Hvordan oversette fra helhet. Konvertering av en brøk til en desimal og omvendt, regler, eksempler

Når en elev prøver å løse matematiske problemer med brøker, innser en elev at bare ønsket om å løse disse problemene ikke er nok for ham. Det kreves også kunnskap om beregninger med brøktall. I noen problemer er alle innledende data gitt i tilstanden i brøkform. I andre kan noen av dem være brøker, og noen kan være heltall. For å utføre noen beregninger med disse gitte verdiene, må du først bringe dem til en enkelt form, det vil si konvertere hele tall til brøker, og deretter gjøre beregningene. Generelt er måten å konvertere et helt tall til en brøk på veldig enkel. For å gjøre dette må du skrive selve tallet i telleren til den endelige brøken, og en i nevneren. Det vil si, hvis du trenger å konvertere tallet 12 til en brøk, vil den resulterende brøken være 12/1.

Slike modifikasjoner bidrar til å bringe brøker til en fellesnevner. Dette er nødvendig for å kunne trekke fra eller legge til brøker. Når du multipliserer og deler dem, er det ikke nødvendig med en fellesnevner. Du kan se på et eksempel på hvordan du konverterer et tall til en brøk og deretter legger til to brøker. La oss si at du må legge til tallet 12 og brøktallet 3/4. Første termin (nummer 12) reduseres til formen 12/1. Imidlertid er dens nevner lik 1, mens den for andre ledd er lik 4. For å addere disse to brøkene ytterligere, må de bringes til en fellesnevner. På grunn av at ett av tallene har en nevner på 1, er dette generelt enkelt å gjøre. Du må ta nevneren til det andre tallet og gange med det både telleren og nevneren til det første.

Resultatet av multiplikasjon er: 12/1=48/4. Hvis du deler 48 på 4, får du 12, som betyr at brøken er redusert til riktig nevner. På denne måten kan du også forstå hvordan du konverterer en brøk til et helt tall. Dette gjelder kun for uekte brøker fordi de har en teller som er større enn nevneren. I dette tilfellet deles telleren på nevneren, og hvis det ikke er noen rest, vil det være et helt tall. Med en rest forblir brøken en brøk, men med hele delen uthevet. Nå angående reduksjon til en fellesnevner i det betraktede eksemplet. Hvis det første leddet hadde en nevner lik et annet tall enn 1, må telleren og nevneren til det første tallet multipliseres med nevneren til det andre, og telleren og nevneren til det andre med nevneren til det første tallet. .

Begge begrepene er redusert til fellesnevneren og er klare for tillegg. Det viser seg at i dette problemet må du legge til to tall: 48/4 og 3/4. Når du legger til to brøker med samme nevner, trenger du bare å summere de øvre delene deres, det vil si tellerne. Beløpets nevner forblir uendret. I dette eksemplet skal det være 48/4+3/4=(48+3)/4=51/4. Dette vil være resultatet av tillegget. Men i matematikk er det vanlig å redusere uekte brøker til rette. Vi diskuterte ovenfor hvordan man gjør en brøk til et tall, men i dette eksemplet vil du ikke få et heltall fra brøken 51/4, siden tallet 51 ikke er delelig med tallet 4 uten en rest heltallsdelen av denne brøkdelen og dens brøkdel. Heltallsdelen vil være tallet som oppnås ved å dele det første tallet mindre enn 51 med et heltall.

Det vil si noe som kan deles på 4 uten en rest. Det første tallet før tallet 51, som er helt delelig med 4, vil være tallet 48. Ved å dele 48 med 4, oppnås tallet 12. Dette betyr at heltallsdelen av ønsket brøk blir 12. Alt som gjenstår er for å finne brøkdelen av tallet. Nevneren til brøkdelen forblir den samme, det vil si 4 i dette tilfellet. For å finne telleren til en brøk, må du trekke fra den opprinnelige telleren tallet som ble delt på nevneren uten en rest. I eksemplet under vurdering krever dette å trekke tallet 48 fra tallet 51. Det vil si at telleren til brøkdelen er lik 3. Resultatet av addisjonen vil være 12 heltall og 3/4. Det samme gjøres når man trekker fra brøker. La oss si at du må trekke fra brøktallet 3/4 fra heltallet 12. For å gjøre dette blir heltall 12 konvertert til en brøk 12/1, og deretter ført til en fellesnevner med det andre tallet - 48/4.

Når du trekker fra på samme måte, forblir nevneren til begge brøkene uendret, og subtraksjonen utføres med deres tellere. Det vil si at telleren til den andre trekkes fra telleren til den første brøken. I dette eksemplet vil det være 48/4-3/4=(48-3)/4=45/4. Og igjen fikk vi en uekte brøk, som må reduseres til en skikkelig. For å isolere en hel del, bestem det første tallet opp til 45, som er delelig med 4 uten en rest. Dette blir 44. Hvis tallet 44 deles på 4, blir resultatet 11. Dette betyr at heltallsdelen av den endelige brøken er lik 11. I brøkdelen blir også nevneren stående uendret, og fra telleren av den opprinnelige uekte brøken trekkes tallet som ble delt på nevneren uten en rest. Det vil si at du må trekke 44 fra 45. Dette betyr at telleren i brøkdelen er lik 1 og 12-3/4=11 og 1/4.

Hvis du får ett heltall og ett brøktall, men nevneren er 10, er det lettere å konvertere det andre tallet til en desimalbrøk og deretter utføre beregningene. For eksempel må du legge til hele tallet 12 og brøktallet 3/10. Skriver du 3/10 som desimal får du 0,3. Nå er det mye lettere å legge til 0,3 til 12 og få 2,3 enn å bringe brøker til en fellesnevner, utføre beregninger og deretter skille hele og brøkdelen fra en uekte brøk. Selv de enkleste oppgavene med brøker antar at eleven (eller eleven) vet hvordan man konverterer et helt tall til en brøk. Disse reglene er for enkle og enkle å huske. Men ved hjelp av dem er det veldig enkelt å utføre beregninger av brøktall.

Det ser ut til at å konvertere en desimalbrøk til en vanlig brøk er et elementært emne, men mange elever forstår det ikke! Derfor vil vi i dag ta en detaljert titt på flere algoritmer samtidig, ved hjelp av disse vil du forstå eventuelle brøker på bare et sekund.

La meg minne deg på at det er minst to former for å skrive samme brøk: felles og desimal. Desimalbrøker er alle slags konstruksjoner av formen 0,75; 1,33; og til og med −7,41. Her er eksempler på vanlige brøker som uttrykker de samme tallene:

La oss nå finne ut av det: hvordan flytte fra desimalnotasjon til vanlig notasjon? Og viktigst av alt: hvordan gjøre dette så raskt som mulig?

Grunnleggende algoritme

Faktisk er det minst to algoritmer. Og vi skal se på begge deler nå. La oss starte med den første - den enkleste og mest forståelige.

For å konvertere en desimal til en brøk, må du følge tre trinn:

En viktig merknad om negative tall. Hvis det i det opprinnelige eksemplet er et minustegn foran desimalbrøken, så skal det i utgangen også være et minustegn foran den ordinære brøken. Her er noen flere eksempler:

Eksempler på overgang fra desimalnotasjon av brøker til vanlige

Jeg vil være spesielt oppmerksom på det siste eksemplet. Som du kan se, inneholder brøken 0,0025 mange nuller etter desimaltegnet. På grunn av dette må du gange telleren og nevneren med 10 så mange som fire ganger. Er det mulig å forenkle algoritmen i dette tilfellet?

Selvfølgelig kan du det. Og nå skal vi se på en alternativ algoritme - den er litt vanskeligere å forstå, men etter litt øvelse fungerer den mye raskere enn standarden.

Raskere måte

Denne algoritmen har også 3 trinn. For å få en brøk fra en desimal, gjør følgende:

1. Tell hvor mange sifre som er etter desimaltegn. For eksempel har brøken 1,75 to slike sifre, og 0,0025 har fire. La oss betegne denne mengden med bokstaven $n$.
2. Skriv om det opprinnelige tallet som en brøkdel av formen $\frac(a)(((10)^(n)))$, der $a$ er alle sifrene i den opprinnelige brøken (uten de "startende" nullene på venstre, hvis noen), og $n$ er det samme antall sifre etter desimaltegnet som vi beregnet i det første trinnet. Med andre ord, du må dele sifrene i den opprinnelige brøken med én etterfulgt av $n$ nuller.
3. Hvis mulig, reduser den resulterende fraksjonen.

Det er det! Ved første øyekast er denne ordningen mer komplisert enn den forrige. Men faktisk er det både enklere og raskere. Døm selv:

Som du kan se, i brøken 0,64 er det to sifre etter desimaltegn - 6 og 4. Derfor er $n=2$. Hvis vi fjerner kommaet og nullene til venstre (i dette tilfellet bare en null), får vi tallet 64. La oss gå videre til det andre trinnet: $((10)^(n))=((10)^ (2))=100$, Derfor er nevneren nøyaktig hundre. Vel, da gjenstår det bare å redusere telleren og nevneren :)

Et annet eksempel:

Her er alt litt mer komplisert. For det første er det allerede 3 tall etter desimaltegnet, dvs. $n=3$, så du må dele på $((10)^(n))=((10)^(3))=1000$. For det andre, hvis vi fjerner kommaet fra desimalnotasjonen, får vi dette: 0,004 → 0004. Husk at nullene til venstre må fjernes, så faktisk har vi tallet 4. Da er alt enkelt: dividere, reduser og få svaret.

Til slutt, det siste eksemplet:

Det særegne ved denne fraksjonen er tilstedeværelsen av en hel del. Derfor er utgangen vi får en uekte brøkdel av 47/25. Du kan selvfølgelig prøve å dele 47 med 25 med en rest og dermed isolere hele delen igjen. Men hvorfor komplisere livet ditt hvis dette kan gjøres på transformasjonsstadiet? Vel, la oss finne ut av det.

Hva skal man gjøre med hele delen

Faktisk er alt veldig enkelt: hvis vi ønsker å få en riktig brøk, må vi fjerne hele delen fra den under transformasjonen, og deretter, når vi får resultatet, legg den til igjen til høyre før brøklinjen .

Tenk for eksempel på det samme tallet: 1,88. La oss score med én (hele delen) og se på brøken 0,88. Det kan enkelt konverteres:

Så husker vi om den "tapte" enheten og legger den til foran:

\[\frac(22)(25)\til 1\frac(22)(25)\]

Det er det! Svaret viste seg å være det samme som etter å ha valgt hele delen forrige gang. Et par eksempler til:

\[\begin(align)& 2.15\to 0.15=\frac(15)(100)=\frac(3)(20)\to 2\frac(3)(20); \\& 13.8\to 0.8=\frac(8)(10)=\frac(4)(5)\to 13\frac(4)(5). \\\end(align)\]

Dette er skjønnheten med matematikk: uansett hvilken vei du går, hvis alle beregningene er gjort riktig, vil svaret alltid være det samme :)

Avslutningsvis vil jeg vurdere en teknikk til som hjelper mange.

Transformasjoner "på øret"

La oss tenke på hva en desimal til og med er. Mer presist, hvordan vi leser det. For eksempel tallet 0,64 - vi leser det som "nullpunkt 64 hundredeler", ikke sant? Vel, eller bare "64 hundredeler". Stikkordet her er «hundredeler», dvs. nummer 100.

Hva med 0,004? Dette er "null punkt 4 tusendeler" eller ganske enkelt "fire tusendeler". På en eller annen måte er nøkkelordet «tusenvis», dvs. 1000.

Så hva er big deal? Og faktum er at det er disse tallene som til slutt "dukker opp" i nevnerne i den andre fasen av algoritmen. De. 0,004 er "fire tusendeler" eller "4 delt på 1000":

Prøv å øve deg selv – det er veldig enkelt. Det viktigste er å lese den opprinnelige brøken riktig. For eksempel er 2,5 "2 hele, 5 tideler", så

Og noen 1.125 er "1 hel, 125 tusendeler", så

I det siste eksemplet vil selvfølgelig noen innvende at det ikke er åpenbart for alle elever at 1000 er delelig med 125. Men her må du huske at 1000 = 10 3, og 10 = 2 ∙ 5, derfor

\[\begin(align)& 1000=10\cdot 10\cdot 10=2\cdot 5\cdot 2\cdot 5\cdot 2\cdot 5= \\& =2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\ cdot 5\cdot 5=8\cdot 125\end(align)\]

Dermed dekomponeres enhver potens av ti bare i faktorene 2 og 5 - det er disse faktorene som må ses etter i telleren, slik at alt til slutt reduseres.

Dette avslutter leksjonen. La oss gå videre til en mer kompleks omvendt operasjon - se "

En brøk kan konverteres til et helt tall eller til en desimal. En uekte brøk, hvis teller er større enn nevneren og er delelig med den uten en rest, konverteres til et helt tall, for eksempel: 20/5. Del 20 med 5 og få tallet 4. Hvis brøken er riktig, det vil si at telleren er mindre enn nevneren, så konverter den til et tall (desimalbrøk). Du kan få mer informasjon om brøker fra vår seksjon -.

Måter å konvertere en brøk til et tall

• Den første måten å konvertere en brøk til et tall er egnet for en brøk som kan konverteres til et tall som er en desimalbrøk. La oss først finne ut om det er mulig å konvertere den gitte brøken til en desimalbrøk. For å gjøre dette, la oss ta hensyn til nevneren (tallet som er under linjen eller til høyre for den skrånende linjen). Hvis nevneren kan faktoriseres (i vårt eksempel - 2 og 5), som kan gjentas, så kan denne brøken faktisk konverteres til en endelig desimalbrøk. For eksempel: 11/40 =11/(2∙2∙2∙5). Denne vanlige brøken vil bli konvertert til et tall (desimaltall) med et endelig antall desimaler. Men brøken 17/60 =17/(5∙2∙2∙3) vil bli konvertert til et tall med et uendelig antall desimaler. Det vil si at når man nøyaktig beregner en numerisk verdi, er det ganske vanskelig å bestemme den endelige desimalplassen, siden det er et uendelig antall slike tegn. Derfor krever løsning av problemer vanligvis avrunding av verdien til hundredeler eller tusendeler. Deretter må du multiplisere både telleren og nevneren med et slikt tall slik at nevneren produserer tallene 10, 100, 1000 osv. For eksempel: 11/40 =(11∙25)/(40∙25) = 275/1000 = 0,275
• Den andre måten å konvertere en brøk til et tall er enklere: du må dele telleren på nevneren. For å bruke denne metoden utfører vi ganske enkelt divisjon, og det resulterende tallet vil være ønsket desimalbrøk. For eksempel må du konvertere brøken 2/15 til et tall. Del 2 med 15. Vi får 0,1333... - en uendelig brøk. Vi skriver det slik: 0,13(3). Hvis brøken er en uekte brøk, det vil si at telleren er større enn nevneren (for eksempel 345/100), vil konvertering av den til et tall resultere i en heltallsverdi eller en desimalbrøk med en hel brøkdel. I vårt eksempel vil det være 3,45. For å konvertere en blandet brøk som 3 2 / 7 til et tall, må du først konvertere den til en uekte brøk: (3∙7+2)/7 = 23/7. Deretter deler du 23 på 7 og får tallet 3,2857143, som vi reduserer til 3,29.

Den enkleste måten å konvertere en brøk til et tall er å bruke en kalkulator eller annen dataenhet. Først angir vi telleren til brøken, trykk deretter på knappen med "divide"-ikonet og skriv inn nevneren. Etter å ha trykket på "="-tasten får vi ønsket nummer.

Helt i begynnelsen må du fortsatt finne ut hva en brøk er og hvilke typer den kommer inn. Og det er tre typer. Og den første av dem er en vanlig brøk, for eksempel ½, 3/7, 3/432, osv. Disse tallene kan også skrives med en horisontal strek. Både den første og den andre vil være like sann. Tallet på toppen kalles tallet, og tallet på bunnen kalles nevneren. Det er til og med et ordtak for de menneskene som stadig forveksler disse to navnene. Det går slik: «Zzzzz husk! Zzzz-nevner - downzzzz! " Dette vil hjelpe deg å unngå å bli forvirret. En vanlig brøk er bare to tall som er delbare med hverandre. Bindestreken i dem indikerer divisjonstegnet. Den kan erstattes med en kolon. Hvis spørsmålet er "hvordan konvertere en brøk til et tall," så er det veldig enkelt. Du trenger bare å dele telleren med nevneren. Det er alt. Brøken er oversatt.

Den andre brøktypen kalles desimal. Dette er en serie med tall etterfulgt av et komma. For eksempel, 0,5, 3,5, osv. De ble kalt desimal bare fordi etter det sungne tallet betyr det første sifferet "tiere", det andre er ti ganger mer enn "hundrevis", og så videre. Og de første sifrene før desimaltegnet kalles heltall. For eksempel høres tallet 2,4 slik ut, tolv komma to og to hundre og trettifire tusendeler. Slike brøker vises hovedsakelig på grunn av at det ikke fungerer å dele to tall uten en rest. Og de fleste brøker, når de konverteres til tall, ender opp som desimaler. For eksempel er ett sekund lik null komma fem.

Og den siste tredje visningen. Dette er blandede tall. Et eksempel på dette kan gis som 2½. Det høres ut som to helheter og ett sekund. På videregående brukes ikke lenger denne typen brøker. De vil sannsynligvis måtte konverteres enten til vanlig brøkform eller til desimalform. Det er like enkelt å gjøre dette. Du trenger bare å multiplisere heltallet med nevneren og legge til den resulterende notasjonen til tallet. La oss ta vårt eksempel 2½. To multiplisert med to er lik fire. Fire pluss en er lik fem. Og en brøkdel av formen 2½ dannes til 5/2. Og fem, delt på to, kan fås som en desimalbrøk. 2½=5/2=2,5. Det har allerede blitt klart hvordan man konverterer brøker til tall. Du trenger bare å dele telleren med nevneren. Hvis tallene er store, kan du bruke en kalkulator.

Hvis den ikke produserer hele tall og det er mange sifre etter desimaltegn, kan denne verdien avrundes. Alt er avrundet veldig enkelt. Først må du bestemme hvilket tall du skal runde av til. Et eksempel bør vurderes. En person må runde av tallet nullpunkt, ni tusen syv hundre og femtiseks ti tusendeler, eller til den digitale verdien på 0,6. Avrunding skal gjøres til nærmeste hundredel. Det betyr at det for øyeblikket er oppe i syv hundredeler. Etter tallet syv i brøken er det fem. Nå må vi bruke reglene for avrunding. Tall større enn fem rundes opp, og tall mindre enn fem rundes ned. I eksemplet har personen fem, hun er på grensen, men det anses at avrunding skjer oppover. Det betyr at vi fjerner alle tallene etter syv og legger til ett til det. Det viser seg 0,8.

Det oppstår også situasjoner når en person raskt trenger å konvertere en vanlig brøk til et tall, men det er ingen kalkulator i nærheten. For å gjøre dette, bruk kolonnedeling. Det første trinnet er å skrive teller og nevner ved siden av hverandre på et stykke papir. Et skillehjørne er plassert mellom dem, det ser ut som bokstaven "T", bare liggende på siden. For eksempel kan du ta brøken ti sjettedeler. Så ti skal deles på seks. Hvor mange seksere får plass i en ti, bare én. Enheten er skrevet under hjørnet. Ti trekke fra seks er lik fire. Hvor mange seksere vil det være i en fire, flere. Dette betyr at i svaret settes et komma etter enen, og de fire ganges med ti. På førtiseks seksere. Seks legges til svaret, og trettiseks trekkes fra førti. Det viser seg å være fire igjen.

I dette eksemplet oppstod det en sløyfe, hvis du fortsetter å gjøre alt nøyaktig likt, får du svaret 1,6 (6) Tallet seks fortsetter til det uendelige, men ved å bruke avrundingsregelen kan du bringe tallet til 1,7. Noe som er mye mer praktisk. Av dette kan vi konkludere med at ikke alle vanlige brøker kan konverteres til desimaler. Hos noen er det en syklus. Men enhver desimalbrøk kan konverteres til en enkel brøk. En elementær regel vil hjelpe her: som det blir hørt, så er det skrevet. For eksempel høres tallet 1,5 som ett komma tjuefem hundredeler. Så du må skrive det ned, en hel, tjuefem delt på hundre. Ett helt tall er hundre, som betyr at den enkle brøken vil være hundre og tjuefem ganger hundre (125/100). Alt er også enkelt og oversiktlig.

Så de mest grunnleggende reglene og transformasjonene som er knyttet til brøker har blitt diskutert. De er alle enkle, men du bør kjenne dem. Brøker, spesielt desimaler, har lenge vært en del av hverdagen. Dette er godt synlig på prislapper i butikkene. Det er lenge siden noen har skrevet runde priser, men med brøkdeler virker prisen visuelt mye billigere. En av teoriene sier også at menneskeheten vendte seg bort fra romertall og adopterte arabiske, bare fordi romerske ikke hadde brøker. Og mange forskere er enige i denne antagelsen. Tross alt, med brøker kan du gjøre beregninger mer nøyaktig. Og i vår tid med romteknologi er nøyaktighet i beregninger nødvendig mer enn noen gang. Så å lære brøker i matematikkskolen er avgjørende for å forstå mange vitenskaper og teknologiske fremskritt.

Desimaltall som 0,2; 1,05; 3.017 osv. som de blir hørt, slik er de skrevet. Null poeng to, vi får en brøk. Ett komma fem hundredeler får vi en brøk. Tre komma sytten tusendeler, vi får brøken. Tallene før desimaltegnet er hele delen av brøken. Tallet etter desimaltegnet er telleren for den fremtidige brøken. Hvis det er et ensifret tall etter desimaltegnet, vil nevneren være 10, hvis det er et tosifret tall - 100, et tresifret tall - 1000, etc. Noen resulterende fraksjoner kan reduseres. I våre eksempler

Konvertere en brøk til en desimal

Dette er det motsatte av forrige transformasjon. Hva kjennetegner en desimalbrøk? Dens nevner er alltid 10, eller 100, eller 1000, eller 10000, og så videre. Hvis fellesbrøken din har en nevner som denne, er det ikke noe problem. For eksempel eller

Hvis brøken er for eksempel . I dette tilfellet er det nødvendig å bruke grunnegenskapen til en brøk og konvertere nevneren til 10 eller 100, eller 1000... I vårt eksempel, hvis vi multipliserer telleren og nevneren med 4, får vi en brøk som kan være skrevet som et desimaltall 0,12.

Noen brøker er lettere å dele enn å regne om nevneren. For eksempel

Noen brøker kan ikke konverteres til desimaler!
For eksempel

Konvertering av en blandet brøk til en uekte brøk

En blandet fraksjon, for eksempel, kan enkelt konverteres til en uekte fraksjon. For å gjøre dette må du multiplisere hele delen med nevneren (nederst) og legge den til med telleren (øverst), og la nevneren (nederst) være uendret. Det vil si

Når du konverterer en blandet brøk til en uekte brøk, kan du huske at du kan bruke brøktilsetning

Konvertering av en uekte brøk til en blandet brøk (fremhever hele delen)

En uekte brøk kan konverteres til en blandet brøk ved å fremheve hele delen. La oss se på et eksempel. Vi bestemmer hvor mange heltall ganger "3" passer inn i "23". Eller del 23 på 3 på en kalkulator, hele tallet med desimaltegn er ønsket. Dette er "7". Deretter bestemmer vi telleren til den fremtidige brøken: vi multipliserer den resulterende "7" med nevneren "3" og trekker resultatet fra telleren "23". Det er som om vi finner det ekstra som gjenstår fra telleren "23" hvis vi fjerner maksimumsbeløpet på "3". Vi lar nevneren være uendret. Alt er gjort, skriv ned resultatet