Hvordan beregne koordinatene til en vektor. Vektorer for dummies

Endelig fikk jeg tak i et omfattende og etterlengtet tema analytisk geometri. Først litt om denne delen av høyere matematikk…. Nå husket du sikkert skolegeometrikurset med mange teoremer, deres bevis, tegninger osv. Hva du skal skjule, et uelsket og ofte uklart emne for en betydelig andel av elevene. Analytisk geometri kan merkelig nok virke mer interessant og tilgjengelig. Hva betyr adjektivet "analytisk"? To stemplede matematiske svinger kommer umiddelbart til tankene: "grafisk løsningsmetode" og "analytisk løsningsmetode". Grafisk metode, selvfølgelig, er forbundet med konstruksjon av grafer, tegninger. Analytisk samme metode innebærer problemløsning hovedsakelig gjennom algebraiske operasjoner. I denne forbindelse er algoritmen for å løse nesten alle problemer med analytisk geometri enkel og gjennomsiktig, ofte er det nok å bruke de nødvendige formlene nøyaktig - og svaret er klart! Nei, selvfølgelig, det vil ikke klare seg uten tegninger i det hele tatt, dessuten, for en bedre forståelse av materialet, vil jeg prøve å bringe dem i overkant av behovet.

Det åpne kurset med leksjoner i geometri hevder ikke å være teoretisk fullstendighet, det er fokusert på å løse praktiske problemer. Jeg vil i mine forelesninger ta med kun det som fra mitt ståsted er viktig i praksis. Hvis du trenger en mer fullstendig referanse på en underseksjon, anbefaler jeg følgende ganske tilgjengelig litteratur:

1) En ting som, uten spøk, er kjent for flere generasjoner: Skolebok i geometri, forfattere - L.S. Atanasyan og Company. Denne skolegarderobshengeren har allerede tålt 20 (!) nyutgivelser, som selvfølgelig ikke er grensen.

2) Geometri i 2 bind. Forfattere L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Dette er litteratur for høyere utdanning, du trenger første bind. Sjeldne oppgaver kan falle utenfor synsfeltet mitt, og veiledningen vil være til uvurderlig hjelp.

Begge bøkene er gratis å laste ned online. I tillegg kan du bruke mitt arkiv med ferdige løsninger, som finnes på siden Last ned eksempler på høyere matematikk.

Av verktøyene tilbyr jeg igjen min egen utvikling - Software pakke på analytisk geometri, noe som i stor grad vil forenkle livet og spare mye tid.

Det forutsettes at leseren er kjent med grunnleggende geometriske begreper og figurer: punkt, linje, plan, trekant, parallellogram, parallellepiped, terning, etc. Det er tilrådelig å huske noen teoremer, i det minste Pythagoras teorem, hallo repeatere)

Og nå vil vi sekvensielt vurdere: konseptet med en vektor, handlinger med vektorer, vektorkoordinater. Videre anbefaler jeg å lese den viktigste artikkelen Punktprodukt av vektorer, i tillegg til Vektor og blandet produkt av vektorer. Den lokale oppgaven vil ikke være overflødig - Inndeling av segmentet i denne forbindelse. Basert på informasjonen ovenfor kan du ligning av en rett linje i et plan Med de enkleste eksempler på løsninger, som vil tillate lære hvordan du løser problemer i geometri. Følgende artikler er også nyttige: Ligning av et plan i rommet, Ligninger av en rett linje i rommet, Grunnleggende problemer på linjen og planet , andre deler av analytisk geometri. Naturligvis vil standardoppgaver bli vurdert underveis.

Konseptet med en vektor. gratis vektor

La oss først gjenta skoledefinisjonen av en vektor. Vektor kalt regissert et segment der begynnelsen og slutten er indikert:

I dette tilfellet er begynnelsen av segmentet punktet , slutten av segmentet er punktet . Selve vektoren er betegnet med . Retning er viktig, hvis du omorganiserer pilen til den andre enden av segmentet, får du en vektor, og dette er allerede helt annen vektor. Det er praktisk å identifisere konseptet med en vektor med bevegelsen til en fysisk kropp: du må innrømme at det å gå inn dørene til et institutt eller forlate dørene til et institutt er helt andre ting.

Det er praktisk å vurdere individuelle punkter på et fly, plass som den såkalte null vektor. En slik vektor har samme ende og begynnelse.

!!! Merk: Her og nedenfor kan du anta at vektorene ligger i samme plan eller du kan anta at de befinner seg i rommet - essensen av materialet som presenteres er gyldig for både planet og rommet.

Betegnelser: Mange gjorde umiddelbart oppmerksom på en pinne uten pil i betegnelsen og sa at de også satte en pil øverst! Det stemmer, du kan skrive med en pil: , men tillatt og post som jeg skal bruke senere. Hvorfor? Tilsynelatende har en slik vane utviklet seg fra praktiske hensyn, skytterne mine på skolen og universitetet viste seg å være for mangfoldige og shaggy. I pedagogisk litteratur bryr de seg noen ganger ikke med kileskrift i det hele tatt, men fremhever bokstavene i fet skrift: , og antyder dermed at dette er en vektor.

Det var stilen, og nå om måtene å skrive vektorer på:

1) Vektorer kan skrives med to store latinske bokstaver:
og så videre. Mens den første bokstaven Nødvendigvis angir startpunktet til vektoren, og den andre bokstaven angir endepunktet til vektoren.

2) Vektorer er også skrevet med små latinske bokstaver:
Spesielt kan vektoren vår redesignes for korthets skyld med en liten latinsk bokstav .

Lengde eller modul ikke-null vektor kalles lengden på segmentet. Lengden på nullvektoren er null. Logisk sett.

Lengden til en vektor er angitt med modulo-tegnet: ,

Hvordan finne lengden på en vektor, vil vi lære (eller gjenta, for hvem hvordan) litt senere.

Det var elementær informasjon om vektoren, kjent for alle skolebarn. I analytisk geometri, den såkalte gratis vektor.

Hvis det er ganske enkelt - vektor kan tegnes fra et hvilket som helst punkt:

Vi pleide å kalle slike vektorer like (definisjonen av like vektorer vil bli gitt nedenfor), men fra et rent matematisk synspunkt er dette SAMME VEKTOR eller gratis vektor. Hvorfor gratis? Fordi i løpet av å løse problemer kan du "feste" en eller annen "skole" vektor til ethvert punkt på flyet eller rommet du trenger. Dette er en veldig kul eiendom! Se for deg et rettet segment med vilkårlig lengde og retning - det kan "klones" et uendelig antall ganger og på et hvilket som helst punkt i rommet, faktisk eksisterer det OVERALT. Det er et slikt studentordtak: Hver foreleser i f ** u i vektoren. Tross alt er det ikke bare et vittig rim, alt er nesten riktig - et regissert segment kan også festes der. Men ikke skynd deg å glede deg, studentene selv lider oftere =)

Så, gratis vektor- Dette en haug med identiske retningssegmenter. Skoledefinisjonen av en vektor, gitt i begynnelsen av avsnittet: "Et rettet segment kalles en vektor ...", innebærer spesifikk et rettet segment tatt fra et gitt sett, som er festet til et bestemt punkt i planet eller rommet.

Det skal bemerkes at fra et fysikksynspunkt er konseptet med en fri vektor generelt feil, og anvendelsespunktet er viktig. Faktisk er et direkte slag av samme kraft på nesen eller pannen nok til å utvikle mitt dumme eksempel medfører forskjellige konsekvenser. Derimot, ikke gratis vektorer finnes også i løpet av vyshmat (ikke gå dit :)).

Handlinger med vektorer. Kollinearitet av vektorer

I skolegeometrikurset vurderes en rekke handlinger og regler med vektorer: addisjon etter trekantregelen, addisjon etter parallellogramregelen, regelen for forskjellen av vektorer, multiplikasjon av en vektor med et tall, skalarproduktet av vektorer, etc. Som et frø gjentar vi to regler som er spesielt relevante for å løse problemer med analytisk geometri.

Regel for addisjon av vektorer i henhold til regelen for trekanter

Vurder to vilkårlige ikke-null vektorer og:

Det er nødvendig å finne summen av disse vektorene. På grunn av det faktum at alle vektorer anses som frie, utsetter vi vektoren fra slutt vektor:

Summen av vektorer er vektoren. For en bedre forståelse av regelen, er det tilrådelig å legge en fysisk mening inn i den: la en kropp lage en bane langs vektoren, og deretter langs vektoren. Da er summen av vektorene vektoren til den resulterende banen som starter ved avgangspunktet og slutter ved ankomstpunktet. En lignende regel er formulert for summen av et hvilket som helst antall vektorer. Som de sier, kan kroppen gå sin vei sterkt i sikksakk, eller kanskje på autopilot - langs den resulterende sumvektoren.

Forresten, hvis vektoren er utsatt fra start vektor , så får vi ekvivalenten parallellogramregel tillegg av vektorer.

Først om vektorers kollinearitet. De to vektorene kalles kollineær hvis de ligger på samme linje eller på parallelle linjer. Grovt sett snakker vi om parallelle vektorer. Men i forhold til dem brukes alltid adjektivet "collinear".

Se for deg to kollineære vektorer. Hvis pilene til disse vektorene er rettet i samme retning, kalles slike vektorer samveis. Hvis pilene ser i forskjellige retninger, vil vektorene være det motsatt rettet.

Betegnelser: kollinearitet av vektorer skrives med det vanlige parallellisme-ikonet: , mens detaljering er mulig: (vektorer er co-dirigert) eller (vektorer er rettet motsatt).

arbeid av en ikke-null vektor av et tall er en vektor hvis lengde er lik , og vektorene og er co-rettet mot og motsatt rettet mot .

Regelen for å multiplisere en vektor med et tall er lettere å forstå med et bilde:

Vi forstår mer detaljert:

1 retning. Hvis multiplikatoren er negativ, så vektoren endrer retning til det motsatte.

2) Lengde. Hvis faktoren er inneholdt i eller , så lengden på vektoren avtar. Så lengden på vektoren er to ganger mindre enn lengden på vektoren. Hvis modulo multiplikatoren er større enn én, så lengden på vektoren øker i tide.

3) Vær oppmerksom på at alle vektorer er kollineære, mens en vektor uttrykkes gjennom en annen, for eksempel . Det motsatte er også sant: hvis en vektor kan uttrykkes i form av en annen, så er slike vektorer nødvendigvis kollineære. Dermed: hvis vi multipliserer en vektor med et tall, får vi kollineær(i forhold til originalen) vektor.

4) Vektorene er codirectional. Vektorene og er også codirectional. Enhver vektor i den første gruppen er motsatt av hvilken som helst vektor i den andre gruppen.

Hvilke vektorer er like?

To vektorer er like hvis de er codirectional og har samme lengde. Merk at co-direction innebærer at vektorene er kollineære. Definisjonen vil være unøyaktig (redundant) hvis du sier: "To vektorer er like hvis de er kollineære, co-directed og har samme lengde."

Fra synspunktet til konseptet med en fri vektor, er like vektorer den samme vektoren, som allerede ble diskutert i forrige avsnitt.

Vektorkoordinater på flyet og i verdensrommet

Det første punktet er å vurdere vektorer på et plan. Tegn et kartesisk rektangulært koordinatsystem og sett til side fra origo enkelt vektorer og:

Vektorer og ortogonal. Ortogonal = vinkelrett. Jeg anbefaler å sakte bli vant til begrepene: i stedet for parallellitet og perpendikularitet bruker vi ordene hhv. kolinearitet Og ortogonalitet.

Betegnelse: ortogonalitet av vektorer skrives med det vanlige vinkelrett tegnet, for eksempel: .

De betraktede vektorene kalles koordinatvektorer eller orts. Disse vektorene dannes basis på overflaten. Hva som ligger til grunn tror jeg er intuitivt klart for mange, mer detaljert informasjon finner du i artikkelen Lineær (ikke) avhengighet av vektorer. Vektor basis.Med enkle ord definerer grunnlaget og opprinnelsen til koordinatene hele systemet - dette er et slags grunnlag som et fullt og rikt geometrisk liv koker på.

Noen ganger kalles det konstruerte grunnlaget ortonormal basis av planet: "orto" - fordi koordinatvektorene er ortogonale, betyr adjektivet "normalisert" enhet, dvs. lengdene på basisvektorene er lik én.

Betegnelse: grunnlaget er vanligvis skrevet i parentes, innenfor hvilke i streng rekkefølge basisvektorer er listet opp, for eksempel: . Koordinatvektorer det er forbudt bytte plass.

Noen plan vektor den eneste måten uttrykt som:
, Hvor - tall, som kalles vektorkoordinater på dette grunnlaget. Men selve uttrykket kalt vektor nedbrytningbasis .

Middag servert:

La oss starte med den første bokstaven i alfabetet: . Tegningen viser tydelig at når vektoren dekomponeres når det gjelder grunnlaget, brukes de som nettopp er vurdert:
1) regelen for multiplikasjon av en vektor med et tall: og ;
2) addisjon av vektorer etter trekantregelen: .

Sett nå vektoren mentalt til side fra et hvilket som helst annet punkt på flyet. Det er ganske åpenbart at hans korrupsjon vil «ubønnhørlig følge ham». Her er den, vektorens frihet - vektoren "bærer alt med deg." Denne egenskapen er selvfølgelig sann for enhver vektor. Det er morsomt at selve basisvektorene (frie) ikke må settes til side fra origo, den ene kan for eksempel tegnes nederst til venstre, og den andre øverst til høyre, og ingenting vil endre seg fra dette! Det er sant at du ikke trenger å gjøre dette, fordi læreren også vil vise originalitet og tegne deg et "pass" på et uventet sted.

Vektorer , illustrerer nøyaktig regelen for å multiplisere en vektor med et tall, vektoren er samrettet med basisvektoren , vektoren er rettet motsatt av basisvektoren . For disse vektorene er en av koordinatene lik null, den kan skrives omhyggelig som følger:


Og basisvektorene er forresten slik: (faktisk uttrykkes de gjennom seg selv).

Og endelig: , . Forresten, hva er vektorsubtraksjon, og hvorfor fortalte jeg deg ikke om subtraksjonsregelen? Et sted i lineær algebra, jeg husker ikke hvor, la jeg merke til at subtraksjon er et spesielt tilfelle av addisjon. Så utvidelsene til vektorene "de" og "e" er rolig skrevet som en sum: . Følg tegningen for å se hvor godt den gode gamle addisjonen av vektorer i henhold til trekantregelen fungerer i disse situasjonene.

Vurderes dekomponering av formen noen ganger kalt en vektornedbrytning i systemet ort(dvs. i systemet av enhetsvektorer). Men dette er ikke den eneste måten å skrive en vektor på, følgende alternativ er vanlig:

Eller med et likhetstegn:

Selve basisvektorene er skrevet som følger: og

Det vil si at koordinatene til vektoren er angitt i parentes. I praktiske oppgaver brukes alle tre opptaksmulighetene.

Jeg tvilte på om jeg skulle snakke, men likevel vil jeg si: vektorkoordinater kan ikke omorganiseres. Strengt på første plass skriv ned koordinaten som tilsvarer enhetsvektoren, strengt tatt på andreplass skriv ned koordinaten som tilsvarer enhetsvektoren . Faktisk, og er to forskjellige vektorer.

Vi fant ut koordinatene på flyet. Vurder nå vektorer i tredimensjonalt rom, alt er nesten det samme her! Bare én koordinat til vil bli lagt til. Det er vanskelig å utføre tredimensjonale tegninger, så jeg vil begrense meg til en vektor, som jeg for enkelhets skyld vil utsette fra opprinnelsen:

Noen 3d romvektor den eneste måten ekspandere på ortonormal basis:
, hvor er koordinatene til vektoren (tallet) i det gitte grunnlaget.

Eksempel fra bildet: . La oss se hvordan vektorhandlingsreglene fungerer her. Først multipliserer du en vektor med et tall: (rød pil), (grønn pil) og (magenta pil). For det andre, her er et eksempel på å legge til flere, i dette tilfellet tre, vektorer: . Sumvektoren starter ved startpunktet (begynnelsen av vektoren ) og ender opp ved det endelige ankomstpunktet (enden av vektoren ).

Alle vektorer av tredimensjonalt rom er selvfølgelig også gratis, prøv å mentalt utsette vektoren fra et hvilket som helst annet punkt, og du vil forstå at utvidelsen "blir med den."

I likhet med flysaken, i tillegg til å skrive versjoner med braketter er mye brukt: enten .

Hvis en (eller to) koordinatvektorer mangler i utvidelsen, settes nuller i stedet. Eksempler:
vektor (omhyggelig ) - skrive ned ;
vektor (omhyggelig ) - skrive ned ;
vektor (omhyggelig ) - skrive ned .

Basisvektorer skrives som følger:

Her er kanskje all den minimale teoretiske kunnskapen som er nødvendig for å løse problemer med analytisk geometri. Kanskje det er for mange begreper og definisjoner, så jeg anbefaler dummies å lese og forstå denne informasjonen på nytt. Og det vil være nyttig for enhver leser å referere til den grunnleggende leksjonen fra tid til annen for bedre assimilering av materialet. Kollinearitet, ortogonalitet, ortonormal basis, vektordekomponering - disse og andre begreper vil ofte bli brukt i det følgende. Jeg bemerker at materialene på nettstedet ikke er nok til å bestå en teoretisk test, et kollokvium om geometri, siden jeg nøye koder alle teoremer (foruten uten bevis) - til skade for den vitenskapelige presentasjonsstilen, men et pluss for din forståelse av emnet. For detaljert teoretisk informasjon ber jeg deg bøye deg for professor Atanasyan.

La oss nå gå videre til den praktiske delen:

De enkleste problemene med analytisk geometri.
Handlinger med vektorer i koordinater

Oppgavene som vil bli vurdert, det er svært ønskelig å lære å løse dem helt automatisk, og formlene huske, ikke engang huske det med vilje, de vil huske det selv =) Dette er veldig viktig, siden andre problemer med analytisk geometri er basert på de enkleste elementære eksemplene, og det vil være irriterende å bruke ekstra tid på å spise bønder. Du trenger ikke å feste de øverste knappene på skjorten, mange ting er kjent for deg fra skolen.

Presentasjonen av materialet vil følge et parallelt forløp – både for flyet og for rommet. Av den grunn at alle formlene ... vil du se selv.

Hvordan finne en vektor gitt to poeng?

Hvis to punkter på planet og er gitt, har vektoren følgende koordinater:

Hvis to punkter i rommet og er gitt, har vektoren følgende koordinater:

Det er, fra koordinatene til enden av vektoren du må trekke fra de tilsvarende koordinatene vektor start.

Trening: For de samme punktene, skriv ned formlene for å finne koordinatene til vektoren. Formler på slutten av leksjonen.

Eksempel 1

Gitt to punkter i flyet og . Finn vektorkoordinater

Løsning: i henhold til den tilsvarende formelen:

Alternativt kan følgende notasjon brukes:

Esteter vil avgjøre slik:

Personlig er jeg vant til den første versjonen av plata.

Svar:

I henhold til betingelsen var det ikke nødvendig å bygge en tegning (som er typisk for problemer med analytisk geometri), men for å forklare noen punkter til dummies, vil jeg ikke være for lat:

Må forstås forskjellen mellom punktkoordinater og vektorkoordinater:

Punktkoordinater er de vanlige koordinatene i et rektangulært koordinatsystem. Jeg tror alle vet hvordan man plotter punkter på koordinatplanet siden klasse 5-6. Hvert punkt har en streng plass på flyet, og de kan ikke flyttes hvor som helst.

Koordinatene til samme vektor er dens utvidelse med hensyn til grunnlaget, i dette tilfellet. Enhver vektor er gratis, derfor, hvis ønskelig eller nødvendig, kan vi enkelt utsette den fra et annet punkt i flyet. Interessant, for vektorer kan du ikke bygge akser i det hele tatt, et rektangulært koordinatsystem, du trenger bare et grunnlag, i dette tilfellet, en ortonormal basis av planet.

Registreringene av punktkoordinater og vektorkoordinater ser ut til å være like: , og følelse av koordinater absolutt annerledes, og du bør være godt klar over denne forskjellen. Denne forskjellen gjelder selvfølgelig også for plass.

Mine damer og herrer, vi fyller våre hender:

Eksempel 2

a) Gitt poeng og . Finn vektorer og .
b) Poeng gis Og . Finn vektorer og .
c) Gitt poeng og . Finn vektorer og .
d) Poeng gis. Finn vektorer .

Kanskje nok. Dette er eksempler for en uavhengig avgjørelse, prøv å ikke overse dem, det vil lønne seg ;-). Tegninger er ikke nødvendig. Løsninger og svar på slutten av leksjonen.

Hva er viktig for å løse problemer med analytisk geometri? Det er viktig å være EKSTREMT FORSIKTIG for å unngå den mesterlige feilen "to pluss to er lik null". Jeg beklager på forhånd hvis jeg har gjort en feil =)

Hvordan finne lengden på et segment?

Lengden, som allerede nevnt, er indikert med modultegnet.

Hvis to punkter på planet og er gitt, kan lengden på segmentet beregnes ved hjelp av formelen

Hvis to punkter i rommet og er gitt, kan lengden på segmentet beregnes med formelen

Merk: Formlene forblir korrekte hvis de tilsvarende koordinatene byttes: og , men det første alternativet er mer standard

Eksempel 3

Løsning: i henhold til den tilsvarende formelen:

Svar:

For klarhetens skyld vil jeg lage en tegning

Linjestykke - det er ikke en vektor, og du kan selvfølgelig ikke flytte den hvor som helst. I tillegg, hvis du fullfører tegningen i målestokk: 1 enhet. \u003d 1 cm (to tetradceller), så kan svaret kontrolleres med en vanlig linjal ved direkte å måle lengden på segmentet.

Ja, løsningen er kort, men det er et par viktige punkter i den som jeg ønsker å avklare:

Først, i svaret setter vi dimensjonen: "enheter". Tilstanden sier ikke HVA det er, millimeter, centimeter, meter eller kilometer. Derfor vil den generelle formuleringen være en matematisk kompetent løsning: "enheter" - forkortet som "enheter".

For det andre, la oss gjenta skolematerialet, som ikke bare er nyttig for det aktuelle problemet:

Følg med på viktig teknisk triks – tar multiplikatoren ut under roten. Som et resultat av beregningene fikk vi resultatet og god matematisk stil innebærer å ta multiplikatoren ut under roten (hvis mulig). Prosessen ser mer detaljert slik ut: . Å la svaret ligge i skjemaet vil selvsagt ikke være en feil – men det er definitivt en feil og et tungtveiende argument for nitpicking fra lærerens side.

Her er andre vanlige tilfeller:

Ofte oppnås et tilstrekkelig stort antall under roten, for eksempel. Hvordan være i slike tilfeller? På kalkulatoren sjekker vi om tallet er delelig med 4:. Ja, del helt opp, slik: . Eller kanskje tallet kan deles på 4 igjen? . Dermed: . Det siste sifferet i tallet er oddetall, så å dele med 4 for tredje gang er tydeligvis ikke mulig. Prøver å dele på ni: . Som et resultat:
Klar.

Konklusjon: hvis vi under roten får et helt ikke-ekstraherbart tall, så prøver vi å ta ut faktoren fra under roten - på kalkulatoren sjekker vi om tallet er delelig med: 4, 9, 16, 25, 36, 49, etc.

I løpet av å løse ulike problemer finner man ofte røtter, prøv alltid å trekke ut faktorer fra under roten for å unngå lavere poengsum og unødvendige problemer med å sluttføre løsningene dine i henhold til lærerens bemerkning.

La oss gjenta kvadreringen av røttene og andre krefter samtidig:

Reglene for handlinger med grader i generell form finner du i en skolebok om algebra, men jeg tror at alt eller nesten alt allerede er klart fra eksemplene gitt.

Oppgave for en uavhengig løsning med et segment i rommet:

Eksempel 4

Gitt poeng og . Finn lengden på segmentet.

Løsning og svar på slutten av leksjonen.

Hvordan finne lengden på en vektor?

Hvis en planvektor er gitt, beregnes lengden ved hjelp av formelen.

Hvis en romvektor er gitt, beregnes lengden ved hjelp av formelen .

På abscissen og ordinaten kalles akser koordinater vektor. Vektorkoordinatene er vanligvis angitt i skjemaet (x, y), og selve vektoren som: = (x, y).

Formelen for å bestemme koordinatene til en vektor for todimensjonale problemer.

Ved et todimensjonalt problem, en vektor med kjent punktkoordinater A(x 1; y 1) Og B(x 2 ; y 2 ) kan beregnes:

\u003d (x 2 - x 1; y 2 - y 1).

Formelen for å bestemme koordinatene til en vektor for romlige problemer.

Ved et romlig problem, en vektor med kjent punktkoordinater EN (x 1; y 1;z 1 ) og B (x 2 ; y 2 ; z 2 ) kan beregnes ved hjelp av formelen:

= (x 2 - x 1 ; y 2 - y 1 ; z 2 - z 1 ).

Koordinatene gir en omfattende beskrivelse av vektoren, siden det er mulig å konstruere selve vektoren fra koordinatene. Å kjenne koordinatene er det lett å beregne og vektorlengde. (Eiendom 3 nedenfor).

Vektorkoordinategenskaper.

1. Eventuelle like vektorer i et enkelt koordinatsystem har like koordinater.

2. Koordinater kollineære vektorer proporsjonal. Forutsatt at ingen av vektorene er lik null.

3. Kvadraten av lengden til enhver vektor er lik summen av kvadratene koordinater.

4.Når operasjonen vektor multiplikasjoner på ekte nummer hver av dens koordinater multipliseres med dette tallet.

5. Under operasjonen av vektoraddisjon, beregner vi summen av det tilsvarende vektorkoordinater.

6. Skalært produkt av to vektorer er lik summen av produktene av deres respektive koordinater.

Å finne koordinatene til en vektor er en ganske vanlig betingelse for mange problemer i matematikk. Evnen til å finne koordinatene til en vektor vil hjelpe deg i andre, mer komplekse problemer med lignende emner. I denne artikkelen vil vi vurdere formelen for å finne koordinatene til en vektor og flere oppgaver.

Finne koordinatene til en vektor i et plan

Hva er et fly? Et plan er et todimensjonalt rom, et rom med to dimensjoner (dimensjon x og dimensjon y). For eksempel er papir flatt. Overflaten på bordet er flat. Enhver ikke-volumetrisk figur (kvadrat, trekant, trapes) er også et plan. Således, hvis det i tilstanden til problemet er nødvendig å finne koordinatene til en vektor som ligger på et plan, husker vi umiddelbart x og y. Du kan finne koordinatene til en slik vektor som følger: AB-koordinatene til vektoren = (xB - xA; yB - xA). Det kan ses av formelen at koordinatene til startpunktet må trekkes fra koordinatene til sluttpunktet.

Eksempel:

• CD-vektoren har start (5; 6) og slutt (7; 8) koordinater.
• Finn koordinatene til selve vektoren.
• Ved å bruke formelen ovenfor får vi følgende uttrykk: CD = (7-5; 8-6) = (2; 2).
• Dermed er koordinatene til CD-vektoren = (2; 2).
• Følgelig er x-koordinaten lik to, y-koordinaten er også to.

Finne koordinatene til en vektor i rommet

Hva er plass? Rommet er allerede en tredimensjonal dimensjon, hvor 3 koordinater er gitt: x, y, z. Hvis du trenger å finne en vektor som ligger i rommet, endres formelen praktisk talt ikke. Bare én koordinat legges til. For å finne vektoren må du trekke startkoordinatene fra sluttkoordinatene. AB = (xB - xA; yB - yA; zB - zA)

Eksempel:

• Vektor DF har initial (2; 3; 1) og siste (1; 5; 2).
• Ved å bruke formelen ovenfor får vi: Vektorkoordinater DF = (1-2; 5-3; 2-1) = (-1; 2; 1).
• Husk at verdien av koordinatene kan være negativ, det er ikke noe problem med det.

Hvordan finne vektorkoordinater på nettet?

Hvis du av en eller annen grunn ikke ønsker å finne koordinatene selv, kan du bruke den elektroniske kalkulatoren. Velg først dimensjonen til vektoren. Dimensjonen til en vektor er ansvarlig for dens dimensjoner. Dimensjon 3 betyr at vektoren er i rommet, dimensjon 2 betyr at den er på planet. Deretter setter du inn koordinatene til punktene i de aktuelle feltene, og programmet vil bestemme koordinatene til selve vektoren. Alt er veldig enkelt.

Ved å klikke på knappen vil siden automatisk rulle ned og gi deg riktig svar sammen med løsningstrinnene.

Det anbefales å studere dette emnet godt, fordi konseptet med en vektor finnes ikke bare i matematikk, men også i fysikk. Studenter ved Fakultet for informasjonsteknologi studerer også temaet vektorer, men på et mer komplekst nivå.

Analytisk geometri

		Uke	Karakter for modulen i poeng
		modulkontroll
			Maksimum		Minimum
Semester 1
DZ №1, del 1
DZ №1, del 2
Modulokontroll nr. 1
bonuspoeng
Modulokontroll nr. 2
bonuspoeng

Kontrollaktiviteter og tidspunkt for implementering av dem Modul 1

1. DZ nr. 1 del 1 "Vector Algebra" Utstedelsesfrist 2 uker, frist - 7 uker

2. DZ nr. 1 del 2 "Liner og fly"

Leveringstid 1 uke, leveringstid - 9 uker

3. Modulokontroll nr. 1 (RK nr. 1) "Vektoralgebra, linjer og plan." Frist - 10 uker

1. DZ nr. 2 "Kurver og overflater 2. ordre "Utstedelsesperiode 6 uker, leveringstid - 13 uker

5. Test "Kurver og overflater 2. orden. Frist - 14 uker

6. Modulokontroll nr. 2 (RK nr. 2) "Matriser og systemer av lineære algebraiske ligninger"

Frist - 16 uker

Typiske oppgaver brukt i dannelsen av gjeldende kontrollalternativer

1. Lekse nummer 1. "Vektoralgebra og analytisk geometri"

Gitt: punktene A (0;3;2) , B (1;4;2) , D (0;1;2) ,			A(1;2;0); tall a 30,				b1; hjørne
1. Finn lengden på vektoren |		n | , Hvis			p aq,	n bp q	og p, q er enhet

vektorer, vinkelen mellom disse er lik.

2. Finn koordinatene til punktet M som deler vektoren AB med hensyn til a :1 .

3. Sjekk om det er mulig på vektorer AB og AD konstruerer et parallellogram. Hvis ja, finn lengdene på sidene av parallellogrammet.

4. Finn vinklene mellom diagonalene til parallellogrammet ABCD.

5. Finn arealet av parallellogram ABCD.

6. Pass på at vektorene AB , AD , AA 1 kan du bygge et parallellepiped. Finn volumet til dette parallellepipedet og lengden på dets høyde.

7. Finn vektorkoordinater AH , rettet langs høyden av parallellepipedet ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , trukket fra punkt A til grunnplanet A 1 B 1 C 1 D 1 ,

koordinatene til punktet H og koordinatene til enhetsvektoren som faller sammen i retning med vektoren AH .

8. Finn nedbrytningen av vektoren AH ved vektorene AB , AD , AA 1 .

9. Finn projeksjonen av en vektor AH til vektor AA 1 .

10. Skriv likningene til planene: a) P som går gjennom punktene A, B, D;

b) P1 går gjennom punkt A og linje A1 B1;

c) P2 som går gjennom punktet A1 parallelt med planet P; d) P3 inneholdende linjene AD og AA1;

e) P4 som går gjennom punktene A og C1 vinkelrett på planet P.

11. Finn avstanden mellom linjene som kantene AB og CC ligger på 1 ; skriv de kanoniske og parametriske ligningene til felles vinkelrett på dem.

12. Finn punkt A 2, symmetrisk til punkt A1 med hensyn til basens plan

13. Finn vinkelen mellom linjen som diagonalen A ligger på 1 C, og basisplan ABCD.

14. Finn spiss vinkel mellom planene ABC 1 D (plan P) og ABB1 A1 (plan P1).

2. Lekse #2. "Kurver og overflater av andre orden"

I oppgave 1–2 er den gitte ligningen til andreordenslinjen redusert til kanonisk form og kurven konstruert i OXY-koordinatsystemet.

I oppgave 3, ved hjelp av de gitte dataene, finn ligningen til kurven i OXY-koordinatsystemet. For oppgaver 1–3 indikerer:

1) kanonisk form av linjeligningen;

2) parallell overføringstransformasjon som fører til kanonisk form;

3) i tilfelle av en ellipse: halvakser, eksentrisitet, sentrum, toppunkter, foci, avstander fra punkt C til foci; i tilfelle av en hyperbel: halvakser, eksentrisitet, sentrum, toppunkter, foci, avstander fra punkt C til foci, asymptoteligninger; i tilfelle av en parabel: parameter, toppunkt, fokus, riktlinjeligning, avstander fra punkt C til fokus og ledningslinje;

4) for punkt C, kontroller egenskapen som karakteriserer den gitte typen kurver som stedet for punktene.

I I oppgave 4, angi den parallelle translasjonstransformasjonen som reduserer den gitte overflateligningen til den kanoniske formen, den kanoniske formen til overflateligningen og typen av overflaten. Konstruer en overflate i det kanoniske koordinatsystemet OXYZ.

	5x 2y 2 20x 2y 4, C (0;1				2) 5x 2 4y 2 20x 8y 64, C (12;14) .
		5) ;
	Parabelen er symmetrisk med hensyn til den rette linjen y 1 0 , har fokus							; 1 ,
	krysser OX-aksen i punkt C				; 0 , og dens grener ligger i halvplanet	x 0.
	4y 2 z 2 8y 4z 1 0 .

Modulokontroll nr. 1 “Vektoralgebra. Analytisk geometri"

1. Høyre og venstre trippel av vektorer. Definisjon av kryssproduktet til vektorer. Formuler egenskaper til vektorproduktet til vektorer. Utled en formel for å beregne kryssproduktet av to vektorer gitt av deres koordinater på ortonormal basis.

vektorer

en m n,

m n ,

1, m, n

Kan være,

vektor nedbrytning

c 3 i

12j6k

vektorer

3 j 2 k og b 2 i 3 j 4 k .

Skriv en ligning for flyet

passerer gjennom punktene M 1 5, 1, 4 ,

M 2 2, 3,1 og

vinkelrett på planet

6x 5y 4z 1 0. Sett opp kanoniske ligninger

en rett linje som går gjennom punktet M 0 0, 2,1 og ortogonalt til det funnet planet.

Test "Kurver og overflater av andre orden"

1. Definisjon av en ellipse som et punktsted. Utledning av den kanoniske ligningen til en ellipse i et rektangulært kartesisk koordinatsystem. Hovedparametrene til kurven.

2. Overflateligning x 2 4y 2 z 2 8x 4y 6z 17 0 føre til det kanoniske

sinn. Lag en tegning i det kanoniske koordinatsystemet. Angi navnet på denne overflaten.

3. Skriv en likning for en likeakset hyperbel hvis dens sentrum O 1 1, 1 og en av dens foci F 1 3, 1 er kjent. Lag en tegning.

Modulo kontroll nr. 2 “Kurver og overflater av andre orden. Matriser og systemer av lineære algebraiske ligninger»

1. Homogene systemer av lineære algebraiske ligninger (SLAE). Former for å skrive en homogen SLAE. Bevis på et kriterium for eksistensen av ikke-nullløsninger av en homogen SLAE.

2. Løs matriseligningen AX B ,

Gjør en sjekk.

3. a) Løs SLAE. b) Finn et normalt fundamentalt system av løsninger av det tilsvarende homogene systemet, en spesiell løsning av det inhomogene systemet; skriv gjennom dem den generelle løsningen av dette inhomogene systemet:

x 1 2 x 2 3 x 3 4 x 4 4 x 2 x 3 x 4 3

x1 3x2 3x4 1

7 x 2 3 x 3 x 4 3

Spørsmål for å forberede modulkontroller, tester, tester og eksamener

1. Geometriske vektorer. Gratis vektorer. Definisjon av kollineære og koplanare vektorer. Lineære operasjoner på vektorer og deres egenskaper.

2. Definisjon av lineær avhengighet og lineær uavhengighet av vektorer. Bevis for betingelsene for lineær avhengighet 2 og 3 vektorer.

3. Definisjon av en basis i rom av vektorer V1, V2, V3. Bevis for teoremet om eksistensen og unikheten av utvidelsen av en vektor når det gjelder grunnlag. Lineære operasjoner på vektorer gitt av deres koordinater i grunnlaget.

4. Definisjon av skalarproduktet til vektorer, dets forbindelse med den ortogonale projeksjonen av en vektor på en akse. Egenskaper til skalarproduktet, deres bevis. Utledning av formelen for beregning av skalarproduktet av vektorer på ortonormal basis.

5. Definisjon av ortonormal basis. Forholdet mellom koordinatene til en vektor i en ortonormal basis og dens ortogonale projeksjoner på vektorene til denne basisen. Utledning av formler for å beregne lengden til en vektor, dens retning cosinus, vinkelen mellom to vektorer på ortonormal basis.

6. Høyre og venstre trippel av vektorer. Definisjon av kryssproduktet av vektorer, dets mekaniske og geometriske betydning. Kryss produktegenskaper (uten doc-va). Utledning av formelen for beregning av kryssproduktet på ortonormal basis.

7. Definisjon av det blandede produktet av vektorer. Volumet av parallellepipedet og volumet av pyramiden, bygget på ikke-koplanare vektorer. Compplanaritetsbetingelse for tre vektorer. Egenskaper til et blandet produkt. Utledning av formelen for å beregne det blandede produktet på ortonormal basis.

8. Definisjon av et rektangulært kartesisk koordinatsystem. Løsning av de enkleste problemene med analytisk geometri.

9. Ulike typer ligninger for en rett linje på et plan: vektor, parametrisk, kanonisk. Retningsvektoren er rett.

10. Derivasjon av ligningen til en rett linje som går gjennom to gitte punkter.

11. Bevis for teoremet at i et rektangulært kartesisk koordinatsystem på et plan, definerer en ligning av første grad en rett linje. Definisjon av normalvektoren til en rett linje.

12. Ligning med helningskoeffisient, ligning av en rett linje "i segmenter". Den geometriske betydningen av parameterne som er inkludert i ligningene. Vinkel mellom to linjer. Betingelser for parallellitet og perpendikularitet av to linjer gitt av deres generelle eller kanoniske ligninger.

13. Utledning av formelen for avstanden fra et punkt til en linje på et plan.

14. Bevis for teoremet om at i et rektangulært kartesisk koordinatsystem i rommet, definerer en ligning av første grad et plan. Generell ligning for flyet. Definisjon av normalvektoren til planet. Utledning av ligningen til et plan som går gjennom tre gitte punkter. Ligningen av planet "i segmenter".

15. Vinkel mellom planene. Betingelser for parallellitet og perpendikularitet av to plan.

16. Utledning av formelen for avstanden fra et punkt til et plan.

17. Generelle ligninger av en rett linje i rommet. Derivasjon av vektor-, kanoniske og parametriske ligninger av en rett linje i rommet.

18. Vinkel mellom to rette linjer i rommet, forhold for parallellitet og perpendikularitet av to rette linjer. Betingelser for at to linjer skal tilhøre samme plan.

19. Vinkel mellom en rett linje og et plan, forhold for parallellitet og perpendikularitet til en rett linje og et plan. Betingelsen for å tilhøre en rett linje i et gitt plan.

20. Problemet med å finne avstanden mellom kryssende eller parallelle linjer.

21. Definisjon av en ellipse som et punktsted. Utledning av den kanoniske ligningen til ellipsen.

22. Definisjon av en hyperbel som et punktsted. Utledning av den kanoniske ligningen til en hyperbel.

23. Definisjon av en parabel som et punktsted. Avledning av den kanoniske parabelligningen.

24. Definisjon av en sylindrisk overflate. Kanoniske ligninger av sylindriske overflater 2. orden.

25. Konseptet med en overflate av revolusjon. Kanoniske ligninger av overflater dannet ved rotasjon av en ellipse, hyperbel og parabel.

26. Kanoniske ligninger av en ellipsoide og en kjegle. Undersøkelse av formen på disse flatene ved snittmetoden.

27. Kanoniske ligninger av hyperboloider. Undersøkelse av formen til hyperboloider ved hjelp av seksjonsmetoden.

28. Kanoniske ligninger av paraboloider. Undersøkelse av formen til paraboloider ved hjelp av snittmetoden.

29. Konseptet med en matrise. Typer matriser. Matrise-likhet. Lineære operasjoner på matriser og deres egenskaper. Matrisetransponering.

30. Matrisemultiplikasjon. Egenskaper for driften av matrisemultiplikasjon.

31. Definisjon av en invers matrise. Bevis på det unike med den inverse matrisen. Bevis for invers matriseteoremet for produktet av to inverterbare matriser.

32. Kriterium for eksistensen av en invers matrise. Konseptet med den tilknyttede matrisen, dens forbindelse med den inverse matrisen.

33. Utledning av Cramers formler for å løse et system av lineære ligninger med en ikke-degenerert kvadratmatrise.

34. Lineær avhengighet og lineær uavhengighet av rader (kolonner) i en matrise. Bevis for kriteriet for lineær avhengighet av rader (kolonner).

35. Definisjon av en matrise-moll. Grunnleggende mindre. Basis mollsetning (uten doqua). Bevis på konsekvensen for kvadratiske matriser.

36. Fringing minors metode for å finne rangeringen til en matrise.

37. Elementære transformasjoner av rader (kolonner) i en matrise. Finne den inverse matrisen ved hjelp av metoden for elementære transformasjoner.

38. Matrise rang invarians teorem under elementære transformasjoner. Finne rangeringen til en matrise ved hjelp av metoden for elementære transformasjoner.

39. Systemer av lineære algebraiske ligninger (SLAE). Ulike former for skriving SLAE. Felles og ikke-leddet SLAE. Bevis på Kronecker-Kapeli-kriteriet for SLAE-kompatibilitet.

40. Homogene systemer av lineære algebraiske ligninger (SLAE). Egenskapene til deres løsninger.

41. Definisjon av et fundamentalt system av løsninger (FSR) av et homogent system av lineære algebraiske ligninger (SLAE). Teorem om strukturen til den generelle løsningen av en homogen SLAE. Bygging av FSR.

42. Inhomogene systemer av lineære algebraiske ligninger (SLAE). Bevis for teoremet om strukturen til den generelle løsningen av en inhomogen SLAE.

Kontroll hendelse	Antall oppgaver	Poeng for oppgaven
DZ №1, del 1
Poeng scoret
Kontroll hendelse	Antall oppgaver	Poeng for oppgaven
DZ №1, del 2
Poeng scoret

Kontroll hendelse				Antall oppgaver			Poeng for oppgaven
Modulokontroll nr. 1				1 teori og 3 oppgaver			teori - 0; 3; 6
							oppgaver - 0; 1; 2
			Poeng scoret
Kontroll hendelse				Antall oppgaver			Poeng for oppgaven
	Poeng scoret
Kontroll hendelse				Antall oppgaver			Poeng for oppgaven
				1 teori og 3 oppgaver			teori - 0; 3; 6
							oppgaver - 0; 1; 2
			Poeng scoret
						01 teori og 3 oppgaver			teori - 0; 3; 6
		oppgaver - 0; 1; 2
			Poeng scoret

Journalscoringsregler

1. Poeng for DZ. Poeng for DZ settes neste uke etter forfallsdatoen, i henhold til den tilsvarende tabellen. Studenten har rett til å levere individuelle oppgaver til verifisering innen fristen og rette opp feilene som er notert av lærer, samtidig som han får nødvendige råd. Hvis studenten innen fristen for å sende inn DZ bringer løsningen på problemet til det riktige alternativet, får han maksimal poengsum for denne oppgaven. Etter fristen for innlevering av DZ kan en student som ikke har scoret minimumspoeng for DZ fortsette å jobbe med oppgaven. Samtidig, i tilfelle vellykket arbeid, tildeles studenten minimum poengsum for DZ.

2. Poeng for CR. Hvis en student ikke når minimumsscore for CR i tide, kan han i løpet av semesteret skrive om dette arbeidet to ganger. Med et positivt resultat (et sett med poeng ikke mindre enn det fastsatte minimum), gis studenten minimumsscore for KR.

3. Poeng for "modulo control". Som «modulo-kontroll» foreslås et skriftlig arbeid, bestående av teoretiske og praktiske deler. Hver del av styremodulen evalueres separat. En student som har fått en karakter som ikke er lavere enn minimum i en av delene av kontrollen anses å ha bestått denne delen og er fritatt fra implementeringen i fremtiden. Etter lærers skjønn kan det gjennomføres et intervju om den teoretiske delen av oppgaven. Hvis en student ikke skårer minimum for hver del av arbeidet, har han i løpet av semesteret to forsøk for hver del for å rette opp situasjonen. Med en positiv

Som et resultat (et sett med poeng ikke mindre enn det fastsatte minimumet), gis studenten minimumsscore for "modulkontroll".

4. Karakter per modul. Hvis studenten har fullført alle de gjeldende kontrollaktivitetene til modulen (scoret minst den etablerte minimumsscore),

da er vurderingen for modulen summen av poeng for alle kontrollaktiviteter i modulen (i dette tilfellet scorer studenten automatisk minst minimumsterskelen). Siste poeng for modulen føres i journalen etter at alle kontrollaktiviteter er gjennomført.

5. Total poengsum. Summen av poeng for to moduler.

6. Evaluering. Den avsluttende sertifiseringen (eksamen, differensiert prøve, prøve) gjennomføres basert på resultater av arbeid i semesteret etter at studenten har gjennomført planlagt mengde studiearbeid og fått en vurdering for hver modul som ikke er lavere enn minimum fastsatt. Maksimal poengsum for alle moduler, inkludert poengsum for flid, er 100, minimum er 60. Summen av poeng for alle moduler danner en karakterpoengsum for faget for semesteret. En student som har bestått alle kontrolltiltak får endelig karakter i faget for semesteret i henhold til skalaen:

		Eksamenskarakter,	Vurdering på offset
		differensiert plassering
		tilfredsstillende
		utilfredsstillende

Du kan øke vurderingen din, og følgelig eksamenskarakteren ved avsluttende eksamen (skriftlig arbeid med materialet til disiplinen som helhet utføres under eksamensøkten), maksimal poengsum er 30, minimum er -16. Disse poengene summeres med poengene oppnådd for alle moduler i faget. Samtidig, for å øke karakteren til «god» til eksamen, må studenten score minst 21 poeng, til «utmerket» ─ minst 26 poeng. For spesialiteter hvor kreditt er gitt av disiplin, økes ikke vurderingen. Studenter som har en rangering i området 0-59 ved begynnelsen av eksamensøkten, får det nødvendige minimum for å få en positiv karakter i disiplinen, og tar kontrollhendelser som ikke ble kreditert tidligere i separate moduler. Samtidig kan studenter som ikke har en gyldig grunn til slutt (ved slutten av eksamensøkten) få en karakter som ikke er høyere enn «tilfredsstillende».