For å forstå hvordan du beregner LCM, må du først bestemme betydningen av begrepet "flere".

Et multiplum av A er et naturlig tall som er delelig med A uten en rest. Tall som er multiplum av 5 kan derfor betraktes som 15, 20, 25 og så videre.

Det kan være et begrenset antall divisorer av et bestemt tall, men det er et uendelig antall multipler.

Et felles multiplum av naturlige tall er et tall som er delelig med dem uten å etterlate en rest.

Hvordan finne det minste felles multiplum av tall

Det minste felles multiplum (LCM) av tall (to, tre eller flere) er det minste naturlige tallet som er delelig med alle disse tallene.

For å finne LOC kan du bruke flere metoder.

For små tall er det praktisk å skrive ned alle multiplene av disse tallene på en linje til du finner noe felles blant dem. Multipler er merket med stor bokstav K.

For eksempel kan multipler av 4 skrives slik:

K (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K (6) = (12, 18, 24, ...)

Dermed kan du se at det minste felles multiplum av tallene 4 og 6 er tallet 24. Denne notasjonen gjøres som følger:

LCM(4; 6) = 24

Hvis tallene er store, finn felles multiplum av tre eller flere tall, så er det bedre å bruke en annen metode for å beregne LCM.

For å fullføre oppgaven må du faktorisere de gitte tallene i primfaktorer.

Først må du skrive ned dekomponeringen av det største tallet på en linje, og under det - resten.

Dekomponeringen av hvert tall kan inneholde et annet antall faktorer.

La oss for eksempel faktorisere tallene 50 og 20 til primfaktorer.

I utvidelsen av det mindre tallet bør du markere faktorene som mangler i utvidelsen av det første største tallet, og deretter legge dem til det. I eksemplet som presenteres mangler en to.

Nå kan du beregne det minste felles multiplum av 20 og 50.

LCM(20; 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Dermed vil produktet av primfaktorene til det større tallet og faktorene til det andre tallet som ikke var inkludert i utvidelsen av det større tallet være det minste felles multiplum.

For å finne LCM for tre eller flere tall, bør du faktorisere dem alle i primfaktorer, som i forrige tilfelle.

Som et eksempel kan du finne det minste felles multiplum av tallene 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Dermed ble bare to toere fra utvidelsen av seksten ikke inkludert i faktoriseringen av et større tall (en er i utvidelsen av tjuefire).

Dermed må de legges til utvidelsen av et større antall.

LCM(12; 16; 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Det er spesielle tilfeller for å bestemme minste felles multiplum. Så hvis ett av tallene kan deles uten en rest med et annet, vil det største av disse tallene være det minste felles multiplum.

For eksempel er LCM for tolv og tjuefire tjuefire.

Hvis det er nødvendig å finne det minste felles multiplum av coprimtall som ikke har identiske divisorer, vil deres LCM være lik deres produkt.

For eksempel, LCM (10, 11) = 110.

Skoleelever får mange oppgaver i matematikk. Blant dem er det veldig ofte problemer med følgende formulering: det er to betydninger. Hvordan finne det minste felles multiplum av gitte tall? Det er nødvendig å kunne utføre slike oppgaver, siden de tilegnete ferdighetene brukes til å arbeide med brøker med ulike nevnere. I denne artikkelen skal vi se på hvordan du finner LOC og grunnleggende konsepter.

Før du finner svaret på spørsmålet om hvordan du finner LCM, må du definere begrepet multiplum. Oftest lyder formuleringen av dette konseptet som følger: et multiplum av en viss verdi A er et naturlig tall som vil være delelig med A uten en rest. Så for 4 vil multiplene være 8, 12, 16, 20. og så videre, til den nødvendige grensen.

Dessuten kan antall divisorer for en bestemt verdi begrenses, men multiplene er uendelig mange. Det er også samme verdi for naturverdier. Dette er en indikator som er delt inn i dem uten en rest. Etter å ha forstått konseptet med den minste verdien for visse indikatorer, la oss gå videre til hvordan du finner den.

Finne NOC

Det minste multiplumet av to eller flere eksponenter er det minste naturlige tallet som er helt delelig med alle spesifiserte tall.

Det er flere måter å finne en slik verdi på, vurder følgende metoder:

1. Hvis tallene er små, skriv ned på en linje alle de som er delbare med den. Fortsett å gjøre dette til du finner noe til felles blant dem. Skriftlig er de betegnet med bokstaven K. For eksempel, for 4 og 3, er det minste multiplumet 12.
2. Hvis disse er store eller du trenger å finne et multiplum av 3 eller flere verdier, bør du bruke en annen teknikk som innebærer å dekomponere tall til primfaktorer. Først legger du ut den største som er oppført, deretter alle de andre. Hver av dem har sitt eget antall multiplikatorer. Som et eksempel, la oss dekomponere 20 (2*2*5) og 50 (5*5*2). For den minste, understreker du faktorene og legger dem til den største. Resultatet blir 100, som vil være det minste felles multiplum av tallene ovenfor.
3. Når du finner 3 tall (16, 24 og 36) er prinsippene de samme som for de to andre. La oss utvide hver av dem: 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3. Bare to toere fra utvidelsen av tallet 16 ble ikke inkludert i utvidelsen av den største. Vi legger dem til og får 144, som er det minste resultatet for de tidligere angitte numeriske verdiene.

Nå vet vi hva den generelle teknikken er for å finne den minste verdien for to, tre eller flere verdier. Det finnes imidlertid også private metoder, hjelper til med å søke etter NOC hvis de forrige ikke hjelper.

Hvordan finne GCD og NOC.

Private metoder for å finne

Som med enhver matematisk seksjon, er det spesielle tilfeller av å finne LCM som hjelper i spesifikke situasjoner:

• hvis ett av tallene er delelig med de andre uten en rest, er det laveste multiplumet av disse tallene lik det (LCM på 60 og 15 er 15);
• relativt primtall har ingen felles primtall. Deres minste verdi er lik produktet av disse tallene. Dermed vil det for tallene 7 og 8 være 56;
• samme regel fungerer for andre saker, inkludert spesielle, som kan leses om i spesiallitteratur. Dette bør også inkludere tilfeller av dekomponering av sammensatte tall, som er tema for individuelle artikler og til og med kandidatavhandlinger.

Spesielle tilfeller er mindre vanlige enn standardeksempler. Men takket være dem kan du lære å jobbe med brøkdeler av ulik grad av kompleksitet. Dette gjelder spesielt for brøker, hvor det er ulik nevner.

Noen få eksempler

La oss se på noen få eksempler som vil hjelpe deg å forstå prinsippet om å finne minst multiple:

1. Finn LOC (35; 40). Vi dekomponerer først 35 = 5*7, deretter 40 = 5*8. Legg til 8 til det minste tallet og få LOC 280.
2. NOC (45; 54). Vi dekomponerer hver av dem: 45 = 3*3*5 og 54 = 3*3*6. Vi legger til tallet 6 til 45. Vi får en LCM lik 270.
3. Vel, det siste eksemplet. Det er 5 og 4. Det er ingen primtall av dem, så det minste felles multiplum i dette tilfellet vil være deres produkt, lik 20.

Takket være eksemplene kan du forstå hvordan NOC er plassert, hva nyansene er og hva meningen med slike manipulasjoner er.

Å finne NOC er mye enklere enn det kan virke i utgangspunktet. For å gjøre dette brukes både enkel utvidelse og multiplikasjon av enkle verdier med hverandre. Evnen til å jobbe med denne delen av matematikk hjelper med videre studier av matematiske emner, spesielt brøkdeler av ulik grad av kompleksitet.

Ikke glem å med jevne mellomrom løse eksempler ved hjelp av forskjellige metoder, dette utvikler ditt logiske apparat og lar deg huske en rekke begreper. Lær hvordan du finner en slik eksponent og du vil kunne gjøre det bra i resten av matematikkdelene. Lykke til med å lære matematikk!

Video

Denne videoen vil hjelpe deg å forstå og huske hvordan du finner det minste felles multiplum.

La oss fortsette samtalen om det minste felles multiplum, som vi startet i avsnittet "LCM - minst felles multiplum, definisjon, eksempler." I dette emnet vil vi se på måter å finne LCM for tre eller flere tall, og vi vil se på spørsmålet om hvordan finne LCM for et negativt tall.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Beregning av minste felles multiple (LCM) via GCD

Vi har allerede etablert forholdet mellom det minste felles multiplum og den største felles divisor. La oss nå lære hvordan du bestemmer LCM gjennom GCD. La oss først finne ut hvordan du gjør dette for positive tall.

Definisjon 1

Du kan finne det minste felles multiplum gjennom den største felles divisor ved å bruke formelen LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b).

Eksempel 1

Du må finne LCM for tallene 126 og 70.

Løsning

La oss ta a = 126, b = 70. La oss erstatte verdiene i formelen for å beregne minste felles multiplum gjennom den største felles divisor LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

Finner gcd for tallene 70 og 126. For dette trenger vi den euklidiske algoritmen: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, derfor GCD (126 , 70) = 14 .

La oss beregne LCM: LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Svare: LCM(126; 70) = 630.

Eksempel 2

Finn tallet 68 og 34.

Løsning

GCD i dette tilfellet er ikke vanskelig å finne, siden 68 er delelig med 34. La oss beregne det minste felles multiplum ved hjelp av formelen: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Svare: LCM(68; 34) = 68.

I dette eksemplet brukte vi regelen for å finne det minste felles multiplum av positive heltall a og b: hvis det første tallet er delelig med det andre, vil LCM for disse tallene være lik det første tallet.

Finne LCM ved å faktorisere tall til primfaktorer

La oss nå se på en metode for å finne LCM, som er basert på å faktorisere tall til primfaktorer.

Definisjon 2

For å finne det minste felles multiplum, må vi utføre en rekke enkle trinn:

• vi komponerer produktet av alle primfaktorer av tallene som vi trenger for å finne LCM;
• vi ekskluderer alle hovedfaktorer fra deres resulterende produkter;
• produktet oppnådd etter eliminering av de vanlige primfaktorene vil være lik LCM for de gitte tallene.

Denne metoden for å finne minste felles multiplum er basert på likheten LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b). Hvis du ser på formelen, vil det bli klart: produktet av tallene a og b er lik produktet av alle faktorene som deltar i dekomponeringen av disse to tallene. I dette tilfellet er gcd av to tall lik produktet av alle primfaktorer som samtidig er tilstede i faktoriseringene av disse to tallene.

Eksempel 3

Vi har to tall 75 og 210. Vi kan faktorisere dem som følger: 75 = 3 5 5 Og 210 = 2 3 5 7. Hvis du komponerer produktet av alle faktorene til de to opprinnelige tallene, får du: 2 3 3 5 5 5 7.

Hvis vi ekskluderer faktorene som er felles for både tall 3 og 5, får vi et produkt av følgende form: 2 3 5 5 7 = 1050. Dette produktet vil være vår LCM for tallene 75 og 210.

Eksempel 4

Finn LCM for tall 441 Og 700 , og faktoriserer begge tallene til primfaktorer.

Løsning

La oss finne alle primfaktorene til tallene gitt i betingelsen:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Vi får to tallkjeder: 441 = 3 3 7 7 og 700 = 2 2 5 5 7.

Produktet av alle faktorer som deltok i dekomponeringen av disse tallene vil ha formen: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. La oss finne felles faktorer. Dette er tallet 7. La oss ekskludere det fra det totale produktet: 2 2 3 3 5 5 7 7. Det viser seg at NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Svare: LOC(441; 700) = 44.100.

La oss gi en annen formulering av metoden for å finne LCM ved å dekomponere tall i primfaktorer.

Definisjon 3

Tidligere ekskluderte vi fra det totale antallet faktorer som er felles for begge tallene. Nå skal vi gjøre det annerledes:

• La oss faktorere begge tallene inn i primfaktorer:
• legg til produktet av primfaktorene til det første tallet de manglende faktorene til det andre tallet;
• vi skaffer produktet, som vil være den ønskede LCM av to tall.

Eksempel 5

La oss gå tilbake til tallene 75 og 210, som vi allerede så etter LCM for i et av de forrige eksemplene. La oss dele dem ned i enkle faktorer: 75 = 3 5 5 Og 210 = 2 3 5 7. Til produktet av faktorene 3, 5 og 5 tallene 75 legger til de manglende faktorene 2 Og 7 nummer 210. Vi får: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 . Dette er LCM for tallene 75 og 210.

Eksempel 6

Det er nødvendig å beregne LCM for tallene 84 og 648.

Løsning

La oss faktorisere tallene fra tilstanden til enkle faktorer: 84 = 2 2 3 7 Og 648 = 2 2 2 3 3 3 3. La oss legge til produktet faktorene 2, 2, 3 og 7 tall 84 mangler faktorene 2, 3, 3 og
3 nummer 648. Vi får produktet 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536. Dette er det minste felles multiplum av 84 og 648.

Svare: LCM(84; 648) = 4536.

Finne LCM for tre eller flere tall

Uansett hvor mange tall vi har å gjøre med, vil algoritmen for handlingene våre alltid være den samme: vi vil sekvensielt finne LCM for to tall. Det er et teorem for denne saken.

Teorem 1

La oss anta at vi har heltall a 1 , a 2 , … , a k. NOC m k disse tallene er funnet ved å sekvensielt beregne m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k − 1, a k).

La oss nå se på hvordan teoremet kan brukes for å løse spesifikke problemer.

Eksempel 7

Du må beregne det minste felles multiplum av fire tall 140, 9, 54 og 250 .

Løsning

La oss introdusere notasjonen: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

La oss starte med å beregne m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9). La oss bruke den euklidiske algoritmen for å beregne GCD for tallene 140 og 9: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. Vi får: GCD (140, 9) = 1, GCD (140, 9) = 140 9: GCD (140, 9) = 140 9: 1 = 1260. Derfor er m 2 = 1.260.

La oss nå beregne ved å bruke den samme algoritmen m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54). Under beregningene får vi m 3 = 3 780.

Vi må bare beregne m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250). Vi følger samme algoritme. Vi får m 4 = 94 500.

LCM for de fire tallene fra eksempelbetingelsen er 94500.

Svare: NOC (140, 9, 54, 250) = 94 500.

Som du kan se, er beregningene enkle, men ganske arbeidskrevende. For å spare tid kan du gå en annen vei.

Definisjon 4

Vi tilbyr deg følgende handlingsalgoritme:

• vi dekomponerer alle tall i primfaktorer;
• til produktet av faktorene til det første tallet legger vi til de manglende faktorene fra produktet av det andre tallet;
• til produktet oppnådd på forrige trinn legger vi til de manglende faktorene til det tredje tallet, etc.;
• det resulterende produktet vil være det minste felles multiplum av alle tall fra betingelsen.

Eksempel 8

Du må finne LCM for fem tall 84, 6, 48, 7, 143.

Løsning

La oss faktorisere alle fem tallene til primfaktorer: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. Primtall, som er tallet 7, kan ikke innregnes i primfaktorer. Slike tall faller sammen med deres dekomponering til primfaktorer.

La oss nå ta produktet av primfaktorene 2, 2, 3 og 7 av tallet 84 og legge til de manglende faktorene til det andre tallet. Vi dekomponerte tallet 6 til 2 og 3. Disse faktorene er allerede i produktet av det første tallet. Derfor utelater vi dem.

Vi fortsetter å legge til de manglende multiplikatorene. La oss gå videre til tallet 48, fra produktet av hvis primfaktorer vi tar 2 og 2. Deretter legger vi til primfaktoren 7 fra det fjerde tallet og faktorene 11 og 13 av det femte. Vi får: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48.048. Dette er det minste felles multiplum av de opprinnelige fem tallene.

Svare: LCM(84; 6; 48; 7; 143) = 48.048.

Finne det minste felles multiplum av negative tall

For å finne det minste felles multiplum av negative tall, må disse tallene først erstattes med tall med motsatt fortegn, og deretter må beregningene utføres ved hjelp av algoritmene ovenfor.

Eksempel 9

LCM (54, − 34) = LCM (54, 34) og LCM (− 622, − 46, − 54, − 888) = LCM (622, 46, 54, 888).

Slike handlinger er tillatt på grunn av det faktum at hvis vi aksepterer det en Og − a– motsatte tall,
deretter settet med multipler av et tall en samsvarer med settet med multipler av et tall − a.

Eksempel 10

Det er nødvendig å beregne LCM for negative tall − 145 Og − 45 .

Løsning

La oss bytte ut tallene − 145 Og − 45 til deres motsatte tall 145 Og 45 . Nå, ved hjelp av algoritmen, beregner vi LCM (145, 45) = 145 · 45: GCD (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1,305, etter å ha bestemt GCD tidligere ved å bruke den euklidiske algoritmen.

Vi får at LCM for tallene er − 145 og − 45 lik 1 305 .

Svare: LCM (− 145, − 45) = 1305.

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter

Hvordan finne LCM (minste felles multiplum)

Et felles multiplum av to heltall er et heltall som er jevnt delelig med begge gitte tall uten å etterlate en rest.

Det minste felles multiplum av to heltall er det minste av alle heltall som er delelig med begge gitte tall uten å etterlate en rest.

Metode 1. Du kan finne LCM på sin side for hvert av de gitte tallene, og skrive ut i stigende rekkefølge alle tallene som oppnås ved å multiplisere dem med 1, 2, 3, 4, og så videre.

Eksempel for nummer 6 og 9.
Vi multipliserer tallet 6, sekvensielt, med 1, 2, 3, 4, 5.
Vi får: 6, 12, 18 , 24, 30
Vi multipliserer tallet 9, sekvensielt, med 1, 2, 3, 4, 5.
Vi får: 9, 18 , 27, 36, 45
Som du kan se, vil LCM for tallene 6 og 9 være lik 18.

Denne metoden er praktisk når begge tallene er små og det er lett å multiplisere dem med en sekvens av heltall. Det er imidlertid tilfeller der du trenger å finne LCM for to- eller tresifrede tall, og også når det er tre eller enda flere innledende tall.

Metode 2. Du kan finne LCM ved å faktorisere de opprinnelige tallene i primfaktorer.
Etter dekomponering er det nødvendig å krysse ut identiske tall fra den resulterende serien med primfaktorer. De gjenværende tallene til det første tallet vil være en multiplikator for det andre, og de resterende tallene til det andre vil være en multiplikator for det første.

Eksempel for nummer 75 og 60.
Det minste felles multiplum av tallene 75 og 60 kan finnes uten å skrive ned multiplene av disse tallene på rad. For å gjøre dette, la oss faktor 75 og 60 til enkle faktorer:
75 = 3 * 5 * 5, a
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Som du kan se, vises faktor 3 og 5 i begge radene. Vi "krysser" dem mentalt.
La oss skrive ned de gjenværende faktorene som er inkludert i utvidelsen av hvert av disse tallene. Når vi dekomponerer tallet 75 sitter vi igjen med tallet 5, og når vi dekomponerer tallet 60 sitter vi igjen med 2 * 2
Dette betyr at for å bestemme LCM for tallene 75 og 60, må vi multiplisere de gjenværende tallene fra utvidelsen av 75 (dette er 5) med 60, og multiplisere tallene som gjenstår fra utvidelsen av 60 (dette er 2) * 2) med 75. Det vil si, for å lette forståelsen sier vi at vi multipliserer "på tvers".
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Slik fant vi LCM for tallene 60 og 75. Dette er tallet 300.

Eksempel. Bestem LCM for tallene 12, 16, 24
I dette tilfellet vil handlingene våre være noe mer kompliserte. Men først, som alltid, la oss faktorisere alle tallene
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
For å bestemme LCM korrekt velger vi det minste av alle tallene (dette er tallet 12) og går sekvensielt gjennom faktorene, krysser dem ut hvis vi i minst en av de andre tallradene møter den samme faktoren som ennå ikke har blitt overstreket.

Trinn 1. Vi ser at 2 * 2 forekommer i alle tallrekker. La oss stryke dem ut.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Trinn 2. I primfaktorene til tallet 12 er det bare tallet 3 igjen, men det er tilstede i primfaktorene til tallet 24. Vi krysser ut tallet 3 fra begge radene, mens det ikke kreves handlinger for tallet 16. .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Som du kan se, når vi dekomponerte tallet 12, "krysset" vi ut alle tallene. Dette betyr at funnet av LOC er fullført. Alt som gjenstår er å beregne verdien.
For tallet 12, ta de resterende faktorene til tallet 16 (neste i stigende rekkefølge)
12 * 2 * 2 = 48
Dette er NOC

Som du kan se, i dette tilfellet var det noe vanskeligere å finne LCM, men når du trenger å finne den for tre eller flere tall, lar denne metoden deg gjøre det raskere. Imidlertid er begge metodene for å finne LCM riktige.

Definisjon. Det største naturlige tallet som tallene a og b deles med uten rest kalles største felles deler (GCD) disse tallene.

La oss finne den største felles divisor av tallene 24 og 35.
Divisorene til 24 er tallene 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, og divisorene til 35 er tallene 1, 5, 7, 35.
Vi ser at tallene 24 og 35 kun har én felles divisor – tallet 1. Slike tall kalles gjensidig prime.

Definisjon. Naturlige tall kalles gjensidig prime, hvis deres største felles deler (GCD) er 1.

Største felles deler (GCD) kan finnes uten å skrive ut alle divisorene til de gitte tallene.

Med hensyn til tallene 48 og 36 får vi:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Fra faktorene som er inkludert i utvidelsen av det første av disse tallene, krysser vi ut de som ikke er inkludert i utvidelsen av det andre tallet (dvs. to toere).
Faktorene som gjenstår er 2 * 2 * 3. Produktet deres er 12. Dette tallet er den største felles divisor av tallene 48 og 36. Den største felles divisor av tre eller flere tall er også funnet.

Å finne største felles deler

2) fra faktorene som er inkludert i utvidelsen av et av disse tallene, kryss ut de som ikke er inkludert i utvidelsen av andre tall;
3) finn produktet av de resterende faktorene.

Hvis alle gitte tall er delbare med ett av dem, så er dette tallet det største felles deler gitte tall.
For eksempel er den største felles divisor av tallene 15, 45, 75 og 180 tallet 15, siden alle andre tall er delbare med det: 45, 75 og 180.

Minste felles multiplum (LCM)

Definisjon. Minste felles multiplum (LCM) naturlige tall a og b er det minste naturlige tallet som er et multiplum av både a og b. Det minste felles multiplum (LCM) av tallene 75 og 60 kan finnes uten å skrive ned multiplene av disse tallene på rad. For å gjøre dette, la oss faktor 75 og 60 inn i primfaktorer: 75 = 3 * 5 * 5, og 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
La oss skrive ned faktorene som er inkludert i utvidelsen av det første av disse tallene, og legge til de manglende faktorene 2 og 2 fra utvidelsen av det andre tallet (dvs. vi kombinerer faktorene).
Vi får fem faktorer 2 * 2 * 3 * 5 * 5, produktet av disse er 300. Dette tallet er det minste felles multiplum av tallene 75 og 60.

De finner også det minste felles multiplum av tre eller flere tall.

Til finne minste felles multiplum flere naturlige tall, du trenger:
1) faktor dem inn i prime faktorer;
2) skriv ned faktorene som er inkludert i utvidelsen av et av tallene;
3) legg til de manglende faktorene fra utvidelsene av de gjenværende tallene;
4) finn produktet av de resulterende faktorene.

Merk at hvis ett av disse tallene er delelig med alle andre tall, så er dette tallet det minste felles multiplum av disse tallene.
For eksempel er det minste felles multiplum av tallene 12, 15, 20 og 60 60 fordi det er delelig med alle disse tallene.

Pythagoras (VI århundre f.Kr.) og studentene hans studerte spørsmålet om talls delbarhet. De kalte et tall lik summen av alle dets divisorer (uten selve tallet) et perfekt tall. For eksempel er tallene 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) perfekte. De neste perfekte tallene er 496, 8128, 33.550.336. Pytagoreerne kjente bare til de tre første perfekte tallene. Den fjerde - 8128 - ble kjent i det 1. århundre. n. e. Den femte - 33 550 336 - ble funnet på 1400-tallet. I 1983 var 27 perfekte tall allerede kjent. Men forskerne vet fortsatt ikke om det er odde perfekte tall eller om det er et største perfekte tall.
Antikkens matematikeres interesse for primtall skyldes det faktum at et hvilket som helst tall enten er primtall eller kan representeres som et produkt av primtall, dvs. primtall er som klosser som resten av de naturlige tallene er bygget av.
Du har sikkert lagt merke til at primtall i rekken av naturlige tall forekommer ujevnt - i noen deler av rekken er det flere av dem, i andre - mindre. Men jo lenger vi beveger oss langs tallrekken, jo mindre vanlige er primtall. Spørsmålet oppstår: finnes det et siste (største) primtall? Den antikke greske matematikeren Euclid (3. århundre f.Kr.), i sin bok "Elementer", som var hovedlæreboken i matematikk i to tusen år, beviste at det er uendelig mange primtall, dvs. bak hvert primtall er det et enda større primtall. tall.
For å finne primtall kom en annen gresk matematiker fra samme tid, Eratosthenes, opp med denne metoden. Han skrev ned alle tallene fra 1 til et eller annet tall, og strøk deretter ut ett, som verken er et primtall eller et sammensatt tall, så krysset han ut gjennom ett av alle tallene som kommer etter 2 (tall som er multipler av 2, dvs. 4, 6, 8 osv.). Det første gjenværende tallet etter 2 var 3. Så, etter to, ble alle tallene som kom etter 3 (tall som er multipler av 3, dvs. 6, 9, 12 osv.) krysset ut. til slutt forble bare primtallene ukrysset.