Hvordan tegne en isometrisk figur. Implementering av rektangulær isometri, rektangulær dimetri for spesifiserte visninger

For å utføre en isometrisk projeksjon av en hvilken som helst del, må du kjenne reglene for å konstruere isometriske projeksjoner av flate og volumetriske geometriske former.

Regler for å konstruere isometriske projeksjoner av geometriske former. Konstruksjonen av enhver flat figur bør begynne med aksene til isometriske projeksjoner.

Når man konstruerer en isometrisk projeksjon av en firkant (fig. 109), fra punktet O langs de aksonometriske aksene, legges halve lengden av siden av firkanten i begge retninger. Gjennom de resulterende serifene trekkes rette linjer parallelt med aksene.

Når man konstruerer en isometrisk projeksjon av en trekant (fig. 110), legges segmenter lik halve siden av trekanten langs X-aksen fra punkt 0 til begge sider. På Y-aksen fra punktet O er høyden av trekanten plottet. Koble de resulterende serifene med rette linjesegmenter.

Ris. 109. Rektangulære og isometriske projeksjoner av en firkant

Ris. 110. Rektangulære og isometriske projeksjoner av en trekant

Når du konstruerer en isometrisk projeksjon av en sekskant (fig. 111), fra punktet O, langs en av aksene, legg av (i begge retninger) radiusen til den omskrevne sirkelen, og langs den andre - H / 2. Gjennom de oppnådde serifene trekkes rette linjer parallelt med en av aksene, og lengden på siden av sekskanten legges på dem. Koble de resulterende serifene med rette linjesegmenter.

Ris. 111. Rektangulære og isometriske projeksjoner av en sekskant

Ris. 112. Rektangulære og isometriske projeksjoner av en sirkel

Når man konstruerer en isometrisk projeksjon av en sirkel (fig. 112), plottes segmenter lik dens radius langs koordinataksene fra punktet O. Gjennom de resulterende serifene trekkes rette linjer parallelt med aksene, og oppnår en aksonometrisk projeksjon av firkanten. Fra hjørnene 1, 3 tegnes buer CD og KL med radius 3C. Koble punktene 2 med 4, 3 med C og 3 med D. Ved skjæringene av rette linjer oppnås sentrene a og b av små buer, etter tegning får de en oval som erstatter den aksonometriske projeksjonen av sirkelen.

Ved å bruke de beskrevne konstruksjonene er det mulig å utføre aksonometriske projeksjoner av enkle geometriske legemer (tabell 10).

10. Isometriske projeksjoner av enkle geometriske legemer

Metoder for å konstruere en isometrisk projeksjon av en del:

1. Metoden for å konstruere en isometrisk projeksjon av en del fra en formende flate brukes for deler hvis form har en flat flate, kalt en formende flate; bredden (tykkelsen) på delen er lik gjennomgående, det er ingen spor, hull og andre elementer på sideflatene. Sekvensen for å konstruere en isometrisk projeksjon er som følger:

1) konstruksjon av isometriske projeksjonsakser;

2) konstruksjon av en isometrisk projeksjon av formingsflaten;

3) konstruksjon av projeksjoner av de gjenværende ansiktene ved hjelp av bildet av kantene på modellen;

Ris. 113. Bygge en isometrisk projeksjon av en del, med utgangspunkt i et formende ansikt

4) slag av den isometriske projeksjonen (fig. 113).

Metoden for å konstruere en isometrisk projeksjon basert på sekvensiell fjerning av volumer brukes i tilfeller der den viste formen er oppnådd som et resultat av fjerning av eventuelle volumer fra den originale formen (fig. 114).
Metoden for å konstruere en isometrisk projeksjon basert på en sekvensiell økning (tillegg) av volumer brukes til å utføre et isometrisk bilde av en del, hvis form er hentet fra flere volumer koblet på en bestemt måte til hverandre (fig. 115). .
Kombinert metode for å konstruere en isometrisk projeksjon. En isometrisk projeksjon av en del, hvis form ble oppnådd som et resultat av en kombinasjon av ulike formingsmetoder, utføres ved bruk av en kombinert konstruksjonsmetode (fig. 116).

En aksonometrisk projeksjon av en del kan utføres med et bilde (fig. 117, a) og uten et bilde (fig. 117, b) av usynlige deler av formen.

Ris. 114. Konstruksjon av en isometrisk projeksjon av en del basert på sekvensiell fjerning av volumer

Ris. 115 Konstruksjon av en isometrisk projeksjon av en del basert på en sekvensiell økning av volumer

Ris. 116. Bruke en kombinert metode for å konstruere en isometrisk projeksjon av en del

Ris. 117. Varianter av bildet av isometriske projeksjoner av delen: a - med bildet av usynlige deler;
b - uten bildet av usynlige deler

Rektangulær isometri kalt en aksonometrisk projeksjon, der forvrengningskoeffisientene langs alle tre aksene er like, og vinklene mellom de aksonometriske aksene er 120. På fig. 1 viser plasseringen av de aksonometriske aksene for rektangulær isometri og fremgangsmåter for å konstruere dem.

Ris. 1. Konstruksjon av aksonometriske akser med rektangulær isometri ved bruk av: a) segmenter; b) kompass; c) ruter eller en gradskive.

I praktiske konstruksjoner anbefales forvrengningskoeffisienten (K) langs de aksonometriske aksene i henhold til GOST 2.317-2011 å være lik en. I dette tilfellet oppnås bildet større enn det teoretiske eller eksakte bildet ved forvrengningsfaktorer på 0,82. Forstørrelsen er 1,22. På fig. 2 viser et eksempel på et delbilde i en rektangulær isometrisk projeksjon.

Ris. 2. Isometrisk detalj.

Konstruksjon i isometri av flate figurer

En regulær sekskant ABCDEF er gitt, plassert parallelt med det horisontale projeksjonsplanet H (P 1).

a) Vi bygger isometriske akser (fig. 3).

b) Koeffisienten for forvrengning langs aksene i isometri er lik 1, derfor setter vi fra punktet O 0 langs aksene til side de naturlige verdiene til segmentene: A 0 O 0 \u003d AO; О 0 D 0 = ОD; K 0 O 0 \u003d KO; O 0 P 0 \u003d ELLER.

c) Linjer parallelle med koordinataksene tegnes også i isometri parallelt med de tilsvarende isometriske aksene i full størrelse.

I vårt eksempel er sidene BC og FE parallelt med aksen X.

I isometri er de også trukket parallelt med X-aksen i full størrelse B 0 C 0 \u003d BC; F 0 E 0 = FE.

d) Ved å koble sammen de oppnådde punktene får vi et isometrisk bilde av en sekskant i H (P 1)-planet.

Ris. 3. Isometrisk projeksjon av en sekskant på tegningen

og i det horisontale projeksjonsplanet

På fig. 4 viser projeksjonene av de vanligste flate figurene i forskjellige projeksjonsplaner.

Den vanligste formen er sirkelen. Den isometriske projeksjonen av en sirkel er vanligvis en ellipse. En ellipse bygges av punkter og spores langs et mønster, noe som er svært upraktisk i tegnepraksis. Derfor erstattes ellipser av ovaler.

På fig. 5 innebygd isometrisk kube med sirkler påskrevet i hver side av kuben. Med isometriske konstruksjoner er det viktig å plassere ovalenes akser riktig avhengig av planet som sirkelen skal tegnes i. Som vist i fig. 5 er ovalenes hovedakser plassert langs den større diagonalen av rombene som kubens flater er projisert inn i.

Ris. 4 Isometrisk representasjon av flate figurer

a) på tegningen; b) på H-planet; c) på planet V; d) på flyet W.

For rektangulær aksonometri av enhver art kan regelen for å bestemme hovedaksene til en oval ellipse som en sirkel projiseres inn i, som ligger i et hvilket som helst projeksjonsplan, formuleres som følger: hovedaksen til ovalen er vinkelrett på den aksonometriske aksen som er fraværende i dette planet, og det mindre faller sammen med retningen til denne aksen. Formen og størrelsen på ovalene i hvert plan av isometriske projeksjoner er den samme.

For å få en aksonometrisk projeksjon av et objekt (fig. 106), er det nødvendig mentalt: å plassere objektet i et koordinatsystem; velg det aksonometriske projeksjonsplanet og plasser objektet foran det; velg retningen til parallelle projiserte stråler, som ikke skal falle sammen med noen av de aksonometriske aksene; direkte projiserte stråler gjennom alle punkter på objektet og koordinataksene til de skjærer det aksonometriske projeksjonsplanet, og får derved et bilde av det projiserte objektet og koordinataksene.

På det aksonometriske projeksjonsplanet oppnås et bilde - en aksonometrisk projeksjon av objektet, samt projeksjoner av aksene til koordinatsystemer, som kalles aksonometriske akser.

En aksonometrisk projeksjon er et bilde oppnådd på et aksonometrisk plan som et resultat av en parallell projeksjon av et objekt sammen med et koordinatsystem, som tydelig viser formen.

Koordinatsystemet består av tre gjensidig kryssende plan som har et fast punkt - opprinnelsen til koordinatene (punkt O) og tre akser (X, Y, Z) som kommer fra det og er plassert i rette vinkler på hverandre. Koordinatsystemet lar deg gjøre målinger langs aksene, bestemme posisjonen til objekter i rommet.

Ris. 106. Oppnå en aksonometrisk (rektangulær isometrisk) projeksjon

Du kan få mange aksonometriske projeksjoner ved å plassere objektet foran planet på forskjellige måter og velge en annen retning på de utstikkende strålene (fig. 107).

Den mest brukte er den såkalte rektangulære isometriske projeksjonen (heretter vil vi bruke dens forkortede navn - isometrisk projeksjon). En isometrisk projeksjon (se fig. 107, a) er en slik projeksjon, der forvrengningskoeffisienten langs alle tre aksene er like, og vinklene mellom de aksonometriske aksene er 120°. Isometrisk projeksjon oppnås ved bruk av parallell projeksjon.

Ris. 107. Aksonometriske projeksjoner etablert av GOST 2.317-69:
a - rektangulær isometrisk projeksjon; b - rektangulær dimetrisk projeksjon;
c - skrå frontal isometrisk projeksjon;
d - skrå frontal dimetrisk projeksjon

Ris. 107. Fortsettelse: e - skrå horisontal isometrisk projeksjon

I dette tilfellet er de projiserte strålene vinkelrett på det aksonometriske projeksjonsplanet, og koordinataksene er like skråstilt til det aksonometriske projeksjonsplanet (se fig. 106). Hvis vi sammenligner de lineære dimensjonene til objektet og de tilsvarende dimensjonene til det aksonometriske bildet, kan vi se at i bildet er disse dimensjonene mindre enn de faktiske. Verdiene som viser forholdet mellom dimensjonene til projeksjonene av linjesegmenter og deres faktiske dimensjoner kalles forvrengningskoeffisientene. Forvrengningskoeffisientene (K) langs de isometriske projeksjonsaksene er de samme og lik 0,82, men for konstruksjonens bekvemmelighet brukes de såkalte praktiske forvrengningskoeffisientene som er lik én (fig. 108).

Ris. 108. Posisjonen til aksene og forvrengningskoeffisienten til den isometriske projeksjonen

Det er isometriske, dimetriske og trimetriske projeksjoner. Isometriske projeksjoner er de projeksjonene som har samme forvrengningskoeffisienter i alle tre aksene. Dimetriske projeksjoner kalles slike projeksjoner, der to forvrengningskoeffisienter langs aksene er like, og verdien av den tredje skiller seg fra dem. Trimetriske projeksjoner inkluderer projeksjoner der alle forvrengningskoeffisienter er forskjellige.

Hva er dimetria

Dimetria er en av typene aksonometrisk projeksjon. Takket være aksonometri, med ett tredimensjonalt bilde, kan du se et objekt i tre dimensjoner samtidig. Siden forvrengningskoeffisientene for alle størrelser langs de 2 aksene er de samme, kalles denne projeksjonen dimetri.

Rektangulær dimetri

Når Z "aksen er plassert vertikalt, mens X" og Y "aksene danner vinkler på 7 grader 10 minutter og 41 grader 25 minutter fra det horisontale segmentet. I rektangulær dimetri vil forvrengningskoeffisienten langs Y-aksen være 0,47, og langs X- og Z-aksene dobbelt så mye, dvs. 0,94.

For å bygge tilnærmet aksonometriske akser med vanlig dimetri, er det nødvendig å akseptere at tg 7 grader 10 minutter er 1/8, og tg 41 grader 25 minutter er 7/8.

Hvordan bygge dimetria

Først må du tegne akser for å skildre objektet i dimetri. I enhver rektangulær dimetri er vinklene mellom X- og Z-aksene 97 grader 10 minutter, og mellom Y- og Z-aksene - 131 grader 25 minutter og mellom Y og X - 127 grader 50 minutter.

Nå er det nødvendig å plotte aksene på de ortogonale projeksjonene til det avbildede objektet, under hensyntagen til den valgte posisjonen til objektet for tegning i den dimetriske projeksjonen. Etter at du har fullført overføringen til den volumetriske representasjonen av de generelle dimensjonene til objektet, kan du begynne å tegne mindre elementer på overflaten av objektet.

Det er verdt å huske at sirklene i hvert dimetriske plan er avbildet av de tilsvarende ellipsene. I en dimetrisk projeksjon uten forvrengning langs X- og Z-aksene, vil hovedaksen til ellipsen vår i alle 3 projeksjonsplanene være 1,06 av diameteren til den tegnede sirkelen. Og den lille aksen til ellipsen i XOZ-planet er 0,95 av diameteren, og i ZOY- og XOY-planene er den 0,35 av diameteren. I en dimetrisk projeksjon med forvrengning langs X- og Z-aksene er ellipsens hovedakse lik diameteren til sirkelen i alle plan. I XOZ-planet er den lille aksen til ellipsen 0,9 av diameteren, mens den i ZOY- og XOY-planene er 0,33 av diameteren.

For å få et mer detaljert bilde, er det nødvendig å skjære gjennom detaljene på dimeteren. Skyggelegging når du sletter en utskjæring bør påføres parallelt med diagonalen til projeksjonen av det valgte kvadratet på det nødvendige planet.

Hva er isometri

Isometri er en av typene aksonometrisk projeksjon, hvor avstandene til enkeltsegmenter på alle 3 aksene er de samme. Isometrisk projeksjon brukes aktivt i tekniske tegninger for å vise utseendet til objekter, så vel som i forskjellige dataspill.

I matematikk er isometri kjent som en transformasjon av et metrisk rom som bevarer avstand.

Rektangulær isometri

I rektangulær (ortogonal) isometri skaper de aksonometriske aksene vinkler mellom seg som er lik 120 grader. Z-aksen er i vertikal posisjon.

Hvordan tegne isometrisk

Konstruksjonen av isometrien til et objekt gjør det mulig å oppnå den mest uttrykksfulle ideen om de romlige egenskapene til det avbildede objektet.

Før du begynner å bygge en tegning i en isometrisk projeksjon, må du velge et slikt arrangement av det avbildede objektet slik at dets romlige egenskaper er så synlige som mulig.

Nå må du bestemme hvilken type isometri du skal tegne. Det er to typer av det: rektangulær og horisontal skrå.

Tegn økser med lyse, tynne linjer slik at bildet er sentrert på arket. Som nevnt tidligere bør vinklene i en rektangulær isometrisk visning være 120 grader.

Begynn å tegne isometri fra nøyaktig den øverste overflaten av bildet av objektet. Fra hjørnene på den resulterende horisontale overflaten må du tegne to vertikale rette linjer og sette til side de tilsvarende lineære dimensjonene til objektet på dem. I en isometrisk projeksjon vil alle lineære dimensjoner langs alle tre aksene forbli et multiplum av én. Deretter er det sekvensielt nødvendig å koble de opprettede punktene på vertikale linjer. Resultatet er den ytre konturen av objektet.

Det bør huskes at når man viser et objekt i en isometrisk projeksjon, vil synligheten til krumlinjede detaljer nødvendigvis bli forvrengt. Sirkelen må tegnes som en ellipse. Segmentet mellom punktene i sirkelen (ellipsen) langs aksene til den isometriske projeksjonen må være lik diameteren til sirkelen, og aksene til ellipsen vil ikke falle sammen med aksene til den isometriske projeksjonen.

Hvis det avbildede objektet har skjulte hulrom eller komplekse elementer, prøv å skygge. Det kan være enkelt eller trinnvis, alt avhenger av kompleksiteten til elementene.

Husk at all konstruksjon må utføres strengt ved bruk av tegneverktøy. Bruk flere blyanter med ulike typer hardhet.

Aksonometri

Aksonometri (fra gresk. axcon- akse og meter- Jeg måler) gir et visuelt bilde av et objekt på ett plan.

Et aksonometrisk bilde av et objekt oppnås ved å projisere det parallelt på ett projeksjonsplan sammen med aksene til rektangulære koordinater som dette objektet er relatert til.

Forvrengningskoeffisienter langs aksene i aksonometri bestemmes av forholdet mellom aksonometriske koordinatsegmenter og deres naturlige verdi med samme måleenheter.

Naturlige forvrengningskoeffisienter betyr:

langs aksen x – u ;
langs aksen y – v ;
langs aksen z – w .

Avhengig av den komparative verdien av forvrengningskoeffisientene langs aksene, er det tre typer aksonometri:

isometri- alle tre forvrengningskoeffisienter er lik hverandre: u=v=w .

Dimetria- to forvrengningskoeffisienter er lik hverandre og skiller seg fra den tredje u=v≠w ; v=w≠u ; u=w≠v .

Trimetri- alle tre forvrengningskoeffisientene er ikke like med hverandre: u≠v≠w .

Avhengig av projeksjonsretningen er aksonometriske projeksjoner delt inn i rektangulær(projeksjonsretningen er vinkelrett på planet for aksonometriske projeksjoner) og skrå(projeksjonsretningen er ikke vinkelrett på planet til de aksonometriske projeksjonene).

Rektangulære fremspring

isometri

Posisjonen til de aksonometriske aksene er vist i fig.1.

Figur 1.

Aksial forvrengningsfaktor x, y, z tilsvarer 0,82.

Isometri for enkelhet utføres som regel uten forvrengning langs aksene x, y, z, dvs. tar forvrengningsfaktoren lik 1.

Bildet som er konstruert på denne måten vil være 1,22 ganger større enn selve objektet, dvs. bildeskalaen vil være M 1,22:1.

Sirkler som ligger i plan parallelt med projeksjonsplanene projiseres på det aksonometriske projeksjonsplanet til ellipser (fig. 2). Hvis en isometrisk projeksjon utføres uten forvrengning langs aksene x, y, z, da er hovedaksen til ellipsene 1, 2, 3 lik 1,22, og den lille aksen er 0,71 av sirkelens diameter. Hvis en isometrisk projeksjon utføres med forvrengning langs aksene x, y, z, da er hovedaksen til ellipsene 1, 2, 3 lik diameteren til sirkelen, og den lille aksen er 0,58 av sirkelens diameter.

Et eksempel på en isometrisk projeksjon av en del er vist i fig.3.

Dimetria

Posisjonen til de aksonometriske aksene er vist i fig.4.

Fig.4.

Akseforvrengningsfaktor y er lik 0,47, og langs aksene x Og z – 0,94.

Dimetrisk projeksjon utføres som regel uten forvrengning langs aksene x Og z og med en forvrengningsfaktor på 0,5 langs aksen y.

Den aksonometriske skalaen vil være M 1,06:1.

Sirkler som ligger i plan parallelt med projeksjonsplanene projiseres på det aksonometriske projeksjonsplanet til ellipser (fig. 5). Hvis den dimetriske projeksjonen utføres uten forvrengning langs aksene x Og z, da er hovedaksen til ellipsene 1, 2, 3 lik 1,06 av diameteren til sirkelen, og den lille aksen til ellipsen 1 er 0,95, til ellipsene 2 og 3 er 0,35 av sirkelens diameter. Hvis den dimetriske projeksjonen utføres med forvrengning langs aksene x Og z, da er hovedaksen til ellipsene 1, 2, 3 lik diameteren til sirkelen, og den lille aksen til ellipsen 1 er 0,9, for ellipsene 2 og 3 er 0,33 av sirkelens diameter.

Et eksempel på en dimetrisk projeksjon av en del er vist i fig.6.

skrå anslag

Isometrisk frontal

Posisjonen til de aksonometriske aksene er vist i fig.7.

Det er tillatt å bruke frontale isometriske fremspring med en helningsvinkel på aksen y 30 og 60 °.

Frontal isometrisk projeksjon utføres uten forvrengning langs aksene x, y, z.

Sirkler som ligger i plan parallelt med frontprojeksjonsplanet projiseres på det aksonometriske planet i sirkler, og sirkler som ligger i plan parallelt med horisontal- og profilprojeksjonsplanene projiseres til ellipser (fig. 8). Hovedaksen til ellipsene 2 og 3 er 1,3 og den lille aksen er 0,54 av sirkelens diameter.

Et eksempel på en frontal isometrisk projeksjon av en del er vist i fig. 9.

Isometrisk horisontal

Posisjonen til de aksonometriske aksene er vist i fig.10.

Det er tillatt å bruke horisontale isometriske projeksjoner med en helningsvinkel på aksen y 45 og 60°, og opprettholder vinkelen mellom aksene x Og y 90°.

Horisontal isometrisk projeksjon utføres uten forvrengning langs aksene x, y Og z.

Sirkler som ligger i plan parallelt med det horisontale projeksjonsplanet projiseres på det aksonometriske projeksjonsplanet i sirkler, og sirkler som ligger i plan parallelt med front- og profilprojeksjonsplanene projiseres til ellipser (fig. 11). Hovedaksen til ellipse 1 er 1,37 og den lille aksen er 0,37 av sirkelens diameter. Hovedaksen til ellipsen 3 er 1,22 og den lille aksen er 0,71 av sirkelens diameter. Akser med frontal dimetri

Det er tillatt å bruke frontale dimetriske fremspring med en helningsvinkel på aksen y 30 og 60 °.

Akseforvrengningsfaktor y er 0,5, og langs aksene x Og z – 1.

Sirkler som ligger i plan parallelt med frontprojeksjonsplanet projiseres på det aksonometriske projeksjonsplanet i sirkler, og sirkler som ligger i plan parallelt med horisontal- og profilprojeksjonsplanene projiseres til ellipser (fig. 14). Hovedaksen til ellipsene 2 og 3 er 1,07 og den lille aksen er 0,33 av sirkelens diameter.

Et eksempel på en frontal dimetrisk projeksjon av en del er vist i fig.15.