Hvordan løse diskriminanten til en kvadratisk ligning. Kvadratiske ligninger

Diskriminanten, så vel som kvadratiske ligninger, begynner å bli studert i algebrakurset i klasse 8. Du kan løse en andregradsligning gjennom diskriminanten og bruke Vieta-setningen. Metodikken for å studere kvadratiske ligninger, så vel som diskriminantformelen, er ganske mislykket innpodet i skolebarn, som mye i ekte utdanning. Derfor går skoleårene, utdanning på 9-11 trinn erstatter "høyere utdanning" og alle leter igjen etter - "Hvordan løser du en andregradsligning?", "Hvordan finner du røttene til en ligning?", "Hvordan finner du diskriminanten?" og...

Diskriminerende formel

Diskriminanten D til den andregradsligningen a*x^2+bx+c=0 er D=b^2–4*a*c.
Røttene (løsningene) til den kvadratiske ligningen avhenger av tegnet til diskriminanten (D):
D>0 - ligningen har 2 forskjellige reelle røtter;
D=0 - ligningen har 1 rot (2 sammenfallende røtter):
D<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
Formelen for å beregne diskriminanten er ganske enkel, så mange nettsteder tilbyr en online diskriminantkalkulator. Vi har ikke funnet ut av denne typen skript ennå, så hvem som vet hvordan man implementerer dette, vennligst skriv til e-posten Denne e-postadressen er beskyttet mot spambotter. Du må ha JavaScript aktivert for å se. .

Generell formel for å finne røttene til en kvadratisk ligning:

Røttene til ligningen finnes av formelen
Hvis koeffisienten til variabelen i kvadratet er paret, er det tilrådelig å beregne ikke diskriminanten, men dens fjerde del
I slike tilfeller er røttene til ligningen funnet av formelen

Den andre måten å finne røtter på er Vietas teorem.

Teoremet er formulert ikke bare for andregradsligninger, men også for polynomer. Du kan lese dette på Wikipedia eller andre elektroniske ressurser. Men for å forenkle, vurder den delen av den som angår de reduserte kvadratiske ligningene, det vil si ligninger av formen (a=1)
Essensen av Vieta-formlene er at summen av røttene til ligningen er lik koeffisienten til variabelen, tatt med motsatt fortegn. Produktet av røttene til ligningen er lik frileddet. Formlene til Vietas teorem har en notasjon.
Utledningen av Vieta-formelen er ganske enkel. La oss skrive andregradsligningen i form av primfaktorer
Som du kan se, er alt genialt enkelt på samme tid. Det er effektivt å bruke Vieta-formelen når forskjellen i modulen til røttene eller forskjellen i modulen til røttene er 1, 2. For eksempel har følgende ligninger, ifølge Vieta-setningen, røtter




Opptil 4 ligningsanalyser skal se slik ut. Produktet av røttene til ligningen er 6, så røttene kan være verdiene (1, 6) og (2, 3) eller par med motsatt fortegn. Summen av røttene er 7 (koeffisienten til variabelen med motsatt fortegn). Herfra konkluderer vi med at løsningene av kvadratisk ligning er lik x=2; x=3.
Det er lettere å velge røttene til ligningen blant divisorene til frileddet, og korrigere fortegnet deres for å oppfylle Vieta-formlene. I begynnelsen virker dette vanskelig å gjøre, men med øvelse på en rekke andregradsligninger vil denne teknikken være mer effektiv enn å beregne diskriminanten og finne røttene til kvadratisk ligning på klassisk måte.
Som du kan se, er skoleteorien om å studere diskriminanten og måter å finne løsninger på ligningen blottet for praktisk mening - "Hvorfor trenger skolebarn en andregradsligning?", "Hva er den fysiske betydningen av diskriminanten?".

La oss prøve å finne ut av det hva beskriver diskriminanten?

I løpet av algebra studerer de funksjoner, skjemaer for å studere funksjoner og plotte funksjoner. Av alle funksjonene er et viktig sted okkupert av en parabel, hvis ligning kan skrives i formen
Så den fysiske betydningen av den kvadratiske ligningen er nullene til parablen, det vil si skjæringspunktene for grafen til funksjonen med abscisseaksen Ox
Jeg ber deg huske egenskapene til parablene som er beskrevet nedenfor. Tiden vil komme for å ta eksamener, prøver eller opptaksprøver, og du vil være takknemlig for referansematerialet. Tegnet til variabelen i kvadratet tilsvarer om grenene til parabelen på grafen vil gå opp (a>0),

eller en parabel med grener ned (a<0) .

Toppen av parabelen ligger midt mellom røttene

Den fysiske betydningen av diskriminanten:

Hvis diskriminanten er større enn null (D>0), har parablen to skjæringspunkter med okseaksen.
Hvis diskriminanten er lik null (D=0), så berører parabelen øverst x-aksen.
Og det siste tilfellet, når diskriminanten er mindre enn null (D<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

Ufullstendige andregradsligninger

Kvadratiske ligninger studeres i klasse 8, så det er ikke noe komplisert her. Evnen til å løse dem er avgjørende.

En andregradsligning er en ligning av formen ax 2 + bx + c = 0, hvor koeffisientene a , b og c er vilkårlige tall, og a ≠ 0.

Før vi studerer spesifikke løsningsmetoder, legger vi merke til at alle kvadratiske ligninger kan deles inn i tre klasser:

1. Har ingen røtter;
2. De har nøyaktig én rot;
3. De har to forskjellige røtter.

Dette er en viktig forskjell mellom kvadratiske og lineære ligninger, hvor roten alltid eksisterer og er unik. Hvordan bestemme hvor mange røtter en ligning har? Det er en fantastisk ting for dette - diskriminerende.

Diskriminerende

La andregradsligningen ax 2 + bx + c = 0. Da er diskriminanten ganske enkelt tallet D = b 2 − 4ac .

Denne formelen må være kjent utenat. Hvor det kommer fra er ikke viktig nå. En annen ting er viktig: ved fortegnet til diskriminanten kan du bestemme hvor mange røtter en kvadratisk ligning har. Nemlig:

1. Hvis D< 0, корней нет;
2. Hvis D = 0, er det nøyaktig én rot;
3. Hvis D > 0, vil det være to røtter.

Vær oppmerksom på: diskriminanten indikerer antall røtter, og ikke i det hele tatt deres tegn, som mange av en eller annen grunn tror. Ta en titt på eksemplene og du vil forstå alt selv:

En oppgave. Hvor mange røtter har kvadratiske ligninger:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Vi skriver koeffisientene for den første ligningen og finner diskriminanten:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Så diskriminanten er positiv, så ligningen har to forskjellige røtter. Vi analyserer den andre ligningen på samme måte:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Diskriminanten er negativ, det er ingen røtter. Den siste ligningen gjenstår:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminanten er lik null - roten vil være en.

Merk at koeffisienter er skrevet ut for hver ligning. Ja, det er langt, ja, det er kjedelig – men du vil ikke blande oddsen og ikke gjøre dumme feil. Velg selv: hastighet eller kvalitet.

Forresten, hvis du "fyller hånden", trenger du ikke lenger å skrive ut alle koeffisientene etter en stund. Du vil utføre slike operasjoner i hodet ditt. De fleste begynner å gjøre dette et sted etter 50-70 løste ligninger - generelt sett ikke så mange.

Røttene til en andregradsligning

La oss nå gå videre til løsningen. Hvis diskriminanten D > 0, kan røttene bli funnet ved å bruke formlene:

Grunnformelen for røttene til en kvadratisk ligning

Når D = 0, kan du bruke hvilken som helst av disse formlene - du får det samme tallet, som vil være svaret. Til slutt, hvis D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2 x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

Første ligning:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ ligningen har to røtter. La oss finne dem:

Andre ligning:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ ligningen har igjen to røtter. La oss finne dem

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(align)\]

Til slutt den tredje ligningen:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ ligningen har én rot. Enhver formel kan brukes. For eksempel den første:

Som du kan se fra eksemplene, er alt veldig enkelt. Hvis du kan formlene og kan telle, vil det ikke være noen problemer. Oftest oppstår feil når negative koeffisienter erstattes i formelen. Her, igjen, vil teknikken beskrevet ovenfor hjelpe: se på formelen bokstavelig talt, mal hvert trinn - og bli kvitt feil veldig snart.

Ufullstendige andregradsligninger

Det hender at andregradsligningen er noe annerledes enn det som er gitt i definisjonen. For eksempel:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 − 16 = 0.

Det er lett å se at ett av begrepene mangler i disse ligningene. Slike kvadratiske ligninger er enda enklere å løse enn standardligninger: de trenger ikke engang å beregne diskriminanten. Så la oss introdusere et nytt konsept:

Ligningen ax 2 + bx + c = 0 kalles en ufullstendig andregradsligning hvis b = 0 eller c = 0, dvs. koeffisienten til variabelen x eller det frie elementet er lik null.

Selvfølgelig er et veldig vanskelig tilfelle mulig når begge disse koeffisientene er lik null: b \u003d c \u003d 0. I dette tilfellet har ligningen formen ax 2 \u003d 0. Åpenbart har en slik ligning en enkelt rot: x \u003d 0.

La oss vurdere andre saker. La b \u003d 0, så får vi en ufullstendig andregradsligning av formen ax 2 + c \u003d 0. La oss transformere den litt:

Siden den aritmetiske kvadratroten kun eksisterer fra et ikke-negativt tall, gir den siste likheten bare mening når (−c / a ) ≥ 0. Konklusjon:

1. Hvis en ufullstendig andregradsligning av formen ax 2 + c = 0 tilfredsstiller ulikheten (−c / a ) ≥ 0, vil det være to røtter. Formelen er gitt ovenfor;
2. Hvis (−c / a)< 0, корней нет.

Som du kan se, var diskriminanten ikke nødvendig - det er ingen komplekse beregninger i det hele tatt i ufullstendige kvadratiske ligninger. Faktisk er det ikke engang nødvendig å huske ulikheten (−c / a ) ≥ 0. Det er nok å uttrykke verdien av x 2 og se hva som er på den andre siden av likhetstegnet. Hvis det er et positivt tall, vil det være to røtter. Hvis negativ, vil det ikke være noen røtter i det hele tatt.

La oss nå ta for oss ligninger av formen ax 2 + bx = 0, der det frie elementet er lik null. Alt er enkelt her: det vil alltid være to røtter. Det er nok å faktorisere polynomet:

Å ta den felles faktoren ut av braketten

Produktet er lik null når minst én av faktorene er lik null. Det er her røttene kommer fra. Avslutningsvis vil vi analysere flere av disse ligningene:

En oppgave. Løs kvadratiske ligninger:

1. x2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Det er ingen røtter, fordi kvadratet kan ikke være lik et negativt tall.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.

Kopyevskaya landlige ungdomsskole

10 måter å løse kvadratiske ligninger på

Leder: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

matematikklærer

s. Kopyevo, 2007

1. Historie om utviklingen av andregradsligninger

1.1 Kvadratiske ligninger i det gamle Babylon

1.2 Hvordan Diophantus kompilerte og løste andregradsligninger

1.3 Kvadratiske ligninger i India

1.4 Kvadratiske ligninger i al-Khwarizmi

1.5 Kvadratiske ligninger i Europa XIII - XVII århundrer

1.6 Om Vietas teorem

2. Metoder for å løse andregradsligninger

Konklusjon

Litteratur

1. Historie om utviklingen av andregradsligninger

1.1 Kvadratiske ligninger i det gamle Babylon

Behovet for å løse ligninger ikke bare av første, men også av andre grad i antikken var forårsaket av behovet for å løse problemer knyttet til å finne områder med land og jordarbeid av militær karakter, samt utviklingen av astronomi og matematikken selv. Kvadratiske ligninger var i stand til å løse ca 2000 f.Kr. e. babylonere.

Ved å bruke moderne algebraisk notasjon kan vi si at i deres kileskrifttekster er det, i tillegg til ufullstendige, slike for eksempel komplette kvadratiske ligninger:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Regelen for å løse disse ligningene, angitt i de babylonske tekstene, sammenfaller i hovedsak med den moderne, men det er ikke kjent hvordan babylonerne kom til denne regelen. Nesten alle kileskriftstekstene som er funnet så langt gir kun problemer med løsninger oppgitt i form av oppskrifter, uten indikasjon på hvordan de ble funnet.

Til tross for det høye utviklingsnivået av algebra i Babylon, mangler kileskrifttekstene konseptet med et negativt tall og generelle metoder for å løse kvadratiske ligninger.

1.2 Hvordan Diophantus kompilerte og løste andregradsligninger.

Diophantus' Aritmetikk inneholder ikke en systematisk fremstilling av algebra, men den inneholder en systematisk rekke problemer, ledsaget av forklaringer og løst ved å tegne opp ligninger av ulike grader.

Ved kompilering av ligninger velger Diophantus dyktig ukjente for å forenkle løsningen.

Her er for eksempel en av oppgavene hans.

Oppgave 11."Finn to tall og vite at summen deres er 20 og produktet deres er 96"

Diophantus argumenterer som følger: det følger av betingelsen for problemet at de ønskede tallene ikke er like, siden hvis de var like, ville deres produkt ikke være 96, men 100. Dermed vil en av dem være mer enn halvparten av deres sum, dvs. 10+x, den andre er mindre, dvs. 10-tallet. Forskjellen mellom dem 2x .

Derav ligningen:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Herfra x = 2. Et av de ønskede tallene er 12 , annet 8 . Løsning x = -2 for Diophantus eksisterer ikke, siden gresk matematikk bare kjente positive tall.

Hvis vi løser dette problemet ved å velge et av de ønskede tallene som det ukjente, så kommer vi til løsningen av ligningen

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Det er tydelig at Diophantus forenkler løsningen ved å velge halvforskjellen til de ønskede tallene som det ukjente; han klarer å redusere problemet til å løse en ufullstendig andregradsligning (1).

1.3 Kvadratiske ligninger i India

Problemer for kvadratiske ligninger finnes allerede i den astronomiske kanalen "Aryabhattam", kompilert i 499 av den indiske matematikeren og astronomen Aryabhatta. En annen indisk forsker, Brahmagupta (7. århundre), skisserte den generelle regelen for å løse kvadratiske ligninger redusert til en enkelt kanonisk form:

ah 2+ b x = c, a > 0. (1)

I ligning (1), koeffisientene, bortsett fra en, kan også være negativ. Brahmaguptas styre faller i hovedsak sammen med vårt.

I det gamle India var offentlige konkurranser for å løse vanskelige problemer vanlig. I en av de gamle indiske bøkene sies følgende om slike konkurranser: "Som solen overstråler stjernene med sin glans, slik vil en lærd person overstråle en annens herlighet på offentlige møter, foreslå og løse algebraiske problemer." Oppgaver var ofte kledd i poetisk form.

Her er et av problemene til den berømte indiske matematikeren fra XII århundre. Bhaskara.

Oppgave 13.

"En sprudlende flokk aper og tolv i vinstokker ...

Etter å ha spist kraft, hatt det gøy. De begynte å hoppe, henge ...

Del åtte av dem i en firkant Hvor mange aper var det,

Ha det gøy på enga. Fortell meg, i denne flokken?

Bhaskaras løsning indikerer at han visste om toverdien til røttene til kvadratiske ligninger (fig. 3).

Ligningen som tilsvarer oppgave 13 er:

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara skriver under dekke av:

x 2 - 64x = -768

og for å fullføre venstre side av denne ligningen til et kvadrat, legger han til på begge sider 32 2 , får da:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Kvadratiske ligninger i al-Khorezmi

Al-Khorezmis algebraiske avhandling gir en klassifisering av lineære og kvadratiske ligninger. Forfatteren lister opp 6 typer ligninger, og uttrykker dem som følger:

1) "Kvadrater er lik røtter", dvs. akse 2 + c = b X.

2) "Kvadrater er lik tall", dvs. akse 2 = s.

3) "Røttene er lik tallet", dvs. ah = s.

4) "Kvadrater og tall er lik røtter", dvs. akse 2 + c = b X.

5) "Kvadrater og røtter er lik tallet", dvs. ah 2+ bx = s.

6) "Røtter og tall er lik kvadrater", dvs. bx + c \u003d akse 2.

For al-Khwarizmi, som unngikk bruken av negative tall, er vilkårene for hver av disse ligningene addisjoner, ikke subtraksjoner. I dette tilfellet er det åpenbart ikke tatt hensyn til ligninger som ikke har positive løsninger. Forfatteren skisserer metodene for å løse disse ligningene ved å bruke metodene til al-jabr og al-muqabala. Hans avgjørelser er selvsagt ikke helt sammenfallende med våre. For ikke å nevne det faktum at det er rent retorisk, bør det for eksempel bemerkes at når man løser en ufullstendig kvadratisk ligning av den første typen

al-Khorezmi, som alle matematikere før 1600-tallet, tar ikke hensyn til nullløsningen, sannsynligvis fordi den ikke spiller noen rolle i spesifikke praktiske problemer. Når du løser komplette kvadratiske ligninger, angir al-Khorezmi reglene for løsning, og deretter geometriske bevis, ved å bruke spesielle numeriske eksempler.

Oppgave 14.«Kvadraten og tallet 21 er lik 10 røtter. Finn roten" (forutsatt roten av ligningen x 2 + 21 = 10x).

Forfatterens løsning går omtrent slik: del antall røtter i to, du får 5, gang 5 med seg selv, trekk 21 fra produktet, 4 gjenstår Ta roten av 4, du får 2. Trekk 2 fra 5, du får 3, vil dette være ønsket rot. Eller legg til 2 til 5, som vil gi 7, dette er også en rot.

Treatise al - Khorezmi er den første boken som har kommet ned til oss, der klassifiseringen av andregradsligninger er systematisk oppgitt og formler for deres løsning er gitt.

1.5 Kvadratiske ligninger i Europa XIII - XVII århundrer

Formler for å løse kvadratiske ligninger på modellen til al - Khorezmi i Europa ble først fremsatt i "Book of the Abacus", skrevet i 1202 av den italienske matematikeren Leonardo Fibonacci. Dette omfangsrike verket, som gjenspeiler innflytelsen fra matematikk, både landene i islam og antikkens Hellas, kjennetegnes ved både fullstendighet og klarhet i presentasjonen. Forfatteren utviklet uavhengig noen nye algebraiske eksempler på problemløsning og var den første i Europa som nærmet seg innføringen av negative tall. Boken hans bidro til spredningen av algebraisk kunnskap ikke bare i Italia, men også i Tyskland, Frankrike og andre europeiske land. Mange oppgaver fra "Book of the Abacus" gikk over i nesten alle europeiske lærebøker på 1500- og 1600-tallet. og delvis XVIII.

Den generelle regelen for å løse kvadratiske ligninger redusert til en enkelt kanonisk form:

x 2+ bx = med,

for alle mulige kombinasjoner av tegn på koeffisientene b , Med ble formulert i Europa først i 1544 av M. Stiefel.

Vieta har en generell avledning av formelen for å løse en kvadratisk ligning, men Vieta gjenkjente bare positive røtter. De italienske matematikerne Tartaglia, Cardano, Bombelli var blant de første på 1500-tallet. Ta i betraktning, i tillegg til positive og negative røtter. Bare i det XVII århundre. Takket være arbeidet til Girard, Descartes, Newton og andre forskere, får måten å løse andregradsligninger på et moderne utseende.

1.6 Om Vietas teorem

Teoremet som uttrykker forholdet mellom koeffisientene til en kvadratisk ligning og dens røtter, som bærer navnet Vieta, ble formulert av ham for første gang i 1591 som følger: "Hvis B + D ganget med EN - EN 2 , er lik BD, deretter EN er lik PÅ og likeverdig D ».

For å forstå Vieta må man huske det MEN, som enhver vokal, betydde for ham det ukjente (vår X), vokalene PÅ, D- koeffisienter for det ukjente. På språket til moderne algebra betyr Vietas formulering ovenfor: hvis

(et + b )x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Ved å uttrykke forholdet mellom røttene og koeffisientene til ligninger med generelle formler skrevet ved hjelp av symboler, etablerte Viet ensartethet i metodene for å løse ligninger. Imidlertid er symbolikken til Vieta fortsatt langt fra sin moderne form. Han gjenkjente ikke negative tall, og derfor vurderte han bare tilfeller der alle røtter er positive når han løste ligninger.

2. Metoder for å løse andregradsligninger

Kvadratiske ligninger er grunnlaget som det majestetiske byggverket til algebra hviler på. Kvadratiske ligninger er mye brukt for å løse trigonometriske, eksponentielle, logaritmiske, irrasjonelle og transcendentale ligninger og ulikheter. Vi vet alle hvordan vi løser andregradsligninger fra skolen (8. klasse) til eksamen.

En andregradsligning er en ligning av formen ax^2 + bx + c = 0, hvor koeffisientene a, b og c er vilkårlige tall, og a ≠ 0 ellers vil det ikke lenger være en andregradsligning. Kvadratiske ligninger har enten ingen røtter, eller har nøyaktig én rot, eller to forskjellige røtter. Det første trinnet er å se etter diskriminanten. Formel: D = b^2 − 4ac. 1. Hvis D< 0, корней нет; 2. Если D = 0, есть ровно один корень; 3. Если D >0, vil det være to røtter. Det første alternativet er klart, det er ingen røtter. Hvis diskriminanten D > 0, kan røttene finnes som følger: x12 = (-b +- √D) / 2a. Når det gjelder det andre alternativet, når D = 0, kan den øvre formelen brukes.

Kvadratiske ligninger begynner å bli studert i skolens læreplan i løpet av matematikk. Men dessverre er det ikke alle som forstår og vet hvordan de skal løse en kvadratisk ligning og beregne røttene. La oss først forstå hva en andregradsligning er.

Hva er en andregradsligning

Begrepet kvadratisk ligning er vanligvis forstått som en algebraisk ligning av en generell form. Denne ligningen har følgende form: ax2 + bx + c = 0, mens a, b og c er noen bestemte tall, er x ukjent. Disse tre tallene kalles vanligvis koeffisientene til den kvadratiske ligningen:

• a - første koeffisient;
• b - andre koeffisient;
• c er den tredje koeffisienten.

Hvordan finne røttene til en kvadratisk ligning

For å beregne hva røttene til en kvadratisk ligning vil være lik, er det nødvendig å finne diskriminanten til ligningen. Diskriminanten til en kvadratisk ligning er et uttrykk som er lik og beregnes av formelen b2 - 4ac. Hvis diskriminanten er større enn null, beregnes roten med formelen: x \u003d -b + - roten av diskriminanten delt på 2 a.

Tenk på eksempelet med ligningen 5x i annen - 8x +3 = 0

Diskriminanten er åtte kvadrater, minus fire ganger fem ganger tre, dvs. = 64 - 4*5*3 = 64-60 = 4

x1 \u003d 8 + - roten av fire delt på to ganger fem \u003d 8 + 2/10 \u003d 1

x2 = 8-2/10 = 6/10 = 3/5 = 0,6

Følgelig vil røttene til denne kvadratiske ligningen være 1 og 0,6.

Formler for røttene til en kvadratisk ligning. Tilfellene med reelle, multiple og komplekse røtter vurderes. Faktorisering av et kvadratisk trinomium. Geometrisk tolkning. Eksempler på å bestemme røtter og faktorisering.

Grunnleggende formler

Tenk på den andregradsligningen:
(1) .
Røttene til en andregradsligning(1) bestemmes av formlene:
; .
Disse formlene kan kombineres slik:
.
Når røttene til den kvadratiske ligningen er kjent, kan polynomet av andre grad representeres som et produkt av faktorer (faktorert):
.

Videre antar vi at det er reelle tall.
Ta i betraktning diskriminant av en andregradsligning:
.
Hvis diskriminanten er positiv, har kvadratisk ligning (1) to forskjellige reelle røtter:
; .
Da har faktoriseringen av kvadrattrinomialet formen:
.
Hvis diskriminanten er null, har den kvadratiske ligningen (1) to multiple (like) reelle røtter:
.
Faktorisering:
.
Hvis diskriminanten er negativ, har den kvadratiske ligningen (1) to komplekse konjugerte røtter:
;
.
Her er den imaginære enheten, ;
og er de virkelige og imaginære delene av røttene:
; .
Deretter

.

Grafisk tolkning

Hvis vi grafer funksjonen
,
som er en parabel, så vil skjæringspunktene til grafen med aksen være røttene til ligningen
.
Når , skjærer grafen abscisseaksen (aksen) i to punkter.
Når , berører grafen x-aksen på ett punkt.
Når , krysser ikke grafen x-aksen.

Nedenfor er eksempler på slike grafer.

Nyttige formler relatert til kvadratisk ligning

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Utledning av formelen for røttene til en andregradsligning

Vi utfører transformasjoner og bruker formler (f.1) og (f.3):




,
hvor
; .

Så, vi fikk formelen for polynomet av andre grad i formen:
.
Av dette kan man se at ligningen

utført kl
og .
Det vil si, og er røttene til den kvadratiske ligningen
.

Eksempler på å bestemme røttene til en kvadratisk ligning

Eksempel 1

(1.1) .

Løsning

.
Ved å sammenligne med ligningen vår (1.1), finner vi verdiene til koeffisientene:
.
Finne diskriminanten:
.
Siden diskriminanten er positiv, har ligningen to reelle røtter:
;
;
.

Herfra får vi dekomponeringen av kvadrattrinomialet til faktorer:

.

Graf for funksjonen y = 2 x 2 + 7 x + 3 krysser x-aksen i to punkter.

La oss plotte funksjonen
.
Grafen til denne funksjonen er en parabel. Den krysser x-aksen (aksen) på to punkter:
og .
Disse punktene er røttene til den opprinnelige ligningen (1.1).

Svar

;
;
.

Eksempel 2

Finn røttene til en andregradsligning:
(2.1) .

Løsning

Vi skriver andregradsligningen i generell form:
.
Sammenligner vi med den opprinnelige ligningen (2.1), finner vi verdiene til koeffisientene:
.
Finne diskriminanten:
.
Siden diskriminanten er null, har ligningen to multiple (like) røtter:
;
.

Da har faktoriseringen av trinomialet formen:
.

Graf for funksjonen y = x 2 - 4 x + 4 berører x-aksen på ett punkt.

La oss plotte funksjonen
.
Grafen til denne funksjonen er en parabel. Den berører x-aksen (aksen) på ett punkt:
.
Dette punktet er roten til den opprinnelige ligningen (2.1). Siden denne roten er faktorisert to ganger:
,
da kalles en slik rot et multiplum. Det vil si at de anser at det er to like røtter:
.

Svar

;
.

Eksempel 3

Finn røttene til en andregradsligning:
(3.1) .

Løsning

Vi skriver andregradsligningen i generell form:
(1) .
La oss omskrive den opprinnelige ligningen (3.1):
.
Ved å sammenligne med (1), finner vi verdiene til koeffisientene:
.
Finne diskriminanten:
.
Diskriminanten er negativ, . Derfor er det ingen reelle røtter.

Du kan finne komplekse røtter:
;
;
.

Deretter


.

Grafen til funksjonen krysser ikke x-aksen. Det er ingen reelle røtter.

La oss plotte funksjonen
.
Grafen til denne funksjonen er en parabel. Den krysser ikke abscissen (aksen). Derfor er det ingen reelle røtter.

Svar

Det er ingen reelle røtter. Komplekse røtter:
;
;
.