Firkant ABCD er en figur som består av fire punkter A, B, C, D, tre hver, som ikke ligger på samme rette linje, og fire segmenter AB, BC, CD og AD som forbinder disse punktene.

Bildene viser firkanter.

Punktene A, B, C og D kalles hjørner av en firkant, og segmentene AB, BC, CD og AD - fester. Toppunktene A og C, B og D kalles motsatte hjørner. Sidene AB og CD, BC og AD kalles motparter.

Det er firkanter konveks(på bildet - venstre) og ikke-konveks(på bildet - til høyre).

Hver diagonal konveks firkant deler den i to trekanter(diagonal AC deler ABCD i to trekant ABC og ACD; diagonal BD - på BCD og BAD). U ikke-konveks firkant bare en av diagonalene deler den i to trekanter(diagonal AC deler ABCD i to trekanter ABC og ACD; diagonal BD gjør det ikke).

La oss vurdere hovedtyper av firkanter, deres egenskaper, arealformler:

Parallelogram

Parallelogram kalles en firkant hvis motsatte sider parvis parallell.

Egenskaper:

Tegn på et parallellogram:

1. Hvis to sider av en firkant er like og parallelle, så er denne firkanten et parallellogram.
2. Hvis de motsatte sidene i en firkant er like parvis, så er denne firkanten et parallellogram.
3. Hvis diagonalene i en firkant skjærer hverandre og deles i to med skjæringspunktet, så er denne firkanten et parallellogram.

Arealet av et parallellogram:

Trapes

Trapes En firkant kalles en firkant der to sider er parallelle og de to andre sidene ikke er parallelle.

Årsaker kalles parallelle sider, og de to andre sidene - sider.

Midtlinje En trapes er et segment som forbinder midtpunktene på sidene.

TEOREM.

Midtlinje trapesen er parallell med basene og lik deres halvsum.

Trapesområde:

Rombe

Diamant kalles et parallellogram der alle sider er like.

Egenskaper:

Rombus område:

Rektangel

Rektangel kalles et parallellogram der alle vinkler er like.

Egenskaper:

Rektangeltegn:

Hvis diagonalene til et parallellogram er like, så er dette parallellogrammet et rektangel.

Rektangelområde:

Kvadrat

Kvadrat kalles et rektangel hvis sider er like.

Egenskaper:

Et kvadrat har alle egenskapene til et rektangel og en rombe (et rektangel er et parallellogram, derfor er et kvadrat et parallellogram med alle sider like, dvs. en rombe).

Kvadratisk område:

Tilbake Fremover

Oppmerksomhet! Lysbildeforhåndsvisninger er kun til informasjonsformål og representerer kanskje ikke alle funksjonene i presentasjonen. Hvis du er interessert dette arbeidet, last ned fullversjonen.

Mål for leksjonen: vurdere egenskapene til et parallellogram og konsolidere den ervervede kunnskapen i prosessen med å løse problemer.

Oppgaver:

• pedagogisk: utvikle evnen til å bruke parallellogramfunksjoner for å løse problemer;
• utvikle: utvikling logisk tenkning, oppmerksomhet, ferdigheter selvstendig arbeid, selvtillit ferdigheter;
• pedagogisk: pleie interesse for faget, evne til å jobbe i team, en kommunikasjonskultur.

Leksjonstype: lære nytt materiale, primær konsolidering.

Utstyr: interaktiv tavle, projektor, oppgavekort, presentasjon.

Leksjonsfremgang

1. Organisatorisk øyeblikk.

U: God ettermiddag, folkens! I dag i klassen skal vi igjen snakke om parallellogrammer. Vi må fullføre mange oppgaver, bevise teoremer og lære å bruke dem når vi løser problemer. Mottoet for leksjonen vår vil være ordene til Le Carbusier: "Alt rundt er geometri."

2. Oppdatering av elevenes kunnskap.

Teoretisk undersøkelse

Gi noen elever individuelle oppgaver på kort om temaet egenskapene til et parallellogram(alle velger oppgaver uavhengig på presentasjonslysbildet via en hyperlenke, peker med musepekeren på figuren, men ikke på nummeret), lytt individuelt til hver respondent.

Med resten - bevis tilleggsegenskapene til et parallellogram. (Druter først beviset muntlig, og sjekk det deretter med den interaktive tavlen).

1°. Halveringsvinkelen til et parallellogram skjærer av en likebenet trekant fra den.

2°. Halveringslinjene til tilstøtende vinkler i et parallellogram er vinkelrette, og halveringslinjene motsatte vinkler er parallelle eller ligger på samme rette linje.

Etter klargjøring, lytt til bevis på tilleggsegenskaper til et parallellogram.

ABCD -parallelogram,

AE er halveringslinjen til vinkel BAD.

Bevis: ABE er likebenet.

Bevis:

Siden ABCD er et parallellogram, derfor BC || AD, da vinkel EAD = vinkel BEA som ligger på tvers med parallelle linjer BC og AD og sekant AE. AE er halveringslinjen til vinkel BAD, som betyr vinkel BAE = vinkel EAD, derfor vinkel BAE = vinkel BEA.

I ABE er vinkel BAE = vinkel BEA, som betyr at ABE er likebenet med grunnflaten AE.

Veiledende spørsmål:

Formuler tegnet til en likebenet trekant.

Hvilke vinkler i BAE kan være like? Hvorfor?

ABCD -parallelogram,

BE er halveringslinjen til vinkel CBA,

AE er halveringslinjen til vinkel BAD.

Veiledende spørsmål:

Når vil linjene AE og CK være parallelle?

Er vinkler BEA og<3? Почему?

I hvilket tilfelle vil AE og CK falle sammen?

Forbereder seg på å studere nytt materiale

Frontalarbeid med klassen (muntlig).

• Hva betyr ordene "egenskaper" og "karakter"?
• Gi eksempler.
• Hva er omvendt teoremet?

Er det motsatte av dette utsagnet alltid sant?

Gi eksempler.

3. Forklaring av nytt materiale.

• U.: Hvert objekt har sine egne egenskaper og egenskaper. Fortell meg hvordan egenskaper skiller seg fra skilt.
• La oss prøve å forstå dette problemet ved å bruke et enkelt eksempel. Det gitte objektet er høst. Nevn dens egenskaper: Dens egenskaper:

Hvilke utsagn er egenskapen og egenskapen til et objekt i forhold til hverandre? (svar: omvendt)

Hvilke egenskaper har vi allerede studert i geometrikurset?

Oppgi dem. (nevn noen)

Er det mulig å konstruere en sann omvendt uttalelse for enhver eiendom? (forskjellige svar).

La oss sjekke dette på følgende egenskaper:

Konkluder: Er det mulig å konstruere en sann omvendt uttalelse for en eiendom? (nei, ikke for noen)

La oss nå gå tilbake til firkanten vår, huske dens egenskaper og formulere deres omvendte utsagn, dvs.: .. (svar - egenskaper ved et parallellogram). Så, temaet for dagens leksjon er: "Tegn på et parallellogram."

Så, navngi egenskapene til et parallellogram.

Formuler utsagn som er omvendt til egenskapene. (elevene formulerer tegn, læreren retter dem og formulerer dem på nytt)

La oss bevise disse tegnene. Det første tegnet er i detalj, det andre er kort, det tredje er på egen hånd hjemme.

4. Konsolidering av studert materiale.

Arbeid i arbeidsbøker: løs oppgave nr. 11 på den interaktive tavlen, kall en mindre forberedt elev til tavlen.

Løsning på problem nr. 379 (skriv løsningen på den interaktive tavlen). Fra hjørnene B og D i parallellogrammet ABCD, der AB BC og A er akutte, trekkes perpendikulære BC og DM til den rette linjen AC. Bevis at firkanten BMDK er et parallellogram.

Mellomnivå

Parallelogram, rektangel, rombe, kvadrat (2019)

1. Parallelogram

Sammensatt ord "parallelogram"? Og bak den ligger en veldig enkel figur.

Vel, det vil si, vi tok to parallelle linjer:

Krysset av to til:

Det vil si, hva kan du bruke hvis problemet er gitt et parallellogram?

Følgende teorem svarer på dette spørsmålet:

La oss tegne alt i detalj.

Hva betyr det første punkt i teoremet? Og faktum er at hvis du HAR et parallellogram, så vil du sikkert

Det andre punktet betyr at hvis det ER et parallellogram, så igjen, absolutt:

Vel, og til slutt, det tredje punktet betyr at hvis du HAR et parallellogram, så sørg for å:

Ser du hvor stort utvalg det er? Hva skal brukes i problemet? Prøv å fokusere på spørsmålet om problemet, eller bare prøv alt en etter en - en "nøkkel" vil gjøre det.

La oss nå stille oss et annet spørsmål: hvordan kan vi gjenkjenne et parallellogram "ved synet"? Hva må skje med en firkant for at vi skal ha rett til å gi den "tittelen" til et parallellogram?

Flere tegn på et parallellogram svarer på dette spørsmålet.

Tegn på et parallellogram.

Oppmerksomhet! La oss begynne.

Parallelogram.

Vennligst merk: hvis du fant minst ett tegn i problemet ditt, så har du definitivt et parallellogram, og du kan bruke alle egenskapene til et parallellogram.

2. Rektangel

Jeg tror at det ikke vil være en nyhet for deg i det hele tatt

Første spørsmål: er et rektangel et parallellogram?

Selvfølgelig er det det! Tross alt har han - husk, vårt tegn 3?

Og herfra følger det selvfølgelig at i et rektangel, som i et hvilket som helst parallellogram, er diagonalene delt i to av skjæringspunktet.

Men rektangelet har også én særegen egenskap.

Rektangel eiendom

Hvorfor er denne egenskapen særegen? Fordi ingen andre parallellogram har like diagonaler. La oss formulere det klarere.

Merk: for å bli et rektangel må en firkant først bli et parallellogram, og deretter vise likheten mellom diagonalene.

3. Diamant

Og igjen spørsmålet: er en rombe et parallellogram eller ikke?

Med full rett - et parallellogram, fordi det har og (husk vår funksjon 2).

Og igjen, siden en rombe er et parallellogram, må den ha alle egenskapene til et parallellogram. Dette betyr at i en rombe er motsatte vinkler like, motsatte sider er parallelle og diagonalene halverer i skjæringspunktet.

Egenskaper til en rombe

Se på bildet:

Som i tilfellet med et rektangel, er disse egenskapene særegne, det vil si at for hver av disse egenskapene kan vi konkludere med at dette ikke bare er et parallellogram, men en rombe.

Tegn på en diamant

Og igjen, vær oppmerksom: det må ikke bare være en firkant hvis diagonaler er vinkelrette, men et parallellogram. Sørg for:

Nei, selvfølgelig, selv om diagonalene er vinkelrette, og diagonalen er halveringslinjen til vinklene og. Men ... diagonaler er ikke delt i to av skjæringspunktet, derfor - IKKE et parallellogram, og derfor IKKE en rombe.

Det vil si at en firkant er et rektangel og en rombe på samme tid. La oss se hva som skjer.

Er det klart hvorfor? - rombe er halveringslinjen til vinkel A, som er lik. Dette betyr at den deler seg (og også) i to vinkler langs.

Vel, det er ganske klart: diagonalene til et rektangel er like; Diagonalene til en rombe er vinkelrette, og generelt er et parallellogram av diagonaler delt i to av skjæringspunktet.

MIDDELNIVÅ

Egenskaper til firkanter. Parallelogram

Egenskaper til et parallellogram

Oppmerksomhet! Ord" egenskapene til et parallellogram"mener at hvis du er i oppgaven din Det er det parallellogram, så kan alt av følgende brukes.

Teorem om egenskapene til et parallellogram.

I ethvert parallellogram:

La oss forstå hvorfor alt dette er sant, med andre ord VI SKAL BEVISE teorem.

Så hvorfor er 1) sant?

Hvis det er et parallellogram, så:

• liggende på kryss og tvers
• ligger som kors.

Dette betyr (i henhold til kriterium II: og - generelt.)

Vel, det er det, det er det! - bevist.

Men forresten! Vi beviste også 2)!

Hvorfor? Men (se på bildet), altså nettopp fordi.

Kun 3 igjen).

For å gjøre dette må du fortsatt tegne en andre diagonal.

Og nå ser vi det - i henhold til II-karakteristikken (vinkler og siden "mellom" dem).

Egenskaper bevist! La oss gå videre til skiltene.

Tegn på et parallellogram

Husk at parallellogramtegnet svarer på spørsmålet "hvordan vet du at en figur er et parallellogram".

I ikoner er det slik:

Hvorfor? Det ville vært fint å forstå hvorfor - det er nok. Men se:

Vel, vi fant ut hvorfor tegn 1 er sant.

Vel, det er enda enklere! La oss tegne en diagonal igjen.

Hvilket betyr:

OG Det er også enkelt. Men...annerledes!

Betyr,. Wow! Men også - innvendig ensidig med sekant!

Derfor det faktum som betyr det.

Og hvis du ser fra den andre siden, så - innvendig ensidig med en sekant! Og det er derfor.

Ser du hvor flott det er?!

Og igjen enkelt:

Akkurat det samme, og.

Vennligst merk: hvis du fant i det minste ett tegn på et parallellogram i problemet ditt, så har du nøyaktig parallellogram og du kan bruke alle egenskapene til et parallellogram.

For fullstendig klarhet, se på diagrammet:

Egenskaper til firkanter. Rektangel.

Rektangelegenskaper:

Punkt 1) er ganske åpenbart - tross alt er tegn 3 () ganske enkelt oppfylt

Og punkt 2) - veldig viktig. Så la oss bevise det

Dette betyr på to sider (og - generelt).

Vel, siden trekantene er like, så er hypotenusene deres også like.

Beviste det!

Og forestill deg at likhet av diagonaler er en særegen egenskap til et rektangel blant alle parallellogrammer. Det vil si at denne uttalelsen er sann^

La oss forstå hvorfor?

Dette betyr (som betyr vinklene til et parallellogram). Men la oss huske igjen at det er et parallellogram, og derfor.

Betyr,. Vel, selvfølgelig følger det at hver av dem! De må tross alt gi totalt!

Så de beviste at hvis parallellogram plutselig (!) viser diagonalene seg å være like, da dette akkurat et rektangel.

Men! Vær oppmerksom! Vi snakker om parallellogrammer! Ikke hvem som helst en firkant med like diagonaler er et rektangel, og bare parallellogram!

Egenskaper til firkanter. Rombe

Og igjen spørsmålet: er en rombe et parallellogram eller ikke?

Med full rett - et parallellogram, fordi det har (Husk vår funksjon 2).

Og igjen, siden en rombe er et parallellogram, må den ha alle egenskapene til et parallellogram. Dette betyr at i en rombe er motsatte vinkler like, motsatte sider er parallelle og diagonalene halverer i skjæringspunktet.

Men det er også spesielle egenskaper. La oss formulere det.

Egenskaper til en rombe

Hvorfor? Vel, siden en rombe er et parallellogram, er diagonalene delt i to.

Hvorfor? Ja, det er derfor!

Diagonalene viste seg med andre ord å være halveringslinjer for hjørnene på romben.

Som i tilfellet med et rektangel, er disse egenskapene særegne, hver av dem er også et tegn på en rombe.

Tegn på en diamant.

Hvorfor er dette? Og se,

Det betyr både Disse trekantene er likebente.

For å være en rombe må en firkant først "bli" et parallellogram, og deretter vise funksjon 1 eller funksjon 2.

Egenskaper til firkanter. Kvadrat

Det vil si at en firkant er et rektangel og en rombe på samme tid. La oss se hva som skjer.

Er det klart hvorfor? En firkant - en rombe - er halveringslinjen til en vinkel som er lik. Dette betyr at den deler seg (og også) i to vinkler langs.

Vel, det er helt klart: diagonalene til et rektangel er like; Diagonalene til en rombe er vinkelrette, og generelt er et parallellogram av diagonaler delt i to av skjæringspunktet.

Hvorfor? Vel, la oss bare bruke Pythagoras teorem på...

SAMMENDRAG OG GRUNNLEGGENDE FORMLER

Egenskaper til et parallellogram:

1. Motstående sider er like: , .
2. Motstående vinkler er like: , .
3. Vinklene på den ene siden utgjør: , .
4. Diagonalene er delt i to av skjæringspunktet: .

Rektangelegenskaper:

1. Diagonalene til rektangelet er like: .
2. Et rektangel er et parallellogram (for et rektangel er alle egenskapene til et parallellogram oppfylt).

Egenskaper til en rombe:

1. Diagonalene til en rombe er vinkelrette: .
2. Diagonalene til en rombe er halveringslinjene til vinklene: ; ; ; .
3. En rombe er et parallellogram (for en rombe er alle egenskapene til et parallellogram oppfylt).

Egenskaper til et kvadrat:

Et kvadrat er en rombe og et rektangel på samme tid, derfor er alle egenskapene til et rektangel og en rombe oppfylt for et kvadrat. Og også.

Dette er en firkant hvis motsatte sider er parallelle i par.

Eiendom 1. Enhver diagonal i et parallellogram deler det i to like trekanter.

Bevis . I henhold til II-karakteristikken (kryssvinkler og felles side).

Teoremet er bevist.

Eiendom 2. I et parallellogram er motsatte sider like og motsatte vinkler er like.

Bevis .
Likeledes,

Teoremet er bevist.

Egenskap 3. I et parallellogram er diagonalene halvert med skjæringspunktet.

Bevis .

Teoremet er bevist.

Eiendom 4. Vinkelhalveringslinjen til et parallellogram, som krysser motsatt side, deler det inn i en likebenet trekant og en trapes. (Ch. ord - toppunkt - to likebenede? -ka).

Bevis .

Teoremet er bevist.

Eiendom 5. I et parallellogram er et linjestykke med ender på motsatte sider som går gjennom skjæringspunktet mellom diagonalene, halvert av dette punktet.

Bevis .

Teoremet er bevist.

Eiendom 6. Vinkelen mellom høydene som faller fra toppunktet til en stump vinkel på et parallellogram er lik en spiss vinkel på et parallellogram.

Bevis .

Teoremet er bevist.

Eiendom 7. Summen av vinklene til et parallellogram ved siden av den ene siden er 180°.

Bevis .

Teoremet er bevist.

Konstruere halveringslinjen til en vinkel. Egenskaper til vinkelhalveringslinjen til en trekant.

1) Konstruer en vilkårlig stråle DE.

2) På en gitt stråle, konstruer en vilkårlig sirkel med et senter i toppunktet og det samme
med sentrum i begynnelsen av den konstruerte strålen.

3) F og G - skjæringspunkter for sirkelen med sidene av en gitt vinkel, H - skjæringspunkt for sirkelen med den konstruerte strålen

Konstruer en sirkel med sentrum i punktet H og radius lik FG.

5) I er skjæringspunktet mellom sirklene til den konstruerte bjelken.

6) Tegn en rett linje gjennom toppunktet og I.

IDH er den nødvendige vinkelen.
)

Eiendom 1. Halveringslinjen til en vinkel i en trekant deler den motsatte siden i forhold til de tilstøtende sidene.

Bevis . La x, y være segmenter av siden c. La oss fortsette strålen BC. På stråle BC plotter vi fra C et segment CK lik AC.

For å finne ut om en gitt figur er et parallellogram, er det en rekke tegn. La oss se på de tre hovedtrekkene til et parallellogram.

1 parallellogramtegn

Hvis to sider av en firkant er like og parallelle, vil denne firkanten være et parallellogram.

Bevis:

Tenk på firkanten ABCD. La sidene AB og CD være parallelle. Og la AB=CD. La oss tegne den diagonale BD i den. Den vil dele denne firkanten i to like trekanter: ABD og CBD.

Disse trekantene er like hverandre på to sider og vinkelen mellom dem (BD er fellessiden, AB = CD etter betingelse, vinkel1 = vinkel2 som tverrgående vinkler med den tverrgående BD av parallelle linjer AB og CD.), og derfor vinkel3 = vinkel4.

Og disse vinklene vil ligge på kryss og tvers når linjene BC og AD skjærer sekanten BD. Det følger av dette at BC og AD er parallelle med hverandre. Vi har at i firkanten ABCD er de motsatte sidene parvis parallelle, og derfor er firkanten ABCD et parallellogram.

Parallelogram tegn 2

Hvis i en firkant er de motsatte sidene like parvis, vil denne firkanten være et parallellogram.

Bevis:

Tenk på firkanten ABCD. La oss tegne den diagonale BD i den. Den vil dele denne firkanten i to like trekanter: ABD og CBD.

Disse to trekantene vil være like hverandre på tre sider (BD er fellessiden, AB = CD og BC = AD etter betingelse). Fra dette kan vi konkludere med at vinkel1 = vinkel2. Det følger at AB er parallell med CD. Og siden AB = CD og AB er parallelle med CD, vil firkanten ABCD ifølge det første kriteriet til et parallellogram være et parallellogram.

3 parallellogram tegn

Hvis diagonalene til en firkant skjærer og halveres av skjæringspunktet, vil denne firkanten være et parallellogram.

Tenk på firkanten ABCD. La oss tegne to diagonaler AC og BD i den, som vil skjære hverandre i punktet O og halveres med dette punktet.

Trekanter AOB og COD vil være lik hverandre, i henhold til det første tegnet på likhet av trekanter. (AO = OC, BO = OD etter betingelse, vinkel AOB = vinkel COD som vertikale vinkler.) Derfor er AB = CD og vinkel1 = vinkel 2. Fra likheten mellom vinkel 1 og 2 har vi at AB er parallell med CD. Så har vi at i firkanten ABCD er sidene AB lik CD og parallelle, og etter det første kriteriet til et parallellogram vil firkanten ABCD være et parallellogram.