Hvordan finne volumet til en kjegle. Finn volumet til en vanlig pyramide

Volumet til en kjegle uttrykkes med samme formel som volumet til en pyramide: V = 1/3 S h,

hvor V er volumet til kjeglen, S er arealet av kjeglens bunn, h- hans høye.

Til slutt V = 1 / 3 πR 2 h, hvor R er radiusen til kjeglens base.

Å skaffe formelen for volumet til en kjegle kan forklares med følgende resonnement:

La en kjegle (ris) gis. La oss skrive inn en vanlig pyramide i den, det vil si at vi vil konstruere en slik pyramide inne i kjeglen, hvis apex faller sammen med kjeglens apex, og basen er vanlig polygon innskrevet i bunnen av kjeglen.

Volumet til denne pyramiden uttrykkes med formelen: V' = 1/3 S' h, hvor V er volumet av pyramiden,

S' er arealet av basen, h er høyden på pyramiden.

Hvis vi samtidig tar en polygon med veldig et stort antall sidene, da vil arealet av bunnen av pyramiden avvike veldig lite fra sirkelens område, og volumet av pyramiden vil avvike veldig lite fra kjeglens volum. Hvis vi neglisjerer disse forskjellene i størrelse, uttrykkes volumet av kjeglen med følgende formel:

V=1/3S h, der V er volumet til kjeglen, S er arealet av kjeglens base, h er høyden på kjeglen.

Ved å erstatte S med πR 2 , der R er radiusen til sirkelen, får vi formelen: V = 1 / 3 πR 2 h uttrykker volumet til kjeglen.

Merk. I formelen V = 1 / 3 S h tegnet på eksakt, og ikke omtrentlig, likhet ble satt på, selv om vi på grunnlag av resonnementet som ble utført, kunne betrakte det som omtrentlig, men på videregående videregående skole det er bevist at likheten

V=1/3S h eksakt, ikke omtrentlig.

Volum av en vilkårlig kjegle

Teorem. Volumet til en vilkårlig kjegle er lik en tredjedel av produktet av basisarealet og høyden, de.

V = 1/3 QH, (1)

der Q er arealet av basen og H er høyden på kjeglen.

Tenk på en kjegle med toppunkt S og base Ф (fig.).

La arealet av basen Ф være lik Q, og høyden på kjeglen være lik H. Så er det sekvenser av polygoner Ф n og F' n med områder Q n og Q' n slik at

F n⊂ F n⊂ F' n og \(\lim_(n \høyrepil \infty)\) Q' n= \(\lim_(n \høyrepil \infty)\) Sp n= Q.

Det er åpenbart at pyramiden med topp S og base Ф' n vil bli skrevet inn i denne kjeglen, og pyramiden med toppunkt S og base Ф n- beskrevet nær kjeglen.

Volumene til disse pyramidene er henholdsvis like

V n= 1/3 Q n H , V' n= 1 / 3 Q' n H

\(\lim_(n \høyrepil \infty)\) V n= \(\lim_(n \høyrepil \infty)\) V' n= 1/3 QH

da er formel (1) bevist.

Konsekvens. Volumet til en kjegle hvis base er en ellipse med halvaksene a og b, beregnes ved hjelp av formelen

V = 1/3 ab H(2)

Spesielt, volumet til en kjegle hvis base er en sirkel med radius R, beregnet med formelen

V = 1 / 3 π R 2 H (3)

hvor H er høyden på kjeglen.

Som du vet, området til en ellipse med halvakser en og b er lik π ab, og derfor er formel (2) hentet fra (1) for Q = π ab. Hvis en a = b= R, så oppnås formel (3).

Volum av en rett sirkulær kjegle

Teorem 1. Volumet til en rett sirkulær kjegle med høyde H og grunnradius R beregnes ved hjelp av formelen

V = 1/3 π R 2 H

Denne kjeglen kan betraktes som en kropp oppnådd ved å rotere en trekant med toppunkter i punktene O(0; 0), B(H; 0), A(H; R) rundt aksen Åh(ris.).

Trekant OAB er krumlinjet trapes tilsvarende funksjonen

y=R/H X, X∈ . Derfor bruker kjent formel, vi får

$$ V=\pi\int_(0)^(H)(\frac(R)(H)x)^2dx=\\=\frac(\pi R^2)(H^2)\cdot\frac (x^3)(3)\venstre|\begin(array)(c)H\\\\ 0\end(array)\right.=\\=\frac(1)(3)\pi R^2H $$

Konsekvens. Volumet av en rett sirkulær kjegle er lik en tredjedel av produktet av arealet av basen og høyden, dvs.

hvor Q - basisareal, og H - kjeglehøyde.

Teorem 2. Volumet av en avkortet kjegle med basisradii r og R og høyde H beregnes ved formelen

V = 1/3 πH( r 2+R2+ r R).

En avkortet kjegle kan oppnås ved å rotere rundt en akse Åh trapes O ABC (fig.).

Linjen AB går gjennom punktene (0; r) og (H; R), så den har ligningen

$$ y=\frac(R-r)(H)x + r $$

vi får

$$ V=\pi\int_(0)^(H)(\frac(R-r)(H)x + r)^2dx $$

For å beregne integralet gjør vi endringen

$$ u=\frac(R-r)(H)x + r, du=\frac(R-r)(H)dx $$

Tydeligvis når X varierer fra 0 til H, variabel og endres fra r til R, og så

$$ V=\pi\int_(r)^(R)u^2\frac(H)(R-r)du=\\=\frac(\pi H)(R-r)\cdot\frac(u^3) (3)\venstre|\begin(array)(c)R\\\\ r\end(array)\right.=\\=\frac(\pi H)(3(R-r))(R^3- r^3)=\\=\frac(1)(3)\pi H(R^2 + r^2 + Rr) $$

En kule hvis volum er 8π er skrevet inn i en kube. Finn volumet til kuben.

Løsning

La a være siden av kuben. Da er volumet til kuben V = a 3 .

Siden ballen er innskrevet i en terning, er kulens radius lik halve kanten av kuben, dvs. R = a/2 (se fig.).

Volumet av ballen er V w \u003d (4/3)πR 3 og er lik 8π, derfor

(4/3)πR 3 = 8π,

Og volumet til kuben er V = a 3 = (2R) 3 = 8R 3 = 8*6 = 48.

Oppgave B9 ( Typiske alternativer 2015)

Volumet på kjeglen er 32. Gjennom midten av høyden trekkes et snitt parallelt med kjeglens bunn, som er bunnen av en mindre kjegle med samme toppunkt. Finn volumet til den mindre kjeglen.

Løsning

Vurder oppgavene:

72353. Volumet til en kjegle er 10. Et snitt trekkes gjennom midten av høyden parallelt med bunnen av kjeglen, som er bunnen av en mindre kjegle med samme toppunkt. Finn volumet til den mindre kjeglen.

Vi bemerker med en gang at de opprinnelige og avkortede kjeglene er like, og hvis vi vurderer den avkortede kjeglen i forhold til originalen, kan vi si dette: den mindre kjeglen er lik den større med en koeffisient lik ett sekund eller 0,5. Vi kan skrive:

Det kan skrives:

Det kunne du tro!

Vurder den originale kjeglen med hensyn til den kuttede. Vi kan si at en større kjegle ligner en kuttet med en faktor på to, vi skriver:

Se nå på løsningen uten å bruke likhetsegenskaper.

Volumet av en kjegle er lik en tredjedel av produktet av arealet av basen og høyden:

Vurder en sideprojeksjon (sidevisning) med den angitte delen:

La radiusen til den større kjeglen være R, høyden er H. Seksjonen (bunnen av den mindre kjeglen) går gjennom midten av høyden, så høyden vil være lik H / 2. Og basens radius er R / 2, dette følger av likheten mellom trekanter.

La oss skrive volumet til den originale kjeglen:

Volumet av den avskårne kjeglen vil være lik:

Så detaljerte løsninger presentert slik at du kan se hvordan du kan bygge resonnement. Handle på noen måte - det viktigste er at du forstår essensen av avgjørelsen. La veien du velger ikke være rasjonell, resultatet er viktig (riktig resultat).

Svar: 1,25

318145. I et kar formet som en kjegle når væskenivået halve høyden. Volumet av væske er 70 ml. Hvor mange milliliter væske må tilsettes for å fylle beholderen helt?

Denne oppgaven ligner den forrige. Selv om vi snakker om en væske her, er prinsippet for løsningen det samme.

Vi har to kjegler - dette er selve karet og den "lille" kjeglen (fylt med væske), de er like. Det er kjent at volumene til lignende kropper er relatert som følger:

Den opprinnelige kjeglen (beholderen) ligner en kjegle fylt med væske med en koeffisient lik 2, siden det sies at væskenivået når halve høyden. Du kan skrive mer detaljert:

Vi beregner:

Derfor må du legge til:

Andre oppgaver med væsker.

74257. Finn volumet V til en kjegle hvis generatrise er 44 og som er skråstilt til basens plan i en vinkel på 30 0 . Gi svaret ditt V/Pi.

Kjeglevolum:

Vi finner høyden på kjeglen ved eiendommen høyre trekant.

Benet motsatt vinkelen på 30° er lik halvparten av hypotenusen. hypotenuse, i denne saken, er en generatrise av kjeglen. Derfor er høyden på kjeglen 22.

Vi finner kvadratet av radiusen til basen ved å bruke Pythagoras setning:

*Vi trenger kvadratet av radiusen, ikke selve radien.

Geometri er ikke en enkel vitenskap, men nyttig. Alle vi på skolen gikk gjennom beregningen av volumene til tredimensjonale kropper, men ikke alle husker formlene for disse beregningene godt. Denne artikkelen vil hjelpe deg med å friske opp kunnskapen din om hvordan du finner volumet til en kjegle. Denne tredimensjonale figuren er dannet av en sirkulær rotasjon av en rettvinklet trekant. Du kan beregne volumet forskjellige måter, avhengig av hvilke kildedata du eier.

Instruksjon:

• I de fleste tilfeller brukes radiusen til grunnsirkelen og høyden for beregningen. Formelen for volumet til en kjegle i dette tilfellet er: V= πRh, hvor π=3,14, R er radiusen til basen, h- høyden på figuren. Enkelt sagt, med denne formelen beregner vi arealet av basen, og multipliserer det med høyden. Imidlertid kan beregningen av volumet til en kjegle ta en annen form hvis du kjenner andre parametere til figuren din.
• Hvis du kjenner lengden på siden av kjeglen og radiusen til basen, for å finne volumet til figuren, må du finne ut hva høyden er. Dette vil hjelpe oss Pythagoras teorem , fordi radiusen til basen i dette tilfellet er bein henholdsvis rettvinklet trekant og siden, hypotenusen. For å finne lengden på det andre benet, som er høyden på kjeglen, bruker vi den velkjente formelen a^2+b^2=c^2 .
• Men hvordan finne volumet til en kjegle hvis verken lengden på sidesiden eller radiusen til basen er kjent? I dette tilfellet må du vite grad av vinkel på toppen av kjeglen og dens høyde. Med denne informasjonen kan du beregne radiusen til basen. Ikke glem at en kjegle er en figur dannet av rotasjonen av en rettvinklet trekant rundt det ene bena. Hvis vinkelen på toppen er delt i to, får du en grad på en av to skarpe hjørner denne trekanten. Bruker definisjoner trigonometriske funksjoner, kan vi finne ut lengden på siden motsatt dette hjørnet, det vil si i vårt tilfelle, radiusen til basen. I dette tilfellet vil det være likt l*sin(α), hvor l- lengden fra toppen av kjeglen til basen, henholdsvis høyden, vil være lik l*cos(α), ved å bruke disse verdiene, utleder vi følgende formel for radiusen til basen R= h/cos(α)*sin(α) eller tilsvarende, R = h*tg(α).

Revolusjonskroppene som ble studert på skolen er en sylinder, en kjegle og en ball.

Hvis du i en BRUK-oppgave i matematikk trenger å beregne volumet til en kjegle eller arealet av en kule, bør du vurdere deg selv som heldig.

Bruk formler for volum og overflateareal til en sylinder, kjegle og kule. Alle er i tabellen vår. Lære utenat. Det er her kunnskapen om stereometri begynner.

Noen ganger er det greit å tegne en ovenfra. Eller, som i dette problemet, nedenfra.

2. Hvor mange ganger volumet til en kjegle er omskrevet nær det riktige firkantet pyramide, større enn volumet til kjeglen innskrevet i denne pyramiden?

Alt er enkelt - vi tegner en utsikt nedenfra. Vi ser at radiusen til den større sirkelen er flere ganger større enn radiusen til den mindre. Høydene på begge kjeglene er de samme. Derfor vil volumet til den større kjeglen være dobbelt så stort.

En annen viktig poeng. Husk at i oppgavene i del B BRUK alternativer i matematikk skrives svaret som et heltall eller endelig desimalbrøk. Derfor bør du ikke ha noen eller i svaret ditt i del B. Det er heller ikke nødvendig å erstatte den omtrentlige verdien av tallet! Det må reduseres! Det er for dette at oppgaven i noen oppgaver er formulert, for eksempel som følger: "Finn arealet av sylinderens sideflate delt på".

Og hvor ellers brukes formlene for volumet og overflatearealet til revolusjonslegemer? Selvfølgelig i oppgave C2 (16). Vi vil også fortelle deg om det.

Geometri som vitenskap ble dannet i Det gamle Egypt og nådde høy level utvikling. Den kjente filosofen Platon grunnla Akademiet, hvor nøye oppmerksomhet ble gitt til systematisering av eksisterende kunnskap. Kjeglen som en av de geometriske figurene ble først nevnt i den berømte avhandlingen til Euklid "Begynnelser". Euklid var kjent med verkene til Platon. Nå er det få som vet at ordet "kjegle" er oversatt fra gresk betyr "kongle". Den greske matematikeren Euklid, som bodde i Alexandria, regnes med rette som grunnleggeren av geometrisk algebra. De gamle grekerne ble ikke bare etterfølgerne av egypternes kunnskap, men utvidet også teorien betydelig.

Historien om definisjonen av en kjegle

Geometri som vitenskap oppsto fra de praktiske kravene til bygging og observasjon av naturen. Gradvis ble eksperimentell kunnskap generalisert, og egenskapene til noen kropper ble bevist gjennom andre. De gamle grekerne introduserte begrepet aksiomer og bevis. Et aksiom er et utsagn oppnådd på en praktisk måte og krever ikke bevis.

I sin bok ga Euklid definisjonen av en kjegle som en figur som oppnås ved å rotere en rettvinklet trekant rundt et av bena. Han eier også hovedteoremet som bestemmer volumet til en kjegle. Og den gamle greske matematikeren Eudoxus fra Cnidus beviste denne teoremet.

En annen matematiker antikkens Hellas, Apollonius av Perga, som var elev av Euklid, utviklet og forklarte teorien om kjegleflater i bøkene sine. Han eier definisjonen konisk overflate og sekant til henne. Skolebarn i våre dager studerer euklidisk geometri, som har bevart hovedsetningene og definisjonene fra antikken.

Grunnleggende definisjoner

En rett sirkulær kjegle dannes ved å rotere en rettvinklet trekant rundt ett ben. Som du kan se, har konseptet med en kjegle ikke endret seg siden Euklids tid.

Hypotenusen AS til en rettvinklet trekant AOS dannes når den roterer rundt benet OS sideflate av en kjegle og kalles derfor en generatrise. Benets OS av trekanten svinger samtidig til høyden på kjeglen og dens akse. Punkt S blir toppen av kjeglen. Benet AO, etter å ha beskrevet sirkelen (basen), snudde seg til radiusen til kjeglen.

Hvis vi tegner et plan ovenfra gjennom kjeglens toppunkt og akse, kan vi se at det resulterende aksiale snittet er likebent trekant, der aksen er høyden på trekanten.

hvor C- grunnomkrets, l er lengden på generatrisen til kjeglen, R er basens radius.

Formelen for å beregne volumet til en kjegle

Følgende formel brukes til å beregne volumet til en kjegle:

hvor S er arealet av kjeglens base. Siden basen er en sirkel, beregnes arealet som følger:

Dette innebærer:

hvor V er volumet av kjeglen;

n er et tall lik 3,14;

R er radiusen til basen som tilsvarer segmentet AO i figur 1;

H er høyden lik segmentet OS.

Avkuttet kjegle, volum

Det er en høyre sirkulær kjegle. Hvis ved et plan vinkelrett på høyden, skjær av øvre del, får du en avkortet kjegle. Dens to baser har form av en sirkel med radier R 1 og R 2 .

Hvis en rett kjegle dannes ved rotasjon av en rettvinklet trekant, dannes en avkortet kjegle ved rotasjon av en rettvinklet trapes rundt den rette siden.

Volumet til en avkortet kjegle beregnes ved å bruke følgende formel:

V \u003d n * (R 1 2 + R 2 2 + R 1 * R 2) * H / 3.

Kjegle og dens seksjon ved et fly

Peru til den antikke greske matematikeren Apollonius av Perga tilhører det teoretiske verket "Conic Sections". Takket være hans arbeid innen geometri dukket det opp definisjoner av kurver: parabel, ellipse, hyperbel. Tenk, og her kjeglen.

Ta en høyre sirkulær kjegle. Hvis planet skjærer det vinkelrett på aksen, dannes det en sirkel i snittet. Når sekanten krysser kjeglen i en vinkel til aksen, oppnås en ellipse i snittet.

Sekantplanet, vinkelrett på basen og parallelt med kjeglens akse, danner en hyperbel på overflaten. Et plan som skjærer kjeglen i en vinkel til basen og parallelt med tangenten til kjeglen skaper en kurve på overflaten, som kalles en parabel.

Løsningen på problemet

Til og med enkel oppgave hvordan lage en bøtte med et visst volum krever kunnskap. For eksempel må du beregne dimensjonene til en bøtte slik at den har et volum på 10 liter.

V \u003d 10 l \u003d 10 dm 3;

Utviklingen av kjeglen har formen vist skjematisk i figur 3.

L - generatrise av kjeglen.

For å finne ut overflatearealet til en bøtte, som beregnes ved hjelp av følgende formel:

S \u003d n * (R 1 + R 2) * L,

det er nødvendig å beregne generatrisen. Vi finner det fra volumverdien V \u003d n * (R 1 2 + R 2 2 + R 1 * R 2) * H / 3.

Derfor H=3V/n*(R12+R22+R1*R2).

En avkortet kjegle dannes ved å rotere en rektangulær trapes, der sidesiden er generatrisen til kjeglen.

L 2 \u003d (R 2- R 1) 2 + H 2.

Nå har vi alle dataene for å bygge bøttetegningen.

Hvorfor er brannbøtter formet som en kjegle?

Hvem lurte på hvorfor brannbøtter har en tilsynelatende merkelig konisk form? Og det er ikke bare det. Det viser seg at ved slukking av brann har en konisk bøtte mange fordeler fremfor en konvensjonell, avkortet kjegleformet.

For det første, som det viser seg, fylles brannbøtta med vann raskere og søler ikke når den bæres. En kjegle større enn en vanlig bøtte gjør at du kan bære mer vann om gangen.

For det andre kan vann fra det kastes ut til en større avstand enn fra en konvensjonell bøtte.

For det tredje, hvis den koniske bøtta faller av hendene og faller inn i ilden, helles alt vannet på ilden.

Alle de ovennevnte faktorene sparer tid - hovedfaktor ved slukking av brann.

Praktisk bruk

Skolebarn har ofte spørsmålet om hvorfor man skal undervise, hvordan man beregner volumet av forskjellige geometriske legemer, inkludert kjegler.

Og designingeniører står konstant overfor behovet for å beregne volumet av de koniske delene av mekanismedeler. Dette er tipsene til bor, deler av dreie- og fresemaskiner. Formen på kjeglen gjør at borene enkelt kan komme inn i materialet uten å kreve innledende tråkling med et spesialverktøy.

Volumet av kjeglen har en haug med sand eller jord hellet på bakken. Om nødvendig, ved å gjøre enkle målinger, kan du beregne volumet. For noen vil spørsmålet om hvordan man finner ut radius og høyde på en haug med sand forårsake vanskeligheter. Bevæpnet med et målebånd måler vi omkretsen av haugen C. Ved å bruke formelen R \u003d C / 2n finner vi ut radiusen. Ved å kaste et tau (rulett) over toppen finner vi lengden på generatrisen. Og å beregne høyden ved å bruke Pythagoras teorem og volum er ikke vanskelig. Selvfølgelig er en slik beregning omtrentlig, men den lar deg finne ut om du ikke ble lurt ved å ta med et tonn sand i stedet for en kube.

Noen bygninger er formet som en avkortet kjegle. For eksempel nærmer TV-tårnet Ostankino seg formen som en kjegle. Det kan representeres som bestående av to kjegler plassert oppå hverandre. Kuppelene til gamle slott og katedraler er en kjegle, volumet som de gamle arkitektene beregnet med utrolig nøyaktighet.

Hvis du ser nøye på de omkringliggende gjenstandene, så er mange av dem kjegler:

• trakter for å helle væske;
• horn-høyttaler;
• parkering kjegler;
• lampeskjerm for gulvlampe;
• det vanlige juletreet;
• blåseinstrumenter.

Som det fremgår av eksemplene ovenfor, er evnen til å beregne volumet av en kjegle, dens overflate nødvendig i profesjonelle og Hverdagen. Vi håper denne artikkelen vil hjelpe deg.