Hvordan finne diagonalen til en kube gitt volum. Hva er diagonalen til en kube og hvordan finner du den

Diagonalen til en kube er et av elementene du trenger å vite når du løser oppgaver på solid geometri under kjøring. sluttarbeid i matematikk for grunnskolekurset.

Litt teori om kuben

Dette polyederet tilhører umiddelbart høyre parallellepipeder og prismer. han - spesielt tilfelle av begge. Basen av kuben er en firkant, og sidekantene er lik siden gitt kvadrat. Dermed har alle tre dimensjonene de samme verdiene.

Alle seks flatene til en terning er firkanter. Lengden på hver av de 12 ribbeina er den samme.

I hvert av ansiktene kan det tegnes en diagonal, hvis lengde lett kan finnes ved hjelp av den pytagoreiske formelen. I tillegg har selve kuben diagonaler. Det er bare fire av dem. Diagonalen til kuben er tegnet slik at den starter fra toppen av den nedre basen. Enden av dette segmentet er på toppen av den øvre basen, men på en slik måte at den ikke faller sammen med firkantens diagonal.

Viktige formler

De må angi samme betegnelse. Oftest er bokstaven "a" siden av kuben. "V" er for volum. "S" og "d" henholdsvis areal og diagonal. "R" og "r" er radiene til de omskrevne og innskrevne kulene.

V= a³(№1) brukes til å finne volumet;

S= a² (№2) formel for ansiktsområdet;

S= 6a² (№3) nødvendig for å beregne arealet av hele overflaten av kuben;

hvis du vil vite diagonalen til en kube, vil formelen være slik d=en√ 3 (№4);

for å finne radiene komme godt med: R=(а/2)*√3 ogr=a/2 (#5) og (#6).

Noen få ord om symmetrien til kuben

Dette geometrisk kropp Det er to typer symmetri: om et punkt og om en akse. For å finne den første må du tegne en diagonal av kuben, deretter den andre for å finne skjæringspunktet. Det vil være sentrum for symmetri.

Alle linjer som går gjennom dette punktet og er vinkelrett på ansiktene viser seg å være symmetriakser.

Eksempler på oppgaver fra eksamen

De brukes i del B, det vil si hvor du må fullføre den detaljerte løsningen av oppgaven. Du kan ikke bare velge et svar her. Derfor må du kjenne formlene og kunne bruke dem i ulike situasjoner.

Den første gruppen med oppgaver. Den kjenner lengden på kubens diagonal. Det er nødvendig å beregne volumet eller finne ut overflatearealet.

For eksempel kan en kjent verdi være lik én. Deretter, for å finne ut volumet og arealet, må du bruke formlene nr. 1 og 3. Men i dem i spørsmålet om en kant, og en diagonal er gitt. Du må skrive en annen formel.

Hvis du ser på tegningen av kuben og diagonalen som er tegnet i den, kan du se at det dannes en rettvinklet trekant. Det ene bena sammenfaller med kanten, det andre med ansiktets diagonal, og hypotenusen er kubens diagonal.

Deretter kan vi skrive Pythagoras teorem: kvadratet på hypotenusen (d 2) er lik kvadratet på den første etappen (a 2), lagt til kvadratet på den andre (a √ 2) 2. Etter å ha utført transformasjonene, viser det seg at kubekanten a er koblet til diagonalen på en slik måte at den er lik d delt på kvadratroten av 3.

Nå kan du begynne å finne ut kanten, og deretter beregne volumet og arealet. I en spesifikk oppgave a=1/√3=(√3)/3. Da er volumet lik (√3)/9. Området er to.

Den andre gruppen med oppgaver. Det motsatte av den forrige, når området eller volumet er kjent, men det er nødvendig å beregne verdien av diagonalen til kuben.

Et eksempel er en oppgave der overflatearealet er kjent, og det er lik 8. Det vil være nødvendig å bruke formel nr. 3 og avhengigheten som ble utledet i forrige oppgave.

Først må du finne ut lengden på kanten. Den er lik kvadratroten av kvotienten S med 6. Etter å ha erstattet den kjente verdien a=√(8/6)=√(4/3). Nå gjenstår det å beregne diagonalen til kuben ved å kvadrere dette tallet og multiplisere det med 3. Det viser seg 2.

Den tredje gruppen av oppgaver inneholder data om diagonalen til kubens overflate. De trenger å finne ut volumet eller området av kroppen. Det er også mulig at du må beregne diagonalen til selve kuben. I slike problemer går resonnementet samme vei som ble vurdert i de tidligere sakene.

En kube, eller som det også kalles et heksaeder, er et vanlig polyeder, hvis ansikter har form som en firkant. En kube er et spesialtilfelle av et prisme og et parallellepiped.

Ulike disipliner bruker betydningen av dette begrepet i forhold til ulike egenskaper ved den geometriske prototypen. For eksempel, i analyse, brukes analytiske flerdimensjonale kuber, som lar deg visuelt sammenligne data fra forskjellige tabeller.

Kubeegenskaper

Et tetraeder kan skrives inn i en terning på to måter, og toppunktene til tetraederet, og det er fire av dem, vil falle sammen med de fire toppunktene i kuben. Alle seks kantene av tetraederet vil være plassert på alle seks flater av kuben og vil være lik diagonalen på flaten til kvadratet.
De fire delene av kuben er vanlige sekskanter, de passerer gjennom midten av kuben vinkelrett på de fire diagonalene.
Et oktaeder er innskrevet i en terning, og alle seks toppunktene i oktaederet er på linje med sentrene til de seks flatene på kuben.
Terningen er innskrevet i et oktaeder, og alle åtte toppunktene i kuben vil være plassert i midten av de åtte flatene til oktaederet.
Et ikosaeder kan skrives inn i en terning, slik at seks innbyrdes parallelle kanter av ikosaederet vil være plassert på seks flater av kuben, de resterende tjuefire kantene inne i kuben, alle 12 toppunktene til ikosaederet vil ligge på seks flater av kuben.

Kubeformler

Kubeoverflate: A = 6*a2
Volum av kuben: V = a3
Kubediagonal: d = a*√3

eller heksaeder) er volumetrisk figur, hvert ansikt er en firkant, der, som vi vet, alle sider er like. Diagonalen til en kube er et segment som går gjennom midten av figuren og forbinder symmetriske hjørner. Et vanlig heksaeder har 4 diagonaler, og de vil alle være like. Det er veldig viktig å ikke forveksle diagonalen til selve figuren med diagonalen på ansiktet eller firkanten som ligger på basen. Diagonalen til kubens overflate passerer gjennom midten av ansiktet og forbinder de motsatte hjørnene av firkanten.

Formel for å finne diagonalen til en kube

Diagonalen til et vanlig polyeder kan bli funnet ved hjelp av en veldig enkel formel som må huskes. D=a√3, hvor D angir diagonalen til kuben, og er kanten. La oss gi et eksempel på et problem der det er nødvendig å finne en diagonal hvis det er kjent at lengden på kanten er 2 cm. Her er alt enkelt D = 2√3, du trenger ikke engang å telle noe. I det andre eksemplet, la kanten på kuben være √3 cm, så får vi D = √3√3=√9=3. Svar: D er 3 cm.

Formel for å finne diagonalen til en kubeflate

fasetter kan også bli funnet ved hjelp av formelen. Det er bare 12 diagonaler som ligger på ansiktene, og de er alle like med hverandre. Husk nå d=a√2, der d er diagonalen til kvadratet, og også er kanten på kuben eller siden av kvadratet. Det er veldig lett å forstå hvor denne formelen kom fra. Tross alt dannes de to sidene av firkanten og diagonalen I denne trioen spiller diagonalen rollen som hypotenusen, og sidene av firkanten er ben som har samme lengde. Husk Pythagoras teorem, og alt vil umiddelbart falle på plass. Nå er problemet: kanten av sekskantet er √8 cm, du må finne diagonalen til ansiktet. Vi setter inn i formelen, og vi får d=√8 √2=√16=4. Svar: Diagonalen på forsiden av en kube er 4 cm.

Hvis diagonalen til kubens forside er kjent

I henhold til tilstanden til problemet, får vi bare diagonalen til ansiktet til et vanlig polyeder, som er, anta, √2 cm, og vi må finne diagonalen til kuben. Formelen for å løse dette problemet er litt mer komplisert enn den forrige. Hvis vi kjenner d, kan vi finne kanten av kuben basert på vår andre formel d=a√2. Vi får a= d/√2= √2/√2=1cm (dette er kanten vår). Og hvis denne verdien er kjent, vil det ikke være vanskelig å finne diagonalen til kuben: D = 1√3= √3. Slik løste vi problemet vårt.

Hvis overflaten er kjent

Følgende løsningsalgoritme er basert på å finne diagonalen langs La oss anta at den er lik 72 cm 2. La oss først finne arealet av ett ansikt, og det er 6 totalt. Så 72 må deles på 6, vi får 12 cm 2. Dette er området til ett ansikt. For å finne kanten til et vanlig polyeder, må du huske formelen S=a 2 , så a=√S. Bytt ut og få a=√12 (kubekant). Og hvis vi kjenner denne verdien, så er det ikke vanskelig å finne diagonalen D= a√3= √12 √3 = √36 = 6. Svar: diagonalen til en terning er 6 cm 2.

Hvis lengden på kantene på kuben er kjent

Det er tilfeller der bare lengden på alle kubekanter er gitt i oppgaven. Da er det nødvendig å dele denne verdien med 12. Det er hvor mange sider inn vanlig polyeder. For eksempel, hvis summen av alle kantene er 40, vil den ene siden være 40/12=3,333. Vi setter inn i vår første formel og vi får svaret!

Hvis seks sider firkantet form begrense litt plass, da geometrisk form dette rommet kan kalles kubisk eller heksaedrisk. Alle tolv kanter av en slik romlig figur har samme lengde, noe som i stor grad forenkler beregningen av parametrene til polyederet. Diagonal lengde Cuba er intet unntak, den kan finnes på mange måter.

Instruksjon

Hvis kantlengden Cuba(a) er kjent fra betingelsene for oppgaven, formelen for å beregne lengden på ansiktsdiagonalen (l) kan utledes fra Pythagoras teoremet. I en kube danner alle to tilstøtende kanter en rett vinkel, så trekanten som består av dem og diagonalen til ansiktet er en rettvinklet trekant. Ribbene i dette tilfellet er ben, og du må beregne lengden på hypotenusen. I følge teoremet nevnt ovenfor er det lik kvadratroten av summen av kvadratene av lengdene på benene, og siden i denne saken de er like store, bare multipliser kantlengden med Kvadratrot fra to: l \u003d √ (a² + a²) \u003d √ (2 * a²) \u003d a * √2.
Arealet til en firkant kan også uttrykkes i form av lengden på diagonalen, og siden hvert ansikt Cuba har akkurat en slik form, å vite at ansiktsområdet(e) er tilstrekkelig til å beregne diagonalen (l). Areal av hver sideflate Cuba er lik lengden på kanten i kvadrat, så siden av kvadratet av ansiktet kan uttrykkes som √s. Plugg denne verdien inn i formelen fra forrige trinn: l = √s*√2 = √(2*s).
Terningen består av seks sider samme form Derfor, hvis det totale overflatearealet (S) er gitt under betingelsene for problemet, for å beregne diagonalen til ansiktet (l), er det nok å endre formelen til forrige trinn litt. Bytt ut arealet av ett ansikt i det med en sjettedel av det totale arealet: l = √(2*S/6) = √(S/3).
Ribbelengde Cuba kan også uttrykkes i form av volumet til denne figuren (V), og dette gjør at formelen for beregning av lengden på ansiktsdiagonalen (l) fra det første trinnet kan brukes også i dette tilfellet, etter å ha gjort noen korrigeringer til den. Volumet til et slikt polyeder er lik tredje potens av lengden på kanten, så bytt ut lengden på siden av ansiktet i formelen kubikkrot fra volum: l = ³√V*√2.
Radius beskrevet ca. Cuba kule (R) er relatert til lengden på kanten med en faktor lik halve roten av trippelen. Uttrykk siden av ansiktet i form av denne radien og bytt uttrykket inn i den samme formelen for å beregne lengden på diagonalen til ansiktet fra det første trinnet: l = R*2/√3*√2 = R*√8 /√3.
Formelen for å beregne flatediagonalen (l) ved å bruke radiusen til kulen som er skrevet inn i kuben (r), vil være enda enklere, siden denne radiusen er halvparten av lengden av kanten: l = 2*r*√2 = r* √8.