Hvordan finne den minste positive roten av en trigonometrisk ligning. Trigonometriske ligninger

Trigonometriske ligninger. Som en del av matematikkprøven i første del er det en oppgave knyttet til å løse en ligning - denne enkle ligninger, som løses på minutter, mange typer kan løses muntlig. Inkluderer: lineære, kvadratiske, rasjonelle, irrasjonelle, eksponentielle, logaritmiske og trigonometriske ligninger.

I denne artikkelen skal vi se på trigonometriske ligninger. Løsningen deres skiller seg både i volumet av beregninger og i kompleksitet fra de andre problemene i denne delen. Ikke vær redd, ordet "vanskelighet" refererer til deres relative vanskeligheter sammenlignet med andre oppgaver.

I tillegg til å finne røttene til ligningen selv, er det nødvendig å bestemme den største negative eller minste positive roten. Sannsynligheten for at du får en trigonometrisk ligning på eksamen er selvfølgelig liten.

Det er mindre enn 7 % av dem i denne delen av Unified State Examination. Men dette betyr ikke at de skal ignoreres. I del C må du også løse en trigonometrisk likning, så en god forståelse av løsningsteknikken og forståelse av teorien er rett og slett nødvendig.

Å forstå trigonometridelen av matematikk vil i stor grad avgjøre om du lykkes med å løse mange problemer. Jeg minner om at svaret er et heltall eller et endelig tall desimal. Etter at du har fått røttene til ligningen, HUSK å sjekke. Det vil ikke ta mye tid, og det vil redde deg fra å gjøre feil.

Vi vil også se på andre ligninger i fremtiden, ikke gå glipp av det! La oss huske formlene for røttene til trigonometriske ligninger, du må kjenne dem:

Kunnskap om disse verdiene er nødvendig, dette er "ABC", uten hvilken det vil være umulig å takle mange oppgaver. Flott, hvis hukommelsen din er god, har du lett lært og husket disse verdiene. Hva du skal gjøre hvis du ikke kan gjøre dette, det er forvirring i hodet ditt, men du ble bare forvirret når du tok eksamen. Det ville være synd å miste et poeng fordi du skrev ned feil verdi i beregningene dine.

Disse verdiene er enkle, de er også gitt i teorien du mottok i det andre brevet etter å ha abonnert på nyhetsbrevet. Hvis du ikke har abonnert ennå, gjør det! I fremtiden vil vi også vurdere hvordan disse verdiene kan bestemmes av trigonometrisk sirkel. Det er ikke for ingenting at det kalles "Golden Heart of Trigonometry."

La meg umiddelbart forklare, for å unngå forvirring, at i ligningene som vurderes nedenfor, er definisjonene av arcsine, arccosine, arctangens gitt ved bruk av vinkelen X Til tilsvarende ligninger: cosx=a, sinx=a, tgx=a, hvor X kan også være et uttrykk. I eksemplene nedenfor er argumentasjonen vår gitt nettopp ved et uttrykk.

Så la oss vurdere følgende oppgaver:

Finn roten til ligningen:

Skriv ned den største negative roten i svaret ditt.

Ved avgjørelse cos-ligninger x = a er to røtter:

Definisjon: La tallet a i modul ikke overstige én. Buecosinus til et tall er vinkelen x som ligger i området fra 0 til Pi, hvis cosinus er lik a.

Betyr

La oss uttrykke x:

La oss finne den største negative roten. Hvordan gjøre dette? La oss erstatte forskjellige betydninger n inn i de resulterende røttene, beregn og velg den største negative.

Vi beregner:

Med n = – 2 x 1 = 3 (– 2) – 4,5 = – 10,5 x 2 = 3 (– 2) – 5,5 = – 11,5

Med n = – 1 x 1 = 3 (– 1) – 4,5 = – 7,5 x 2 = 3 (– 1) – 5,5 = – 8,5

Med n = 0 x 1 = 3∙0 – 4,5 = – 4,5 x 2 = 3∙0 – 5,5 = – 5,5

Med n = 1 x 1 = 3∙1 – 4,5 = – 1,5 x 2 = 3∙1 – 5,5 = – 2,5

Med n = 2 x 1 = 3∙2 – 4,5 = 1,5 x 2 = 3∙2 – 5,5 = 0,5

Vi fant at den største negative roten er –1,5

Svar: –1,5

Bestem selv:

Løs ligningen:

Ved avgjørelse syndeligninger x = a er to røtter:

Enten (den kombinerer begge de ovennevnte):

Definisjon: La tallet a i modul ikke overstige én. Arcsinus til et tall er en vinkel x som ligger i området fra – 90° til 90°, hvis sinus er lik a.

Betyr

Uttrykk x (multipliser begge sider av ligningen med 4 og del på Pi):

La oss finne den minste positive roten. Her er det umiddelbart klart at ved bytter negative verdier n vi får negative røtter. Derfor vil vi erstatte n = 0,1,2...

Når n = 0 x = (– 1) 0 + 4∙0 + 3 = 4

Når n = 1 x = (– 1) 1 + 4∙1 + 3 = 6

Når n = 2 x = (– 1) 2 + 4∙2 + 3 = 12

La oss sjekke med n = –1 x = (–1) –1 + 4∙(–1) + 3 = –2

Så den minste positive roten er 4.

Svar: 4

Bestem selv:

Løs ligningen:

Skriv den minste positive roten i svaret ditt.

Ganske ofte i oppgaver økt kompleksitet møte trigonometriske ligninger som inneholder modul. De fleste av dem krever en heuristisk tilnærming til løsning, noe som er helt ukjent for de fleste skoleelever.

Oppgavene foreslått nedenfor er ment å introdusere deg til de mest typiske teknikkene for å løse trigonometriske ligninger som inneholder en modul.

Oppgave 1. Finn forskjellen (i grader) av de minste positive og største negative røttene til ligningen 1 + 2sin x |cos x| = 0.

Løsning.

La oss utvide modulen:

1) Hvis cos x ≥ 0, vil den opprinnelige ligningen ha formen 1 + 2sin x cos x = 0.

La oss bruke sinusformelen dobbel vinkel, vi får:

1 + sin 2x = 0; sin 2x = -1;

2x = -π/2 + 2πn, n € Z;

x = -π/4 + πn, n € Z. Siden cos x ≥ 0, så er x = -π/4 + 2πk, k € Z.

2) Hvis cos x< 0, то gitt ligning har formen 1 – 2sin x cos x = 0. Ved å bruke sinusformelen med dobbel vinkel har vi:

1 – sin 2x = 0; sin 2x = 1;

2x = π/2 + 2πn, n € Z;

x = π/4 + πn, n € Z. Siden cos x< 0, то x = 5π/4 + 2πk, k € Z.

3) Den største negative roten av ligningen: -π/4; minste positive rot av ligningen: 5π/4.

Den nødvendige forskjellen: 5π/4 – (-π/4) = 6π/4 = 3π/2 = 3 180°/2 = 270°.

Svar: 270°.

Oppgave 2. Finn (i grader) den minste positive roten av ligningen |tg x| + 1/cos x = tan x.

Løsning.

La oss utvide modulen:

1) Hvis tan x ≥ 0, da

tan x + 1/cos x = tan x;

Den resulterende ligningen har ingen røtter.

2) Hvis tg x< 0, тогда

Tg x + 1/cos x = tg x;

1/cos x – 2tg x = 0;

1/cos x – 2sin x / cos x = 0;

(1 – 2sin x) / cos x = 0;

1 – 2sin x = 0 og cos x ≠ 0.

Ved å bruke figur 1 og betingelsen tg x< 0 находим, что x = 5π/6 + 2πn, где n € Z.

3) Den minste positive roten av ligningen er 5π/6. La oss konvertere denne verdien til grader:

5π/6 = 5 180°/6 = 5 30° = 150°.

Svar: 150°.

Oppgave 3. Finn mengden forskjellige røtter ligninger sin |2x| = cos 2x på intervallet [-π/2; π/2].

Løsning.

La oss skrive ligningen på formen sin|2x| – cos 2x = 0 og betrakt funksjonen y = sin |2x| – for 2x. Siden funksjonen er partall, vil vi finne dens nuller for x ≥ 0.

sin 2x – cos 2x = 0; La oss dele begge sider av ligningen med cos 2x ≠ 0, vi får:

tg 2x – 1 = 0;

2x = π/4 + πn, n € Z;

x = π/8 + πn/2, n € Z.

Ved å bruke pariteten til funksjonen finner vi at røttene til den opprinnelige ligningen er tall på formen

± (π/8 + πn/2), hvor n € Z.

Intervall [-π/2; π/2] tilhører tallene: -π/8; π/8.

Så to røtter av ligningen tilhører det gitte intervallet.

Svar: 2.

Denne ligningen kan også løses ved å åpne modulen.

Oppgave 4. Finn antall røtter til ligningen sin x – (|2cos x – 1|)/(2cos x – 1) · sin 2 x = sin 2 x på intervallet [-π; 2π].

Løsning.

1) Tenk på tilfellet når 2cos x – 1 > 0, dvs. cos x > 1/2, så har ligningen formen:

sin x – sin 2 x = sin 2 x;

sin x – 2sin 2 x = 0;

sin x(1 – 2sin x) = 0;

sin x = 0 eller 1 – 2sin x = 0;

sin x = 0 eller sin x = 1/2.

Ved å bruke figur 2 og betingelsen cos x > 1/2 finner vi røttene til ligningen:

x = π/6 + 2πn eller x = 2πn, n € Z.

2) Tenk på tilfellet når 2cos x – 1< 0, т.е. cos x < 1/2, тогда исходное уравнение принимает вид:

sin x + sin 2 x = sin 2 x;

x = 2πn, n € Z.

Ved å bruke figur 2 og cos x-tilstanden< 1/2, находим, что x = π + 2πn, где n € Z.

Ved å kombinere de to tilfellene får vi:

x = π/6 + 2πn eller x = πn.

3) Intervall [-π; 2π] tilhører røttene: π/6; -π; 0; π; 2π.

Dermed inneholder det gitte intervallet fem røtter av ligningen.

Svar: 5.

Oppgave 5. Finn antall røtter til ligningen (x – 0,7) 2 |sin x| + sin x = 0 på intervallet [-π; 2π].

Løsning.

1) Hvis sin x ≥ 0, tar den opprinnelige ligningen formen (x – 0,7) 2 sin x + sin x = 0. Etter å ha tatt fellesfaktoren sin x ut av parentes, får vi:

sin x((x – 0,7) 2 + 1) = 0; siden (x – 0,7) 2 + 1 > 0 for alle reelle x, så er sinx = 0, dvs. x = πn, n € Z.

2) Hvis synd x< 0, то -(x – 0,7) 2 sin x + sin x = 0;

sin x((x – 0,7) 2 – 1) = 0;

sinx = 0 eller (x – 0,7) 2 + 1 = 0. Siden sin x< 0, то (x – 0,7) 2 = 1. Извлекаем kvadratrot fra venstre og riktige deler av den siste ligningen får vi:

x – 0,7 = 1 eller x – 0,7 = -1, som betyr x = 1,7 eller x = -0,3.

Tar hensyn til tilstanden sinx< 0 получим, что sin (-0,3) ≈ sin (-17,1°) < 0 и sin (1,7) ≈ sin (96,9°) >0, som betyr at bare tallet -0,3 er roten til den opprinnelige ligningen.

3) Intervall [-π; 2π] tilhører tallene: -π; 0; π; 2π; -0,3.

Dermed har ligningen fem røtter på et gitt intervall.

Svar: 5.

Du kan forberede deg til leksjoner eller eksamener ved hjelp av ulike pedagogiske ressurser, som er på Internett. Foreløpig hvem som helst en person trenger bare å bruke nye informasjonsteknologi, fordi deres korrekte, og viktigst av alt hensiktsmessige, bruk vil bidra til å øke motivasjonen for å studere emnet, øke interessen og bidra til bedre å assimilere nødvendig materiale. Men ikke glem at datamaskinen ikke lærer deg å tenke informasjonen som mottas må behandles, forstås og huskes. Derfor kan du henvende deg til vår nettlærere, som vil hjelpe deg med å løse problemer som interesserer deg.

Har du fortsatt spørsmål? Vet du ikke hvordan du løser trigonometriske ligninger?
For å få hjelp fra en veileder -.
Den første leksjonen er gratis!

blog.site, når du kopierer materiale helt eller delvis, kreves en lenke til originalkilden.

Å opprettholde personvernet ditt er viktig for oss. Av denne grunn har vi utviklet en personvernerklæring som beskriver hvordan vi bruker og lagrer informasjonen din. Se gjennom vår personvernpraksis og gi oss beskjed hvis du har spørsmål.

Innsamling og bruk av personopplysninger

Personopplysninger refererer til data som kan brukes til å identifisere eller kontakte en bestemt person.

Du kan bli bedt om å oppgi din personlige informasjon når som helst når du kontakter oss.

Nedenfor er noen eksempler på hvilke typer personopplysninger vi kan samle inn og hvordan vi kan bruke slik informasjon.

Hvilken personlig informasjon samler vi inn:

Når du sender inn en søknad på nettstedet, kan vi samle inn ulike opplysninger, inkludert navn, telefonnummer, adresse e-post osv.

Hvordan vi bruker dine personopplysninger:

Samlet av oss personlig informasjon lar oss kontakte deg og informere deg om unike tilbud, kampanjer og andre arrangementer og kommende arrangementer.
Fra tid til annen kan vi bruke din personlige informasjon til å sende viktige meldinger og kommunikasjoner.
Vi kan også bruke personopplysninger til interne formål, som å gjennomføre revisjoner, dataanalyser og ulike undersøkelser for å forbedre tjenestene vi leverer og gi deg anbefalinger angående våre tjenester.
Hvis du deltar i en premietrekning, konkurranse eller lignende kampanje, kan vi bruke informasjonen du gir til å administrere slike programmer.

Utlevering av informasjon til tredjeparter

Vi utleverer ikke informasjonen mottatt fra deg til tredjeparter.

Unntak:

Om nødvendig, i samsvar med loven, rettslig prosedyre, i rettslige prosesser, og/eller basert på offentlige henvendelser eller forespørsler fra offentlige etater på den russiske føderasjonens territorium - oppgi din personlige informasjon. Vi kan også avsløre informasjon om deg hvis vi fastslår at slik avsløring er nødvendig eller hensiktsmessig for sikkerhet, rettshåndhevelse eller andre offentlige viktige formål.
I tilfelle en omorganisering, fusjon eller salg, kan vi overføre personopplysningene vi samler inn til gjeldende etterfølger tredjepart.

Beskyttelse av personopplysninger

Vi tar forholdsregler - inkludert administrative, tekniske og fysiske - for å beskytte din personlige informasjon mot tap, tyveri og misbruk, samt uautorisert tilgang, avsløring, endring og ødeleggelse.

Respekter ditt privatliv på bedriftsnivå

For å sikre at din personlige informasjon er sikker, kommuniserer vi personvern- og sikkerhetsstandarder til våre ansatte og håndhever strengt personvernpraksis.