Hvordan bestemme tyngdepunktet til en uregelmessig formet figur. Finne tyngdepunktet til kroppen din

Forfatter: La oss ta en vilkårlig formkropp. Er det mulig å henge den på en tråd slik at den etter henging beholder sin posisjon (dvs. ikke begynner å snu) når noen innledende orientering (fig. 27.1)?

Med andre ord, er det et slikt punkt, i forhold til hvilket summen av momentene til tyngdekreftene som virker på forskjellige deler av kroppen, vil være lik null ved noen orientering av kroppen i rommet?

Leser: Ja jeg tror det. Et slikt punkt kalles kroppens tyngdepunkt.

Bevis. For enkelhets skyld bør du vurdere en kropp i form av en flat plate med vilkårlig form vilkårlig orientert i rommet (fig. 27.2). Ta koordinatsystemet X 0på med origo i massesenteret - et punkt FRA, deretter x C = 0, på C = 0.

Vi representerer dette organet som en samling av et stort antall punktmasser m jeg, posisjonen til hver av dem er gitt av radiusvektoren .

Per definisjon av massesenteret og koordinaten x C = .

Siden i vårt koordinatsystem x C= 0, så . La oss multiplisere denne ligningen med g og få

Som det fremgår av fig. 27.2, | x i| er styrkens skulder. Og hvis x i> 0, deretter kraftmomentet M i> 0, og hvis x j < 0, то Mj < 0, поэтому с учетом знака можно утверждать, что для любого x i kraftmoment vil være M i = m i gx i . Da tilsvarer likhet (1) , hvor M i er tyngdemomentet. Og dette betyr at med en vilkårlig orientering av kroppen vil summen av momentene til tyngdekreftene som virker på kroppen være lik null i forhold til dets massesenter.

For at kroppen vi vurderer skal være i likevekt, er det nødvendig å søke på den på et tidspunkt FRA makt T = mg peker vertikalt oppover. Øyeblikket til denne kraften om punktet FRA er lik null.

Siden resonnementet vårt ikke på noen måte var avhengig av nøyaktig hvordan kroppen er orientert i rommet, beviste vi at tyngdepunktet sammenfaller med massesenteret, som var det som krevdes for å bli bevist.

Oppgave 27.1. Finn tyngdepunktet til en vektløs stang med lengde l, i enden av hvilke to punktmasser er faste t 1 og t 2 .

t 1 t 2 l	Løsning. Vi skal ikke se etter tyngdepunktet, men etter massesenteret (siden de er ett og det samme). La oss introdusere aksen X(Fig. 27.3). Ris. 27.3
x C =?

Svar: borte fra masse t 1 .

STOPPE! Bestem selv: B1-B3.

Uttalelse 1 . Hvis et homogent flatt legeme har en symmetriakse, er tyngdepunktet på denne aksen.

Faktisk, for enhver punktmasse m jeg, plassert til høyre for symmetriaksen, er det samme punktmasse plassert symmetrisk i forhold til den første (fig. 27.4). I dette tilfellet er summen av kreftmomentene .

Siden hele kroppen kan representeres som delt inn i like par av punkter, er det totale tyngdemomentet i forhold til ethvert punkt som ligger på symmetriaksen null, noe som betyr at kroppens tyngdepunkt også er plassert på denne aksen. Dette fører til en viktig konklusjon: hvis kroppen har flere symmetriakser, så ligger tyngdepunktet i skjæringspunktet mellom disse aksene(Fig. 27.5).

Ris. 27.5

Uttalelse 2. Hvis to kropper med masser t 1 og t 2 er koblet til ett, så vil tyngdepunktet til et slikt legeme ligge på en rett linje som forbinder tyngdepunktene til det første og andre legeme (fig. 27.6).

Ris. 27.6 Ris. 27.7

Bevis. La oss arrangere komposittlegemet slik at segmentet som forbinder tyngdepunktene til kroppene er vertikalt. Deretter summen av tyngdemomentene til det første legemet i forhold til punktet FRA 1 er lik null, og summen av tyngdemomentene til det andre legemet rundt punktet FRA 2 er null (fig. 27.7).

Legg merke til det skulder tyngdekraften til enhver punktmasse t jeg det samme med hensyn til et hvilket som helst punkt på segmentet FRA 1 FRA 2, og derav tyngdemomentet i forhold til ethvert punkt som ligger på segmentet FRA 1 FRA 2 er like. Derfor er tyngdekraften til hele kroppen null i forhold til et hvilket som helst punkt på segmentet FRA 1 FRA 2. Således ligger tyngdepunktet til komposittlegemet på segmentet FRA 1 FRA 2 .

Påstand 2 innebærer en viktig praktisk konklusjon, som er tydelig formulert i form av instruksjoner.

instruksjon,

hvordan finne tyngdepunktet til en stiv kropp hvis den kan brytes

i deler, posisjonene til tyngdepunktene til hver av dem er kjent

1. Bytt ut hver del med en masse plassert i tyngdepunktet til den delen.

2. Finn tyngdepunkt(og dette er det samme som tyngdepunktet) til det resulterende systemet med punktmasser, ved å velge et praktisk koordinatsystem X 0på, i henhold til formlene:

Faktisk, la oss plassere den sammensatte kroppen på en slik måte at segmentet FRA 1 FRA 2 var horisontal, og vi vil henge den på tråder på punkter FRA 1 og FRA 2 (fig. 27.8, en). Det er klart at kroppen vil være i likevekt. Og denne balansen vil ikke bli forstyrret hvis vi erstatter hver kropp med punktmasser t 1 og t 2 (fig. 27.8, b).

Ris. 27.8

STOPPE! Bestem selv: C3.

Oppgave 27.2. Massekuler er plassert i to hjørner av en likesidet trekant t Hver. Det tredje toppunktet inneholder en kule med masse 2 t(Fig. 27.9, en). Trekantside en. Bestem tyngdepunktet til dette systemet.

t 2t en	Ris. 27.9
x C = ? på C = ?

Løsning. Vi introduserer koordinatsystemet X 0på(Fig. 27.9, b). Deretter

,

.

Svar: x C = en/2; ; tyngdepunktet ligger på halve høyden AD.

Emnet er relativt enkelt å mestre, men det er ekstremt viktig når man studerer styrkeforløpet til materialer. Hovedoppmerksomheten her bør rettes mot å løse problemer både med flate og geometriske former, og med standard valsede profiler.

Spørsmål for selvkontroll

1. Hva er sentrum av parallelle krefter?

Sentrum av parallelle krefter er punktet som linjen til det resulterende systemet med parallelle krefter påført på gitte punkter passerer, med enhver endring i retningen til disse kreftene i rommet.

2. Hvordan finne koordinatene til sentrum av parallelle krefter?

For å bestemme koordinatene til sentrum av parallelle krefter bruker vi Varignon-teoremet.

Akse relativ x

Mx(R) = ΣMx(Fk), - y C R = Σy kFk og y C = Σy kFk /Σ Fk .

Akse relativ y

M y (R) = ΣM y (Fk), - x C R = Σx kFk og x C = Σx kFk /Σ Fk .

For å bestemme koordinaten z C , roter alle krefter 90° slik at de blir parallelle med aksen y (Figur 1.5, b). Deretter

M z (R) = ΣM z (Fk), - z C R = Σz kFk og z C = Σz kFk /Σ Fk .

Derfor tar formelen for å bestemme radiusvektoren til sentrum av parallelle krefter formen

r C = Σr kFk /Σ Fk.

3. Hva er kroppens tyngdepunkt?

Tyngdepunkt - et punkt som alltid er forbundet med et fast legeme gjennom hvilket resultatet av tyngdekraften som virker på partiklene i denne kroppen passerer ved hvilken som helst posisjon av legemet i rommet. For en homogen kropp med et symmetrisenter (sirkel, ball, terning, etc.), er tyngdepunktet plassert i symmetrisenteret til kroppen. Plasseringen av tyngdepunktet til et stivt legeme faller sammen med posisjonen til massesenteret.

4. Hvordan finne tyngdepunktet til et rektangel, trekant, sirkel?

For å finne tyngdepunktet til en trekant, må du tegne en trekant - en figur som består av tre segmenter forbundet med hverandre i tre punkter. Før du finner tyngdepunktet til figuren, må du bruke en linjal for å måle lengden på den ene siden av trekanten. I midten av siden setter du et merke, hvoretter du kobler det motsatte toppunktet og midten av segmentet med en linje som kalles medianen. Gjenta den samme algoritmen med den andre siden av trekanten, og deretter med den tredje. Resultatet av arbeidet ditt vil være tre medianer som skjærer hverandre i ett punkt, som vil være trekantens tyngdepunkt. Hvis det er nødvendig å bestemme tyngdepunktet til en rund skive med en homogen struktur, må du først finne skjæringspunktet for sirkeldiametrene. Det vil være tyngdepunktet til denne kroppen. Med tanke på slike figurer som en ball, en bøyle og et homogent rektangulært parallellepiped, er det trygt å si at tyngdepunktet til bøylen vil være i midten av figuren, men utenfor dens punkter er tyngdepunktet til ballen det geometriske sentrum av kulen, og i det siste tilfellet er tyngdepunktet skjæringsdiagonalene til et rektangulært parallellepiped.

5. Hvordan finne koordinatene til tyngdepunktet til et flatt sammensatt snitt?

Partisjonsmetode: hvis en flat figur kan deles inn i et begrenset antall slike deler, for hver av dem er posisjonen til tyngdepunktet kjent, så bestemmes koordinatene til tyngdepunktet til hele figuren av formlene:

XC = (sk x k)/S; Y C = ( s k y k) / S,

hvor x k, y k er koordinatene til tyngdepunktene til delene av figuren;

s k - deres område;

S \u003d s k - arealet av hele figuren.

6. Tyngdepunkt

1. I hvilket tilfelle er det nok å bestemme én koordinat ved beregning for å bestemme tyngdepunktet?

I det første tilfellet, for å bestemme tyngdepunktet, er det tilstrekkelig å bestemme én koordinat.Kroppen er delt inn i et begrenset antall deler, for hver av disse posisjonen til tyngdepunktet C og område S kjent. For eksempel projeksjonen av en kropp på et plan xOy (Figur 1.) kan representeres som to flate figurer med arealer S1 og S2 (S = S 1 + S 2 ). Tyngdepunktene til disse figurene er på punktene C 1 (x 1, y 1) og C 2 (x 2, y 2) . Da er koordinatene til kroppens tyngdepunkt

Siden sentrene til figurene ligger på y-aksen (x = 0), finner vi kun koordinaten Oss.

2 Hvordan blir arealet av hullet i figur 4 tatt i betraktning i formelen for å bestemme tyngdepunktet til figuren?

Negativ massemetode

Denne metoden består i at en kropp med frie hulrom anses som solid, og massen av frie hulrom anses som negativ. Formen på formler for å bestemme koordinatene til kroppens tyngdepunkt endres ikke.

Når man bestemmer tyngdepunktet til en kropp med frie hulrom, bør man derfor bruke skillemetoden, men massen av hulrom bør betraktes som negativ.

har en idé om sentrum av parallelle krefter og dets egenskaper;

vet formler for å bestemme koordinatene til tyngdepunktet til flate figurer;

være i stand til Bestem koordinatene til tyngdepunktet til flate figurer med enkle geometriske former og standard rullede profiler.

ELEMENTER AV KINEMATIKK OG DYNAMIKK
Etter å ha studert kinematikken til et punkt, vær oppmerksom på det faktum at den rettlinjede bevegelsen til et punkt, både ujevn og jevn, alltid er preget av tilstedeværelsen av normal (sentripetal) akselerasjon. Med translasjonsbevegelsen til et legeme (karakterisert av bevegelsen til noen av punktene), er alle formler for kinematikken til et punkt anvendelige. Formlene for å bestemme vinkelverdiene til en kropp som roterer rundt en fast akse, har en fullstendig semantisk analogi med formlene for å bestemme de tilsvarende lineære verdiene til en translasjonsbevegelig kropp.

Tema 1.7. Punktkinematikk
Når du studerer emnet, vær oppmerksom på de grunnleggende konseptene for kinematikk: akselerasjon, hastighet, bane, avstand.

Spørsmål for selvkontroll

1. Hva er relativiteten til begrepene hvile og bevegelse?

Mekanisk bevegelse er en endring i bevegelsen til en kropp, eller (dens deler) i rommet i forhold til andre kropper over tid. Flyturen til en kastet stein, rotasjonen av et hjul er eksempler på mekanisk bevegelse.

2. Definer de grunnleggende begrepene i kinematikk: bane, avstand, bane, hastighet, akselerasjon, tid.

Hastighet er et kinematisk mål på bevegelsen til et punkt, som karakteriserer endringshastigheten i dets posisjon i rommet. Hastighet er en vektormengde, det vil si at den er preget ikke bare av modulen (skalarkomponenten), men også av retningen i rommet.

Som kjent fra fysikken kan hastigheten ved jevn bevegelse bestemmes av lengden på veien per tidsenhet: v = s / t = const (det antas at opprinnelsen til banen og tiden sammenfaller). I rettlinjet bevegelse er hastigheten konstant både i absolutt verdi og i retning, og vektoren sammenfaller med banen.

Enhet for hastighet i systemet SI bestemmes av forholdet lengde / tid, dvs. m / s.

Akselerasjon er et kinematisk mål på endringen i hastigheten til et tidspunkt. Med andre ord, akselerasjon er hastigheten for endring av hastighet.
Som hastighet er akselerasjon en vektormengde, det vil si at den er preget ikke bare av modulen, men også av retningen i rommet.

I rettlinjet bevegelse sammenfaller alltid hastighetsvektoren med banen, og derfor sammenfaller også hastighetsendringsvektoren med banen.

Fra fysikkløpet er det kjent at akselerasjon er en endring i hastighet per tidsenhet. Hvis Δt hastigheten til punktet endret seg med Δv i en kort tidsperiode, var den gjennomsnittlige akselerasjonen for denne tidsperioden: a cp = Δv/Δt.

Den gjennomsnittlige akselerasjonen gir ikke en ide om den sanne størrelsen på endringen i hastighet i hvert øyeblikk. Samtidig er det åpenbart at jo kortere den betraktede tidsperioden som hastighetsendringen skjedde, desto nærmere vil akselerasjonsverdien være den sanne (øyeblikkelige).
Derav definisjonen: sann (øyeblikkelig) akselerasjon er grensen som den gjennomsnittlige akselerasjonen har en tendens til når Δt har en tendens til null:

a = lim a cf ved t→0 eller lim Δv/Δt = dv/dt.

Gitt at v \u003d ds / dt, får vi: a \u003d dv / dt \u003d d 2 s / dt 2.

Sann akselerasjon i rettlinjet bevegelse er lik den første deriverte av hastigheten eller den andre deriverte av koordinaten (avstand fra opprinnelsen til bevegelsen) med hensyn til tid. Akselerasjonsenheten er meteren delt på et sekund i kvadrat (m/s 2).

Bane- en linje i rommet som et materialpunkt beveger seg langs.
Sti er lengden på banen. Den tilbakelagte avstanden l er lik lengden på buen til banen som kroppen har tilbakelagt på en tid t. Banen er en skalarverdi.

Avstand bestemmer posisjonen til et punkt på banen og måles fra en eller annen opprinnelse. Avstanden er en algebraisk størrelse, siden den, avhengig av posisjonen til punktet i forhold til origo og den aksepterte retningen til avstandsaksen, kan være både positiv og negativ. I motsetning til avstand, bestemmes alltid banen et punkt reiser av et positivt tall. Banen faller sammen med den absolutte verdien av avstanden bare hvis bevegelsen av punktet starter fra origo og følger banen i én retning.

I det generelle tilfellet med punktbevegelse er banen lik summen av de absolutte verdiene av avstandene punktet har tilbakelagt i en gitt tidsperiode:

3. På hvilke måter kan bevegelsesloven til et punkt gis?

1. Den naturlige måten å sette bevegelsen til et punkt på.

Med den naturlige metoden for å spesifisere bevegelsen, antas det å bestemme parametrene for bevegelsen til et punkt i et bevegelig referansesystem, hvis begynnelse sammenfaller med det bevegelige punktet, og aksene er tangent, normal og binormal til bane for punktet i hver av dets posisjoner. For å sette bevegelsesloven til et punkt på en naturlig måte, er det nødvendig:

1) kjenne bevegelsesbanen;

2) sett referansepunktet på denne kurven;

3) etablere en positiv bevegelsesretning;

4) gi bevegelsesloven til et punkt langs denne kurven, dvs. uttrykke avstanden fra origo til posisjonen til et punkt på kurven på et gitt tidspunkt ∪OM=S(t) .

2.Vektormetode for å spesifisere bevegelsen til et punkt

I dette tilfellet bestemmes posisjonen til et punkt på et plan eller i rommet av en vektorfunksjon. Denne vektoren er plottet fra et fast punkt valgt som origo, dens ende bestemmer posisjonen til det bevegelige punktet.

3. Koordinatmetode for å spesifisere bevegelsen til et punkt

I det valgte koordinatsystemet er koordinatene til det bevegelige punktet gitt som en funksjon av tiden. I et rektangulært kartesisk koordinatsystem vil disse være ligningene:

4. Hvordan er vektoren til punktets sanne hastighet rettet under krumlinjet bevegelse?

Med ujevn bevegelse av et punkt, endres hastighetsmodulen over tid.
Se for deg et punkt hvis bevegelse er gitt på en naturlig måte av ligningen s = f(t).

Hvis punktet Δt i en kort periode har gått veien Δs, er gjennomsnittshastigheten lik:

vav = ∆s/∆t.

Gjennomsnittshastigheten gir ikke en ide om den sanne hastigheten på et gitt tidspunkt (sann hastighet kalles ellers øyeblikkelig). Jo kortere tidsintervallet som gjennomsnittshastigheten er bestemt for, jo nærmere vil verdien være den øyeblikkelige hastigheten.

Den sanne (øyeblikkelige) hastigheten er grensen som gjennomsnittshastigheten har en tendens til når Δt har en tendens til null:

v = lim v cf ved t→0 eller v = lim (Δs/Δt) = ds/dt.

Dermed er den numeriske verdien av den sanne hastigheten v = ds/dt.
Den sanne (øyeblikkelige) hastigheten for enhver bevegelse av et punkt er lik den første deriverte av koordinaten (dvs. avstanden fra opprinnelsen til bevegelsen) med hensyn til tid.

Når Δt har en tendens til null, tenderer Δs også til null, og som vi allerede har funnet ut, vil hastighetsvektoren bli rettet tangentielt (det vil si at den vil falle sammen med den sanne hastighetsvektoren v). Av dette følger det at grensen for den betingede hastighetsvektoren v p, lik grensen for forholdet mellom punktforskyvningsvektoren og et uendelig lite tidsintervall, er lik punktets sanne hastighetsvektor.

5. Hvordan er tangent- og normalakselerasjonene til punktet rettet?

Retningen til akselerasjonsvektoren faller sammen med retningen for endringen i hastighet Δ = - 0

Tangentialakselerasjonen ved et gitt punkt er rettet tangentielt til punktets bane; hvis bevegelsen akselereres, faller retningen til den tangentielle akselerasjonsvektoren sammen med retningen til hastighetsvektoren; hvis bevegelsen er langsom, så er retningen til den tangentielle akselerasjonsvektoren motsatt av retningen til hastighetsvektoren.

6. Hvilken bevegelse gjør punktet hvis tangentiell akselerasjon er null, og den normale ikke endres over tid?

Ensartet krumlinjet bevegelse karakterisert ved at den numeriske verdien av hastigheten er konstant ( v= konst), hastigheten endres bare i retning. I dette tilfellet er den tangentielle akselerasjonen null, siden v= konst(fig.b),

og den normale akselerasjonen er ikke lik null, siden r - sluttverdi.

7. Hvordan ser kinematiske grafer ut med jevn og like variabel bevegelse?

Med jevn bevegelse dekker kroppen like avstander i alle like tidsintervaller. For en kinematisk beskrivelse av jevn rettlinjet bevegelse, koordinataksen OKSE praktisk å plassere langs bevegelseslinjen. Kroppens posisjon under jevn bevegelse bestemmes ved å sette en koordinat x. Forskyvningsvektoren og hastighetsvektoren er alltid rettet parallelt med koordinataksen OKSE. Derfor kan forskyvningen og hastigheten under rettlinjet bevegelse projiseres på aksen OKSE og betrakt projeksjonene deres som algebraiske størrelser.

Med jevn bevegelse endres banen, i henhold til et lineært forhold. i koordinater. Grafen er en skrå linje.

Som et resultat av å studere emnet, må studenten:

har en idé om rom, tid, bane; gjennomsnittlig og sann hastighet;

vet måter å spesifisere bevegelsen til et punkt; parametere for punktbevegelse langs en gitt bane.

Å bestemme tyngdepunktet til et vilkårlig legeme ved suksessivt å legge sammen kreftene som virker på dets individuelle deler er en vanskelig oppgave; det er tilrettelagt bare for kropper av relativt enkel form.

La kroppen kun bestå av to vekter og forbundet med en stang (fig. 125). Hvis massen til stangen er liten sammenlignet med massene og , så kan den neglisjeres. Hver av massene påvirkes av tyngdekraften lik hhv. begge er rettet vertikalt ned, det vil si parallelt med hverandre. Som vi vet, påføres resultanten av to parallelle krefter i punktet , som bestemmes ut fra tilstanden

Ris. 125. Bestemmelse av tyngdepunktet til et legeme bestående av to laster

Derfor deler tyngdepunktet avstanden mellom to laster i et forhold omvendt til forholdet mellom massene deres. Hvis denne kroppen er suspendert på et punkt, vil den forbli i likevekt.

Siden to like masser har felles tyngdepunkt i et punkt som halverer avstanden mellom disse massene, er det umiddelbart klart at for eksempel tyngdepunktet til en homogen stav ligger midt på staven (fig. 126). .

Siden enhver diameter på en homogen rund skive deler den i to helt like symmetriske deler (fig. 127), må tyngdepunktet ligge på hver diameter av skiven, det vil si i skjæringspunktet mellom diametrene - i det geometriske. midten av disken. Ved å argumentere på lignende måte kan vi finne at tyngdepunktet til en homogen ball ligger i dens geometriske sentrum, tyngdepunktet til et homogent rektangulært parallellepiped ligger i skjæringspunktet mellom diagonalene, osv. Tyngdepunktet til en bøyle eller ring ligger i midten. Det siste eksemplet viser at tyngdepunktet til en kropp kan ligge utenfor kroppen.

Ris. 126. Tyngdepunktet til en homogen stang ligger i midten

Ris. 127. Sentrum av en homogen skive ligger ved dens geometriske sentrum

Hvis kroppen har en uregelmessig form eller hvis den er inhomogen (for eksempel har den tomrom), er beregningen av tyngdepunktets posisjon ofte vanskelig, og denne posisjonen er mer praktisk å finne gjennom erfaring. La, for eksempel, er det nødvendig å finne tyngdepunktet til et stykke kryssfiner. La oss henge den på en tråd (fig. 128). Tydeligvis, i likevektsposisjonen, må tyngdepunktet til kroppen ligge på fortsettelsen av tråden, ellers vil tyngdekraften ha et moment i forhold til opphengspunktet, som vil begynne å rotere kroppen. Derfor, ved å tegne en rett linje på kryssfinerstykket vårt, som representerer fortsettelsen av tråden, kan vi hevde at tyngdepunktet ligger på denne rette linjen.

Faktisk, ved å henge kroppen på forskjellige punkter og tegne vertikale linjer, vil vi sørge for at de alle krysser hverandre på ett punkt. Dette punktet er kroppens tyngdepunkt (siden det må ligge samtidig på alle slike linjer). På lignende måte kan man bestemme posisjonen til tyngdepunktet ikke bare for en flat figur, men også til en mer kompleks kropp. Plasseringen av tyngdepunktet til flyet bestemmes ved å rulle det med hjul inn på skalaplattformen. Resultanten av vektkreftene på hvert hjul vil bli rettet vertikalt, og du kan finne linjen langs hvilken den virker ved loven om addisjon av parallelle krefter.

Ris. 128. Skjæringspunktet mellom vertikale linjer trukket gjennom opphengspunktene er tyngdepunktet til kroppen

Når massene til individuelle deler av kroppen endres eller når formen på kroppen endres, endres tyngdepunktets posisjon. Så, tyngdepunktet til et fly beveger seg når drivstoff forbrukes fra tankene, når bagasjen er lastet, osv. For et visuelt eksperiment som illustrerer bevegelsen av tyngdepunktet når formen på kroppen endres, er det praktisk å ta to identiske stenger forbundet med et hengsel (fig. 129). I tilfellet når stengene danner en fortsettelse av hverandre, ligger tyngdepunktet på stengenes akse. Hvis stengene er bøyd ved hengslet, er tyngdepunktet utenfor stengene, på halveringslinjen til vinkelen de danner. Hvis en ekstra belastning legges på en av stengene, vil tyngdepunktet bevege seg mot denne belastningen.

Ris. 129. a) Tyngdepunktet til stengene forbundet med et hengsel, plassert på én rett linje, ligger på stengenes akse, b) Tyngdepunktet til et bøyd system av stenger ligger utenfor stengene.

81.1. Hvor er tyngdepunktet til to identiske tynne stenger, med en lengde på 12 cm og festet i form av bokstaven T?

81.2. Bevis at tyngdepunktet til en jevn trekantet plate ligger i skjæringspunktet mellom medianene.

Ris. 130. Å utøve 81.3

81.3. Et homogent brett med masse 60 kg hviler på to støtter, som vist i fig. 130. Bestem kreftene som virker på støttene.

Merk. Tyngdepunktet til en symmetrisk figur er på symmetriaksen.

Tyngdepunktet til stangen er midt i høyden. Når du løser problemer, brukes følgende metoder:

1. symmetrimetode: tyngdepunktet til symmetriske figurer er på symmetriaksen;

2. separasjonsmetode: komplekse seksjoner er delt inn i flere enkle deler, hvor posisjonen til tyngdepunktene er lett å bestemme;

3. metode for negative områder: hulrom (hull) betraktes som en del av en seksjon med negativt område.

Eksempler på problemløsning

Eksempel 1. Bestem posisjonen til tyngdepunktet til figuren vist i fig. 8.4.

Løsning

Vi deler figuren inn i tre deler:

Tilsvarende definert på C = 4,5 cm.

Eksempel 2 Finn posisjonen til tyngdepunktet til et symmetrisk stangfagverk ADBE(Fig. 116), hvis dimensjoner er som følger: AB = 6m, D.E.= 3 m og EF= 1m.

Løsning

Siden fagverket er symmetrisk, ligger tyngdepunktet på symmetriaksen D.F. Med det valgte (fig. 116) systemet med koordinatakser til abscissen til gårdens tyngdepunkt

Ukjent er derfor bare ordinaten på C gårdens tyngdepunkt. For å bestemme det deler vi gården i separate deler (stenger). Lengdene deres bestemmes fra de tilsvarende trekantene.

Fra ∆AEF vi har

Fra ΔADF vi har

Tyngdepunktet til hver stang ligger i midten, koordinatene til disse sentrene bestemmes lett fra tegningen (fig. 116).

De funnet lengdene og ordinatene til tyngdepunktene til enkeltdeler av gården er lagt inn i tabellen og i henhold til formelen

bestemme ordinaten u s tyngdepunktet til denne flate takstolen.

Derfor tyngdepunktet FRA hele fagverket ligger på aksen D.F. fagverkssymmetri i en avstand på 1,59 m fra punktet F.

Eksempel 3 Bestem koordinatene til tyngdepunktet til den sammensatte seksjonen. Seksjonen består av en plate og rullede profiler (fig. 8.5).

Merk. Ofte er rammer sveiset fra forskjellige profiler, og skaper den nødvendige designen. Dermed reduseres metallforbruket og det dannes en struktur med høy styrke.

For standard valsede seksjoner er deres egne geometriske egenskaper kjent. De er gitt i de relevante standardene.

Løsning

1. Vi betegner tallene med tall og skriver ut de nødvendige dataene fra tabellene:

1 - kanal nr. 10 (GOST 8240-89); høyde h = 100 mm; hyllebredde b= 46 mm; tverrsnittsareal A 1\u003d 10,9 cm 2;

2 - I-bjelke nr. 16 (GOST 8239-89); høyde 160 mm; hyllebredde 81 mm; snittareal A 2 - 20,2 cm 2;

3 - ark 5x100; tykkelse 5 mm; bredde 100 mm; snittareal A 3 \u003d 0,5 10 \u003d 5 cm 2.

2. Koordinatene til tyngdepunktene til hver figur kan bestemmes fra tegningen.

Den sammensatte seksjonen er symmetrisk, så tyngdepunktet er på symmetriaksen og koordinaten X C = 0.

3. Bestemme tyngdepunktet til en sammensatt seksjon:

Eksempel 4 Bestem koordinatene til tyngdepunktet til seksjonen vist i fig. åtte, en. Seksjonen består av to hjørner 56x4 og kanal nr. 18. Kontroller riktigheten av å bestemme posisjonen til tyngdepunktet. Spesifiser posisjonen på seksjonen.

Løsning

1. : to hjørner 56 x 4 og kanal nr. 18. La oss betegne dem 1, 2, 3 (se fig. 8, en).

2. Angi tyngdepunktene hver profil ved hjelp av tabell. 1 og 4 adj. jeg, og betegne dem C 1, C 2, Fra 3.

3. La oss velge et system med koordinatakser. Akser på kompatibel med symmetriaksen og aksen X tegne gjennom tyngdepunktene til hjørnene.

4. Bestem koordinatene til tyngdepunktet for hele seksjonen. Siden aksen på faller sammen med symmetriaksen, så passerer den gjennom tyngdepunktet til seksjonen, derfor x s= 0. Koordinat u s defineres med formelen

Ved å bruke applikasjonstabellene bestemmer vi arealene til hver profil og koordinatene til tyngdepunktene:

Koordinater 1 og kl 2 er lik null, siden aksen X passerer gjennom tyngdepunktene til hjørnene. Bytt inn de oppnådde verdiene i formelen for å bestemme u s:

5. La oss indikere tyngdepunktet til seksjonen i fig. 8, og vi vil betegne det med bokstaven C. Vi viser avstanden y C \u003d 2,43 cm fra aksen X til punkt C.

Siden hjørnene er symmetrisk plassert, har samme areal og koordinater, da A 1 \u003d A 2, y 1 = y 2 . Derfor formelen for å bestemme på C kan forenkles:

6. La oss ta en sjekk. For denne aksen X la oss tegne langs den nedre kanten av hjørnehyllen (fig. 8, b). Akser på La oss la det være som i den første løsningen. Formler for å bestemme x C og på C ikke forandre:

Profilområdene vil forbli de samme, men koordinatene til tyngdepunktene til hjørnene og kanalen vil endres. La oss skrive dem ut:

Finne koordinaten til tyngdepunktet:

I følge de funnet koordinatene x s og u s vi setter punkt C på tegningen Posisjonen til tyngdepunktet funnet på to måter er på samme punkt. La oss sjekke det ut. Forskjell mellom koordinater på s, funnet i den første og andre løsningen er: 6,51 - 2,43 \u003d 4,08 cm.

Dette er lik avstanden mellom x-aksene i den første og andre løsningen: 5,6 - 1,52 = 4,08 cm.

Svar: kl= 2,43 cm hvis x-aksen går gjennom tyngdepunktene til hjørnene, eller y c = 6,51 cm dersom x-aksen går langs underkanten av hjørneflensen.

Eksempel 5 Bestem koordinatene til tyngdepunktet til seksjonen vist i fig. 9, en. Seksjonen består av en I-bjelke nr. 24 og en kanal nr. 24a. Vis posisjonen til tyngdepunktet på seksjonen.

Løsning

1.La oss dele seksjonen inn i rullede profiler: I-bjelke og kanal. La oss kalle dem 1 og 2.

3. Vi angir tyngdepunktene til hver profil C 1 og C 2 ved bruk av applikasjonstabeller.

4. La oss velge et system med koordinatakser. X-aksen er kompatibel med symmetriaksen, og vi trekker y-aksen gjennom tyngdepunktet til I-bjelken.

5. Bestem koordinatene til tyngdepunktet til strekningen. Y-koordinaten c = 0, siden aksen X faller sammen med symmetriaksen. X-koordinaten med bestemmes av formelen

I følge tabellen 3 og 4 app. Jeg og seksjonsordningen, definerer vi

Bytt ut de numeriske verdiene i formelen og få

5. La oss markere punktet C (tyngdepunktet for snittet) i henhold til de funnet verdiene x c ​​og y c (se fig. 9, a).

Verifisering av løsningen må utføres uavhengig av aksenes posisjon, som vist i fig. 9, b. Som et resultat av løsningen får vi x c \u003d 11,86 cm. Forskjellen mellom verdiene for x c for den første og andre løsningen er 11,86 - 6,11 \u003d 5,75 cm, som er lik avstanden mellom y-akser med samme løsninger b dv / 2 = 5,75 cm.

Svar: x c \u003d 6,11 cm, hvis y-aksen passerer gjennom tyngdepunktet til I-bjelken; x c \u003d 11,86 cm hvis y-aksen passerer gjennom de venstre ytterpunktene til I-bjelken.

Eksempel 6 Jernbanekranen hviler på skinner, avstanden mellom disse er AB = 1,5 m (Fig. 1.102). Kranvognens tyngdekraft er G r = 30 kN, tyngdepunktet til vognen er i punktet C, som ligger på linjen KL for skjæringspunktet mellom vognens symmetriplan og tegneplanet. Tyngdekraften til kranvinsjen Q l \u003d 10 kN påføres på punktet D. Tyngdekraften til motvekten G„=20 kN påføres i punkt E. Tyngdekraften til bommen G c = 5 kN påføres i punkt H. Kranoverhenget i forhold til KL-linjen er 2 m. Bestem stabilitetskoeffisient for kranen i ubelastet tilstand og hvilken belastning F kan løftes med denne kranen, forutsatt at stabilitetsfaktoren må være minst to.

Løsning

1. I ubelastet tilstand har kranen fare for å velte ved svinging rundt skinnen MEN. Derfor med hensyn til poenget MEN stabilitetsmoment

2. Veltende øyeblikk om et punkt MEN skapt av tyngdekraften til motvekten, dvs.

3. Derav stabilitetskoeffisienten til kranen i ubelastet tilstand

4. Ved lasting av kranbommen med last F det er fare for at kranen velter ved en sving rundt skinnen B. Derfor mht. punktet PÅ stabilitetsmoment

5. Veltemoment i forhold til skinnen PÅ

6. I henhold til problemets tilstand er driften av kranen tillatt med en stabilitetskoeffisient k B ≥ 2, dvs.

Kontroller spørsmål og oppgaver

1. Hvorfor kan tiltrekningskreftene til jorden, som virker på kroppens punkter, tas som et system av parallelle krefter?

2. Skriv ned formler for å bestemme posisjonen til tyngdepunktet til inhomogene og homogene legemer, formler for å bestemme posisjonen til tyngdepunktet til flate seksjoner.

3. Gjenta formlene for å bestemme posisjonen til tyngdepunktet til enkle geometriske former: et rektangel, en trekant, en trapes og en halv sirkel.

4.
Hva kalles områdets statiske moment?

5. Beregn det statiske momentet til denne figuren rundt aksen Okse. h= 30 cm; b= 120 cm; Med= 10 cm (fig. 8.6).

6. Bestem koordinatene til tyngdepunktet til den skraverte figuren (fig. 8.7). Mål er oppgitt i mm.

7. Bestem koordinaten på figur 1 av komposittsnittet (fig. 8.8).

Når du bestemmer deg, bruk referansedataene til GOST-tabellene "Varmvalset stål" (se vedlegg 1).

6.1. Generell informasjon

Senter for parallelle styrker
Tenk på to parallelle krefter rettet i samme retning , og , påført kroppen på punktene MEN 1 og MEN 2 (fig. 6.1). Dette kraftsystemet har en resultant, hvis handlingslinje går gjennom et bestemt punkt FRA. Punktposisjon FRA kan bli funnet ved å bruke Varignons teorem:

Hvis du snur kraften og nærmer deg punktene MEN 1 og MEN 2 i én retning og i samme vinkel, så får vi et nytt system av parallelle fettstoffer med samme moduler. I dette tilfellet vil deres resultant også passere gjennom punktet FRA. Et slikt punkt kalles sentrum av parallelle krefter.
Tenk på et system med parallelle og like rettede krefter som påføres et stivt legeme på punkter. Dette systemet har en resultant.
Hvis hver kraft i systemet roteres nær påføringspunktene i samme retning og i samme vinkel, vil nye systemer med like rettede parallelle krefter med samme moduler og påføringspunkter oppnås. Resultanten av slike systemer vil ha samme modul R, men hver gang i en annen retning. Lagt ned styrke F 1 og F 2 finner at deres resulterende R 1 , som alltid vil passere gjennom punktet FRA 1, hvis stilling bestemmes av likestillingen. Legger til ytterligere R 1 og F 3, finn deres resultant, som alltid vil passere gjennom punktet FRA 2 liggende på linjen MEN 3 FRA 2. Etter å ha avsluttet prosessen med tillegg av krefter, vil vi komme til den konklusjon at resultanten av alle krefter faktisk alltid vil passere gjennom det samme punktet FRA, hvis posisjon i forhold til punktene vil være uendret.
Punktum FRA, gjennom hvilken virkningslinjen til det resulterende systemet av parallelle krefter passerer for enhver rotasjon av disse kreftene nær påføringspunktene i samme retning i samme vinkel kalles sentrum av parallelle krefter (fig. 6.2).

Fig.6.2

La oss bestemme koordinatene til sentrum av parallelle krefter. Siden posisjonen til punktet FRA med hensyn til kroppen er uendret, så avhenger dens koordinater ikke av valget av koordinatsystemet. Roter alle kreftene nær påføringen slik at de blir parallelle med aksen OU og anvende Varignons teorem på roterte krefter. Fordi R" er resultanten av disse kreftene, så har vi ifølge Varignon-setningen , fordi , , vi får

Herfra finner vi koordinaten til sentrum av parallelle krefter zc:

For å bestemme koordinaten xc komponer et uttrykk for kreftmomentet om aksen Oz.

For å bestemme koordinaten yc roter alle kreftene slik at de blir parallelle med aksen Oz.

Posisjonen til sentrum av parallelle krefter i forhold til origo (fig. 6.2) kan bestemmes av radiusvektoren:

6.2. Tyngdepunktet til en stiv kropp

tyngdepunkt av en stiv kropp er et punkt som alltid er forbundet med denne kroppen FRA, gjennom hvilken virkningslinjen til resultanten av tyngdekreftene til et gitt legeme passerer, for enhver posisjon av kroppen i rommet.
Tyngdepunktet brukes i studiet av stabiliteten til likevektsposisjonene til kropper og kontinuerlige medier under påvirkning av tyngdekraften og i noen andre tilfeller, nemlig: i motstanden til materialer og i strukturell mekanikk - når du bruker Vereshchagin-regelen.
Det er to måter å bestemme tyngdepunktet til en kropp på: analytisk og eksperimentell. Den analytiske metoden for å bestemme tyngdepunktet følger direkte av konseptet med sentrum av parallelle krefter.
Koordinatene til tyngdepunktet, som sentrum av parallelle krefter, bestemmes av formlene:

hvor R- vekten av hele kroppen; pk- vekten av kroppspartikler; xk, yk, zk- koordinater til kroppspartikler.
For en homogen kropp er vekten av hele kroppen og enhver del av den proporsjonal med volumet P=Vy, pk =vk γ, hvor γ - vekt per volumenhet, V- volum av kroppen. Erstattende uttrykk P, pk inn i formlene for å bestemme koordinatene til tyngdepunktet og redusere med en felles faktor γ , vi får:

Punktum FRA, hvis koordinater er bestemt av de oppnådde formlene, kalles tyngdepunktet til volumet.
Hvis kroppen er en tynn homogen plate, bestemmes tyngdepunktet av formlene:

hvor S- området av hele platen; sk- området til dens del; xk, yk- koordinater for tyngdepunktet til platedelene.
Punktum FRA i dette tilfellet kalles tyngdepunktsområdet.
Telleren av uttrykk som bestemmer koordinatene til tyngdepunktet til planfigurer kalles med statiske øyeblikk av området om øksene på og X:

Deretter kan områdets tyngdepunkt bestemmes av formlene:

For kropper hvis lengde er mange ganger større enn dimensjonene til tverrsnittet, bestemmes tyngdepunktet til linjen. Koordinatene til tyngdepunktet til linjen bestemmes av formlene:

hvor L- linjelengde; lk- lengden på delene; xk, yk, zk- koordinat for tyngdepunktet til linjedelene.

6.3. Metoder for å bestemme koordinatene til tyngdepunktene til legemer

Basert på de oppnådde formlene er det mulig å foreslå praktiske metoder for å bestemme tyngdepunktene til legemer.
1. Symmetri. Hvis kroppen har et symmetrisenter, er tyngdepunktet i symmetrisenteret.
Hvis kroppen har et symmetriplan. For eksempel XOU-planet, så ligger tyngdepunktet i dette planet.
2. splitting. For kropper som består av enkle kropper, brukes splittemetoden. Kroppen er delt inn i deler, hvis tyngdepunkt er funnet ved symmetrimetoden. Tyngdepunktet til hele kroppen bestemmes av formlene for tyngdepunktet til volumet (arealet).

Eksempel. Bestem tyngdepunktet til platen vist i figuren nedenfor (fig. 6.3). Platen kan deles inn i rektangler på ulike måter og koordinatene til tyngdepunktet til hvert rektangel og deres areal kan bestemmes.

Fig.6.3

Svar: xc=17,0 cm; yc= 18,0 cm.

3. Addisjon. Denne metoden er et spesielt tilfelle av partisjoneringsmetoden. Den brukes når kroppen har hakk, kutt osv., hvis koordinatene til kroppens tyngdepunkt uten hakket er kjent.

Eksempel. Bestem tyngdepunktet til en rund plate med en utskjæring med en radius r = 0,6 R(Fig. 6.4).

Fig.6.4

Den runde platen har et symmetrisenter. La oss plassere opprinnelsen til koordinatene i midten av platen. Plateområde uten hakk, hakkområde. Plateområde med hakk ; .
Den hakkede platen har en symmetriakse O1 x, Følgelig, yc=0.

4. Integrering. Hvis kroppen ikke kan deles inn i et begrenset antall deler, hvor posisjonene til tyngdepunktene er kjent, deles kroppen inn i vilkårlige små volumer, for hvilke formelen ved bruk av partisjoneringsmetoden har formen: .
Videre går de til grensen, og tenderer de elementære volumene til null, dvs. kontrahere volumer til poeng. Summene erstattes av integraler utvidet til hele volumet av kroppen, deretter har formlene for å bestemme koordinatene til volumets tyngdepunkt formen:

Formler for å bestemme koordinatene til områdets tyngdepunkt:

Koordinatene til områdets tyngdepunkt må bestemmes når man studerer likevekten til plater, når man beregner Mohr-integralet i strukturell mekanikk.

Eksempel. Bestem tyngdepunktet til en sirkelbue med radius R med midtvinkel AOB= 2α (fig. 6.5).

Ris. 6.5

Sirkelbuen er symmetrisk med aksen Åh tyngdepunktet til buen ligger derfor på aksen Åh, yc = 0.
I henhold til formelen for tyngdepunktet til en linje:

6.Eksperimentell måte. Tyngdepunktene til inhomogene kropper med kompleks konfigurasjon kan bestemmes eksperimentelt: ved å henge og veie. Den første måten er at kroppen er opphengt i en kabel på forskjellige punkter. Retningen til tauet som kroppen er opphengt i vil gi tyngdekraftens retning. Skjæringspunktet mellom disse retningene bestemmer tyngdepunktet til kroppen.
Veiemetoden består i først å bestemme vekten til en kropp, for eksempel en bil. Deretter, på vekten, bestemmes trykket på bilens bakaksel på støtten. Ved å sette sammen en likevektsligning med hensyn til et punkt, for eksempel aksen til forhjulene, kan du beregne avstanden fra denne aksen til bilens tyngdepunkt (fig. 6.6).

Fig.6.6

Noen ganger, når du løser problemer, er det nødvendig å bruke forskjellige metoder samtidig for å bestemme koordinatene til tyngdepunktet.

6.4. Tyngdepunkt av noen enkle geometriske former

For å bestemme tyngdepunktene til legemer med en felles form (trekant, sirkelbue, sektor, segment), er det praktisk å bruke referansedata (tabell 6.1).

Tabell 6.1

Koordinater til tyngdepunktet til noen homogene legemer

№	Figurnavn	Bilde
	sirkelbue: tyngdepunktet til en bue av en homogen sirkel er på symmetriaksen (koordinat yc=0). R er sirkelens radius.
	Homogen sirkulær sektor yc=0). hvor α er halvparten av den sentrale vinkelen; R er sirkelens radius.
	Segmentet: tyngdepunktet er plassert på symmetriaksen (koordinat yc=0). hvor α er halvparten av den sentrale vinkelen; R er sirkelens radius.
	Halvsirkel:
	Triangel: tyngdepunktet til en homogen trekant er i skjæringspunktet mellom medianene. hvor x1, y1, x2, y2, x3, y3- koordinater til toppunktene i trekanten
	Kjegle: tyngdepunktet til en homogen sirkulær kjegle ligger i høyden og er i en avstand på 1/4 av høyden fra bunnen av kjeglen.