Hvordan finne det totale overflatearealet til en kjegle. Området til den laterale og hele overflaten av kjeglen

Revolusjonskroppene som ble studert på skolen er en sylinder, en kjegle og en ball.

Hvis du i en BRUK-oppgave i matematikk trenger å beregne volumet til en kjegle eller arealet av en kule, bør du vurdere deg selv som heldig.

Bruk formler for volum og overflateareal til en sylinder, kjegle og kule. Alle er i tabellen vår. Lære utenat. Det er her kunnskapen om stereometri begynner.

Noen ganger er det greit å tegne en ovenfra. Eller, som i dette problemet, nedenfra.

2. Hvor mange ganger større er volumet av en kjegle omskrevet nær en vanlig firkantet pyramide enn volumet til en kjegle som er innskrevet i denne pyramiden?

Alt er enkelt - vi tegner en utsikt nedenfra. Vi ser at radiusen til den større sirkelen er flere ganger større enn radiusen til den mindre. Høydene på begge kjeglene er de samme. Derfor vil volumet til den større kjeglen være dobbelt så stort.

Et annet viktig poeng. Husk at i oppgavene til del B av USE-alternativene i matematikk skrives svaret som et heltall eller en siste desimalbrøk. Derfor bør du ikke ha noen eller i svaret ditt i del B. Det er heller ikke nødvendig å erstatte den omtrentlige verdien av tallet! Det må reduseres! Det er for dette at oppgaven i noen oppgaver er formulert, for eksempel som følger: "Finn arealet av sylinderens sideflate delt på".

Og hvor ellers brukes formlene for volumet og overflatearealet til revolusjonslegemer? Selvfølgelig i oppgave C2 (16). Vi vil også fortelle deg om det.

Her er problemer med kjegler, tilstanden er relatert til overflaten. Spesielt i noen problemer er det et spørsmål om å endre området med en økning (reduksjon) i høyden på en kjegle eller radien til basen. Teori for problemløsning i . Vurder følgende oppgaver:

27135. Omkretsen av bunnen av kjeglen er 3, generatrisen er 2. Finn arealet av kjeglens sideflate.

Arealet av kjeglens sideoverflate er:

Plugger inn data:

75697. Hvor mange ganger vil arealet av kjeglens sideoverflate øke hvis generatrisen økes 36 ganger, og basens radius forblir den samme?

Arealet av kjeglens sideoverflate:

Generatrisen er økt med 36 ganger. Radius forblir den samme, noe som betyr at omkretsen av basen ikke har endret seg.

Så området til sideoverflaten til den modifiserte kjeglen vil se slik ut:

Dermed vil den øke med 36 ganger.

*Avhengigheten er enkel, så dette problemet kan enkelt løses muntlig.

27137. Hvor mange ganger vil arealet av kjeglens sideoverflate reduseres hvis radiusen til basen reduseres med 1,5 ganger?

Arealet av kjeglens sideoverflate er:

Radiusen reduseres med 1,5 ganger, det vil si:

Det ble funnet at det laterale overflatearealet ble redusert med 1,5 ganger.

27159. Høyden på kjeglen er 6, generatrisen er 10. Finn arealet av dens totale overflate delt på pi.

Hele overflaten av kjeglen:

Finn radiusen:

Høyden og generatrisen er kjent, ved Pythagoras teorem beregner vi radius:

På denne måten:

Del resultatet på Pi og skriv ned svaret.

76299. Det totale overflatearealet til kjeglen er 108. En seksjon er trukket parallelt med bunnen av kjeglen, og deler høyden i to. Finn det totale overflatearealet til den avkortede kjeglen.

Seksjonen går gjennom midthøyden parallelt med basen. Dette betyr at radiusen til basen og generatrisen til den avkortede kjeglen vil være 2 ganger mindre enn radiusen og generatrisen til den opprinnelige kjeglen. La oss skrive ned hva overflaten til den avskårne kjeglen er lik:

Vi fikk at det vil være 4 ganger mindre enn overflatearealet til originalen, det vil si 108: 4 = 27.

* Siden den originale og avkuttede kjeglen er like kropper, var det også mulig å bruke likhetsegenskapen:

27167. Radien til kjeglens base er 3, høyden er 4. Finn det totale overflatearealet til kjeglen delt på pi.

Formelen for den totale overflaten til en kjegle er:

Radiusen er kjent, det er nødvendig å finne generatrisen.

I følge Pythagoras teorem:

På denne måten:

Del resultatet på Pi og skriv ned svaret.

En oppgave. Arealet av den laterale overflaten av kjeglen er fire ganger arealet av basen. Finn cosinus til vinkelen mellom generatrisen til kjeglen og planet til grunnflaten.

Arealet av bunnen av kjeglen er:

Det vil si at cosinus vil være lik:

Svar: 0,25

Bestem selv:

27136. Hvor mange ganger vil arealet av kjeglens sideoverflate øke hvis generatrisen økes med 3 ganger?

27160. Arealet av kjeglens sideflate er to ganger arealet av basen. Finn vinkelen mellom generatrisen til kjeglen og planet til grunnflaten. Gi svaret i grader. .

27161. Den totale overflaten til kjeglen er 12. En seksjon er trukket parallelt med bunnen av kjeglen, og deler høyden i to. Finn det totale overflatearealet til den avkortede kjeglen.

Det er alt. Lykke til!

Med vennlig hilsen Alexander.

*Del informasjon om nettstedet med venner gjennom sosiale nettverk.

Tilbake fremover

Merk følgende! Lysbildeforhåndsvisningen er kun til informasjonsformål og representerer kanskje ikke hele omfanget av presentasjonen. Hvis du er interessert i dette arbeidet, last ned fullversjonen.

Leksjonstype: en leksjon i å studere nytt stoff ved hjelp av elementer fra en problemutviklende undervisningsmetode.

Leksjonens mål:

kognitiv:
- kjennskap til et nytt matematisk konsept;
- dannelsen av nye ZUN;
- dannelsen av praktiske ferdigheter for å løse problemer.
utvikle:
- utvikling av selvstendig tenkning av studenter;
- utvikling av korrekte taleferdigheter hos skolebarn.
pedagogisk:
- utvikling av teamarbeidsevner.

Leksjonsutstyr: magnettavle, datamaskin, lerret, multimediaprojektor, kjeglemodell, leksjonspresentasjon, utdelingsark.

Leksjonsmål (for studenter):

bli kjent med et nytt geometrisk konsept - en kjegle;
utlede en formel for å beregne overflatearealet til en kjegle;
lære å anvende den ervervede kunnskapen til å løse praktiske problemer.

I løpet av timene

jeg iscenesetter. Organisatorisk.

Innlevering av notatbøker med hjemmeprøvearbeid om temaet som dekkes.

Studentene inviteres til å finne ut temaet for den kommende leksjonen ved å løse rebus (lysbilde 1):

Bilde 1.

Kunngjøring til elevene om emnet og målene for leksjonen (lysbilde 2).

II trinn. Forklaring av nytt materiale.

1) Lærerforelesning.

På brettet er et bord med bildet av en kjegle. Det nye materialet er forklart sammen med programmaterialet "Stereometri". Et tredimensjonalt bilde av en kjegle vises på skjermen. Læreren gir en definisjon av en kjegle, snakker om dens elementer. (lysbilde 3). Det sies at en kjegle er en kropp dannet ved rotasjon av en rettvinklet trekant i forhold til beinet. (lysbilder 4, 5). Et bilde av utviklingen av den laterale overflaten av kjeglen vises. (lysbilde 6)

2) Praktisk arbeid.

Aktualisering av grunnleggende kunnskap: gjenta formlene for å beregne arealet av en sirkel, arealet av en sektor, lengden på en sirkel, lengden på en sirkelbue. (lysbilder 7-10)

Klassen er delt inn i grupper. Hver gruppe mottar en skanning av sideoverflaten til kjeglen kuttet ut av papir (en sirkelsektor med et tildelt nummer). Studentene tar de nødvendige målingene og beregner arealet til den resulterende sektoren. Instruksjoner for å utføre arbeid, spørsmål - problemformuleringer - vises på skjermen (lysbilder 11-14). Representanten for hver gruppe skriver resultatet av beregningene i en tabell utarbeidet på tavlen. Deltakerne i hver gruppe limer modellen av kjeglen fra utviklingen de har. (lysbilde 15)

3) Redegjørelse og løsning av problemet.

Hvordan beregne sideoverflatearealet til en kjegle hvis bare radiusen til basen og lengden på generatrisen til kjeglen er kjent? (lysbilde 16)

Hver gruppe gjør de nødvendige målingene og prøver å utlede en formel for å beregne det nødvendige arealet ved hjelp av tilgjengelige data. Når du gjør dette arbeidet, bør elevene legge merke til at omkretsen av kjeglens base er lik lengden på sektorens bue - utviklingen av sideoverflaten til denne kjeglen. (lysbilde 17-21) Ved å bruke de nødvendige formlene utledes den ønskede formelen. Elevenes resonnement bør se omtrent slik ut:

Radius av sektoren - sveip er lik jeg, gradmålet til buen er φ. Arealet av sektoren beregnes av formelen: lengden på buen som avgrenser denne sektoren er lik radiusen til kjeglens basis R. Lengden på sirkelen som ligger ved bunnen av kjeglen er C = 2πR . Merk at siden arealet av kjeglens sideoverflate er lik arealet av utviklingen av sideoverflaten, så

Så arealet av kjeglens sideoverflate beregnes av formelen S BOD = πRl.

Etter å ha beregnet det laterale overflatearealet til kjeglemodellen i henhold til formelen utledet uavhengig, skriver en representant for hver gruppe resultatet av beregningene i en tabell på tavlen i samsvar med modellnumrene. Beregningsresultatene i hver rad må være like. På dette grunnlaget bestemmer læreren riktigheten av konklusjonene til hver gruppe. Resultattabellen skal se slik ut:

Modell nr.	jeg oppgave	II oppgave

	(125/3)π ~ 41,67π

	(425/9)π ~ 47,22π
	(539/9)π ~ 59,89π

Modellparametere:

l=12 cm, φ=120°
l=10 cm, φ=150°
l=15 cm, φ=120°
l=10 cm, φ=170°
l=14 cm, φ=110°

Tilnærmingen av beregninger er forbundet med målefeil.

Etter å ha sjekket resultatene, vises utdataene til formlene for områdene av kjeglens side- og fullflater på skjermen (lysbilder 22-26) elevene fører notater i notatbøker.

III trinn. Konsolidering av det studerte materialet.

1) Studenter tilbys oppgaver til mikstur på ferdige tegninger.

Finn arealene til de totale overflatene til kjeglene vist i figurene (lysbilde 27-32).

2) Spørsmål: Er arealene på overflatene til kjegler dannet ved rotasjon av en rettvinklet trekant om forskjellige ben like? Elevene lager en hypotese og tester den. Hypotesetesting gjennomføres ved å løse oppgaver og skrives av eleven på tavlen.

Gitt:Δ ABC, ∠C=90°, AB=c, AC=b, BC=a;

BAA", ABV" - revolusjonskropper.

Finne: S PPC 1, S PPC 2.

Figur 5 (lysbilde 33)

Løsning:

1) R=BC = a; S PPC 1 = S BOD 1 + S hoved 1 = π a c + π a 2 \u003d π a (a + c).

2) R=AC = b; S PPC 2 = S BOD 2 + S hoved 2 = π b c + π b 2 \u003d π b (b + c).

Hvis S PPC 1 = S PPC 2, da a 2 + ac \u003d b 2 + bc, a 2 - b 2 + ac - bc \u003d 0, (a-b) (a + b + c) \u003d 0. Fordi a, b, c positive tall (lengdene på sidene i trekanten), er tore-likheten sann bare hvis a =b.

Konklusjon: Arealene av overflatene til to kjegler er like bare hvis bena i trekanten er like. (lysbilde 34)

3) Løsning av oppgaven fra læreboken: nr. 565.

IV trinn. Oppsummering av leksjonen.

Hjemmelekser: s. 55, 56; nr. 548, nr. 561. (lysbilde 35)

Kunngjøring av karakterer.

Konklusjoner i løpet av timen, repetisjon av hovedinformasjonen mottatt i timen.

Litteratur (lysbilde 36)

Geometri karakterer 10–11 - Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev et al., M., Enlightenment, 2008.
"Matematiske gåter og charader" - N.V. Udaltsov, bibliotek "First of September", serie "MATHEMATICS", utgave 35, M., Chistye Prudy, 2010.

Overflatearealet til en kjegle (eller ganske enkelt overflaten til en kjegle) er lik summen av arealene til basen og sideflaten.

Arealet av kjeglens sideoverflate beregnes med formelen: S = πR l, hvor R er radiusen til kjeglens base, og l- generatrise av en kjegle.

Siden arealet av kjeglens base er πR 2 (som arealet av sirkelen), vil arealet av hele overflaten av kjeglen være lik : πR2 + πR l= πR (R+ l).

Å skaffe formelen for arealet av sideoverflaten til en kjegle kan forklares med et slikt resonnement. La tegningen vise en utvikling av kjeglens sideflate. Vi deler buen AB i så mange like deler som mulig og forbinder alle delingspunkter med sentrum av buen, og nabopunkter med hverandre med akkorder.

Vi får en rekke like trekanter. Arealet til hver trekant er Ah / 2, hvor en- lengden på trekantens base, a h- hans høye.

Summen av arealene til alle trekanter er: Ah / 2 n = anh / 2, hvor n er antall trekanter.

Med et stort antall inndelinger blir summen av arealene til trekantene veldig nær området for utviklingen, det vil si arealet av kjeglens sideoverflate. Summen av basene til trekanter, dvs. an, blir svært nær lengden av buen AB, dvs. til omkretsen av kjeglens basis. Høyden til hver trekant blir veldig nær radiusen til buen, det vil si generatrisen til kjeglen.

Når vi neglisjerer små forskjeller i størrelsene på disse mengdene, får vi formelen for arealet av kjeglens sideoverflate (S):

S=C l / 2, hvor C er omkretsen av bunnen av kjeglen, l- generatrise av en kjegle.

Når vi vet at C \u003d 2πR, hvor R er radiusen til sirkelen til kjeglens base, får vi: S \u003d πR l.

Merk. I formelen S = C l / 2, er tegnet på eksakt, og ikke tilnærmet, likhet gitt, selv om vi på grunnlag av resonnementet ovenfor kunne anse denne likheten for å være omtrentlig. Men på videregående er det bevist at likestilling

S=C l / 2 er nøyaktig, ikke omtrentlig.

Teorem. Den laterale overflaten av kjeglen er lik produktet av omkretsen av basen og halve generatrisen.

Vi skriver inn i en kjegle (fig.) Noen vanlig pyramide og betegner med bokstaver R og l tall som uttrykker lengden på omkretsen av basen og apotem til denne pyramiden.

Deretter vil dens sideoverflate bli uttrykt av produktet 1/2 R l .

La oss nå anta at antallet sider av polygonet som er innskrevet i basen, øker i det uendelige. Deretter omkretsen R vil tendere til grensen tatt som lengden C av omkretsen av basen, og apotem l vil ha en kjeglegenerator som grense (siden ΔSAK innebærer at SA - SK
1 / 2 R l, vil tendere til grensen 1/2 C L. Denne grensen er tatt som verdien av kjeglens sideflate. Ved å angi sideflaten til kjeglen med bokstaven S, kan vi skrive:

S = 1/2 C L = C 1/2L

Konsekvenser.
1) Siden C \u003d 2 π R, så uttrykkes sideoverflaten til kjeglen med formelen:

S=1/2 2π R L= π RL

2) Vi får hele overflaten av kjeglen hvis vi legger sideoverflaten til grunnflaten; derfor, ved å betegne hele overflaten med T, vil vi ha:

T= π RL+ π R2= π R(L+R)

Teorem. Den laterale overflaten til en avkortet kjegle er lik produktet av halvparten av summen av omkretsene til basene og generatrisen.

Vi skriver inn i en avkortet kjegle (fig.) Noen vanlig avkortet pyramide og betegner med bokstaver r, r 1 og l tall som i de samme lineære enhetene uttrykker lengden på omkretsen til den nedre og øvre basen og apotem til denne pyramiden.

Da er sideflaten til den innskrevne pyramiden 1/2 ( p + p 1) l

Med en ubegrenset økning i antall sideflater til den innskrevne pyramiden, vil omkretsene R og R 1 har en tendens til grensene tatt som lengdene C og C 1 av sirklene til basene, og apotem l har som sin grense generatrisen L til den avkortede kjeglen. Følgelig tenderer verdien av sideoverflaten til den innskrevne pyramiden til grensen lik (С + С 1) L. Denne grensen tas som verdien av sideoverflaten til den avkortede kjeglen. Ved å betegne sideflaten til den avkortede kjeglen med bokstaven S, vil vi ha:

S \u003d 1/2 (C + C 1) L

Konsekvenser.
1) Hvis R og R 1 betyr radiene til sirklene til de nedre og øvre basene, vil sideoverflaten til den avkortede kjeglen være:

S = 1/2 (2 π R+2 π R 1) L = π (R+R1)L.

2) Hvis vi i trapesen OO 1 A 1 A (fig.), Fra rotasjonen som en avkortet kjegle oppnås, tegner midtlinjen BC, får vi:

BC \u003d 1/2 (OA + O 1 A 1) \u003d 1/2 (R + R 1),

R + R1 = 2BC.

Følgelig

S=2 π BC L,

dvs. sideoverflaten til en avkortet kjegle er lik produktet av omkretsen av den gjennomsnittlige seksjonen og generatrisen.

3) Den totale overflaten T til en avkortet kjegle uttrykkes som følger:

T= π (R 2 + R 1 2 + RL + R 1 L)