Hvordan tallet e oppnås Verdenskonstanter "pi" og "e" i de grunnleggende lovene for fysikk og fysiologi

I HTML kan farge spesifiseres på tre måter:

Angi en farge i HTML etter navnet

Noen farger kan spesifiseres ved navn, ved å bruke fargenavnet på engelsk. Mest vanlig søkeord: svart (svart), hvit (hvit), rød (rød), grønn (grønn), blå (blå), etc.:

Tekstfarge – rød

De mest populære fargene i World Wide Web Consortium-standarden Wide Web Konsortium, W3C):

Navn	Navn	Navn	Navn
Svart	Grå	Sølv	Hvit
Gul	Lime	Aqua	Fuchsia
Rød	Grønn	Blå	Lilla
Rødbrun	Oliven	Marine	Blågrønn

Eksempel på bruk av forskjellige fargenavn:

Eksempel: spesifisere en farge ved navn

Prøv selv »

Overskrift på rød bakgrunn

Overskrift på oransje bakgrunn

Overskrift på lime bakgrunn

Hvit tekst på blå bakgrunn

Overskrift på rød bakgrunn

Overskrift på oransje bakgrunn

Overskrift på lime bakgrunn

Hvit tekst på blå bakgrunn

Spesifisere farge ved hjelp av RGB

Når du viser forskjellige farger på en skjerm, brukes RGB-paletten som grunnlag. Enhver farge oppnås ved å blande tre grunnleggende farger: R - rød, G - grønn, B - blå. Lysstyrken til hver farge er spesifisert som en enkelt byte og kan derfor ta verdier fra 0 til 255. For eksempel vises RGB(255,0,0) som rødt fordi rødt er satt til det høyeste høy verdi(255), og resten er satt til 0. Du kan også sette fargen inn prosentdel. Hver parameter indikerer lysstyrkenivået til den tilsvarende fargen. For eksempel: verdiene rgb(127, 255, 127) og rgb(50%, 100%, 50%) vil sette det samme grønn middels metning:

Eksempel: Spesifisere farge ved hjelp av RGB

Prøv selv »

rgb(127, 255, 127)

rgb(50 %, 100 %, 50 %)

rgb(127, 255, 127)

rgb(50 %, 100 %, 50 %)

Sett farge etter heksadesimal verdi

Verdier R G B kan også spesifiseres med heksadesimale (HEX) fargeverdier i formen: #RRGGBB hvor RR (rød), GG (grønn) og BB (blå) er heksadesimale verdier fra 00 til FF (samme som desimal 0-255) ). Det heksadesimale systemet, i motsetning til desimalsystemet, er, som navnet antyder, basert på tallet 16. Det heksadesimale systemet bruker følgende tegn: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Her er tallene fra 10 til 15 erstattet med latinske bokstaver. Tall større enn 15 i det heksadesimale systemet er representert ved å kombinere to tegn til én verdi. For eksempel tilsvarer det høyeste tallet 255 i desimal den høyeste FF-verdien i heksadesimal. I motsetning til desimalsystemet, er et heksadesimalt tall innledet av et hash-symbol. # , for eksempel, #FF0000 vises som rødt fordi rødt er satt til sin høyeste verdi (FF) og resten av fargene er satt til minimumsverdi(00). Tegn etter hash-symbolet # Du kan skrive med både store og små bokstaver. Det heksadesimale systemet lar deg bruke den forkortede formen #rgb, hvor hvert tegn tilsvarer dobbel. Dermed bør oppføringen #f7O betraktes som #ff7700.

Eksempel: HEX-farge

Prøv selv »

rød: #FF0000

grønn: #00FF00

blå: #0000FF

rød: #FF0000

grønn: #00FF00

blå: #0000FF

rød+grønn=gul: #FFFF00

rød+blå=lilla: #FF00FF

grønn+blå=cyan: #00FFFF

Liste over vanlige farger (navn, HEX og RGB):

engelsk navn	Russisk navn	HEX	RGB
Amaranth	Amaranth	#E52B50	229	43	80
Rav	Rav	#FFBF00	255	191	0
Aqua	Blå-grønn	#00FFFF	0	255	255
Azure	Azure	#007FFF	0	127	255
Svart	Svart	#000000	0	0	0
Blå	Blå	#0000FF	0	0	255
Bondi blå	Bondi strandvann	#0095B6	0	149	182
Messing	Messing	#B5A642	181	166	66
Brun	Brun	#964B00	150	75	0
Cerulean	Azure	#007BA7	0	123	167
Mørk vårgrønn	Mørk vårgrønn	#177245	23	114	69
Smaragd	Smaragd	#50C878	80	200	120
Aubergine	Aubergine	#990066	153	0	102
Fuchsia	Fuchsia	#FF00FF	255	0	255
Gull	Gull	#FFD700	250	215	0
Grå	Grå	#808080	128	128	128
Grønn	Grønn	#00FF00	0	255	0
Indigo	Indigo	#4B0082	75	0	130
Jade	Jade	#00A86B	0	168	107
Lime	Lime	#CCFF00	204	255	0
Malakitt	Malakitt	#0BDA51	11	218	81
Marine	Mørk blå	#000080	0	0	128
Oker	Oker	#CC7722	204	119	34
Oliven	Oliven	#808000	128	128	0
Oransje	Oransje	#FFA500	255	165	0
Fersken	Fersken	#FFE5B4	255	229	180
Gresskar	Gresskar	#FF7518	255	117	24
Lilla	Fiolett	#800080	128	0	128
Rød	Rød	#FF0000	255	0	0
Safran	Safran	#F4C430	244	196	48
Sjøgrønn	Grønt hav	#2E8B57	46	139	87
Sumpgrønn	Bolotny	#ACB78E	172	183	142
Blågrønn	Blå-grønn	#008080	0	128	128
Ultramarin	Ultramarin	#120A8F	18	10	143
Fiolett	Fiolett	#8B00FF	139	0	255
Gul	Gul	#FFFF00	255	255	0

Fargekoder (bakgrunn) etter metning og fargetone.

Fargekoder i CSS brukes til å spesifisere farger. Vanligvis brukes fargekoder eller fargeverdier for å angi fargen for enten forgrunnsfargen til et element (f.eks. tekstfarge, lenkefarge) eller bakgrunnsfargen til et element (bakgrunnsfarge, blokkfarge). De kan også brukes til å endre fargen på en knapp, kantlinje, markør, hover og andre dekorative effekter.

Du kan spesifisere fargeverdiene dine i forskjellige formater. Følgende tabell viser alle mulige formater:

De listede formatene er beskrevet mer detaljert nedenfor.

CSS-farger - Hex-koder

Heksadesimal fargekode er en sekssifret representasjon av farge. De to første sifrene (RR) representerer den røde verdien, de to neste er grønn verdi(GG), og sistnevnte er den blå verdien (BB).

CSS-farger - korte heksadesimale koder

Kort sekskantet fargekode er en kortere form for notasjon på seks tegn. I dette formatet gjentas hvert siffer for å produsere en ekvivalent sekssifret fargeverdi. For eksempel: #0F0 blir #00FF00.

Heksadesimal verdi kan hentes fra hvilken som helst grafikk programvare, som f.eks Adobe Photoshop, Core Draw, etc.

Hver heksadesimal fargekode i CSS vil bli innledet av et hash-tegn "#". Nedenfor er eksempler på bruk av heksadesimale notasjoner.

CSS-farger - RGB-verdier

RGB-verdi er en fargekode som settes ved hjelp av egenskapen rgb(). Denne egenskapen har tre verdier: én hver for rød, grønn og blå. Verdien kan være et heltall, fra 0 til 255, eller en prosentandel.

Note: Ikke alle nettlesere støtter rgb() color-egenskapen, så det anbefales ikke å bruke den.

Nedenfor er et eksempel som viser flere farger ved bruk av RGB-verdier.

Fargekodegenerator

Du kan lage millioner av fargekoder ved å bruke tjenesten vår.

Nettlesersikre farger

Nedenfor er en tabell med 216 farger som er de sikreste og mest datamaskinuavhengige. Disse fargene i CSS varierer fra 000000 til FFFFFF heksadesimal kode. De er trygge å bruke fordi de sikrer at alle datamaskiner viser farger riktig når de arbeider med 256-fargepaletten.

Tabell over "sikre" farger i CSS
#000000	#000033	#000066	#000099	#0000CC	#0000FF
#003300	#003333	#003366	#003399	#0033CC	#0033FF
#006600	#006633	#006666	#006699	#0066CC	#0066FF
#009900	#009933	#009966	#009999	#0099CC	#0099FF
#00CC00	#00CC33	#00CC66	#00CC99	#00CCCC	#00CCFF
#00FF00	#00FF33	#00FF66	#00FF99	#00FFCC	#00FFFF
#330000	#330033	#330066	#330099	#3300CC	#3300FF
#333300	#333333	#333366	#333399	#3333CC	#3333FF
#336600	#336633	#336666	#336699	#3366CC	#3366FF
#339900	#339933	#339966	#339999	#3399CC	#3399FF
#33CC00	#33CC33	#33CC66	#33CC99	#33CCCC	#33CCFF
#33FF00	#33FF33	#33FF66	#33FF99	#33FFCC	#33FFFF
#660000	#660033	#660066	#660099	#6600CC	#6600FF
#663300	#663333	#663366	#663399	#6633CC	#6633FF
#666600	#666633	#666666	#666699	#6666CC	#6666FF
#669900	#669933	#669966	#669999	#6699CC	#6699FF
#66CC00	#66CC33	#66CC66	#66CC99	#66CCCC	#66CCFF
#66FF00	#66FF33	#66FF66	#66FF99	#66FFCC	#66FFFF
#990000	#990033	#990066	#990099	#9900CC	#9900FF
#993300	#993333	#993366	#993399	#9933CC	#9933FF
#996600	#996633	#996666	#996699	#9966CC	#9966FF
#999900	#999933	#999966	#999999	#9999CC	#9999FF
#99CC00	#99CC33	#99CC66	#99CC99	#99CCCC	#99CCFF
#99FF00	#99FF33	#99FF66	#99FF99	#99FFCC	#99FFFF
#CC0000	#CC0033	#CC0066	#CC0099	#CC00CC	#CC00FF
#CC3300	#CC3333	#CC3366	#CC3399	#CC33CC	#CC33FF
#CC6600	#CC6633	#CC6666	#CC6699	#CC66CC	#CC66FF
#CC9900	#CC9933	#CC9966	#CC9999	#CC99CC	#CC99FF
#CCCC00	#CCCC33	#CCCC66	#CCCC99	#CCCCCC	#CCCCFF
#CCFF00	#CCFF33	#CCFF66	#CCFF99	#CCFFCC	#CCFFFF
#FF0000	#FF0033	#FF0066	#FF0099	#FF00CC	#FF00FF
#FF3300	#FF3333	#FF3366	#FF3399	#FF33CC	#FF33FF
#FF6600	#FF6633	#FF6666	#FF6699	#FF66CC	#FF66FF
#FF9900	#FF9933	#FF9966	#FF9999	#FF99CC	#FF99FF
#FFCC00	#FFCC33	#FFCC66	#FFCC99	#FFCCCC	#FFCCFF
#FFFF00	#FFFF33	#FFFF66	#FFFF99	#FFFFCC	#FFFFFF

Alle vet geometrisk betydning tall π er lengden på en sirkel med en enhetsdiameter:

Men her er meningen med en annen viktig konstant, e, har en tendens til å bli raskt glemt. Det vil si, jeg vet ikke med deg, men hver gang det koster meg anstrengelsene å huske hvorfor dette tallet lik 2,7182818284590 er så bemerkelsesverdig... (jeg skrev imidlertid ned verdien fra minnet). Så jeg bestemte meg for å skrive en lapp slik at ingenting annet skulle gli ut av hukommelsen.

Tall e per definisjon - grensen for en funksjon y = (1 + 1 / x) x på x → ∞:

x	y
1	(1 + 1 / 1) 1	= 2
2	(1 + 1 / 2) 2	= 2,25
3	(1 + 1 / 3) 3	= 2,3703703702...
10	(1 + 1 / 10) 10	= 2,5937424601...
100	(1 + 1 / 100) 100	= 2,7048138294...
1000	(1 + 1 / 1000) 1000	= 2,7169239322...
∞	lim× → ∞	= 2,7182818284590...

Denne definisjonen er dessverre ikke klar. Det er ikke klart hvorfor denne grensen er bemerkelsesverdig (til tross for at den kalles "den andre bemerkelsesverdige"). Tenk bare, de tok en klønete funksjon og regnet ut grensen. En annen funksjon vil ha en annen.

Men antallet e av en eller annen grunn dukker det opp i en hel haug med de fleste ulike situasjoner i matematikk.

For meg hovedbetydning tall e avsløres i oppførselen til en annen, mye mer interessant funksjon, y = k x. Denne funksjonen har unik eiendom på k = e, som kan vises grafisk slik:

Ved punkt 0 tar funksjonen verdien e 0 = 1. Hvis du tegner en tangent i punktet x= 0, så vil den gå til x-aksen i en vinkel med tangenten 1 (in gul trekant forholdet mellom motsatt side 1 og tilstøtende side 1 er 1). Ved punkt 1 tar funksjonen verdien e 1 = e. Hvis du tegner en tangent i et punkt x= 1, så vil den passere i vinkel med en tangent e(V grønn trekant motsatt sideforhold e til tilstøtende 1 er lik e). Ved punkt 2 er verdien e 2 av funksjonen sammenfaller igjen med tangenten til helningsvinkelen til tangenten til den. På grunn av dette, samtidig skjærer tangentene selv x-aksen nøyaktig ved punktene −1, 0, 1, 2, etc.

Blant alle funksjonene y = k x(for eksempel 2 x , 10 x , π x etc.), funksjon e x- den eneste som har en slik skjønnhet at tangenten til helningsvinkelen på hvert av punktene sammenfaller med verdien av selve funksjonen. Dette betyr per definisjon at verdien av denne funksjonen på hvert punkt sammenfaller med verdien av dens deriverte på dette tidspunktet: ( e x)´ = e x. Av en eller annen grunn nummeret e= 2,7182818284590... må heves til ulike grader for å få et bilde som dette.

Dette er, etter min mening, meningen.

Tall π Og e er inkludert i favorittformelen min - Eulers formel, som forbinder de 5 viktigste konstantene - null, en, imaginær enhet jeg og faktisk tall π Og e:

e iπ + 1 = 0

Hvorfor er tallet 2.7182818284590... in kompleks grad 3,1415926535...jeg plutselig lik minus én? Svaret på dette spørsmålet ligger utenfor omfanget av dette notatet og kan fylle innholdet i en kort bok, som vil kreve en viss grunnleggende forståelse av trigonometri, grenser og serier.

Jeg har alltid vært overrasket over skjønnheten i denne formelen. Kanskje er det mer i matematikk fantastiske fakta, men for mitt nivå (en C i fysikk og matematikk Lyceum og en A i omfattende analyse ved universitetet) er dette det viktigste miraklet.

Som noe ubetydelig. Dette skjedde i 1618. I vedlegget til Napiers arbeid om logaritmer ble det gitt en tabell over naturlige logaritmer forskjellige tall. Ingen skjønte imidlertid at dette var logaritmer til basen, siden konseptet med en logaritme på den tiden ikke inkluderte noe slikt som en base. Dette er det vi nå kaller en logaritme, potensen som basen må heves til for å få det nødvendige tallet. Vi kommer tilbake til dette senere. Tabellen i vedlegget er mest sannsynlig laget av Augthred, selv om forfatteren ikke ble identifisert. Noen år senere, i 1624, dukker den opp igjen i matematisk litteratur, men igjen på en tilslørt måte. I år ga Briggs en numerisk tilnærming desimal logaritme, men selve tallet er ikke nevnt i hans arbeid.

Neste opptreden av nummeret er igjen tvilsomt. I 1647 beregnet Saint-Vincent arealet til hyperbelsektoren. Om han forsto sammenhengen med logaritmer kan man bare gjette på, men selv om han forsto, er det lite sannsynlig at han kunne komme til selve tallet. Det var først i 1661 at Huygens forsto sammenhengen mellom den likesidede hyperbelen og logaritmene. Han beviste at arealet under grafen til en likesidet hyperbel av en likesidet hyperbel på intervallet fra til er lik . Denne egenskapen danner grunnlaget for naturlige logaritmer, men dette ble ikke forstått av datidens matematikere, men de nærmet seg sakte denne forståelsen.

Huygens tok neste steg i 1661. Han definerte en kurve som han kalte logaritmisk (i vår terminologi vil vi kalle den eksponentiell). Dette er en typekurve. Og igjen vises desimallogaritmen, som Huygens finner med en nøyaktighet på 17 desimalsifre. Imidlertid oppsto det fra Huygens som en slags konstant og var ikke assosiert med logaritmen til et tall (så igjen kom de nær , men selve tallet forblir ukjent).

I videre arbeid med logaritmer kommer tallet igjen ikke eksplisitt. Studiet av logaritmer fortsetter imidlertid. I 1668 ga Nicolaus Mercator ut et verk Logaritmoteknikk, som inneholder en serieutvidelse. I dette arbeidet bruker Mercator først navnet " naturlig logaritme" for grunnlogaritmen. Nummeret dukker tydeligvis ikke opp igjen, men forblir unnvikende et sted ved siden av.

Det er overraskende at tall først vises i eksplisitt form ikke i forbindelse med logaritmer, men i forbindelse med uendelige produkter. I 1683 prøver Jacob Bernoulli å finne

Han bruker binomial teorem for å bevise at denne grensen er mellom og , som vi kan tenke på som en første tilnærming til . Selv om vi tar dette for å være definisjonen av , er dette første gang et tall er definert som en grense. Bernoulli forsto selvfølgelig ikke sammenhengen mellom arbeidet hans og arbeidet med logaritmer.

Det ble tidligere nevnt at logaritmer i begynnelsen av studien ikke var koblet på noen måte med eksponenter. Selvfølgelig, fra ligningen finner vi at , men dette er en mye senere måte å oppfatte. Her mener vi faktisk en funksjon med en logaritme, mens logaritmen først ble betraktet som et tall som hjalp i beregninger. Kanskje Jacob Bernoulli var den første som innså det logaritmisk funksjon er den inverse eksponentielle. På den annen side kan den første personen som koblet logaritmer og potenser ha vært James Gregory. I 1684 anerkjente han sikkert sammenhengen mellom logaritmer og potenser, men han var kanskje ikke den første.

Vi vet at nummeret dukket opp i sin nåværende form i 1690. Leibniz brukte i et brev til Huygens betegnelsen for det. Til slutt dukket det opp en betegnelse (selv om den ikke falt sammen med den moderne), og denne betegnelsen ble anerkjent.

I 1697 begynte Johann Bernoulli å studere den eksponentielle funksjonen og publiserte Principia calculi exponentialum seu percurrentium. I dette arbeidet beregnes summene av ulike eksponentielle serier, og noen resultater oppnås ved deres term-for-term integrasjon.

Euler introduserte så mange matematisk notasjon, Hva
ikke overraskende tilhører også betegnelsen ham. Det virker latterlig å si at han brukte bokstaven fordi det er den første bokstaven i navnet hans. Dette er sannsynligvis ikke engang fordi det er hentet fra ordet "eksponentiell", men ganske enkelt fordi det er den neste vokalen etter "a", og Euler hadde allerede brukt notasjonen "a" i arbeidet sitt. Uansett årsak dukker notasjonen først opp i et brev fra Euler til Goldbach i 1731. Han gjorde mange funn mens han studerte videre, men først i 1748. Introduksjon i Analysin infinitorum han ga full begrunnelse for alle ideer knyttet til. Det viste han

Euler fant også de første 18 desimalene til et tall:

imidlertid uten å forklare hvordan han fikk dem. Det ser ut som han har beregnet denne verdien selv. Faktisk, hvis vi tar omtrent 20 termer av serie (1), får vi nøyaktigheten som Euler oppnådde. Blant annet interessante resultater hans arbeid viser sammenhengen mellom funksjonene sinus og cosinus og kompleks eksponentiell funksjon, som Euler hentet fra Moivres formel.

Det er interessant at Euler til og med fant dekomponeringen av et tall i fortsatte brøker og ga eksempler på slik dekomponering. Spesielt fikk han
Og
Euler ga ikke bevis for at disse brøkene fortsetter på samme måte, men han visste at hvis det fantes et slikt bevis, ville det bevise irrasjonalitet. Faktisk, hvis den fortsatte brøken for fortsatte på samme måte som i eksemplet ovenfor (vi legger til hver gang), ville den aldri bli avbrutt, og (og derfor) kunne ikke være rasjonell. Dette er åpenbart det første forsøket på å bevise irrasjonalitet.

Den første til å beregne ganske stort antall desimaler av tallet var Shanks i 1854. Glaisher viste at de første 137 stedene beregnet av Shanks var riktige, men fant så en feil. Shanks korrigerte det, og 205 desimaler ble oppnådd. I virkeligheten trenger du ca
120 utvidelsesvilkår (1) for å få 200 riktige sifre i nummeret.

I 1864 sto Benjamin Peirce ved en tavle som var skrevet på

I sine forelesninger kan han si til studentene sine: «Mine herrer, vi har ikke den minste anelse om hva dette betyr, men vi kan være sikre på at det betyr noe veldig viktig.»

De fleste tror at Euler beviste irrasjonaliteten til tallet. Dette ble imidlertid gjort av Hermite i 1873. Det gjenstår fortsatt åpent spørsmål om tallet er algebraisk. Det endelige resultatet i denne retningen er at minst ett av tallene er transcendentalt.

Deretter ble de neste desimalene i tallet beregnet. I 1884 beregnet Boorman 346 sifre, hvorav de første 187 falt sammen med Shanks sifre, men de påfølgende var forskjellige. I 1887 beregnet Adams de 272 sifrene i desimallogaritmen.

| Euler-nummer (E)

e - grunnlaget for den naturlige logaritmen, en matematisk konstant, et irrasjonelt og transcendentalt tall. Omtrent lik 2,71828. Noen ganger ringes nummeret Euler-nummer eller Napier nummer. Indikert med små bokstaver latinsk bokstav « e».

Historie

Tall e dukket først opp i matematikk som noe ubetydelig. Dette skjedde i 1618. I vedlegget til John Napiers arbeid om logaritmer ble det gitt en tabell over naturlige logaritmer av forskjellige tall. Ingen skjønte imidlertid at dette er logaritmer til basen e , siden konseptet med en logaritme fra den tiden ikke inkluderte noe slikt som en base. Dette er det vi nå kaller en logaritme, potensen som basen må heves til for å få det nødvendige tallet. Vi kommer tilbake til dette senere. Tabellen i vedlegget er mest sannsynlig laget av Augthred, selv om forfatteren ikke ble identifisert. Noen år senere, i 1624, dukker den opp igjen i matematisk litteratur. e , men igjen på en tilslørt måte. I år ga Briggs en numerisk tilnærming til desimallogaritmen e , men selve nummeret e ikke nevnt i hans arbeid.

Neste forekomst av nummeret e igjen tvilsomt. I 1647 beregnet Saint-Vincent arealet til hyperbelsektoren. Om han forsto sammenhengen med logaritmer kan man bare gjette på, men selv om han gjorde det, er det usannsynlig at han kunne ha kommet frem til selve tallet e . Det var først i 1661 at Huygens forsto sammenhengen mellom den likesidede hyperbelen og logaritmene. Han beviste at området under grafen til en likesidet hyperbel xy = 1 likesidet hyperbel på intervallet fra 1 til e er lik 1. Denne egenskapen gjør e grunnlaget for naturlige logaritmer, men dette ble ikke forstått av datidens matematikere, men de nærmet seg sakte denne forståelsen.

Huygens tok neste steg i 1661. Han definerte en kurve som han kalte logaritmisk (i vår terminologi vil vi kalle den eksponentiell). Dette er en kurve av formen y = ka x . Og desimallogaritmen vises igjen e , som Huygens finner nøyaktig til 17 desimaler. Imidlertid oppsto det fra Huygens som en slags konstant og var ikke assosiert med logaritmen til et tall (så igjen kom vi nær e , men selve nummeret e forblir ukjent).

I videre arbeid med logaritmer, igjen tallet e vises ikke eksplisitt. Studiet av logaritmer fortsetter imidlertid. I 1668 ga Nicolaus Mercator ut et verk Logaritmoteknikk, som inneholder en serieutvidelse log(1 + x) . I dette arbeidet bruker Mercator først navnet "naturlig logaritme" for grunnlogaritmen e . Tall e dukker tydeligvis ikke opp igjen, men forblir unnvikende et sted til siden.

Det er overraskende at antallet e vises eksplisitt for første gang ikke i forbindelse med logaritmer, men i forbindelse med uendelige produkter. I 1683 prøver Jacob Bernoulli å finne

Han bruker binomiale teoremet for å bevise at denne grensen er mellom 2 og 3, som vi kan tenke på som en første tilnærming av tallet e . Selv om vi tar dette som en definisjon e , dette er første gang et tall er definert som en grense. Bernoulli forsto selvfølgelig ikke sammenhengen mellom arbeidet hans og arbeidet med logaritmer.

Det ble tidligere nevnt at logaritmer i begynnelsen av studien deres ikke var forbundet på noen måte med eksponenter. Selvfølgelig, fra ligningen x = a t det finner vi t = log a x , men dette er en mye senere måte å oppfatte på. Her mener vi faktisk en funksjon med en logaritme, mens logaritmen først ble betraktet som et tall som hjalp i beregninger. Jacob Bernoulli kan ha vært den første som innså at den logaritmiske funksjonen er den inverse eksponentielle. På den annen side kan den første personen som koblet logaritmer og potenser ha vært James Gregory. I 1684 anerkjente han sikkert sammenhengen mellom logaritmer og potenser, men han var kanskje ikke den første.

Vi vet at antallet e dukket opp i sin nåværende form i 1690. Leibniz brukte i et brev til Huygens betegnelsen for det b . Endelig e en betegnelse dukket opp (selv om den ikke falt sammen med den moderne), og denne betegnelsen ble anerkjent.

Leonhard Euler introduserte så mye matematisk notasjon at det ikke er overraskende at notasjonen e tilhører ham også. Det virker latterlig å si at han brukte brevet e på grunn av at det er den første bokstaven i navnet hans. Det er nok ikke engang fordi e hentet fra ordet "eksponentiell", er det ganske enkelt den neste vokalen etter "a", og Euler hadde allerede brukt notasjonen "a" i sitt arbeid. Uansett årsak dukker notasjonen først opp i et brev fra Euler til Goldbach i 1731. Han gjorde mange oppdagelser mens han studerte e senere, men først i 1748 Introduksjon i Analysin infinitorum han ga full begrunnelse for alle ideer knyttet til e . Det viste han

Euler fant også de første 18 desimalene i tallet e :

Riktignok uten å forklare hvordan han fikk dem. Det ser ut som han har beregnet denne verdien selv. Faktisk, hvis vi tar omtrent 20 termer av serie (1), får vi nøyaktigheten som Euler oppnådde. Blant andre interessante resultater i hans arbeid er sammenhengen mellom funksjonene sinus og cosinus og den komplekse eksponentialfunksjonen, som Euler utledet fra De Moivres formel.

Interessant nok fant Euler til og med en dekomponering av tallet e i fortsatte brøker og ga eksempler på slik ekspansjon. Spesielt fikk han

Euler ga ikke bevis for at disse brøkene fortsetter på samme måte, men han visste at hvis det var et slikt bevis, ville det bevise irrasjonalitet e . Faktisk, hvis den fortsatte brøken for (e - 1) / 2 , fortsatte på samme måte som i eksemplet ovenfor, 6,10,14,18,22,26, (vi legger til 4 hver gang), så ville den aldri blitt avbrutt, og (e -1) / 2 (og derfor e ) kunne ikke være rasjonell. Dette er åpenbart det første forsøket på å bevise irrasjonalitet e .

Den første som beregnet et ganske stort antall desimaler av et tall e , var Shanks i 1854. Glaisher viste at de første 137 tegnene beregnet av Shanks var riktige, men fant så en feil. Shanks korrigerte det, og 205 desimaler av tallet ble oppnådd e . Faktisk er det nødvendig med omtrent 120 utvidelsesbetingelser (1) for å få 200 riktige sifre i tallet e .

I 1864 sto Benjamin Peirce ved en tavle som var skrevet på

I sine forelesninger kan han si til studentene sine: «Mine herrer, vi har ikke den minste anelse om hva dette betyr, men vi kan være sikre på at det betyr noe veldig viktig.»

De fleste mener at Euler beviste irrasjonaliteten til tallet e . Dette ble imidlertid gjort av Hermite i 1873. Spørsmålet er fortsatt åpent om antallet er e e algebraisk. Det endelige resultatet i denne retningen er at minst ett av tallene e e Og e e 2 er transcendental.

Deretter ble følgende desimaler av tallet beregnet e . I 1884 beregnet Boorman 346 sifre e , hvorav de første 187 falt sammen med Shanks tegn, men de påfølgende skilte seg. I 1887 beregnet Adams de 272 sifrene i desimallogaritmen e .

J. J. Connor, E. F. Robertson. Antallet e.