En av hovedkarakteristikkene i algebra, og faktisk i all matematikk, er en grad. Selvfølgelig, i det 21. århundre, kan alle beregninger utføres på en online kalkulator, men det er bedre å lære hvordan du gjør det selv for utvikling av hjerner.

I denne artikkelen skal vi se mest på viktige spørsmål om denne definisjonen. Vi vil nemlig forstå hva det er generelt og hva er dets hovedfunksjoner, hvilke egenskaper som finnes i matematikk.

La oss se på eksempler på hvordan regnestykket ser ut, hva er de grunnleggende formlene. Vi vil analysere hovedtypene av mengder og hvordan de skiller seg fra andre funksjoner.

Vi vil forstå hvordan du løser ulike problemer ved å bruke denne verdien. Vi vil vise med eksempler hvordan man kan heve til null grad, irrasjonelt, negativt osv.

Online eksponentieringskalkulator

Hva er graden av et tall

Hva menes med uttrykket "løfte et tall til en makt"?

Graden n av et tall a er produktet av størrelsesfaktorer n ganger på rad.

Matematisk ser det slik ut:

a n = a * a * a * …a n .

For eksempel:

• 2 3 = 2 i tredje trinn. = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4 i trinn. to = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 i trinn. fire = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 10 5 \u003d 10 i 5 trinn. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100 000;
• 10 4 \u003d 10 i 4 trinn. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

Nedenfor er en tabell med firkanter og terninger fra 1 til 10.

Tabell over grader fra 1 til 10

Nedenfor er resultatene av å heve naturlige tall til positive potenser - "fra 1 til 100".

Ch-lo	2. klasse	3. klasse
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	279
10	100	1000

Gradsegenskaper

Hva er typisk for slike matematisk funksjon? La oss se på de grunnleggende egenskapene.

Forskere har etablert følgende tegn som er karakteristiske for alle grader:

• a n * a m = (a) (n+m);
• a n: a m = (a) (n-m);
• (a b) m = (a) (b*m).

La oss sjekke med eksempler:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. På den annen side 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32.

Tilsvarende: 2 3: 2 2 = 8 / 4 = 2. Ellers 2 3-2 = 2 1 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. Hva om det er annerledes? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Som du kan se, fungerer reglene.

Men hvordan være med addisjon og subtraksjon? Alt er enkelt. Først utføres eksponentiering, og først deretter addisjon og subtraksjon.

La oss se på eksempler:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 - 3 2 = 25 - 9 = 16

Men i dette tilfellet må du først beregne tillegget, siden det er handlinger i parentes: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

Hvordan produsere databehandling i mer vanskelige saker ? Rekkefølgen er den samme:

• hvis det er parentes, må du begynne med dem;
• deretter eksponentiering;
• utfør deretter operasjoner med multiplikasjon, divisjon;
• etter addisjon, subtraksjon.

Det er spesifikke egenskaper som ikke er karakteristiske for alle grader:

1. Roten av den n-te graden fra tallet a til graden m vil bli skrevet som: a m / n .
2. Når du hever en brøk til en potens: både telleren og dens nevner er underlagt denne prosedyren.
3. Når du bygger et verk forskjellige tall til en potens vil uttrykket tilsvare produktet av disse tallene til en gitt potens. Det vil si: (a * b) n = a n * b n .
4. Når du hever et tall til en negativ potens, må du dele 1 med et tall i samme trinn, men med et "+"-tegn.
5. Hvis nevneren til en brøk er i negativ potens, vil dette uttrykket være lik produktet av telleren og nevneren i positiv potens.
6. Et hvilket som helst tall i potensen 0 = 1, og til trinnet. 1 = til seg selv.

Disse reglene er viktige i enkeltsaker, vil vi vurdere dem mer detaljert nedenfor.

Grad med negativ eksponent

Hva skal man gjøre med en negativ grad, det vil si når indikatoren er negativ?

Basert på eiendom 4 og 5(se punkt over) det viser seg:

A (- n) \u003d 1 / A n, 5 (-2) \u003d 1/5 2 \u003d 1/25.

Og vice versa:

1 / A (- n) \u003d A n, 1 / 2 (-3) \u003d 2 3 \u003d 8.

Hva om det er en brøkdel?

(A / B) (- n) = (B / A) n , (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.

Grad med en naturlig indikator

Det forstås som en grad med eksponenter lik heltall.

Ting å huske:

A0 = 1, 10 = 1; 20 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1...osv.

A1 = A, 11 = 1; 21 = 2; 3 1 = 3...osv.

Dessuten, hvis (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2 ... så vil resultatet være med et "+"-tegn. Hvis et negativt tall heves til ikke jevn grad, så omvendt.

Generelle egenskaper, og alle de spesifikke egenskapene beskrevet ovenfor, er også karakteristiske for dem.

Brøkdel grad

Denne visningen kan skrives som et skjema: A m / n. Det leses som: roten av den n-te graden av tallet A i m potens.

Med en brøkindikator kan du gjøre hva som helst: redusere, dekomponere i deler, heve til en annen grad, etc.

Grad med irrasjonell eksponent

La α være et irrasjonelt tall og А ˃ 0.

For å forstå essensen av graden med en slik indikator, La oss se på forskjellige mulige tilfeller:

• A \u003d 1. Resultatet vil være lik 1. Siden det er et aksiom - 1 er lik en i alle potenser;

A r 1 ˂ A α ˂ A r 2 , r 1 ˂ r 2 – rasjonelle tall;

• 0˂А˂1.

I dette tilfellet omvendt: А r 2 ˂ А α ˂ А r 1 under samme betingelser som i andre ledd.

Eksponenten er for eksempel tallet π. Det er rasjonelt.

r 1 - i dette tilfellet er det lik 3;

r 2 - vil være lik 4.

Så, for A = 1, 1 π = 1.

A = 2, deretter 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4 , 8 ˂ 2 π ˂ 16.

A = 1/2, deretter (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3 , 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

Slike grader er preget av alle de matematiske operasjonene og spesifikke egenskapene beskrevet ovenfor.

Konklusjon

La oss oppsummere - hva er disse verdiene for, hva er fordelene med slike funksjoner? Selvfølgelig forenkler de livet til matematikere og programmerere når de løser eksempler, siden de tillater å minimere beregninger, redusere algoritmer, systematisere data og mye mer.

Hvor ellers kan denne kunnskapen være nyttig? I enhver arbeidsspesialitet: medisin, farmakologi, odontologi, konstruksjon, teknologi, ingeniørfag, design, etc.

I rammen av dette materialet vil vi analysere hva en potens av et tall er. I tillegg til de grunnleggende definisjonene vil vi formulere hvilke grader med naturlige, heltall, rasjonelle og irrasjonelle eksponenter er. Som alltid vil alle konsepter bli illustrert med eksempler på oppgaver.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Først formulerer vi grunnleggende definisjon grad med en naturlig indikator. For å gjøre dette må vi huske de grunnleggende reglene for multiplikasjon. La oss på forhånd avklare at vi vil ta utgangspunkt i det nå ekte nummer(betegnet med bokstaven a), og som en indikator - naturlig (betegnet med bokstaven n).

Definisjon 1

Potensen til a med en naturlig eksponent n er produktet av det n-te antall faktorer, som hver er lik tallet a. Graden er skrevet slik: en n, og i form av en formel, kan sammensetningen representeres som følger:

For eksempel, hvis eksponenten er 1 og grunntallet er a, skrives første potens av a som en 1. Gitt at a er verdien av faktoren og 1 er antall faktorer, kan vi konkludere med det a 1 = a.

Generelt kan vi si at graden er en praktisk notasjon et stort antall like multiplikatorer. Så en oversikt over skjemaet 8 8 8 8 kan reduseres til 8 4 . På omtrent samme måte hjelper arbeidet oss med å unngå å skrive et stort antall termer (8 + 8 + 8 + 8 = 8 4); vi har allerede analysert dette i artikkelen viet til multiplikasjon av naturlige tall.

Hvordan lese posten av graden riktig? Det generelt aksepterte alternativet er "a til makten av n". Eller du kan si "den n'te potensen til en" eller "den n'te potensen". Hvis for eksempel i eksemplet er det en oppføring 8 12 , kan vi lese "8 i 12. potens", "8 i 12. potens" eller "12. potens av 8".

Den andre og tredje graden av tallet har sine egne veletablerte navn: kvadrat og kube. Hvis vi for eksempel ser den andre potensen av tallet 7 (7 2), så kan vi si "7 i rute" eller "kvadrat av tallet 7". På samme måte leses tredje grad slik: 5 3 er "kuben av tallet 5" eller "5 terninger". Det er imidlertid også mulig å bruke standardteksten "i andre / tredje grad", dette vil ikke være en feil.

Eksempel 1

La oss se på et eksempel på en grad med en naturlig indikator: for 5 7 fem vil være basen, og syv vil være indikatoren.

Basen trenger ikke å være et heltall: for graden (4 , 32) 9 basen vil være en brøk 4, 32, og eksponenten vil være ni. Vær oppmerksom på parentesene: en slik notasjon er laget for alle grader, hvis base er forskjellig fra naturlige tall.

For eksempel: 1 2 3 , (- 3) 12 , - 2 3 5 2 , 2 , 4 35 5 , 7 3 .

Hva er brakettene til? De bidrar til å unngå feil i beregninger. La oss si at vi har to oppføringer: (− 2) 3 og − 2 3 . Den første av dem betyr et negativt tall minus to, hevet til en potens med en naturlig eksponent på tre; den andre er tallet som tilsvarer motsatt betydning grader 2 3 .

Noen ganger i bøker kan du finne en litt annen stavemåte for graden av et tall - a^n(hvor a er grunntallet og n er eksponenten). Så 4^9 er det samme som 4 9 . I tilfelle n er flersifret nummer, er det tatt i parentes. For eksempel, 15 ^ (21), (− 3, 1) ^ (156) . Men vi skal bruke notasjonen en n som mer vanlig.

Hvordan du beregner verdien av en grad med en naturlig eksponent er lett å gjette fra definisjonen: du trenger bare å multiplisere et n-te antall ganger. Vi skrev mer om dette i en annen artikkel.

Gradbegrepet er det motsatte av et annet matematisk konsept- roten av tallet. Hvis vi vet verdien av eksponenten og eksponenten, kan vi beregne basen. Graden har noen spesifikke egenskaper som er nyttige for å løse problemer som vi har analysert i et eget materiale.

Eksponentene kan inneholde ikke bare naturlige tall, men også alle heltallsverdier generelt, inkludert negative og nuller, fordi de også tilhører settet med heltall.

Definisjon 2

Graden av et tall med en positiv heltallseksponent kan vises som en formel: .

Dessuten er n et hvilket som helst positivt heltall.

La oss ta for oss konseptet null grader. For å gjøre dette bruker vi en tilnærming som tar hensyn til egenskapen til kvotienten for potenser med like grunnlag. Den er formulert slik:

Definisjon 3

Likestilling a m: a n = a m − n vil være sann under følgende forhold: m og n er naturlige tall, m< n , a ≠ 0 .

Den siste betingelsen er viktig fordi den unngår å dele på null. Hvis verdiene til m og n er like, vil vi få følgende resultat: a n: a n = a n − n = a 0

Men samtidig a n: a n = 1 - kvotient av like tall en n og a. Det viser seg at nullgraden til ethvert tall som ikke er null er lik en.

Et slikt bevis er imidlertid ikke egnet for null til potensen null. For å gjøre dette trenger vi en annen maktegenskap - egenskapen til produkter av makter med like baser. Det ser slik ut: a m a n = a m + n .

Hvis n er 0, da a m a 0 = a m(denne likheten beviser også for oss det a 0 = 1). Men hvis og også er lik null, tar vår likhet formen 0 m 0 0 = 0 m, Det vil være sant for enhver naturverdi av n, og det spiller ingen rolle hva nøyaktig verdien av graden er 0 0 , det vil si at det kan være lik et hvilket som helst tall, og dette vil ikke påvirke gyldigheten av likheten. Derfor en registrering av skjemaet 0 0 har ingen spesiell betydning i seg selv, og vi vil ikke tilskrive den den.

Om ønskelig er det enkelt å sjekke det a 0 = 1 konvergerer med gradegenskapen (a m) n = a m n forutsatt at grunntallet for graden ikke er lik null. Dermed er graden av ethvert tall som ikke er null med en nulleksponent lik én.

Eksempel 2

La oss ta et eksempel med spesifikke tall: Så, 5 0 - enhet, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 , og verdien 0 0 udefinert.

Etter nullgraden gjenstår det for oss å finne ut hva en negativ grad er. For å gjøre dette trenger vi den samme egenskapen til produktet av potenser med like baser, som vi allerede har brukt ovenfor: a m · a n = a m + n.

Vi introduserer betingelsen: m = − n , da må ikke a være lik null. Det følger at a − n a n = a − n + n = a 0 = 1. Det viser seg at en n og a-n vi har gjensidige tall.

Som et resultat er a til en negativ heltallspotens ikke annet enn en brøk 1 a n .

Denne formuleringen bekrefter det for en grad med et heltall negativ indikator alle de samme egenskapene som en grad med naturlig eksponent har (forutsatt at grunntallet ikke er lik null) er gyldige.

Eksempel 3

Potensen a med et negativt heltall n kan representeres som en brøk 1 a n . Dermed er a - n = 1 a n under betingelsen a ≠ 0 og n er hvilken som helst naturlig tall.

La oss illustrere ideen vår med spesifikke eksempler:

Eksempel 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

I den siste delen av avsnittet vil vi prøve å skildre alt som er sagt tydelig i en formel:

Definisjon 4

Potensen til a med naturlig eksponent z er: a z = a z , e c og z er et positivt heltall 1 , z = 0 og a ≠ 0 , (hvis z = 0 og a = 0 får vi 0 0 , verdiene av uttrykket 0 0 are not er bestemt)   1 a z , hvis z er et negativt heltall og a ≠ 0 (hvis z er et negativt heltall og a = 0 får vi 0 z , det er a n d e n t i o n )

Hva er grader med en rasjonell eksponent

Vi har analysert tilfellene når eksponenten er et heltall. Du kan imidlertid også heve et tall til en potens når eksponenten er et brøktall. Dette kalles graden rasjonell indikator. I denne underseksjonen vil vi bevise at den har de samme egenskapene som de andre maktene.

Hva er rasjonelle tall? Settet deres inkluderer både heltall og brøktall, mens brøktall kan representeres som vanlige brøker (både positive og negative). Vi formulerer definisjonen av graden av et tall a med en brøkeksponent m / n, der n er et naturlig tall, og m er et heltall.

Vi har en viss grad med en brøkeksponent a m n . For at potensegenskapen skal holde i en grad, må likheten a m n n = a m n · n = a m være sann.

Gitt definisjonen av en n-te rot og at a m n n = a m , kan vi akseptere betingelsen a m n = a m n hvis a m n gir mening for de gitte verdiene til m , n og a .

De ovennevnte egenskapene til graden med en heltallseksponent vil være sanne under betingelsen a m n = a m n .

Hovedkonklusjonen fra resonnementet vårt er som følger: graden av et tall a med en brøkeksponent m / n er roten av den n-te graden fra tallet a til potensen m. Dette er sant hvis uttrykket a m n gir mening for gitte verdier av m, n og a.

1. Vi kan begrense verdien av gradens basis: ta a, som for positive verdier av m vil være større enn eller lik 0, og for negative verdier vil den være strengt tatt mindre (fordi for m ≤ 0 får vi 0 m, men denne graden er ikke definert). I dette tilfellet vil definisjonen av graden med en brøkeksponent se slik ut:

Brøkeksponenten m/n for et positivt tall a er den n-te roten av a hevet til m potens. I form av en formel kan dette representeres som følger:

For en grad med null base er denne bestemmelsen også egnet, men bare hvis eksponenten er et positivt tall.

En potens med grunntall null og en positiv brøkeksponent m/n kan uttrykkes som

0 m n = 0 m n = 0 under betingelse av positivt heltall m og naturlig n .

Med et negativt forhold m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

La oss merke oss ett poeng. Siden vi har innført betingelsen om at a er større enn eller lik null, har vi forkastet noen tilfeller.

Uttrykket a m n gir noen ganger fortsatt mening for noen negative verdier av a og noen negative verdier av m . Så oppføringene er riktige (- 5) 2 3 , (- 1 , 2) 5 7 , - 1 2 - 8 4 , der grunntallet er negativt.

2. Den andre tilnærmingen er å vurdere roten a m n separat med partall og oddetall eksponenter. Så må vi introdusere en annen betingelse: graden a, i eksponenten som det er en reduserbar ordinær brøk av, regnes som graden a, i eksponenten som det er den tilsvarende irreduserbare brøken av. Senere vil vi forklare hvorfor vi trenger denne tilstanden og hvorfor den er så viktig. Så hvis vi har en post a m · k n · k , så kan vi redusere den til a m n og forenkle beregningene.

Hvis n er et oddetall og m er positivt og a er et hvilket som helst ikke-negativt tall, så gir a m n mening. Betingelsen for en ikke-negativ a er nødvendig, siden roten til en partallsgrad ikke trekkes ut fra et negativt tall. Hvis verdien av m er positiv, kan a være både negativ og null, fordi En oddetall kan tas fra et hvilket som helst reelt tall.

La oss kombinere alle dataene over definisjonen i én oppføring:

Her betyr m/n en irreduserbar brøk, m er et hvilket som helst heltall, og n er et hvilket som helst naturlig tall.

Definisjon 5

For enhver ordinær redusert brøk m · k n · k kan graden erstattes med en m n .

Kraften til a med en irreduserbar brøkeksponent m / n - kan uttrykkes som en m n i følgende tilfeller:- for ethvert ekte a , heltall positive verdier m og oddetall positive heltall n . Eksempel: 2 5 3 = 2 5 3 , (- 5 , 1) 2 7 = (- 5 , 1) - 2 7 , 0 5 19 = 0 5 19 .

For enhver reell a som ikke er null , negative heltallsverdier av m og oddeverdier av n , for eksempel 2 - 5 3 = 2 - 5 3 , (- 5 , 1) - 2 7 = (- 5 , 1) - 2 7

For alle ikke-negative a , positive heltallsverdier av m og selv n , for eksempel 2 1 4 = 2 1 4 , (5 , 1) 3 2 = (5 , 1) 3 , 0 7 18 = 0 7 18.

For ethvert positivt a , negativt heltall m og selv n , for eksempel 2 - 1 4 = 2 - 1 4 , (5 , 1) - 3 2 = (5 , 1) - 3 , .

Ved andre verdier bestemmes ikke graden med brøkeksponent. Eksempler på slike krefter: - 2 11 6 , - 2 1 2 3 2 , 0 - 2 5 .

La oss nå forklare viktigheten av tilstanden nevnt ovenfor: hvorfor erstatte en brøk med en reduserbar eksponent for en brøk med en irreduserbar. Hvis vi ikke ville ha gjort dette, ville slike situasjoner blitt for eksempel 6/10 = 3/5. Da bør (- 1) 6 10 = - 1 3 5 være sant, men - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 , og (- 1) 3 5 = (- 1) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .

Definisjonen av graden med en brøkeksponent, som vi ga først, er mer praktisk å bruke i praksis enn den andre, så vi vil fortsette å bruke den.

Definisjon 6

Dermed er potensen til et positivt tall a med brøkeksponent m / n definert som 0 m n = 0 m n = 0 . Ved negativ en notasjonen a m n gir ingen mening. Nullgrad for positive brøkeksponenter m/n er definert som 0 m n = 0 m n = 0 , for negative brøkeksponenter definerer vi ikke nullgraden.

I konklusjonene merker vi at enhver brøkindikator kan skrives som i skjemaet blandet tall, og i form av en desimalbrøk: 5 1 , 7 , 3 2 5 - 2 3 7 .

Ved beregning er det bedre å erstatte eksponenten vanlig brøk og bruk deretter definisjonen av graden med en brøkeksponent. For eksemplene ovenfor får vi:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Hva er grader med irrasjonell og reell eksponent

Hva er reelle tall? De inkluderer både rasjonelle og irrasjonelle tall. Derfor, for å forstå hva en grad med ekte indikator, må vi definere grader med rasjonelle og irrasjonelle eksponenter. Om rasjonell har vi allerede nevnt ovenfor. La oss håndtere irrasjonelle indikatorer trinn for trinn.

Eksempel 5

Anta at vi har et irrasjonelt tall a og en sekvens av dets desimaltilnærminger a 0 , a 1 , a 2 , . . . . La oss for eksempel ta verdien a = 1 , 67175331 . . . , deretter

a 0 = 1 , 6 , a 1 = 1 , 67 , a 2 = 1 , 671 , . . . , a 0 = 1 , 67 , a 1 = 1 , 6717 , a 2 = 1 , 671753 , . . .

Vi kan assosiere sekvenser av tilnærminger med en rekke potenser a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . . Hvis vi husker hva vi snakket om tidligere om å heve tall til rasjonell grad, så kan vi beregne verdiene til disse kreftene selv.

Ta for eksempel a = 3, deretter a a 0 = 3 1 , 67 , a a 1 = 3 1 , 6717 , a a 2 = 3 1 , 671753 , . . . etc.

Rekkefølgen av grader kan reduseres til et tall, som vil være verdien av graden med grunntallet a og den irrasjonelle eksponenten a. Som et resultat: en grad med en irrasjonell eksponent av formen 3 1 , 67175331 . . kan reduseres til tallet 6, 27.

Definisjon 7

Kraften til et positivt tall a med irrasjonell eksponent a skrives som en a . Dens verdi er grensen for sekvensen a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . , hvor a 0 , a 1 , a 2 , . . . er suksessive desimaltilnærminger av det irrasjonelle tallet a. En grad med nullbase kan også defineres for positive irrasjonelle eksponenter, mens 0 a \u003d 0 Så, 0 6 \u003d 0, 0 21 3 3 \u003d 0. Og for negative kan dette ikke gjøres, siden for eksempel verdien 0 - 5, 0 - 2 π ikke er definert. Enhet hevet til evt irrasjonell grad, forblir for eksempel én, og 1 2 , 1 5 til 2 og 1 - 5 vil være lik 1 .

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter

Maktformler brukes i prosessen med reduksjon og forenkling komplekse uttrykk, i å løse likninger og ulikheter.

Antall c er n-te potens av et tall en når:

Operasjoner med grader.

1. Ved å multiplisere grader med samme base, summerer indikatorene deres:

en ma n = a m + n .

2. I delingen av grader med samme base trekkes indikatorene deres:

3. Graden av produktet på 2 eller mer faktorer er lik produktet av potensene til disse faktorene:

(abc...) n = a n b n c n …

4. Graden av en brøk er lik forholdet mellom gradene av utbytte og divisor:

(a/b) n = a n / b n .

5. Ved å heve en potens til en potens multipliseres eksponentene:

(am) n = a m n .

Hver formel ovenfor er riktig i retningene fra venstre til høyre og omvendt.

For eksempel. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operasjoner med røtter.

1. Roten til produktet av flere faktorer er lik produktet av røttene til disse faktorene:

2. Roten av forholdet er lik forholdet mellom utbyttet og divisoren til røttene:

3. Når du hever en rot til en potens, er det nok å heve rottallet til denne potensen:

4. Hvis vi øker graden av roten i n en gang og samtidig heve til n potensen er et rottall, så endres ikke verdien av roten:

5. Hvis vi reduserer graden av roten i n rot på samme tid n grad fra det radikale tallet, vil verdien av roten ikke endres:

Grad med negativ eksponent. Graden av et tall med en ikke-positiv (heltalls) eksponent er definert som en delt på graden av samme tall med en eksponent lik absolutt verdi ikke-positiv indikator:

Formel en m:a n = a m - n kan brukes ikke bare til m> n, men også kl m< n.

For eksempel. en4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Til formel en m:a n = a m - n ble rettferdig kl m=n, trenger du tilstedeværelsen av nullgraden.

Grad med null eksponent. Potensen til ethvert tall som ikke er null med en nulleksponent er lik én.

For eksempel. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Grad med en brøkeksponent. For å heve et reelt tall en til en grad m/n, må du trekke ut roten n grad av m potens av dette tallet en.

Som du vet, i matematikk er det ikke bare positive tall, men også negative. Hvis bekjentskap med positive grader begynner med å bestemme arealet av en firkant, så er alt noe mer komplisert med negative grader.

Dette bør være kjent:

1. Heve et tall til naturlig grad multiplikasjon av et tall kalles (begrepet tall og figur i artikkelen vil bli ansett som ekvivalent) av seg selv i en slik mengde som eksponenten (i det følgende vil vi bruke parallelt og ganske enkelt ordet indikator). 6^3 = 6*6*6 = 36*6 =216. PÅ generelt syn det ser slik ut: m^n = m*m*m*…*m (n ganger).
2. Det bør huskes at når et negativt tall heves til en naturlig potens, vil det bli positivt hvis eksponenten er partall.
3. Å heve et tall til en eksponent av 0 gir en enhet, forutsatt at den ikke er lik null. Null i potensen av null anses som udefinert. 17^0 = 1.
4. Å trekke ut en rot av en viss grad fra et tall kalles å finne et tall som, når det heves til en passende indikator, vil gi ønsket verdi. Så terningroten av 125 er 5 fordi 5^3 = 125.
5. Hvis du vil heve et tall til en brøkdel positiv grad, da er det nødvendig å heve tallet til nevneren og trekke ut roten av telleren fra den. 6^5/7 = 7. rot av 6*6*6*6*6.
6. Hvis du vil heve et tall til en negativ eksponent, må du finne gjensidigheten til denne. x^-3 = 1/x^3. 8^-4 = 1/8^4 = 1/8*8*8*8 = 1/4096.

Heve et tall til en negativ effektmodulo fra null til én

Først må vi huske hva er en modul. Dette er avstanden på koordinatlinjen fra verdien vi har valgt til origo (null på koordinatlinjen). Per definisjon kan det aldri være negativt.

Verdi større enn null

Med en verdi på et siffer i området fra null til én, gir en negativ indikator en økning i selve sifferet. Dette skjer fordi nevneren minker, mens den forblir positiv.

La oss se på eksempler:

• 1/7^-3 = 1/(1/7^3) = 1/(1/343) = 343;
• 0,2^-5 = 1/0,2^5 = 1/0,2*0,2*0,2*0,2*0,2 = 1/0,00032 = 3125.

Dessuten, jo større modulen til indikatoren er, jo mer aktivt vokser figuren. Ettersom nevneren har en tendens til null, har selve brøken en tendens til pluss uendelig.

Verdi mindre enn null

La oss nå se på hvordan du bygger inn negativ grad hvis tallet er mindre enn null. Prinsippet er det samme som i forrige del, men fortegnet til eksponenten har betydning her.

La oss se på eksemplene igjen:

• -19 / 21^-4 = 1/(-19/21)^4 = 1/(-19)^4/21^4 = 21^4/(-19)^4 = 21*21*21*21/(-19)*(-19)*(-19)*(-19) = 194481/130321 = 1,4923228;
• -29/40^-5 = 1/(-29/40)^5 = 1/(-29)^5/40^5 = 40^5/(-29)^5 = 40*40*40*40*40/(-29)*(-29)*(-29)*(-29)*(-29) = 102400000/(-20511149) = -4,9924.

PÅ denne saken, det ser vi modulen fortsetter å vokse, men tegnet avhenger av om eksponenten er partall eller oddetall.

Det skal bemerkes at hvis vi bygger en enhet, vil den alltid forbli seg selv. Hvis du trenger å heve et tall minus én, når selv eksponent grad, vil den bli til én, med en oddetall forblir den minus én.

Heving til en negativ heltallspotens hvis modulen er større enn én

For sifre hvis modul er større enn én, har sine egne handlingsegenskaper. Først av alt må du konvertere hele delen av brøken til telleren, det vil si konvertere til uekte brøk. Hvis vi har desimal, så må den konverteres til normal. Dette gjøres som følger:

• 6 heltall 7/17 = 109/17;
• 2,54 = 254/100.

Vurder nå hvordan du kan heve et tall til en negativ styrke under disse forholdene. Allerede ut fra ovenstående kan vi anta hva vi bør forvente av resultatet av beregningene. Siden dobbeltbrøken reverseres under forenklinger, vil modulen til sifferet avta jo raskere, jo større modulen til indikatoren er.

Først vurdere situasjonen hvor det gitte tallet er positivt.

Først og fremst blir det klart at sluttresultatet blir Over null, fordi å dele to positive gir alltid en positiv. Igjen, la oss se på eksempler på hvordan dette gjøres:

• 6 heltall 1/20 til minus femte potens = 121/20^-5 = 1/(121/20)^5 = 1/121^5/20^5 = 20^5/121^5 = 3200000/25937424601 = 0,0001234;
• 2,25^-6 = (225/100)^-6 = 1/(225/100)^6 = 1/225^6/100^6 = 100^6/225^6 = 100*100*100*100*100*100/225*225*225*225*225*225 = 0,007413.

Som du kan se, forårsaker ikke handlingene noen spesielle vanskeligheter, og alle våre første antagelser viste seg å være sanne.

Nå vender vi oss til tilfellet med et negativt siffer.

Til å begynne med kan vi anta at hvis indikatoren er partall, så vil resultatet være positivt, hvis indikatoren er oddetall, så vil resultatet være negativt. Alle våre tidligere beregninger i denne delen vil bli ansett som gyldige nå. La oss ta en titt på eksemplene igjen:

• -3 heltall 1/2 til minus sjette potens = (-7/2)^-6 = 1/(-7/2)^6 = 1/(-7)^6/2^6 = 2*2* 2 *2*2*2/(-7)*(-7)*(-7)*(-7)*(-7)*(-7) = 64/117649 = 0,000544;
• -1,25^-5 = (-125/100)^-5 = 1/(-125/100)^5 = 1/(-125)^5/100^5 = 100^5/(-125)^5 = 100*100*100*100*100/(-125)*(-125)*(-125)*(-125)*(-125) = 10000000000/(-30517578125) = -0.32768.

Dermed viste alle våre resonnement seg å være riktige.

Økning ved negativ brøkeksponent

Her må du huske at en slik ereksjon eksisterer trekke ut roten av graden av nevneren fra tallet i graden av telleren. Alle våre tidligere resonnementer forblir sanne denne gangen også. La oss forklare handlingene våre med et eksempel:

• 4^-3/2 = 1/4^3/2 = 1/rad(4^3) = 1/rad64 = 1/8.

I dette tilfellet må du huske på å trekke ut røttene høy level er bare mulig i en spesielt valgt form, og mest sannsynlig å bli kvitt tegnet på radikalen (kvadratrot, kubikkrot, og så videre) når eksakte beregninger du vil ikke lykkes.

Etter å ha studert de foregående kapitlene i detalj, bør man likevel ikke forvente vanskeligheter med skoleberegninger.

Det skal bemerkes at beskrivelsen av dette kapittelet også inkluderer ereksjon med en bevisst irrasjonell eksponent, for eksempel hvis indikatoren er minus PI. Du må handle i henhold til prinsippene beskrevet ovenfor. Imidlertid blir beregninger i slike tilfeller så komplekse at bare kraftige elektroniske datamaskiner kan gjøre det.

Konklusjon

Handlingen vi studerte er en av de mest de vanskeligste oppgavene i matematikk(spesielt når det gjelder en brøkdel rasjonell eller irrasjonell verdi). Men etter å ha studert denne instruksjonen i detalj og trinn for trinn, kan du lære hvordan du gjør det helt automatisk uten problemer.

Første nivå

Grad og dens egenskaper. Omfattende guide (2019)

Hvorfor trengs grader? Hvor trenger du dem? Hvorfor trenger du å bruke tid på å studere dem?

For å lære alt om grader, hva de er til for, hvordan du kan bruke kunnskapen din i Hverdagen les denne artikkelen.

Og selvfølgelig vil det å kjenne gradene bringe deg nærmere en vellykket passerer OGE eller Unified State Examination og for å gå inn på universitetet du drømmer om.

La oss gå... (La oss gå!)

Viktig notat! Hvis du ser vrøvl i stedet for formler, tøm hurtigbufferen. For å gjøre dette, trykk CTRL+F5 (på Windows) eller Cmd+R (på Mac).

FØRSTE NIVÅ

Eksponentieringen er den samme matematisk operasjon som addisjon, subtraksjon, multiplikasjon eller divisjon.

Nå skal jeg forklare alt menneskelig språk veldig enkle eksempler. Vær forsiktig. Eksempler er elementære, men forklarer viktige ting.

La oss starte med tillegg.

Det er ingenting å forklare her. Du vet allerede alt: vi er åtte. Hver har to flasker cola. Hvor mye cola? Det stemmer - 16 flasker.

Nå multiplikasjon.

Det samme eksempelet med cola kan skrives på en annen måte: . Matematikere er utspekulerte og late mennesker. De legger først merke til noen mønstre, og finner deretter en måte å "telle" dem raskere. I vårt tilfelle la de merke til at hver av de åtte personene hadde like mange flasker med cola og kom opp med en teknikk kalt multiplikasjon. Enig, det anses som enklere og raskere enn.

Så for å telle raskere, enklere og uten feil, trenger du bare å huske gangetabell. Selvfølgelig kan du gjøre alt saktere, vanskeligere og med feil! Men…

Her er multiplikasjonstabellen. Gjenta.

Og en annen, penere en:

Og hvilke andre vanskelige telletriks fant late matematikere på? Riktig - heve et tall til en makt.

Å heve et tall til en makt

Hvis du trenger å multiplisere et tall med seg selv fem ganger, sier matematikere at du må heve dette tallet til femte potens. For eksempel, . Matematikere husker at to til femte potens er. Og de løser slike problemer i tankene deres - raskere, enklere og uten feil.

For å gjøre dette trenger du bare husk hva som er uthevet i farger i tabellen over tallkrefter. Tro meg, det vil gjøre livet ditt mye enklere.

Forresten, hvorfor kalles andre grad torget tall, og den tredje kube? Hva betyr det? Høyt godt spørsmål. Nå vil du ha både firkanter og terninger.

Eksempel #1 fra det virkelige liv

La oss starte med en kvadrat eller andre potens av et tall.

Se for deg et kvadratisk basseng som måler meter for meter. Bassenget er i hagen din. Det er varmt og jeg har veldig lyst til å svømme. Men ... et basseng uten bunn! Det er nødvendig å dekke bunnen av bassenget med fliser. Hvor mange fliser trenger du? For å bestemme dette, må du kjenne området til bunnen av bassenget.

Du kan ganske enkelt telle ved å stikke med fingeren at bunnen av bassenget består av kuber meter for meter. Hvis flisene dine er meter for meter, trenger du brikker. Det er enkelt... Men hvor så du en slik flis? Flisen blir heller cm for cm. Og da blir du plaget av å "telle med fingeren". Da må du multiplisere. Så på den ene siden av bunnen av bassenget vil vi montere fliser (stykker) og på den andre også fliser. Multipliserer du med, får du fliser ().

La du merke til at vi multipliserte det samme tallet med seg selv for å bestemme arealet av bunnen av bassenget? Hva betyr det? Siden det samme tallet multipliseres, kan vi bruke eksponentieringsteknikken. (Selvfølgelig, når du bare har to tall, må du fortsatt multiplisere dem eller heve dem til en potens. Men hvis du har mange av dem, er det mye lettere å heve til en potens, og det er også færre feil i beregningene Til eksamen er dette veldig viktig).
Så, tretti til andre grad vil være (). Eller du kan si at tretti kvadrat vil være. Med andre ord, andre potens av et tall kan alltid representeres som et kvadrat. Og omvendt, hvis du ser en firkant, er det ALLTID andre potens av et tall. Et kvadrat er et bilde av andre potens av et tall.

Eksempel #2 fra det virkelige liv

Her er en oppgave for deg, tell hvor mange ruter som er på sjakkbrettet ved å bruke kvadratet av tallet ... På den ene siden av cellene og på den andre også. For å telle tallet deres må du gange åtte med åtte, eller ... hvis du legger merke til at et sjakkbrett er en firkant med en side, kan du rute åtte. Få celler. () Så?

Eksempel #3 fra det virkelige liv

Nå kuben eller tredje potens av et tall. Det samme bassenget. Men nå må du finne ut hvor mye vann som må helles i dette bassenget. Du må beregne volumet. (Volumer og væsker måles forresten i kubikkmeter. Uventet, ikke sant?) Tegn et basseng: en bunn som er en meter stor og en meter dyp og prøv å regne ut hvor mange terninger meter for meter totalt som kommer inn i bassenget ditt.

Bare pek fingeren og tell! En, to, tre, fire ... tjueto, tjuetre ... Hvor mye ble det? Har du ikke gått deg vill? Er det vanskelig å telle med fingeren? Så det! Ta et eksempel fra matematikere. De er late, så de la merke til at for å beregne volumet til bassenget, må du multiplisere lengden, bredden og høyden med hverandre. I vårt tilfelle vil volumet av bassenget være lik kuber ... Lettere, ikke sant?

Tenk deg nå hvor late og utspekulerte matematikere er hvis de gjør det for enkelt. Redusert alt til en handling. De la merke til at lengden, bredden og høyden er like og at det samme tallet multipliseres med seg selv ... Og hva betyr dette? Det betyr at du kan bruke graden. Så det du en gang telte med en finger, gjør de i én handling: tre i en kube er lik. Det er skrevet slik:

Bare gjenstår huske tabellen over grader. Med mindre du selvfølgelig er like lat og utspekulert som matematikere. Hvis du liker å jobbe hardt og gjøre feil, kan du fortsette å telle med fingeren.

Vel, for å endelig overbevise deg om at grader ble oppfunnet av loafers og listige mennesker for å løse deres livsproblemer, og ikke for å skape problemer for deg, her er et par flere eksempler fra livet.

Eksempel #4 fra det virkelige liv

Du har en million rubler. I begynnelsen av hvert år tjener du ytterligere en million for hver million. Det vil si at hver av dine millioner ved begynnelsen av hvert år dobles. Hvor mye penger vil du ha om år? Hvis du nå sitter og "teller med fingeren", så er du en veldig arbeidsom person og .. dum. Men mest sannsynlig gir du svar om et par sekunder, for du er smart! Så, i det første året - to ganger to ... i det andre året - hva skjedde, med to til, i det tredje året ... Stopp! Du la merke til at tallet multipliseres med seg selv én gang. Så to til femte potens er en million! Tenk deg nå at du har en konkurranse og den som regner raskere vil få disse millionene ... Er det verdt å huske tallenes grader, hva tror du?

Eksempel #5 fra det virkelige liv

Du har en million. I begynnelsen av hvert år tjener du to til for hver million. Det er flott ikke sant? Hver million tredobles. Hvor mye penger vil du ha i løpet av et år? La oss telle. Det første året - multipliser med, deretter resultatet med en annen ... Det er allerede kjedelig, fordi du allerede har forstått alt: tre ganges med seg selv ganger. Så den fjerde potensen er en million. Du trenger bare å huske at tre til fjerde potens er eller.

Nå vet du at ved å heve et tall til en makt, vil du gjøre livet ditt mye enklere. La oss se nærmere på hva du kan gjøre med grader og hva du trenger å vite om dem.

Termer og begreper ... for ikke å bli forvirret

Så la oss først definere konseptene. Hva tror du, hva er eksponent? Det er veldig enkelt - dette er tallet som er "øverst" av potensen til tallet. Ikke vitenskapelig, men tydelig og lett å huske ...

Vel, på samme tid, hva en slik gradsbasis? Enda enklere er tallet som er nederst, ved basen.

Her er et bilde for å være sikker.

Vel, i generelle termer, for å generalisere og huske bedre ... En grad med en base "" og en indikator "" leses som "i graden" og skrives som følger:

Potensen til et tall med en naturlig eksponent

Du har sikkert allerede gjettet: fordi eksponenten er et naturlig tall. Ja, men hva er det naturlig tall? Elementært! Naturlige tall er de som brukes til å telle når du legger opp elementer: en, to, tre ... Når vi teller elementer, sier vi ikke: "minus fem", "minus seks", "minus syv". Vi sier ikke «en tredjedel» eller «null komma fem tideler» heller. Dette er ikke naturlige tall. Hva tror du disse tallene er?

Tall som "minus fem", "minus seks", "minus syv" refererer til hele tall. Generelt inkluderer heltall alle naturlige tall, tall motsatt naturlige tall (det vil si tatt med et minustegn) og et tall. Null er lett å forstå - dette er når det ikke er noe. Og hva betyr negative ("minus") tall? Men de ble først og fremst oppfunnet for å betegne gjeld: hvis du har en saldo på telefonen i rubler, betyr dette at du skylder operatøren rubler.

Alle brøker er rasjonelle tall. Hvordan ble de til, tror du? Veldig enkelt. For flere tusen år siden oppdaget våre forfedre at de ikke hadde nok naturlige tall til å måle lengde, vekt, areal osv. Og de kom på rasjonelle tall… Interessant, ikke sant?

Det finnes også irrasjonelle tall. Hva er disse tallene? Kort sagt, en uendelig desimalbrøk. For eksempel, hvis du deler omkretsen av en sirkel på diameteren, får du et irrasjonelt tall.

Sammendrag:

La oss definere begrepet grad, hvis eksponent er et naturlig tall (det vil si heltall og positivt).

1. Ethvert tall i første potens er lik seg selv:
2. Å kvadrere et tall er å multiplisere det med seg selv:
3. Å kube et tall er å multiplisere det med seg selv tre ganger:

Definisjon.Å heve et tall til en naturlig potens er å multiplisere tallet med seg selv ganger:
.

Gradsegenskaper

Hvor kom disse egenskapene fra? Jeg skal vise deg nå.

La oss se hva som er og ?

Per definisjon:

Hvor mange multiplikatorer er det totalt?

Det er veldig enkelt: vi la faktorer til faktorene, og resultatet er faktorer.

Men per definisjon er dette graden av et tall med en eksponent, det vil si: , som måtte bevises.

Eksempel: Forenkle uttrykket.

Løsning:

Eksempel: Forenkle uttrykket.

Løsning: Det er viktig å merke seg at i vår regel nødvendigvis må være samme grunn!
Derfor kombinerer vi gradene med basen, men forblir en egen faktor:

kun for produkter av krefter!

Du bør ikke under noen omstendigheter skrive det.

2. det vil si -te potens av et tall

Akkurat som med den forrige egenskapen, la oss gå til definisjonen av graden:

Det viser seg at uttrykket multipliseres med seg selv en gang, det vil si, i henhold til definisjonen, er dette den tredje potensen til tallet:

Faktisk kan dette kalles "braketering av indikatoren". Men du kan aldri gjøre dette totalt:

La oss huske formlene for forkortet multiplikasjon: hvor mange ganger ønsket vi å skrive?

Men det er ikke sant, egentlig.

Grad med negativ base

Frem til dette punktet har vi bare diskutert hva eksponenten skal være.

Men hva skal ligge til grunn?

I grader fra naturlig indikator grunnlaget kan være hvilket som helst tall. Faktisk kan vi multiplisere alle tall med hverandre, enten de er positive, negative eller partall.

La oss tenke på hvilke tegn (" " eller "") vil ha grader av positive og negative tall?

Vil tallet for eksempel være positivt eller negativt? MEN? ? Med det første er alt klart: uansett hvor mange positive tall vi multipliserer med hverandre, vil resultatet være positivt.

Men de negative er litt mer interessante. Tross alt husker vi en enkel regel fra 6. klasse: "et minus ganger et minus gir et pluss." Det vil si eller. Men ganger vi med, viser det seg.

Bestem selv hvilket tegn følgende uttrykk vil ha:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Klarte du deg?

Her er svarene: I de fire første eksemplene håper jeg alt er klart? Vi ser ganske enkelt på basen og eksponenten, og bruker den passende regelen.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

I eksempel 5) er ikke alt så skummelt som det ser ut til: det spiller ingen rolle hva basen er lik - graden er jevn, noe som betyr at resultatet alltid vil være positivt.

Vel, bortsett fra når basen er null. Basen er vel ikke den samme? Åpenbart ikke, siden (fordi).

Eksempel 6) er ikke lenger så enkelt!

6 praksiseksempler

Analyse av løsningen 6 eksempler

Hvis vi ikke tar hensyn til åttende grad, hva ser vi her? La oss ta en titt på programmet for 7. klasse. Så, husker du? Dette er den forkortede multiplikasjonsformelen, nemlig forskjellen på kvadrater! Vi får:

Vi ser nøye på nevneren. Det ser mye ut som en av tellerfaktorene, men hva er galt? Feil rekkefølge på vilkårene. Hvis de ble byttet, kan regelen gjelde.

Men hvordan gjøre det? Det viser seg at det er veldig enkelt: den jevne graden av nevneren hjelper oss her.

Begrepene har på magisk vis endret plass. Dette "fenomenet" gjelder alle uttrykk i jevn grad: vi kan fritt endre tegnene i parentes.

Men det er viktig å huske: alle tegn endres samtidig!

La oss gå tilbake til eksemplet:

Og igjen formelen:

hel vi navngir de naturlige tallene, deres motsetninger (det vil si tatt med tegnet "") og tallet.

positivt heltall, og det er ikke forskjellig fra naturlig, så ser alt ut akkurat som i forrige seksjon.

La oss nå se på nye saker. La oss starte med en indikator lik.

Ethvert tall i null potens er lik en:

Som alltid spør vi oss selv: hvorfor er det slik?

Tenk på litt kraft med en base. Ta for eksempel og multipliser med:

Så vi multipliserte tallet med, og fikk det samme som det var -. Hvilket tall må multipliseres med slik at ingenting endres? Det stemmer, på. Midler.

Vi kan gjøre det samme med et vilkårlig tall:

La oss gjenta regelen:

Ethvert tall i null potens er lik en.

Men det finnes unntak fra mange regler. Og her er det også der - dette er et tall (som en base).

På den ene siden må det være lik i hvilken som helst grad - uansett hvor mye du multipliserer null med seg selv, får du fortsatt null, dette er klart. Men på den annen side, som ethvert tall til null grad, må det være likt. Så hva er sannheten i dette? Matematikere bestemte seg for ikke å bli involvert og nektet å heve null til null potens. Det vil si at nå kan vi ikke bare dele med null, men også heve den til null potens.

La oss gå videre. I tillegg til naturlige tall og tall inkluderer heltall negative tall. For å forstå hva en negativ eksponent er, la oss gjøre som i sist: multipliser et normalt tall med det samme i negativ grad:

Herfra er det allerede lett å uttrykke ønsket:

Nå utvider vi den resulterende regelen til en vilkårlig grad:

Så la oss formulere regelen:

Et tall i negativ potens er inversen av samme tall til en positiv potens. Men samtidig base kan ikke være null:(fordi det er umulig å dele).

La oss oppsummere:

I. Uttrykk er ikke definert i kasus. Hvis da.

II. Ethvert tall i null potens er lik én: .

III. Et tall som ikke er lik null til en negativ potens er inversen av samme tall til en positiv potens: .

Oppgaver for selvstendig løsning:

Vel, som vanlig, eksempler for en uavhengig løsning:

Analyse av oppgaver for selvstendig løsning:

Jeg vet, jeg vet, tallene er skumle, men på eksamen må du være klar for hva som helst! Løs disse eksemplene eller analyser løsningen deres hvis du ikke kunne løse den, og du vil lære hvordan du enkelt kan håndtere dem i eksamen!

La oss fortsette å utvide sirkelen av tall "egnet" som eksponent.

Vurder nå rasjonelle tall. Hvilke tall kalles rasjonelle?

Svar: alt som kan representeres som en brøk, hvor og er dessuten heltall.

For å forstå hva som er "brøkdel grad" La oss vurdere en brøkdel:

La oss heve begge sider av ligningen til en potens:

Husk nå regelen "grad til grad":

Hvilket tall må heves til en makt for å få?

Denne formuleringen er definisjonen av roten til th grad.

La meg minne deg på: roten av den te potensen til et tall () er et tall som, når det heves til en potens, er lik.

Det vil si at roten til th grad er den inverse operasjonen av eksponentiering: .

Det viser seg at. Tydeligvis dette spesielt tilfelle kan forlenges: .

Legg nå til telleren: hva er det? Svaret er lett å få med makt-til-makt-regelen:

Men kan basen være et hvilket som helst tall? Tross alt kan ikke roten trekkes ut fra alle tall.

Ingen!

Husk regelen: ethvert tall hevet til en partall er et positivt tall. Det vil si at det er umulig å trekke ut røtter av jevn grad fra negative tall!

Og dette betyr at slike tall ikke kan heves til brøkgrad med en jevn nevner, det vil si at uttrykket ikke gir mening.

Hva med uttrykk?

Men her oppstår et problem.

Tallet kan representeres som andre, reduserte brøker, for eksempel, eller.

Og det viser seg at det eksisterer, men ikke eksisterer, og dette er bare to forskjellige poster med samme nummer.

Eller et annet eksempel: en gang, så kan du skrive det ned. Men så snart vi skriver indikatoren på en annen måte, får vi igjen problemer: (det vil si at vi fikk et helt annet resultat!).

For å unngå slike paradokser, vurder bare positiv baseeksponent med brøkeksponent.

Så hvis:

• - naturlig tall;
• er et heltall;

Eksempler:

Potenser med en rasjonell eksponent er veldig nyttige for å transformere uttrykk med røtter, for eksempel:

5 praksiseksempler

Analyse av 5 eksempler for trening

Vel, nå - det vanskeligste. Nå skal vi analysere grad med en irrasjonell eksponent.

Alle reglene og egenskapene til grader her er nøyaktig de samme som for grader med en rasjonell eksponent, med unntak av

Faktisk, per definisjon, er irrasjonelle tall tall som ikke kan representeres som en brøk, hvor og er heltall (det vil si at irrasjonelle tall er alle reelle tall unntatt rasjonelle).

Når vi studerer grader med en naturlig, heltall og rasjonell indikator, har vi hver gang laget et bestemt "bilde", "analogi" eller beskrivelse i mer kjente termer.

For eksempel er en naturlig eksponent et tall multiplisert med seg selv flere ganger;

...null kraft- dette er, som det var, et tall multiplisert med seg selv en gang, det vil si at det ennå ikke har begynt å multipliseres, noe som betyr at selve tallet ikke en gang har dukket opp ennå - derfor er resultatet bare et visst "tallblankt" , nemlig nummeret;

...negativ heltallseksponent- det er som om en viss "omvendt prosess" har funnet sted, det vil si at tallet ikke ble multiplisert med seg selv, men delt.

Forresten, vitenskapen bruker ofte en grad med en kompleks eksponent, det vil si at en eksponent ikke engang er et reelt tall.

Men på skolen tenker vi ikke på slike vanskeligheter; du vil ha muligheten til å forstå disse nye konseptene ved instituttet.

HVOR ER VI SIKRE AT DU GÅR! (hvis du lærer hvordan du løser slike eksempler :))

For eksempel:

Bestem selv:

Analyse av løsninger:

1. La oss starte med den allerede vanlige regelen for å heve en grad til en grad:

Se nå på poengsummen. Minner han deg om noe? Vi husker formelen for forkortet multiplikasjon av kvadratforskjellen:

I dette tilfellet,

Det viser seg at:

Svar: .

2. Vi gir brøker i eksponenter av k samme type: Enten begge desimaler eller begge normale. Vi får for eksempel:

Svar: 16

3. Ikke noe spesielt, vi bruker de vanlige egenskapene til grader:

AVANSERT NIVÅ

Definisjon av grad

Graden er et uttrykk for formen: , hvor:

• — base av grad;
• - eksponent.

Grad med naturlig eksponent (n = 1, 2, 3,...)

Å heve et tall til den naturlige potensen n betyr å multiplisere tallet med seg selv ganger:

Potens med heltallseksponent (0, ±1, ±2,...)

Hvis eksponenten er positivt heltall Antall:

ereksjon til null effekt:

Uttrykket er ubestemt, fordi på den ene siden, i hvilken som helst grad er dette, og på den annen side, et hvilket som helst tall i den th grad er dette.

Hvis eksponenten er heltall negativ Antall:

(fordi det er umulig å dele).

En gang til om null: uttrykket er ikke definert i saken. Hvis da.

Eksempler:

Grad med rasjonell eksponent

• - naturlig tall;
• er et heltall;

Eksempler:

Gradsegenskaper

For å gjøre det lettere å løse problemer, la oss prøve å forstå: hvor kom disse egenskapene fra? La oss bevise dem.

La oss se: hva er og?

Per definisjon:

Så på høyre side av dette uttrykket oppnås følgende produkt:

Men per definisjon er dette en potens av et tall med en eksponent, det vil si:

Q.E.D.

Eksempel : Forenkle uttrykket.

Løsning : .

Eksempel : Forenkle uttrykket.

Løsning : Det er viktig å merke seg at i vår regel nødvendigvis må ha samme grunnlag. Derfor kombinerer vi gradene med basen, men forblir en egen faktor:

En annen viktig notat: denne regelen er - bare for produkter av makt!

Jeg skal ikke under noen omstendigheter skrive det.

Akkurat som med den forrige egenskapen, la oss gå til definisjonen av graden:

La oss omorganisere det slik:

Det viser seg at uttrykket multipliseres med seg selv en gang, det vil si, ifølge definisjonen, er dette den -te potensen til tallet:

Faktisk kan dette kalles "braketering av indikatoren". Men du kan aldri gjøre dette totalt:!

La oss huske formlene for forkortet multiplikasjon: hvor mange ganger ønsket vi å skrive? Men det er ikke sant, egentlig.

Kraft med negativ base.

Frem til dette punktet har vi bare diskutert hva som bør være indeks grad. Men hva skal ligge til grunn? I grader fra naturlig indikator grunnlaget kan være hvilket som helst tall .

Faktisk kan vi multiplisere alle tall med hverandre, enten de er positive, negative eller partall. La oss tenke på hvilke tegn ("" eller "") som vil ha grader av positive og negative tall?

Vil tallet for eksempel være positivt eller negativt? MEN? ?

Med det første er alt klart: uansett hvor mange positive tall vi multipliserer med hverandre, vil resultatet være positivt.

Men de negative er litt mer interessante. Tross alt husker vi en enkel regel fra 6. klasse: "et minus ganger et minus gir et pluss." Det vil si eller. Men hvis vi multipliserer med (), får vi -.

Og så videre i det uendelige: med hver påfølgende multiplikasjon vil tegnet endres. Det er mulig å formulere slikt enkle regler:

1. til og med grad, - antall positivt.
2. Negativt tall hevet til merkelig grad, - antall negativ.
3. positivt tall til enhver potens er et positivt tall.
4. Null til enhver potens er lik null.

Bestem selv hvilket tegn følgende uttrykk vil ha:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Klarte du deg? Her er svarene:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

I de fire første eksemplene håper jeg at alt er klart? Vi ser ganske enkelt på basen og eksponenten, og bruker den passende regelen.

I eksempel 5) er ikke alt så skummelt som det ser ut til: det spiller ingen rolle hva basen er lik - graden er jevn, noe som betyr at resultatet alltid vil være positivt. Vel, bortsett fra når basen er null. Basen er vel ikke den samme? Åpenbart ikke, siden (fordi).

Eksempel 6) er ikke lenger så enkelt. Her må du finne ut hva som er mindre: eller? Hvis du husker det, blir det klart det, som betyr at grunntallet er mindre enn null. Det vil si at vi bruker regel 2: resultatet blir negativt.

Og igjen bruker vi definisjonen av grad:

Alt er som vanlig - vi skriver ned definisjonen av grader og deler dem inn i hverandre, deler dem inn i par og får:

Før demontering siste regel La oss ta en titt på noen få eksempler.

Beregn verdiene til uttrykk:

Løsninger :

Hvis vi ikke tar hensyn til åttende grad, hva ser vi her? La oss ta en titt på programmet for 7. klasse. Så, husker du? Dette er den forkortede multiplikasjonsformelen, nemlig forskjellen på kvadrater!

Vi får:

Vi ser nøye på nevneren. Det ser mye ut som en av tellerfaktorene, men hva er galt? Feil rekkefølge på vilkårene. Hvis de ble reversert, kunne regel 3 brukes. Men hvordan gjør jeg dette? Det viser seg at det er veldig enkelt: den jevne graden av nevneren hjelper oss her.

Hvis du ganger det med, endres ingenting, ikke sant? Men nå ser det slik ut:

Begrepene har på magisk vis endret plass. Dette "fenomenet" gjelder alle uttrykk i jevn grad: vi kan fritt endre tegnene i parentes. Men det er viktig å huske: alle tegn endres samtidig! Det kan ikke erstattes av ved å endre bare ett kritikkverdig minus for oss!

La oss gå tilbake til eksemplet:

Og igjen formelen:

Så nå siste regel:

Hvordan skal vi bevise det? Selvfølgelig, som vanlig: la oss utvide begrepet grad og forenkle:

Vel, la oss nå åpne parentesene. Hvor mange bokstaver blir det? ganger med multiplikatorer - hvordan ser det ut? Dette er ikke annet enn definisjonen av en operasjon multiplikasjon: totalt viste det seg å være multiplikatorer. Det vil si at det per definisjon er en potens av et tall med en eksponent:

Eksempel:

Grad med irrasjonell eksponent

I tillegg til informasjon om gradene for gjennomsnittsnivået, vil vi analysere graden med en irrasjonell indikator. Alle reglene og egenskapene til grader her er nøyaktig de samme som for en grad med en rasjonell eksponent, med unntak - tross alt, per definisjon, er irrasjonelle tall tall som ikke kan representeres som en brøk, hvor og er heltall (det vil si , irrasjonelle tall er alle reelle tall unntatt rasjonelle).

Når vi studerer grader med en naturlig, heltall og rasjonell indikator, har vi hver gang laget et bestemt "bilde", "analogi" eller beskrivelse i mer kjente termer. For eksempel er en naturlig eksponent et tall multiplisert med seg selv flere ganger; et tall i nullgrad er så å si et tall multiplisert med seg selv én gang, det vil si at det ennå ikke har begynt å multipliseres, noe som betyr at selve tallet ikke en gang har dukket opp enda - derfor er resultatet bare en viss "utarbeidelse av et nummer", nemlig et nummer; en grad med en negativ heltallsindikator - det er som om en viss "omvendt prosess" har skjedd, det vil si at tallet ikke ble multiplisert med seg selv, men delt.

Det er ekstremt vanskelig å forestille seg en grad med en irrasjonell eksponent (akkurat som det er vanskelig å forestille seg et 4-dimensjonalt rom). Snarere er det et rent matematisk objekt som matematikere har laget for å utvide begrepet en grad til hele tallrommet.

Forresten, vitenskapen bruker ofte en grad med en kompleks eksponent, det vil si at en eksponent ikke engang er et reelt tall. Men på skolen tenker vi ikke på slike vanskeligheter; du vil ha muligheten til å forstå disse nye konseptene ved instituttet.

Så hva gjør vi hvis vi ser irrasjonell indikator grader? Vi prøver så godt vi kan å bli kvitt det! :)

For eksempel:

Bestem selv:

1)

2)

3)

Svar:

1. Husk formelen for forskjellen på kvadrater. Svar: .
2. Vi bringer brøker til samme form: enten begge desimaler, eller begge vanlige. Vi får for eksempel: .
3. Ikke noe spesielt, vi bruker de vanlige egenskapene til grader:

SEKSJONSAMMENDRAG OG GRUNNLEGGENDE FORMEL

Grad kalles et uttrykk for formen: , hvor:

Grad med heltallseksponent

grad, hvis eksponent er et naturlig tall (dvs. heltall og positivt).

Grad med rasjonell eksponent

grad, indikatoren som er negative og brøktall.

Grad med irrasjonell eksponent

eksponent hvis eksponent er en uendelig desimalbrøk eller rot.

Gradsegenskaper

Funksjoner av grader.

• Negativt tall hevet til til og med grad, - antall positivt.
• Negativt tall hevet til merkelig grad, - antall negativ.
• Et positivt tall til enhver potens er et positivt tall.
• Null er lik enhver potens.
• Ethvert tall i null potens er lik.

NÅ HAR DU ET ORD...

Hvordan liker du artikkelen? Gi meg beskjed i kommentarene nedenfor om du likte det eller ikke.

Fortell oss om din erfaring med kraftegenskapene.

Kanskje du har spørsmål. Eller forslag.

Skriv i kommentarfeltet.

Og lykke til med eksamen!