Hvordan oversette til en fellesnevner. Redusere en brøk til laveste fellesnevner: regel, eksempelløsninger

Ordning for reduksjon til en fellesnevner

Du må bestemme hva det minste felles multiplumet av nevnerne til brøkene vil være. Hvis du har å gjøre med et blandet tall eller heltall, må du først gjøre det om til en brøk, og først da bestemme det minste felles multiplum. For å konvertere et helt tall til en brøk, må du skrive selve tallet i telleren og ett i nevneren. For eksempel vil tallet 5 som brøk se slik ut: 5/1. Til blandet antall For å gjøre det om til en brøk, må du multiplisere hele tallet med nevneren og legge telleren til det. Eksempel: 8 hele tall og 3/5 som brøk = 8x5+3/5 = 43/5.
Etter dette er det nødvendig å finne en ekstra faktor, som bestemmes ved å dele NZ med nevneren til hver brøk.
Det siste trinnet er å multiplisere brøken med en tilleggsfaktor.

Det er viktig å huske at reduksjonen til fellesnevner Det er ikke bare for addisjon eller subtraksjon. For å sammenligne flere brøker med ulike nevnere, må du også først redusere hver av dem til en fellesnevner.

Redusere brøker til en fellesnevner

For å forstå hvordan du reduserer en brøk til en fellesnevner, må du forstå noen egenskaper ved brøker. Så, viktig eiendom, brukt for å redusere til NOS, er likheten av brøker. Med andre ord, hvis telleren og nevneren til en brøk multipliseres med et tall, er resultatet en brøk lik den forrige. La oss ta følgende eksempel som et eksempel. For å redusere brøkene 5/9 og 5/6 til laveste fellesnevner, følg disse trinnene:

Først finner vi det minste felles multiplum av nevnerne. I i dette tilfellet for tall 9 og 6 vil LCM være lik 18.
Vi bestemmer tilleggsfaktorer for hver av brøkene. Dette gjøres som følger. Vi deler LCM med nevneren for hver brøk, som et resultat får vi 18: 9 = 2, og 18: 6 = 3. Disse tallene vil være tilleggsfaktorer.
Vi tar med to brøker til NOS. Når du multipliserer en brøk med et tall, må du multiplisere både telleren og nevneren. Brøken 5/9 kan multipliseres med en tilleggsfaktor på 2, noe som resulterer i en brøk lik den gitte - 10/18. Vi gjør det samme med den andre brøken: multipliser 5/6 med 3, noe som resulterer i 15/18.

Som vi kan se fra eksempelet ovenfor, er begge brøkene redusert til laveste fellesnevner. For å endelig forstå hvordan du finner en fellesnevner, må du mestre en egenskap til brøker. Det ligger i det faktum at telleren og nevneren til en brøk kan reduseres med samme tall, som kalles en felles divisor. For eksempel kan brøken 12/30 reduseres til 2/5 ved å dele den med felles deler- nummer 6.

Hvordan redusere brøker til en fellesnevner

Hvis du vanlige brøker har de samme nevnerne, så sier de at disse brøker reduseres til en fellesnevner.

Eksempel 1

For eksempel har brøkene $\frac(3)(18)$ og $\frac(20)(18)$ de samme nevnerne. De sies å ha en fellesnevner på $18$. Brøkene $\frac(1)(29)$, $\frac(7)(29)$ og $\frac(100)(29)$ har også de samme nevnerne. De sies å ha en fellesnevner på $29$.

Hvis brøker har forskjellige nevner, kan de reduseres til en fellesnevner. For å gjøre dette må du multiplisere deres tellere og nevnere med visse tilleggsfaktorer.

Eksempel 2

Hvordan redusere to brøker $\frac(6)(11)$ og $\frac(2)(7)$ til en fellesnevner.

Løsning.

La oss multiplisere brøkene $\frac(6)(11)$ og $\frac(2)(7)$ med tilleggsfaktorene $7$ og $11$, henholdsvis, og bringe dem til en fellesnevner $77$:

$\frac(6\cdot 7)(11\cdot 7)=\frac(42)(77)$

$\frac(2\cdot 11)(7\cdot 11)=\frac(22)(77)$

Slik, bringe brøker til en fellesnevner er multiplikasjonen av telleren og nevneren av gitte brøker med tilleggsfaktorer, som resulterer i brøker med de samme nevnerne.

Fellesnevner

Definisjon 1

Ethvert positivt felles multiplum av alle nevnerne til et sett med brøker kalles fellesnevner.

Med andre ord er fellesnevneren for de gitte ordinære brøkene en hvilken som helst naturlig tall, som kan deles inn i alle nevnerne av de gitte brøkene.

Det følger av definisjonen uendelig sett fellesnevnere for et gitt sett med brøker.

Eksempel 3

Finn fellesnevnerne til brøkene $\frac(3)(7)$ og $\frac(2)(13)$.

Løsning.

Disse brøkene har nevnere lik henholdsvis $7$ og $13$. Positive felles multipler av $2$ og $5$ er $91, 182, 273, 364$, etc.

Hvilke som helst av disse tallene kan brukes som fellesnevner for brøkene $\frac(3)(7)$ og $\frac(2)(13)$.

Eksempel 4

Bestem om brøkene $\frac(1)(2)$, $\frac(16)(7)$ og $\frac(11)(9)$ kan reduseres til en fellesnevner $252$.

Løsning.

For å finne ut hvordan du konverterer en brøk til fellesnevneren $252$, må du sjekke om tallet $252$ er et felles multiplum av nevnerne $2, 7$ og $9$. For å gjøre dette, del tallet $252$ med hver av nevnerne:

$\frac(252)(2)=126,$ $\frac(252)(7)=36$, $\frac(252)(9)=28$.

Tallet $252$ er delelig med alle nevnere, dvs. er et felles multiplum av $2, 7$ og $9$. Dette betyr at de gitte brøkene $\frac(1)(2)$, $\frac(16)(7)$ og $\frac(11)(9)$ kan reduseres til en fellesnevner $252$.

Svar: du kan.

Laveste fellesnevner

Definisjon 2

Blant alle fellesnevnerne til gitte brøker kan vi skille det minste naturlige tallet, som kalles laveste fellesnevner.

Fordi LCM er den minst positive felles deleren av et gitt sett med tall, så er LCM for nevnerne til de gitte brøkene den minste fellesnevneren av de gitte brøkene.

Derfor, for å finne den minste fellesnevneren av brøker, må du finne LCM for nevnerne til disse brøkene.

Eksempel 5

De gitte brøkene er $\frac(4)(15)$ og $\frac(37)(18)$. Finn deres laveste fellesnevner.

Løsning.

Nevnerne til disse brøkene er $15$ og $18$. La oss finne den minste fellesnevneren som LCM for tallene $15$ og $18$. Til dette bruker vi dekomponering av tall til primære faktorer:

$15=3\cdot 5$, $18=2\cdot 3\cdot 3$

$NOK(15, 18)=2\cdot 3\cdot 3\cdot 5=90$.

Svar: $90$.

Regel for å redusere brøker til laveste fellesnevner

Oftest når man løser problemer med algebra, geometri, fysikk, etc. Det er vanlig å redusere felles brøker til laveste fellesnevner i stedet for til en hvilken som helst fellesnevner.

Algoritme:

Finn den minste fellesnevneren ved å bruke LCM for nevnerne til de gitte brøkene.
2.Regn ut tilleggsfaktoren for de gitte brøkene. For å gjøre dette må den funnet laveste fellesnevneren divideres med nevneren til hver brøk. Det resulterende tallet vil være en tilleggsfaktor av denne brøkdelen.
Multipliser telleren og nevneren for hver brøk med tilleggsfaktoren som er funnet.

Eksempel 6

Finn den minste fellesnevneren for brøkene $\frac(4)(16)$ og $\frac(3)(22)$ og reduser begge brøkene til den.

Løsning.

La oss bruke en algoritme for å redusere brøker til laveste fellesnevner.

La oss beregne det minste felles multiplum av tallene $16$ og $22$:

La oss faktorisere nevnerne i enkle faktorer: $16=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2$, $22=2\cdot 11$.

$NOK(16, 22)=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 11=176$.

La oss beregne tilleggsfaktorer for hver brøk:

$176\div 16=11$ – for brøkdelen $\frac(4)(16)$;

$176\div 22=8$ – for brøkdelen $\frac(3)(22)$.

La oss multiplisere tellerne og nevnerne til brøkene $\frac(4)(16)$ og $\frac(3)(22)$ med tilleggsfaktorene $11$ og $8$, henholdsvis. Vi får:

$\frac(4)(16)=\frac(4\cdot 11)(16\cdot 11)=\frac(44)(176)$

$\frac(3)(22)=\frac(3\cdot 8)(22\cdot 8)=\frac(24)(176)$

Begge brøkene er redusert til den laveste fellesnevneren $176$.

Svar: $\frac(4)(16)=\frac(44)(176)$, $\frac(3)(22)=\frac(24)(176)$.

Noen ganger krever det å finne den laveste fellesnevneren en rekke tidkrevende beregninger, som kanskje ikke rettferdiggjør hensikten med å løse problemet. I dette tilfellet kan du bruke det meste enkel måte– reduser brøker til en fellesnevner, som er produktet av nevnerne til disse brøkene.

Redusere brøker til en fellesnevner

Brøker Jeg har de samme nevnerne. De sier de har fellesnevner 25. Brøker og har ulike nevnere, men de kan reduseres til en fellesnevner ved å bruke den grunnleggende egenskapen til brøker. For dette la oss finne nummeret, som er delelig med 8 og 3, for eksempel 24. La oss bringe brøkene til nevneren 24, for å gjøre dette multipliserer vi telleren og nevneren til brøken med ekstra multiplikator 3. Tilleggsfaktoren skrives vanligvis til venstre over telleren:

Multipliser telleren og nevneren til brøken med en tilleggsfaktor på 8:

La oss bringe brøkene til en fellesnevner. Oftest reduseres brøker til en laveste fellesnevner, som er det minste felles multiplum av nevnerne til de gitte brøkene. Siden LCM (8, 12) = 24, kan brøkene reduseres til en nevner på 24. La oss finne ytterligere faktorer for brøkene: 24:8 = 3, 24:12 = 2. Deretter

Flere brøker kan reduseres til en fellesnevner.

Eksempel. La oss bringe brøkene til en fellesnevner. Siden 25 = 5 2, 10 = 2 5, 6 = 2 3, så er LCM (25, 10, 6) = 2 3 5 2 = 150.

La oss finne flere brøkfaktorer og bringe dem til nevneren 150:

Sammenligning av brøker

I fig. 4.7 viser et segment AB med lengde 1. Det er delt inn i 7 like deler. Segment AC har lengde, og segment AD har lengde.

Lengden på segmentet AD er større enn lengden på segmentet AC, dvs. brøkdelen er større enn brøkdelen

Av to brøker med fellesnevner er den med den største telleren større, dvs.

For eksempel, eller

For å sammenligne to brøker, reduser dem til en fellesnevner og bruk deretter regelen for å sammenligne brøker med en fellesnevner.

Eksempel. Sammenlign brøker

Løsning. LCM (8, 14) = 56. Da Siden 21 > 20, da

Hvis den første brøken er mindre enn den andre, og den andre er mindre enn den tredje, er den første mindre enn den tredje.

Bevis. La tre brøker gis. La oss bringe dem til en fellesnevner. La dem da se ut som Siden den første brøken er mindre

sekund, deretter r< s. Так как вторая дробь меньше третьей, то s < t. Из полученных неравенств для натуральных чисел следует, что r < t, тогда первая дробь меньше третьей.

Brøken kalles korrekt, hvis telleren er mindre enn nevneren.

Brøken kalles feil, hvis telleren er større enn eller lik nevneren.

For eksempel er brøker riktige og brøker er uekte.

En egenbrøk er mindre enn 1, og feil brøkdel større enn eller lik 1.

I denne leksjonen skal vi se på å redusere brøker til en fellesnevner og løse problemer om dette emnet. La oss definere konseptet med en fellesnevner og en tilleggsfaktor, husker det gjensidige primtall. La oss definere konseptet med laveste fellesnevner (LCD) og løse en rekke problemer for å finne det.

Tema: Legge til og trekke fra brøker med ulike nevnere

Leksjon: Redusere brøker til en fellesnevner

Gjentakelse. Hovedegenskapen til en brøk.

Hvis telleren og nevneren til en brøk multipliseres eller divideres med det samme naturlige tallet, får du en lik brøk.

For eksempel kan telleren og nevneren til en brøk deles på 2. Vi får brøken. Denne operasjonen kalles brøkreduksjon. Du kan også gjøre invers konvertering, multipliserer telleren og nevneren av brøken med 2. I dette tilfellet sier vi at vi har brakt brøken til en ny nevner. Tallet 2 kalles en tilleggsfaktor.

Konklusjon. En brøk kan reduseres til en hvilken som helst nevner som er et multiplum av nevneren til den gitte brøken. For å bringe en brøk til en ny nevner, multipliseres telleren og nevneren med en tilleggsfaktor.

1. Reduser brøken til nevneren 35.

Tallet 35 er et multiplum av 7, det vil si at 35 er delelig med 7 uten en rest. Dette betyr at denne transformasjonen er mulig. La oss finne en tilleggsfaktor. For å gjøre dette deler du 35 på 7. Vi får 5. Multipliser telleren og nevneren til den opprinnelige brøken med 5.

2. Reduser brøken til nevner 18.

La oss finne en tilleggsfaktor. For å gjøre dette, del den nye nevneren med den opprinnelige. Vi får 3. Multipliser telleren og nevneren til denne brøken med 3.

3. Reduser brøken til en nevner på 60.

Å dele 60 med 15 gir en ekstra faktor. Det er lik 4. Multipliser telleren og nevneren med 4.

4. Reduser brøken til nevneren 24

I enkle tilfeller utføres reduksjon til en ny nevner mentalt. Det er bare vanlig å angi tilleggsfaktoren bak en parentes litt til høyre og over den opprinnelige brøken.

En brøk kan reduseres til en nevner på 15 og en brøk kan reduseres til en nevner på 15. Brøker har også en fellesnevner på 15.

Fellesnevneren for brøker kan være et hvilket som helst felles multiplum av nevnerne deres. For enkelhets skyld reduseres brøker til laveste fellesnevner. Det er lik det minste felles multiplum av nevnerne til de gitte brøkene.

Eksempel. Reduser til laveste fellesnevner for brøken og .

La oss først finne det minste felles multiplum av nevnerne til disse brøkene. Dette tallet er 12. La oss finne en tilleggsfaktor for første og andre brøk. For å gjøre dette deler du 12 med 4 og 6. Tre er en tilleggsfaktor for den første brøken, og to er for den andre. La oss bringe brøkene til nevneren 12.

Vi brakte brøkene til en fellesnevner, det vil si at vi fant like brøker som har samme nevner.

Regel. For å redusere brøker til laveste fellesnevner, må du

Først, finn det minste felles multiplum av nevnerne til disse brøkene, det vil være deres minste fellesnevner;

For det andre, del den laveste fellesnevneren med nevnerne til disse brøkene, dvs. finn en tilleggsfaktor for hver brøk.

For det tredje, multipliser telleren og nevneren for hver brøk med tilleggsfaktoren.

a) Reduser brøkene og til en fellesnevner.

Den laveste fellesnevneren er 12. Tilleggsfaktoren for den første brøken er 4, for den andre - 3. Vi reduserer brøkene til nevneren 24.

b) Reduser brøkene og til en fellesnevner.

Den laveste fellesnevneren er 45. Å dele 45 med 9 på 15 gir henholdsvis 5 og 3. Vi reduserer brøkene til nevneren 45.

c) Reduser brøkene og til en fellesnevner.

Fellesnevneren er 24. Ytterligere faktorer er henholdsvis 2 og 3.

Noen ganger kan det være vanskelig å verbalt finne det minste felles multiplum av nevnerne til gitte brøker. Deretter finner man fellesnevneren og tilleggsfaktorene ved å bruke primfaktorisering.

Reduser brøkene og til en fellesnevner.

La oss faktorisere tallene 60 og 168 til primfaktorer. La oss skrive ut utvidelsen av tallet 60 og legge til de manglende faktorene 2 og 7 fra den andre utvidelsen. La oss gange 60 med 14 og få en fellesnevner på 840. Tilleggsfaktoren for den første brøken er 14. Tilleggsfaktoren for den andre brøken er 5. La oss bringe brøkene til en fellesnevner på 840.

Referanser

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. og andre Matematikk 6. - M.: Mnemosyne, 2012.

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematikk 6. klasse. - Gymnasium, 2006.

3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Bak sidene i en lærebok i matematikk. - Opplysningstiden, 1989.

4. Rurukin A.N., Tchaikovsky I.V. Oppgaver til matematikkkurset for 5.-6. - ZSh MEPhI, 2011.

5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Tchaikovsky K.G. Matematikk 5-6. En manual for 6. klasseelever ved MEPhI korrespondanseskolen. - ZSh MEPhI, 2011.

6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O. og andre Matematikk: Lærebok-samtaler for 5.-6 videregående skole. Mattelærerens bibliotek. - Opplysningstiden, 1989.

Du kan laste ned bøkene spesifisert i klausul 1.2. av denne leksjonen.

Lekser

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. og andre Matematikk 6. - M.: Mnemosyne, 2012. (lenke se 1.2)

Lekser: nr. 297, nr. 298, nr. 300.

Andre oppgaver: nr. 270, nr. 290

Denne artikkelen forklarer hvordan du reduserer brøker til en fellesnevner og hvordan du finner den laveste fellesnevneren. Definisjoner er gitt, regelen for å redusere brøker til en fellesnevner er gitt, og praktiske eksempler vurderes.

Hva er å redusere en brøk til en fellesnevner?

Vanlige brøker består av en teller - den øvre delen, og en nevner - den nedre delen. Hvis brøkene har samme nevner, sies de å være redusert til en fellesnevner. For eksempel har brøkene 11 14, 17 14, 9 14 samme nevner 14. De er med andre ord redusert til en fellesnevner.

Hvis brøker har forskjellige nevnere, kan de alltid reduseres til en fellesnevner ved hjelp av enkle trinn. For å gjøre dette må du multiplisere telleren og nevneren med visse tilleggsfaktorer.

Det er åpenbart at brøkene 4 5 og 3 4 ikke er redusert til en fellesnevner. For å gjøre dette, må du bruke tilleggsfaktorene 5 og 4 for å bringe dem til nevneren på 20. Hvordan skal du gjøre dette? Multipliser telleren og nevneren til brøken 4 5 med 4, og gang telleren og nevneren til brøken 3 4 med 5. I stedet for brøkene 4 5 og 3 4 får vi henholdsvis 16 20 og 15 20.

Redusere brøker til en fellesnevner

Å redusere brøker til en fellesnevner er multiplikasjon av tellere og nevnere av brøker med slike faktorer at resultatet blir identiske brøker med samme nevner.

Fellesnevner: definisjon, eksempler

Hva er fellesnevneren?

Fellesnevner

Fellesnevneren for brøker er hvilken som helst positivt tall, som er felles multiplum av alle gitte brøker.

Med andre ord vil fellesnevneren til et visst sett med brøker være et naturlig tall som er delelig med alle nevnerne til disse brøkene uten en rest.

Serien av naturlige tall er uendelig, og derfor har hvert sett med felles brøker per definisjon et uendelig antall fellesnevnere. Det er med andre ord uendelig mange felles multipler av alle nevnerne i det opprinnelige settet med brøker.

Fellesnevneren for flere brøker er lett å finne ved å bruke definisjonen. La det være brøk 1 6 og 3 5. Fellesnevneren til brøkene vil være et hvilket som helst positivt felles multiplum av tallene 6 og 5. Slike positive felles multipler er tallene 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210 og så videre.

La oss se på et eksempel.

Eksempel 1. Fellesnevner

Kan brøkene 1 3, 21 6, 5 12 bringes til en fellesnevner, som er 150?

For å finne ut om dette er tilfelle, må du sjekke om 150 er et felles multiplum av nevnerne til brøker, det vil si for tallene 3, 6, 12. Med andre ord må tallet 150 være delelig med 3, 6, 12 uten en rest. La oss sjekke:

150 ÷ 3 = 50, 150 ÷ 6 = 25, 150 ÷ 12 = 12,5

Dette betyr at 150 ikke er fellesnevneren for disse brøkene.

Laveste fellesnevner

Det minste naturlige tallet blant de mange fellesnevnerne i et sett med brøker kalles den minste fellesnevneren.

Laveste fellesnevner

Den laveste fellesnevneren for brøker er minste antall blant alle fellesnevnerne til disse brøkene.

Den minste felles divisor for et gitt tallsett er det minste felles multiplum (LCM). LCM for alle nevnere av brøker er den minste fellesnevneren for disse brøkene.

Hvordan finne den laveste fellesnevneren? Å finne det kommer ned til å finne det minste felles multiplum av brøkene. La oss se på et eksempel:

Eksempel 2: Finn laveste fellesnevner

Vi må finne den laveste fellesnevneren for brøkene 1 10 og 127 28.

Vi ser etter LCM for tallene 10 og 28. La oss ta dem inn i enkle faktorer og få:

10 = 2 5 28 = 2 2 7 N O K (15, 28) = 2 2 5 7 = 140

Hvordan redusere brøker til laveste fellesnevner

Det er en regel som forklarer hvordan man reduserer brøker til en fellesnevner. Regelen består av tre punkter.

Regelen for å redusere brøker til en fellesnevner

Finn laveste fellesnevner for brøker.
Finn en tilleggsfaktor for hver brøk. For å finne faktoren, del den laveste fellesnevneren med nevneren for hver brøk.
Multipliser telleren og nevneren med tilleggsfaktoren som er funnet.

La oss vurdere bruken av denne regelen ved å bruke et spesifikt eksempel.

Eksempel 3: Redusere brøker til en fellesnevner

Det er brøk 3 14 og 5 18. La oss redusere dem til laveste fellesnevner.

I følge regelen finner vi først LCM for nevnerne til brøkene.

14 = 2 7 18 = 2 3 3 N O K (14, 18) = 2 3 3 7 = 126

Vi beregner tilleggsfaktorer for hver brøk. For 3 14 er tilleggsfaktoren 126 ÷ 14 = 9, og for brøken 5 18 er tilleggsfaktoren 126 ÷ 18 = 7.

Vi multipliserer telleren og nevneren til brøkene med tilleggsfaktorer og får:

3 · 9 14 · 9 = 27.126, 5 · 7 18 · 7 = 35.126.

Redusere flere brøker til laveste fellesnevner

I henhold til den betraktede regelen kan ikke bare brøkpar, men også et større antall av dem reduseres til en fellesnevner.

La oss gi et annet eksempel.

Eksempel 4: Redusere brøker til en fellesnevner

Reduser brøkene 3 2 , 5 6 , 3 8 og 17 18 til laveste fellesnevner.

La oss beregne LCM for nevnerne. Vi finner LCM av tre og flere tall:

NOK (2, 6) = 6 NOK (6, 8) = 24 NOK (24, 18) = 72 NOK (2, 6, 8, 18) = 72

For 3 2 er tilleggsfaktoren 72 ÷ 2 = 36, for 5 6 er tilleggsfaktoren 72 ÷ 6 = 12, for 3 8 er tilleggsfaktoren 72 ÷ 8 = 9, til slutt, for 17 18 er tilleggsfaktoren 72 ÷ 18 = 4.

Vi multipliserer brøkene med tilleggsfaktorer og går til laveste fellesnevner:

3 2 36 = 108 72 5 6 12 = 60 72 3 8 9 = 27 72 17 18 4 = 68 72

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter