for studenter innledende fase Det vil være ganske vanskelig å navigere i tildelingen av parenteser for ulike numeriske uttrykk. Bruken av parenteser i numeriske uttrykk som inneholder addisjons- og subtraksjonsoperasjoner er videreutviklet, som er assosiert med studiet av slike regler som å legge til en sum til et tall, et tall til en sum, trekke en sum fra et tall og et tall fra et tall. sum. Men når man først introduserer parentes, er det viktig å henvise elevene til å gjøre handlingen i parentes først.

Læreren gjør barna oppmerksom på hvor viktig det er å følge denne regelen når man gjør beregninger, ellers kan man få en feilliking. Elevene forklarer for eksempel hvordan betydningen av uttrykkene oppnås: 70 - 36 +10 = 24, 60:10 - 3 = 2, hvorfor de er feil, hvilke betydninger disse uttrykkene faktisk har. På samme måte studerer de rekkefølgen av handlinger i uttrykk med parenteser av formen: 65 - (26 - 14), 50: (30 - 20), 90: (2 * 5). Elevene er også kjent med slike uttrykk og kan lese, skrive og regne ut betydningen. Etter å ha forklart rekkefølgen av handlinger i flere slike uttrykk, formulerer barn en konklusjon: i uttrykk med parentes utføres den første handlingen på tallene skrevet i parentes. Ved å undersøke disse uttrykkene er det ikke vanskelig å vise at handlingene i dem ikke utføres i den rekkefølgen de er skrevet; for å vise en annen rekkefølge på utførelsen, og parenteser brukes.

Det følgende introduserer regelen for rekkefølgen for utførelse av handlinger i uttrykk uten parentes, når de inneholder handlinger fra første og andre trinn. Siden ordensreglementet er vedtatt etter avtale, formidler læreren dem til barna eller elevene lærer dem fra læreboken. For å sikre at elevene forstår reglene som er introdusert, sammen med treningsøvelser inkludere løsninger på eksempler med en forklaring på rekkefølgen på handlingene deres. Øvelser i å forklare feil i rekkefølgen av handlinger er også effektive. For eksempel fra gitte par Eksempler foreslås skrevet bare de der beregningene ble utført i henhold til prosedyrereglene:

Etter å ha forklart feilene, kan du gi en oppgave: bruk parenteser, endre rekkefølgen på handlingene slik at uttrykket har den angitte verdien. For eksempel, for at det første av de gitte uttrykkene skal ha en verdi lik 10, må du skrive det slik: (20+30):5=10.

Øvelser om å beregne verdien av et uttrykk er spesielt nyttige når eleven skal bruke alle reglene han har lært. For eksempel er uttrykket 36:6+3*2 skrevet på tavlen eller i notatbøker. Elevene beregner verdien. Deretter, i henhold til lærerens instruksjoner, bruker barna parenteser for å endre rekkefølgen på handlingene i uttrykket:

En interessant, men vanskeligere, øvelse er den omvendte øvelsen: å sette inn parenteser slik at uttrykket har en gitt verdi:

Interessante er også følgende øvelser:

1. Ordne parentesene slik at likhetene er sanne:

25-17:4=2 3*6-4=6

2. Sett "+" eller "-"-tegn i stedet for stjerner, slik at du får de riktige likhetene:

3. Plasser aritmetiske tegn i stedet for stjerner slik at likhetene er sanne:

Ved å utføre slike øvelser blir elevene overbevist om at betydningen av et uttrykk kan endres dersom handlingsrekkefølgen endres.

For å mestre reglene for handlingsrekkefølgen, er det nødvendig i klasse 3 og 4 å inkludere stadig mer komplekse uttrykk, når man beregner verdiene som studenten vil bruke ikke en, men to eller tre regler for handlingsrekkefølgen hver tid, for eksempel:

90*8- (240+170)+190,

469148-148*9+(30 100 - 26909).

I dette tilfellet bør tallene velges slik at de lar handlinger utføres i hvilken som helst rekkefølge, noe som skaper betingelser for bevisst anvendelse av de lærte reglene.

1.3 Introduksjon til uttrykkskonvertering

Konvertering av et uttrykk er å erstatte et gitt uttrykk med et annet hvis verdi er lik verdien til det gitte uttrykket. Studentene utfører slike formasjoner av uttrykk, og stoler på egenskapene til aritmetiske operasjoner og konsekvensene som oppstår av dem.

Når elevene studerer hver regel, blir de overbevist om at i uttrykk av en bestemt type kan handlinger utføres på forskjellige måter, men betydningen av uttrykket endres ikke. I fremtiden bruker elevene kunnskap om egenskapene til handlinger for å transformere gitte uttrykk til uttrykk som ligner dem. For eksempel oppgaver som: fortsett opptak slik at "="-tegnet bevares:

56- (20+1)=56-20...

(10+5) * 4=10*4...

60:(2*10)=60:10...

Når de fullfører den første oppgaven, resonnerer elevene slik: til venstre trekker du summen av tallene 20 og 1 fra 56 til høyre, trekk 20 fra 56; for å få samme mengde til høyre som til venstre, må du også trekke 1 fra høyre Andre uttrykk transformeres på samme måte, dvs. etter å ha lest uttrykket, husker eleven den tilsvarende regelen og utfører handlinger i henhold til. regel, mottar det transformerte uttrykket. For å sikre at transformasjonen er riktig, beregner barn verdiene til de gitte og transformerte uttrykkene og sammenligner dem. Ved å bruke kunnskap om egenskapene til handlinger for å rettferdiggjøre beregningsteknikker, utfører elever i klasse 2-4 transformasjoner av uttrykk av formen:

54+30=(50+4)+20=(50+20)+4=70+4=74

72:3=(60+12):3=60:3+12:3=24

16 * 40=16 * (3 * 10)=(16 * 3) * 10=540

Her er det også nødvendig at elevene ikke bare forklarer på hvilket grunnlag de utleder hvert påfølgende uttrykk, men også forstår at alle disse uttrykkene er forbundet med et "="-tegn fordi de har samme betydning. For å gjøre dette, bør barn noen ganger bli bedt om å beregne betydningen av uttrykk og sammenligne dem. Dette forhindrer feil som:

75-30=70-30=40+5=45,

24*12=(10+2)=24*10 +24*2=288.

Elever i klasse 2 og 3 transformerer uttrykk ikke bare basert på egenskapene til handlinger, men også ut fra definisjoner av handlinger. For eksempel erstattes summen av identiske termer med produktet: 6+6+6=6 * 3, og omvendt: 9 * 4=9+9+9+9. Basert også på betydningen av multiplikasjonshandlingen, transformerer de mer komplekse uttrykk: 8 * 4+8=8 * 5, 7 * 6 - 7 =7 * 5.

Basert på beregninger og analyse av spesielt utvalgte uttrykk, ledes 3. klasseelever til at hvis i uttrykk med parentes ikke parentes påvirker rekkefølgen av handlinger, så kan de utelates: (30+20)+10=30+ 20+10, (10-6):4=10-6:4, osv. Deretter, ved å bruke de lærte egenskapene til handlinger og regler for rekkefølgen av handlinger, øver elevene på å transformere uttrykk med parentes til identiske uttrykk uten parentes. For eksempel foreslås det å skrive disse uttrykkene uten parentes slik at verdiene deres ikke endres: (65+30) - 20 (20+4) * 3

Ved å forklare løsningen til det første av de gitte uttrykkene basert på regelen for å trekke et tall fra en sum, erstatter barn det med uttrykkene: 65+30 - 20, 65 - 20+30, 30 - 20+65, og forklarer fremgangsmåten for å utføre handlinger i dem. Ved å utføre slike øvelser er elevene overbevist om at betydningen av et uttrykk ikke endres når rekkefølgen på handlingene endres bare hvis egenskapene til handlingene blir brukt.

Dermed introduserer grunnskoleelever til begrepsuttrykk er nært knyttet til dannelsen av beregningsevner. Samtidig gjør introduksjonen av uttrykksbegrepet det mulig å organisere passende arbeid med utviklingen av elevenes matematiske tale.

Forelesning 2. Bokstavsymboler, likheter, ulikheter, likninger

2.1 Metodikk for kjennskap til bokstavsymboler

I henhold til matematikkprogrammet introduseres bokstavsymboler i 3. klasse.

Her blir elevene kjent med bokstaven a som et symbol for å betegne et ukjent tall eller en av komponentene i et uttrykk når de løser uttrykk i formen: skriv bokstaven a i stedet for «boksen». Finn verdiene av summen a+6 hvis a=8, a=7. Så i påfølgende leksjoner blir de kjent med noen bokstaver latinske alfabetet, som indikerer en av komponentene i uttrykket. Bokstaven x, som et symbol for å betegne et ukjent tall ved løsning av likninger av formen: a + x = b, x - c = b - introduseres i 4. kvartal i 3. klasse.

Innføringen av en bokstav som et symbol for å betegne en variabel gjør det mulig å begynne arbeidet med dannelsen av konseptet om en variabel allerede i grunnskolen, og å introdusere barn til matematisk språk tegn.

Forberedende arbeid for å avsløre betydningen av en bokstav som et symbol for å betegne en variabel utføres i begynnelsen akademisk år i 3. klasse. I dette første stadiet blir barn introdusert for noen bokstaver i det latinske alfabetet (a, b, c, d, k) for å representere en variabel, dvs. en av komponentene i uttrykket.

Når du introduserer alfabetiske symboler for å betegne en numerisk variabel viktig rolle den dyktige kombinasjonen av induktiv og deduktive metoder. I samsvar med dette innebærer øvelser overganger fra numeriske uttrykk til alfabetiske og omvendt fra alfabetiske uttrykk til numeriske. For eksempel henges en plakat med tre lommer på brettet, hvor det står skrevet: "1 term", "2 term", "sum".

Mens han snakker med elevene, fyller læreren lommene på plakaten med kort med tall og matematiske uttrykk skrevet på:

Deretter blir det klart om det fortsatt er mulig å komponere uttrykk, hvor mange slike uttrykk som kan komponeres. Barn finner på andre uttrykk og finner noe felles i dem: samme handling er addisjon og ulik handling er forskjellige begreper. Læreren forklarer det i stedet for å skrive ned forskjellige tall, kan du angi et hvilket som helst tall som kan være et tillegg med en bokstav, for eksempel a, et hvilket som helst tall som kan være et tillegg, for eksempel b. Da kan beløpet betegnes som følger: a + b (de tilsvarende kortene legges i plakatens lommer).

Læreren forklarer at a+b også er et matematisk uttrykk, bare i det er begrepene betegnet med bokstaver hver av bokstavene angir eventuelle tall. Disse tallene kalles bokstavverdier.

Forskjellen på tall introduseres på samme måte som en generalisert notasjon av numeriske uttrykk. For at elevene skal innse at bokstavene som inngår i et uttrykk, for eksempel b + c, kan få mange numeriske verdier, og selve bokstavuttrykket er en generalisert notasjon av numeriske uttrykk, er det gitt øvelser for overgangen fra bokstavuttrykk til numeriske.

Elevene er overbevist om at ved å gi bokstaver personlige tallverdier, kan de få så mange talluttrykk de vil. På samme måte jobbes det med å konkretisere det bokstavelige uttrykket – forskjellen mellom tall.

Videre, i forbindelse med arbeidet med uttrykk, avdekkes begrepet en konstant verdi. For dette formål, uttrykk der konstant fast med et tall, for eksempel: а±12, 8±с. Her, som i første trinn, gis det øvelser for overgang fra numeriske uttrykk til uttrykk skrevet med bokstaver og tall, og omvendt.

Til dette formålet brukes først en plakat med tre lommer.

Når elevene fyller lommene på plakaten med kort med tall og matematiske uttrykk skrevet på, legger de merke til at verdiene til den første terminen endres, men den andre terminen endres ikke.

Læreren forklarer at det andre leddet kan skrives ved hjelp av tall, deretter kan summen av tallene skrives som følger: m + 8, og kortene settes inn i de tilsvarende lommene på plakaten.

På lignende måte kan du få matematiske uttrykk for formen: 17±a, i ±30, og senere - uttrykk for formen: 7* in, c*4, a:8, 48:in.

I klasse 4, øvelser som: Finn betydningen av uttrykket a:b if

a=3400 og b=2;

a=2800 og b=7.

Når elevene forstår betydningen av bokstavsymboler, kan bokstaver brukes som et middel til å oppsummere kunnskapen de utvikler.

Det konkrete grunnlaget for bruk av bokstavsymboler som generaliseringsverktøy er kunnskap om regneoperasjoner og kunnskapen som dannes på grunnlag av disse.

Disse inkluderer begreper om aritmetiske operasjoner, deres egenskaper, sammenhenger mellom komponenter og resultater av handlinger, endringer i resultatene av aritmetiske operasjoner avhengig av endring i en av komponentene, etc.

Dermed bidrar bruken av bokstavsymboler til å øke generaliseringsnivået av kunnskap ervervet av grunnskoleelever og forbereder dem til å studere et systematisk algebrakurs i påfølgende karakterer.

2.2 Numeriske likheter, ulikheter

Begrepet likheter, ulikheter og likninger avsløres i innbyrdes sammenheng. Arbeidet med dem utføres fra 1. klasse, organisk kombinert med studiet av aritmetisk materiale.

Ved nytt program oppgaven er å lære barn å sammenligne tall, samt sammenligne uttrykk for å etablere relasjoner "mer", "mindre", "lik"; lære hvordan du skriver sammenligningsresultater ved å bruke tegnene ">", "<", "=" и читать полученные равенства и неравенства.

Elevene oppnår numeriske likheter og ulikheter basert på sammenligninger av gitte tall eller aritmetiske uttrykk. Til å begynne med utvikler yngre skolebarn konsepter bare om sanne likheter og ulikheter (5>4, 6<7, 8=8).

Deretter, når studentene får erfaring med å arbeide med uttrykk og ulikheter med en variabel, etter å ha vurdert begrepene sanne og usanne (sanne og usanne) utsagn, går de videre til en slik definisjon av begrepene likhet og ulikhet, ifølge hvilke to som helst. tall, to uttrykk forbundet med ett av tegnene "større enn ", "mindre" kalles ulikhet. Samtidig skilles sanne og falske likheter og ulikheter. I klasse 3 tilbys følgende øvelser: sjekk om de gitte ligningene er riktige (4. kvartal): 760 - 400=90*4; 630:7=640:8.

Men disse øvelsene er ikke nok. I klasse 4 tilbys lignende øvelser og andre, som: sjekk om ulikhetene er sanne: 478 * 24<478* (3*9); 356*10*6>356*16.

Bekjentskap med likheter og ulikheter i grunnkarakterene er direkte knyttet til studiet av nummerering og regneoperasjoner. matematisk algebra-ligning

Sammenligning av tall utføres først på grunnlag av sammenligning av sett, som som kjent utføres ved å etablere en en-til-en korrespondanse. Denne metoden for å sammenligne sett læres til barn i den forberedende perioden og i begynnelsen av å lære nummereringen av de ti første tallene. Samtidig telles elementene i settene og de resulterende tallene sammenlignes. I fremtiden, når de sammenligner tall, stoler elevene på sin plass i den naturlige serien: 9<10, потому что при счете число 9 называют перед числом 10, и т.д.

Etablerte relasjoner skrives med tegnene ">", "<", "=", учащиеся упражняются в чтении и записи равенств и неравенств. Впоследствии при изучении нумерации чисел в пределах 100, 1000, а также нумерации многозначны: чисел сравнение чисел осуществляется либо на основе сопоставления их по месту в натуральном ряду, либо на основе разложения чисел по десятичному составу сравнения соответствующих разрядных чисел, начиная с высшего разряда.

Sammenligningen av navngitte tall utføres først basert på sammenligningen av verdiene til selve mengdene, og deretter utført på grunnlag av en sammenligning av abstrakte tall, for hvilke de gitte navngitte tallene er uttrykt i de samme enhetene av mål.

Å sammenligne navngitte tall forårsaker store vanskeligheter for studenter, derfor, for å lære denne operasjonen, er det nødvendig å systematisk tilby en rekke øvelser i klasse 2-4:

1 dm * 1 cm, 2 dm * 2 cm

Erstatt med et likt antall: 7 km 500 m = _____ m

3) Velg tallene slik at oppføringen er riktig: ____ h< ____ мин, ___ см=__ дм и т.д.

4) Sjekk om likhetene som er gitt er sanne eller usanne, korriger fortegnet hvis likhetene er feil:

4 t 8 c=480 kg, 100 min.=1 time, 2 m 5 cm=250 cm.

Overgangen til å sammenligne uttrykk utføres gradvis. Først i ferd med å lære tillegg og. subtraksjon innen 10 bruker barn lang tid på å øve seg på å sammenligne uttrykk og tall. De første ulikhetene i formen 3+1>3, 3 - 1<3 полезно получать из равенства (3=3), сопровождая преобразования соответствующими операциями над множествами. В дальнейшем выражение и число учащиеся сравнивают, не прибегая к операциям над множествами: находят значение выражения и сравнивают его с заданным числом, что отражается в записях:

Etter å ha blitt kjent med navnene på uttrykk, leser elevene likheter og ulikheter slik: summen av tallene 5 og 3 er større enn 5.

Basert på operasjoner på mengder og sammenligning av mengder lærer elevene praktisk talt de viktige egenskapene til likheter og ulikheter (hvis a = b, så b = a). Å sammenligne to uttrykk betyr å sammenligne deres betydninger. Sammenligning av tall og uttrykk er først inkludert når man studerer tall innenfor 20, og deretter når man studerer handlinger i alle konsentrasjoner, tilbys disse øvelsene systematisk til barn.

Når man studerer handlinger i andre konsentrasjoner, blir øvelser for å sammenligne uttrykk mer kompliserte: uttrykk blir mer komplekse, elevene blir bedt om å sette inn et passende tall i et av uttrykkene for å oppnå korrekte likheter eller ulikheter, og komponere korrekte likheter eller rette ulikheter fra disse uttrykkene.

Når man studerer alle konsentrasjoner, bidrar således øvelser om å sammenligne tall og uttrykk på den ene siden til dannelsen av begreper om likheter og ulikheter, og på den andre siden til tilegnelse av kunnskap om nummerering og aritmetiske operasjoner, samt utvikling av beregningsevner.

2.3 Metodikk for å gjøre deg kjent med ulikheter med en variabel

Ulikheter med en variabel av formen: x+3< 7, 10 - х >5 introduseres i 3. klasse. Først er variabelen ikke angitt med en bokstav, men med et "vindu", så er den angitt med en bokstav.

Begrepene "løs en ulikhet" og "løs en ulikhet" er ikke introdusert i primære karakterer, siden de i mange tilfeller er begrenset til å velge bare noen få verdier av en variabel, noe som resulterer i en ekte ulikhet. Øvelser utføres under veiledning av en lærer.

Øvelser med ulikheter styrker beregningsevnen og hjelper også med læring aritmetisk kunnskap. Velge bokstavverdier i ulikheter og likheter i formen: 5 + x = 5, 5 - x =5 10 * x=10, 10* x<10, учащиеся закрепляют знания особых случаев действий. Но самым важным является то, что работая с неравенствами, учащиеся закрепляют представление о переменной и подготавливаются к решению неравенств в 5 классе. В соответствии с программой в 1-4 классах рассматриваются упражнения первой степени с одним неизвестным вида: 7+х=10, х* (17 - 10)=70.

Øvelser i elementære karakterer betraktes som sanne likheter; å løse ligningen kommer ned til å finne verdien av bokstaven (et ukjent tall) som det gitte uttrykket har den angitte verdien for. Å finne et ukjent tall i slike likheter utføres basert på kunnskap om forholdet mellom resultatet og komponentene i aritmetiske operasjoner. Disse programkravene bestemmer metodikken for å jobbe med ligninger,

2.4 Metodikk for å studere ligninger

På det forberedende stadiet for innføringen av de første ligningene når de studerer addisjon og subtraksjon innen 10, lærer elevene sammenhengen mellom summen og leddene. I tillegg har barn på dette tidspunktet mestret evnen til å sammenligne uttrykk og tall og motta sine første ideer om numeriske likheter i formen: 8 = 5 + 3, 6 + 4 = 40. Av stor betydning når det gjelder å forberede innføringen av ligninger er øvelser for å finne det manglende tallet i likheter av formen: 4 + * = 6, 5- * = 2. I prosessen med å utføre slike øvelser blir barna vant til ideen om at ikke bare summen eller differansen kan være ukjent, men også et av begrepene.

Begrepet en ligning introduseres i 3. klasse. Ligninger løses muntlig, ved bruk av seleksjonsmetoden, dvs. barn tilbys enkle ligninger på formen: x + 3 = 5. For å løse slike ligninger husker barn sammensetningen av tall innenfor 10, i dette tilfellet sammensetningen av tallet 5 (3 og 2), som betyr x = 2.

I klasse 4 viser læreren en oversikt over å løse en ligning, basert på barnas kunnskap om sammenhengene mellom komponentene og resultatet av aritmetiske operasjoner. For eksempel, 6+x=15. Vi vet ikke det andre leddet For å få det andre leddet må vi trekke det første leddet fra summen.

Registrering av løsningen:

Undersøkelse:

Det er nødvendig å forklare elevene at når vi utfører en kontroll, er det nødvendig, etter å ha erstattet det resulterende tallet i stedet for x, å finne verdien av det resulterende uttrykket.

Senere, i neste trinn, løses likningene basert på kunnskap om reglene for å finne den ukjente komponenten.

Det gis en egen leksjon for hvert tilfelle.

Skrevet på Allbest.ru

...

Lignende dokumenter

Begrepet ulikhet, dets essens og egenskaper, klassifisering og varianter. Grunnleggende egenskaper ved numeriske ulikheter. Teknikk for grafisk løsning av andre grads ulikheter. Systemer av ulikheter med to variabler, med en variabel under modultegnet.

sammendrag, lagt til 31.01.2009

Trigonometriske likninger og ulikheter i skolematematikkkurset. Analyse av materiale om trigonometri i ulike lærebøker. Typer trigonometriske ligninger og metoder for å løse dem. Dannelse av ferdigheter for å løse trigonometriske ligninger og ulikheter.

avhandling, lagt til 05.06.2010

Teoretisk informasjon om emnet "Tester for likestilling av trekanter." Metodikk for å studere emnet "Sign på likhet i trekanter." Temaet for leksjonen er "Trekant. Typer trekanter." "Egenskaper til likebenede og likesidede trekanter."

kursarbeid, lagt til 01.11.2004

Typer av ligninger som tillater reduksjon av rekkefølge. Lineær differensialligning av høyere orden. Teoremer om egenskapene til partielle løsninger. Wronskis determinant og dens anvendelse. Bruker Eulers formel. Finne røttene til en algebraisk ligning.

presentasjon, lagt til 29.03.2016

Konseptet og den matematiske beskrivelsen av elementene i en differensialligning som en ligning som forbinder den ønskede funksjonen til en eller flere variabler. Sammensetning av ufullstendige og lineære differensialligninger av første orden, deres anvendelse i økonomi.

sammendrag, lagt til 08.06.2013

En metode for analytisk å løse (i radikaler) en algebraisk ligning av n-te grad med en retur til røttene til den opprinnelige ligningen. Egenverdier for å finne funksjoner til matriser. Stabilitet av løsninger til lineære differensial- og differanseligninger.

vitenskapelig arbeid, lagt til 05.05.2010

Type av Riccati-ligningen for en vilkårlig brøk-lineær transformasjon av den avhengige variabelen. Egenskaper til den reflekterende funksjonen, dens konstruksjon for ikke-lineære differensialligninger av første orden. Formulering og bevis på lemmaet for OF Riccati-ligningen.

kursarbeid, lagt til 22.11.2014

De viktigste retningene for utvikling av linjen med ligninger og ulikheter i skolematematikkkurset, dens forbindelse med det numeriske og funksjonelle systemet. Funksjoner av studien, analytiske og grafiske metoder for å løse likninger og ulikheter som inneholder parametere.

kursarbeid, lagt til 02.01.2015

Systematisering av informasjon om lineære og kvadratiske avhengigheter og relaterte likninger og ulikheter. Isolering av et komplett kvadrat som en metode for å løse noen ikke-standard problemer. Egenskaper for funksjonen |x|. Ligninger og ulikheter som inneholder moduler.

avhandling, lagt til 25.06.2010

Analyse av funksjonene ved å utvikle et dataprogram. Generelle kjennetegn ved den enkle iterasjonsmetoden. Introduksjon til grunnleggende metoder for å løse en ikke-lineær algebraisk ligning. Betraktning av stadiene for å løse en ligning ved hjelp av halveringsmetoden.