Hvordan finne avstanden mellom et punkt og en linje. Hvordan bestemme den relative plasseringen av to linjer? Ligning av et plan som går gjennom tre gitte punkter

I analytisk geometri er plasseringen av et sett med punkter som tilhører en rett linje i rommet beskrevet av en ligning. For ethvert punkt i rommet som tangerer denne linjen, er det mulig å bestemme en parameter, det som kalles avvik. Hvis det er lik null, ligger punktet på linjen, og enhver annen verdi av avviket, tatt modulo, bestemmer korteste avstand mellom en rett linje og et punkt. Du kan beregne det hvis du kjenner likningen til linjen og koordinatene til punktet.

Instruksjoner

1. For å løse problemet i en generell form, angi koordinatene til punktet som A?(X?;Y?;Z?), koordinatene til punktet nærmest det på linjen som vurderes som A?(X?;Y ?;Z?), og skriv ned likningen til linjen på denne formen: a*X + b*Y + c*Z – d = 0. Du må bestemme lengden på segmentet A?A?, det ene som ligger på linjen vinkelrett på den som er beskrevet av ligningen. Vinkelrett ("typisk") retningsvektor? = (a;b;c) vil bidra til å lage kanoniske ligninger som går gjennom punktene A? og A? rett linje: (X-X?)/a=(Y-Y?)/b=(Z-Z?)/c.

2. Skriv de kanoniske ligningene i parametrisk form (X = a*t+X?, Y = b*t+Y? og Z = c*t+Z?) og finn verdien av parameteren t hvor initialen og perpendikulæren linjer krysser hverandre. For å gjøre dette, sett inn parametriske uttrykk i ligningen til den innledende rette linjen: a*(a*t?+X?) + b*(b*t?+Y?) + c*(c*t?+Z? ) – d = 0. Uttrykk deretter parameteren t fra likheten: t? = (d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c?).

3. Erstatte verdien t oppnådd i forrige trinn? til de definerende koordinatene til punkt A? parametriske ligninger: X? = a*t?+X? = a*((d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c?)) + X?, Y? = b*t?+Y? = b*((d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c?)) + Y? og Z? = c*t?+Z? = c*((d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c?)) + Z?. Nå har du koordinatene til 2 punkter, det gjenstår bare å beregne avstanden de bestemmer (L).

4. For å få den numeriske verdien av avstanden mellom et punkt med kjente koordinater og en rett linje gitt av den berømte ligningen, beregner du de numeriske verdiene til koordinatene til punktet A?(X?;Y?;Z?) ved å bruke formler fra forrige trinn og bytt inn verdiene i denne formelen: L = (a *(X? – X?) + b*(Y? – Y?) + c*(Z? – Z?)) / ( a? + b? + c?) Hvis resultatet må oppnås i en generell form, vil det bli beskrevet med en ganske massiv ligning. Erstatte projeksjonsverdiene til punkt A? på tre koordinatakser ved å bruke likhetene fra forrige trinn og forenkle den resulterende likheten så langt som mulig: L = (a*(X? – X?) + b*(Y? – Y?) + c*(Z? – Z?)) / ( a? + b? + c?) = (a*(X? – a*((d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b ? + c?)) + X?) + b*(Y? – b*((d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c?)) + Y?) + c *(Z? – c*((d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c?)) + Z?)) / (a? + b? + c?) = (a*(2*X? – a*((d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c ?))) + b *(2*Y? – b*((d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c?))) + c* (2*Z? – c*((d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c?)))) / (a? + b? + c ?) = (2* a*X? – a?*((d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c?)) + 2*b* Y – b?* ((d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c?)) + 2*c*Z? – c?*((d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c?))) / (a? + b? + c?)

5. Hvis bare det numeriske resultatet betyr noe, og fremdriften med å løse problemet ikke er signifikant, bruk en online kalkulator, en som er designet spesielt for å beregne avstanden mellom et punkt og en linje i det ortogonale koordinatsystemet til tredimensjonalt rom - http ://ru.onlinemschool.com/math/ assistance/cartesian_coordinate/p_line. Her kan du plassere koordinatene til punktet i de aktuelle feltene, angi likningen til linjen i parametrisk eller kanonisk form, og deretter få resultatet ved å klikke på knappen "Oppdag avstanden fra punktet til linjen".

Video om emnet

Oh-oh-oh-oh-oh... vel, det er tøft, som om han leste opp en setning for seg selv =) Avslapping vil imidlertid hjelpe senere, spesielt siden jeg i dag kjøpte passende tilbehør. Derfor, la oss fortsette til den første delen, jeg håper at jeg ved slutten av artikkelen vil opprettholde et muntert humør.

Den relative plasseringen av to rette linjer

Slik er det når publikum synger med i kor. To rette linjer kan:

1) match;

2) være parallell: ;

3) eller kryss på et enkelt punkt: .

Hjelp til dummies : husk matematisk tegn kryss, vil det forekomme svært ofte. Notasjonen betyr at linjen skjærer linjen ved punkt .

Hvordan bestemme den relative plasseringen av to linjer?

La oss starte med det første tilfellet:

To linjer faller sammen hvis og bare hvis deres tilsvarende koeffisienter er proporsjonale, det vil si at det er et tall «lambda» slik at likestillingene tilfredsstilles

La oss vurdere de rette linjene og lage tre likninger fra de tilsvarende koeffisientene: . Fra hver ligning følger det at derfor disse linjene faller sammen.

Faktisk, hvis alle koeffisientene til ligningen multipliser med –1 (endre fortegn), og alle koeffisientene til ligningen kutt med 2, får du samme ligning:.

Det andre tilfellet, når linjene er parallelle:

To linjer er parallelle hvis og bare hvis koeffisientene til variablene er proporsjonale: , Men.

Som et eksempel, tenk på to rette linjer. Vi sjekker proporsjonaliteten til de tilsvarende koeffisientene for variablene:

Det er imidlertid ganske åpenbart at.

Og det tredje tilfellet, når linjene krysser hverandre:

To linjer krysser hverandre hvis og bare hvis koeffisientene til variablene IKKE er proporsjonale, det vil si at det INGEN slik verdi av «lambda» er at likestillingene er tilfredsstilt

Så for rette linjer vil vi lage et system:

Fra den første ligningen følger det at , og fra den andre ligningen: , som betyr systemet er inkonsekvent(ingen løsninger). Dermed er koeffisientene til variablene ikke proporsjonale.

Konklusjon: linjer krysser hverandre

I praktiske problemer kan du bruke løsningsskjemaet som nettopp er omtalt. Det minner forresten veldig om algoritmen for å sjekke vektorer for kollinearitet, som vi så på i klassen Konseptet med lineær (u)avhengighet av vektorer. Grunnlag for vektorer. Men det er en mer sivilisert innpakning:

Eksempel 1

Finn ut relativ posisjon direkte:

Løsning basert på studiet av retningsvektorer av rette linjer:

a) Fra ligningene finner vi retningsvektorene til linjene: .

, som betyr at vektorene ikke er kollineære og linjene krysser hverandre.

I tilfelle setter jeg en stein med skilt ved veikrysset:

Resten hopper over steinen og følger videre, rett til Kashchei den udødelige =)

b) Finn retningsvektorene til linjene:

Linjene har samme retningsvektor, noe som betyr at de enten er parallelle eller sammenfallende. Det er ikke nødvendig å telle determinanten her.

Det er åpenbart at koeffisientene til de ukjente er proporsjonale, og .

La oss finne ut om likheten er sann:

Slik,

c) Finn retningsvektorene til linjene:

La oss beregne determinanten som består av koordinatene til disse vektorene:
, derfor er retningsvektorene kollineære. Linjene er enten parallelle eller sammenfallende.

Proporsjonalitetskoeffisienten "lambda" er lett å se direkte fra forholdet mellom kollineære retningsvektorer. Imidlertid kan det også bli funnet gjennom koeffisientene til selve ligningene: .

La oss nå finne ut om likheten er sann. Begge gratisvilkårene er null, så:

Den resulterende verdien tilfredsstiller denne ligningen(hvilket som helst tall tilfredsstiller det generelt).

Dermed faller linjene sammen.

Svare:

Svært snart vil du lære (eller til og med allerede har lært) å løse problemet diskutert verbalt bokstavelig talt i løpet av sekunder. I denne forbindelse ser jeg ingen vits i å tilby noe for uavhengig avgjørelse, det er bedre å legge en annen viktig murstein i det geometriske fundamentet:

Hvordan konstruere en linje parallelt med en gitt?

For uvitenhet om dette enkleste oppgaven Nightingale the Robber straffer hardt.

Eksempel 2

Den rette linjen er gitt av ligningen. Skriv en ligning for en parallell linje som går gjennom punktet.

Løsning: La oss betegne den ukjente linjen med bokstaven . Hva sier tilstanden om henne? Den rette linjen går gjennom punktet. Og hvis linjene er parallelle, er det åpenbart at retningsvektoren til den rette linjen "tse" også er egnet for å konstruere den rette linjen "de".

Vi tar retningsvektoren ut av ligningen:

Svare:

Eksempelgeometrien ser enkel ut:

Analytisk testing består av følgende trinn:

1) Vi sjekker at linjene har samme retningsvektor (hvis linjens ligning ikke er riktig forenklet, vil vektorene være kollineære).

2) Sjekk om punktet tilfredsstiller den resulterende ligningen.

I de fleste tilfeller kan analytisk testing enkelt utføres muntlig. Se på de to ligningene, og mange av dere vil raskt bestemme parallelliteten til linjene uten å tegne.

Eksempler på selvstendige løsninger i dag vil være kreative. For du vil fortsatt måtte konkurrere med Baba Yaga, og hun, du vet, elsker alle slags gåter.

Eksempel 3

Skriv en ligning for en linje som går gjennom et punkt parallelt med linjen if

Det er en rasjonell og ikke så rasjonell måte å løse det på. Den korteste veien er på slutten av leksjonen.

Vi jobbet litt med parallelle linjer og kommer tilbake til dem senere. Tilfellet med sammenfallende linjer er av liten interesse, så la oss vurdere et problem som er kjent for deg fra skolepensum:

Hvordan finne skjæringspunktet mellom to linjer?

Hvis rett skjærer punktet , så er koordinatene løsningen systemer av lineære ligninger

Hvordan finne skjæringspunktet mellom linjer? Løs systemet.

Her går du geometrisk betydning systemer på to lineære ligninger med to ukjente- dette er to kryssende (oftest) linjer på et plan.

Eksempel 4

Finn skjæringspunktet mellom linjer

Løsning: Det er to måter å løse - grafisk og analytisk.

Grafisk metode er å ganske enkelt tegne de gitte linjene og finne ut skjæringspunktet direkte fra tegningen:

Her er poenget vårt:. For å sjekke, bør du erstatte dens koordinater i hver ligning på linjen, de skal passe både der og der. Med andre ord er koordinatene til et punkt en løsning på systemet. I hovedsak så vi på en grafisk løsning systemer av lineære ligninger med to ligninger, to ukjente.

Den grafiske metoden er selvfølgelig ikke dårlig, men det er merkbare ulemper. Nei, poenget er ikke at sjuendeklassinger bestemmer seg på denne måten, poenget er at det vil ta tid å lage en korrekt og NØYAKTIG tegning. I tillegg er noen rette linjer ikke så enkle å konstruere, og selve skjæringspunktet kan ligge et sted i det trettiende riket utenfor notatbokarket.

Derfor er det mer hensiktsmessig å søke etter skjæringspunktet ved hjelp av analysemetoden. La oss løse systemet:

For å løse systemet ble metoden med term-for-term addisjon av ligninger brukt. For å utvikle relevante ferdigheter, ta en leksjon Hvordan løser man et ligningssystem?

Svare:

Kontrollen er triviell - koordinatene til skjæringspunktet må tilfredsstille hver likning i systemet.

Eksempel 5

Finn skjæringspunktet for linjene hvis de skjærer hverandre.

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd. Det er praktisk å dele opp oppgaven i flere stadier. Analyse av tilstanden tyder på at det er nødvendig:
1) Skriv ned ligningen til den rette linjen.
2) Skriv ned ligningen til den rette linjen.
3) Finn ut den relative plasseringen av linjene.
4) Hvis linjene skjærer hverandre, finn skjæringspunktet.

Utvikling av en handlingsalgoritme er typisk for mange geometriske problemer, og jeg vil gjentatte ganger fokusere på dette.

Komplett løsning og svaret på slutten av leksjonen:

Ikke engang et par sko var utslitt før vi kom til den andre delen av leksjonen:

Vinkelrette linjer. Avstand fra et punkt til en linje.
Vinkel mellom rette linjer

La oss starte med en typisk og veldig viktig oppgave. I den første delen lærte vi hvordan vi bygger en rett linje parallelt med denne, og nå skal hytta på kyllingbein snu 90 grader:

Hvordan konstruere en linje vinkelrett på en gitt?

Eksempel 6

Den rette linjen er gitt av ligningen. Skriv en likning vinkelrett på linjen som går gjennom punktet.

Løsning: Ved tilstand er det kjent at . Det ville vært fint å finne retningsvektoren til linjen. Siden linjene er vinkelrette, er trikset enkelt:

Fra ligningen "fjerner" vi normalvektoren: , som vil være retningsvektoren til den rette linjen.

La oss komponere ligningen for en rett linje ved hjelp av et punkt og en retningsvektor:

Svare:

La oss utvide den geometriske skissen:

Hmmm... Oransje himmel, oransje hav, oransje kamel.

Analytisk sjekk løsninger:

1) Vi tar ut retningsvektorene fra ligningene og med hjelp skalært produkt av vektorer vi kommer til den konklusjon at linjene faktisk er vinkelrette: .

Du kan forresten bruke vanlige vektorer, det er enda enklere.

2) Sjekk om punktet tilfredsstiller den resulterende ligningen .

Testen er igjen enkel å utføre muntlig.

Eksempel 7

Finn skjæringspunktet for vinkelrette linjer hvis ligningen er kjent og periode.

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd. Det er flere handlinger i problemet, så det er praktisk å formulere løsningen punkt for punkt.

Vår spennende reise fortsetter:

Avstand fra punkt til linje

Vi har en rett elvestripe foran oss og vår oppgave er å komme til den på korteste vei. Det er ingen hindringer, og den mest optimale ruten vil være å bevege seg langs vinkelrett. Det vil si at avstanden fra et punkt til en linje er lengden på det vinkelrette segmentet.

Avstand i geometri er tradisjonelt betegnet med den greske bokstaven "rho", for eksempel: - avstanden fra punktet "em" til den rette linjen "de".

Avstand fra punkt til linje uttrykt med formelen

Eksempel 8

Finn avstanden fra et punkt til en linje

Løsning: alt du trenger å gjøre er å erstatte tallene forsiktig i formelen og utføre beregningene:

Svare:

La oss lage tegningen:

Den funnet avstanden fra punktet til linjen er nøyaktig lengden på det røde segmentet. Hvis du tegner en tegning på rutete papir i en skala på 1 enhet. = 1 cm (2 celler), så kan avstanden måles med en vanlig linjal.

La oss vurdere en annen oppgave basert på samme tegning:

Oppgaven er å finne koordinatene til et punkt som er symmetrisk til punktet i forhold til den rette linjen . Jeg foreslår at du utfører trinnene selv, men jeg vil skissere løsningsalgoritmen med mellomresultater:

1) Finn en linje som er vinkelrett på linjen.

2) Finn skjæringspunktet mellom linjene: .

Begge handlingene diskuteres i detalj i denne leksjonen.

3) Punktet er midtpunktet i segmentet. Vi kjenner koordinatene til midten og en av endene. Ved formler for koordinatene til midtpunktet i et segment finner vi.

Det vil være lurt å sjekke at avstanden også er 2,2 enheter.

Det kan oppstå vanskeligheter med beregninger her, men en mikrokalkulator er til stor hjelp i tårnet, slik at du kan beregne vanlige brøker. Jeg har gitt deg råd mange ganger og vil anbefale deg igjen.

Hvordan finne avstanden mellom to parallelle linjer?

Eksempel 9

Finn avstanden mellom to parallelle linjer

Dette er et annet eksempel for deg å bestemme selv. Jeg skal gi deg et lite hint: det er uendelig mange måter å løse dette på. Debriefing på slutten av leksjonen, men det er bedre å prøve å gjette selv, jeg tror oppfinnsomheten din var godt utviklet.

Vinkel mellom to rette linjer

Hvert hjørne er en jamb:


I geometri er vinkelen mellom to rette linjer tatt for å være den MINDRE vinkelen, hvorav det automatisk følger at den ikke kan være stump. På figuren regnes ikke vinkelen angitt av den røde buen som vinkelen mellom kryssende linjer. Og hans "grønne" nabo eller motsatt orientert"bringebær" hjørne.

Hvis linjene er vinkelrette, kan en hvilken som helst av de 4 vinklene tas som vinkelen mellom dem.

Hvordan er vinklene forskjellige? Orientering. For det første er retningen som vinkelen "rulles" i grunnleggende viktig. For det andre skrives en negativt orientert vinkel med et minustegn, for eksempel hvis .

Hvorfor fortalte jeg deg dette? Det ser ut til at vi kan klare oss med det vanlige konseptet med en vinkel. Faktum er at i formlene som vi vil finne vinkler, kan det lett vise seg negativt resultat, og det burde ikke overraske deg. En vinkel med et minustegn er ikke verre, og har en veldig spesifikk geometrisk betydning. På tegningen for negativ vinkel Sørg for å angi orienteringen med en pil (med klokken).

Hvordan finne vinkelen mellom to rette linjer? Det er to arbeidsformler:

Eksempel 10

Finn vinkelen mellom linjene

Løsning Og Metode én

La oss vurdere to rette linjer definert av ligninger i generell form:

Hvis rett ikke vinkelrett, Det orientert Vinkelen mellom dem kan beregnes ved hjelp av formelen:

De fleste nøye oppmerksomhet la oss snu det til nevneren - dette er nøyaktig prikkprodukt retningsvektorer av rette linjer:

Hvis , så blir nevneren til formelen null, og vektorene vil være ortogonale og linjene vil være vinkelrette. Det er derfor tatt forbehold om at rette linjer ikke er vinkelrett i formuleringen.

Basert på ovenstående er det praktisk å formalisere løsningen i to trinn:

1) La oss beregne skalarproduktet av retningsvektorene til linjene:
, som betyr at linjene ikke er vinkelrette.

2) Finn vinkelen mellom rette linjer ved å bruke formelen:

Ved å bruke invers funksjon Det er lett å finne selve hjørnet. I dette tilfellet bruker vi rartheten til arctangensen (se. Grafer og egenskaper til elementære funksjoner):

Svare:

I svaret angir vi den nøyaktige verdien, samt en omtrentlig verdi (fortrinnsvis i både grader og radianer), beregnet ved hjelp av en kalkulator.

Vel, minus, minus, ingen big deal. Her er en geometrisk illustrasjon:

Det er ikke overraskende at vinkelen viste seg å ha en negativ orientering, for i problemformuleringen er det første tallet en rett linje og "avskruingen" av vinkelen begynte nøyaktig med den.

Hvis du virkelig ønsker å få en positiv vinkel, må du bytte linjene, det vil si ta koeffisientene fra den andre ligningen , og ta koeffisientene fra den første ligningen. Kort sagt, du må begynne med en direkte .

Avstanden fra et punkt til en linje er lengden på vinkelrett tegnet fra punktet til linjen. I beskrivende geometri det er bestemt grafisk i henhold til algoritmen nedenfor.

Algoritme

1. Den rette linjen flyttes til en posisjon der den vil være parallell med et hvilket som helst projeksjonsplan. Til dette formål brukes metoder for å transformere ortogonale projeksjoner.
2. Fra et punkt trekkes en perpendikulær til en linje. I kjernen av denne konstruksjonen ligger teoremet om projeksjonen av en rett vinkel.
3. Lengden på en perpendikulær bestemmes ved å transformere projeksjonene eller ved å bruke den rette trekantmetoden.

Følgende figur viser en kompleks tegning av punkt M og rett linje b, gitt av et segment CD. Du må finne avstanden mellom dem.

I følge vår algoritme er den første tingen å gjøre å flytte den rette linjen til posisjonen parallelt med flyet projeksjoner. Det er viktig å forstå at etter at transformasjonene er utført, skal den faktiske avstanden mellom punktet og linjen ikke endres. Derfor er det praktisk her å bruke flyerstatningsmetoden, som ikke involverer å flytte figurer i rommet.

Resultatene av første byggetrinn er vist nedenfor. Figuren viser hvordan et ekstra frontalplan P 4 introduseres parallelt med b. I nytt system(P 1, P 4) punktene C"" 1, D"" 1, M"" 1 er i samme avstand fra X-aksen 1 som C", D"", M"" fra X-aksen.

Ved å utføre den andre delen av algoritmen, fra M"" 1 senker vi den perpendikulære M"" 1 N"" 1 til den rette linjen b"" 1, siden den rette vinkelen MND mellom b og MN projiseres på planet P 4 i full størrelse. Ved hjelp av kommunikasjonslinjen bestemmer vi posisjonen til punktet N" og utfører projeksjonen M"N" av segmentet MN.

På siste trinn du må bestemme størrelsen på segmentet MN fra projeksjonene M"N" og M"" 1 N"" 1. For dette bygger vi rettvinklet trekant M"" 1 N"" 1 N 0, hvis ben N"" 1 N 0 er lik forskjellen (Y M 1 – Y N 1) av avstanden mellom punktene M" og N" fra X 1-aksen. Lengden på hypotenusen M"" 1 N 0 til trekanten M"" 1 N"" 1 N 0 tilsvarer ønsket avstand fra M til b.

Andre løsning

• Parallelt med CD introduserer vi et nytt frontalplan P 4. Den skjærer P 1 langs X 1-aksen, og X 1 ∥C"D". I samsvar med metoden for å erstatte fly, bestemmer vi projeksjonene av punktene C"" 1, D"" 1 og M"" 1, som vist på figuren.
• Vinkelrett på C"" 1 D"" 1 bygger vi en ekstra horisontalt plan P 5 som rett linje b projiseres på til punktet C" 2 = b" 2.
• Avstanden mellom punkt M og linje b bestemmes av lengden på segmentet M" 2 C" 2, angitt med rødt.

Lignende oppgaver:

Å opprettholde personvernet ditt er viktig for oss. Av denne grunn har vi utviklet en personvernerklæring som beskriver hvordan vi bruker og lagrer informasjonen din. Se gjennom vår personvernpraksis og gi oss beskjed hvis du har spørsmål.

Innsamling og bruk av personopplysninger

Personopplysninger refererer til data som kan brukes til å identifisere eller kontakte en bestemt person.

Du kan bli bedt om å oppgi din personlige informasjon når som helst når du kontakter oss.

Nedenfor er noen eksempler på hvilke typer personopplysninger vi kan samle inn og hvordan vi kan bruke slik informasjon.

Hvilken personlig informasjon samler vi inn:

• Når du sender inn en søknad på nettstedet, kan vi samle inn ulike opplysninger, inkludert navn, telefonnummer, adresse e-post osv.

Hvordan vi bruker dine personopplysninger:

• Samlet av oss personlig informasjon lar oss kontakte deg og informere deg om unike tilbud, kampanjer og andre arrangementer og kommende arrangementer.
• Fra tid til annen kan vi bruke din personlige informasjon til å sende viktige meldinger og kommunikasjoner.
• Vi kan også bruke personopplysninger til interne formål, som å gjennomføre revisjoner, dataanalyser og ulike undersøkelser for å forbedre tjenestene vi leverer og gi deg anbefalinger angående våre tjenester.
• Hvis du deltar i en premietrekning, konkurranse eller lignende kampanje, kan vi bruke informasjonen du gir til å administrere slike programmer.

Utlevering av informasjon til tredjeparter

Vi utleverer ikke informasjonen mottatt fra deg til tredjeparter.

Unntak:

• Om nødvendig, i samsvar med loven, rettslig prosedyre, i rettslige prosesser, og/eller basert på offentlige henvendelser eller forespørsler fra offentlige etater på den russiske føderasjonens territorium - oppgi din personlige informasjon. Vi kan også avsløre informasjon om deg hvis vi fastslår at slik avsløring er nødvendig eller hensiktsmessig for sikkerhet, rettshåndhevelse eller andre offentlige viktige formål.
• I tilfelle en omorganisering, fusjon eller salg, kan vi overføre personopplysningene vi samler inn til gjeldende etterfølger tredjepart.

Beskyttelse av personopplysninger

Vi tar forholdsregler - inkludert administrative, tekniske og fysiske - for å beskytte din personlige informasjon mot tap, tyveri og misbruk, samt uautorisert tilgang, avsløring, endring og ødeleggelse.

Respekter ditt privatliv på bedriftsnivå

For å sikre at din personlige informasjon er sikker, kommuniserer vi personvern- og sikkerhetsstandarder til våre ansatte og håndhever strengt personvernpraksis.

Denne artikkelen snakker om emnet « avstand fra et punkt til en linje », Diskuterer definisjonen av avstanden fra et punkt til en linje med illustrerte eksempler ved bruk av koordinatmetoden. Hver teoriblokk på slutten har vist eksempler på å løse lignende problemer.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Avstanden fra et punkt til en linje finner man ved å bestemme avstanden fra punkt til punkt. La oss ta en nærmere titt.

La det være en linje a og et punkt M 1 som ikke hører til den gitte linjen. Gjennom den tegner vi en rett linje b, plassert vinkelrett på den rette linjen a. La oss ta skjæringspunktet for linjene som H 1. Vi får at M 1 H 1 er en perpendikulær som ble senket fra punkt M 1 til rett linje a.

Definisjon 1

Avstand fra punkt M 1 til rett linje a kalles avstanden mellom punktene M 1 og H 1.

Det finnes definisjoner som inkluderer lengden på perpendikulæren.

Definisjon 2

Avstand fra punkt til linje er lengden på perpendikulæren trukket fra et gitt punkt til en gitt linje.

Definisjonene er likeverdige. Tenk på figuren nedenfor.

Det er kjent at avstanden fra et punkt til en linje er den minste av alle mulige. La oss se på dette med et eksempel.

Hvis vi tar et punkt Q som ligger på en rett linje a, som ikke sammenfaller med punktet M 1, så får vi at segmentet M 1 Q kalles et skråsegment, senket fra M 1 til en rett linje a. Det er nødvendig å indikere at perpendikulæren fra punkt M 1 er mindre enn noen annen skrå linje trukket fra punktet til den rette linjen.

For å bevise dette, betrakt trekanten M 1 Q 1 H 1, der M 1 Q 1 er hypotenusen. Det er kjent at lengden alltid er større enn lengden på noen av bena. Dette betyr at vi har den M 1 H 1< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

De første dataene for å finne fra et punkt til en linje lar deg bruke flere løsningsmetoder: gjennom Pythagoras teorem, bestemmelse av sinus, cosinus, tangens til en vinkel og andre. De fleste oppgaver av denne typen løses på skolen i geometritimene.

Når det, når man skal finne avstanden fra et punkt til en linje, er mulig å innføre et rektangulært koordinatsystem, brukes koordinatmetoden. I på dette tidspunktet La oss vurdere to hovedmetoder for å finne den nødvendige avstanden fra et gitt punkt.

Den første metoden innebærer å søke etter avstanden som en vinkelrett trukket fra M 1 til rett linje a. Den andre metoden bruker normal ligning rett linje a for å finne den nødvendige avstanden.

Hvis det er et punkt på planet med koordinatene M 1 (x 1, y 1), plassert ved rektangulært system koordinater, rett linje a, og det er nødvendig å finne avstanden M 1 H 1, kan beregningen gjøres på to måter. La oss se på dem.

Første vei

Hvis det er koordinater til punktet H 1 lik x 2, y 2, beregnes avstanden fra punktet til linjen ved å bruke koordinatene fra formelen M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

La oss nå gå videre til å finne koordinatene til punkt H 1.

Det er kjent at en rett linje i O x y tilsvarer ligningen til en rett linje på planet. La oss ta metoden for å definere en rett linje a ved å skrive en generell likning av en rett linje eller en likning med en vinkelkoeffisient. Vi komponerer likningen av en rett linje som går gjennom punktet M 1 vinkelrett på en gitt rett linje a. La oss betegne den rette linjen med bokstaven b. H 1 er skjæringspunktet mellom linjene a og b, som betyr å bestemme koordinatene du trenger for å bruke artikkelen der vi snakker om om koordinatene til skjæringspunktene til to linjer.

Det kan sees at algoritmen for å finne avstanden fra et gitt punkt M 1 (x 1, y 1) til rett linje a utføres i henhold til punktene:

Definisjon 3

• finne den generelle ligningen for en rett linje a, med formen A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, eller en ligning med en vinkelkoeffisient, med formen y = k 1 x + b 1;
• oppnå en generell likning av linje b, med formen A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 eller en likning med en vinkelkoeffisient y = k 2 x + b 2, hvis linjen b skjærer punktet M 1 og er vinkelrett på en gitt linje a;
• bestemmelse av koordinatene x 2, y 2 til punktet H 1, som er skjæringspunktet til a og b, for dette formål løses systemet med lineære ligninger A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 eller y = k 1 x + b 1 y = k 2 x + b 2;
• beregne den nødvendige avstanden fra et punkt til en linje ved å bruke formelen M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

Andre vei

Teoremet kan bidra til å svare på spørsmålet om å finne avstanden fra et gitt punkt til en gitt rett linje på et plan.

Teorem

Det rektangulære koordinatsystemet har O x y har et punkt M 1 (x 1, y 1), hvorfra det trekkes en rett linje til planet, gitt av normalligningen til planet, med formen cos α x + cos β y - p = 0, lik Den absolutte verdien oppnådd på venstre side av normalligningen til linjen, beregnet ved x = x 1, y = y 1, betyr at M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - s.

Bevis

Linje a tilsvarer normalligningen til planet, som har formen cos α x + cos β y - p = 0, da regnes n → = (cos α, cos β) normal vektor linje a i avstand fra origo til linje a med p enheter. Det er nødvendig å vise alle dataene i figuren, legg til et punkt med koordinatene M 1 (x 1, y 1), hvor radiusvektoren til punktet M 1 - O M 1 → = (x 1, y 1). Det er nødvendig å tegne en rett linje fra et punkt til en rett linje, som vi betegner som M 1 H 1 . Det er nødvendig å vise projeksjonene M 2 og H 2 av punktene M 1 og H 2 på en rett linje som går gjennom punktet O med en retningsvektor på formen n → = (cos α, cos β), og angi numerisk projeksjon av vektoren som O M 1 → = (x 1, y 1) til retningen n → = (cos α , cos β) som n p n → O M 1 → .

Variasjonene avhenger av plasseringen av selve M1-punktet. La oss se på figuren nedenfor.

Vi fikser resultatene ved å bruke formelen M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - p. Så bringer vi likheten til denne formen M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p for å få n p n → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 .

Prikk produkt vektorer resulterer i en transformert formel av formen n → , O M → 1 = n → · n p n → O M 1 → = 1 · n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → , som er et produkt i koordinatform av formen n → , O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Dette betyr at vi får at n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Det følger at M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p. Teoremet er bevist.

Vi finner ut at for å finne avstanden fra punkt M 1 (x 1 , y 1) til rett linje a på planet, må du utføre flere handlinger:

Definisjon 4

• å oppnå normalligningen til den rette linjen a cos α · x + cos β · y - p = 0, forutsatt at den ikke er i oppgaven;
• beregning av uttrykket cos α · x 1 + cos β · y 1 - p, hvor den resulterende verdien tar M 1 H 1.

La oss bruke disse metodene for å løse problemer med å finne avstanden fra et punkt til et plan.

Eksempel 1

Finn avstanden fra punktet med koordinatene M 1 (- 1, 2) til den rette linjen 4 x - 3 y + 35 = 0.

Løsning

La oss bruke den første metoden for å løse.

For å gjøre dette er det nødvendig å finne den generelle ligningen til linjen b, som går gjennom et gitt punkt M 1 (- 1, 2), vinkelrett på linjen 4 x - 3 y + 35 = 0. Fra betingelsen er det klart at linje b er vinkelrett på linje a, så har retningsvektoren koordinater lik (4, - 3). Dermed har vi mulighet til å skrive ned den kanoniske ligningen til linje b på planet, siden det er koordinater til punktet M 1, som tilhører linje b. La oss bestemme koordinatene til retningsvektoren til den rette linjen b. Vi får at x - (- 1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3. Den resulterende kanoniske ligningen må konverteres til en generell. Da får vi det

x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 · (x + 1) = 4 · (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0

La oss finne koordinatene til skjæringspunktene til linjene, som vi vil ta som betegnelsen H 1. Transformasjonene ser slik ut:

4 x - 3 y + 35 = 0 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 3 4 y - 35 4 + 4 y - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 y - 35 4 y = 5 ⇔ x = 3 4 5 - 35 4 y = 5 ⇔ x = - 5 y = 5

Fra det som er skrevet ovenfor har vi at koordinatene til punktet H 1 er lik (- 5; 5).

Det er nødvendig å beregne avstanden fra punkt M 1 til rett linje a. Vi har at koordinatene til punktene M 1 (- 1, 2) og H 1 (- 5, 5), så setter vi dem inn i formelen for å finne avstanden og få det

M 1 H 1 = (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 = 25 = 5

Andre løsning.

For å løse på en annen måte er det nødvendig å få linjens normale ligning. Vi beregner verdien av normaliseringsfaktoren og multipliserer begge sider av ligningen 4 x - 3 y + 35 = 0. Herfra får vi at normaliseringsfaktoren er lik - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5, og normalligningen vil ha formen - 1 5 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 0 ⇔ - 4 5 x + 3 5 y - 7 = 0 .

I henhold til beregningsalgoritmen er det nødvendig å få den normale ligningen til linjen og beregne den med verdiene x = - 1, y = 2. Da får vi det

4 5 · - 1 + 3 5 · 2 - 7 = - 5

Fra dette får vi at avstanden fra punktet M 1 (- 1, 2) til den gitte rette linjen 4 x - 3 y + 35 = 0 har verdien - 5 = 5.

Svare: 5 .

Det er klart at i denne metoden Det er viktig å bruke normalligningen til en linje, siden denne metoden er den korteste. Men den første metoden er praktisk fordi den er konsistent og logisk, selv om den har flere beregningspunkter.

Eksempel 2

På planet er det et rektangulært koordinatsystem O x y med punktet M 1 (8, 0) og rett linje y = 1 2 x + 1. Finn avstanden fra et gitt punkt til en rett linje.

Løsning

Den første løsningen innebærer støping gitt ligning med helningen til ligningen generelt syn. For å forenkle ting kan du gjøre det annerledes.

Hvis produktet av vinkelkoeffisientene til vinkelrette rette linjer har en verdi på - 1, så skråning linje vinkelrett på den gitte y = 1 2 x + 1 har verdien 2. Nå får vi ligningen til en linje som går gjennom et punkt med koordinatene M 1 (8, 0). Vi har at y - 0 = - 2 · (x - 8) ⇔ y = - 2 x + 16 .

Vi fortsetter med å finne koordinatene til punktet H 1, det vil si skjæringspunktene y = - 2 x + 16 og y = 1 2 x + 1. Vi lager et ligningssystem og får:

y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 · 6 + 1 x = 6 = y = 4 x = 6 ⇒ H 1 (6, 4)

Det følger at avstanden fra punktet med koordinatene M 1 (8, 0) til den rette linjen y = 1 2 x + 1 er lik avstanden fra startpunktet og sluttpunktet med koordinatene M 1 (8, 0) og Hl (6, 4). La oss regne ut og finne at M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5.

Løsningen på den andre måten er å gå fra en likning med en koeffisient til sin normale form. Det vil si at vi får y = 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 = 0, da vil verdien av normaliseringsfaktoren være - 1 1 2 2 + (- 1) 2 = - 2 5. Det følger at normalligningen til linjen har formen - 2 5 1 2 x - y + 1 = - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0. La oss utføre beregningen fra punktet M 1 8, 0 til en rett linje av formen - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0. Vi får:

M 1 H 1 = - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 = - 10 5 = 2 5

Svare: 2 5 .

Eksempel 3

Det er nødvendig å beregne avstanden fra punktet med koordinatene M 1 (- 2, 4) til linjene 2 x - 3 = 0 og y + 1 = 0.

Løsning

Vi får ligningen for normalformen til den rette linjen 2 x - 3 = 0:

2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 2 x - 3 = 1 2 0 ⇔ x - 3 2 = 0

Deretter fortsetter vi med å beregne avstanden fra punktet M 1 - 2, 4 til den rette linjen x - 3 2 = 0. Vi får:

M 1 H 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2

Ligningen til den rette linjen y + 1 = 0 har en normaliseringsfaktor med en verdi lik -1. Dette betyr at ligningen vil ha formen - y - 1 = 0. Vi fortsetter med å beregne avstanden fra punktet M 1 (- 2, 4) til den rette linjen - y - 1 = 0. Vi finner at det er lik - 4 - 1 = 5.

Svare: 3 1 2 og 5.

La oss se nærmere på å finne avstanden fra et gitt punkt på flyet til koordinatakser O x og O y.

I et rektangulært koordinatsystem har O-aksen y en likning av en rett linje, som er ufullstendig og har formen x = 0, og O x - y = 0. Likningene er normale for koordinataksene, da er det nødvendig å finne avstanden fra punktet med koordinatene M 1 x 1, y 1 til linjene. Dette gjøres basert på formlene M 1 H 1 = x 1 og M 1 H 1 = y 1. La oss se på figuren nedenfor.

Eksempel 4

Finn avstanden fra punktet M 1 (6, - 7) til koordinatlinjene som ligger i O x y-planet.

Løsning

Siden ligningen y = 0 relaterer seg til linjen O x, kan vi finne avstanden fra M 1 s gitte koordinater, til denne rette linjen ved hjelp av formelen. Vi får at 6 = 6.

Siden ligningen x = 0 refererer til den rette linjen O y, kan du finne avstanden fra M 1 til denne rette linjen ved hjelp av formelen. Da får vi det - 7 = 7.

Svare: avstanden fra M 1 til O x har en verdi på 6, og fra M 1 til O y har en verdi på 7.

Når du er inne tredimensjonalt rom vi har et punkt med koordinatene M 1 (x 1, y 1, z 1), det er nødvendig å finne avstanden fra punkt A til rett linje a.

La oss vurdere to metoder som lar deg beregne avstanden fra et punkt til en rett linje i rommet. Det første tilfellet tar for seg avstanden fra punkt M 1 til en linje, der et punkt på linjen kalles H 1 og er bunnen av en perpendikulær trukket fra punkt M 1 til linje a. Det andre tilfellet antyder at punktene til dette planet må søkes som høyden på parallellogrammet.

Første vei

Fra definisjonen har vi at avstanden fra punktet M 1 som ligger på rett linje a er lengden av perpendikulæren M 1 H 1 , så får vi det med de funnet koordinatene til punktet H 1 , så finner vi avstanden mellom M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) og H 1 (x 1 , y 1 , z 1), basert på formelen M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2.

Vi finner at hele løsningen går mot å finne koordinatene til grunnflaten til perpendikulæren trukket fra M 1 til den rette linjen a. Dette gjøres på følgende måte: H 1 er punktet der den rette linjen a skjærer planet som går gjennom det gitte punktet.

Dette betyr at algoritmen for å bestemme avstanden fra punkt M 1 (x 1, y 1, z 1) til linje a i rommet innebærer flere punkter:

Definisjon 5

• tegne opp likningen til planet χ som en likning av planet som går gjennom et gitt punkt plassert vinkelrett på linjen;
• bestemmelse av koordinatene (x 2, y 2, z 2) som tilhører punktet H 1, som er skjæringspunktet mellom rett linje a og planet χ;
• å beregne avstanden fra et punkt til en linje ved å bruke formelen M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2.

Andre vei

Fra betingelsen har vi en rett linje a, så kan vi bestemme retningsvektoren a → = a x, a y, a z med koordinatene x 3, y 3, z 3 og bestemt punkt M 3 tilhørende linje a. Hvis du har koordinatene til punktene M 1 (x 1, y 1) og M 3 x 3, y 3, z 3, kan du beregne M 3 M 1 →:

M 3 M 1 → = (x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3)

Vi bør sette til side vektorene a → = a x , a y , a z og M 3 M 1 → = x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3 fra punktet M 3 , koble dem sammen og få et parallellogram figur. M 1 H 1 er høyden på parallellogrammet.

La oss se på figuren nedenfor.

Vi har at høyden M 1 H 1 er den nødvendige avstanden, da er det nødvendig å finne den ved hjelp av formelen. Det vil si at vi ser etter M 1 H 1.

La oss betegne arealet av parallellogrammet med bokstaven S, funnet av formelen ved å bruke vektoren a → = (a x, a y, a z) og M 3 M 1 → = x 1 - x 3. y 1 - y 3, z 1 - z 3. Arealformelen er S = a → × M 3 M 1 → . Dessuten er arealet av figuren lik produktet av lengdene på sidene og høyden, vi får at S = a → · M 1 H 1 med a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 , som er lengden av vektoren a → = (a x , a y , a z) , værende lik side parallellogram. Dette betyr at M 1 H 1 er avstanden fra punktet til linjen. Den er funnet ved å bruke formelen M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

For å finne avstanden fra et punkt med koordinatene M 1 (x 1, y 1, z 1) til en rett linje a i rommet, må du utføre flere trinn i algoritmen:

Definisjon 6

• bestemmelse av retningsvektoren til den rette linjen a - a → = (a x, a y, a z);
• å beregne lengden av retningsvektoren a → = a x 2 + a y 2 + a z 2;
• oppnå koordinater x 3 , y 3 , z 3 som tilhører punktet M 3 plassert på rett linje a;
• å beregne koordinatene til vektoren M 3 M 1 → ;
• finne vektorproduktet av vektorene a → (a x , a y , a z) og M 3 M 1 → = x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3 som en → × M 3 M 1 → = i → j → k → a x a y a z x 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 for å oppnå lengden ved å bruke formelen a → × M 3 M 1 → ;
• beregne avstanden fra et punkt til en linje M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Løse problemer med å finne avstanden fra et gitt punkt til en gitt linje i rommet

Eksempel 5

Finn avstanden fra punktet med koordinatene M 1 2, - 4, - 1 til linjen x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5.

Løsning

Den første metoden begynner med å skrive likningen til planet χ som går gjennom M 1 og vinkelrett på et gitt punkt. Vi får et uttrykk som:

2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

Det er nødvendig å finne koordinatene til punktet H 1, som er skjæringspunktet med χ-planet til linjen spesifisert av betingelsen. Du bør flytte fra den kanoniske visningen til den kryssende. Da får vi et likningssystem av formen:

x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 · (x + 1) = 2 · y 5 · (x + 1) = 2 · (z + 5) 5 · y = - 1 · (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Det er nødvendig å beregne systemet x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3 ved Cramers metode, så får vi det:

∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ 0 ∆ 60 = 0

Herfra har vi at H 1 (1, - 1, 0).

M 1 H 1 = 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 = 11

Den andre metoden er å starte med å søke etter koordinater i kanonisk ligning. For å gjøre dette, må du ta hensyn til nevnerne til brøken. Da er a → = 2, - 1, 5 retningsvektoren til linjen x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5. Det er nødvendig å beregne lengden ved å bruke formelen a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30.

Det er tydelig at den rette linjen x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 skjærer punktet M 3 (- 1 , 0 , - 5), derfor har vi at vektoren med origo M 3 (- 1 , 0 , - 5) og dens ende ved punktet M 1 2, - 4, - 1 er M 3 M 1 → = 3, - 4, 4. Finn vektorproduktet a → = (2, - 1, 5) og M 3 M 1 → = (3, - 4, 4).

Vi får et uttrykk for formen a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 · j → = 16 · i → + 7 · j → - 5 · k →

vi finner at lengden på vektorproduktet er lik a → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330.

Vi har alle dataene for å bruke formelen for å beregne avstanden fra et punkt for en rett linje, så la oss bruke den og få:

M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → = 330 30 = 11

Svare: 11 .

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter