Hvordan finne det minste felles multiplum av to tall. Nikk og nikk av to tall, euklidisk algoritme

La oss vurdere å løse følgende problem. Guttens trinn er 75 cm, og jentas trinn er 60 cm. Det er nødvendig å finne den minste avstanden der de begge tar et heltall.

Løsning. Hele banen som gutta skal gå gjennom må være delelig med 60 og 70, siden de hver må ta et helt antall trinn. Med andre ord må svaret være et multiplum av både 75 og 60.

Først skal vi skrive ned alle multiplene av tallet 75. Vi får:

• 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

La oss nå skrive ned tallene som vil være multipler av 60. Vi får:

• 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Nå finner vi tallene som står i begge radene.

• Felles multiplum av tall vil være 300, 600 osv.

Den minste av dem er tallet 300. I dette tilfellet vil det bli kalt det minste felles multiplum av tallene 75 og 60.

For å gå tilbake til tilstanden til problemet, vil den minste avstanden som gutta skal ta et helt antall skritt på, være 300 cm. Gutten vil dekke denne banen i 4 trinn, og jenta må ta 5 trinn.

Bestemme minste felles multiplum

• Det minste felles multiplum av to naturlige tall a og b er det minste naturlige tallet som er et multiplum av både a og b.

For å finne det minste felles multiplum av to tall, er det ikke nødvendig å skrive ned alle multiplene av disse tallene på rad.

Du kan bruke følgende metode.

Hvordan finne det minste felles multiplum

Først må du faktorisere disse tallene i primfaktorer.

• 60 = 2*2*3*5,
• 75=3*5*5.

La oss nå skrive ned alle faktorene som er i utvidelsen av det første tallet (2,2,3,5) og legge til alle de manglende faktorene fra utvidelsen av det andre tallet (5).

Som et resultat får vi en serie med primtall: 2,2,3,5,5. Produktet av disse tallene vil være den minst felles faktoren for disse tallene. 2*2*3*5*5 = 300.

Generelt opplegg for å finne det minste felles multiplum

• 1. Del opp tall i primfaktorer.
• 2. Skriv ned primfaktorene som er en del av en av dem.
• 3. Legg til disse faktorene alle de som er i utvidelsen av de andre, men ikke i den valgte.
• 4. Finn produktet av alle faktorene som er skrevet ned.

Denne metoden er universell. Den kan brukes til å finne det minste felles multiplum av et hvilket som helst antall naturlige tall.

Et multiplum er et tall som er delelig med et gitt tall uten en rest. Det minste felles multiplum (LCM) av en gruppe tall er det minste tallet som er delelig med hvert tall i gruppen uten å etterlate en rest. For å finne det minste felles multiplum må du finne primfaktorene til gitte tall. LCM kan også beregnes ved å bruke en rekke andre metoder som gjelder grupper på to eller flere tall.

Trinn

Serie av multipler

Se på disse tallene. Metoden som er beskrevet her, brukes best når det gis to tall, som hver er mindre enn 10. Hvis det er gitt større tall, bruk en annen metode.

• Finn for eksempel det minste felles multiplum av 5 og 8. Dette er små tall, så du kan bruke denne metoden.

1. Et multiplum er et tall som er delelig med et gitt tall uten en rest. Multipler kan finnes i multiplikasjonstabellen.

   • For eksempel er tall som er multipler av 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Skriv ned en rekke tall som er multipler av det første tallet. Gjør dette under multipler av det første tallet for å sammenligne to sett med tall.

   • For eksempel er tall som er multipler av 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 og 64.

3. Finn det minste tallet som finnes i begge sett med multipler. Du må kanskje skrive lange serier med multipler for å finne det totale antallet. Det minste tallet som finnes i begge sett med multipler er det minste felles multiplum.

   • For eksempel er det minste tallet som vises i rekken av multipler av 5 og 8 tallet 40. Derfor er 40 det minste felles multiplum av 5 og 8.

   Primfaktorisering

   1. Se på disse tallene. Metoden som er beskrevet her, er best brukt når det gis to tall, som hver er større enn 10. Hvis mindre tall er gitt, bruk en annen metode.

      • Finn for eksempel det minste felles multiplum av tallene 20 og 84. Hvert av tallene er større enn 10, så du kan bruke denne metoden.

   2. Faktor det første tallet inn i primfaktorer. Det vil si at du må finne slike primtall som, når de multipliseres, vil resultere i et gitt tall. Når du har funnet hovedfaktorene, skriv dem som likheter.

      • For eksempel 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\ ganger 10=20) Og 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\ ganger (\mathbf (5) )=10). Dermed er primfaktorene til tallet 20 tallene 2, 2 og 5. Skriv dem som et uttrykk: .

   3. Faktor det andre tallet inn i primfaktorer. Gjør dette på samme måte som du faktoriserte det første tallet, det vil si finn slike primtall som, når de multipliseres, vil gi det gitte tallet.

      • For eksempel 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\ ganger 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\ ganger 6=42) Og 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\ ganger (\mathbf (2) )=6). Dermed er primfaktorene til tallet 84 tallene 2, 7, 3 og 2. Skriv dem som et uttrykk: .

   4. Skriv ned faktorene som er felles for begge tallene. Skriv slike faktorer som en multiplikasjonsoperasjon. Når du skriver hver faktor, krysser du den ut i begge uttrykkene (uttrykk som beskriver faktoriseringen av tall til primfaktorer).

      • For eksempel har begge tallene en felles faktor på 2, så skriv 2 × (\displaystyle 2\ ganger ) og kryss ut 2 i begge uttrykkene.
      • Det begge tallene har til felles er en annen faktor på 2, så skriv 2 × 2 (\displaystyle 2\times 2) og kryss ut de 2 andre i begge uttrykkene.

   5. Legg til de resterende faktorene til multiplikasjonsoperasjonen. Dette er faktorer som ikke er krysset over i begge uttrykkene, det vil si faktorer som ikke er felles for begge tallene.

      • For eksempel i uttrykket 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\ ganger 2\ ganger 5) Begge to (2) er krysset ut fordi de er felles faktorer. Faktoren 5 er ikke krysset ut, så skriv multiplikasjonsoperasjonen slik: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\ ganger 2\ ganger 5)
      • I uttrykk 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\ ganger 7\ ganger 3\ ganger 2) begge to (2) er også krysset ut. Faktorene 7 og 3 er ikke krysset ut, så skriv multiplikasjonsoperasjonen slik: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\ ganger 2\ ganger 5\ ganger 7\ ganger 3).

   6. Regn ut det minste felles multiplum. For å gjøre dette, multipliser tallene i den skriftlige multiplikasjonsoperasjonen.

      • For eksempel 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\ ganger 2\ ganger 5\ ganger 7\ ganger 3=420). Så det minste felles multiplum av 20 og 84 er 420.

      Finne felles faktorer

      1. Tegn et rutenett som for et spill med tic-tac-toe. Et slikt rutenett består av to parallelle linjer som skjærer (i rette vinkler) med ytterligere to parallelle linjer. Dette vil gi deg tre rader og tre kolonner (rutenettet ligner mye på #-ikonet). Skriv det første tallet i første linje og andre kolonne. Skriv det andre tallet i første rad og tredje kolonne.

         • Finn for eksempel det minste felles multiplum av tallene 18 og 30. Skriv tallet 18 i første rad og andre kolonne, og skriv tallet 30 i første rad og tredje kolonne.

      2. Finn deleren som er felles for begge tallene. Skriv det ned i første rad og første kolonne. Det er bedre å se etter hovedfaktorer, men dette er ikke et krav.

         • For eksempel er 18 og 30 partall, så deres felles faktor er 2. Så skriv 2 i første rad og første kolonne.

      3. Del hvert tall med den første deleren. Skriv hver kvotient under riktig tall. En kvotient er resultatet av å dele to tall.

         • For eksempel 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), så skriv 9 under 18.
         • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), så skriv ned 15 under 30.

      4. Finn deleren som er felles for begge kvotientene. Hvis det ikke finnes en slik divisor, hopper du over de to neste trinnene. Ellers skriver du divisor i andre rad og første kolonne.

         • For eksempel er 9 og 15 delbare med 3, så skriv 3 i andre rad og første kolonne.

      5. Del hver kvotient med dens andre deler. Skriv hvert divisjonsresultat under den tilsvarende kvotienten.

         • For eksempel 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), så skriv 3 under 9.
         • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), så skriv 5 under 15.

      6. Om nødvendig, legg til flere celler i rutenettet. Gjenta de beskrevne trinnene til kvotientene har en felles divisor.

      7. Sett ring rundt tallene i den første kolonnen og siste raden i rutenettet. Skriv deretter de valgte tallene som en multiplikasjonsoperasjon.

         • For eksempel er tallene 2 og 3 i den første kolonnen, og tallene 3 og 5 er i den siste raden, så skriv multiplikasjonsoperasjonen slik: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\ ganger 3\ ganger 3\ ganger 5).

      8. Finn resultatet av å multiplisere tall. Dette vil beregne det minste felles multiplum av to gitte tall.

         • For eksempel 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\ ganger 3\ ganger 3\ ganger 5=90). Så det minste felles multiplum av 18 og 30 er 90.

      Euklids algoritme

      1. Husk terminologien knyttet til divisjonsoperasjonen. Utbyttet er tallet som deles. Divisor er tallet som deles på. En kvotient er resultatet av å dele to tall. En rest er tallet som er igjen når to tall deles.

         • For eksempel i uttrykket 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) ost. 3:
           15 er utbyttet
           6 er en divisor
           2 er kvotient
           3 er resten.

Største felles deler

Definisjon 2

Hvis et naturlig tall a er delelig med et naturlig tall $b$, kalles $b$ en divisor av $a$, og $a$ kalles et multiplum av $b$.

La $a$ og $b$ være naturlige tall. Tallet $c$ kalles felles divisor for både $a$ og $b$.

Settet med felles divisorer for tallene $a$ og $b$ er endelig, siden ingen av disse divisorene kan være større enn $a$. Dette betyr at blant disse divisorene er det en største, som kalles den største felles divisor av tallene $a$ og $b$ og er betegnet med følgende notasjoner:

$GCD\(a;b)\ eller \D\(a;b)$

For å finne den største felles divisor av to tall trenger du:

1. Finn produktet av tallene som ble funnet i trinn 2. Det resulterende tallet vil være den ønskede største felles divisor.

Eksempel 1

Finn gcd for tallene $121$ og $132.$

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Velg tallene som er inkludert i utvidelsen av disse tallene

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Finn produktet av tallene som ble funnet i trinn 2. Det resulterende tallet vil være den ønskede største felles divisor.

$GCD=2\cdot 11=22$

Eksempel 2

Finn gcd av monomialene $63$ og $81$.

Vi vil finne i henhold til den presenterte algoritmen. Slik gjør du dette:

La oss faktorere tallene inn i primfaktorer

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Vi velger ut tallene som inngår i utvidelsen av disse tallene

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

La oss finne produktet av tallene som ble funnet i trinn 2. Det resulterende tallet vil være den ønskede største felles divisor.

$GCD=3\cdot 3=9$

Du kan finne gcd for to tall på en annen måte, ved å bruke et sett med delere av tall.

Eksempel 3

Finn gcd for tallene $48$ og $60$.

Løsning:

La oss finne settet med divisorer for tallet $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

La oss nå finne settet med divisorer for tallet $60$:$\ \venstre\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\høyre\) $

La oss finne skjæringspunktet mellom disse settene: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - dette settet vil bestemme settet med felles divisorer for tallene $48$ og $60 $. Det største elementet i dette settet vil være tallet $12$. Dette betyr at den største felles deleren av tallene $48$ og $60$ er $12$.

Definisjon av NPL

Definisjon 3

Felles multiplum av naturlige tall$a$ og $b$ er et naturlig tall som er et multiplum av både $a$ og $b$.

Felles multipler av tall er tall som er delbare med de opprinnelige tallene uten en rest. For eksempel, for tallene $25$ og $50$, vil fellesmultiplene være $50,100,150,200$, etc.

Det minste felles multiplum vil bli kalt det minste felles multiplum og vil bli betegnet LCM$(a;b)$ eller K$(a;b).$

For å finne LCM for to tall, må du:

1. Faktorer tall inn i primfaktorer
2. Skriv ned faktorene som er en del av det første tallet og legg til dem faktorene som er en del av det andre og ikke er en del av det første

Eksempel 4

Finn LCM for tallene $99$ og $77$.

Vi vil finne i henhold til den presenterte algoritmen. For dette

Faktorer tall inn i primfaktorer

$99=3\cdot 3\cdot 11$

Skriv ned faktorene som er inkludert i den første

legg til dem multiplikatorer som er en del av den andre og ikke en del av den første

Finn produktet av tallene som ble funnet i trinn 2. Det resulterende tallet vil være det ønskede minste felles multiplum

$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

Å sette sammen lister over deler av tall er ofte en svært arbeidskrevende oppgave. Det er en måte å finne GCD på kalt den euklidiske algoritmen.

Utsagn som den euklidiske algoritmen er basert på:

Hvis $a$ og $b$ er naturlige tall, og $a\vdots b$, så er $D(a;b)=b$

Hvis $a$ og $b$ er naturlige tall slik at $b

Ved å bruke $D(a;b)= D(a-b;b)$ kan vi suksessivt redusere tallene som vurderes til vi når et tallpar slik at det ene er delbart med det andre. Da vil det minste av disse tallene være den ønskede største felles divisor for tallene $a$ og $b$.

Egenskaper til GCD og LCM

1. Ethvert felles multiplum av $a$ og $b$ er delelig med K$(a;b)$
2. Hvis $a\vdots b$, så К$(a;b)=a$

Hvis K$(a;b)=k$ og $m$ er et naturlig tall, så K$(am;bm)=km$

Hvis $d$ er en felles divisor for $a$ og $b$, så K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d) ) $

Hvis $a\vdots c$ og $b\vdots c$, så er $\frac(ab)(c)$ felles multiplum av $a$ og $b$

For alle naturlige tall $a$ og $b$ gjelder likheten

$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$

Enhver felles divisor for tallene $a$ og $b$ er en divisor av tallet $D(a;b)$

Materialet som presenteres nedenfor er en logisk videreføring av teorien fra artikkelen med tittelen LCM - minste felles multiplum, definisjon, eksempler, sammenheng mellom LCM og GCD. Her skal vi snakke om finne det minste felles multiplum (LCM), og vi vil være spesielt oppmerksomme på å løse eksempler. Først vil vi vise hvordan LCM for to tall beregnes ved å bruke GCD for disse tallene. Deretter skal vi se på å finne det minste felles multiplum ved å faktorisere tall i primfaktorer. Etter dette vil vi fokusere på å finne LCM for tre eller flere tall, og også være oppmerksom på å beregne LCM for negative tall.

Sidenavigering.

Beregning av minste felles multiple (LCM) via GCD

En måte å finne det minste felles multiplumet er basert på forholdet mellom LCM og GCD. Den eksisterende forbindelsen mellom LCM og GCD lar oss beregne det minste felles multiplum av to positive heltall gjennom en kjent største felles divisor. Den tilsvarende formelen er LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) . La oss se på eksempler på å finne LCM ved å bruke den gitte formelen.

Eksempel.

Finn det minste felles multiplum av to tall 126 og 70.

Løsning.

I dette eksemplet a=126 , b=70 . La oss bruke forbindelsen mellom LCM og GCD, uttrykt med formelen LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Det vil si at vi først må finne den største felles divisor av tallene 70 og 126, hvoretter vi kan beregne LCM for disse tallene ved å bruke den skrevne formelen.

La oss finne GCD(126, 70) ved å bruke den euklidiske algoritmen: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, derfor GCD(126, 70)=14.

Nå finner vi det nødvendige minste felles multiplumet: GCD(126; 70)=126·70:GCD(126; 70)= 126·70:14=630.

Svare:

LCM(126; 70)=630 .

Eksempel.

Hva er LCM(68, 34) lik?

Løsning.

Fordi 68 er delelig med 34, deretter GCD(68, 34)=34. Nå beregner vi det minste felles multiplum: GCD(68; 34)=68·34:GCD(68; 34)= 68·34:34=68.

Svare:

LCM(68; 34)=68 .

Merk at det forrige eksemplet passer til følgende regel for å finne LCM for positive heltall a og b: hvis tallet a er delelig med b, er det minste felles multiplum av disse tallene a.

Finne LCM ved å faktorisere tall til primfaktorer

En annen måte å finne det minste felles multiplumet er basert på å faktorisere tall i primfaktorer. Hvis du komponerer et produkt fra alle primfaktorene til gitte tall, og deretter ekskluderer fra dette produktet alle de vanlige primfaktorene som er tilstede i dekomponeringen av de gitte tallene, vil det resulterende produktet være lik det minste felles multiplum av de gitte tallene .

Den oppgitte regelen for å finne LCM følger av likestillingen LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Faktisk er produktet av tallene a og b lik produktet av alle faktorer som er involvert i utvidelsen av tallene a og b. I sin tur er GCD(a, b) lik produktet av alle primfaktorer som er tilstede samtidig i utvidelsene av tallene a og b (som beskrevet i avsnittet om å finne GCD ved å bruke utvidelsen av tall til primfaktorer).

La oss gi et eksempel. La oss vite at 75=3·5·5 og 210=2·3·5·7. La oss komponere produktet fra alle faktorene til disse utvidelsene: 2·3·3·5·5·5·7 . Nå fra dette produktet ekskluderer vi alle faktorene som er tilstede i både utvidelsen av tallet 75 og utvidelsen av tallet 210 (slike faktorer er 3 og 5), da vil produktet ha formen 2·3·5·5·7 . Verdien av dette produktet er lik det minste felles multiplum av 75 og 210, det vil si NOC(75; 210)= 2·3·5·5·7=1050.

Eksempel.

Faktorer tallene 441 og 700 inn i primfaktorer og finn det minste felles multiplum av disse tallene.

Løsning.

La oss faktorisere tallene 441 og 700 til primfaktorer:

Vi får 441=3·3·7·7 og 700=2·2·5·5·7.

La oss nå lage et produkt fra alle faktorene som er involvert i utvidelsen av disse tallene: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. La oss ekskludere fra dette produktet alle faktorer som er tilstede samtidig i begge utvidelsene (det er bare en slik faktor - dette er tallet 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. Slik, LCM(441; 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.

Svare:

NOC(441; 700)= 44 100 .

Regelen for å finne LCM ved å bruke faktorisering av tall til primfaktorer kan formuleres litt annerledes. Hvis de manglende faktorene fra utvidelsen av tallet b legges til faktorene fra utvidelsen av tallet a, vil verdien av det resulterende produktet være lik det minste felles multiplum av tallene a og b.

La oss for eksempel ta de samme tallene 75 og 210, deres dekomponering til primfaktorer er som følger: 75=3·5·5 og 210=2·3·5·7. Til faktorene 3, 5 og 5 fra utvidelsen av tallet 75 legger vi de manglende faktorene 2 og 7 fra utvidelsen av tallet 210, vi får produktet 2·3·5·5·7, hvis verdi er lik LCM(75, 210).

Eksempel.

Finn det minste felles multiplum av 84 og 648.

Løsning.

Vi får først dekomponeringene av tallene 84 og 648 til primfaktorer. De ser ut som 84=2·2·3·7 og 648=2·2·2·3·3·3·3. Til faktorene 2, 2, 3 og 7 fra utvidelsen av tallet 84 legger vi til de manglende faktorene 2, 3, 3 og 3 fra utvidelsen av tallet 648, vi får produktet 2 2 2 3 3 3 3 7, som er lik 4 536 . Dermed er det ønskede minste felles multiplum av 84 og 648 4536.

Svare:

LCM(84; 648)=4536 .

Finne LCM for tre eller flere tall

Det minste felles multiplum av tre eller flere tall kan bli funnet ved å finne LCM for to tall sekvensielt. La oss huske det tilsvarende teoremet, som gir en måte å finne LCM for tre eller flere tall.

Teorem.

La positive heltall a 1 , a 2 , …, a k gis, det minste felles multiplum m k av disse tallene er funnet ved å sekvensielt beregne m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .

La oss vurdere anvendelsen av denne teoremet ved å bruke eksemplet med å finne det minste felles multiplum av fire tall.

Eksempel.

Finn LCM for fire tall 140, 9, 54 og 250.

Løsning.

I dette eksemplet er a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.

Først finner vi m 2 = LOC(a 1 ; a 2) = LOC(140; 9). For å gjøre dette, ved hjelp av den euklidiske algoritmen, bestemmer vi GCD(140, 9), vi har 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, derfor GCD(140, 9)=1 , hvorfra GCD(140; 9)=140 9:GCD(140; 9)= 140·9:1=1260. Det vil si, m 2 = 1 260.

Nå finner vi m 3 = LOC (m 2 , a 3) = LOC (1 260, 54). La oss beregne det gjennom GCD(1 260, 54), som vi også bestemmer ved hjelp av den euklidiske algoritmen: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Deretter gcd(1,260, 54)=18, hvorfra gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. Det vil si, m 3 = 3 780.

Det gjenstår bare å finne m 4 = LOC(m 3; a 4) = LOC(3 780; 250). For å gjøre dette finner vi GCD(3,780, 250) ved å bruke den euklidiske algoritmen: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Derfor GCM(3,780; 250)=10, hvorav GCM(3,780; 250)= 3 780 250: GCD(3 780, 250)= 3,780·250:10=94,500. Det vil si, m 4 = 94 500.

Så det minste felles multiplum av de opprinnelige fire tallene er 94 500.

Svare:

LCM(140; 9; 54; 250)=94.500.

I mange tilfeller er det praktisk å finne det minste felles multiplum av tre eller flere tall ved å bruke primfaktoriseringer av de gitte tallene. I dette tilfellet bør du følge følgende regel. Det minste felles multiplum av flere tall er lik produktet, som er sammensatt som følger: de manglende faktorene fra utvidelsen av det andre tallet legges til alle faktorer fra utvidelsen av det første tallet, de manglende faktorene fra utvidelsen av det første tallet. tredje tall legges til de resulterende faktorene, og så videre.

La oss se på et eksempel på å finne det minste felles multiplum ved å bruke primfaktorisering.

Eksempel.

Finn det minste felles multiplum av de fem tallene 84, 6, 48, 7, 143.

Løsning.

Først får vi dekomponeringer av disse tallene til primfaktorer: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 er et primtall, det sammenfaller med dens dekomponering til primfaktorer) og 143=11·13.

For å finne LCM for disse tallene, til faktorene til det første tallet 84 (de er 2, 2, 3 og 7), må du legge til de manglende faktorene fra utvidelsen av det andre tallet 6. Dekomponeringen av tallet 6 inneholder ikke manglende faktorer, siden både 2 og 3 allerede er til stede i dekomponeringen av det første tallet 84. Ved siden av faktorene 2, 2, 3 og 7 legger vi til de manglende faktorene 2 og 2 fra utvidelsen av det tredje tallet 48, vi får et sett med faktorene 2, 2, 2, 2, 3 og 7. Det vil ikke være nødvendig å legge til multiplikatorer til dette settet i neste trinn, siden 7 allerede er inneholdt i det. Til slutt, til faktorene 2, 2, 2, 2, 3 og 7 legger vi til de manglende faktorene 11 og 13 fra utvidelsen av tallet 143. Vi får produktet 2·2·2·2·3·7·11·13, som er lik 48.048.

La oss begynne å studere det minste felles multiplum av to eller flere tall. I denne delen skal vi gi en definisjon av begrepet, vurdere teoremet som etablerer sammenhengen mellom minste felles multiplum og største felles divisor, og gi eksempler på å løse problemer.

Felles multipler – definisjon, eksempler

I dette emnet vil vi bare være interessert i felles multipler av heltall annet enn null.

Definisjon 1

Felles multiplum av heltall er et heltall som er et multiplum av alle gitte tall. Faktisk er det et hvilket som helst heltall som kan deles på hvilke som helst av de gitte tallene.

Definisjonen av felles multipler refererer til to, tre eller flere heltall.

Eksempel 1

I henhold til definisjonen gitt ovenfor, er de felles multiplene av tallet 12 3 og 2. Dessuten vil tallet 12 være et felles multiplum av tallene 2, 3 og 4. Tallene 12 og -12 er felles multiplum av tallene ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.

Samtidig vil felles multiplum av tallene 2 og 3 være tallene 12, 6, − 24, 72, 468, − 100,010,004 og en hel rekke andre.

Hvis vi tar tall som er delbare med det første tallet i et par og ikke delelige med det andre, så vil ikke slike tall være felles multipler. Så for tallene 2 og 3 vil ikke tallene 16, − 27, 5009, 27001 være felles multipler.

0 er et felles multiplum av ethvert sett med heltall annet enn null.

Hvis vi husker egenskapen til delbarhet med hensyn til motsatte tall, viser det seg at et heltall k vil være et felles multiplum av disse tallene, akkurat som tallet - k. Dette betyr at felles divisorer kan være enten positive eller negative.

Er det mulig å finne LCM for alle tall?

Felles multiplum kan finnes for ethvert heltall.

Eksempel 2

Anta at vi er gitt k heltall a 1 , a 2 , … , a k. Tallet vi får når vi multipliserer tall a 1 · a 2 · … · a k i henhold til egenskapen delbarhet, vil den bli delt inn i hver av faktorene som var inkludert i det opprinnelige produktet. Dette betyr at produktet av tall a 1 , a 2 , … , a k er det minste felles multiplum av disse tallene.

Hvor mange felles multipler kan disse heltallene ha?

En gruppe heltall kan ha et stort antall felles multipler. Faktisk er antallet deres uendelig.

Eksempel 3

Anta at vi har et tall k. Da vil produktet av tallene k · z, der z er et heltall, være et felles multiplum av tallene k og z. Gitt at antallet tall er uendelig, er antallet felles multipler uendelig.

Least Common Multiple (LCM) – Definisjon, notasjon og eksempler

Husk konseptet med det minste tallet fra et gitt sett med tall, som vi diskuterte i avsnittet "Sammenligning av heltall." Med dette konseptet i betraktning, formulerer vi definisjonen av minste felles multiplum, som har størst praktisk betydning blant alle felles multipler.

Definisjon 2

Minste felles multiplum av gitte heltall er det minste positive felles multiplum av disse tallene.

Et minste felles multiplum finnes for et hvilket som helst antall gitte tall. Den mest brukte forkortelsen for konseptet i referanselitteratur er NOC. Kort notasjon for minste felles multiplum av tall a 1 , a 2 , … , a k vil ha formen LOC (a 1 , a 2 , … , a k).

Eksempel 4

Minste felles multiplum av 6 og 7 er 42. De. LCM(6; 7) = 42. Minste felles multiplum av de fire tallene 2, 12, 15 og 3 er 60. En kort notasjon vil se ut som LCM (- 2, 12, 15, 3) = 60.

Det minste felles multiplum er ikke åpenbart for alle grupper av gitte tall. Ofte må det beregnes.

Forholdet mellom NOC og GCD

Den minste felles multiplum og den største felles divisor er relatert. Forholdet mellom begreper fastsettes av teoremet.

Teorem 1

Det minste felles multiplum av to positive heltall a og b er lik produktet av a og b delt på den største felles divisor av a og b, det vil si LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b ).

Bevis 1

Anta at vi har et tall M, som er et multiplum av tallene a og b. Hvis tallet M er delelig med a, finnes det også et heltall z , hvor likheten er sann M = a k. I følge definisjonen av delbarhet, hvis M er delelig med b, da a · k delt på b.

Hvis vi introduserer en ny notasjon for gcd (a, b) som d, så kan vi bruke likestillingene a = a 1 d og b = b 1 · d. I dette tilfellet vil begge likhetene være relativt primtall.

Det har vi allerede etablert ovenfor a · k delt på b. Nå kan denne tilstanden skrives som følger:
a 1 d k delt på b 1 d, som tilsvarer tilstanden en 1 k delt på b 1 i henhold til egenskapene til delbarhet.

I henhold til egenskapen til coprimtall, if en 1 Og b 1– coprimtall, en 1 ikke delelig med b 1 til tross for det en 1 k delt på b 1, Det b 1 må deles k.

I dette tilfellet vil det være hensiktsmessig å anta at det er et tall t, for hvilket k = b 1 t, og siden b 1 = b: d, Det k = b: d t.

Nå i stedet k la oss erstatte til likestilling M = a k uttrykk for formen b: d t. Dette gjør at vi kan oppnå likestilling M = a b: d t. På t = 1 vi kan få det minst positive felles multiplum av a og b , lik a b:d, forutsatt at tallene a og b positivt.

Så vi beviste at LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b).

Ved å etablere en forbindelse mellom LCM og GCD kan du finne det minste felles multiplum gjennom den største felles divisor av to eller flere gitte tall.

Definisjon 3

Teoremet har to viktige konsekvenser:

• multipler av det minste felles multiplum av to tall er det samme som felles multiplum av disse to tallene;
• det minste felles multiplum av positive primtall a og b er lik deres produkt.

Det er ikke vanskelig å underbygge disse to fakta. Ethvert felles multiplum av M av tallene a og b er definert av likheten M = LCM (a, b) · t for en heltallsverdi t. Siden a og b er relativt primtall, er gcd (a, b) = 1, derfor gcd (a, b) = a · b: gcd (a, b) = a · b: 1 = a · b.

Minste felles multiplum av tre eller flere tall

For å finne det minste felles multiplum av flere tall, er det nødvendig å finne LCM for to tall sekvensielt.

Teorem 2

La oss anta det a 1 , a 2 , … , a k er noen positive heltall. For å beregne LCM m k disse tallene må vi beregne sekvensielt m 2 = LCM(a 1, a 2), m 3 = NOC(m 2 , a 3 ), … , m k = NOC(m k-1, a k).

Bevis 2

Den første konsekvensen fra det første teoremet som diskuteres i dette emnet vil hjelpe oss med å bevise gyldigheten til det andre teoremet. Begrunnelsen er basert på følgende algoritme:

• felles multiplum av tall en 1 Og en 2 sammenfaller med multipler av deres LCM, faktisk sammenfaller de med multipler av tallet m 2;
• felles multiplum av tall en 1, en 2 Og en 3 m 2 Og en 3 m 3;
• felles multiplum av tall a 1 , a 2 , … , a k faller sammen med felles multiplum av tall m k - 1 Og en k, derfor sammenfaller med multipler av tallet m k;
• på grunn av at det minste positive multiplum av tallet m k er selve tallet m k, deretter det minste felles multiplum av tallene a 1 , a 2 , … , a k er m k.

Slik beviste vi teoremet.

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter