Med denne videoen begynner jeg en lang rekke leksjoner om derivater. Denne leksjonen har flere deler.

Først av alt vil jeg fortelle deg hva derivater er generelt og hvordan du beregner dem, men ikke på et sofistikert akademisk språk, men på den måten jeg forstår det selv og hvordan jeg forklarer det til elevene mine. For det andre vil vi vurdere den enkleste regelen for å løse problemer der vi vil se etter deriverte av summer, deriverte av en forskjell og deriverte av en potensfunksjon.

Vi vil se på mer komplekse kombinerte eksempler, hvor du spesielt vil lære at lignende problemer som involverer røtter og til og med brøker kan løses ved å bruke formelen for den deriverte av en potensfunksjon. I tillegg vil det selvsagt være mange oppgaver og eksempler på løsninger av ulike kompleksitetsnivåer.

Generelt skulle jeg i utgangspunktet spille inn en kort 5-minutters video, men du kan selv se hva som kom ut av det. Så nok av tekstene - la oss komme i gang.

Hva er et derivat?

Så, la oss starte langveis fra. For mange år siden, da trærne var grønnere og livet var morsommere, tenkte matematikere på dette: tenk på en enkel funksjon gitt av grafen, la oss kalle den $y=f\left(x \right)$. Selvfølgelig eksisterer ikke grafen alene, så du må tegne $x$-aksen, så vel som $y$-aksen. Og la oss nå velge hvilket som helst punkt på denne grafen, absolutt hvilket som helst. La oss kalle abscissen $((x)_(1))$, ordinaten, som du kanskje gjetter, vil være $f\left(((x)_(1)) \right)$.

Tenk på et annet punkt på samme graf. Det spiller ingen rolle hvilken, hovedsaken er at den skiller seg fra originalen. Den har igjen en abscisse, la oss kalle den $((x)_(2))$, samt en ordinat - $f\left(((x)_(2)) \right)$.

Så vi har to poeng: de har forskjellige abscisser og derfor forskjellige funksjonsverdier, selv om sistnevnte er valgfri. Men det som virkelig er viktig er at vi vet fra planimetrikurset at en rett linje kan trekkes gjennom to punkter og dessuten bare ett. Her, la oss kjøre det.

Og la oss nå tegne en rett linje gjennom den aller første av dem, parallelt med x-aksen. Vi får en rettvinklet trekant. La oss kalle det $ABC$, rett vinkel $C$. Denne trekanten har en veldig interessant egenskap: faktum er at vinkelen $\alpha $ faktisk er lik vinkelen som den rette linjen $AB$ skjærer med fortsettelsen av abscisseaksen. Døm selv:

1. linje $AC$ er parallell med aksen $Ox$ ved konstruksjon,
2. linje $AB$ skjærer $AC$ under $\alpha $,
3. derfor skjærer $AB$ $Ox$ under samme $\alpha $.

Hva kan vi si om $\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )$? Ikke noe konkret, bortsett fra at i trekanten $ABC$ er forholdet mellom benet $BC$ og benet $AC$ lik tangenten til denne vinkelen. Så la oss skrive:

Selvfølgelig, $AC$ inn denne saken lett vurdert:

Tilsvarende for $BC$:

Med andre ord kan vi skrive følgende:

\[\operatørnavn(tg)\tekst( )\!\!\alpha\!\!\text( )=\frac(f\venstre(((x)_(2)) \høyre)-f\venstre( ((x)_(1)) \høyre))(((x)_(2))-((x)_(1)))\]

Nå som vi har fått alt dette ut av veien, la oss gå tilbake til grafen vår og se på det nye $B$-punktet. Slett de gamle verdiene og ta og ta $B$ et sted nærmere $((x)_(1))$. La oss igjen betegne abscissen som $((x)_(2))$, og ordinaten som $f\left(((x)_(2)) \right)$.

Tenk igjen på vår lille trekant $ABC$ og $\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )$ inne i den. Det er ganske åpenbart at dette vil være en helt annen vinkel, tangenten vil også være annerledes fordi lengdene på segmentene $AC$ og $BC$ har endret seg betydelig, og formelen for tangens til vinkelen har ikke endret seg i det hele tatt. - Dette er fortsatt forholdet mellom å endre funksjonen og å endre argumentet.

Til slutt fortsetter vi å flytte $B$ nærmere og nærmere startpunktet $A$, som et resultat vil trekanten minke enda mer, og linjen som inneholder segmentet $AB$ vil se mer og mer ut som en tangent til graf over funksjonen.

Som et resultat, hvis vi fortsetter å nærme oss punktene, dvs. reduserer avstanden til null, vil den rette linjen $AB$ faktisk bli til en tangent til grafen på dette punktet, og $\text( )\!\! \alpha\!\ !\text( )$ vil endres fra et vanlig trekantelement til en vinkel mellom tangenten til grafen og den positive retningen til $Ox$-aksen.

Og her går vi jevnt videre til definisjonen av $f$, nemlig at den deriverte av funksjonen i punktet $((x)_(1))$ er tangenten til vinkelen $\alpha $ mellom tangenten til graf ved punktet $((x)_( 1))$ og den positive retningen til $Ox$-aksen:

\[(f)"\venstre(((x)_(1)) \right)=\operatørnavn(tg)\tekst( )\!\!\alfa\!\!\tekst( )\]

For å gå tilbake til grafen vår, bør det bemerkes at som $((x)_(1))$, kan du velge hvilket som helst punkt på grafen. For eksempel, med samme suksess, kunne vi fjerne slaget på punktet vist i figuren.

La oss kalle vinkelen mellom tangenten og den positive retningen til aksen $\beta $. Følgelig vil $f$ i $((x)_(2))$ være lik tangenten til denne vinkelen $\beta $.

\[(f)"\venstre(((x)_(2)) \right)=tg\tekst( )\!\!\beta\!\!\tekst( )\]

Hvert punkt i grafen vil ha sin egen tangent, og følgelig sin egen verdi av funksjonen. I hvert av disse tilfellene, i tillegg til punktet der vi ser etter den deriverte av en forskjell eller en sum, eller en derivert av en potensfunksjon, er det nødvendig å ta et annet punkt som ligger i en viss avstand fra det, og deretter rett dette punktet til den opprinnelige, og finn selvfølgelig ut hvordan en slik bevegelse i prosessen vil endre tangens til helningsvinkelen.

Power funksjon derivert

Dessverre passer ikke denne definisjonen oss i det hele tatt. Alle disse formlene, bildene, vinklene gir oss ikke den minste idé om hvordan vi kan beregne den virkelige deriverte i virkelige problemer. La oss derfor gå litt bort fra den formelle definisjonen og vurdere mer effektive formler og teknikker som du allerede kan løse reelle problemer med.

La oss starte med de enkleste konstruksjonene, nemlig funksjoner av formen $y=((x)^(n))$, dvs. strømfunksjoner. I dette tilfellet kan vi skrive følgende: $(y)"=n\cdot ((x)^(n-1))$. Med andre ord, graden som var i eksponenten vises i multiplikatoren foran , og selve eksponenten reduseres med enhet, for eksempel:

\[\begin(align)& y=((x)^(2)) \\& (y)"=2\cdot ((x)^(2-1))=2x \\\end(align) \]

Og her er et annet alternativ:

\[\begin(align)& y=((x)^(1)) \\& (y)"=((\venstre(x \right))^(\prime ))=1\cdot ((x )^(0))=1\cdot 1=1 \\& ((\venstre(x \høyre))^(\prime ))=1 \\\end(align)\]

Ved å bruke disse enkle reglene, la oss prøve å ta kanten av følgende eksempler:

Så vi får:

\[((\venstre(((x)^(6)) \right))^(\prime ))=6\cdot ((x)^(5))=6((x)^(5)) \]

La oss nå løse det andre uttrykket:

\[\begin(align)& f\left(x \right)=((x)^(100)) \\& ((\left(((x)^(100)) \right))^(\ prime ))=100\cdot ((x)^(99))=100((x)^(99)) \\\end(align)\]

Dette var selvfølgelig veldig enkle oppgaver. Imidlertid er virkelige problemer mer komplekse og de er ikke begrenset til kreftene til en funksjon.

Så regel nummer 1 - hvis funksjonen er representert som de to andre, så er den deriverte av denne summen lik summen av de deriverte:

\[((\venstre(f+g \høyre))^(\prime ))=(f)"+(g)"\]

På samme måte er den deriverte av forskjellen mellom to funksjoner lik forskjellen av de deriverte:

\[((\venstre(f-g \høyre))^(\prime ))=(f)"-(g)"\]

\[((\venstre(((x)^(2))+x \høyre))^(\prime ))=((\venstre(((x)^(2)) \høyre))^(\ prime ))+((\venstre(x \høyre))^(\prime ))=2x+1\]

I tillegg er det en annen viktig regel: hvis noen $f$ innledes med en konstant $c$, som denne funksjonen multipliseres med, blir $f$ av hele denne konstruksjonen vurdert som følger:

\[((\venstre(c\cdot f \right))^(\prime ))=c\cdot (f)"\]

\[((\venstre(3((x)^(3)) \høyre))^(\prime ))=3((\venstre(((x)^(3)) \høyre))^(\ primtall ))=3\cdot 3((x)^(2))=9((x)^(2))\]

Til slutt, en veldig viktig regel til: problemer inneholder ofte et eget begrep som ikke inneholder $x$ i det hele tatt. For eksempel kan vi observere dette i dagens uttrykk. Den deriverte av en konstant, dvs. et tall som ikke på noen måte er avhengig av $x$, er alltid lik null, og det spiller ingen rolle i det hele tatt hva konstanten $c$ er lik:

\[((\left(c \right))^(\prime ))=0\]

Eksempel på løsning:

\[((\left(1001 \right))^(\prime ))=((\left(\frac(1)(1000) \right))^(\prime ))=0\]

Nok en gang hovedpunktene:

1. Den deriverte av summen av to funksjoner er alltid lik summen av de deriverte: $((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"$;
2. Av lignende grunner er den deriverte av differansen av to funksjoner lik differansen av to deriverte: $((\left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"$;
3. Hvis funksjonen har en faktorkonstant, kan denne konstanten tas ut av tegnet til den deriverte: $((\left(c\cdot f \right))^(\prime ))=c\cdot (f)" $;
4. Hvis hele funksjonen er en konstant, er dens deriverte alltid null: $((\left(c \right))^(\prime ))=0$.

La oss se hvordan det hele fungerer med ekte eksempler. Så:

Vi skriver ned:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(5))-3((x)^(2))+7 \right))^(\prime ))=((\venstre) (((x)^(5)) \right))^(\prime ))-((\left(3((x)^(2)) \right))^(\prime ))+(7) "= \\& =5((x)^(4))-3((\venstre(((x)^(2)) \høyre))^(\prime ))+0=5((x) ^(4))-6x \\\end(align)\]

I dette eksemplet ser vi både den deriverte av summen og den deriverte av differansen. Så den deriverte er $5((x)^(4))-6x$.

La oss gå videre til den andre funksjonen:

Skriv ned løsningen:

\[\begin(align)& ((\left(3((x)^(2))-2x+2 \right))^(\prime ))=(\left(3((x)^( 2)) \right))^(\prime ))-((\venstre(2x \høyre))^(\prime))+(2)"= \\& =3((\venstre(((x)) ^(2)) \right))^(\prime ))-2(x)"+0=3\cdot 2x-2\cdot 1=6x-2 \\\end(align)\]

Her har vi funnet svaret.

La oss gå videre til den tredje funksjonen - den er allerede mer alvorlig:

\[\begin(align)& ((\left(2((x)^(3))-3((x)^(2))+\frac(1)(2)x-5 \right)) ^(\prime ))=((\venstre(2((x)^(3)) \høyre))^(\prime ))-((\venstre(3((x)^(2)) \høyre ))^(\prime ))+((\left(\frac(1)(2)x \right))^(\prime ))-(5)"= \\& =2((\left(( (x)^(3)) \right))^(\prime ))-3((\venstre(((x)^(2)) \right))^(\prime ))+\frac(1) (2)\cdot (x)"=2\cdot 3((x)^(2))-3\cdot 2x+\frac(1)(2)\cdot 1=6((x)^(2)) -6x+\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Vi har funnet svaret.

La oss gå videre til det siste uttrykket - det mest komplekse og lengste:

Så vi vurderer:

\[\begin(align)& ((\left(6((x)^(7))-14((x)^(3))+4x+5 \right))^(\prime ))=( (\venstre(6((x)^(7)) \right))^(\prime ))-((\left(14((x)^(3)) \right))^(\prime )) +((\left(4x \right))^(\prime ))+(5)"= \\& =6\cdot 7\cdot ((x)^(6))-14\cdot 3((x) )^(2))+4\cdot 1+0=42((x)^(6))-42((x)^(2))+4 \\\end(align)\]

Men løsningen slutter ikke der, fordi vi blir bedt om ikke bare å fjerne streken, men å beregne verdien på et bestemt punkt, så vi erstatter −1 i stedet for $x$ i uttrykket:

\[(y)"\venstre(-1 \høyre)=42\cdot 1-42\cdot 1+4=4\]

Vi går videre og går videre til enda mer komplekse og interessante eksempler. Poenget er at formelen for å løse potensderiverten $((\venstre(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1) )$ har et enda bredere omfang enn det man vanligvis tror. Med dens hjelp kan du løse eksempler med brøker, røtter osv. Dette skal vi gjøre nå.

Til å begynne med, la oss skrive ned formelen igjen, som vil hjelpe oss å finne den deriverte av potensfunksjonen:

Og nå oppmerksomhet: så langt har vi betraktet bare naturlige tall som $n$, men ingenting hindrer oss i å vurdere brøker og til og med negative tall. Vi kan for eksempel skrive følgende:

\[\begin(align)& \sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\ prime ))=((\venstre(((x)^(\frac(1)(2))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(2)\cdot ((x) ^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(x))=\frac(1)(2\sqrt(x)) \\\end(align)\]

Ikke noe komplisert, så la oss se hvordan denne formelen vil hjelpe oss med å løse mer komplekse problemer. Så et eksempel:

Skriv ned løsningen:

\[\begin(align)& \left(\sqrt(x)+\sqrt(x)+\sqrt(x) \right)=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime )) \\& ((\ left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=\frac(1)(2\sqrt(x)) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^( \prime ))=((\venstre(((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(3)\cdot ((x) )^(-\frac(2)(3)))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x)^(2)))) \\& (( \left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(4))) \right))^(\prime )) =\frac(1)(4)((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1)(4)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x) ^(3)))) \\\end(align)\]

La oss gå tilbake til vårt eksempel og skrive:

\[(y)"=\frac(1)(2\sqrt(x))+\frac(1)(3\sqrt(((x)^(2))))+\frac(1)(4) \sqrt(((x)^(3))))\]

Dette er en så vanskelig avgjørelse.

La oss gå videre til det andre eksemplet - det er bare to begreper, men hver av dem inneholder både en klassisk grad og røtter.

Nå skal vi lære hvordan du finner den deriverte av en potensfunksjon, som i tillegg inneholder en rot:

\[\begin(align)& ((\venstre(((x)^(3))\sqrt(((x)^(2)))+((x)^(7))\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(3))\cdot \sqrt(((x)^(2))) \right))^(\prime )) =((\venstre(((x)^(3))\cdot ((x)^(\frac(2)(3))) \right))^(\prime ))= \\& =(( \left(((x)^(3+\frac(2)(3))) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(11)(3) ))) \right))^(\prime ))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(\frac(8)(3)))=\frac(11)(3)\ cdot ((x)^(2\frac(2)(3)))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2) ))) \\& ((\venstre(((x)^(7))\cdot \sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\venstre(((x)^(7) ))\cdot ((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=((\venstre(((x)^(7\frac(1)(3) ))) \right))^(\prime ))=7\frac(1)(3)\cdot ((x)^(6\frac(1)(3)))=\frac(22)(3) )\cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x) \\\end(align)\]

Begge ledd er beregnet, det gjenstår å skrive ned det endelige svaret:

\[(y)"=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2)))+\frac(22)(3) \cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x)\]

Vi har funnet svaret.

Derivert av en brøk i form av en potensfunksjon

Men mulighetene til formelen for å løse den deriverte av en potensfunksjon slutter ikke der. Faktum er at med dens hjelp kan du telle ikke bare eksempler med røtter, men også med brøker. Dette er bare den sjeldne muligheten som i stor grad forenkler løsningen av slike eksempler, men som ofte ignoreres ikke bare av elever, men også av lærere.

Så nå skal vi prøve å kombinere to formler samtidig. På den ene siden den klassiske deriverte av en potensfunksjon

\[((\venstre(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

På den annen side vet vi at et uttrykk på formen $\frac(1)(((x)^(n)))$ kan representeres som $((x)^(-n))$. Følgelig

\[\left(\frac(1)(((x)^(n))) \right)"=((\venstre(((x)^(-n)) \right))^(\prime ) )=-n\cdot ((x)^(-n-1))=-\frac(n)(((x)^(n+1)))\]

\[((\venstre(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))=\venstre(((x)^(-1)) \right)=-1\cdot ((x) )^(-2))=-\frac(1)(((x)^(2)))\]

Dermed beregnes også deriverte av enkle brøker, der telleren er en konstant, og nevneren er en grad, ved hjelp av den klassiske formelen. La oss se hvordan det fungerer i praksis.

Så den første funksjonen:

\[((\venstre(\frac(1)(((x)^(2))) \høyre))^(\prime ))=((\venstre(((x)^(-2)) \ høyre))^(\prime ))=-2\cdot ((x)^(-3))=-\frac(2)(((x)^(3)))\]

Det første eksemplet er løst, la oss gå videre til det andre:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(7)(4((x)^(4)))-\frac(2)(3((x)^(3)))+\ frac(5)(2)((x)^(2))+2((x)^(3))-3((x)^(4)) \right))^(\prime ))= \ \& =((\left(\frac(7)(4((x)^(4))) \right))^(\prime ))-((\left(\frac(2)(3(( x)^(3))) \right))^(\prime ))+((\left(2((x)^(3)) \right))^(\prime ))-((\left( 3((x)^(4)) \right))^(\prime )) \\& ((\left(\frac(7)(4((x)^(4))) \right))^ (\prime ))=\frac(7)(4)((\venstre(\frac(1)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))=\frac(7 )(4)\cdot ((\venstre(((x)^(-4)) \right))^(\prime ))=\frac(7)(4)\cdot \left(-4 \right) \cdot ((x)^(-5))=\frac(-7)(((x)^(5))) \\& ((\venstre(\frac(2)(3((x)^ (3))) \right))^(\prime ))=\frac(2)(3)\cdot ((\left(\frac(1)((x)^(3))) \right) )^(\prime ))=\frac(2)(3)\cdot ((\venstre(((x)^(-3)) \right))^(\prime ))=\frac(2)( 3)\cdot \left(-3 \right)\cdot ((x)^(-4))=\frac(-2)(((x)^(4))) \\& ((\venstre( \frac(5)(2)((x)^(2)) \right))^(\prime ))=\frac(5)(2)\cdot 2x=5x \\& ((\venstre(2) ((x)^(3)) \right))^(\prime ))=2\cdot 3((x)^(2))=6((x)^(2)) \\& ((\ left(3((x)^(4)) \right))^(\prime ))=3\cdot 4((x)^ (3))=12((x)^(3)) \\\end(align)\]...

Nå samler vi alle disse begrepene i en enkelt formel:

\[(y)"=-\frac(7)(((x)^(5)))+\frac(2)(((x)^(4)))+5x+6((x)^ (2))-12((x)^(3))\]

Vi fikk svar.

Før du går videre, vil jeg imidlertid gjøre deg oppmerksom på formen for å skrive selve originaluttrykkene: i det første uttrykket skrev vi $f\left(x \right)=...$, i det andre: $y =...$ Mange elever går tapt når de ser forskjellige notasjonsformer. Hva er forskjellen mellom $f\left(x \right)$ og $y$? Faktisk ingenting. De er bare forskjellige oppføringer med samme betydning. Det er bare det at når vi sier $f\left(x\right)$, så snakker vi først og fremst om en funksjon, og når vi snakker om $y$, mener vi oftest grafen til en funksjon. Ellers er det det samme, det vil si at den deriverte anses som den samme i begge tilfeller.

Komplekse problemer med derivater

Avslutningsvis vil jeg vurdere et par komplekse kombinerte problemer som bruker alt vi har vurdert i dag på en gang. I dem venter vi på røtter og brøker og summer. Imidlertid vil disse eksemplene bare være komplekse innenfor rammen av dagens videoopplæring, fordi virkelig komplekse avledede funksjoner vil vente på deg fremover.

Så, den siste delen av dagens videoopplæring, som består av to kombinerte oppgaver. La oss starte med den første:

\[\begin(align)& ((\venstre(((x)^(3))-\frac(1)(((x)^(3)))+\sqrt(x) \right))^ (\prime ))=((\venstre(((x)^(3)) \høyre))^(\prime ))-((\left(\frac(1)(((x)^(3) )) \right))^(\prime ))+\left(\sqrt(x) \right) \\& ((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime) )=3((x)^(2)) \\& ((\venstre(\frac(1)(((x)^(3))) \right))^(\prime ))=((\ venstre(((x)^(-3)) \right))^(\prime ))=-3\cdot ((x)^(-4))=-\frac(3)(((x)^ (4))) \\& ((\venstre(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)(((x)^(\frac(2)(3))))=\frac(1) (3\sqrt(((x)^(2)))) \\\end(align)\]

Den deriverte av funksjonen er:

\[(y)"=3((x)^(2))-\frac(3)(((x)^(4)))+\frac(1)(3\sqrt(((x)^ (2))))\]

Det første eksemplet er løst. Tenk på det andre problemet:

I det andre eksemplet handler vi på samme måte:

\[((\venstre(-\frac(2)(((x)^(4)))+\sqrt(x)+\frac(4)(x\sqrt(((x)^(3)) )) \right))^(\prime ))=((\venstre(-\frac(2)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))+((\venstre (\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\frac(4)(x\cdot \sqrt(((x)^(3)))) \right))^ (\prime))\]

La oss beregne hvert ledd separat:

\[\begin(align)& ((\left(-\frac(2)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))=-2\cdot ((\left( ((x)^(-4)) \right))^(\prime ))=-2\cdot \left(-4 \right)\cdot ((x)^(-5))=\frac(8) )(((x)^(5))) \\& ((\venstre(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\venstre(((x)^(\frac( 1)(4))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(4)\cdot ((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1) )(4\cdot ((x)^(\frac(3)(4))))=\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3)))) \\& ((\ left(\frac(4)(x\cdot \sqrt(((x)^(3)))) \right))^(\prime ))=(\left(\frac(4)(x\cdot ((x)^(\frac(3)(4)))) \right))^(\prime ))=((\venstre(\frac(4)((x)^(1\frac(3) )(4)))) \right))^(\prime ))=4\cdot ((\left(((x)^(-1\frac(3)(4))) \right))^( \prime ))= \\& =4\cdot \left(-1\frac(3)(4) \right)\cdot ((x)^(-2\frac(3)(4)))=4 \cdot \left(-\frac(7)(4) \right)\cdot \frac(1)(((x)^(2\frac(3)(4))))=\frac(-7) (((x)^(2))\cdot ((x)^(\frac(3)(4))))=-\frac(7)(((x)^(2))\cdot \sqrt (((x)^(3)))) \\\end(align)\]

Alle vilkår telles. Nå går vi tilbake til den opprinnelige formelen og legger sammen alle tre leddene. Vi får at det endelige svaret blir:

\[(y)"=\frac(8)(((x)^(5)))+\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3))))-\frac(7) )(((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(3))))\]

Og det er alt. Dette var vår første leksjon. I de neste leksjonene skal vi se på mer komplekse konstruksjoner, og også finne ut hvorfor det i det hele tatt trengs derivater.

Første nivå

Funksjonsderivat. Omfattende veiledning (2019)

Se for deg en rett vei som går gjennom et kupert område. Det vil si at den går opp og ned, men svinger ikke til høyre eller venstre. Hvis aksen er rettet horisontalt langs veien, og vertikalt, vil veilinjen være veldig lik grafen til en kontinuerlig funksjon:

Aksen er et visst nivå på null høyde, i livet bruker vi havnivå som det.

Går vi framover langs en slik vei, beveger vi oss også opp eller ned. Vi kan også si: når argumentet endres (beveger seg langs abscisseaksen), endres verdien av funksjonen (beveger seg langs ordinataksen). La oss nå tenke på hvordan vi bestemmer "brattheten" på veien vår? Hva kan denne verdien være? Veldig enkelt: hvor mye vil høyden endres når man beveger seg en viss avstand fremover. Faktisk, på forskjellige deler av veien, når vi beveger oss fremover (langs abscissen) en kilometer, vil vi stige eller falle et annet antall meter i forhold til havnivået (langs ordinaten).

Vi betegner fremgang fremover (les "delta x").

Den greske bokstaven (delta) brukes ofte i matematikk som et prefiks som betyr "endring". Det vil si - dette er en endring i størrelse, - en endring; så hva er det? Det stemmer, en endring i størrelse.

Viktig: uttrykket er en enkelt enhet, én variabel. Du bør aldri rive av "delta" fra "x" eller noen annen bokstav! Det er for eksempel.

Så vi har gått fremover, horisontalt, videre. Hvis vi sammenligner veiens linje med grafen til en funksjon, hvordan betegner vi da stigningen? Selvfølgelig, . Det vil si at når vi går videre stiger vi høyere.

Det er lett å beregne verdien: hvis vi i begynnelsen var i høyden, og etter flytting var vi i høyden, da. Hvis sluttpunktet viste seg å være lavere enn startpunktet, vil det være negativt - dette betyr at vi ikke stiger opp, men synker.

Tilbake til "steepness": dette er en verdi som indikerer hvor mye (bratt) høyden øker når man beveger seg fremover per enhetsavstand:

Anta at på en del av stien, når du går frem med km, stiger veien opp med km. Da er brattheten på dette stedet lik. Og hvis veien sank med km ved fremskritt med m? Da er helningen lik.

Tenk nå på toppen av en ås. Hvis du tar begynnelsen av seksjonen en halv kilometer til toppen, og slutten - en halv kilometer etter den, kan du se at høyden er nesten den samme.

Det vil si, ifølge vår logikk viser det seg at helningen her er nesten lik null, noe som tydeligvis ikke stemmer. Mye kan endre seg bare noen få mil unna. Mindre områder må vurderes for et mer tilstrekkelig og nøyaktig estimat av brattheten. Hvis du for eksempel måler høydeendringen når du beveger deg en meter, vil resultatet bli mye mer nøyaktig. Men selv denne nøyaktigheten er kanskje ikke nok for oss - tross alt, hvis det er en stolpe midt på veien, kan vi ganske enkelt skli gjennom den. Hvilken avstand skal vi velge da? Centimeter? Millimeter? Mindre er bedre!

I det virkelige liv er det mer enn nok å måle avstand til nærmeste millimeter. Men matematikere streber alltid etter perfeksjon. Derfor var konseptet uendelig liten, det vil si at modulo-verdien er mindre enn et hvilket som helst tall vi kan navngi. For eksempel sier du: en trilliondel! Hvor mye mindre? Og du deler dette tallet på - og det blir enda mindre. Og så videre. Hvis vi vil skrive at verdien er uendelig liten, skriver vi slik: (vi leser «x har en tendens til null»). Det er veldig viktig å forstå at dette tallet ikke er lik null! Men veldig nærme det. Dette betyr at den kan deles inn i.

Konseptet motsatt til uendelig lite er uendelig stort (). Du har sannsynligvis allerede støtt på det da du jobbet med ulikheter: dette tallet er større i modul enn noe tall du kan tenke deg. Hvis du kommer opp med størst mulig tall, multipliserer du det med to og du får enda mer. Og uendelighet er enda mer enn det som skjer. Faktisk er uendelig stor og uendelig liten omvendt til hverandre, det vil si at, og omvendt: at.

Nå tilbake til veien vår. Den ideelt beregnede helningen er helningen beregnet for et uendelig lite segment av banen, det vil si:

Jeg legger merke til at med en uendelig liten forskyvning vil også høydeendringen være uendelig liten. Men la meg minne deg på at uendelig liten ikke betyr lik null. Hvis du deler uendelige tall med hverandre, kan du få et helt ordinært tall, for eksempel. Det vil si at en liten verdi kan være nøyaktig dobbelt så stor som en annen.

Hvorfor alt dette? Veien, brattheten ... Vi skal ikke på rally, men vi lærer matematikk. Og i matematikk er alt nøyaktig det samme, bare kalt annerledes.

Konseptet med et derivat

Den deriverte av en funksjon er forholdet mellom økningen av funksjonen og økningen av argumentet ved en uendelig inkrement av argumentet.

Øke i matematikk kalles endring. Hvor mye argumentet () har endret seg når man beveger seg langs aksen kalles argumentøkning og betegnet med Hvor mye funksjonen (høyden) har endret seg når man beveger seg fremover langs aksen med en avstand kalles funksjonsøkning og er merket.

Så den deriverte av en funksjon er forholdet til når. Vi betegner den deriverte med samme bokstav som funksjonen, bare med et slag fra øverst til høyre: eller ganske enkelt. Så la oss skrive den deriverte formelen ved å bruke disse notasjonene:

Som i analogien med veien, her, når funksjonen øker, er den deriverte positiv, og når den avtar, er den negativ.

Men er den deriverte lik null? Selvfølgelig. For eksempel, hvis vi kjører på en flat horisontal vei, er brattheten null. Høyden endres faktisk ikke i det hele tatt. Så med den deriverte: den deriverte av en konstant funksjon (konstant) er lik null:

siden økningen av en slik funksjon er null for enhver.

La oss ta eksempelet på en bakketopp. Det viste seg at det var mulig å arrangere endene av segmentet på motsatte sider av toppunktet på en slik måte at høyden på endene viser seg å være den samme, det vil si at segmentet er parallelt med aksen:

Men store segmenter er et tegn på unøyaktig måling. Vi vil heve segmentet vårt opp parallelt med seg selv, så vil lengden minke.

Til slutt, når vi er uendelig nær toppen, vil lengden på segmentet bli uendelig liten. Men samtidig forble den parallelt med aksen, det vil si at høydeforskjellen i endene er lik null (pleier ikke, men er lik). Så den deriverte

Dette kan forstås slik: når vi står helt øverst, endrer en liten forskyvning til venstre eller høyre høyden vår ubetydelig.

Det er også en rent algebraisk forklaring: til venstre for toppen øker funksjonen, og til høyre reduseres den. Som vi allerede har funnet ut tidligere, når funksjonen øker, er den deriverte positiv, og når den avtar, er den negativ. Men den endrer seg jevnt, uten hopp (fordi veien ikke endrer helningen kraftig noe sted). Derfor må det være mellom negative og positive verdier. Det vil være der funksjonen verken øker eller minker - ved toppunktet.

Det samme gjelder for dalen (området der funksjonen avtar til venstre og øker til høyre):

Litt mer om økninger.

Så vi endrer argumentet til en verdi. Vi endrer fra hvilken verdi? Hva har han (argumentet) nå blitt til? Vi kan velge hvilket som helst punkt, og nå skal vi danse fra det.

Tenk på et punkt med en koordinat. Verdien av funksjonen i den er lik. Så gjør vi det samme trinnet: øker koordinaten med. Hva er argumentet nå? Meget lett: . Hva er verdien av funksjonen nå? Der argumentet går, går funksjonen dit: . Hva med funksjonsøkning? Ikke noe nytt: Dette er fortsatt beløpet som funksjonen har endret seg med:

Øv på å finne trinn:

1. Finn økningen til funksjonen i et punkt med en økning av argumentet lik.
2. Det samme for en funksjon på et punkt.

Løsninger:

På forskjellige punkter, med samme økning av argumentet, vil økningen av funksjonen være forskjellig. Dette betyr at den deriverte på hvert punkt har sin egen (vi diskuterte dette helt i begynnelsen - brattheten til veien på forskjellige punkter er forskjellig). Derfor, når vi skriver en derivert, må vi indikere på hvilket tidspunkt:

Power funksjon.

En potensfunksjon kalles en funksjon der argumentet til en viss grad er (logisk, ikke sant?).

Og - i noen grad: .

Det enkleste tilfellet er når eksponenten er:

La oss finne dens deriverte på et punkt. Husk definisjonen av et derivat:

Så argumentasjonen endres fra til. Hva er funksjonsøkningen?

Økning er. Men funksjonen til enhver tid er lik argumentet. Derfor:

Den deriverte er:

Den deriverte av er:

b) Vurder nå den kvadratiske funksjonen (): .

La oss nå huske det. Dette betyr at verdien av økningen kan neglisjeres, siden den er uendelig liten, og derfor ubetydelig på bakgrunn av et annet begrep:

Så vi har en annen regel:

c) Vi fortsetter den logiske rekken: .

Dette uttrykket kan forenkles på forskjellige måter: åpne den første parentesen ved å bruke formelen for forkortet multiplikasjon av kuben av summen, eller dekomponer hele uttrykket i faktorer ved å bruke formelen for forskjellen av terninger. Prøv å gjøre det selv på en av de foreslåtte måtene.

Så jeg fikk følgende:

Og la oss huske det igjen. Dette betyr at vi kan neglisjere alle termer som inneholder:

Vi får: .

d) Lignende regler kan oppnås for store makter:

e) Det viser seg at denne regelen kan generaliseres for en potensfunksjon med en vilkårlig eksponent, ikke engang et heltall:

(2)

Du kan formulere regelen med ordene: "graden føres frem som en koeffisient, og avtar deretter med".

Vi vil bevise denne regelen senere (nesten helt på slutten). La oss nå se på noen få eksempler. Finn den deriverte av funksjoner:

1. (på to måter: ved formelen og ved å bruke definisjonen av den deriverte - ved å telle økningen av funksjonen);

1. . Tro det eller ei, dette er en kraftfunksjon. Hvis du har spørsmål som "Hvordan er det? Og hvor er graden?", Husk emnet" "!
   Ja, ja, roten er også en grad, bare en brøkdel:.
   Så kvadratroten vår er bare en potens med en eksponent:
   .
   Vi ser etter den deriverte ved å bruke den nylig lærte formelen:

   Hvis det på dette tidspunktet ble uklart igjen, gjenta emnet "" !!! (omtrent en grad med negativ indikator)

2. . Nå eksponenten:

   Og nå gjennom definisjonen (har du glemt ennå?):
   ;
   .
   Nå, som vanlig, neglisjerer vi begrepet som inneholder:
   .

3. . Kombinasjon av tidligere saker: .

trigonometriske funksjoner.

Her skal vi bruke ett faktum fra høyere matematikk:

Når uttrykk.

Du vil lære beviset i det første året av instituttet (og for å komme dit må du bestå eksamen godt). Nå skal jeg bare vise det grafisk:

Vi ser at når funksjonen ikke eksisterer - punkteres punktet på grafen. Men jo nærmere verdien, jo nærmere er funksjonen. Dette er selve "strever".

I tillegg kan du sjekke denne regelen med en kalkulator. Ja, ja, ikke vær sjenert, ta en kalkulator, vi er ikke på eksamen ennå.

Så la oss prøve: ;

Ikke glem å bytte kalkulatoren til Radians-modus!

etc. Vi ser at jo mindre, jo nærmere er verdien av forholdet.

a) Tenk på en funksjon. Som vanlig finner vi økningen:

La oss gjøre forskjellen på sinus til et produkt. For å gjøre dette bruker vi formelen (husk emnet ""):.

Nå den deriverte:

La oss gjøre en erstatning: . Så, for uendelig liten, er den også uendelig liten: . Uttrykket for har formen:

Og nå husker vi det med uttrykket. Og også, hva om en uendelig liten verdi kan neglisjeres i summen (det vil si at).

Så vi får følgende regel: den deriverte av sinus er lik cosinus:

Dette er grunnleggende ("tabell") derivater. Her er de i en liste:

Senere vil vi legge til noen flere til dem, men disse er de viktigste, da de brukes oftest.

Øve på:

1. Finn den deriverte av en funksjon i et punkt;
2. Finn den deriverte av funksjonen.

Løsninger:

1. Først finner vi den deriverte i en generell form, og deretter erstatter vi verdien i stedet:
   ;
   .
2. Her har vi noe som ligner på en kraftfunksjon. La oss prøve å bringe henne til
   normal visning:
   .
   Ok, nå kan du bruke formelen:
   .
   .
3. . Eeeeeee….. Hva er det????

Ok, du har rett, vi vet fortsatt ikke hvordan vi finner slike derivater. Her har vi en kombinasjon av flere typer funksjoner. For å jobbe med dem, må du lære noen flere regler:

Eksponent og naturlig logaritme.

Det er en slik funksjon i matematikk, hvis deriverte for enhver er lik verdien av selve funksjonen for den samme. Den kalles "eksponent", og er en eksponentiell funksjon

Grunnlaget for denne funksjonen - en konstant - er en uendelig desimalbrøk, det vil si et irrasjonelt tall (som f.eks.). Det kalles "Euler-nummeret", og det er derfor det er angitt med en bokstav.

Så regelen er:

Det er veldig lett å huske.

Vel, vi vil ikke gå langt, vi vil umiddelbart vurdere den inverse funksjonen. Hva er inversen til eksponentialfunksjonen? Logaritme:

I vårt tilfelle er basen et tall:

En slik logaritme (det vil si en logaritme med en base) kalles en "naturlig", og vi bruker en spesiell notasjon for den: vi skriver i stedet.

Hva er lik? Selvfølgelig, .

Den deriverte av den naturlige logaritmen er også veldig enkel:

Eksempler:

1. Finn den deriverte av funksjonen.
2. Hva er den deriverte av funksjonen?

Svar: Eksponenten og den naturlige logaritmen er funksjoner som er unikt enkle når det gjelder den deriverte. Eksponentielle og logaritmiske funksjoner med en hvilken som helst annen base vil ha en annen derivert, som vi vil analysere senere, etter at vi har gått gjennom reglene for differensiering.

Differensieringsregler

Hvilke regler? Nok et nytt begrep, igjen?!...

Differensiering er prosessen med å finne den deriverte.

Bare og alt. Hva er et annet ord for denne prosessen? Ikke proizvodnovanie... Matematikkens differensial kalles selve inkrementet til funksjonen ved. Dette begrepet kommer fra det latinske differentia - forskjell. Her.

Når vi utleder alle disse reglene, vil vi bruke to funksjoner, for eksempel og. Vi trenger også formler for trinnene deres:

Det er 5 regler totalt.

Konstanten tas ut av tegnet til den deriverte.

Hvis - et konstant tall (konstant), da.

Selvfølgelig fungerer denne regelen også for forskjellen: .

La oss bevise det. La, eller lettere.

Eksempler.

Finn deriverte av funksjoner:

1. på punktet;
2. på punktet;
3. på punktet;
4. på punktet.

Løsninger:

1. (den deriverte er den samme på alle punkter, siden det er en lineær funksjon, husker du?);

Derivat av et produkt

Alt er likt her: vi introduserer en ny funksjon og finner dens økning:

Derivat:

Eksempler:

1. Finn deriverte av funksjoner og;
2. Finn den deriverte av en funksjon i et punkt.

Løsninger:

Derivert av eksponentiell funksjon

Nå er kunnskapen din nok til å lære hvordan du finner den deriverte av en hvilken som helst eksponentiell funksjon, og ikke bare eksponenten (har du glemt hva det er ennå?).

Så hvor er et tall.

Vi kjenner allerede den deriverte av funksjonen, så la oss prøve å bringe funksjonen vår til en ny base:

For å gjøre dette bruker vi en enkel regel: . Deretter:

Vel, det fungerte. Prøv nå å finne den deriverte, og ikke glem at denne funksjonen er kompleks.

Skjedd?

Her, sjekk deg selv:

Formelen viste seg å være veldig lik den deriverte av eksponenten: Som den var, gjenstår det, bare en faktor dukket opp, som bare er et tall, men ikke en variabel.

Eksempler:
Finn deriverte av funksjoner:

Svar:

Dette er bare et tall som ikke kan beregnes uten en kalkulator, det vil si at det ikke kan skrives på en enklere form. Derfor, i svaret er det igjen i denne formen.

Derivert av en logaritmisk funksjon

Her er det likt: du kjenner allerede den deriverte av den naturlige logaritmen:

Derfor, for å finne en vilkårlig fra logaritmen med en annen base, for eksempel:

Vi må bringe denne logaritmen til basen. Hvordan endrer du basen til en logaritme? Jeg håper du husker denne formelen:

Bare nå i stedet for vil vi skrive:

Nevneren viste seg å være bare en konstant (et konstant tall, uten en variabel). Den deriverte er veldig enkel:

Derivater av de eksponentielle og logaritmiske funksjonene finnes nesten aldri i eksamen, men det vil ikke være overflødig å kjenne dem.

Derivat av en kompleks funksjon.

Hva er en "kompleks funksjon"? Nei, dette er ikke en logaritme, og ikke en buetangens. Disse funksjonene kan være vanskelige å forstå (selv om logaritmen virker vanskelig for deg, les emnet "Logarithms" og alt ordner seg), men i form av matematikk betyr ikke ordet "kompleks" "vanskelig".

Se for deg en liten transportør: to personer sitter og gjør noen handlinger med noen gjenstander. For eksempel pakker den første en sjokoladeplate inn i en innpakning, og den andre binder den med et bånd. Det viser seg en slik sammensatt gjenstand: en sjokoladeplate pakket inn og bundet med et bånd. For å spise en sjokoladeplate, må du gjøre de motsatte trinnene i omvendt rekkefølge.

La oss lage en lignende matematisk rørledning: først finner vi cosinus til et tall, og deretter kvadrerer vi det resulterende tallet. Så, de gir oss et tall (sjokolade), jeg finner dens cosinus (omslag), og deretter firer du det jeg har (bind det med et bånd). Hva skjedde? Funksjon. Dette er et eksempel på en kompleks funksjon: når vi, for å finne verdien, gjør den første handlingen direkte med variabelen, og deretter en annen handling med det som skjedde som et resultat av den første.

Vi kan godt gjøre de samme handlingene i omvendt rekkefølge: først kvadrerer du, og så ser jeg etter cosinus til det resulterende tallet:. Det er lett å gjette at resultatet nesten alltid vil være annerledes. Et viktig trekk ved komplekse funksjoner: når rekkefølgen av handlinger endres, endres funksjonen.

Med andre ord, En kompleks funksjon er en funksjon hvis argument er en annen funksjon: .

For det første eksemplet, .

Andre eksempel: (samme). .

Den siste handlingen vi gjør vil kalles "ekstern" funksjon, og handlingen som ble utført først - hhv "intern" funksjon(dette er uformelle navn, jeg bruker dem kun for å forklare stoffet på et enkelt språk).

Prøv selv å finne ut hvilken funksjon som er ekstern og hvilken som er intern:

Svar: Separasjonen av indre og ytre funksjoner ligner veldig på å endre variabler: for eksempel i funksjonen

1. Hva vil vi gjøre først? Først beregner vi sinusen, og først da hever vi den til en terning. Så det er en intern funksjon, ikke en ekstern.
   Og den opprinnelige funksjonen er deres sammensetning: .
2. Internt: ; ekstern: .
   Eksamen:.
3. Internt: ; ekstern: .
   Eksamen:.
4. Internt: ; ekstern: .
   Eksamen:.
5. Internt: ; ekstern: .
   Eksamen:.

vi endrer variabler og får en funksjon.

Vel, nå skal vi trekke ut sjokoladen vår - se etter derivatet. Prosedyren er alltid omvendt: først ser vi etter den deriverte av den ytre funksjonen, deretter multipliserer vi resultatet med den deriverte av den indre funksjonen. For det originale eksemplet ser det slik ut:

Et annet eksempel:

Så la oss til slutt formulere den offisielle regelen:

Algoritme for å finne den deriverte av en kompleks funksjon:

Alt ser ut til å være enkelt, ikke sant?

La oss sjekke med eksempler:

Løsninger:

1) Internt: ;

Ekstern: ;

2) Internt: ;

(bare ikke prøv å redusere nå! Ingenting er tatt ut under kosinus, husker du?)

3) Internt: ;

Ekstern: ;

Det er umiddelbart klart at det er en kompleks funksjon på tre nivåer her: tross alt er dette allerede en kompleks funksjon i seg selv, og vi trekker fortsatt ut roten fra den, det vil si at vi utfører den tredje handlingen (legg sjokolade i en omslag). og med et bånd i en koffert). Men det er ingen grunn til å være redd: uansett vil vi "pakke ut" denne funksjonen i samme rekkefølge som vanlig: fra slutten.

Det vil si at vi først differensierer roten, deretter cosinus, og først deretter uttrykket i parentes. Og så multipliserer vi det hele.

I slike tilfeller er det praktisk å nummerere handlingene. Det vil si, la oss forestille oss hva vi vet. I hvilken rekkefølge vil vi utføre handlinger for å beregne verdien av dette uttrykket? La oss se på et eksempel:

Jo senere handlingen utføres, jo mer "ekstern" vil den tilsvarende funksjonen være. Rekkefølgen av handlinger - som før:

Her er hekkingen generelt 4-nivå. La oss bestemme handlingsforløpet.

1. Radikalt uttrykk. .

2. Rot. .

3. Sinus. .

4. Firkantet. .

5. Sette det hele sammen:

DERIVAT. KORT OM HOVEDET

Funksjonsderiverte- forholdet mellom økningen av funksjonen og økningen av argumentet med en uendelig økning av argumentet:

Grunnleggende derivater:

Differensieringsregler:

Konstanten tas ut av tegnet til den deriverte:

Avledet av sum:

Avledet produkt:

Derivat av kvotienten:

Derivert av en kompleks funksjon:

Algoritme for å finne den deriverte av en kompleks funksjon:

1. Vi definerer den "interne" funksjonen, finner dens deriverte.
2. Vi definerer den "eksterne" funksjonen, finner dens deriverte.
3. Vi multipliserer resultatene av det første og andre punktet.

På hvilken vi analyserte de enkleste derivatene, og ble også kjent med reglene for differensiering og noen teknikker for å finne derivater. Derfor, hvis du ikke er veldig god med funksjonsderivater eller noen punkter i denne artikkelen ikke er helt klare, så les først leksjonen ovenfor. Vennligst still inn på en seriøs stemning - materialet er ikke lett, men jeg vil likevel prøve å presentere det enkelt og tydelig.

I praksis må du forholde deg til den deriverte av en kompleks funksjon veldig ofte, jeg vil til og med si nesten alltid, når du får oppgaver med å finne deriverte.

Vi ser i tabellen på regelen (nr. 5) for å differensiere en kompleks funksjon:

Vi forstår. Først av alt, la oss ta en titt på notasjonen. Her har vi to funksjoner - og , og funksjonen er billedlig talt nestet i funksjonen . En funksjon av denne typen (når en funksjon er nestet i en annen) kalles en kompleks funksjon.

Jeg vil kalle funksjonen ekstern funksjon, og funksjonen – indre (eller nestet) funksjon.

! Disse definisjonene er ikke teoretiske og skal ikke fremkomme i den endelige utformingen av oppgavene. Jeg bruker de uformelle uttrykkene "ekstern funksjon", "intern" funksjon kun for å gjøre det lettere for deg å forstå stoffet.

For å avklare situasjonen, vurder:

Eksempel 1

Finn den deriverte av en funksjon

Under sinusen har vi ikke bare bokstaven "x", men hele uttrykket, så å finne den deriverte umiddelbart fra tabellen vil ikke fungere. Vi legger også merke til at det er umulig å bruke de fire første reglene her, det ser ut til å være en forskjell, men faktum er at det er umulig å "rive fra hverandre" sinusen:

I dette eksempelet, allerede fra mine forklaringer, er det intuitivt klart at funksjonen er en kompleks funksjon, og polynomet er en intern funksjon (embedding), og en ekstern funksjon.

Første skritt, som må utføres når man skal finne den deriverte av en kompleks funksjon forstå hvilken funksjon som er intern og hvilken som er ekstern.

Når det gjelder enkle eksempler, virker det klart at et polynom er nestet under sinusen. Men hva om det ikke er åpenbart? Hvordan bestemme nøyaktig hvilken funksjon som er ekstern og hvilken som er intern? For å gjøre dette foreslår jeg å bruke følgende teknikk, som kan utføres mentalt eller på et utkast.

La oss forestille oss at vi må beregne verdien av uttrykket med en kalkulator (i stedet for en, kan det være et hvilket som helst tall).

Hva beregner vi først? Først av alt du må utføre følgende handling: , så polynomet vil være en intern funksjon:

for det andre du må finne, så sinus - vil være en ekstern funksjon:

Etter vi FORSTÅ med indre og ytre funksjoner er det på tide å bruke den sammensatte .

Vi begynner å bestemme oss. Fra leksjonen Hvordan finne den deriverte? vi husker at utformingen av løsningen til en hvilken som helst derivat alltid begynner slik - vi omslutter uttrykket i parentes og setter et strøk øverst til høyre:

Først vi finner den deriverte av den ytre funksjonen (sinus), ser på tabellen over avledede av elementære funksjoner og legger merke til at . Alle tabellformler kan brukes selv om "x" er erstattet med et komplekst uttrykk, i dette tilfellet:

Merk at den indre funksjonen har ikke endret seg, vi rører den ikke.

Vel, det er ganske åpenbart det

Resultatet av å bruke formelen rent ser slik ut:

Konstantfaktoren plasseres vanligvis i begynnelsen av uttrykket:

Hvis det er noen misforståelser, skriv ned avgjørelsen på papir og les forklaringene på nytt.

Eksempel 2

Finn den deriverte av en funksjon

Eksempel 3

Finn den deriverte av en funksjon

Som alltid skriver vi:

Vi finner ut hvor vi har en ekstern funksjon, og hvor er en intern. For å gjøre dette prøver vi (mentalt eller på et utkast) å beregne verdien av uttrykket for . Hva må gjøres først? Først av alt, må du beregne hva basen er lik:, noe som betyr at polynomet er den interne funksjonen:

Og først da utføres eksponentiering, derfor er potensfunksjonen en ekstern funksjon:

I henhold til formelen , først må du finne den deriverte av den eksterne funksjonen, i dette tilfellet graden. Vi ser etter ønsket formel i tabellen:. Vi gjentar igjen: enhver tabellformel er gyldig ikke bare for "x", men også for et komplekst uttrykk. Dermed resultatet av å bruke regelen om differensiering av en kompleks funksjon neste:

Jeg understreker igjen at når vi tar den deriverte av den ytre funksjonen, endres ikke den indre funksjonen:

Nå gjenstår det å finne et veldig enkelt derivat av den indre funksjonen og "gre" resultatet litt:

Eksempel 4

Finn den deriverte av en funksjon

Dette er et eksempel for selvløsning (svar på slutten av leksjonen).

For å konsolidere forståelsen av den deriverte av en kompleks funksjon, vil jeg gi et eksempel uten kommentarer, prøve å finne det ut på egen hånd, begrunnelse, hvor er den eksterne og hvor er den interne funksjonen, hvorfor løses oppgavene på den måten?

Eksempel 5

a) Finn den deriverte av en funksjon

b) Finn den deriverte av funksjonen

Eksempel 6

Finn den deriverte av en funksjon

Her har vi en rot, og for å differensiere roten må den representeres som en grad. Derfor bringer vi først funksjonen inn i riktig form for differensiering:

Ved å analysere funksjonen kommer vi til at summen av tre ledd er en intern funksjon, og eksponentiering er en ekstern funksjon. Vi bruker regelen om differensiering av en kompleks funksjon :

Graden er igjen representert som en radikal (rot), og for den deriverte av den interne funksjonen bruker vi en enkel regel for å differensiere summen:

Klar. Du kan også bringe uttrykket til en fellesnevner i parentes og skrive alt som én brøk. Det er selvfølgelig vakkert, men når det oppnås tungvinte lange derivater, er det bedre å ikke gjøre dette (det er lett å bli forvirret, gjøre en unødvendig feil, og det vil være upraktisk for læreren å sjekke).

Eksempel 7

Finn den deriverte av en funksjon

Dette er et eksempel for selvløsning (svar på slutten av leksjonen).

Det er interessant å merke seg at noen ganger, i stedet for regelen for å differensiere en kompleks funksjon, kan man bruke regelen for å differensiere en kvotient , men en slik løsning vil se ut som en uvanlig perversjon. Her er et typisk eksempel:

Eksempel 8

Finn den deriverte av en funksjon

Her kan du bruke regelen om differensiering av kvotienten , men det er mye mer lønnsomt å finne den deriverte gjennom regelen for differensiering av en kompleks funksjon:

Vi forbereder funksjonen for differensiering - vi tar ut minustegnet til den deriverte, og hever cosinus til telleren:

Cosinus er en intern funksjon, eksponentiering er en ekstern funksjon.
La oss bruke vår regel :

Vi finner den deriverte av den indre funksjonen, tilbakestiller cosinus:

Klar. I det betraktede eksemplet er det viktig å ikke bli forvirret i skiltene. Prøv forresten å løse det med regelen , må svarene samsvare.

Eksempel 9

Finn den deriverte av en funksjon

Dette er et eksempel for selvløsning (svar på slutten av leksjonen).

Så langt har vi vurdert tilfeller der vi kun hadde én hekking i en kompleks funksjon. I praktiske oppgaver kan du ofte finne derivater, der, som hekkende dukker, den ene inne i den andre, 3 eller til og med 4-5 funksjoner er nestet på en gang.

Eksempel 10

Finn den deriverte av en funksjon

Vi forstår vedleggene til denne funksjonen. Vi prøver å evaluere uttrykket ved å bruke den eksperimentelle verdien. Hvordan vil vi regne med en kalkulator?

Først må du finne, noe som betyr at arcsine er den dypeste hekkingen:

Denne arcsinen av enhet bør deretter kvadratisk:

Og til slutt hever vi de syv til makten:

Det vil si at vi i dette eksemplet har tre forskjellige funksjoner og to hekkinger, mens den innerste funksjonen er arcsinus, og den ytterste funksjonen er eksponentialfunksjonen.

Vi begynner å bestemme oss

I følge regelen først må du ta den deriverte av den ytre funksjonen. Vi ser på tabellen med deriverte og finner den deriverte av eksponentialfunksjonen: Den eneste forskjellen er at i stedet for "x" har vi et komplekst uttrykk, som ikke negerer gyldigheten til denne formelen. Så resultatet av å bruke regelen om differensiering av en kompleks funksjon neste.

Bevis og utledning av formler for den deriverte av eksponentialen (e i potensen av x) og eksponentialfunksjonen (a i potensen av x). Eksempler på beregning av derivater av e^2x, e^3x og e^nx. Formler for derivater av høyere orden.

Den deriverte av eksponenten er lik eksponenten selv (den deriverte av e i potensen av x er lik e i potensen av x):
(1) (e x )′ = e x.

Den deriverte av en eksponentiell funksjon med basis av grad a er lik funksjonen i seg selv, multiplisert med den naturlige logaritmen til a:
(2) .

Derivasjon av formelen for den deriverte av eksponenten, e i potensen av x

Eksponenten er en eksponentiell funksjon hvis eksponentbase er lik tallet e, som er følgende grense:
.
Her kan det enten være et naturlig eller et reelt tall. Deretter utleder vi formel (1) for den deriverte av eksponenten.

Utledning av formelen for den deriverte av eksponenten

Tenk på eksponenten e i potensen av x :
y = e x .
Denne funksjonen er definert for alle. La oss finne dens deriverte med hensyn til x . Per definisjon er derivatet følgende grense:
(3) .

La oss transformere dette uttrykket for å redusere det til kjente matematiske egenskaper og regler. For dette trenger vi følgende fakta:
MEN) Eksponentegenskap:
(4) ;
B) Logaritme-egenskap:
(5) ;
PÅ) Kontinuitet til logaritmen og egenskapen til grenser for en kontinuerlig funksjon:
(6) .
Her er en funksjon som har en grense, og denne grensen er positiv.
G) Betydningen av den andre fantastiske grensen:
(7) .

Vi anvender disse fakta til det ytterste (3). Vi bruker eiendom (4):
;
.

La oss gjøre en erstatning. Deretter ; .
På grunn av kontinuiteten til eksponenten,
.
Derfor, kl. Som et resultat får vi:
.

La oss gjøre en erstatning. Deretter . Kl , . Og vi har:
.

Vi bruker egenskapen til logaritmen (5):
. Deretter
.

La oss bruke eiendom (6). Siden det er en positiv grense og logaritmen er kontinuerlig, så:
.
Her brukte vi også den andre bemerkelsesverdige grensen (7). Deretter
.

Dermed har vi fått formel (1) for den deriverte av eksponenten.

Avledning av formelen for den deriverte av eksponentialfunksjonen

Nå utleder vi formelen (2) for den deriverte av eksponentialfunksjonen med basis av grad a. Det tror vi og . Deretter eksponentiell funksjon
(8)
Definert for alle.

La oss transformere formel (8). Til dette bruker vi egenskapene til eksponentialfunksjonen og logaritme.
;
.
Så vi har transformert formel (8) til følgende form:
.

Høyere ordens deriverte av e i potensen av x

La oss nå finne derivater av høyere ordener. La oss først se på eksponenten:
(14) .
(1) .

Vi ser at den deriverte av funksjonen (14) er lik funksjonen (14) i seg selv. Ved å differensiere (1), får vi andre og tredje ordens derivater:
;
.

Dette viser at den n-te ordens deriverte også er lik den opprinnelige funksjonen:
.

Høyere ordens deriverte av eksponentialfunksjonen

Tenk nå på en eksponentiell funksjon med basis av grad a:
.
Vi fant dens første ordensderiverte:
(15) .

Ved å differensiere (15), får vi andre og tredje ordens derivater:
;
.

Vi ser at hver differensiering fører til multiplikasjon av den opprinnelige funksjonen med . Derfor har den n-te deriverte følgende form:
.

Definisjon av eksponentiell funksjon. Utledning av en formel for å beregne dens deriverte. Eksempler på beregning av deriverte av eksponentielle funksjoner analyseres i detalj.

eksponentiell funksjon er en funksjon som har form av en potensfunksjon
y = u v ,
hvis grunntall u og eksponent v er noen funksjoner av variabelen x :
u = u (x); v=v (x).
Denne funksjonen kalles også eksponentiell makt eller .

Merk at eksponentialfunksjonen kan representeres i eksponentiell form:
.
Derfor kalles det også kompleks eksponentiell funksjon.

Beregning ved hjelp av den logaritmiske deriverte

Finn den deriverte av eksponentialfunksjonen
(2) ,
hvor og er funksjoner av variabelen.
For å gjøre dette tar vi logaritmen til ligning (2), ved å bruke egenskapen til logaritmen:
.
Differensiere med hensyn til x :
(3) .
Søke om regler for å skille en kompleks funksjon og fungerer:
;
.

Erstatter i (3):
.
Herfra
.

Så vi fant den deriverte av eksponentialfunksjonen:
(1) .
Hvis eksponenten er konstant, så . Da er den deriverte lik den deriverte av den sammensatte potensfunksjonen:
.
Hvis bunnen av graden er konstant, så . Da er den deriverte lik den deriverte av den sammensatte eksponentialfunksjonen:
.
Når og er funksjoner av x, så er den deriverte av eksponentialfunksjonen lik summen av de deriverte av sammensatte potens og eksponentialfunksjoner.

Beregning av den deriverte ved reduksjon til en kompleks eksponentiell funksjon

Nå finner vi den deriverte av eksponentialfunksjonen
(2) ,
representerer det som en kompleks eksponentiell funksjon:
(4) .

La oss skille produktet:
.
Vi bruker regelen for å finne den deriverte av en kompleks funksjon:

.
Og vi fikk igjen formelen (1).

Eksempel 1

Finn den deriverte av følgende funksjon:
.

Løsning

Vi regner med den logaritmiske deriverte. Vi tar logaritmen til den opprinnelige funksjonen:
(P1.1) .

Fra tabellen over derivater finner vi:
;
.
I henhold til formelen for derivatet av et produkt har vi:
.
Vi skiller (A1.1):
.
Fordi det
,
deretter
.

Svar

Eksempel 2

Finn den deriverte av en funksjon
.

Løsning

Vi tar logaritmen til den opprinnelige funksjonen:
(P2.1) .