Hvordan finne LCM (minste felles multiplum)

Felles multiplum av to heltall er heltallet som er jevnt delelig med begge gitte tall uten rest.

Det minste felles multiplum av to heltall er det minste av alle heltall som er delelig jevnt og uten rest med begge gitte tall.

Metode 1. Du kan finne LCM på sin side for hvert av de gitte tallene, og skrive ut i stigende rekkefølge alle tallene som oppnås ved å multiplisere dem med 1, 2, 3, 4, og så videre.

Eksempel for nummer 6 og 9.
Vi multipliserer tallet 6, sekvensielt, med 1, 2, 3, 4, 5.
Vi får: 6, 12, 18 , 24, 30
Vi multipliserer tallet 9, sekvensielt, med 1, 2, 3, 4, 5.
Vi får: 9, 18 , 27, 36, 45
Som du kan se, vil LCM for tallene 6 og 9 være 18.

Denne metoden er praktisk når begge tallene er små og det er lett å multiplisere dem med en sekvens av heltall. Imidlertid er det tider når du trenger å finne LCM for tosifret eller tresifrede tall, og også når det er tre eller enda flere innledende tall.

Metode 2. Du kan finne LCM ved å utvide de opprinnelige tallene til primære faktorer.
Etter dekomponering er det nødvendig å krysse ut de samme tallene fra den resulterende serien med primfaktorer. De resterende tallene i det første tallet vil være faktoren for det andre, og de resterende tallene til det andre tallet vil være faktoren for det første.

Eksempel for tallet 75 og 60.
Det minste felles multiplum av tallene 75 og 60 kan finnes uten å skrive ut multipler av disse tallene på rad. For å gjøre dette dekomponerer vi 75 og 60 i primfaktorer:
75 = 3 * 5 * 5, og
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Som du kan se, forekommer faktorene 3 og 5 i begge radene. Mentalt "krysser" vi dem ut.
La oss skrive ned de gjenværende faktorene som er inkludert i utvidelsen av hvert av disse tallene. Når vi dekomponerte tallet 75, forlot vi tallet 5, og når vi dekomponerte tallet 60, la vi 2 * 2
Så for å bestemme LCM for tallene 75 og 60, må vi multiplisere de gjenværende tallene fra utvidelsen av 75 (dette er 5) med 60, og tallene som gjenstår fra utvidelsen av tallet 60 (dette er 2 * 2 ) multipliser med 75. Det vil si, for å lette forståelsen sier vi at vi multipliserer "på tvers".
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Slik fant vi LCM for tallene 60 og 75. Dette er tallet 300.

Eksempel. Bestem LCM for tallene 12, 16, 24
PÅ denne saken, vil handlingene våre være noe mer kompliserte. Men først, som alltid, dekomponerer vi alle tall til primfaktorer
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
For å bestemme LCM korrekt velger vi det minste av alle tall (dette er tallet 12) og går suksessivt gjennom faktorene, krysser dem ut hvis minst en av de andre tallradene har samme faktor som ennå ikke er krysset ute.

Trinn 1 . Vi ser at 2 * 2 forekommer i alle tallrekker. Vi krysser dem ut.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Trinn 2. I primfaktorene til tallet 12 gjenstår bare tallet 3. Men det er til stede i primfaktorene til tallet 24. Vi krysser ut tallet 3 fra begge radene, mens det ikke forventes noen handling for tallet 16 .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Som du kan se, når vi dekomponerte tallet 12, "strekket" vi ut alle tallene. Så funnet av NOC er fullført. Det gjenstår bare å beregne verdien.
For tallet 12 tar vi de resterende faktorene fra tallet 16 (den nærmeste i stigende rekkefølge)
12 * 2 * 2 = 48
Dette er NOC

Som du kan se, i dette tilfellet var det noe vanskeligere å finne LCM, men når du trenger å finne den for tre eller flere tall, denne måten lar deg gjøre det raskere. Imidlertid er begge måter å finne LCM på er riktige.

Et multiplum er et tall som er delelig med gitt nummer uten et spor. Det minste felles multiplum (LCM) av en gruppe tall er minste antall, som er delelig uten rest med hvert tall i gruppen. For å finne det minste felles multiplum må du finne primfaktorene til de gitte tallene. LCM kan også beregnes ved å bruke en rekke andre metoder som er anvendelige for grupper på to eller flere tall.

Trinn

En rekke multipler

Se på disse tallene. Metoden beskrevet her brukes best når to tall er gitt, hver mindre enn 10. Hvis gitt store tall, bruk en annen metode.

• Finn for eksempel det minste felles multiplum av tallene 5 og 8. Dette er små tall, så denne metoden kan brukes.

1. Et multiplum av et tall er et tall som er delelig med et gitt tall uten en rest. Flere tall kan finnes i multiplikasjonstabellen.

   • For eksempel er tall som er multipler av 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Skriv ned en rekke tall som er multipler av det første tallet. Gjør dette under multipler av det første tallet for å sammenligne to rader med tall.

   • For eksempel er tall som er multipler av 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 og 64.

3. Finn det minste tallet som vises i begge seriene med multipler. Du må kanskje skrive lange serier med multipler for å finne totalt antall. Det minste tallet som vises i begge seriene av multipler er det minste felles multiplum.

   • For eksempel er det minste tallet som vises i rekken av multipler av 5 og 8 40. Derfor er 40 det minste felles multiplum av 5 og 8.

   primtallsfaktorisering

   1. Se på disse tallene. Metoden beskrevet her brukes best når to tall er gitt, hver større enn 10. Hvis gitt mindre antall, bruk en annen metode.

      • Finn for eksempel det minste felles multiplum av tallene 20 og 84. Hvert av tallene er større enn 10, så denne metoden kan brukes.

   2. Faktoriser det første tallet. Det vil si at du må finne slike primtall, når multiplisert får du et gitt tall. Etter å ha funnet hovedfaktorer, skriv dem ned som en likhet.

      • For eksempel, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\ ganger 10=20) og 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\ ganger (\mathbf (5) )=10). Primfaktorene til tallet 20 er altså tallene 2, 2 og 5. Skriv dem ned som et uttrykk: .

   3. Faktor det andre tallet inn i primfaktorer. Gjør dette på samme måte som du faktoriserte det første tallet, det vil si finn slike primtall som, når de multipliseres, vil få dette tallet.

      • For eksempel, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\ ganger 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\ ganger 6=42) og 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\ ganger (\mathbf (2) )=6). Primfaktorene til tallet 84 er altså tallene 2, 7, 3 og 2. Skriv dem ned som et uttrykk: .

   4. Skriv ned faktorene som er felles for begge tallene. Skriv slike faktorer som en multiplikasjonsoperasjon. Når du skriver ned hver faktor, krysser du den ut i begge uttrykkene (uttrykk som beskriver dekomponeringen av tall til primfaktorer).

      • For eksempel er fellesfaktoren for begge tallene 2, så skriv 2 × (\displaystyle 2\ ganger ) og kryss ut 2 i begge uttrykkene.
      • Fellesfaktoren for begge tallene er en annen faktor på 2, så skriv 2 × 2 (\displaystyle 2\times 2) og kryss ut de 2 andre i begge uttrykkene.

   5. Legg til de resterende faktorene til multiplikasjonsoperasjonen. Dette er faktorer som ikke er krysset over i begge uttrykkene, det vil si faktorer som ikke er felles for begge tallene.

      • For eksempel i uttrykket 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\ ganger 2\ ganger 5) begge to (2) er krysset ut fordi de er felles faktorer. Faktoren 5 er ikke krysset ut, så skriv multiplikasjonsoperasjonen som følger: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\ ganger 2\ ganger 5)
      • I uttrykket 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\ ganger 7\ ganger 3\ ganger 2) begge toerne (2) er også krysset ut. Faktorer 7 og 3 er ikke krysset ut, så skriv multiplikasjonsoperasjonen som følger: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\ ganger 2\ ganger 5\ ganger 7\ ganger 3).

   6. Regn ut det minste felles multiplum. For å gjøre dette, multipliser tallene i den skriftlige multiplikasjonsoperasjonen.

      • For eksempel, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\ ganger 2\ ganger 5\ ganger 7\ ganger 3=420). Så det minste felles multiplum av 20 og 84 er 420.

   Finne felles deler

   1. Tegn et rutenett som du ville gjort for et spill med tikken. Et slikt rutenett består av to parallelle linjer som skjærer (i rette vinkler) med to andre parallelle linjer. Dette vil resultere i tre rader og tre kolonner (rutenettet ligner mye på #-tegnet). Skriv det første tallet i første rad og andre kolonne. Skriv det andre tallet i første rad og tredje kolonne.

      • Finn for eksempel det minste felles multiplum av 18 og 30. Skriv 18 i første rad og andre kolonne, og skriv 30 i første rad og tredje kolonne.

   2. Finn deleren som er felles for begge tallene. Skriv det ned i første rad og første kolonne. Det er bedre å se etter primdelere, men dette er ikke en forutsetning.

      • For eksempel er 18 og 30 partall, så felles deler er 2. Så skriv 2 i første rad og første kolonne.

   3. Del hvert tall med den første deleren. Skriv hver kvotient under det tilsvarende tallet. Kvotienten er resultatet av å dele to tall.

      • For eksempel, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), så skriv 9 under 18.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), så skriv 15 under 30.

   4. Finn en deler som er felles for begge kvotientene. Hvis det ikke finnes en slik divisor, hopper du over de to neste trinnene. Ellers skriver du ned divisor i andre rad og første kolonne.

      • For eksempel er 9 og 15 delbare med 3, så skriv 3 i andre rad og første kolonne.

   5. Del hver kvotient med den andre divisoren. Skriv hvert divisjonsresultat under den tilsvarende kvotienten.

      • For eksempel, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), så skriv 3 under 9.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), så skriv 5 under 15.

   6. Om nødvendig, suppler rutenettet med flere celler. Gjenta trinnene ovenfor til kvotientene har en felles divisor.

   7. Sett ring rundt tallene i den første kolonnen og siste raden i rutenettet. Skriv deretter de uthevede tallene som en multiplikasjonsoperasjon.

      • For eksempel er tallene 2 og 3 i den første kolonnen, og tallene 3 og 5 er i den siste raden, så skriv multiplikasjonsoperasjonen slik: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\ ganger 3\ ganger 3\ ganger 5).

   8. Finn resultatet av å multiplisere tall. Dette vil beregne det minste felles multiplum av de to gitte tallene.

      • For eksempel, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\ ganger 3\ ganger 3\ ganger 5=90). Så det minste felles multiplum av 18 og 30 er 90.

   Euklids algoritme

   1. Husk terminologien knyttet til divisjonsoperasjonen. Utbyttet er tallet som deles. Divisor er tallet det skal divideres med. Kvotienten er resultatet av å dele to tall. Resten er tallet som er igjen når to tall deles.

      • For eksempel i uttrykket 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) hvile. 3:
        15 er det delbare
        6 er deleren
        2 er privat
        3 er resten.

PÅ det virkelige liv vi må operere med vanlige brøker. Men for å legge til eller trekke fra brøker med forskjellige nevnere, for eksempel 2/3 og 5/7, må vi finne fellesnevner. Etter å ha redusert brøker til en fellesnevner, kan vi enkelt utføre addisjons- eller subtraksjonsoperasjoner.

Definisjon

Brøker er et av de vanskeligste temaene i grunnleggende aritmetikk, og rasjonelle tall er skremmende for elever som møter dem for første gang. Vi er vant til å operere med tall skrevet i desimalformat. Det er mye lettere å legge til 0,71 og 0,44 umiddelbart enn å summere 5/7 og 4/9. For å summere brøker må de faktisk reduseres til en fellesnevner. Imidlertid representerer brøker betydningen av mengder mye mer nøyaktig enn deres desimalekvivalenter, og i matematikk representerer representasjonen av serier eller ir rasjonelle tall i form av en brøk blir en prioritet. En slik oppgave kalles å «redusere uttrykket til en lukket form».

Hvis både telleren og nevneren til en brøk multipliseres eller divideres med samme faktor, vil ikke verdien av brøken endres. Dette er en av de mest viktige egenskaper brøktall. For eksempel skrives brøken 3/4 i desimalform som 0,75. Hvis vi multipliserer telleren og nevneren med 3, får vi brøken 9/12, som er nøyaktig det samme som 0,75. Takket være denne egenskapen kan vi formere oss forskjellige fraksjoner slik at de alle har samme nevnere. Hvordan gjøre det?

Å finne en fellesnevner

Minste fellesnevner (LCD) er det minste felles multiplum av alle nevnerne i et uttrykk. Vi kan finne et slikt tall på tre måter.

Bruker den maksimale nevneren

Dette er en av de enkleste, men tidkrevende metodene for å finne ICD-er. Først skriver vi ut det største tallet fra nevnerne av alle brøker og kontrollerer dets delbarhet med mindre tall. Hvis den er delelig, er den største nevneren NOZ.

Hvis tallene i forrige operasjon er delbare med en rest, må du gange den største av dem med 2 og gjenta delebarhetskontrollen. Hvis den deles uten en rest, blir den nye koeffisienten NOZ.

Hvis ikke, multipliseres den største nevneren med 3, 4, 5, og så videre, til det minste felles multiplum er funnet for nedre deler alle brøker. I praksis ser det slik ut.

La oss si at vi har brøk 1/5, 1/8 og 1/20. Vi krysser av for 20 for delbarhet av 5 og 8. 20 er ikke delelig med 8. Vi ganger 20 med 2. Vi krysser av for 40 for delbarhet av 5 og 8. Tallene er delbare uten en rest, derfor NOZ (1/5, 1/ 8 og 1/20) = 40 , og brøkene blir til 8/40, 5/40 og 2/40.

Sekvensiell oppregning av multipler

Den andre måten er en enkel oppregning av multipler og å velge den minste av dem. For å finne multipler multipliserer vi tallet med 2, 3, 4 og så videre, så antallet multipler har en tendens til uendelig. Du kan begrense denne sekvensen med en grense, som er et produkt av gitte tall. For eksempel, for tallene 12 og 20, er NOC som følger:

• skriv ut tall som er multipler av 12 - 24, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120;
• skriv ut tall som er multipler av 20 - 40, 60, 80, 100, 120;
• bestemme felles multipler - 60, 120;
• velg den minste av dem - 60.

For 1/12 og 1/20 vil altså fellesnevneren være 60, og brøkene konverteres til 5/60 og 3/60.

primtallsfaktorisering

Denne metoden for å finne NOC er den mest relevante. Denne metoden innebærer utvidelse av alle tall fra de nedre delene av brøker til udelelige faktorer. Etter det blir det satt sammen et tall som inneholder faktorene til alle nevnerne. I praksis fungerer det slik. Finn LCM for samme par av 12 og 20:

• faktoriser 12 - 2 × 2 × 3;
• legg ut 20 - 2 × 2 × 5;
• vi kombinerer faktorene på en slik måte at de inneholder tallene og 12 og 20 - 2 × 2 × 3 × 5;
• multipliser de udelelige og få resultatet - 60.

I tredje ledd kombinerer vi faktorer uten repetisjoner, det vil si at to toere er nok til å danne 12 i kombinasjon med en trippel og 20 med en femmer.

Vår kalkulator lar deg bestemme NOZ for et vilkårlig antall brøker, skrevet både i vanlig og i desimalform. For å søke etter NOZ, trenger du bare å angi verdier atskilt med tabulatorer eller kommaer, hvoretter programmet vil beregne fellesnevneren og vise de konverterte brøkene.

Eksempel fra det virkelige liv

Tilsetning av brøker

Anta at vi i aritmetikkoppgaven må legge til fem brøker:

0,75 + 1/5 + 0,875 + 1/4 + 1/20

Den manuelle løsningen ville være på følgende måte. Til å begynne med må vi representere tallene i en form for notasjon:

• 0,75 = 75/100 = 3/4;
• 0,875 = 875/1000 = 35/40 = 7/8.

Nå har vi en rekke vanlige brøker, som må reduseres til samme nevner:

3/4 + 1/5 + 7/8 + 1/4 + 1/20

Siden vi har 5 termer, er den enkleste måten å bruke måten å søke på NOZ etter det største antallet. Vi sjekker 20 for delbarhet med andre tall. 20 er ikke delelig med 8 uten en rest. Vi multipliserer 20 med 2, krysser av for 40 for delbarhet - alle tall deler 40 fullstendig. Dette er vår fellesnevner. Nå, for å summere rasjonelle tall, må vi bestemme tilleggsfaktorer for hver brøk, som er definert som forholdet mellom LCM og nevneren. Ytterligere multiplikatorer vil se slik ut:

• 40/4 = 10;
• 40/5 = 8;
• 40/8 = 5;
• 40/4 = 10;
• 40/20 = 2.

Nå multipliserer vi telleren og nevneren til brøkene med de tilsvarende tilleggsfaktorene:

30/40 + 8/40 + 35/40 + 10/40 + 2/40

For et slikt uttrykk kan vi enkelt bestemme summen lik 85/40, eller 2 heltall og 1/8. Dette er tungvinte beregninger, så du kan ganske enkelt legge inn oppgavedataene i kalkulatorskjemaet og få svar med en gang.

Konklusjon

Aritmetiske operasjoner med brøker er ikke en veldig praktisk ting, fordi for å finne svaret, må du utføre mange mellomregninger. Bruk vår online kalkulator for å redusere brøker til en fellesnevner og rask avgjørelse skoleoppgaver.

For å løse eksempler med brøker, må du kunne finne den minste fellesnevneren. Nedenfor er en detaljert instruksjon.

Hvordan finne laveste fellesnevner - konsept

Minste fellesnevner (LCD) for å si det enkelt er det minste tallet som er delelig med nevnerne av alle brøker dette eksemplet. Med andre ord kalles det Least Common Multiple (LCM). NOZ brukes bare hvis nevnerne til brøkene er forskjellige.

Hvordan finne laveste fellesnevner - eksempler

La oss vurdere eksempler på å finne NOZ.

Regn ut: 3/5 + 2/15.

Løsning (handlingssekvens):

• Vi ser på nevnerne til brøker, sørger for at de er forskjellige og uttrykkene reduseres så mye som mulig.
• Vi finner det minste tallet som er delelig med både 5 og 15. Dette tallet blir 15. Dermed blir 3/5 + 2/15 = ?/15.
• Vi fant ut nevneren. Hva vil stå i telleren? En ekstra multiplikator vil hjelpe oss å finne ut av dette. En tilleggsfaktor er tallet oppnådd ved å dele NOZ med nevneren til en bestemt brøk. For 3/5 er tilleggsfaktoren 3, siden 15/5 = 3. For den andre brøken er tilleggsfaktoren 1, siden 15/15 = 1.
• Etter å ha funnet ut tilleggsfaktoren, multipliserer vi den med tellerne til brøkene og legger til de resulterende verdiene. 3/5 + 2/15 = (3*3+2*1)/15 = (9+2)/15 = 11/15.

Svar: 3/5 + 2/15 = 11/15.

Hvis i eksemplet ikke 2, men 3 eller flere brøker legges til eller trekkes fra, må NOZ søkes etter så mange brøker som er gitt.

Regn ut: 1/2 - 5/12 + 3/6

Løsning (handlingssekvens):

• Finne laveste fellesnevner. Minimumstallet som er delelig med 2, 12 og 6 er 12.
• Vi får: 1/2 - 5/12 + 3/6 = ?/12.
• Vi ser etter flere multiplikatorer. For 1/2 - 6; for 5/12 - 1; for 3/6 - 2.
• Vi multipliserer med tellerne og tildeler de tilsvarende tegnene: 1/2 - 5/12 + 3/6 = (1 * 6 - 5 * 1 + 2 * 3) / 12 = 7/12.

Svar: 1/2 - 5/12 + 3/6 = 7/12.

La oss fortsette diskusjonen om det minste felles multiplumet som vi startet i delen LCM - Least Common Multiple, Definition, Examples. I dette emnet vil vi se på måter å finne LCM for tre tall eller flere, vi vil analysere spørsmålet om hvordan du finner LCM for et negativt tall.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Beregning av minste felles multiplum (LCM) gjennom gcd

Vi har allerede etablert forholdet mellom det minste felles multiplum og den største felles divisor. La oss nå lære hvordan du definerer LCM gjennom GCD. Først, la oss finne ut hvordan du gjør dette positive tall.

Definisjon 1

Finn det minste felles multiplum gjennom det største felles deler du kan bruke formelen LCM (a, b) = a b: GCD (a, b) .

Eksempel 1

Det er nødvendig å finne LCM for tallene 126 og 70.

Løsning

La oss ta a = 126 , b = 70 . Bytt ut verdiene i formelen for å beregne minste felles multiplum gjennom den største felles divisor LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

Finner GCD for tallene 70 og 126. For dette trenger vi Euklid-algoritmen: 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4 , derav gcd (126 , 70) = 14 .

La oss beregne LCM: LCM (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Svar: LCM (126, 70) = 630.

Eksempel 2

Finn nok til tallene 68 og 34.

Løsning

GCD i dette tilfellet er lett å finne, siden 68 er delelig med 34. Beregn det minste felles multiplum ved hjelp av formelen: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Svar: LCM(68; 34) = 68.

I dette eksemplet brukte vi regelen for å finne det minste felles multiplum av positive heltall a og b: hvis det første tallet er delelig med det andre, vil LCM til disse tallene være lik det første tallet.

Finne LCM ved å faktorisere tall i hovedfaktorer

La oss nå se på en måte å finne LCM, som er basert på dekomponering av tall til primfaktorer.

Definisjon 2

For å finne det minste felles multiplum, må vi utføre en rekke enkle trinn:

• vi utgjør produktet av alle primfaktorer av tall som vi trenger å finne LCM for;
• vi ekskluderer alle hovedfaktorer fra deres oppnådde produkter;
• produktet oppnådd etter eliminering av de vanlige primfaktorene vil være lik LCM for de gitte tallene.

Denne måten å finne minste felles multiplum på er basert på likheten LCM (a , b) = a b: GCD (a , b) . Hvis du ser på formelen, vil det bli klart: produktet av tallene a og b er lik produktet av alle faktorer som er involvert i utvidelsen av disse to tallene. I dette tilfellet, GCD av to tall er lik produktet alle primfaktorer som er tilstede samtidig i faktoriseringene av de gitte to tallene.

Eksempel 3

Vi har to tall 75 og 210 . Vi kan faktorisere dem slik: 75 = 3 5 5 og 210 = 2 3 5 7. Hvis du lager produktet av alle faktorene til de to opprinnelige tallene, får du: 2 3 3 5 5 5 7.

Hvis vi ekskluderer faktorene 3 og 5 som er felles for begge tallene, får vi produktet følgende type: 2 3 5 5 7 = 1050. Dette produktet vil være vår LCM for tallene 75 og 210.

Eksempel 4

Finn LCM for tall 441 og 700 , dekomponerer begge tallene til primfaktorer.

Løsning

La oss finne alle primfaktorene til tallene gitt i betingelsen:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Vi får to tallkjeder: 441 = 3 3 7 7 og 700 = 2 2 5 5 7 .

Produktet av alle faktorene som deltok i utvidelsen av disse tallene vil se slik ut: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. La oss finne de vanlige faktorene. Dette tallet er 7. La oss ekskludere det fra felles produkt: 2 2 3 3 5 5 7 7. Det viser seg at NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Svar: LCM (441, 700) = 44 100.

La oss gi enda en formulering av metoden for å finne LCM ved å dekomponere tall i primfaktorer.

Definisjon 3

Tidligere ekskluderte vi fra det totale antallet faktorer som er felles for begge tallene. Nå skal vi gjøre det annerledes:

• La oss dekomponere begge tallene til primfaktorer:
• legg til produktet av primfaktorene til det første tallet de manglende faktorene til det andre tallet;
• vi får produktet, som vil være ønsket LCM av to tall.

Eksempel 5

La oss gå tilbake til tallene 75 og 210, som vi allerede så etter LCM for i et av de forrige eksemplene. La oss dele dem ned i enkle faktorer: 75 = 3 5 5 og 210 = 2 3 5 7. Til produktet av faktorene 3, 5 og 5 nummer 75 legg til de manglende faktorene 2 og 7 nummer 210. Vi får: 2 3 5 5 7 . Dette er LCM for tallene 75 og 210.

Eksempel 6

Det er nødvendig å beregne LCM for tallene 84 og 648.

Løsning

La oss dekomponere tallene fra tilstanden til primfaktorer: 84 = 2 2 3 7 og 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Legg til produktet av faktorene 2 , 2 , 3 og 7 tall 84 mangler faktorer 2 , 3 , 3 og
3 nummer 648. Vi får produktet 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536 . Dette er det minste felles multiplum av 84 og 648.

Svar: LCM (84, 648) = 4536.

Finne LCM for tre eller flere tall

Uavhengig av hvor mange tall vi har å gjøre med, vil algoritmen for handlingene våre alltid være den samme: vi vil konsekvent finne LCM for to tall. Det er et teorem for denne saken.

Teorem 1

Anta at vi har heltall a 1 , a 2 , … , a k. INGEN C m k av disse tallene finnes i sekvensberegning m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k = LCM (m k − 1 , a k) .

La oss nå se på hvordan teoremet kan brukes på spesifikke problemer.

Eksempel 7

Du må beregne det minste felles multiplum av de fire tallene 140 , 9 , 54 og 250 .

Løsning

La oss introdusere notasjonen: en 1 \u003d 140, en 2 \u003d 9, en 3 \u003d 54, en 4 \u003d 250.

La oss starte med å beregne m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9) . La oss bruke den euklidiske algoritmen til å beregne GCD for tallene 140 og 9: 140 = 9 15 + 5 , 9 = 5 1 + 4 , 5 = 4 1 + 1 , 4 = 1 4 . Vi får: GCD(140, 9) = 1, LCM(140, 9) = 140 9: GCD(140, 9) = 140 9: 1 = 1260. Derfor er m 2 = 1 260 .

La oss nå beregne i henhold til den samme algoritmen m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260 , 54) . I løpet av beregningene får vi m 3 = 3 780.

Det gjenstår for oss å beregne m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250) . Vi handler etter samme algoritme. Vi får m 4 \u003d 94 500.

LCM for de fire tallene fra eksempelbetingelsen er 94500.

Svar: LCM (140, 9, 54, 250) = 94 500.

Som du kan se, er beregningene enkle, men ganske arbeidskrevende. For å spare tid kan du gå andre veien.

Definisjon 4

Vi tilbyr deg følgende handlingsalgoritme:

• dekomponere alle tall i primfaktorer;
• til produktet av faktorene til det første tallet, legg til de manglende faktorene fra produktet av det andre tallet;
• legg til de manglende faktorene til det tredje tallet til produktet oppnådd på forrige trinn, etc.;
• det resulterende produktet vil være det minste felles multiplum av alle tall fra betingelsen.

Eksempel 8

Det er nødvendig å finne LCM for fem tall 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Løsning

La oss dekomponere alle fem tallene til primfaktorer: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 . primtall, som er tallet 7 , kan ikke innregnes i primfaktorer. Slike tall faller sammen med deres dekomponering til primfaktorer.

La oss nå ta produktet av primfaktorene 2, 2, 3 og 7 av tallet 84 og legge til de manglende faktorene til det andre tallet. Vi har dekomponert tallet 6 til 2 og 3. Disse faktorene er allerede i produktet av det første tallet. Derfor utelater vi dem.

Vi fortsetter å legge til de manglende multiplikatorene. Vi vender oss til tallet 48, fra produktet av primfaktorer som vi tar 2 og 2 av. Så legger vi til en enkel faktor på 7 fra det fjerde tallet og faktorene 11 og 13 av det femte. Vi får: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48.048. Dette er det minste felles multiplum av de fem opprinnelige tallene.

Svar: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48 048.

Finne det minste felles multiplum av negative tall

For å finne det minste felles multiplum negative tall, må disse tallene først erstattes med tall med motsatt tegn, og utfør deretter beregninger i henhold til algoritmene ovenfor.

Eksempel 9

LCM(54, −34) = LCM(54, 34) og LCM(−622,−46, −54,−888) = LCM(622, 46, 54, 888) .

Slike handlinger er tillatt på grunn av det faktum at hvis det er akseptert at en og − a- motsatte tall
deretter settet med multipler en sammenfaller med settet med multipler av et tall − a.

Eksempel 10

Det er nødvendig å beregne LCM for negative tall − 145 og − 45 .

Løsning

La oss endre tallene − 145 og − 45 til deres motsatte tall 145 og 45 . Nå, ved å bruke algoritmen, beregner vi LCM (145 , 45) = 145 45: GCD (145 , 45) = 145 45: 5 = 1 305 , etter å ha bestemt GCD tidligere ved å bruke Euklid-algoritmen.

Vi får at LCM for tall − 145 og − 45 er lik 1 305 .

Svar: LCM (− 145, − 45) = 1 305 .

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter