Gjennomsnitt i matematikk aritmetisk verdi tall (eller ganske enkelt gjennomsnittet) er summen av alle tallene i dette settet, delt på antallet. Dette er det mest generelle og utbredte konseptet gjennomsnittlig størrelse. Som du allerede har forstått, for å finne må du summere alle tallene som er gitt deg, og dele det resulterende resultatet med antall ledd.

Hva er det aritmetiske gjennomsnittet?

La oss se på et eksempel.

Eksempel 1. Oppgitte tall: 6, 7, 11. Du må finne gjennomsnittsverdien deres.

Løsning.

La oss først finne summen av alle disse tallene.

Del nå den resulterende summen med antall ledd. Siden vi har tre ledd, vil vi derfor dele på tre.

Derfor er gjennomsnittet av tallene 6, 7 og 11 8. Hvorfor 8? Ja, fordi summen av 6, 7 og 11 vil være det samme som tre åttere. Dette kan tydelig sees på illustrasjonen.

Gjennomsnittet er litt som å "utjevne" en serie tall. Som du kan se, har haugene med blyanter blitt samme nivå.

La oss se på et annet eksempel for å konsolidere kunnskapen som er oppnådd.

Eksempel 2. Oppgitte tall: 3, 7, 5, 13, 20, 23, 39, 23, 40, 23, 14, 12, 56, 23, 29. Du må finne deres aritmetiske gjennomsnitt.

Løsning.

Finn beløpet.

3 + 7 + 5 + 13 + 20 + 23 + 39 + 23 + 40 + 23 + 14 + 12 + 56 + 23 + 29 = 330

Del på antall termer (i dette tilfellet - 15).

Derfor er gjennomsnittsverdien av denne tallserien 22.

La oss nå vurdere negative tall. La oss huske hvordan vi oppsummerer dem. For eksempel har du to tall 1 og -4. La oss finne summen deres.

1 + (-4) = 1 - 4 = -3

Når vi vet dette, la oss se på et annet eksempel.

Eksempel 3. Finn gjennomsnittsverdien av en tallserie: 3, -7, 5, 13, -2.

Løsning.

Finn summen av tall.

3 + (-7) + 5 + 13 + (-2) = 12

Siden det er 5 ledd, del den resulterende summen med 5.

Derfor er det aritmetiske gjennomsnittet av tallene 3, -7, 5, 13, -2 2,4.

I vår tid med teknologisk fremgang er det mye mer praktisk å bruke for å finne gjennomsnittsverdien dataprogrammer. Microsoft Office Excel er en av dem. Å finne gjennomsnittet i Excel er raskt og enkelt. Dessuten er dette programmet inkludert i Microsoft Office-programvarepakken. La oss vurdere korte instruksjoner, verdi ved å bruke dette programmet.

For å beregne gjennomsnittsverdien av en tallserie, må du bruke AVERAGE-funksjonen. Syntaksen for denne funksjonen er:
= Average(argument1, argument2, ... argument255)
der argument1, argument2, ... argument255 er enten tall eller cellereferanser (celler refererer til områder og matriser).

For å gjøre det mer tydelig, la oss prøve ut kunnskapen vi har fått.

1. Skriv inn tallene 11, 12, 13, 14, 15, 16 i cellene C1 - C6.
2. Velg celle C7 ved å klikke på den. I denne cellen vil vi vise gjennomsnittsverdien.
3. Klikk på Formler-fanen.
4. Velg Flere funksjoner > Statistisk for å åpne
5. Velg AVERAGE. Etter dette skal en dialogboks åpnes.
6. Velg og dra cellene C1-C6 dit for å angi området i dialogboksen.
7. Bekreft handlingene dine med "OK"-knappen.
8. Hvis du gjorde alt riktig, bør du ha svaret i celle C7 - 13.7. Når du klikker på celle C7, vil funksjonen (=Gjennomsnitt(C1:C6)) vises i formellinjen.

Denne funksjonen er veldig nyttig for regnskap, fakturaer, eller når du bare trenger å finne gjennomsnittet av en veldig lang rekke tall. Derfor brukes det ofte på kontorer og store selskaper. Dette lar deg opprettholde orden i journalene dine og gjør det mulig å raskt beregne noe (for eksempel gjennomsnittlig månedlig inntekt). Også med ved hjelp av Excel du kan finne gjennomsnittsverdien til funksjonen.

Hvordan beregne gjennomsnittet av tall i Excel

Finn gjennomsnittet aritmetiske tall i Excel kan du bruke funksjonen.

Syntaks GJENNOMSNITT

=GJENNOMSNITT(tall1;[tall2],...) – Russisk versjon

Argumenter GJENNOMSNITT

• nummer1– det første tallet eller rekkevidden av tall for å beregne det aritmetiske gjennomsnittet;
• nummer2(Valgfritt) – det andre tallet eller rekkevidden av tall for å beregne det aritmetiske gjennomsnittet. Maksimal mengde funksjonsargumenter – 255.

For å beregne, følg disse trinnene:

• Velg en hvilken som helst celle;
• Skriv formelen i den =GJENNOMSNITT(
• Velg celleområdet du vil gjøre en beregning for;
• Trykk på "Enter"-tasten på tastaturet

Funksjonen vil beregne gjennomsnittsverdien i det angitte området blant de cellene som inneholder tall.

Hvordan finne den gjennomsnittlige gitte teksten

Hvis det er tomme linjer eller tekst i dataområdet, behandler funksjonen dem som "null". Hvis blant dataene det er logiske uttrykk FALSE eller TRUE, så oppfatter funksjonen FALSE som "null", og SANN som "1".

Hvordan finne det aritmetiske gjennomsnittet etter betingelse

For å beregne gjennomsnittet etter betingelse eller kriterium, bruk funksjonen. Tenk deg for eksempel at vi har data om produktsalg:

Vår oppgave er å beregne gjennomsnittsverdien av pennsalg. For å gjøre dette, tar vi følgende trinn:

• I en celle A13 skriv navnet på produktet "Penner";
• I en celle B13 la oss introdusere formelen:

=GJENNOMSNITT.HVIS(A2:A10;A13;B2:B10)

Celleområde " A2:A10" indikerer en liste over produkter der vi skal søke etter ordet "Penner". Argument A13 dette er en lenke til en celle med tekst som vi skal søke blant hele listen over produkter. Celleområde " B2:B10” er en serie med produktsalgsdata, blant hvilke funksjonen finner “Håndtak” og beregner gjennomsnittsverdien.

Gjennomsnittsverdien er en generell indikator som karakteriserer det typiske nivået av et fenomen. Det uttrykker verdien av en egenskap per enhet av befolkningen.

Gjennomsnittsverdien er:

1) den mest typiske verdien av attributtet for befolkningen;

2) volumet av befolkningsattributtet, fordelt likt mellom enhetene i befolkningen.

Karakteristikken som gjennomsnittsverdien beregnes for, kalles «gjennomsnittlig» i statistikk.

Gjennomsnittet generaliserer alltid den kvantitative variasjonen til en egenskap, dvs. tilbakebetales med gjennomsnittlige beløp individuelle forskjeller enheter av befolkningen på grunn av tilfeldige omstendigheter. I motsetning til gjennomsnittet absolutt verdi, som karakteriserer nivået av en egenskap for en individuell enhet av en populasjon, tillater ikke en å sammenligne verdiene til en egenskap blant enheter som tilhører forskjellige populasjoner. Så hvis du trenger å sammenligne lønnsnivåene til arbeidere ved to bedrifter, kan du ikke sammenligne to ansatte i forskjellige bedrifter på dette grunnlaget. Kompensasjonen til arbeidstakere som er valgt ut for sammenligning er kanskje ikke typisk for disse virksomhetene. Sammenligner vi størrelsen på lønnsmidlene ved de aktuelle virksomhetene, tas det ikke hensyn til antall ansatte, og det er derfor umulig å fastslå hvor lønnsnivået er høyere. Til syvende og sist er det kun gjennomsnittlige indikatorer som kan sammenlignes, dvs. Hvor mye tjener en ansatt i gjennomsnitt ved hver bedrift? Det er derfor behov for å beregne gjennomsnittsverdien som en generaliserende karakteristikk av befolkningen.

Det er viktig å merke seg at under gjennomsnittsprosessen må den totale verdien av attributtnivåene eller dens endelige verdi (når det beregnes gjennomsnittsnivåer i en dynamikkserie) forbli uendret. Med andre ord, når man beregner gjennomsnittsverdien, bør volumet av karakteristikken som studeres ikke forvrenges, og uttrykkene som kompileres ved beregning av gjennomsnittet må nødvendigvis gi mening.

Å beregne gjennomsnittet er en av de vanlige generaliseringsteknikkene; gjennomsnittlig benekter det som er felles (typisk) for alle enheter av befolkningen som studeres, samtidig som den ignorerer forskjellene til individuelle enheter. I ethvert fenomen og dets utvikling er det en kombinasjon av tilfeldighet og nødvendighet. Ved beregning av gjennomsnitt, i kraft av loven store antall ulykker opphever hverandre, er balansert, slik at du kan abstrahere fra de uviktige trekkene ved fenomenet, fra kvantitative verdier signere i hvert enkelt tilfelle. Evnen til å abstrahere fra tilfeldighetene til individuelle verdier, svingninger ligger vitenskapelig verdi gjennomsnitt som generaliserende kjennetegn ved populasjoner.

For at gjennomsnittet skal være virkelig representativt, må det beregnes under hensyntagen til visse prinsipper.

La oss se på noen generelle prinsipper bruk av gjennomsnittsverdier.

1. Gjennomsnittet skal bestemmes for populasjoner som består av kvalitativt homogene enheter.

2. Gjennomsnittet skal beregnes for en befolkning bestående av et tilstrekkelig stort antall enheter.

3. Gjennomsnittet skal beregnes for en befolkning hvis enheter er i normal, naturlig tilstand.

4. Gjennomsnittet bør beregnes under hensyntagen til det økonomiske innholdet i indikatoren som studeres.

5.2. Typer gjennomsnitt og metoder for å beregne dem

La oss nå vurdere typene gjennomsnittsverdier, funksjonene i deres beregning og bruksområder. Gjennomsnittsverdier er delt inn i to store klasser: kraftgjennomsnitt, strukturelle gjennomsnitt.

Potensmidler inkluderer de mest kjente og ofte brukte typene, som geometrisk gjennomsnitt, aritmetisk gjennomsnitt og kvadratmiddel.

Modusen og medianen betraktes som strukturelle gjennomsnitt.

La oss fokusere på kraftgjennomsnitt. Effektgjennomsnitt, avhengig av presentasjonen av kildedataene, kan være enkle eller vektet. Enkelt gjennomsnitt Den beregnes basert på ugrupperte data og har følgende generelle form:

,

hvor Xi er varianten (verdien) av karakteristikken som gjennomsnittliggjøres;

n – tallalternativ.

Vektet gjennomsnitt beregnes basert på grupperte data og har et generelt utseende

,

hvor X i er varianten (verdien) av karakteristikken som gjennomsnittliggjøres eller midtverdien av intervallet som varianten måles i;

m - gjennomsnittlig gradindeks;

f i – frekvens som viser hvor mange ganger det forekommer i-e verdi gjennomsnittskarakteristikk.

Hvis du beregner alle typer gjennomsnitt for de samme innledende dataene, vil verdiene deres vise seg å være forskjellige. Regelen om flertall av gjennomsnitt gjelder her: når eksponenten m øker, øker også den tilsvarende gjennomsnittsverdien:

I statistisk praksis brukes aritmetiske gjennomsnitt og harmonisk vektede gjennomsnitt oftere enn andre typer vektede gjennomsnitt.

Typer kraftmidler

En slags makt gjennomsnittlig	Indikator grad (m)	Beregningsformel
		Enkel	Vektet
Harmonisk
Geometrisk
Aritmetikk
Kvadratisk
Kubisk

Det harmoniske gjennomsnittet har en mer kompleks struktur enn det aritmetiske gjennomsnittet. Det harmoniske gjennomsnittet brukes til beregninger når ikke enhetene til populasjonen - bærerne av karakteristikken - brukes som vekter, men produktet av disse enhetene med verdiene til karakteristikken (dvs. m = Xf). Den gjennomsnittlige harmoniske enkle bør ty til i tilfeller av å bestemme for eksempel gjennomsnittskostnadene for arbeid, tid, materialer per produksjonsenhet, per en del for to (tre, fire, etc.) bedrifter, arbeidere som er engasjert i produksjonen av samme type produkt, samme del, produkt.

Hovedkravet til formelen for å beregne gjennomsnittsverdien er at alle stadier av beregningen har en reell meningsfull begrunnelse; det resulterende gjennomsnittet bør erstattes individuelle verdier karakteristisk for hvert objekt uten å forstyrre forbindelsen mellom individuelle og oppsummerende indikatorer. Med andre ord, gjennomsnittsverdien må beregnes slik at når hver enkelt verdi av gjennomsnittsindikatoren erstattes av gjennomsnittsverdien, forblir en endelig oppsummeringsindikator uendret, relatert emne eller på en annen måte med den som gjennomsnittsberegnes. Denne summen kalles definerende siden arten av forholdet til individuelle verdier bestemmer den spesifikke formelen for å beregne gjennomsnittsverdien. La oss demonstrere denne regelen ved å bruke eksemplet med det geometriske gjennomsnittet.

Formel for geometrisk gjennomsnitt

brukes oftest ved beregning av gjennomsnittsverdi basert på individuell relativ dynamikk.

Det geometriske gjennomsnittet brukes hvis en sekvens av kjedens relative dynamikk er gitt, som indikerer for eksempel en økning i produksjonsvolum sammenlignet med nivået forrige år: i 1, i 2, i 3,..., i n. Det er åpenbart at produksjonsvolumet i i fjor bestemmes av startnivået (q 0) og påfølgende økning over årene:

q n =q 0 × i 1 × i 2 ×…×i n .

Ved å ta q n som den bestemmende indikatoren og erstatte de individuelle verdiene til dynamikkindikatorene med gjennomsnittlige, kommer vi til forholdet

Herfra

En spesiell type gjennomsnitt - strukturelle gjennomsnitt - brukes til å studere indre struktur serie med distribusjon av attributtverdier, samt for å estimere gjennomsnittsverdien (krafttype), hvis beregningen ikke kan utføres i henhold til tilgjengelige statistiske data (for eksempel hvis det i eksemplet som vurderes ikke var data om både volumet produksjon og kostnadsbeløp for grupper av foretak).

Indikatorer brukes oftest som strukturelle gjennomsnitt mote – den hyppigst gjentatte verdien av attributtet – og medianer – verdien av en egenskap som deler den ordnede sekvensen av verdiene i to like deler. Som et resultat overstiger ikke verdien av attributten mediannivået for den ene halvparten av enhetene i populasjonen, og for den andre halvparten er den ikke mindre enn den.

Hvis egenskapen som studeres har diskrete verdier, da er det ingen spesielle vanskeligheter med å beregne modus og median. Hvis data om verdiene til attributt X presenteres i form av ordnede intervaller for endringen (intervallserier), blir beregningen av modusen og medianen noe mer komplisert. Fordi medianverdi deler hele populasjonen i to like deler, havner den i ett av intervallene til karakteristikken X. Ved hjelp av interpolasjon finner man verdien av medianen i dette medianintervallet:

,

hvor X Me er den nedre grensen for medianintervallet;

h Me – dens verdi;

(Sum m)/2 – halvparten av det totale antallet observasjoner eller halvparten av volumet av indikatoren som brukes som vekting i formlene for å beregne gjennomsnittsverdien (i absolutte eller relative termer);

S Me-1 – summen av observasjoner (eller volumet av vektattributtet) akkumulert før begynnelsen av medianintervallet;

m Me – antall observasjoner eller volumet av vektegenskapen i medianintervallet (også i absolutte eller relative termer).

Ved beregning av modalverdien til en egenskap basert på data intervallserie det er nødvendig å ta hensyn til det faktum at intervallene er identiske, siden repeterbarhetsindikatoren for verdiene til attributt X avhenger av dette For en intervallserie med med like intervaller størrelsen på modusen er definert som

,

hvor X Mo er den nedre verdien av det modale intervallet;

m Mo – antall observasjoner eller volum av vektkarakteristikken i det modale intervallet (i absolutte eller relative termer);

m Mo-1 – det samme for intervallet før det modale;

m Mo+1 – det samme for intervallet etter det modale;

h – verdien av endringsintervallet for karakteristikken i grupper.

OPPGAVE 1

Følgende gruppedata er tilgjengelig industribedrifter for rapporteringsåret

№ bedrifter	Produktvolum, millioner rubler.		Gjennomsnittlig antall ansatte, personer.	Fortjeneste, tusen rubler
	197,7	10,0		13,5
		22,8	1500	136,2
	465,5	18,4	1412	97,6
	296,2	12,6	1200	44,4
	584,1	22,0	1485	146,0
	480,0	119,0	1420	110,4
	57805	21,6	1390	138,7
	204,7			30,6
	466,8	19,4	1375	111,8
	292,2	113,6	1200	49,6
	423,1	17,6	1365	105,8
	192,6			30,7
	360,5	14,0	1290	64,8
	280,3	10,2		33,3

Det er påkrevd å gruppere foretak for utveksling av produkter, med følgende intervaller:

opptil 200 millioner rubler


fra 200 til 400 millioner rubler.


1. fra 400 til 600 millioner rubler.
   

   For hver gruppe og for alle sammen, bestemme antall foretak, produksjonsvolum, gjennomsnittlig antall ansatte, gjennomsnittlig produksjon per ansatt. Presenter grupperingsresultatene i form av en statistisk tabell. Formuler en konklusjon.
   

   LØSNING
   

   Vi vil gruppere bedrifter etter produktutveksling, beregne antall foretak, produksjonsvolum og gjennomsnittlig antall ansatte ved å bruke den enkle gjennomsnittsformelen. Resultatene av gruppering og beregninger er oppsummert i en tabell.
   

   Grupper etter produktvolum	№ bedrifter	Produktvolum, millioner rubler.	Gjennomsnittlig årlig kostnad for anleggsmidler, millioner rubler.	Middels søvn saftig antall ansatte, mennesker.	Fortjeneste, tusen rubler	Gjennomsnittlig produksjon per ansatt
   1 gruppe opptil 200 millioner rubler	1,8,12	197,7 204,7 192,6	10,0 9,4 8,8	900 817	13,5 30,6 30,7
   			28,2	2567	74,8	0,23
   Mellomnivå		198,3			24,9
   2. gruppe fra 200 til 400 millioner rubler.	4,10,13,14	196,2 292,2 360,5 280,3	12,6 113,6 14,0 10,2	1200 1200 1290	44,4 49,6 64,8 33,3
   		1129,2	150,4	4590	192,1	0,25
   Mellomnivå		282,3	37,6	1530	64,0
   3 gruppe fra 400 til 600 millioner	2,3,5,6,7,9,11	592 465,5 584,1 480,0 578,5 466,8 423,1	22,8 18,4 22,0 119,0 21,6 19,4 17,6	1500 1412 1485 1420 1390 1375 1365	136,2 97,6 146,0 110,4 138,7 111,8 105,8
   		3590	240,8	9974	846,5	0,36
   Mellomnivå		512,9	34,4	1421	120,9
   Totalt til sammen		5314,2	419,4	17131	1113,4	0,31
   I gjennomsnitt		379,6	59,9	1223,6	79,5

   Konklusjon. I den aktuelle befolkningen falt det største antallet foretak målt i produksjonsvolum inn i den tredje gruppen - syv, eller halvparten av foretakene. Den gjennomsnittlige årlige kostnaden for anleggsmidler er også i denne gruppen, så vel som det store gjennomsnittlige antallet ansatte - 9974 personer i den første gruppen er de minst lønnsomme.
   

   OPPGAVE 2
   

   Følgende data er tilgjengelig om selskapets virksomheter
   

   Nummer på foretaket som inngår i selskapet	jeg kvartal		II kvartal
   	Produktutgang, tusen rubler.		Dagsverk utført av arbeidere	Gjennomsnittlig produksjon per arbeider per dag, gni.
   	59390,13

Emne 5. Gjennomsnittsverdier som statistiske indikatorer

Begrepet gjennomsnittsverdi. Omfang av gjennomsnitt i statistisk forskning

Gjennomsnittsverdier brukes på stadiet for behandling og oppsummering av de oppnådde primære statistiske dataene. Behovet for å bestemme gjennomsnittsverdier skyldes det faktum at individuelle verdier av samme karakteristikk for forskjellige enheter av de studerte populasjonene som regel ikke er de samme.

Gjennomsnittlig størrelse kalt en indikator som karakteriserer den generaliserte verdien av en egenskap eller gruppe av egenskaper i populasjonen som studeres.

Hvis en befolkning med kvalitativt homogene egenskaper, så vises gjennomsnittsverdien her som typisk gjennomsnitt. For eksempel for grupper av arbeidere i en bestemt bransje med fast inntektsnivå, fastsettes typiske gjennomsnittlige utgifter til grunnleggende nødvendigheter, d.v.s. det typiske gjennomsnittet generaliserer kvalitativt homogene verdier av attributtet i en gitt populasjon, som er andelen utgifter blant arbeidere i denne gruppen på essensielle varer.

Når man studerer en populasjon med kvalitativt heterogene egenskaper, kan atypiskiteten til gjennomsnittsindikatorer komme til syne. Dette er for eksempel gjennomsnittsindikatorene for produsert nasjonalinntekt per innbygger (ulike aldersgrupper), gjennomsnittlig kornavling i hele Russland (regioner med forskjellige klimasoner og forskjellige kornavlinger), gjennomsnittlige fødselsrater for alle regioner i landet, gjennomsnittstemperaturer for viss periode osv. Her generaliserer gjennomsnittsverdier kvalitativt heterogene verdier av egenskaper eller systemiske romlige aggregater (internasjonalt samfunn, kontinent, stat, region, region, etc.) eller dynamiske aggregater utvidet over tid (århundre, tiår, år, sesong, etc.). ). Slike gjennomsnittsverdier kalles systemgjennomsnitt.

Dermed ligger betydningen av gjennomsnittsverdier i deres generaliserende funksjon. Gjennomsnittsverdien erstatter stort antall individuelle verdier av en karakteristikk, oppdage generelle egenskaper, iboende i alle enheter av befolkningen. Dette gjør det igjen mulig å unngå tilfeldige årsaker og identifisere generelle mønstre på grunn av generelle årsaker.

Typer gjennomsnittsverdier og metoder for deres beregning

På scenen statistisk behandling En rekke forskningsproblemer kan stilles, for løsningen av hvilke det er nødvendig å velge riktig gjennomsnitt. I dette tilfellet er det nødvendig å bli ledet av følgende regel: mengdene som representerer telleren og nevneren til gjennomsnittet må være logisk relatert til hverandre.

kraftgjennomsnitt;

strukturelle gjennomsnitt.

La oss introdusere følgende konvensjoner:

Mengdene som gjennomsnittet er beregnet for;

Gjennomsnitt, der linjen ovenfor indikerer at gjennomsnittsberegning av individuelle verdier finner sted;

Frekvens (repeterbarhet av individuelle karakteristiske verdier).

Ulike gjennomsnitt er avledet fra generell formel gjennomsnittlig effekt:

(5.1)

når k = 1 - aritmetisk gjennomsnitt; k = -1 - harmonisk gjennomsnitt; k = 0 - geometrisk gjennomsnitt; k = -2 - rotmiddelkvadrat.

Gjennomsnittsverdier kan være enkle eller vektet. Vektet gjennomsnitt Dette er verdier som tar hensyn til at enkelte varianter av attributtverdier kan ha forskjellige tall, og derfor må hvert alternativ multipliseres med dette tallet. Med andre ord er «skalaene» antall samlede enheter i ulike grupper, dvs. Hvert alternativ er "vektet" etter frekvensen. Frekvensen f kalles statistisk vekt eller gjennomsnittsvekt.

Aritmetisk gjennomsnitt- den vanligste typen gjennomsnitt. Den brukes når beregningen utføres på ugrupperte statistiske data, hvor du må få gjennomsnittstermen. Det aritmetiske gjennomsnittet er gjennomsnittsverdien av en karakteristikk, ved oppnåelse av denne forblir det totale volumet av karakteristikken i aggregatet uendret.

Formelen for det aritmetiske gjennomsnittet (enkelt) har formen

hvor n er populasjonsstørrelsen.

For eksempel beregnes gjennomsnittslønnen til en bedrifts ansatte som det aritmetiske gjennomsnittet:

De avgjørende indikatorene her er lønnen til hver ansatt og antall ansatte i bedriften. Ved beregning av gjennomsnittet forble den totale lønnen den samme, men fordelt likt på alle ansatte. For eksempel må du beregne gjennomsnittslønnen til arbeidere i et lite selskap som sysselsetter 8 personer:

Ved beregning av gjennomsnittsverdier individuelle verdier egenskaper som gjennomsnittsberegnes kan gjentas, så gjennomsnittsverdien beregnes ved å bruke grupperte data. I dette tilfellet vi snakker om om bruk aritmetisk gjennomsnitt vektet, som har formen

(5.3)

Så vi må beregne gjennomsnittsprisen på aksjer i et aksjeselskap ved børshandel. Det er kjent at transaksjonene ble utført innen 5 dager (5 transaksjoner), antall aksjer solgt til salgskurs ble fordelt som følger:

1 - 800 ak. - 1010 gni.

2 - 650 ak. - 990 gni.

3 - 700 ak. - 1015 gni.

4 - 550 ak. - 900 gni.

5 - 850 ak. - 1150 gni.

Det første forholdet for å bestemme gjennomsnittlig aksjekurs er forholdet totalt beløp transaksjoner (OSS) til antall solgte aksjer (KPA):

OSS = 1010·800+990·650+1015·700+900·550+1150·850= 3.634.500;

KPA = 800+650+700+550+850=3550.

I dette tilfellet var gjennomsnittlig aksjekurs lik

Det er nødvendig å kjenne egenskapene til det aritmetiske gjennomsnittet, som er veldig viktig både for bruken og for beregningen. Det er tre hovedegenskaper, som mest av alt bestemte den utbredte bruken av det aritmetiske gjennomsnittet i statistiske og økonomiske beregninger.

Eiendom en (null): summen av positive avvik av individuelle verdier av en karakteristikk fra gjennomsnittsverdien er lik summen negative avvik. Dette er en veldig viktig egenskap, siden den viser at eventuelle avvik (både + og -) forårsaket av tilfeldige årsaker vil bli gjensidig kansellert.

Bevis:

Egenskap to (minimum): summen av kvadrerte avvik av individuelle verdier av en karakteristikk fra det aritmetiske gjennomsnittet er mindre enn fra noe annet tall (a), dvs. det er et minimum antall.

Bevis.

La oss kompilere summen av kvadrerte avvik fra variabel a:

(5.4)

For å finne ekstremumet til denne funksjonen, er det nødvendig å likestille dens deriverte med hensyn til a til null:

Herfra får vi:

(5.5)

Følgelig oppnås ekstremumet av summen av kvadrerte avvik ved . Dette ekstremumet er et minimum, siden en funksjon ikke kan ha et maksimum.

Egenskap tre: aritmetisk gjennomsnitt konstant verdi lik denne konstanten: for a = const.

Foruten disse tre de viktigste egenskapene aritmetiske middel er det såkalte designegenskaper, som gradvis mister sin betydning på grunn av bruken av elektronisk datateknologi:

hvis den individuelle verdien av attributtet til hver enhet multipliseres eller divideres med konstant antall, da vil det aritmetiske gjennomsnittet øke eller redusere med samme mengde;

det aritmetiske gjennomsnittet vil ikke endres hvis vekten (frekvensen) av hver attributtverdi er delt med et konstant tall;

hvis de individuelle verdiene av attributtet til hver enhet reduseres eller økes med samme beløp, vil det aritmetiske gjennomsnittet reduseres eller økes med samme beløp.

Harmonisk middel. Dette gjennomsnittet kalles det inverse aritmetiske gjennomsnittet fordi denne verdien brukes når k = -1.

Enkelt harmonisk middel brukes når vektene til attributtverdiene er de samme. Formelen kan avledes fra grunnleggende formel, erstatter k = -1:

For eksempel må vi beregne gjennomsnittlig hastighet to biler som kjørte samme vei, men i ulik hastighet: den første i en hastighet på 100 km/t, den andre i 90 km/t. Ved å bruke den harmoniske middelmetoden beregner vi gjennomsnittshastigheten:

I statistisk praksis brukes oftere den harmoniske vektet, hvis formel har formen

Denne formelen brukes i tilfeller der vektene (eller volumene av fenomener) for hver attributt ikke er like. I startforholdet for beregning av gjennomsnittet er telleren kjent, men nevneren er ukjent.

Et enkelt aritmetisk gjennomsnitt er gjennomsnittsleddet, for å bestemme hvilket totale volumet av en gitt karakteristikk i helhet data er fordelt likt mellom alle enheter som inngår i denne populasjonen. Dermed er gjennomsnittlig årlig produksjon per ansatt mengden produksjon som ville blitt produsert av hver ansatt hvis hele produksjonsvolumet var likt fordelt mellom alle ansatte i organisasjonen. Den aritmetiske gjennomsnittlige enkelverdien beregnes ved å bruke formelen:

Enkelt aritmetisk gjennomsnitt- Lik forholdet mellom summen av individuelle verdier av en egenskap og antall egenskaper i aggregatet

Eksempel 1. Et team på 6 arbeidere mottar 3 3,2 3,3 3,5 3,8 3,1 tusen rubler per måned.

Finn gjennomsnittlig lønn Løsning: (3 + 3,2 + 3,3 +3,5 + 3,8 + 3,1) / 6 = 3,32 tusen rubler.

Aritmetisk gjennomsnitt vektet

Hvis volumet til datasettet er stort og representerer en distribusjonsserie, beregnes det vektede aritmetiske gjennomsnittet. Slik bestemmes den veide gjennomsnittsprisen per produksjonsenhet: den totale produksjonskostnaden (summen av produktene av dens mengde med prisen på en produksjonsenhet) deles på den totale produksjonsmengden.

La oss forestille oss dette i form av følgende formel:

Vektet aritmetisk gjennomsnitt- er lik forholdet mellom (summen av produktene av verdien av en funksjon til frekvensen av gjentakelse av denne funksjonen) til (summen av frekvensene av alle funksjoner Det brukes når varianter av befolkningen som studeres). forekomme ulikt antall ganger.

Eksempel 2. Finn gjennomsnittslønnen til verkstedarbeidere per måned

Lønn på en arbeider tusen rubler; X	Antall arbeidere F

Gjennomsnittslønnen kan fås ved å dele totallønnen med totalt antall arbeidere:

Svar: 3,35 tusen rubler.

Aritmetisk gjennomsnitt for intervallserier

Når du beregner det aritmetiske gjennomsnittet for en intervallvariasjonsserie, bestemmer du først gjennomsnittet for hvert intervall som halvsummen av øvre og nedre grense, og deretter gjennomsnittet av hele serien. Ved åpne intervaller bestemmes verdien av det nedre eller øvre intervallet av størrelsen på intervallene ved siden av dem.

Gjennomsnitt beregnet fra intervallserier er omtrentlige.

Eksempel 3. Definere middelalder kveldselever.

Alder i år!!x??	Antall elever	Gjennomsnittlig verdi av intervallet	Produkt av midtpunktet i intervallet (alder) og antall elever
		(18 + 20) / 2 =19 18 tommer i dette tilfellet grensen til det nedre intervallet. Beregnet som 20 - (22-20)
		(20 + 22) / 2 = 21
		(22 + 26) / 2 = 24
		(26 + 30) / 2 = 28
30 eller mer		(30 + 34) / 2 = 32

Gjennomsnitt beregnet fra intervallserier er omtrentlige. Graden av deres tilnærming avhenger av i hvilken grad den faktiske fordelingen av befolkningsenheter innenfor intervallet nærmer seg ensartet fordeling.

Ved beregning av gjennomsnitt, ikke bare absolutt, men også relative verdier(hyppighet).