Hvordan finne y i en funksjon. Ytterligere begrensninger på omfanget av en funksjon

I matematikk uendelig sett funksjoner. Og hver har sin egen karakter.) For å jobbe med en lang rekke funksjoner trenger du enkelt nærme. Ellers, hva slags matematikk er dette?!) Og det er en slik tilnærming!

Når vi jobber med en hvilken som helst funksjon, presenterer vi den med et standard sett med spørsmål. Og den første, den mest viktig spørsmål- Dette definisjonsdomene for funksjonen. Dette området kalles noen ganger et sett akseptable verdier argument, funksjonsspesifikasjonsområde osv.

Hva er domenet til en funksjon? Hvordan finne den? Disse spørsmålene virker ofte komplekse og uforståelige... Selv om alt faktisk er ekstremt enkelt. Du kan se selv ved å lese denne siden. La oss gå?)

Vel, hva kan jeg si... Bare respekt.) Ja! Det naturlige domenet til en funksjon (som diskuteres her) kamper med ODZ av uttrykk inkludert i funksjonen. Følgelig blir de ransaket etter de samme reglene.

La oss nå se på et ikke helt naturlig definisjonsdomene.)

Ytterligere begrensninger på omfanget av en funksjon.

Her vil vi snakke om begrensningene som pålegges av oppgaven. De. Oppgaven inneholder noen tilleggsbetingelser som kompilatoren kom opp med. Eller begrensningene kommer ut av selve metoden for å definere funksjonen.

Når det gjelder begrensningene i oppgaven, er alt enkelt. Vanligvis er det ikke nødvendig å lete etter noe, alt er allerede sagt i oppgaven. La meg minne deg på at begrensningene skrevet av forfatteren av oppgaven ikke kansellerer grunnleggende begrensninger i matematikk. Du trenger bare å huske å ta hensyn til betingelsene for oppgaven.

For eksempel denne oppgaven:

Finn domenet til en funksjon:

på settet med positive tall.

Vi fant det naturlige definisjonsdomenet til denne funksjonen ovenfor. Dette området:

D(f)=( -∞ ; -1) ∪ (-1; 2] ∪ ∪

I den verbale metoden for å spesifisere en funksjon, må du lese betingelsen nøye og finne restriksjoner på X-ene der. Noen ganger ser øynene etter formler, men ordene suser forbi bevisstheten ja...) Eksempel fra forrige leksjon:

Funksjonen spesifiseres av betingelsen: hver verdi av det naturlige argumentet x er assosiert med summen av sifrene som utgjør verdien av x.

Det skal bemerkes her at vi snakker bare om naturverdiene til X. Da D(f)øyeblikkelig registrert:

D(f): x ∈ N

Som du kan se, er ikke domenet til en funksjon et så komplisert konsept. Å finne denne regionen kommer ned til å undersøke funksjonen, skrive et system med ulikheter og løse dette systemet. Selvfølgelig finnes det alle slags systemer, enkle og komplekse. Men...

Jeg åpner den liten hemmelighet. Noen ganger ser en funksjon du trenger for å finne definisjonsdomenet rett og slett skremmende ut. Jeg vil bli blek og gråte.) Men så snart jeg skriver ned systemet med ulikheter... Og plutselig viser det seg at systemet er elementært! Dessuten, jo mer forferdelig funksjonen er, jo enklere er systemet...

Moral: øynene frykter, hodet bestemmer!)

En funksjon er en modell. La oss definere X som et sett med verdier av en uavhengig variabel // uavhengig betyr enhver.

En funksjon er en regel ved hjelp av hvilken man for hver verdi av en uavhengig variabel fra settet X kan finne en unik verdi av den avhengige variabelen. // dvs. for hver x er det ett y.

Av definisjonen følger det at det er to konsepter - uavhengige en variabel (som vi betegner som x og kan ta hvilken som helst verdi) og en avhengig variabel (som vi betegner som y eller f(x) og beregnes fra funksjonen når vi erstatter x).

FOR EKSEMPEL y=5+x

1. Uavhengig er x, som betyr at vi tar hvilken som helst verdi, la x=3

2. La oss nå beregne y, som betyr y=5+x=5+3=8. (y avhenger av x, for uansett hvilken x vi erstatter, får vi samme y)

Variabelen y sies å være funksjonelt avhengig av variabelen x og betegnes som følger: y = f (x).

FOR EKSEMPEL.

1.y=1/x. (kalt hyperbole)

2. y=x^2. (kalt parabel)

3.y=3x+7. (kalt rett linje)

4. y= √ x. (kalt parabelgren)

Den uavhengige variabelen (som vi betegner med x) kalles funksjonsargumentet.

Funksjon Domene

Settet med alle verdier som et funksjonsargument tar kalles funksjonens domene og er betegnet D(f) eller D(y).

Betrakt D(y) for 1.,2.,3.,4.

1. D (у)= (∞; 0) og (0;+∞) //hele settet reelle tall, bortsett fra null.

2. D (y)= (∞; +∞)//alle antall reelle tall

3. D (y)= (∞; +∞)//alle antall reelle tall

4. D (y) = .

Til slutt, hvis en kombinasjon av forskjellige funksjoner er gitt, er definisjonsdomenet skjæringspunktet mellom definisjonsdomenene til alle disse funksjonene. For eksempel, y=sin(2*x)+x/√(x+2)+arcsin(x−6)+log(x−6). Finn først definisjonsdomenet for alle begreper. Sin(2*x) er definert på hele tallinjen. For funksjonen x/√(x+2), løs ulikheten x+2>0 og definisjonsdomenet vil være (-2; +∞). Definisjonsdomenet til funksjonen arcsin(x−6) er gitt av dobbel ulikhet-1≤x-6≤1, det vil si at det resulterende segmentet er . For logaritmen gjelder ulikheten x−6>0, og dette er intervallet (6; +∞). Dermed vil definisjonsdomenet til funksjonen være mengden (-∞; +∞)∩(-2; +∞)∩∩(6; +∞), det vil si (6; 7].

Video om emnet

Kilder:

• domene til en funksjon med logaritme

En funksjon er et konsept som gjenspeiler forholdet mellom elementer i sett, eller med andre ord, det er en "lov" i henhold til at hvert element i ett sett (kalt definisjonsdomene) er assosiert med et element i et annet sett (kalt verdidomenet).

Først, la oss lære hvordan du finner definisjonsdomene for summen av funksjoner. Det er klart at en slik funksjon gir mening for alle slike verdier av variabelen som alle funksjonene som utgjør summen gir mening for. Derfor er det ingen tvil om gyldigheten av følgende utsagn:

Hvis en funksjon f er summen av n funksjoner f 1, f 2, …, f n, det vil si at funksjonen f er gitt av formelen y=f 1 (x)+f 2 (x)+…+f n (x ), så er definisjonsdomenet til funksjonen f skjæringspunktet mellom definisjonsdomenene til funksjonene f 1, f 2, ..., f n. La oss skrive dette som .

La oss godta å fortsette å bruke oppføringer som ligner på den forrige, som vi mener skrevet innenfor en krøllete klammeparentes, eller samtidig oppfyllelse av eventuelle betingelser. Dette er praktisk og stemmer helt naturlig med meningen med systemene.

Eksempel.

Funksjonen y=x 7 +x+5+tgx er gitt, og vi må finne dens definisjonsdomene.

Løsning.

Funksjonen f er representert ved summen av fire funksjoner: f 1 - potensfunksjon med eksponent 7, f 2 - potensfunksjon med eksponent 1, f 3 - konstant funksjon og f 4 - tangentfunksjon.

Ser på tabellen over områder for å definere det viktigste elementære funksjoner, finner vi at D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=(−∞, +∞) , D(f 3)=(−∞, +∞) , og domenet til definisjon av tangenten er mengden av alle reelle tall unntatt tall .

Definisjonsdomenet til funksjonen f er skjæringspunktet mellom definisjonsdomenene til funksjonene f 1, f 2, f 3 og f 4. Det er ganske åpenbart at dette er settet av alle reelle tall, med unntak av tallene .

Svare:

settet med alle reelle tall unntatt .

La oss gå videre til å finne definisjonsdomene for et produkt av funksjoner. For dette tilfellet gjelder en lignende regel:

Hvis funksjonen f er produktet av n funksjoner f 1, f 2, ..., f n, det vil si at funksjonen f er gitt av formelen y=f 1 (x) f 2 (x)... f n (x), da er definisjonsdomenet til funksjonen f skjæringspunktet mellom definisjonsdomenene til funksjonene f 1, f 2, ..., f n. Så, .

Dette er forståelig, i det angitte området er alle produktfunksjoner definert, og derav selve funksjonen f.

Eksempel.

Y=3·arctgx·lnx .

Løsning.

Strukturen til høyre side av formelen som definerer funksjonen kan betraktes som f 1 (x) f 2 (x) f 3 (x), der f 1 er en konstant funksjon, f 2 er den arctangent funksjonen, og f 3 er logaritmisk funksjon med base e.

Vi vet at D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=(−∞, +∞) og D(f 3)=(0, +∞) . Da .

Svare:

Definisjonsdomenet til funksjonen y=3·arctgx·lnx er settet av alle reelle positive tall.

La oss separat fokusere på å finne definisjonsdomenet til en funksjon gitt av formelen y=C·f(x), der C er et reelt tall. Det er lett å vise at definisjonsdomenet til denne funksjonen og definisjonsdomenet til funksjonen f sammenfaller. Faktisk er funksjonen y=C·f(x) produktet av en konstant funksjon og en funksjon f. Domenet til en konstant funksjon er mengden av alle reelle tall, og domenet til en funksjon f er D(f) . Da er definisjonsdomenet til funksjonen y=C f(x). , som er det som måtte vises.

Så, definisjonsdomenene til funksjonene y=f(x) og y=C·f(x), der C er et reelt tall, faller sammen. For eksempel er definisjonsdomenet til roten , det blir klart at D(f) er settet av alle x fra definisjonsdomenet til funksjonen f 2 som f 2 (x) er inkludert i definisjonsdomenet for. av funksjonen f 1 .

Slik, definisjonsdomene for en kompleks funksjon y=f 1 (f 2 (x)) er skjæringspunktet mellom to sett: mengden av alle x slik at x∈D(f 2) og mengden av alle slike x som f 2 (x)∈D(f) 1) . Det vil si i notasjonen vi har tatt i bruk (dette er i hovedsak et system av ulikheter).

La oss se på noen eksempler på løsninger. Vi vil ikke beskrive prosessen i detalj, da dette er utenfor rammen av denne artikkelen.

Eksempel.

Finn definisjonsdomenet til funksjonen y=lnx 2 .

Løsning.

Den opprinnelige funksjonen kan representeres som y=f 1 (f 2 (x)), der f 1 er en logaritme med grunntall e, og f 2 er strømfunksjon med en indikator på 2.

Slår til kjente områder definisjoner av de grunnleggende elementære funksjonene, har vi D(f 1)=(0, +∞) og D(f 2)=(−∞, +∞) .

Da

Så vi fant definisjonsdomenet til funksjonen vi trengte, det er settet med alle reelle tall unntatt null.

Svare:

(−∞, 0)∪(0, +∞) .

Eksempel.

Hva er domenet til en funksjon ?

Løsning.

Denne funksjonen kompleks, kan det betraktes som y=f 1 (f 2 (x)), der f 1 er en potensfunksjon med eksponent, og f 2 er arcsinusfunksjonen, og vi må finne dens definisjonsdomene.

La oss se hva vi vet: D(f 1)=(0, +∞) og D(f 2)=[−1, 1] . Det gjenstår å finne skjæringspunktet mellom sett med verdier x slik at x∈D(f 2) og f 2 (x)∈D(f 1):

For å arcsinx>0, husk egenskapene til arcsine-funksjonen. Arcsinen øker gjennom hele definisjonsdomenet [−1, 1] og går til null ved x=0, derfor arcsinx>0 for enhver x fra intervallet (0, 1] .

La oss gå tilbake til systemet:

Dermed er det nødvendige definisjonsdomenet for funksjonen halvintervallet (0, 1].

Svare:

(0, 1] .

La oss nå gå videre til komplekse funksjoner generelt syn y=f 1 (f 2 (…f n (x)))) . Definisjonsdomenet til funksjonen f i dette tilfellet finnes som .

Eksempel.

Finn domenet til en funksjon .

Løsning.

Gitt kompleks funksjon kan skrives som y=f 1 (f 2 (f 3 (x))), hvor f 1 – sin, f 2 – fjerdegrads rotfunksjon, f 3 – log.

Vi vet at D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=)