Hvordan finne høyden på en trapes ved hjelp av diagonalene. Hvordan finne arealet til en trapes: formler og eksempler

Utøvelsen av fjorårets USE og GIA viser at geometriproblemer skaper vanskeligheter for mange elever. Du kan enkelt takle dem hvis du husker alle nødvendige formler og trener på å løse problemer.

I denne artikkelen vil du se formler for å finne arealet til en trapes, samt eksempler på problemer med løsninger. De samme kan treffes på deg i KIMs ved sertifiseringseksamener eller ved olympiader. Behandle dem derfor forsiktig.

Hva du trenger å vite om trapes?

Til å begynne med, la oss huske det trapes en firkant kalles, der to motsatte sider, de kalles også baser, er parallelle, og de to andre er det ikke.

I en trapes kan også høyden (vinkelrett på basen) utelates. Midtlinjen er tegnet - dette er en rett linje som er parallell med basene og lik halvparten av summen deres. Samt diagonaler som kan krysse hverandre og danne spisse og stumpe vinkler. Eller, i noen tilfeller, i rett vinkel. I tillegg, hvis trapesen er likebenet, kan en sirkel skrives inn i den. Og beskriv en sirkel rundt den.

Trapesområdeformler

Tenk først på standardformlene for å finne arealet til en trapes. Måter å beregne arealet av likebenede og krumlinjede trapeser vil bli vurdert nedenfor.

Så, forestill deg at du har en trapes med basene a og b, der høyden h senkes til den større basen. Det er enkelt å beregne arealet til en figur i dette tilfellet. Du trenger bare å dele summen av lengdene til basene på to og gange det som skjer med høyden: S = 1/2(a + b)*h.

La oss ta et annet tilfelle: anta at i tillegg til høyden har trapesen en medianlinje m. Vi kjenner formelen for å finne lengden på midtlinjen: m = 1/2(a + b). Derfor kan vi med rette forenkle formelen for arealet til en trapes til følgende form: S = m * t. Med andre ord, for å finne arealet til en trapes, må du multiplisere midtlinjen med høyden.

La oss vurdere et alternativ til: diagonaler d 1 og d 2 er tegnet i en trapes, som ikke skjærer i rett vinkel α. For å beregne arealet til en slik trapes, må du halvere produktet av diagonalene og multiplisere det du får med synden til vinkelen mellom dem: S= 1/2d 1 d 2 *sinα.

Vurder nå formelen for å finne arealet til en trapes hvis ingenting er kjent om det bortsett fra lengdene på alle sidene: a, b, c og d. Dette er en tungvint og komplisert formel, men det vil være nyttig for deg å huske det i tilfelle: S \u003d 1/2 (a + b) * √c 2 - ((1/2 (b - a)) * ((b - a) 2 + c 2 - d 2)) 2.

Forresten, eksemplene ovenfor er også sanne for tilfellet når du trenger formelen for arealet til en rektangulær trapes. Dette er en trapes, hvis side grenser til basene i rett vinkel.

Likebenet trapes

En trapes med like sider kalles likebenet. Vi vil vurdere flere varianter av formelen for arealet av en likebenet trapes.

Det første alternativet: for tilfellet når en sirkel med radius r er innskrevet i en likebenet trapes, og sidesiden og den større basen danner en spiss vinkel α. En sirkel kan skrives inn i en trapes, forutsatt at summen av lengdene på dens baser er lik summen av lengdene på sidene.

Arealet til en likebenet trapes beregnes som følger: multipliser kvadratet av radiusen til den innskrevne sirkelen med fire og del det hele med sinα: S = 4r2/sina. En annen arealformel er et spesialtilfelle for alternativet når vinkelen mellom den store basen og siden er 30 0: S = 8r2.

Det andre alternativet: denne gangen tar vi en likebenet trapes, der i tillegg diagonalene d 1 og d 2 er tegnet, samt høyden h. Hvis diagonalene til en trapes er innbyrdes perpendikulære, er høyden halve summen av basene: h = 1/2(a + b). Når du vet dette, er det lett å konvertere den trapesformede områdeformelen som du allerede er kjent med, til denne formen: S = h2.

Formelen for arealet til en krumlinjet trapes

La oss starte med å forstå: hva er en krumlinjet trapes. Se for deg en koordinatakse og en graf for en kontinuerlig og ikke-negativ funksjon f som ikke endrer fortegn innenfor et gitt segment på x-aksen. En krumlinjet trapes dannes av grafen til funksjonen y \u003d f (x) - på toppen, x-aksen - nederst (segmentet), og på sidene - rette linjer trukket mellom punktene a og b og grafen av funksjonen.

Det er umulig å beregne arealet til en slik ikke-standard figur ved å bruke metodene ovenfor. Her må du bruke matematisk analyse og bruke integralet. Nemlig Newton-Leibniz-formelen - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). I denne formelen er F antideriverten av funksjonen vår på det valgte intervallet. Og området til den krumlinjede trapesen tilsvarer økningen av antiderivatet på et gitt segment.

Eksempler på oppgaver

For å gjøre alle disse formlene bedre i hodet ditt, her er noen eksempler på problemer for å finne arealet til en trapes. Det beste ville være om du først prøver å løse problemene selv, og først deretter sjekker svaret du fikk med den ferdige løsningen.

Oppgave 1: Gitt en trapes. Den største basen er 11 cm, den minste er 4 cm. Trapeset har diagonaler, den ene 12 cm lang, den andre 9 cm lang.

Løsning: Bygg en trapesformet AMRS. Tegn linje RX gjennom toppunkt P slik at den er parallell med diagonal MC og skjærer linje AC i punkt X. Du får trekant APX.

Vi vil vurdere to figurer oppnådd som et resultat av disse manipulasjonene: trekanten APX og parallellogrammet CMPX.

Takket være parallellogrammet lærer vi at PX = MC = 12 cm og CX = MP = 4 cm. Hvor kan vi beregne siden AX av trekanten ARCH: AX \u003d AC + CX \u003d 11 + 4 \u003d 15 cm.

Vi kan også bevise at trekanten ARCH er rettvinklet (for å gjøre dette, bruk Pythagoras teorem - AX 2 \u003d AP 2 + PX 2). Og beregn området: S APX \u003d 1/2 (AP * PX) \u003d 1/2 (9 * 12) \u003d 54 cm 2.

Deretter må du bevise at trekantene AMP og PCX er like i areal. Grunnlaget vil være likestillingen mellom MP og CX (allerede bevist ovenfor). Og også høydene som du senker på disse sidene - de er lik høyden på AMRS trapes.

Alt dette vil tillate deg å hevde at S AMPC \u003d S APX \u003d 54 cm 2.

Oppgave #2: Gitt en trapesformet KRMS. Punktene O og E er plassert på sidesidene, mens OE og KS er parallelle. Det er også kjent at arealene til trapesene ORME og OXE er i forholdet 1:5. PM = a og KS = b. Du må finne en OE.

Løsning: Tegn en linje gjennom punktet M parallelt med RK, og angi skjæringspunktet med OE som T. A er skjæringspunktet til en linje trukket gjennom punktet E parallelt med RK med bunnen av KS.

La oss introdusere en notasjon til - OE = x. I tillegg til høyden h 1 for trekanten TME og høyden h 2 for trekanten AEC (du kan uavhengig bevise likheten til disse trekantene).

Vi vil anta at b > a. Områdene til trapesene ORME og OXE er relatert til 1:5, noe som gir oss rett til å tegne følgende ligning: (x + a) * h 1 \u003d 1/5 (b + x) * h 2. La oss transformere og få: h 1 / h 2 \u003d 1/5 * ((b + x) / (x + a)).

Siden trekantene TME og AEC er like, har vi h 1 / h 2 = (x - a) / (b - x). Kombiner begge oppføringene og få: (x - a) / (b - x) \u003d 1/5 * ((b + x) / (x + a)) ↔ 5 (x - a) (x + a) \u003d (b + x) (b - x) ↔ 5 (x 2 - a 2) \u003d (b 2 - x 2) ↔ 6x 2 \u003d b 2 + 5a 2 ↔ x \u003d √ (5a 2 + b 2) / 6.

Dermed OE \u003d x \u003d √ (5a 2 + b 2) / 6.

Konklusjon

Geometri er ikke den enkleste av vitenskapene, men du vil helt sikkert kunne takle eksamensoppgaver. Det krever bare litt tålmodighet i forberedelsene. Og husk selvfølgelig alle nødvendige formler.

Vi prøvde å samle alle formlene for å beregne arealet til en trapes på ett sted, slik at du kan bruke dem når du forbereder deg til eksamen og gjentar materialet.

Sørg for å dele denne artikkelen med dine klassekamerater og venner på sosiale nettverk. La det bli flere gode karakterer for Unified State Examination og GIA!

nettstedet, med hel eller delvis kopiering av materialet, kreves en lenke til kilden.

Til et enkelt spørsmål "Hvordan finne høyden på en trapes?" det er flere svar, alt fordi forskjellige input kan gis. Derfor vil formlene være forskjellige.

Disse formlene kan huskes, men de er ikke vanskelige å utlede. Det er kun nødvendig å anvende tidligere studerte teoremer.

Notasjon brukt i formler

I alle de matematiske notasjonene nedenfor er disse avlesningene av bokstavene korrekte.

I de originale dataene: alle sider

For å finne høyden på en trapes i det generelle tilfellet, må du bruke følgende formel:

n \u003d √ (s 2 - (((a - c) 2 + c 2 - d 2) / (2 (a - c))) 2). Nummer 1.

Ikke den korteste, men den er også ganske sjelden i oppgaver. Du kan vanligvis bruke andre data.

Formelen som forteller deg hvordan du finner høyden til en likebenet trapes i samme situasjon er mye kortere:

n \u003d √ (s 2 - (a - c) 2 / 4). Nummer 2.

Problemet er gitt: sidene og hjørnene på den nedre basen

Det antas at vinkelen α er inntil siden med betegnelsen "c", henholdsvis vinkelen β til siden d. Da vil formelen for hvordan man finner høyden til en trapes, generelt sett, være:

n \u003d c * sin α \u003d d * sin β. Nummer 3.

Hvis figuren er likebenet, kan du bruke dette alternativet:

n \u003d c * sin α \u003d ((a - c) / 2) * tg α. Nummer 4.

Kjent for: diagonaler og vinkler mellom dem

Vanligvis er kjente mengder lagt til disse dataene. For eksempel basene eller midtlinjen. Hvis begrunnelsen er gitt, for å svare på spørsmålet om hvordan du finner høyden på en trapes, er følgende formel nyttig:

n \u003d (d 1 * d 2 * sin γ) / (a ​​+ c) eller n \u003d (d 1 * d 2 * sin δ) / (a ​​+ c). Nummer 5.

Dette er for det generelle utseendet til figuren. Hvis likebenet er gitt, vil posten bli transformert som følger:

n \u003d (d 1 2 * sin γ) / (a ​​+ c) eller n \u003d (d 1 2 * sin δ) / (a ​​​​+ c). Nummer 6.

Når oppgaven omhandler midtlinjen til en trapes, blir formlene for å finne høyden som følger:

n \u003d (d 1 * d 2 * sin γ) / 2m eller n \u003d (d 1 * d 2 * sin δ) / 2m. Nummer 5a.

n = (d 1 2 * sin γ) / 2m eller n = (d 1 2 * sin δ) / 2m. Nummer 6a.

Blant kjente mengder: område med baser eller midtlinje

Dette er kanskje de korteste og enkleste formlene for hvordan man finner høyden på en trapes. For en vilkårlig figur vil det være slik:

n \u003d 2S / (a+c). Nummer 7.

Det er det samme, men med en velkjent midtlinje:

n = S/m. Nummer 7a.

Merkelig nok, men for en likebenet trapes, vil formlene se like ut.

Oppgaver

nr. 1. For å bestemme vinklene ved den nedre bunnen av trapesen.

Tilstand. En likebenet trapes er gitt, siden som er 5 cm. Basene er 6 og 12 cm. Det er nødvendig å finne sinusen til en spiss vinkel.

Løsning. For enkelhets skyld bør en notasjon innføres. La nedre venstre toppunkt være A, resten med klokken: B, C, D. Dermed vil den nedre basen bli betegnet AD, den øvre BC.

Det er nødvendig å tegne høyder fra hjørnene B og C. Punktene som indikerer endene av høydene vil bli betegnet med henholdsvis H 1 og H 2. Siden i figuren BCH 1 H 2 er alle vinkler rette, er det et rektangel. Dette betyr at segmentet H 1 H 2 er 6 cm.

Nå må vi vurdere to trekanter. De er like fordi de er rektangulære med samme hypotenus og vertikale ben. Det følger av dette at deres mindre ben også er like. Derfor kan de defineres som en kvotient av forskjellen. Sistnevnte oppnås ved å trekke den øvre fra den nedre basen. Det vil bli delt på 2. Det vil si at 12 - 6 må deles med 2. AN 1 \u003d H 2 D \u003d 3 (cm).

Nå, fra Pythagoras teorem, må du finne høyden på trapesen. Det er nødvendig å finne sinusen til en vinkel. VN 1 \u003d √ (5 2 - 3 2) \u003d 4 (cm).

Ved å bruke kunnskapen om hvordan sinusen til en spiss vinkel ligger i en trekant med rett vinkel, kan vi skrive følgende uttrykk: sin α \u003d BH 1 / AB \u003d 0,8.

Svar.Ønsket sinus er 0,8.

nr. 2. Å finne høyden til en trapes fra en kjent tangent.

Tilstand. For en likebenet trapes, må du beregne høyden. Det er kjent at basene er 15 og 28 cm. Tangensen til en spiss vinkel er gitt: 11/13.

Løsning. Betegnelsen på toppunktene er den samme som i forrige oppgave. Igjen må du tegne to høyder fra de øvre hjørnene. I analogi med løsningen av det første problemet, må du finne AH 1 = H 2 D, som er definert som forskjellen mellom 28 og 15, delt på to. Etter beregninger viser det seg: 6,5 cm.

Siden tangenten er forholdet mellom to ben, kan vi skrive følgende likhet: tg α \u003d AN 1 / VN 1. Dessuten er dette forholdet lik 11/13 (etter tilstand). Siden AH 1 er kjent, kan høyden beregnes: HH 1 \u003d (11 * 6,5) / 13. Enkle beregninger gir et resultat på 5,5 cm.

Svar.Ønsket høyde er 5,5 cm.

Nummer 3. For å beregne høyden fra kjente diagonaler.

Tilstand. Det er kjent om en trapes at diagonalene er 13 og 3 cm. Du må finne ut høyden hvis summen av basene er 14 cm.

Løsning. La betegnelsen på figuren være den samme som før. Anta at AC er den minste diagonalen. Fra toppunktet C må du tegne ønsket høyde og angi den CH.

Nå må vi bygge ytterligere. Fra vinkel C må du tegne en rett linje parallelt med den større diagonalen og finne skjæringspunktet med fortsettelsen av siden AD. Det blir D 1 . Det viste seg en ny trapes, inne i hvilken en trekant ASD 1 er tegnet. Det er det som trengs for å løse problemet ytterligere.

Ønsket høyde vil også være den samme i trekanten. Derfor kan du bruke formlene som er studert i et annet emne. Høyden til en trekant er definert som produktet av tallet 2 og arealet, delt på siden den er tegnet til. Og siden viser seg å være lik summen av basene til den opprinnelige trapesen. Dette kommer fra regelen som tilleggskonstruksjonen utføres etter.

I trekanten under vurdering er alle sider kjent. For enkelhets skyld introduserer vi notasjonen x = 3 cm, y = 13 cm, z = 14 cm.

Nå kan du beregne arealet ved å bruke Herons teorem. Semi-perimeteren vil være lik p \u003d (x + y + z) / 2 \u003d (3 + 13 + 14) / 2 \u003d 15 (cm). Deretter vil formelen for området etter å ha erstattet verdiene se slik ut: S \u003d √ (15 * (15 - 3) * (15 - 13) * (15 - 14)) \u003d 6 √10 (cm 2 ).

Svar. Høyden er 6√10 / 7 cm.

nr. 4. For å finne høyden på sidene.

Tilstand. Gitt en trapes, hvorav tre sider er 10 cm, og den fjerde er 24 cm. Du må finne ut høyden.

Løsning. Siden figuren er likebenet, kreves formel nummer 2. Du trenger bare å erstatte alle verdiene i den og telle. Det vil se slik ut:

n \u003d √ (10 2 - (10 - 24) 2 / 4) \u003d √51 (cm).

Svar. h = √51 cm.

En mangesidig trapes... Den kan være vilkårlig, likebenet eller rektangulær. Og i hvert tilfelle må du vite hvordan du finner arealet til en trapes. Selvfølgelig, den enkleste måten å huske de grunnleggende formlene. Men noen ganger er det lettere å bruke den som er avledet under hensyntagen til alle funksjonene til en bestemt geometrisk figur.

Noen få ord om trapesen og dens elementer

Enhver firkant med to parallelle sider kan kalles en trapes. Generelt er de ikke like og kalles baser. Den største av dem er lavere, og den andre er øvre.

De to andre sidene er laterale. I en vilkårlig trapes har de forskjellige lengder. Hvis de er like, blir figuren likebenet.

Hvis plutselig vinkelen mellom en side og basen er lik 90 grader, er trapesen rektangulær.

Alle disse funksjonene kan hjelpe til med å løse problemet med hvordan du finner området til en trapes.

Blant elementene i figuren, som kan være uunnværlige for å løse problemer, kan vi skille følgende:

• høyde, det vil si et segment vinkelrett på begge basene;
• midtlinjen, som i endene har midten av sidene.

Hva er formelen for å beregne arealet hvis basene og høyden er kjent?

Dette uttrykket er gitt som det viktigste fordi det oftest er mulig å kjenne disse mengdene selv når de ikke er gitt eksplisitt. Så for å forstå hvordan du finner arealet til en trapes, må du legge til begge basene og dele dem med to. Den resulterende verdien multipliseres deretter ytterligere med høydeverdien.

Hvis vi angir basene med bokstavene a 1 og a 2, høyden - n, vil formelen for området se slik ut:

S \u003d ((a 1 + a 2) / 2) * n.

Formelen for å beregne arealet, gitt høyden og midtlinjen

Hvis du ser nøye på den forrige formelen, er det lett å se at den tydelig inneholder verdien til midtlinjen. Nemlig summen av basene delt på to. La midtlinjen betegnes med bokstaven l, da blir formelen for området:

S \u003d l * n.

Evne til å finne areal ved diagonaler

Denne metoden vil hjelpe hvis vinkelen dannet av dem er kjent. Anta at diagonalene er angitt med bokstavene d 1 og d 2, og vinklene mellom dem er α og β. Deretter vil formelen for hvordan du finner arealet til en trapes være skrevet som følger:

S \u003d ((d 1 * d 2) / 2) * sin α.

I dette uttrykket kan man enkelt erstatte α med β. Resultatet vil ikke endre seg.

Hvordan finne ut området hvis alle sider av figuren er kjent?

Det er også situasjoner når nøyaktig sidene er kjent i denne figuren. Denne formelen er tungvint og vanskelig å huske. Men sannsynligvis. La sidene ha betegnelsen: i 1 og i 2 er basen a 1 større enn en 2. Deretter har arealformelen følgende form:

S \u003d ((a 1 + a 2) / 2) * √ (i 1 2 - [(a 1 - a 2) 2 + i 1 2 - i 2 2) / (2 * (a 1 - a 2) ) ] 2 ).

Metoder for å beregne arealet til en likebenet trapes

Den første er relatert til det faktum at en sirkel kan skrives inn i den. Og når du kjenner radiusen (den er betegnet med bokstaven r), så vel som vinkelen ved basen - γ, kan du bruke følgende formel:

S \u003d (4 * r 2) / sin γ.

Den siste generelle formelen, som er basert på å kjenne alle sidene av figuren, er sterkt forenklet på grunn av det faktum at sidene har samme verdi:

S \u003d ((a 1 + a 2) / 2) * √ (i 2 - [(a 1 - a 2) 2 / (2 * (a 1 - a 2))] 2).

Metoder for å beregne arealet til en rektangulær trapes

Det er klart at noe av det ovennevnte er egnet for en vilkårlig figur. Men noen ganger er det nyttig å vite om en funksjon av en slik trapes. Det ligger i det faktum at forskjellen mellom kvadratene av lengdene på diagonalene er lik forskjellen som består av kvadratene til basene.

Ofte glemmes formlene for en trapes, mens uttrykkene for arealene til et rektangel og en trekant huskes. Da kan du bruke en enkel metode. Del trapesen i to figurer hvis den er rektangulær, eller tre. Den ene vil definitivt være et rektangel, og den andre, eller de resterende to, vil være trekanter. Etter å ha beregnet arealene til disse figurene, gjenstår det bare å legge dem til.

Dette er en ganske enkel måte å finne området til en rektangulær trapes.

Hva om koordinatene til toppunktene til trapesen er kjent?

I dette tilfellet må du bruke et uttrykk som lar deg bestemme avstanden mellom punktene. Den kan brukes tre ganger: for å kjenne både baser og en høyde. Og så er det bare å bruke den første formelen, som er beskrevet litt høyere.

Et eksempel kan gis for å illustrere denne metoden. Topppunkter med koordinatene A(5; 7), B(8; 7), C(10; 1), D(1; 1) er gitt. Vi trenger å kjenne området til figuren.

Før du finner arealet til en trapes, må du beregne lengdene på basene fra koordinatene. Du trenger denne formelen:

segmentlengde = √((forskjell på de første koordinatene til punktene) 2 + (forskjellen til de andre koordinatene til punktene) 2 ).

Den øvre basen er betegnet AB, som betyr at dens lengde vil være lik √ ((8-5) 2 + (7-7) 2) = √9 = 3. Den nedre er CD = √ ((10-1) ) 2 + (1-1 ) 2 ) = √81 = 9.

Nå må du tegne en høyde fra topp til bunn. La begynnelsen være ved punkt A. Slutten av segmentet vil være på den nedre basen ved punktet med koordinatene (5; 1), la det være punkt H. Lengden på segmentet AN vil være lik √ ((5) -5) 2 + (7-1) 2 ) = √36 = 6.

Det gjenstår bare å erstatte de resulterende verdiene i formelen for arealet av en trapes:

S = ((3 + 9) / 2) * 6 = 36.

Problemet løses uten måleenheter, fordi målestokken til koordinatnettet ikke er spesifisert. Det kan være enten millimeter eller meter.

Eksempler på oppgaver

nr. 1. Tilstand. Vinkelen mellom diagonalene til en vilkårlig trapes er kjent, den er lik 30 grader. Den mindre diagonalen har en verdi på 3 dm, og den andre er 2 ganger større enn den. Du må beregne arealet til trapesen.

Løsning. Først må du finne ut lengden på den andre diagonalen, for uten dette vil det ikke være mulig å beregne svaret. Å beregne det er enkelt, 3 * 2 = 6 (dm).

Nå må du bruke riktig formel for området:

S \u003d ((3 * 6) / 2) * sin 30º \u003d 18/2 * ½ \u003d 4,5 (dm 2). Problem løst.

Svar: arealet av trapeset er 4,5 dm 2 .

nr. 2. Tilstand. I trapeset ABCD er basene segmentene AD og BC. Punkt E er midtpunktet på side SD. En vinkelrett på den rette linjen AB er trukket fra den, enden av dette segmentet er indikert med bokstaven H. Det er kjent at lengdene til AB og EH er henholdsvis 5 og 4 cm. Det er nødvendig å beregne arealet av trapesen.

Løsning. Først må du lage en tegning. Siden verdien av perpendikulæren er mindre enn siden den er trukket til, vil trapesen være litt utvidet oppover. Så EH vil være inne i figuren.

For å tydelig se fremdriften med å løse problemet, må du utføre en ekstra konstruksjon. Tegn nemlig en linje som vil være parallell med siden AB. Skjæringspunktene for denne linjen med AD - P, og med fortsettelsen av BC - X. Den resulterende figuren VKhRA er et parallellogram. Dessuten er dens areal lik den nødvendige. Dette skyldes det faktum at trekantene som ble oppnådd under tilleggskonstruksjonen er like. Dette følger av likheten til siden og de to vinklene ved siden av den, den ene er vertikal, den andre ligger på tvers.

Du kan finne arealet til et parallellogram ved å bruke en formel som inneholder produktet av siden og høyden senket på den.

Dermed er arealet til en trapes 5 * 4 = 20 cm 2.

Svar: S \u003d 20 cm 2.

nr. 3. Tilstand. Elementene i en likebenet trapes har følgende betydning: den nedre basen er 14 cm, den øvre basen er 4 cm, den spisse vinkelen er 45º. Vi må beregne arealet.

Løsning. La den mindre basen betegnes BC. Høyden trukket fra punkt B vil bli kalt BH. Siden vinkelen er 45º, vil trekanten ABH vise seg å være rettvinklet og likebenet. Så AH=BH. Og AN er veldig lett å finne. Det er lik halvparten av forskjellen av basene. Det vil si (14 - 4) / 2 = 10 / 2 = 5 (cm).

Basene er kjent, høydene telles. Du kan bruke den første formelen, som ble vurdert her for en vilkårlig trapes.

S \u003d ((14 + 4) / 2) * 5 \u003d 18/2 * 5 \u003d 9 * 5 \u003d 45 (cm 2).

Svar:Ønsket areal er 45 cm 2.

nr. 4. Tilstand. Det er en vilkårlig trapes ABCD. Punktene O og E tas på sidene, slik at OE er parallell med bunnen av AD. Trapesområdet til AOED er fem ganger større enn CFE. Beregn verdien av OE hvis grunnlengdene er kjent.

Løsning. Det vil være nødvendig å tegne to rette linjer parallelt med AB: det første gjennom punktet C, dets skjæringspunkt med OE - punkt T; den andre til og med E og skjæringspunktet med AD vil være M.

La den ukjente OE=x. Høyden på den mindre trapesformede OVSE er n 1, den større AOED er n 2.

Siden arealene til disse to trapesene er relatert til 1 til 5, kan vi skrive følgende likhet:

(x + a 2) * n 1 \u003d 1/5 (x + a 1) * n 2

n 1 / n 2 \u003d (x + a 1) / (5 (x + a 2)).

Høydene og sidene til trekantene er proporsjonale i konstruksjonen. Derfor kan vi skrive en annen likhet:

n 1 / n 2 \u003d (x - a 2) / (a ​​1 - x).

I de to siste oppføringene på venstre side er det like verdier, som betyr at vi kan skrive at (x + a 1) / (5 (x + a 2)) er lik (x - a 2) / (a ​​​1 - x).

Her kreves det en rekke transformasjoner. Kryss multipliser først. Det vil dukke opp parenteser som indikerer forskjellen på kvadrater, etter å ha brukt denne formelen får du en kort ligning.

I den må du åpne parentesene og flytte alle begrepene med den ukjente "x" til venstre, og deretter trekke ut kvadratroten.

Svar: x \u003d √ ((a 1 2 + 5 a 2 2) / 6).

(S) en trapes, begynn å beregne høyden (h) ved å finne halve summen av lengdene til de parallelle sidene: (a+b)/2. Del deretter området med den oppnådde verdien - resultatet vil være ønsket verdi: h = S / ((a + b) / 2) = 2 * S / (a ​​​​+ b).

Når vi kjenner lengden på midtlinjen (m) og arealet (S), kan vi forenkle formelen fra forrige trinn. Per definisjon er midtlinjen til en trapes halvparten av summen av dens baser, så for å beregne høyden (h) til en form, del ganske enkelt arealet med lengden på midtlinjen: h = S/m.

Du kan bestemme høyden (h) på denne selv om bare lengden på en av sidene (c) og vinkelen (α) dannet av den og den lange basen er gitt. I dette tilfellet bør man vurdere, dannet av denne siden, høyden og et kort segment av basen, som avskjærer høyden senket på den. Denne trekanten vil være rettvinklet, den kjente siden vil være hypotenusen i den, og høyden vil være benet. Forholdet mellom lengdene og hypotenusen er lik vinkelen motsatt benet, derfor, for å beregne høyden på trapesen, multipliser den kjente lengden på siden med sinusen til den kjente vinkelen: h \u003d c * sin (α ).

Den samme trekanten bør vurderes hvis lengden på sidesiden (c) og vinkelen (β) mellom den og den andre (korte) basen er gitt. I dette tilfellet vil vinkelen mellom siden (hypotenusen) og høyden (benet) være 90° mindre enn vinkelen kjent fra forholdene: β-90°. Siden forholdet mellom lengdene på benet og hypotenusen er lik cosinus av vinkelen mellom dem, beregner du høyden på trapesen ved å multiplisere cosinus av vinkelen redusert med 90 ° med lengden på siden: h \ u003d c * cos (β-90 °).

Hvis en sirkel med kjent radius (r) er innskrevet, vil beregning av høyden (h) være veldig enkel og vil ikke kreve noen andre parametere. En slik sirkel må per definisjon hver av basene bare ha ett punkt, og disse punktene vil ligge på samme linje med sentrum. Dette betyr at avstanden mellom dem vil være lik diameteren (to ganger radius) tegnet vinkelrett på basene, det vil si sammenfallende med høyden på trapesen: h=2*r.

En trapes er en firkant der to sider er parallelle og de to andre ikke. Høyden på en trapes er et segment tegnet vinkelrett mellom to parallelle linjer. Avhengig av kildedataene kan de beregnes på forskjellige måter.

Du vil trenge

• Kunnskap om sidene, basene, midtlinjen til en trapes, og eventuelt området og/eller omkretsen.

Instruksjon

La oss si at det er en trapes med samme data som i figur 1. La oss tegne 2 høyder, vi får, som har 2 mindre sider med bena til rette trekanter. La oss betegne den mindre rullen som x. Han er inne

Trapes kalles en firkant bare to sidene er parallelle med hverandre.

De kalles basene til figuren, resten - sidene. Et parallellogram regnes som et spesielt tilfelle av en figur. Det er også en krumlinjet trapes, som inkluderer en funksjonsgraf. Formlene for arealet til en trapes inkluderer nesten alle dens elementer, og den beste løsningen velges avhengig av de gitte verdiene.
Hovedrollene i trapesen er tildelt høyde og midtlinje. midtlinje- dette er en linje som forbinder midtpunktene på sidene. Høyde trapesen er tegnet i rett vinkel fra det øverste hjørnet til basen.
Arealet av en trapes gjennom høyden er lik produktet av halvparten av summen av lengdene til basene, multiplisert med høyden:

Hvis medianlinjen er kjent i henhold til forholdene, er denne formelen sterkt forenklet, siden den er lik halvparten av summen av lengdene til basene:

Hvis, i henhold til forholdene, lengden på alle sider er gitt, kan vi vurdere et eksempel på beregning av arealet til en trapes gjennom disse dataene:

Anta at en trapes er gitt med basene a = 3 cm, b = 7 cm og sidene c = 5 cm, d = 4 cm. Finn arealet av figuren:

Arealet av en likebenet trapes

Et eget tilfelle er en likebenet eller, som det også kalles, en likebenet trapes.
Et spesielt tilfelle er også å finne arealet til en likebenet (likebenet) trapes. Formelen er utledet på forskjellige måter - gjennom diagonaler, gjennom vinkler ved siden av basen og radien til den innskrevne sirkelen.
Hvis lengden på diagonalene er spesifisert av betingelsene og vinkelen mellom dem er kjent, kan du bruke følgende formel:

Husk at diagonalene til en likebenet trapes er lik hverandre!

Det vil si, ved å kjenne en av deres baser, side og vinkel, kan du enkelt beregne arealet.

Arealet av en krumlinjet trapes

En egen sak er krumlinjet trapes. Den er plassert på koordinataksen og er begrenset til en graf av en kontinuerlig positiv funksjon.

Basen er plassert på X-aksen og er begrenset til to punkter:
Integraler hjelper til med å beregne arealet til en krumlinjet trapes.
Formelen er skrevet slik:

Tenk på et eksempel på å beregne arealet til en krumlinjet trapes. Formelen krever viss kunnskap for å arbeide med visse integraler. La oss først analysere verdien av det bestemte integralet:

Her er F(a) verdien av den antideriverte funksjonen f(x) ved punkt a, F(b) er verdien av samme funksjon f(x) ved punkt b.

La oss nå løse problemet. Figuren viser en krumlinjet trapes avgrenset av en funksjon. Funksjon
Vi må finne arealet til den valgte figuren, som er en krumlinjet trapes avgrenset på toppen av en graf, til høyre er en rett linje x = (-8), til venstre er en rett linje x = (- 10) og aksen OX er under.
Vi vil beregne arealet til denne figuren ved å bruke formelen:

Vi får en funksjon av forholdene til problemet. Ved å bruke det vil vi finne verdiene til antiderivatet på hvert av punktene våre:


Nå
Svar: arealet av en gitt krumlinjet trapes er 4.

Det er ikke noe vanskelig å beregne denne verdien. Bare den største forsiktighet i beregninger er viktig.