Hvordan finne den største medianen av en trekant. Median

Medianen og høyden til en trekant er en av de mest fascinerende og interessante emner geometri. Begrepet "median" betyr en linje eller et segment som forbinder toppunktet til en trekant med sin motsatt side. Medianen er med andre ord en linje som går fra midten av den ene siden av en trekant til motsatt toppunkt i den samme trekanten. Siden en trekant bare har tre hjørner og tre sider, kan det bare være tre medianer.

Trekant median egenskaper

1. Alle medianer av en trekant skjærer hverandre i ett punkt og er atskilt med dette punktet i forholdet 2:1, regnet fra toppen. Derfor, hvis du tegner alle tre medianene i en trekant, vil skjæringspunktet deres dele dem i to deler. Den delen som er nærmere toppen vil være 2/3 av hele linjen, og den delen som er nærmere siden av trekanten vil være 1/3 av linjen. Medianene krysser hverandre på ett punkt.
2. Tre medianer tegnet i en trekant deler denne trekanten i 6 små trekanter, hvis areal vil være lik.
3. Jo større siden av trekanten som medianen kommer fra, jo mindre er denne medianen. Motsatt mest kortside har den lengste medianen.
4. Median inn høyre trekant har en rekke egne egenskaper. For eksempel, hvis en sirkel er beskrevet rundt en slik trekant, som vil passere gjennom alle toppunktene, så er medianen rett vinkel, trukket til hypotenusen, vil bli radiusen til den omskrevne sirkelen (det vil si at lengden vil være avstanden fra ethvert punkt på sirkelen til sentrum).

Trekantmedianlengdeligning

Medianformelen kommer fra Stewarts teorem og sier at medianen er Kvadratrot fra forholdet mellom kvadratene av summen av sidene i trekanten som danner toppunktet, minus kvadratet på siden som medianen er trukket til til fire. Med andre ord, for å finne ut lengden på medianen, må du kvadrere lengdene på hver side av trekanten, og deretter skrive den som en brøk, hvis teller vil være summen av kvadratene til sidene som danner vinkelen som medianen kommer fra, minus kvadratet på den tredje siden. Nevneren her er tallet 4. Så, fra denne brøken, må du trekke ut kvadratroten, og så får vi lengden på medianen.

Skjæringspunktet mellom medianene til en trekant

Som vi skrev ovenfor, krysser alle medianer av en trekant på ett punkt. Dette punktet kalles midten av trekanten. Den deler hver median i to deler, hvor lengden er relatert til 2:1. Sentrum av trekanten er også sentrum av sirkelen som er omskrevet rundt den. Og andre geometriske figurer har egne sentre.

Koordinatene til skjæringspunktet mellom medianene til trekanten

For å finne skjæringskoordinatene til medianene til en trekant bruker vi egenskapen til tyngdepunktet, ifølge hvilken den deler hver median i 2:1-segmenter. Vi betegner toppunktene som A(x 1 ;y 1), B(x 2 ;y 2), C(x 3 ;y 3),

og beregne koordinatene til midten av trekanten ved formelen: x 0 = (x 1 + x 2 + x 3) / 3; y 0 \u003d (y 1 + y 2 + y 3) / 3.

Arealet av en trekant i form av medianen

Alle medianer av en trekant deler denne trekanten med 6 like trekanter, og midten av trekanten deler hver median med forholdet 2:1. Derfor, hvis parametrene til hver median er kjent, er det mulig å beregne arealet av trekanten gjennom området til en av de små trekantene, og deretter øke dette tallet med 6 ganger.

Instruksjon

Å trekke seg formel til medianer i en vilkårlig , er det nødvendig å vende seg til konsekvensen av cosinussetningen for et parallellogram oppnådd ved å fullføre triangel. Formelen kan bevises på dette, det er veldig praktisk når du løser hvis alle lengdene på sidene er kjent, eller de kan lett finnes fra andre innledende data om problemet.

Faktisk er cosinussetningen en generalisering av Pythagoras setning. Det høres slik ut: for en todimensjonal triangel med sidelengdene a, b og c og vinkelen α motsatt a, gjelder følgende likhet: a² = b² + c² - 2 b c cos α.

Den generaliserende konsekvensen fra cosinussetningen definerer en av de viktigste egenskapene firkant: summen av kvadratene til diagonalene er lik summen av kvadratene på alle sidene: d1² + d2² = a² + b² + c² + d².

Fullfør trekanten til parallellogram ABCD ved å legge til linjer parallelle med a og c. altså med sidene a og c og diagonal b. Den mest praktiske måten å bygge på er som følger: på den rette linjen som medianen tilhører, et segment MD av samme lengde, kobler dets toppunkt til toppunktene til de gjenværende A og C.

I henhold til egenskapen til et parallellogram er diagonalene delt av skjæringspunktet i like deler. Bruk konsekvensen av cosinussetningen, ifølge hvilken summen av kvadratene til diagonalene til et parallellogram er lik summen av to ganger kvadratene på sidene: BK² + AC² = 2 AB² + 2 BC².

Siden BK = 2 BM og BM er medianen av m, så: (2 m) ² + b² = 2 c² + 2 a², derav: m = 1/2 √(2 c² + 2 a² - b²).

du tok frem formel en av triangel for side b: mb = m. På samme måte er det medianer de to andre sidene: ma = 1/2 √(2 c² + 2 b² - a²); mc = 1/2 √(2 a² + 2 b² - c²).

Kilder:

• median formel
• Formler for medianen til en trekant [video]

median triangel kalles et segment som forbinder et hvilket som helst toppunkt triangel med midten av motsatt side. Tre medianer skjærer hverandre på ett punkt alltid innenfor triangel. Dette punktet deler hver median i forholdet 2:1.

Instruksjon

Problemet med å finne medianen kan løses ved tilleggskonstruksjoner triangel til et parallellogram og gjennom teoremet på diagonalene til et parallellogram La oss utvide sidene triangel og median, bygge dem opp til et parallellogram. Så medianen triangel vil være halvparten av diagonalen til det resulterende parallellogrammet, to sider triangel- dens side (a, b), og den tredje siden triangel, som medianen ble trukket til, er den andre diagonalen til det resulterende parallellogrammet. I følge teoremet er summen av kvadratene til et parallellogram lik to ganger summen av kvadratene på sidene.
2*(a^2 + b^2) = d1^2 + d2^2,
hvor
d1, d2 - diagonaler til det resulterende parallellogrammet;
herfra:
d1 = 0,5*v(2*(a^2 + b^2) - d2^2)

Medianen er linjestykket som forbinder toppunktet triangel og midten av motsatt side. Kjenne til lengdene på alle tre sidene triangel, kan du finne medianene. I spesielle tilfeller av likebenet og likesidet triangel, åpenbart er det nok å kjenne henholdsvis to (ikke lik hverandre) og en side triangel.

Du vil trenge

• Hersker

Instruksjon

Ta i betraktning generell sak triangel ABC med ulik venn fester. Lengden på medianen AE av denne triangel kan beregnes ved hjelp av formelen: AE = sqrt(2*(AB^2)+2*(AC^2)-(BC^2))/2. Resten av medianene er nøyaktig de samme. Dette er utledet gjennom Stewart-teoremet, eller gjennom fullføring triangel til et parallellogram.

Hvis ABC er likebenet og AB = AC, vil medianen AE være begge dette triangel. Derfor vil trekant BEA være en rettvinklet trekant. Ved Pythagoras teorem er AE = sqrt((AB^2)-(BC^2)/4). Fra den totale lengden av medianen triangel, for medianene BO og СP er det sant: BO = CP = sqrt(2*(BC^2)+(AB^2))/2.

Kilder:

• Medianer og ikke-sektorer i en trekant

Medianen er linjestykket som forbinder toppunktet til en trekant og midtpunktet på motsatt side. Når du kjenner lengden på alle tre sidene i en trekant, kan du finne den medianer. I spesielle tilfeller av likebente og likesidet trekant, åpenbart er det nok å kjenne henholdsvis to (ikke lik hverandre) og en side av trekanten. Medianen kan også finnes fra andre data.

Du vil trenge

• Lengdene på sidene i trekanten, vinklene mellom sidene i trekanten

Instruksjon

Vurder det mest generelle tilfellet trekant ABC med tre ulike sider. Lengde medianer AE for denne trekanten kan beregnes ved å bruke formelen: AE = sqrt(2*(AB^2)+2*(AC^2)-(BC^2))/2. Hvile medianer er nøyaktig like. Dette er utledet gjennom Stewarts teorem, eller gjennom fullføringen av en trekant til et parallellogram.

Hvis ABC er likebenet og AB = AC, vil AE samtidig være denne trekanten. Derfor vil trekant BEA være en rettvinklet trekant. Ved Pythagoras teorem er AE = sqrt((AB^2)-(BC^2)/4). Av den totale lengden medianer trekant, for BO og CP er det sant: BO = CP = sqrt(2*(BC^2)+(AB^2))/2.

Medianen til en trekant kan også finnes fra andre data. For eksempel, hvis lengden på to sider er gitt, trekkes en median til en av dem, for eksempel lengden på sidene AB og BC, samt vinkelen x mellom dem. Så lengden medianer kan finnes gjennom cosinussetningen: AE = sqrt((AB^2+(BC^2)/4)-AB*BC*cos(x)).

Kilder:

• Medianer og halveringslinjer i en trekant
• hvordan finne lengden på medianen

1. Hva er medianen?

Det er veldig enkelt!

Ta trekanten

Merk midten på en av sidene.

Og koble til den motsatte toppen!

Den resulterende linjen og er medianen.

2. Egenskaper til medianen.

Hva er de gode egenskapene til medianen?

1) La oss forestille oss at trekanten - rektangulær. Det er de, ikke sant?

Hvorfor??? Hva er det med rett vinkel?

La oss se nøye. Bare ikke på en trekant, men på ... et rektangel. Hvorfor spør du?

Men du går på jorden - ser du at den er rund? Nei, selvfølgelig, for dette må du se på jorden fra verdensrommet. Så vi ser på vår rettvinklede trekant "fra verdensrommet".

La oss tegne en diagonal:

Husker du at diagonalene til et rektangel lik og dele skjæringspunkt i halvparten? (Hvis du ikke husker det, se på emnet)

Så halvparten av den andre diagonalen er vår median. Diagonalene er like, deres halvdeler, selvfølgelig, også. Her får vi

Vi vil ikke bevise denne uttalelsen, men for å tro på den, tenk selv: er det noe annet parallellogram med like diagonaler, bortsett fra et rektangel? Selvfølgelig ikke! Vel, det betyr at medianen kan være lik halvparten av siden bare i en rettvinklet trekant.

La oss se hvordan denne egenskapen hjelper til med å løse problemer.

Her, en oppgave:
Til sidene; . Fra toppen holdt median. Finn hvis.

Hurra! Du kan bruke Pythagoras teorem! Ser du hvor flott det er? Hvis vi ikke visste det median lik en halv side

Vi bruker Pythagoras teorem:

2) Og la oss nå ikke ha én, men hele tre medianer! Hvordan oppfører de seg?

Husker veldig viktig faktum:

Vanskelig? Se på bildet:

Medianene og krysser på ett punkt.

Og .... (vi beviser det i , men foreløpig Huske!):

• - dobbelt så mye som;
• - dobbelt så mye som;
• - det dobbelte.

Ikke trøtt ennå? Nok styrke til neste eksempel? Nå skal vi bruke alt vi snakket om!

En oppgave: I en trekant tegnes medianer og, som skjærer hverandre i et punkt. Finn hvis

Vi finner ved Pythagoras teorem:

Og nå bruker vi kunnskapen om skjæringspunktet mellom medianer.

La oss markere det. kutte, a. Hvis ikke alt er klart - se på bildet.

Det har vi allerede funnet.

Midler, ; .

I oppgaven blir vi spurt om et segment.

i notasjonen vår.

Svar: .

Likte? Prøv nå å anvende kunnskap om medianen selv!

MEDIAN. GJENNOMSNITTLIG NIVÅ

1. Medianen halverer siden.

Og alt? Eller kanskje hun til og med deler noe i to? Tenk at det er det!

2. Teorem: Medianen halverer området.

Hvorfor? Og la oss huske det meste Enkel form arealet av en trekant.

Og vi bruker denne formelen to ganger!

Se, medianen delt inn i to trekanter: og. Men! De har samme høyde! Bare i denne høyden faller til siden, og ved - for fortsettelsen av siden. Overraskende nok skjer det også slik: trekantene er forskjellige, men høyden er den samme. Og så, nå bruker vi formelen to ganger.

Hva ville det bety? Se på bildet. Faktisk er det to utsagn i denne teoremet. La du merke til det?

Første uttalelse: medianer krysser hverandre på ett punkt.

Andre utsagn: skjæringspunktet for medianen er delt i forhold, regnet fra toppen.

La oss prøve å avdekke hemmeligheten bak denne teoremet:

La oss koble sammen prikkene og. Hva skjedde?

Og la oss nå tegne en annen midtlinje: marker midten - sett et punkt, merk midten - sett et punkt.

Nå - midtlinjen. Det er

1. parallell;

La du merke til noen tilfeldigheter? Begge og er parallelle. Og, og.

Hva følger av dette?

1. parallell;

Selvfølgelig bare et parallellogram!

Så - parallellogram. Hva så? Og la oss huske egenskapene til et parallellogram. Hva vet du for eksempel om diagonalene til et parallellogram? Det stemmer, de deler skjæringspunktet i to.

La oss se på bildet igjen.

Det vil si - medianen er delt med poeng og i tre like deler. Og akkurat det samme.

Dette betyr at begge medianene separert med et punkt nøyaktig i forhold, det vil si og.

Hva vil skje med den tredje medianen? La oss gå tilbake til begynnelsen. Å gud?! Nei, nå blir alt mye kortere. La oss slippe medianen og tegne medianene og.

Tenk deg nå at vi har utført nøyaktig samme resonnement som for medianene og. Hva da?

Det viser seg at medianen vil dele medianen på nøyaktig samme måte: i forhold, å telle fra punktet.

Men hvor mange punkter kan det være på et segment som deler det i forhold, regnet fra et punkt?

Selvfølgelig bare én! Og vi har allerede sett det - dette er poenget.

Hva skjedde på slutten?

Medianen passerte nøyaktig! Alle tre medianene passerte gjennom den. Og alle var delt i forhold, regnet fra toppen.

Så vi løste (beviste) teoremet. Svaret viste seg å være et parallellogram som satt inne i en trekant.

4. Formelen for lengden på medianen

Hvordan finne lengden på medianen hvis sidene er kjent? Er du sikker på at du trenger det? La oss åpne forferdelig hemmelighet: Denne formelen er ikke særlig nyttig. Men likevel, vi vil skrive det, men vi vil ikke bevise det (hvis du er interessert i beviset, se neste nivå).

Hvordan skal man forstå hvorfor dette skjer?

La oss se nøye. Bare ikke på en trekant, men på et rektangel.

Så la oss se på et rektangel.

Har du lagt merke til at trekanten vår er nøyaktig halvparten av dette rektangelet?

La oss tegne en diagonal

Husker du at diagonalene til et rektangel er like og halverer skjæringspunktet? (Hvis du ikke husker det, se på emnet)
Men en av diagonalene er hypotenusen vår! Så skjæringspunktet mellom diagonalene er midtpunktet til hypotenusen. Hun ble oppringt av oss.

Så halvparten av den andre diagonalen er vår median. Diagonalene er like, deres halvdeler, selvfølgelig, også. Her får vi

Dessuten skjer dette bare i en rettvinklet trekant!

Vi vil ikke bevise denne uttalelsen, men for å tro på den, tenk selv: er det noe annet parallellogram med like diagonaler, bortsett fra et rektangel? Selvfølgelig ikke! Vel, det betyr at medianen kan være lik halvparten av siden bare i en rettvinklet trekant. La oss se hvordan denne egenskapen hjelper til med å løse problemer.

Her er oppgaven:

Til sidene; . Medianen er trukket fra toppen. Finn hvis.

Hurra! Du kan bruke Pythagoras teorem! Ser du hvor flott det er? Hvis vi ikke visste at medianen er halve siden bare i en rettvinklet trekant, vi kunne ikke løse dette problemet på noen måte. Og nå kan vi!

Vi bruker Pythagoras teorem:

MEDIAN. KORT OM HOVEDET

1. Medianen halverer siden.

2. Teorem: Medianen halverer området

4. Formelen for lengden på medianen

Invers teorem: hvis medianen er lik halvparten av siden, er trekanten rettvinklet og denne medianen trekkes til hypotenusen.

Vel, emnet er over. Hvis du leser disse linjene, er du veldig kul.

Fordi bare 5 % av mennesker er i stand til å mestre noe på egen hånd. Og hvis du har lest til slutten, så er du på 5%!

Nå er det viktigste.

Du har funnet ut teorien om dette emnet. Og, jeg gjentar, det er ... det er bare supert! Du er allerede bedre enn de aller fleste av dine jevnaldrende.

Problemet er at dette kanskje ikke er nok...

For hva?

Til vellykket levering Unified State Examination, for opptak til instituttet på budsjettet og, VIKTIGST, for livet.

Jeg vil ikke overbevise deg om noe, jeg vil bare si en ting ...

Folk som mottok en god utdannelse, tjener mye mer enn de som ikke fikk det. Dette er statistikk.

Men dette er ikke hovedsaken.

Hovedsaken er at de er GLADERE (det finnes slike studier). Kanskje fordi mye åpner seg foran dem. flere muligheter og livet blir lysere? Vet ikke...

Men tenk selv...

Hva skal til for å være sikker på å være bedre enn andre på eksamen og til slutt ... bli lykkeligere?

FYLL HÅNDEN DIN, LØS PROBLEMER OM DETTE EMNET.

På eksamen vil du ikke bli spurt om teori.

Du vil trenge løse problemer i tide.

Og hvis du ikke har løst dem (MASSE!), vil du definitivt gjøre en dum feil et sted eller rett og slett ikke gjøre det i tide.

Det er som i sport - du må gjenta mange ganger for å vinne sikkert.

Finn en samling hvor som helst du vil nødvendigvis med løsninger detaljert analyse og bestemme, bestemme, bestemme!

Du kan bruke oppgavene våre (ikke nødvendig) og vi anbefaler dem absolutt.

For å få en hånd ved hjelp av oppgavene våre, må du bidra til å forlenge levetiden til YouClever-læreboken du leser nå.

Hvordan? Det er to alternativer:

1. Lås opp tilgang til alle skjulte oppgaver i denne artikkelen - 299 gni.
2. Lås opp tilgang til alle skjulte oppgaver i alle 99 artiklene i opplæringen - 499 gni.

Ja, vi har 99 slike artikler i læreboken og tilgang til alle oppgaver og alle skjulte tekster i dem kan åpnes umiddelbart.

Tilgang til alle skjulte oppgaver er gitt for hele nettstedets levetid.

For å konkludere...

Hvis du ikke liker oppgavene våre, finn andre. Bare ikke slutt med teori.

«Forstått» og «Jeg vet hvordan jeg skal løse» er helt forskjellige ferdigheter. Du trenger begge deler.

Finn problemer og løs!

Medianen er segmentet trukket fra trekantens toppunkt til midten av motsatt side, det vil si at det deler det i to med skjæringspunktet. Punktet der medianen skjærer den motsatte siden den kommer ut fra kalles basen. Gjennom ett punkt, kalt skjæringspunktet, passerer hver median i trekanten. Formelen for lengden kan uttrykkes på flere måter.

Formler for å uttrykke lengden på medianen

• Ofte i problemer i geometri må elevene forholde seg til et slikt segment som medianen til en trekant. Formelen for lengden er uttrykt i form av sidene:

hvor a, b og c er sider. Dessuten er c siden som medianen faller på. Slik er det mest enkel formel. Trekantmedianer er noen ganger nødvendig for hjelpeberegninger. Det finnes også andre formler.

• Hvis det under beregningen er kjent to sider av trekanten og en viss vinkel α plassert mellom dem, vil lengden på trekantens median, senket til den tredje siden, bli uttrykt som følger.

Grunnleggende egenskaper

• Alle medianer har en felles poeng skjæringspunktene til O og den er delt i forholdet to til én, hvis vi teller fra toppen. Dette punktet kalles trekantens tyngdepunkt.
• Medianen deler trekanten i to andre, hvis arealer er like. Slike trekanter kalles like trekanter.
• Hvis du tegner alle medianene, vil trekanten bli delt inn i 6 like figurer, som også vil være trekanter.
• Hvis alle tre sidene er like i en trekant, vil hver av medianene i den også være en høyde og en halveringslinje, det vil si vinkelrett på siden den er tegnet til, og halverer vinkelen den går ut fra.
• PÅ likebent trekant medianen som faller fra et toppunkt som er motsatt en side som ikke er lik noen annen vil også være høyden og halveringslinjen. Medianer som faller fra andre hjørner er like. Det er også nødvendig og tilstrekkelig tilstand likebent.
• Hvis trekanten er basen riktig pyramide, så projiseres høyden som faller til den gitte basen til skjæringspunktet for alle medianer.

• I en rettvinklet trekant er medianen trukket til den lengste siden halvparten av lengden.
• La O være skjæringspunktet mellom medianene til trekanten. Formelen nedenfor vil være sann for ethvert punkt M.

• En annen egenskap er medianen til en trekant. Formelen for kvadratet av lengden i form av kvadratene på sidene er presentert nedenfor.

Egenskaper til sidene som medianen er trukket til

• Hvis vi forbinder to skjæringspunkter mellom medianene med sidene de er senket på, vil det resulterende segmentet være midtlinje trekanten og være halvparten av siden av trekanten som den ikke har felles punkter med.
• Basene til høydene og medianene i trekanten, samt midtpunktene til segmentene som forbinder trekantens toppunkter med skjæringspunktet mellom høydene, ligger på samme sirkel.

Avslutningsvis er det logisk å si at et av de viktigste segmentene er nettopp medianen til trekanten. Formelen kan brukes til å finne lengdene på de andre sidene.