Eksempler på å trekke ut kvadratroten av et komplekst tall.

tall i trigonometrisk form.

Moivres formel

La z 1 = r 1 (cos  1 + isin  1) og z 2 = r 2 (cos  2 + isin  2).

Den trigonometriske formen for å skrive et komplekst tall er praktisk å bruke for å utføre operasjonene multiplikasjon, divisjon, heve til en heltalls potens og trekke ut roten av grad n.

z 1 ∙ z 2 = r 1 ∙ r 2 (cos ( 1 +  2) + i sin( 1 +  2)).

Når du multipliserer to komplekse tall i trigonometrisk form multipliseres modulene deres og argumentene deres legges til. Ved deling deres moduler deles og argumentene deres trekkes fra.

En følge av regelen for å multiplisere et komplekst tall er regelen for å heve et komplekst tall til en potens.

z = r(cos  + i sin ).

z n = r n (cos n + isin n).

Dette forholdet kalles Moivres formel.

Eksempel 8.1 Finn produktet og kvotienten av tall:

Og

Løsning

z 1 ∙z 2
∙

=

;

Eksempel 8.2 Skriv et tall på trigonometrisk form

∙
–i) 7 .

Løsning

La oss betegne
og z2=
– jeg.

r 1 = |z 1 | = √ 1 2 + 1 2 = √ 2; ;

 1 = arg z 1 = arktan
;

z 1 =
;

r 2 = |z 2 | = √(√ 3) 2 + (– 1) 2 = 2;  2 = arg z 2 = arktan
;

z 2 = 2
) 5
z 1 5 = (

;
z 2 7 = 2 7
=

2 9

z = (

) 5 ·2 7§ 9 Trekke ut roten av et komplekst tallDefinisjon. Rot n
potens av et komplekst tall
= 0.

z (betegn

) er et komplekst tall w slik at w n = z. Hvis z = 0, da

La z  0, z = r(cos + isin). La oss betegne w = (cos + sin), så skriver vi likningen w n = z i følgende form

 =

 n (cos(n·) + isin(n·)) = r(cos + isin).
·
.

Derfor  n = r,

Altså wk =

Blant disse verdiene er det nøyaktig n forskjellige.
Derfor er k = 0, 1, 2, …, n – 1.

På det komplekse planet er disse punktene toppunktene til en vanlig n-gon innskrevet i en sirkel med radius

med sentrum i punkt O (Figur 12). Figur 12
.

Eksempel 9.1

Finn alle verdier

Løsning.
La oss representere dette tallet i trigonometrisk form. La oss finne dens modul og argument.

w k =
.

, hvor k = 0, 1, 2, 3.
.

w 0 =
.

w 1 =
.

w 2 =
w 3 =

På det komplekse planet er disse punktene toppunktene til et kvadrat innskrevet i en sirkel med radius

med sentrum ved origo (Figur 13). Figur 12
.

Eksempel 9.1

Figur 13 Figur 14

Løsning.
Eksempel 9.2

w k =
z = – 64 = 64(cos +isin);
;

w 0 =
, hvor k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

;
w 1 =
.

På det komplekse planet er disse punktene toppunktene til en regulær sekskant innskrevet i en sirkel med radius 2 med sentrum i punktet O (0; 0) - Figur 14.

§ 10 Eksponentiell form av et komplekst tall.

Eulers formel

La oss betegne
= cos  + isin  og
= cos  - isin  . Disse relasjonene kalles .

Eulers formler
Funksjon

har de vanlige egenskapene til en eksponentiell funksjon:

La det komplekse tallet z skrives på trigonometrisk form z = r(cos + isin).

Ved å bruke Eulers formel kan vi skrive:
.

z = r Denne oppføringen kalles eksponentiell form

komplekst tall. Ved å bruke den får vi reglene for multiplikasjon, divisjon, eksponentiering og rotekstraksjon.
Hvis z 1 = r 1 ·
og z 2 = r 2 ·

?At
;

·

z 1 · z 2 = r 1 · r 2 ·

z n = r n ·

, hvor k = 0, 1, … , n – 1. Eksempel 10.1

Skriv et tall i algebraisk form
.

Eksempel 9.1

z = Eksempel 10.2

Eksempel 9.1

Løs ligningen z 2 + (4 – 3i)z + 4 – 6i = 0.
For alle komplekse koeffisienter har denne ligningen to røtter z 1 og z 1 (muligens sammenfallende). Disse røttene kan bli funnet ved å bruke samme formel som i det virkelige tilfellet. Fordi

tar to verdier som bare er forskjellige i fortegn, så ser denne formelen slik ut:
Siden –9 = 9 e  i, så verdiene

det vil være tall:
Da
.

Eksempel 9.1

Løs ligningene z 3 +1 = 0; z 3 = – 1.
.

De nødvendige røttene til ligningen vil være verdiene

Løsning.
For z = –1 har vi r = 1, arg(–1) = .

, k = 0, 1, 2.

Øvelser

G)

d) 7(cos0 + isin0).

11 Skriv tallene i algebraisk og geometrisk form:

12 tall er gitt
.

Presenter dem i eksponentiell form, finn

13 Bruk den eksponentielle formen til et komplekst tall og utfør følgende trinn:
EN)

b)
V)

d) Med § 9 Trekke ut roten av et komplekst tall 2 .

og naturlig tall Kompleks tall Z ringte§ 9 Trekke ut roten av et komplekst tall– rot c Kompleks tall § 9 Trekke ut roten av et komplekst tall = rot.

, Hvis § 9 Trekke ut roten av et komplekst tall– La oss finne alle verdiene til roten d) oh potens av et komplekst tall rot=| rot|·(. La cos rot+ Arg· jeg cossynd Med), Kompleks tall = | Kompleks tallEN|·(med cos Kompleks tall + Arg· jeg cos Kompleks tall) os Kompleks tall, Hvor § 9 Trekke ut roten av et komplekst tall- La oss finne alle verdiene til roten d) rot = rot = | rot|·(. La cos rot+ Arg· jeg cos. Da må det være Med)
. Det følger av det § 9 Trekke ut roten av et komplekst tall· cos Kompleks tall = cosOg
cos Kompleks tall =
(Med=0,1,…) k Kompleks tall =
(. La
+ Arg· jeg
), (Med=0,1,…) . Derfor,
, (Med=0,1,…) . Det er lett å se at noen av verdiene
,(Med = 0,1,…, § 9 Trekke ut roten av et komplekst tall-1) avviker fra en av de tilsvarende verdiene av flere 2π (Med = 0,1,…, § 9 Trekke ut roten av et komplekst tall-1) .

. Det er derfor,

Eksempel..

La oss beregne roten av (-1) |-1| = 1, , åpenbart (-1) = π

arg. La π + Arg· jeg π )

, -1 = 1·(

= Arg

(k = 0, 1).

Makt med en vilkårlig rasjonell eksponent d) La oss ta et vilkårlig komplekst tall § 9 Trekke ut roten av et komplekst tall. Hvis d) § 9 Trekke ut roten av et komplekst tall = | rot| § 9 Trekke ut roten av et komplekst tall naturlig tall altså|·(med ·(MednArgArg· jeg ·(Med. Da må det være s + § 9 Trekke ut roten av et komplekst tall = 0 ((6). Denne formelen er også sann i saken)
oh potens av et komplekst tall § 9 Trekke ut roten av et komplekst tall < 0 s≠0 § 9 Trekke ut roten av et komplekst tall Kompleks tall Og Og s ≠ 0

d) § 9 Trekke ut roten av et komplekst tall =
, Deretterd)(cos nArgd)) = , Deretterd)+i·sin nArgd)) + i·sin nArg § 9 Trekke ut roten av et komplekst tall.

. Dermed er formel (6) gyldig for alle os La oss ta et rasjonelt tall q naturlig tall, og r

er hel. Så under rot grad vi vil forstå tallet
.

Det skjønner vi ,

(Med = 0, 1, …, La oss ta et rasjonelt tall-1). Disse verdiene La oss ta et rasjonelt tall stykker, hvis brøken ikke er reduserbar.

Forelesning nr. 3 Grensen for en sekvens av komplekse tall

En funksjon med kompleks verdi av et naturlig argument kalles sekvens av komplekse tall og er utpekt (Med § 9 Trekke ut roten av et komplekst tall ) eller d) 1 , Med 2 , ..., Med § 9 Trekke ut roten av et komplekst tall . d) § 9 Trekke ut roten av et komplekst tall = a § 9 Trekke ut roten av et komplekst tall + b § 9 Trekke ut roten av et komplekst tall · Arg (§ 9 Trekke ut roten av et komplekst tall = 1,2, ...) komplekse tall.

d) 1 , Med 2 , … - medlemmer av sekvensen; Med § 9 Trekke ut roten av et komplekst tall – felles medlem

og naturlig tall d) = en+ b· Arg Z grensen for en sekvens av komplekse tall (rot § 9 Trekke ut roten av et komplekst tall ) os d) § 9 Trekke ut roten av et komplekst tall = a § 9 Trekke ut roten av et komplekst tall + b § 9 Trekke ut roten av et komplekst tall · Arg (§ 9 Trekke ut roten av et komplekst tall = 1, 2, …) , hvor for evt

det foran alle § 9 Trekke ut roten av et komplekst tall > N ulikhet holder
. En sekvens som har en endelig grense kalles konvergent sekvens.

Teorem.

For å få en sekvens av komplekse tall (med § 9 Trekke ut roten av et komplekst tall ) (Med § 9 Trekke ut roten av et komplekst tall = a § 9 Trekke ut roten av et komplekst tall + b § 9 Trekke ut roten av et komplekst tall · Arg) konvergert til et tall med = en+ b· Arg, er nødvendig og tilstrekkelig for at likestillingen skal holdelim en § 9 Trekke ut roten av et komplekst tall = en, lim b § 9 Trekke ut roten av et komplekst tall = b.

Bevis.

Vi vil bevise teoremet basert på følgende åpenbare doble ulikhet

, Hvor Kompleks tall = x + y· Arg (2)

Nødvendighet. La lim(Med § 9 Trekke ut roten av et komplekst tall ) = s. La oss vise at likhetene er sanne lim en § 9 Trekke ut roten av et komplekst tall = en Og lim b § 9 Trekke ut roten av et komplekst tall = b (3).

Tydeligvis (4)

Fordi
, Når § 9 Trekke ut roten av et komplekst tall → ∞ , så følger det fra venstre side av ulikhet (4).
. Det følger av det
, Når § 9 Trekke ut roten av et komplekst tall → ∞ . derfor er likestilling (3) tilfredsstilt. Behovet er bevist.

Tilstrekkelighet. La nå likestilling (3) være tilfredsstilt. Av likestilling (3) følger det at
. Det følger av det
, Når § 9 Trekke ut roten av et komplekst tall → ∞ , derfor, på grunn av den høyre siden av ulikhet (4), vil det være det
, Når § 9 Trekke ut roten av et komplekst tall→∞ , betyr lim(Med § 9 Trekke ut roten av et komplekst tall )=c. Tilstrekkelighet er bevist.

Så spørsmålet om konvergensen av en sekvens av komplekse tall tilsvarer konvergensen av to reelle tallsekvenser, derfor gjelder alle de grunnleggende egenskapene til grensene for reelle tallsekvenser for sekvenser av komplekse tall.

For eksempel, for sekvenser av komplekse tall er Cauchy-kriteriet gyldig: for en sekvens av komplekse tall (med § 9 Trekke ut roten av et komplekst tall ) konvergerer, er det nødvendig og tilstrekkelig at for evt

, det for noen§ 9 Trekke ut roten av et komplekst tall, m > Nulikhet holder
.

Teorem.

La en sekvens av komplekse tall (med § 9 Trekke ut roten av et komplekst tall ) Og (z § 9 Trekke ut roten av et komplekst tall ) konvergere til c og hhvz, så er likhetene sannelim(Med § 9 Trekke ut roten av et komplekst tall z § 9 Trekke ut roten av et komplekst tall ) = rot z, lim(Med § 9 Trekke ut roten av et komplekst tall · z § 9 Trekke ut roten av et komplekst tall ) = rot· z. Hvis det er kjent med sikkerhetzer ikke lik 0, så er likheten sann
.