Hvordan trekke en rot fra en rot. Hvordan legge til kvadratrøtter

Biblioteket til Alexander Sergeevich Pushkins verk er veldig rikt. Den inneholder verk av ulike sjangere og ulike emner. Litteraturkritikere deler alt dikterens arbeid inn i flere perioder. Det er fem av dem totalt, og hver av dem er assosiert med en spesifikk begivenhet i Pushkins liv: eksamen fra Lyceum, sørlig eksil og andre.

På spørsmålet: "Hva ble emnet for tekstene til Alexander Sergeevich?" - det er umulig å svare entydig.

Han skrev om kjærlighet, og vennskap, og om moderlandet, berørte bl.a. filosofiske temaer. Det er fullt mulig å si at alt ble gjenstand for tekstene hans.

Men sannsynligvis var hoved- og hovedtemaet for dikteren kjærlighetstemaet, som han sang, og helt i begynnelsen av arbeidet hans hevet og hevet han til rangeringen av de mest verdifulle menneskelige følelsene, som for eksempel i hans dikt "Kjærlighet alene er moroa i et kaldt liv":

Hundre ganger velsignet, som i sin ungdom er sjarmerende

Dette raske øyeblikket vil fange på farten;

Hvem til det ukjentes gleder og lykke

Slem skjønnhet vil bøye seg!

Men gradvis, med modningen og utviklingen av hans verk, tenker dikteren på nytt dette emnet. Han begynner å gi stor oppmerksomhet følelser og opplevelser til en kvinne, i tillegg til å nyte kjærlighetens tristhet:

Jeg er trist og lett; min tristhet er lett;

Min sorg er full av deg...

En annen retning i Pushkins arbeid er temaet vennskap. Arbeidene om dette emnet er hovedsakelig viet til vennene fra dikterens lyceumstid: I. Pushchin, A. Delvig og V. Küchelbecker. Vennskap i ungdommen legemliggjorde uforsiktighet og glede for Pushkin.

Temaet vennskap, i likhet med temaet kjærlighet, utvikler seg gradvis. Forfatteren begynner å se i sin tragedie, tristhet, skuffelse fra tapet av nære venner. Slike motiver er spesielt akutte i hans verk "The Twelfth of October":

Jeg er trist: det er ingen venn med meg ...

Jeg drikker alene, og på bredden av Neva

Vennene mine ringer meg...

Men hvor mange av dere fester der også?

Hvem andre har du savnet?

Det neste viktige og høyprofilerte emnet i Pushkins tekster ble frihetens tema. I mange arbeider av dikteren kan man se motivene til kjærlighet til frihet, ønsket om begrensning absolutt makt konge, for eksempel i oden "Liberty":

Mestere! du krone og trone

Loven gir, ikke naturen;

Du står over folket

Men den evige lov er over deg.

Alexander Sergeevich i det refererer til myndighetene, i linjene er det en klar oppfordring om å begrense tsarens makt ved loven, det vil si grunnloven.

Senere går forfatteren fra en strengt politisk forståelse av frihet og viser interesse for friheten til en enkel russisk person. Det vil si at dette temaet også utvikler seg på sin egen måte. Dette sees tydelig i diktet "The Village":

Jeg skjønner, mine venner! undertrykte mennesker

Og slaveri, falt på ordre fra kongen...

Høydepunktet for hymnen til frihet, allerede personlig, er verket "Fra Pindemonti", der det er en linje:

Ikke bøy verken samvittighet, tanker eller nakke ...

Selvfølgelig, når vi snakker om Pushkins verk, kan man ikke unngå et av de dypeste filosofiske temaene, poetens tema og poesi. Alexander Sergeevich var klar over at dikteren er alene i samfunnet og ofte kan misforstås, at støyen og ros fra mengden bare er periodisk og ustadig, midlertidig. Dette er veldig tydelig i et av diktene hans:

Dikter! Ikke verdsett kjærligheten til folket.

entusiastisk ros vil passere minutt støy;

Et annet av arbeidene om dette emnet var "Monument". Det lyder troen på at dikterens verk er udødelig, at det vil forbli i hjertene til hans beundrere, og at dikteren selv vil forbli i live etter døden takket være hans kreasjoner, noe som bekreftes av linjene:

Nei, hele meg skal ikke dø - sjelen er i den kjære lyren

Min aske vil overleve og forfallet vil flykte ...

Tekstene til den store Alexander Sergeevich mister ikke sin relevans gjennom årene, fordi forfatteren berørte de mest vitale og presserende emnene selv for våre dager, evige temaer, i hver av dem er det en gradvis utvikling av tanker, følelser lyrisk helt. Kreativitet, Pushkins tekster utviklet seg sammen med ham, med hans åndelige verden, hans syn på alt rundt ham.

Effektiv forberedelse til eksamen (alle fag) -

Merk følgende!
Det er flere
materiale i spesialseksjon 555.
For de som er sterke "ikke veldig. »
Og for de som «veldig jevn. "")

I forrige leksjon fant vi ut hva en kvadratrot er. Det er på tide å finne ut hva det er formler for røtter, hva er rotegenskaper og hva kan gjøres med det hele.

Rotformler, rotegenskaper og regler for handlinger med røtter er i hovedsak det samme. Formler for kvadratrøtter overraskende lite. Noe som selvfølgelig gleder! Snarere kan du skrive mye av alle slags formler, men bare tre er nok for praktisk og selvsikkert arbeid med røtter. Alt annet kommer fra disse tre. Selv om mange forviller seg i røttenes tre formler, ja.

La oss starte med det enkleste. Her er hun:

Jeg minner deg (fra forrige leksjon): a og b er ikke-negative tall! Ellers gir formelen ingen mening.

Dette egenskapen til røttene , som du kan se, enkel, kort og ufarlig. Men med denne rotformelen kan du gjøre mange nyttige ting! La oss ta en titt på eksempler alle disse nyttige tingene.

Nyttig ting først. Denne formelen tillater oss multiplisere røtter.

Hvordan multiplisere røtter?

Ja, veldig enkelt. Rett til formelen. For eksempel:

Det ser ut til at de har multiplisert seg, hva så? Er det mye glede? Jeg er enig, litt. Men hvordan liker du dette eksempel?

Røtter er ikke akkurat hentet fra faktorer. Og resultatet er flott! Allerede bedre, ikke sant? Bare i tilfelle vil jeg informere deg om at det kan være så mange multiplikatorer du vil. Rotmultiplikasjonsformelen fungerer fortsatt. For eksempel:

Så med multiplikasjon er alt klart hvorfor dette er nødvendig egenskapen til røttene- er også forståelig.

Nyttig ting det andre. Tast inn et tall under tegnet til roten.

Hvordan legge inn et tall under roten?

La oss si at vi har dette uttrykket:

Er det mulig å skjule toeren inne i roten? Enkelt! Hvis du lager en rot av to, vil formelen for å multiplisere røttene fungere. Og hvordan lage en rot fra en toer? Ja, det er heller ikke et spørsmål! Det dobbelte er kvadratroten av fire!

Roten kan forresten lages fra et hvilket som helst ikke-negativt tall! Dette vil være kvadratroten av kvadratet av dette tallet. 3 er roten av 9. 8 er roten av 64. 11 er roten av 121. Vel, og så videre.

Selvfølgelig er det ikke nødvendig å male så detaljert. Bortsett fra, for det første. Det er nok å innse at ethvert ikke-negativt tall multiplisert med roten kan bringes under roten. Men ikke glem! - under roten vil dette nummeret bli torget han selv. Denne handlingen - å legge inn et tall under roten - kan også kalles å multiplisere et tall med roten. Generelt kan man skrive:

Prosessen er enkel, som du kan se. Hvorfor trengs hun?

Som enhver transformasjon utvider denne prosedyren våre muligheter. Muligheter for å gjøre et grusomt og ubehagelig uttrykk til et mykt og luftig et). Her er en enkel en for deg eksempel:

Som du kan se rotegenskap, som gjør det mulig å introdusere en faktor under tegnet til roten, er ganske egnet for forenkling.

I tillegg, å legge til en multiplikator under roten gjør det enkelt og enkelt å sammenligne verdier ulike røtter. Uten noen beregning og kalkulator! Den tredje nyttige tingen.

Hvordan sammenligne røtter?

Denne ferdigheten er veldig viktig i solide oppdrag, når du låser opp moduler og andre kule ting.

Sammenlign disse uttrykkene. Hvilken er mer? Uten kalkulator! Hver med en kalkulator. eh-uh. Kort sagt, alle kan gjøre det!)

Du sier det ikke med en gang. Og hvis du skriver inn tall under tegnet til roten?

Husk (plutselig, visste ikke?): hvis tallet under rotens tegn er større, så er selve roten større! Derav det umiddelbart riktige svaret, uten noen kompliserte beregninger og beregninger:

Det er flott, ikke sant? Men det er ikke alt! Husk at alle formler fungerer både fra venstre til høyre og fra høyre til venstre. Vi har så langt brukt formelen for å multiplisere røtter fra venstre mot høyre. La oss kjøre denne rotegenskapen bakover, fra høyre til venstre. Som dette:

Og hva er forskjellen? Gir det deg noe!? Sikkert! Nå vil du se selv.

Anta at vi trenger å trekke ut (uten kalkulator!) kvadratroten av tallet 6561. Noen mennesker på dette stadiet vil falle i en ulik kamp med oppgaven. Men vi er sta, vi gir ikke opp! Nyttig ting fjerde.

Hvordan trekke ut røtter fra store tall?

Vi husker formelen for å trekke ut røtter fra et produkt. Den jeg postet ovenfor. Men hvor er arbeidet vårt? Vi har et stort antall 6561 og det er det. Ja, det er ingen kunst. Men hvis vi trenger det, vi la oss gjøre! La oss faktorisere dette tallet. Vi har rett.

La oss først finne ut hva dette tallet er delelig med nøyaktig? Hva, du vet ikke!? Har du glemt tegnene på delbarhet!? Forgjeves. Gå til Spesialseksjon 555, temaet er "Brøker", der er de. Dette tallet er delelig med 3 og 9. Fordi summen av sifrene (6+5+6+1=18) er delelig med disse tallene. Dette er et av tegnene på delbarhet. Vi trenger ikke å dele på tre (nå vil du forstå hvorfor), men vi deler på 9. I hvert fall i et hjørne. Vi får 729. Så vi fant to faktorer! Den første er en nier (vi valgte den selv), og den andre er 729 (det ble sånn). Du kan allerede skrive:

Får du ideen? La oss gjøre det samme med tallet 729. Det er også delelig med 3 og 9. Igjen, vi deler ikke på 3, vi deler på 9. Vi får 81. Og vi kjenner dette tallet! Vi skriver ned:

Alt ble enkelt og elegant! Roten måtte fjernes stykke for stykke, vel, ok. Dette kan gjøres med hvilken som helst store tall. Multipliser dem, og gå!

Forresten, hvorfor måtte du ikke dele på 3, gjettet du? Ja, for roten av tre er ikke akkurat trukket ut! Det er fornuftig å dekomponere til slike faktorer at minst en rot kan trekkes ut godt. Det er 4, 9, 16 vel, og så videre. Del ditt enorme tall med disse tallene etter tur, skjønner du, og du er heldig!

Men ikke nødvendigvis. Kanskje ikke heldig. La oss si at tallet 432, når det faktoriseres og bruker rotformelen for produktet, vil gi følgende resultat:

Vel ok. Vi har forenklet uttrykket uansett. I matematikk er det vanlig å forlate det meste lite antall av det mulige. I prosessen med å løse avhenger alt av eksemplet (kanskje alt reduseres uten forenkling), men i svaret er det nødvendig å gi et resultat som ikke kan forenkles ytterligere.

Vet du forresten hva vi har gjort med roten til 432 nå?

Vi tatt ut faktorer fra under tegnet til roten ! Det er hva denne operasjonen kalles. Og da vil oppgaven falle - " ta faktoren ut under rotens tegn"Men mennene vet ikke engang.) Her er en annen bruk for deg rotegenskaper. Nyttig ting femte.

Hvordan ta multiplikatoren ut under roten?

Enkelt. Faktoriser rotuttrykket og trekk ut røttene som trekkes ut. Vi ser:

Ikke noe overnaturlig. Det er viktig å velge riktige multiplikatorer. Her har vi dekomponert 72 som 36 2. Og alt ble bra. Eller de kunne ha dekomponert det annerledes: 72 = 6 12. Og hva!? Verken fra 6 eller fra 12 trekkes roten ut. Hva å gjøre?!

Det er greit. Eller se etter andre nedbrytningsalternativer, eller fortsett å legge ut alt til stopp! Som dette:

Som du kan se, ordnet alt seg. Dette er forresten ikke den raskeste, men mest pålitelige måten. Dekomponer tallet i de minste faktorene, og samle deretter de samme i hauger. Metoden er også vellykket brukt når du multipliserer ubeleilige røtter. For eksempel må du beregne:

Multipliser alt - du får et vanvittig tall! Og så hvordan trekke ut roten fra den?! Multiplisere igjen? Nei, vi trenger ikke ekstraarbeid. Vi dekomponerer umiddelbart i faktorer og samler det samme i hauger:

Det er alt. Det er selvsagt ikke nødvendig å legge ut til holdeplassen. Alt bestemmes av dine personlige evner. Brakt eksemplet til en stat hvor alt er klart for deg så du kan allerede telle. Det viktigste er ikke å gjøre feil. Ikke en mann for matematikk, men matematikk for en mann!)

La oss bruke kunnskap i praksis? La oss starte med en enkel:

Regel for å legge til kvadratrøtter

Egenskaper til kvadratrøtter

Så langt har vi utført fem aritmetiske operasjoner på tall: addisjon, subtraksjon, multiplikasjon, divisjon og eksponentiering, og ulike egenskaper ved disse operasjonene ble aktivt brukt i beregninger, for eksempel a + b = b + a, og n -b n = (ab) n, etc.

Dette kapittelet introduserer en ny operasjon - utvinning kvadratrot fra et ikke-negativt tall. For å lykkes med å bruke den, må du bli kjent med egenskapene til denne operasjonen, som vi vil gjøre i denne delen.

Bevis. La oss introdusere følgende notasjon:
Det må vi bevise for negative tall x, y, z, x = yz.

Så x 2 = ab, y 2 = a, z 2 = b. Deretter x 2 \u003d y 2 z 2, dvs. x 2 \u003d (yz) 2.

Hvis firkanter to ikke-negative tall er like, så er tallene i seg selv like, noe som betyr at fra likheten x 2 \u003d (yz) 2 følger det at x \u003d yz, og dette måtte bevises.

La oss ta med kort notat bevis på teoremet:

Merknad 1. Teoremet forblir gyldig for tilfellet når det radikale uttrykket er produktet av mer enn to ikke-negative faktorer.

Merknad 2. Teorem 1 kan skrives ved å bruke "if. , da» (som det er vanlig for teoremer i matematikk). Vi gir den tilsvarende formuleringen: hvis a og b er ikke-negative tall, så er likheten .

Slik formulerer vi følgende teorem.

(En kort formulering som er mer praktisk å bruke i praksis: roten til brøken lik en brøkdel fra røttene eller roten av kvotienten er lik kvotienten til røttene.)

Denne gangen vil vi bare gi en kort oversikt over beviset, og du prøver å komme med passende kommentarer, lignende emner, som dannet essensen av beviset for teorem 1.

Eksempel 1. Regn ut .
Løsning. Bruker den første eiendommen kvadratrøtter(Setning 1), får vi

Merknad 3. Selvfølgelig kan dette eksemplet løses annerledes, spesielt hvis du har en kalkulator for hånden: multipliser tallene 36, 64, 9, og ta kvadratroten av det resulterende produktet. Du vil imidlertid være enig i at løsningen foreslått ovenfor ser mer kulturell ut.

Merknad 4. I den første metoden utførte vi direkte beregninger. Den andre måten er mer elegant:
vi søkte formel a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b) og brukte egenskapen til kvadratrøtter.

Merknad 5. Noen "hotheads" tilbyr noen ganger følgende "løsning" til eksempel 3:

Dette er selvfølgelig ikke sant: du skjønner - resultatet er ikke det samme som i vårt eksempel 3. Faktum er at det ikke er noen eiendom som nei og egenskaper Det er kun egenskaper som angår multiplikasjon og deling av kvadratrøtter. Vær forsiktig og forsiktig, ikke ta ønsketenkning.

Eksempel 4. Regn ut: a)
Løsning. Enhver formel i algebra brukes ikke bare "fra høyre til venstre", men også "fra venstre til høyre". Så, den første egenskapen til kvadratrøtter betyr at den om nødvendig kan representeres som , og omvendt, som kan erstattes av uttrykket Det samme gjelder den andre egenskapen til kvadratrøtter. Med dette i tankene, la oss løse det foreslåtte eksemplet.

Avslutningsvis bemerker vi en til ganske enkel og samtidig viktig eiendom:
hvis a > 0 og n - naturlig tall , Det

Eksempel 5 Regne ut uten å bruke en tabell med kvadrater av tall og en kalkulator.

Løsning. La oss dekomponere rotnummeret til primære faktorer:

Merknad 6. Dette eksemplet kan løses på samme måte som det tilsvarende eksemplet i § 15. Det er lett å gjette at svaret blir «80 med hale», siden 80 2 2 . La oss finne "halen", dvs. det siste sifferet i ønsket nummer. Så langt vet vi at hvis roten trekkes ut, så kan svaret være 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88 eller 89. Bare to tall må kontrolleres: 84 og 86, siden bare de, når kvadratet, vil gi som et resultat firesifret et tall som slutter på 6, dvs. det samme sifferet som slutter med tallet 7056. Vi har 84 2 \u003d 7056 - dette er det vi trenger. Midler,

Mordkovich A.G., Algebra. Karakter 8: Proc. for allmennutdanning institusjoner - 3. utg., ferdigstilt. - M.: Mnemosyne, 2001. - 223 s.: ill.

Bøker, nedlasting av lærebøker i matematikk, sammendrag for å hjelpe læreren og elevene å lære på nettet

Hvis du har rettelser eller forslag til denne leksjonen skriv til oss.

Ønsker du å se andre rettelser og forslag til leksjoner, se her - Utdanningsforum.

Hvordan legge til kvadratrøtter

Kvadratroten av et tall X ringte et nummer EN, som er i ferd med å multiplisere seg selv ( A*A) kan gi et tall X.
De. A * A = A 2 = X, Og √X = A.

Over kvadratrøtter ( √x), som med andre tall, kan du utføre aritmetiske operasjoner som subtraksjon og addisjon. For å trekke fra og legge til røtter, må de kobles sammen med tegn som tilsvarer disse handlingene (for eksempel √x - √y ).
Og så bringe røttene til dem enkleste formen- hvis det er lignende mellom dem, er det nødvendig å lage en rollebesetning. Det består i det faktum at koeffisientene til lignende termer tas med tegnene til de tilsvarende leddene, så er de omsluttet av parentes og utdata felles rot utenfor multiplikatorparentesene. Koeffisienten som vi har fått er forenklet i henhold til de vanlige reglene.

Trinn 1. Trekk ut kvadratrøtter

Først, for å legge til kvadratrøtter, må du først trekke ut disse røttene. Dette kan gjøres hvis tallene under rottegnet er perfekte kvadrater. Ta for eksempel det gitte uttrykket √4 + √9 . Første nummer 4 er kvadratet av tallet 2 . Andre nummer 9 er kvadratet av tallet 3 . Dermed kan følgende likhet oppnås: √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
Alt, eksemplet er løst. Men det er ikke alltid det blir sånn.

Trinn 2. Ta ut multiplikatoren til tallet under roten

Hvis hele firkanter ikke er under rottegnet, kan du prøve å ta ut multiplikatoren til tallet under rottegnet. Ta for eksempel uttrykket √24 + √54 .

La oss faktorisere tallene:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

Blant 24 vi har en multiplikator 4 , kan den tas ut under kvadratrottegnet. Blant 54 vi har en multiplikator 9 .

Vi får likheten:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

Med tanke på dette eksemplet får vi fjerning av faktoren under rottegnet, og forenkler derved det gitte uttrykket.

Trinn 3. Redusere nevneren

Tenk på følgende situasjon: summen av to kvadratrøtter er nevneren til en brøk, for eksempel, A / (√a + √b).
Nå står vi overfor oppgaven med å «bli kvitt irrasjonaliteten i nevneren».
La oss bruke på følgende måte: gang telleren og nevneren til brøken med uttrykket √a - √b.

Vi får nå den forkortede multiplikasjonsformelen i nevneren:
(√a + √b) * (√a - √b) = a - b.

På samme måte, hvis nevneren inneholder forskjellen mellom røttene: √a - √b, blir telleren og nevneren for brøken multiplisert med uttrykket √a + √b.

La oss ta en brøk som eksempel:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 — √5) / ((√3 + √5) * (√3 — √5)) = 4 * (√3 — √5) / (-2) = 2 * (√5 — √3) .

Et eksempel på kompleks nevnerreduksjon

La oss nå vurdere nok komplekst eksempel bli kvitt irrasjonalitet i nevneren.

La oss ta en brøk som eksempel: 12 / (√2 + √3 + √5) .
Du må ta telleren og nevneren og gange med uttrykket √2 + √3 — √5 .

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 — √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 — √30.

Trinn 4. Beregn den omtrentlige verdien på kalkulatoren

Hvis du bare trenger en omtrentlig verdi, kan dette gjøres på en kalkulator ved å beregne verdien av kvadratrøttene. Separat, for hvert tall, beregnes og registreres verdien med den nødvendige nøyaktigheten, som bestemmes av antall desimaler. Videre utføres alle nødvendige operasjoner, som med vanlige tall.

Estimert beregningseksempel

Det er nødvendig å beregne den omtrentlige verdien av dette uttrykket √7 + √5 .

Som et resultat får vi:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

Vennligst merk: under ingen omstendigheter bør du legge til kvadratrøtter, som primtall, dette er helt uakseptabelt. Det vil si at hvis du legger til kvadratroten av fem og tre, kan vi ikke få kvadratroten av åtte.

Nyttige råd: hvis du bestemmer deg for å faktorisere et tall, for å utlede et kvadrat fra under rottegnet, må du gjøre en omvendt sjekk, det vil si multiplisere alle faktorene som ble resultatet av beregningene, og det endelige resultatet av dette matematisk beregning skal være tallet vi opprinnelig fikk.

Handling med røtter: addisjon og subtraksjon

Å trekke ut kvadratroten av et tall er ikke den eneste operasjonen som kan utføres med dette matematiske fenomenet. Akkurat som vanlige tall, kan kvadratrøtter legges til og trekkes fra.

Regler for å legge til og trekke fra kvadratrøtter

Handlinger som å legge til og trekke fra en kvadratrot er bare mulig hvis rotuttrykket er det samme.

Du kan legge til eller trekke fra uttrykk 2 3 og 6 3, men ikke 5 6 Og 9 4 . Hvis det er mulig å forenkle uttrykket og bringe det til røtter med samme rotnummer, så forenkle, og deretter addere eller subtrahere.

Rothandlinger: Det grunnleggende

6 50 — 2 8 + 5 12

Forenkle rotuttrykket. For å gjøre dette er det nødvendig å dekomponere rotuttrykket i 2 faktorer, hvorav den ene er et kvadrattall (tallet som hele kvadratroten trekkes ut fra, for eksempel 25 eller 9).
Deretter må du trekke ut roten fra kvadrattall og skriv den resulterende verdien før rottegnet. Vær oppmerksom på at den andre faktoren legges inn under rottegnet.
Etter forenklingsprosessen er det nødvendig å understreke røttene med de samme radikale uttrykkene - bare de kan legges til og trekkes fra.
For røtter med de samme radikale uttrykkene er det nødvendig å legge til eller trekke fra faktorene som kommer foran rottegnet. Rotuttrykket forblir uendret. Ikke legg til eller trekk fra rottall!

Hvis du har et eksempel med stort beløp identiske radikale uttrykk, understrek deretter slike uttrykk med enkle, doble og trippellinjer for å lette beregningsprosessen.

La oss prøve dette eksemplet:

6 50 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30 2 . Først må du dekomponere 50 i 2 faktorer 25 og 2, deretter ta roten av 25, som er 5, og ta 5 ut under roten. Etter det må du gange 5 med 6 (multiplikatoren ved roten) og få 30 2 .

2 8 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 4 2 . Først må du dekomponere 8 i 2 faktorer: 4 og 2. Deretter, fra 4, trekke ut roten, som er lik 2, og ta ut 2 fra under roten. Etter det må du gange 2 med 2 (faktoren ved roten) og få 4 2 .

5 12 = 5 (4 × 3) = (5 × 2) 3 = 10 3 . Først må du dekomponere 12 i 2 faktorer: 4 og 3. Trekk deretter ut roten fra 4, som er 2, og ta den ut under roten. Etter det må du gange 2 med 5 (faktoren ved roten) og få 10 3 .

Forenklingsresultat: 30 2 — 4 2 + 10 3

30 2 — 4 2 + 10 3 = (30 — 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

Som et resultat så vi hvor mange identiske radikale uttrykk som finnes i dette eksemplet. La oss nå øve med andre eksempler.

Forenkle (45) . Vi faktoriserer 45: (45) = (9 × 5) ;
Vi tar ut 3 fra under roten (9 \u003d 3): 45 \u003d 3 5;
Vi legger til faktorene ved røttene: 3 5 + 4 5 = 7 5 .
Forenkling 6 40 . Vi faktoriserer 40: 6 40 \u003d 6 (4 × 10) ;
Vi tar ut 2 fra under roten (4 \u003d 2): 6 40 \u003d 6 (4 × 10) \u003d (6 × 2) 10;
Vi multipliserer faktorene som er foran roten: 12 10;
Vi skriver uttrykket i en forenklet form: 12 10 - 3 10 + 5;
Siden de to første leddene har samme rottall, kan vi trekke dem fra: (12 - 3) 10 = 9 10 + 5.

Som vi kan se, er det ikke mulig å forenkle de radikale tallene, derfor ser vi i eksemplet etter medlemmer med de samme radikale tallene, utfører matematiske operasjoner (legg til, subtrahere osv.) og skriver resultatet:

(9 — 4) 5 — 2 3 = 5 5 — 2 3 .

Råd:

Før du legger til eller trekker fra, er det viktig å forenkle (hvis mulig) de radikale uttrykkene.
Å legge til og trekke fra røtter med forskjellige rotuttrykk er strengt forbudt.
Ikke legg til eller trekk fra et heltall eller kvadratrot: 3 + (2 x) 1 / 2 .
Når du utfører operasjoner med brøker, må du finne et tall som er delelig med hver nevner, og deretter bringe brøkene til fellesnevner, legg deretter til tellerne og la nevnerne være uendret.

Egenskaper til den aritmetiske kvadratroten. Kraften til den aritmetiske kvadratroten

Konvertering av aritmetiske kvadratrøtter. Omregning av aritmetiske kvadratrøtter

Å ta ut kvadratroten av et polynom, er det nødvendig å beregne polynomet og trekke ut roten fra det resulterende tallet.

Merk følgende! Det er umulig å trekke ut roten fra hvert ledd (redusert og trukket fra) separat.

Shchob å vinne kvadratroten av polynomet, kravet er å beregne rikleddet og fra det subtraherte tallet for å ta roten.

Respekt! Det er umulig å trekke ut roten fra hudtilskuddet (endret og synlig) OKremo.

For å trekke ut kvadratroten av produktet (kvotient), kan du beregne kvadratroten av hver faktor (dividende og divisor), og ta de resulterende verdiene etter produktet (kvotient).

For å vinne kvadratroten av dobutkaen (deler), kan du beregne kvadratroten av hudmultiplikatoren (delt og dilnik), og fjerne verdien ved å ta en supplerende (hyppig).

For å ta kvadratroten av en brøk, må du trekke ut kvadratroten av telleren og nevneren separat, og la de resulterende verdiene være en brøk eller beregne som en kvotient (hvis mulig etter betingelse).

For å vinne kvadratroten av brøken, du må ta kvadratroten av tallboken og banneret til okremoen, og frata verdien av brøken med en brøk, eller telle den som en del (som det er mulig for sinnet).

En faktor kan tas ut under rottegnet og en faktor kan introduseres under rottegnet. Når en faktor tas ut, trekkes roten ut av den, og når den introduseres, heves den til tilsvarende kraft.

Det tredje rottegnet kan multipliseres og rottegnet kan multipliseres. Med feilen til multiplikatoren blir røttene vridd, og med introduksjonen bygges røttene ved de høyere føttene.

Eksempler. Søke om

For å konvertere summen (forskjellen) av kvadratrøtter, må du bringe rotuttrykkene til en base av graden, om mulig trekke ut røttene fra gradene og skrive dem før fortegnene til røttene, og de resterende kvadratrøttene med de samme rotuttrykkene kan legges til, for hvilke koeffisientene legges til før fortegnsroten og legge til samme kvadratrot.

For å gjenskape summen (kostnaden) av kvadratrøtter, er det nødvendig å bringe underrotrøtter til en av trinnets base, da det er mulig å ta rottrinnene og skrive dem ned før tegnene til trinnet. røtter, og du kan løse kvadratrøttene med samme rotrøtter summer opp, som koeffisientene legges til foran rottegnet og legge til samme kvadratrot.

Vi bringer alle radikale uttrykk til base 2.

Fra jevn grad trekkes roten helt ut, fra oddetall blir basens rot i grad 1 stående under rotens tegn.

Vi gir like heltall og legger til koeffisientene med de samme røttene. Vi skriver binomialet som produktet av et tall og binomialet av summen.

Ta med alle underrøtter til virazien til base 2.

Fra det parede stadiet trekkes røttene på rad, fra det uparrede stadiet fylles røttene til basen i trinn 1 under rotens tegn.

Det foreslås at lignende tall og koeffisienter legges til de samme røttene. Vi skriver binomialet som et supplement til tallet i til sumi-binomialet.

Vi bringer de radikale uttrykkene til den minste basen eller produktet av makter med de minste basene. Vi trekker ut roten fra jevne grader av radikale uttrykk, la restene være i form av en base av en grad med en indikator på 1 eller produktet av slike baser under tegnet til roten. Vi gir lignende termer (legg til koeffisientene til de samme røttene).

Vi fører roten til virazien til den minste basen eller tillegg av trinn med de minste basene. Fra de dampende trinnene under virazens røtter, blir røttene tatt, overskuddet i bunnen av trinnet med indikatoren 1 eller tilsetningen av slike baser fylles under tegnet til roten. Vi foreslår lignende termer (vi legger sammen koeffisientene til de samme røttene).

La oss erstatte delingen av brøker med multiplikasjon (med erstatning av den andre brøken med den resiproke). Multipliser tellerne og nevnerne hver for seg. Under hvert tegn på roten markerer vi gradene. La oss kutte samme multiplikatorer i teller og nevner. Vi henter røtter fra jevne krefter.

Vi erstatter delingen av brøker med en multiplikasjon (med erstatning av en annen brøk med en retur). Multipliser okremo-tall og bannere med brøker. Trinn er synlige under hudens tegn på roten. Vi vil fremskynde de samme multiplikatorene i tallboken og banneret. Skyld på roten til tvillingtrinnene.

For å sammenligne to kvadratrøtter, må deres radikale uttrykk bringes til en grad med samme base, så jo mer graden av det radikale uttrykket vises, mer verdi kvadratrot.

I dette eksemplet kan ikke radikale uttrykk reduseres til én base, siden basen er 3 i den første, og 3 og 7 i den andre.

Den andre måten å sammenligne på er å legge til rotfaktoren til rotuttrykket og sammenligne numeriske verdier rotfestede uttrykk. For en kvadratrot, jo større rotuttrykk, desto større er verdien av roten.

For å matche to kvadratrøtter, er det nødvendig å bringe deres underrøtter til et nivå med samme grunnlag, men jo større indikatoren er på graden av underroten til viruset, desto større er verdien av kvadratroten.

I dette tilfellet er det ikke mulig å bringe rotrøttene til virazien til ett grunnlag, siden i den første er grunnlaget 3, og i den andre - 3 og 7.

En annen måte å utjevne er å legge til rotkoeffisienten til rotvirasen og utjevne de numeriske verdiene til rotvirasen. Kvadratroten har mer underrot viraz, jo mer verdi av roten.

Ved å bruke den distributive loven om multiplikasjon og regelen for å multiplisere røtter med de samme eksponentene (i vårt tilfelle kvadratrøtter), fikk vi summen av to kvadratrøtter med produktet under rottegnet. Vi dekomponerer 91 i primfaktorer og tar roten ut av parentes med vanlige radikale faktorer (13 * 5).

Vi har fått produktet av en rot og et binomial, der ett av monomiene er et heltall (1).

Vikoristovuyuchi rozpodilny lov om multiplikasjon og regelen om multiplikasjon av røtter med de samme indikatorene (i vårt tilfelle - kvadratrøtter), tok summen av to kvadratrøtter med et ekstra tegn på roten. Vi kan legge ut 91 multiplikatorer på en enkel måte og ta roten for buene fra rotmultiplikatorene (13 * 5).

Vi tok tilsetningen av en rot og en binær, som har ett av mononomene i hele tallet (1).

Eksempel 9:

I de radikale uttrykkene velger vi med faktorer tallene som vi kan trekke ut hele kvadratroten fra. Vi trekker ut kvadratrøttene fra potensene og setter tallene ved koeffisientene til kvadratrøttene.

Vilkårene til dette polynomet har en felles faktor √3, som kan tas ut av parentesene. La oss presentere lignende termer.

I underrotviraser blir det sett på som multiplikatorer av tallet, som man kan ta kvadratroten fra. Vi skylder på kvadratrøttene til trinnene og setter tallene ved koeffisientene til kvadratrøttene.

Vilkårene til dette polynomet har en felles multiplikator √3, som kan gis skylden for armene. Vi foreslår lignende tillegg.

Produktet av summen og differansen av to samme baser(3 og √5) ved å bruke den forkortede multiplikasjonsformelen kan skrives som forskjellen mellom kvadratene til basene.

Kvadratroten i annen er alltid lik det radikale uttrykket, så vi vil kvitte oss med radikalet (rottegnet) i uttrykket.

Dobutok sum og forskjell av to identiske baser (3 і √5) fra formelen for rask multiplikasjon kan skrives som en forskjell av kvadratbaser.

Kvadratroten av kvadratet zavzhd er lik underrotvirasen, så vi vil kalle radikalet (rottegnet) til virasen.

Tilbake til skolen. Tilsetning av røtter

I dag moderne elektronisk datamaskiner beregning av roten til et tall er ikke representert utfordrende oppgave. For eksempel, √2704=52, vil enhver kalkulator beregne dette for deg. Heldigvis er kalkulatoren ikke bare i Windows, men også i en vanlig, selv den enkleste, telefon. Riktignok, hvis du plutselig (med en liten grad av sannsynlighet, hvis beregning forresten inkluderer tillegg av røtter) finner deg selv uten tilgjengelige midler, så må du dessverre bare stole på hjernen din.

Tanketrening slår aldri feil. Spesielt for de som ikke jobber med tall så ofte, og enda mer med røtter. Å legge til og trekke fra røtter er en god treningsøkt for et kjedelig sinn. Og jeg vil vise deg tillegget av røtter trinn for trinn. Eksempler på uttrykk kan være følgende.

Ligningen som skal forenkles er:

Dette er et irrasjonelt uttrykk. For å forenkle det, må du redusere alle radikale uttrykk til generelt syn. Vi gjør det i etapper:

Det første tallet kan ikke lenger forenkles. La oss gå videre til andre periode.

3√48 faktoriserer vi 48: 48=2×24 eller 48=3×16. Kvadratroten av 24 er ikke et heltall, dvs. har en brøkdel av resten. Siden vi trenger en nøyaktig verdi, er omtrentlige røtter ikke egnet for oss. Kvadratroten av 16 er 4, ta den ut under rottegnet. Vi får: 3×4×√3=12×√3

Vårt neste uttrykk er negativt, dvs. skrevet med et minustegn -4×√(27.) Factoring 27. Vi får 27=3×9. Vi bruker ikke brøkfaktorer, fordi det er vanskeligere å beregne kvadratroten fra brøker. Vi tar ut 9 fra under skiltet, dvs. regn ut kvadratroten. Vi får følgende uttrykk: -4×3×√3 = -12×√3

Neste ledd √128 beregner delen som kan tas ut under roten. 128=64×2 hvor √64=8. Hvis det gjør det lettere for deg, kan du representere dette uttrykket slik: √128=√(8^2×2)

Vi omskriver uttrykket med forenklede termer:

Nå legger vi til tallene med samme radikale uttrykk. Du kan ikke legge til eller trekke fra uttrykk med forskjellige radikale uttrykk. Tilsetning av røtter krever overholdelse av denne regelen.

Vi får følgende svar:

√2=1×√2 - Jeg håper at det er vanlig i algebra å utelate slike elementer vil ikke være nyheter for deg.

Uttrykk kan representeres ikke bare med kvadratrøtter, men også med terning eller n-te røtter.

Addisjon og subtraksjon av røtter med forskjellige eksponenter, men med et ekvivalent rotuttrykk, fortsetter som følger:

Hvis vi har et uttrykk som √a+∛b+∜b, kan vi forenkle dette uttrykket slik:

12√b4 +12×√b3=12×√b4 + b3

Vi tok med to slike medlemmer til generell indikator rot. Egenskapen til røttene ble brukt her, som sier: hvis tallet på graden av det radikale uttrykket og tallet på roteksponenten multipliseres med det samme tallet, vil beregningen forbli uendret.

Merk: eksponenter legges bare til når de multipliseres.

Tenk på et eksempel der brøker er tilstede i et uttrykk.

La oss løse det steg for steg:

5√8=5*2√2 - vi tar ut den ekstraherte delen fra under roten.

Hvis kroppen av roten er representert av en brøk, vil ofte ikke denne brøken endres hvis kvadratroten av utbyttet og divisor tas. Som et resultat har vi oppnådd likheten beskrevet ovenfor.

Her er svaret.

Det viktigste å huske er at en rot med jevn eksponent ikke trekkes ut fra negative tall. Hvis et radikalt uttrykk med jevn grad er negativt, er uttrykket uløselig.

Tilsetning av røttene er bare mulig hvis rotuttrykkene faller sammen, siden de er det som vilkår. Det samme gjelder forskjell.

Tilsetningen av røtter med forskjellige numeriske eksponenter utføres ved å redusere begge leddene til en felles rotgrad. Denne loven fungerer på samme måte som reduksjon til en fellesnevner når man adderer eller subtraherer brøker.

Hvis det radikale uttrykket inneholder et tall hevet til en potens, kan dette uttrykket forenkles forutsatt at det er en fellesnevner mellom roten og eksponenten.

Kvadratroten av et produkt og en brøk

Kvadratroten av a er et tall hvis kvadrat er a. For eksempel er tallene -5 og 5 kvadratrøttene til tallet 25. Det vil si at røttene til ligningen x^2=25 er kvadratrøttene til tallet 25. Nå må du lære hvordan du arbeider med kvadratrotoperasjon: studer dens grunnleggende egenskaper.

Kvadratroten av produktet

√(a*b)=√a*√b

Kvadratroten av produktet av to ikke-negative tall, er lik produktet kvadratrøtter av disse tallene. For eksempel, √(9*25) = √9*√25 =3*5 =15;

Det er viktig å forstå at denne egenskapen også gjelder for tilfellet når det radikale uttrykket er produktet av tre, fire osv. ikke-negative multiplikatorer.

Noen ganger er det en annen formulering av denne egenskapen. Hvis a og b er ikke-negative tall, gjelder følgende likhet: √(a*b) =√a*√b. Det er absolutt ingen forskjell mellom dem, du kan bruke enten den ene eller den andre formuleringen (som er mer praktisk å huske).

Kvadratroten av en brøk

Hvis a>=0 og b>0, er følgende likhet sann:

√(a/b)=√a/√b.

For eksempel, √(9/25) = √9/√25 =3/5;

Denne egenskapen har også en annen formulering, etter min mening, mer praktisk å huske.
Kvadratroten av kvotienten er lik kvotienten av røttene.

Det er verdt å merke seg at disse formlene fungerer både fra venstre til høyre og fra høyre til venstre. Det vil si at om nødvendig kan vi representere produktet av røttene som roten til produktet. Det samme gjelder den andre eiendommen.

Som du kan se, er disse egenskapene veldig praktiske, og jeg vil gjerne ha de samme egenskapene for addisjon og subtraksjon:

√(a+b)=√a+√b;

√(a-b)=√a-√b;

Men dessverre er slike eiendommer firkantede har ingen røtter, og så kan ikke gjøres i beregninger..

13. Kjøring gjennom trafikkryss 2018 med kommentarer på nett 13.1. Ved sving til høyre eller venstre skal føreren vike for fotgjengere og syklister som krysser kjørebanen han svinger inn på. Denne instruksen gjelder for alle […]
Foreldremøte"Foreldres rettigheter, plikter og ansvar" Presentasjon for leksjonen Last ned presentasjon (536,6 kB) OBS! Lysbildeforhåndsvisningen er kun til informasjonsformål og representerer kanskje ikke alle […]
Regional mors kapital i Orel-regionen Regional fødselshovedstad (MK) i Orel og Oryol-regionen ble etablert i 2011. Nå er det et tilleggstiltak for sosial støtte. store familier i form av engangskontanter [...]
Størrelsen på engangsgodtgjørelse for tidlig registrering i 2018 Siden du ba om ble ikke funnet. Du kan ha oppgitt feil adresse, eller siden er fjernet. Bruk […]
Advokat for økonomiske saker økonomisk sfære- nok volumetrisk konsept. Slike handlinger inkluderer svindel, ulovlig virksomhet, hvitvasking av penger, ulovlig bankvirksomhet […]
Sentralbankens pressetjeneste Den russiske føderasjonen(Bank of Russia) Pressetjeneste 107016, Moskva, st. Neglinnaya, 12www.cbr.ru Ved utnevnelsen av en midlertidig administrasjon informerer avdelingen for eksterne og offentlige relasjoner i Bank of Russia at, i samsvar med paragraf 2 […]
generelle egenskaper Og kort anmeldelse vannveier Klassifisering av vannbassenger Klassifiseringen av vannbassenger for navigering av (små) fritidsfartøyer, overvåket av GIMS i Russland, utføres avhengig av […]
Kucherena = Viktor Tsois advokat Og dette er et eksklusivt: dagens brev fra Anatoly Kucherena. I fortsettelsen av temaet. Ingen har publisert dette brevet ennå. Og det burde det, synes jeg. Del 1 foreløpig. Snart vil jeg publisere den andre delen, signert av den kjente advokaten. Hvorfor er det viktig? […]

Personvernet ditt er viktig for oss. Av denne grunn har vi utviklet en personvernerklæring som beskriver hvordan vi bruker og lagrer informasjonen din. Vennligst les vår personvernerklæring og gi oss beskjed hvis du har spørsmål.

Innsamling og bruk av personopplysninger

Personopplysninger refererer til data som kan brukes til å identifisere eller kontakte en bestemt person.

Du kan bli bedt om å oppgi din personlige informasjon når som helst når du kontakter oss.

Følgende er noen eksempler på hvilke typer personopplysninger vi kan samle inn og hvordan vi kan bruke slik informasjon.

Hvilken personlig informasjon samler vi inn:

Når du sender inn en søknad på nettstedet, kan vi samle inn ulike opplysninger, inkludert navn, telefonnummer, adresse E-post etc.

Hvordan vi bruker dine personopplysninger:

Samlet av oss personlig informasjon lar oss kontakte deg og informere deg om unike tilbud, kampanjer og andre arrangementer og kommende arrangementer.
Fra tid til annen kan vi bruke din personlige informasjon til å sende deg viktige varsler og meldinger.
Vi kan også bruke personopplysninger til interne formål, som å gjennomføre revisjoner, dataanalyser og ulike undersøkelser for å forbedre tjenestene vi leverer og gi deg anbefalinger angående våre tjenester.
Hvis du deltar i en premietrekning, konkurranse eller lignende insentiv, kan vi bruke informasjonen du gir til å administrere slike programmer.

Offentliggjøring til tredjeparter

Vi utleverer ikke informasjon mottatt fra deg til tredjeparter.

Unntak:

Om nødvendig - i samsvar med loven, rettsorden, i rettssaker, og/eller basert på offentlige forespørsler eller forespørsler fra offentlige etater på den russiske føderasjonens territorium - oppgi din personlige informasjon. Vi kan også avsløre informasjon om deg hvis vi fastslår at slik avsløring er nødvendig eller hensiktsmessig for sikkerhet, rettshåndhevelse eller andre formål av allmenn interesse.
Ved en omorganisering, fusjon eller salg kan vi overføre personopplysningene vi samler inn til den aktuelle tredjeparts etterfølgeren.

Beskyttelse av personopplysninger

Vi tar forholdsregler - inkludert administrative, tekniske og fysiske - for å beskytte din personlige informasjon mot tap, tyveri og misbruk, samt mot uautorisert tilgang, avsløring, endring og ødeleggelse.

Opprettholde personvernet ditt på bedriftsnivå

For å sikre at din personlige informasjon er sikker, kommuniserer vi personvern- og sikkerhetspraksis til våre ansatte og håndhever strengt personvernpraksis.

Hei kattunger! I sist vi analyserte i detalj hva røtter er (hvis du ikke husker det, anbefaler jeg å lese). Hovedkonklusjonen av den leksjonen: det er bare én universell definisjon røtter, som du trenger å vite. Resten er tull og bortkastet tid.

I dag går vi videre. Vi vil lære å multiplisere røtter, vi vil studere noen problemer knyttet til multiplikasjon (hvis disse problemene ikke løses, kan de bli dødelige på eksamen) og vi vil øve skikkelig. Så fyll opp popcorn, gjør deg komfortabel - så setter vi i gang. :)

Du har ikke røykt ennå, har du?

Leksjonen viste seg å være ganske stor, så jeg delte den inn i to deler:

Først skal vi se på reglene for multiplikasjon. Hetten ser ut til å antyde: dette er når det er to røtter, det er et "multipliseringstegn" mellom dem - og vi vil gjøre noe med det.
Deretter vil vi analysere den omvendte situasjonen: det er en stor rot, og vi var utålmodige etter å presentere det som et produkt av to røtter på en enklere måte. Med hvilken skrekk det er nødvendig er et eget spørsmål. Vi vil bare analysere algoritmen.

For de som ikke kan vente med å hoppe rett inn i del 2, er du velkommen. La oss starte med resten i rekkefølge.

Grunnleggende multiplikasjonsregel

La oss starte med de enkleste – klassiske kvadratrøtter. De som er merket med $\sqrt(a)$ og $\sqrt(b)$. For dem er alt generelt klart:

multiplikasjonsregel. For å multiplisere en kvadratrot med en annen, trenger du bare å multiplisere deres radikale uttrykk, og skrive resultatet under den vanlige radikalen:

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

Ingen ytterligere begrensninger er pålagt tallene til høyre eller venstre: hvis multiplikatorrøttene eksisterer, så eksisterer produktet også.

Eksempler. Tenk på fire eksempler med tall samtidig:

\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27) ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \end(align)\]

Som du kan se, er hovedbetydningen av denne regelen å forenkle irrasjonelle uttrykk. Og hvis vi i det første eksemplet ville ha trukket ut røttene fra 25 og 4 uten noen nye regler, så begynner tinnet: $\sqrt(32)$ og $\sqrt(2)$ teller ikke av seg selv, men produktet deres viser seg å være et eksakt kvadrat, så roten av det er lik et rasjonelt tall.

Separat vil jeg merke meg den siste linjen. Der er begge radikale uttrykk brøker. Takket være produktet avbryter mange faktorer, og hele uttrykket blir til et tilstrekkelig antall.

Selvfølgelig vil ikke alt alltid være så vakkert. Noen ganger vil det være fullstendig dritt under røttene - det er ikke klart hva du skal gjøre med det og hvordan du transformerer etter multiplikasjon. Litt senere, når du begynner å studere irrasjonelle ligninger og ulikheter, vil det generelt være alle slags variabler og funksjoner. Og veldig ofte regner kompilatorene av problemene bare med det faktum at du vil finne noen kontraktsvilkår eller faktorer, hvoretter oppgaven vil bli sterkt forenklet.

I tillegg er det ikke nødvendig å multiplisere nøyaktig to røtter. Du kan gange tre på en gang, fire - ja til og med ti! Dette vil ikke endre regelen. Ta en titt:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \end(align)\]

Og igjen en liten bemerkning til det andre eksemplet. Som du kan se, i den tredje multiplikatoren er det en desimalbrøk under roten - i prosessen med beregninger erstatter vi den med en vanlig, hvoretter alt lett reduseres. Så: Jeg anbefaler på det sterkeste å kvitte seg med desimalbrøker i noen irrasjonelle uttrykk(dvs. inneholder minst ett radikalt ikon). Dette vil spare deg for mye tid og nerver i fremtiden.

Men det var lyrisk digresjon. Vurder nå mer generell sak- når rotindeksen inneholder et vilkårlig tall $n$, og ikke bare de "klassiske" to.

Tilfellet av en vilkårlig indikator

Så vi fant ut kvadratrøttene. Og hva skal man gjøre med kuber? Eller generelt med røtter av vilkårlig grad $n$? Ja, alt er likt. Regelen forblir den samme:

For å multiplisere to røtter av grad $n$, er det nok å multiplisere deres radikale uttrykk, hvoretter resultatet skrives under ett radikal.

Generelt, ingenting komplisert. Med mindre volumet av beregninger kan være mer. La oss se på et par eksempler:

Eksempler. Beregn produkter:

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0,16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3) ))))=\sqrt(((\venstre(\frac(4)(25) \right))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \end(align)\]

Og igjen oppmerksomhet til det andre uttrykket. Vi formerer oss terningerøtter, kvitte seg med desimalbrøk og som et resultat får vi produktet av tallene 625 og 25 i nevneren. stort antall– Personlig vurderer jeg ikke umiddelbart hva det er lik.

Derfor valgte vi ganske enkelt den eksakte kuben i telleren og nevneren, og brukte deretter en av nøkkelegenskaper(eller, hvis du vil, definisjonen) av roten til $n$-th grad:

\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\venstre| a\right|. \\ \end(align)\]

Slik "svindel" kan spare deg for mye tid på eksamen eller kontrollarbeid så husk:

Ikke skynd deg å multiplisere tallene i det radikale uttrykket. Først, sjekk: hva om den nøyaktige graden av et uttrykk er "kryptert" der?

Med all åpenheten i denne bemerkningen, må jeg innrømme at de fleste uforberedte studenter ikke ser de eksakte gradene. I stedet multipliserer de alt fremover, og lurer så på: hvorfor fikk de så brutale tall? :)

Alt dette er imidlertid en barnelek sammenlignet med det vi skal studere nå.

Multiplikasjon av røtter med forskjellige eksponenter

Vel, nå kan vi multiplisere røtter med de samme eksponentene. Hva hvis poengsummen er annerledes? Si, hvordan multipliserer du en vanlig $\sqrt(2)$ med noe dritt som $\sqrt(23)$? Er det i det hele tatt mulig å gjøre dette?

Ja, selvfølgelig kan du det. Alt gjøres i henhold til denne formelen:

Rotmultiplikasjonsregel. For å multiplisere $\sqrt[n](a)$ med $\sqrt[p](b)$, gjør du bare følgende transformasjon:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n))))\]

Imidlertid fungerer denne formelen bare hvis radikale uttrykk er ikke-negative. Dette er veldig viktig notat, som vi kommer tilbake til litt senere.

For nå, la oss se på et par eksempler:

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81) \cdot8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \end(align)\]

Som du kan se, ingenting komplisert. La oss nå finne ut hvor ikke-negativitetskravet kom fra, og hva som vil skje hvis vi bryter det. :)

Det er lett å multiplisere røtter.

Hvorfor må radikale uttrykk være ikke-negative?

Selvfølgelig kan du være som skolelærere og siterer læreboken smart:

Ikke-negativitetskravet er knyttet til ulike definisjoner røtter av partall og oddetall (henholdsvis deres definisjonsdomener er også forskjellige).

Vel, ble det klarere? Personlig, når jeg leste dette tullet i 8. klasse, forsto jeg for meg selv noe slikt: «Kravet om ikke-negativitet er forbundet med *#&^@(*#@^#)~%» - kort sagt, jeg skjønte ikke en dritt på den tiden :)

Så nå skal jeg forklare alt på en normal måte.

La oss først finne ut hvor multiplikasjonsformelen ovenfor kommer fra. For å gjøre dette, la meg minne deg om en viktig egenskap ved roten:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k))))\]

Med andre ord kan vi trygt heve det radikale uttrykket til evt naturlig grad$k$ - i dette tilfellet må rotindeksen multipliseres med samme grad. Derfor kan vi enkelt redusere eventuelle røtter til en felles indikator, hvoretter vi multipliserer. Det er her multiplikasjonsformelen kommer fra:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Men det er ett problem som sterkt begrenser anvendelsen av alle disse formlene. Tenk på dette tallet:

I henhold til formelen som nettopp er gitt, kan vi legge til hvilken som helst grad. La oss prøve å legge til $k=2$:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\venstre(-5 \høyre))^(2)))=\sqrt(((5)^(2))))\]

Vi fjernet minus nettopp fordi firkanten brenner minus (som enhver annen jevn grad). Og nå la oss utføre invers transformasjon: "reduser" toeren i eksponent og grad. Tross alt kan enhver likhet leses både fra venstre til høyre og høyre til venstre:

\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Høyrepil \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](en); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Høyrepil \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \end(align)\]

Men så skjer det noe sprøtt:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

Dette kan ikke være fordi $\sqrt(-5) \lt 0$ og $\sqrt(5) \gt 0$. Så for jevne grader og negative tall, fungerer ikke formelen vår lenger. Deretter har vi to alternativer:

Å kjempe mot veggen for å slå fast at matematikk er en dum vitenskap, der «det er noen regler, men dette er unøyaktig»;
Tast inn ytterligere restriksjoner, hvor formelen vil fungere 100 %.

I det første alternativet må vi hele tiden fange "ikke-fungerende" saker - dette er vanskelig, langt og generelt fu. Derfor foretrakk matematikere det andre alternativet. :)

Men ikke bekymre deg! I praksis påvirker ikke denne begrensningen beregningene på noen måte, fordi alle de beskrevne problemene kun gjelder røttene til en merkelig grad, og minuser kan tas ut av dem.

Derfor formulerer vi en annen regel som gjelder generelt for alle handlinger med røtter:

Før du multipliserer røttene, sørg for at de radikale uttrykkene er ikke-negative.

Eksempel. I tallet $\sqrt(-5)$ kan du ta ut minus fra under rottegnet - da blir alt bra:

\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Høyrepil \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(align)\]

Føl forskjellen? Hvis du legger igjen et minus under roten, vil det forsvinne når det radikale uttrykket er kvadratisk, og dritt begynner. Og hvis du først tar ut et minus, så kan du til og med heve / fjerne en firkant til du er blå i ansiktet - tallet forblir negativt. :)

Dermed er den mest korrekte og mest pålitelige måten å multiplisere røttene på som følger:

Fjern alle minuser fra under radikalene. Minuser er bare i røttene til oddetall - de kan plasseres foran roten og om nødvendig reduseres (for eksempel hvis det er to av disse minusene).
Utfør multiplikasjon i henhold til reglene diskutert ovenfor i dagens leksjon. Hvis indeksene til røttene er de samme, multipliser bare rotuttrykkene. Og hvis de er forskjellige, bruker vi den onde formelen \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
3. Vi gleder oss over resultatet og gode karakterer. :)

Vi vil? Skal vi øve?

Eksempel 1. Forenkle uttrykket:

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3) )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=-\ sqrt(64)=-4; \end(align)\]

Dette er det enkleste alternativet: indikatorene på røttene er de samme og merkelige, problemet er bare i minus av den andre multiplikatoren. Vi tåler denne minus nafig, hvoretter alt er lett å vurdere.

Eksempel 2. Forenkle uttrykket:

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\venstre(((2)^(5)) \right))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \right))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( tilpasse)\]

Her ville mange bli forvirret over hva resultatet ble irrasjonelt tall. Ja, det skjer: vi kunne ikke helt bli kvitt roten, men vi forenklet i det minste uttrykket betydelig.

Eksempel 3. Forenkle uttrykket:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\venstre((( a)^(4)) \right))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]

Det er dette jeg vil gjøre deg oppmerksom på. Det er to punkter her:

Under roten er det ikke spesifikt nummer eller grad, og variabelen er $a$. Ved første øyekast er dette litt uvanlig, men i virkeligheten, når du løser matematiske problemer oftest vil du måtte forholde deg til variabler.
Til slutt klarte vi å «redusere» roteksponenten og graden i det radikale uttrykket. Dette skjer ganske ofte. Og dette betyr at det var mulig å forenkle beregningene betydelig hvis du ikke bruker hovedformelen.

Du kan for eksempel gjøre dette:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\venstre(((a)^( 4)) \right))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \ \end(align)\]

Faktisk ble alle transformasjoner bare utført med den andre radikalen. Og hvis du ikke maler i detalj alle de mellomliggende trinnene, vil til slutt mengden av beregninger reduseres betydelig.

Faktisk har vi allerede møtt en lignende oppgave ovenfor når vi løste eksempelet $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$. Nå kan det skrives mye enklere:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\venstre(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) =\sqrt(75). \end(align)\]

Vel, vi fant ut multiplikasjonen av røttene. Vurder nå den omvendte operasjonen: hva skal jeg gjøre når det er et verk under roten?