Oppgaver om egenskapene og grafene til en kvadratisk funksjon, som praksis viser, forårsaker alvorlige vanskeligheter. Dette er ganske rart, fordi den kvadratiske funksjonen er bestått i 8. klasse, og så blir hele første kvartal av 9. klasse "torturert" av egenskapene til parablen og dens grafer er bygget for ulike parametere.

Dette skyldes det faktum at ved å tvinge elevene til å bygge parabler, bruker de praktisk talt ikke tid til å "lese" grafer, det vil si at de ikke øver seg på å forstå informasjonen mottatt fra bildet. Tilsynelatende antas det at etter å ha bygget to dusin grafer, vil en smart student selv oppdage og formulere forholdet mellom koeffisientene i formelen og utseende grafisk kunst. I praksis går ikke dette. For en slik generalisering, seriøs erfaring matematisk miniforskning, som de fleste niendeklassinger selvfølgelig ikke har. I mellomtiden foreslår de i GIA å bestemme tegnene til koeffisientene nøyaktig i henhold til tidsplanen.

Vi vil ikke kreve det umulige fra skolebarn og bare tilby en av algoritmene for å løse slike problemer.

Altså en funksjon av formen y=ax2+bx+c kalles kvadratisk, grafen er en parabel. Som navnet antyder, er hovedkomponenten øks 2. Det er en skal ikke være lik null, de gjenværende koeffisientene ( b og Med) kan være lik null.

La oss se hvordan tegnene på koeffisientene påvirker utseendet til parablen.

Den enkleste avhengigheten for koeffisienten en. De fleste skoleelever svarer selvsikkert: "hvis en> 0, så er grenene til parablen rettet oppover, og hvis en < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой en > 0.

y = 0,5x2 - 3x + 1

PÅ denne saken en = 0,5

Og nå for en < 0:

y = - 0,5x2 - 3x + 1

I dette tilfellet en = - 0,5

Påvirkning av koeffisient Med også lett nok å følge. Tenk deg at vi ønsker å finne verdien av en funksjon i et punkt X= 0. Bytt inn null i formelen:

y = en 0 2 + b 0 + c = c. Det viser seg at y = c. Det er Med er ordinaten til skjæringspunktet mellom parabelen og y-aksen. Som regel er dette punktet lett å finne på diagrammet. Og avgjør om den ligger over null eller under. Det er Med> 0 eller Med < 0.

Med > 0:

y=x2+4x+3

Med < 0

y = x 2 + 4x - 3

Følgelig, hvis Med= 0, så vil parabelen nødvendigvis gå gjennom origo:

y=x2+4x

Vanskeligere med parameteren b. Punktet vi vil finne det avhenger ikke bare av b men også fra en. Dette er toppen av parabelen. Abscissen (aksekoordinat X) finnes av formelen x i \u003d - b / (2a). På denne måten, b = - 2ax in. Det vil si at vi handler som følger: på grafen finner vi toppen av parabelen, bestemmer tegnet på abscissen, det vil si at vi ser til høyre for null ( x inn> 0) eller til venstre ( x inn < 0) она лежит.

Dette er imidlertid ikke alt. Vi må også ta hensyn til koeffisientens tegn en. Det vil si å se hvor grenene til parablen er rettet. Og først etter det, i henhold til formelen b = - 2ax in bestemme tegn b.

Tenk på et eksempel:

Grener som peker oppover en> 0, parablen krysser aksen på under null betyr Med < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x inn> 0. Så b = - 2ax in = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: en > 0, b < 0, Med < 0.

De metodisk materiale er for referanseformål og dekker et bredt spekter av emner. Artikkelen gir en oversikt over grafene til de viktigste elementære funksjonene og vurderer det viktigste spørsmålet – hvordan du bygger en graf riktig og RASK. Under studiet høyere matematikk uten kunnskap om grunnleggende diagrammer elementære funksjoner det vil være vanskelig, så det er veldig viktig å huske hvordan grafene til en parabel, hyperbel, sinus, cosinus osv. ser ut, husk noen funksjonsverdier. Også vi skal snakke på noen egenskaper ved grunnleggende funksjoner.

Jeg later ikke til fullstendighet og vitenskapelig grundighet av materialene, vekten vil først og fremst bli lagt på praksis - de tingene som man må møte bokstavelig talt på hvert trinn, i ethvert emne av høyere matematikk. Diagrammer for dummies? Du kan si det.

Etter populær etterspørsel fra leserne klikkbar innholdsfortegnelse:

I tillegg er det et ultrakort sammendrag om temaet
– mestre 16 typer diagrammer ved å studere SEX sider!

Seriøst, seks, til og med jeg selv ble overrasket. Dette abstraktet inneholder forbedret grafikk og er tilgjengelig for en nominell avgift, en demoversjon kan sees. Det er praktisk å skrive ut filen slik at grafene alltid er for hånden. Takk for at du støtter prosjektet!

Og vi starter med en gang:

Hvordan bygge koordinatakser riktig?

I praksis blir prøver nesten alltid utarbeidet av elevene i separate notatbøker, foret i et bur. Hvorfor trenger du rutete markeringer? Tross alt kan arbeidet i prinsippet gjøres på A4-ark. Og buret er nødvendig bare for høy kvalitet og nøyaktig utforming av tegningene.

Enhver tegning av en funksjonsgraf starter med koordinatakser.

Tegninger er todimensjonale og tredimensjonale.

La oss først vurdere det todimensjonale tilfellet kartesisk rektangulært system koordinater:

1) Vi tegner koordinatakser. Aksen kalles x-aksen , og aksen y-aksen . Vi prøver alltid å tegne dem ryddig og ikke skjevt. Pilene skal heller ikke ligne på skjegget til Papa Carlo.

2) Vi signerer aksene med store bokstaver "x" og "y". Ikke glem å signere aksene.

3) Sett skalaen langs aksene: trekke null og to enere. Når du lager en tegning, er den mest praktiske og vanlige skalaen: 1 enhet = 2 celler (tegning til venstre) - hold deg til den hvis mulig. Men fra tid til annen hender det at tegningen ikke passer på et notatbokark - da reduserer vi skalaen: 1 enhet = 1 celle (tegning til høyre). Sjelden, men det hender at målestokken på tegningen må reduseres (eller økes) enda mer

IKKE rable fra et maskingevær ... -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, .... For koordinatplanet er ikke et monument over Descartes, og studenten er ikke en due. Vi putter null og to enheter langs aksene. Noen ganger i stedet for enheter, er det praktisk å "oppdage" andre verdier, for eksempel "to" på abscisseaksen og "tre" på ordinataksen - og dette systemet (0, 2 og 3) vil også unikt sette koordinatrutenettet.

Det er bedre å anslå estimerte dimensjoner på tegningen FØR tegningen tegnes.. Så, for eksempel, hvis oppgaven krever å tegne en trekant med toppunkter , , , så er det ganske klart at den populære skalaen 1 enhet = 2 celler ikke vil fungere. Hvorfor? La oss se på poenget - her må du måle femten centimeter ned, og tegningen vil åpenbart ikke passe (eller knapt passe) på et notatbokark. Derfor velger vi umiddelbart en mindre skala 1 enhet = 1 celle.

Forresten, ca centimeter og notatbokceller. Er det sant at det er 15 centimeter i 30 bærbare celler? Mål i en notatbok for rente 15 centimeter med linjal. I USSR var dette kanskje sant ... Det er interessant å merke seg at hvis du måler de samme centimeterne horisontalt og vertikalt, vil resultatene (i celler) være forskjellige! Moderne notatbøker er strengt tatt ikke rutete, men rektangulære. Det kan virke som tull, men å tegne for eksempel en sirkel med et kompass i slike situasjoner er veldig upraktisk. For å være ærlig, i slike øyeblikk begynner du å tenke på riktigheten til kamerat Stalin, som ble sendt til leire for hackarbeid i produksjonen, for ikke å nevne den innenlandske bilindustrien, fallende fly eller eksploderende kraftverk.

Apropos kvalitet, eller en kort anbefaling om skrivesaker. Til dags dato er de fleste notatbøkene på salg, uten å si stygge ord, komplette nisser. Av den grunn at de blir våte, og ikke bare fra gelpenner, men også fra kulepenner! Spar på papir. For klarering kontroll fungerer Jeg anbefaler å bruke notatbøkene til Arkhangelsk Pulp and Paper Mill (18 ark, bur) eller Pyaterochka, selv om det er dyrere. Det er lurt å velge en gelpenn, selv den billigste kinesiske gel-refillen er mye bedre enn en kulepenn, som enten smører eller river papir. Den eneste "konkurransedyktige" kulepennen i mitt minne er Erich Krause. Hun skriver tydelig, vakkert og stabilt – enten med full stamme, eller med nesten tom.

I tillegg: visjonen til et rektangulært koordinatsystem gjennom øynene til analytisk geometri er dekket i artikkelen Lineær (ikke) avhengighet av vektorer. Vektor basis, detaljert informasjon Om koordinere kvartaler finnes i andre ledd i leksjonen Lineære ulikheter.

3D etui

Det er nesten det samme her.

1) Vi tegner koordinatakser. Standard: applikatakse – rettet oppover, akse – rettet mot høyre, akse – nedover til venstre strengt tatt i en vinkel på 45 grader.

2) Vi signerer aksene.

3) Sett skalaen langs aksene. Skala langs aksen - to ganger mindre enn skalaen langs de andre aksene. Merk også at i den høyre tegningen brukte jeg en ikke-standard "serif" langs aksen (denne muligheten er allerede nevnt ovenfor). Fra mitt synspunkt er det mer nøyaktig, raskere og mer estetisk tiltalende - du trenger ikke å lete etter midten av cellen under et mikroskop og "skulptere" enheten helt opp til opprinnelsen.

Når du gjør en 3D-tegning igjen - prioriter skala
1 enhet = 2 celler (tegning til venstre).

Hva er alle disse reglene for? Regler er til for å bli brutt. Hva skal jeg gjøre nå. Faktum er at de påfølgende tegningene av artikkelen vil bli laget av meg i Excel, og koordinataksene vil se feil ut når det gjelder riktig design. Jeg kunne tegne alle grafene for hånd, men det er virkelig skummelt å tegne dem, siden Excel er motvillige til å tegne dem mye mer nøyaktig.

Grafer og grunnleggende egenskaper ved elementære funksjoner

Lineær funksjon er gitt av ligningen. Lineær funksjonsgraf er direkte. For å konstruere en rett linje er det nok å kjenne to punkter.

Eksempel 1

Tegn funksjonen. La oss finne to punkter. Det er fordelaktig å velge null som ett av punktene.

Hvis da

Vi tar et annet punkt, for eksempel 1.

Hvis da

Når du forbereder oppgaver, er koordinatene til punktene vanligvis oppsummert i en tabell:

Og verdiene i seg selv beregnes muntlig eller på et utkast, kalkulator.

To poeng er funnet, la oss tegne:

Ved tegning signerer vi alltid grafikken.

Det vil ikke være overflødig å huske spesielle tilfeller av en lineær funksjon:

Legg merke til hvordan jeg plasserte bildetekstene, signaturer bør ikke være tvetydige når du studerer tegningen. I dette tilfellet var det høyst uønsket å sette en signatur ved siden av skjæringspunktet mellom linjene, eller nederst til høyre mellom grafene.

1) En lineær funksjon av formen () kalles direkte proporsjonalitet. For eksempel, . Den direkte proporsjonalitetsgrafen går alltid gjennom origo. Dermed er konstruksjonen av en rett linje forenklet - det er nok å finne bare ett punkt.

2) En ligning av formen definerer en rett linje parallelt med aksen, spesielt er selve aksen gitt av ligningen. Grafen til funksjonen bygges umiddelbart, uten å finne noen punkter. Det vil si at oppføringen skal forstås som følger: "y er alltid lik -4, for enhver verdi av x."

3) En ligning av formen definerer en rett linje parallelt med aksen, spesielt er selve aksen gitt av ligningen. Grafen til funksjonen bygges også umiddelbart. Oppføringen skal forstås som følger: "x er alltid, for enhver verdi av y, lik 1."

Noen vil spørre, vel, hvorfor huske 6. klasse?! Det er slik det er, kanskje det, bare i løpet av årene med praksis møtte jeg et godt dusin studenter som ble forvirret over oppgaven med å konstruere en graf som eller .

Å tegne en rett linje er den vanligste handlingen når du lager tegninger.

Den rette linjen diskuteres i detalj i løpet av analytisk geometri, og de som ønsker det kan henvise til artikkelen Ligning av en rett linje på et plan.

Kvadratisk funksjonsgraf, kubisk funksjonsgraf, polynomgraf

Parabel. Graf av en kvadratisk funksjon () er en parabel. Ta i betraktning kjent sak:

La oss huske noen egenskaper ved funksjonen.

Så, løsningen på ligningen vår: - det er på dette punktet at toppunktet til parablen er plassert. Hvorfor det er slik kan man lære av den teoretiske artikkelen om den deriverte og leksjonen om funksjonens ytterpunkt. I mellomtiden beregner vi den tilsvarende verdien av "y":

Så toppunktet er på punktet

Nå finner vi andre punkter, mens vi frekt bruker parabelens symmetri. Det skal bemerkes at funksjonen – er ikke engang, men likevel, ingen opphevet symmetrien til parablen.

I hvilken rekkefølge for å finne de resterende poengene, tror jeg det vil være klart fra finalebordet:

Denne algoritmen konstruksjon kan i overført betydning kalles en "shuttle" eller prinsippet om "frem og tilbake" med Anfisa Chekhova.

La oss lage en tegning:

Fra de vurderte grafene kommer en annen nyttig funksjon til tankene:

For en kvadratisk funksjon () følgende er sant:

Hvis , så er grenene til parabelen rettet oppover.

Hvis , så er grenene til parablen rettet nedover.

Inngående kjennskap til kurven kan fås i leksjonen Hyperbel og parabel.

Den kubiske parabelen er gitt av funksjonen . Her er en tegning kjent fra skolen:

Vi lister opp hovedegenskapene til funksjonen

Funksjonsgraf

Den representerer en av grenene til parabelen. La oss lage en tegning:

Grunnleggende egenskaper funksjoner :

I dette tilfellet er aksen vertikal asymptote for hyperbelgrafen ved .

Vil være DÅRLIG feil, hvis, når vi lager en tegning, ved uaktsomhet, lar vi grafen krysse asymptoten .

Også ensidige grenser, fortell oss at en hyperbole ikke begrenset ovenfra og ikke begrenset nedenfra.

La oss utforske funksjonen ved uendelig: , det vil si at hvis vi begynner å bevege oss langs aksen til venstre (eller høyre) til uendelig, vil "spillene" være et slankt trinn uendelig nær nærmer seg null, og følgelig grenene til hyperbelen uendelig nær nærme seg aksen.

Så aksen er horisontal asymptote for grafen til funksjonen, hvis "x" har en tendens til pluss eller minus uendelig.

Funksjonen er merkelig, som betyr at hyperbelen er symmetrisk med hensyn til opprinnelsen. Denne faktaen er tydelig fra tegningen, dessuten kan det enkelt verifiseres analytisk: .

Grafen til en funksjon av formen () representerer to grener av en hyperbel.

Hvis , er hyperbelen lokalisert i første og tredje koordinatkvadrant(se bildet over).

Hvis , er hyperbelen lokalisert i andre og fjerde koordinatkvadrant.

Det er ikke vanskelig å analysere den spesifiserte regelmessigheten til hyperbelens bosted fra synspunktet om geometriske transformasjoner av grafer.

Eksempel 3

Konstruer høyre gren av hyperbelen

Vi bruker den punktvise konstruksjonsmetoden, mens det er fordelaktig å velge verdiene slik at de deler seg fullstendig:

La oss lage en tegning:

Det vil ikke være vanskelig å konstruere venstre gren av hyperbelen, her vil rarheten til funksjonen bare hjelpe. Grovt sett, i den punktvise konstruksjonstabellen, legger du mentalt til et minus til hvert tall, setter de tilsvarende prikkene og tegner den andre grenen.

Detaljert geometrisk informasjon om den betraktede linjen finner du i artikkelen Hyperbel og parabel.

Graf av en eksponentiell funksjon

I dette avsnittet vil jeg umiddelbart vurdere eksponentialfunksjonen, siden i problemer med høyere matematikk i 95% av tilfellene er det eksponenten som oppstår.

Jeg minner deg om at dette er irrasjonelt tall: , dette vil være nødvendig når du bygger en graf, som jeg faktisk vil bygge uten seremoni. Tre poeng sannsynligvis nok:

La oss la grafen til funksjonen være i fred for nå, om det senere.

Hovedegenskapene til funksjonen:

I utgangspunktet ser grafene over funksjoner like ut, osv.

Jeg må si at det andre tilfellet er mindre vanlig i praksis, men det forekommer, så jeg følte det nødvendig å inkludere det i denne artikkelen.

Graf over en logaritmisk funksjon

Vurder en funksjon med naturlig logaritme.
La oss tegne en strek:

Hvis du har glemt hva en logaritme er, vennligst se skolebøkene.

Hovedegenskapene til funksjonen:

Domene:

Verdiområde: .

Funksjonen er ikke begrenset ovenfra: , om enn sakte, men grenen til logaritmen går opp til uendelig.
La oss undersøke oppførselen til funksjonen nær null til høyre: . Så aksen er vertikal asymptote for grafen til funksjonen med "x" vendt mot null til høyre.

Sørg for å kjenne og huske den typiske verdien til logaritmen: .

I bunn og grunn ser grafen til logaritmen ved basen lik ut: , , ( desimal logaritme i base 10), etc. Samtidig, jo større basen er, jo flatere vil diagrammet være.

Vi vil ikke vurdere saken, noe jeg ikke husker når jeg sist bygde en graf med et slikt grunnlag. Ja, og logaritmen ser ut til å være en svært sjelden gjest i problemer med høyere matematikk.

Som avslutning på avsnittet vil jeg si et faktum til: Eksponentiell funksjon og logaritmisk funksjon er to gjensidige inverse funksjoner . Hvis du ser nøye på grafen til logaritmen, kan du se at dette er samme eksponent, bare den er plassert litt annerledes.

Grafer over trigonometriske funksjoner

Hvordan begynner trigonometrisk pine på skolen? Riktig. Fra sinusen

La oss plotte funksjonen

Denne linjen kalles sinusformet.

Jeg minner deg om at "pi" er et irrasjonelt tall:, og i trigonometri blender det i øynene.

Hovedegenskapene til funksjonen:

Denne funksjonen er tidsskrift med en periode. Hva betyr det? La oss se på kuttet. Til venstre og til høyre for den gjentas nøyaktig den samme delen av grafen i det uendelige.

Domene: , det vil si at for enhver verdi av "x" er det en sinusverdi.

Verdiområde: . Funksjonen er begrenset: , det vil si at alle "spillene" sitter strengt tatt i segmentet .
Dette skjer ikke: eller mer presist, det skjer, men nevnte ligninger har ikke en løsning.

Hvordan bygge en parabel? Det er flere måter å tegne en kvadratisk funksjon på. Hver av dem har sine fordeler og ulemper. La oss vurdere to måter.

La oss starte med å plotte en kvadratisk funksjon som y=x²+bx+c og y= -x²+bx+c.

Eksempel.

Plott funksjonen y=x²+2x-3.

Løsning:

y=x²+2x-3 er en kvadratisk funksjon. Grafen er en parabel med grener opp. Parabelens toppunktkoordinater

Fra toppunktet (-1;-4) bygger vi en graf av parabelen y=x² (som fra origo. I stedet for (0;0) - toppunktet (-1;-4). Fra (-1;- 4) vi går til høyre med 1 enhet og opp med 1, deretter venstre med 1 og opp med 1, deretter: 2 - høyre, 4 - opp, 2 - venstre, 4 - opp, 3 - høyre, 9 - opp, 3 - venstre, 9 - opp. Disse 7 poengene er ikke nok, deretter - 4 til høyre, 16 - opp, osv.).

Grafen til den kvadratiske funksjonen y= -x²+bx+c er en parabel hvis grener er rettet nedover. For å bygge en graf leter vi etter koordinatene til toppunktet, og fra den bygger vi en parabel y= -x².

Eksempel.

Plott funksjonen y= -x²+2x+8.

Løsning:

y= -x²+2x+8 er en kvadratisk funksjon. Grafen er en parabel med grener ned. Parabelens toppunktkoordinater

Fra toppen bygger vi en parabel y = -x² (1 - høyre, 1 - ned; 1 - venstre, 1 - ned; 2 - høyre, 4 - ned; 2 - venstre, 4 - ned, etc.):

Denne metoden lar deg bygge en parabel raskt og forårsaker ikke vanskeligheter hvis du vet hvordan du plotter funksjonene y=x² og y= -x². Ulempe: hvis toppunktet koordinater er brøktall, plotting er ikke veldig praktisk. Hvis du vil vite de nøyaktige verdiene for skjæringspunktene til grafen med x-aksen, må du i tillegg løse likningen x² + bx + c = 0 (eller -x² + bx + c = 0), selv om disse punktene kan bestemmes direkte fra figuren.

En annen måte å bygge en parabel på er med punkter, det vil si at du kan finne flere punkter på grafen og tegne en parabel gjennom dem (ta hensyn til at linjen x=xₒ er dens symmetriakse). Vanligvis, for dette, tar de toppen av parabelen, skjæringspunktene til grafen med koordinataksene og 1-2 tilleggspunkter.

Tegn funksjonen y=x²+5x+4.

Løsning:

y=x²+5x+4 er en kvadratisk funksjon. Grafen er en parabel med grener opp. Parabelens toppunktkoordinater

det vil si at toppen av parabelen er punktet (-2,5; -2,25).

Ser etter . I skjæringspunktet med okseaksen y=0: x²+5x+4=0. Røtter kvadratisk ligning x1=-1, x2=-4, det vil si at vi fikk to punkter på grafen (-1; 0) og (-4; 0).

Ved skjæringspunktet for grafen med Oy-aksen x=0: y=0²+5∙0+4=4. Fikk et poeng (0; 4).

For å avgrense grafen kan du finne et ekstra punkt. La oss ta x=1, så y=1²+5∙1+4=10, det vil si ett punkt til på grafen - (1; 10). Merk disse punktene på koordinatplan. Med tanke på symmetrien til parabelen med hensyn til den rette linjen som går gjennom toppunktet, markerer vi ytterligere to punkter: (-5; 6) og (-6; 10) og tegner en parabel gjennom dem:

Plott funksjonen y= -x²-3x.

Løsning:

y= -x²-3x er en kvadratisk funksjon. Grafen er en parabel med grener ned. Parabelens toppunktkoordinater

Toppen (-1,5; 2,25) er det første punktet på parablen.

Ved skjæringspunktene til grafen med x-aksen y=0, det vil si at vi løser ligningen -x²-3x=0. Røttene er x=0 og x=-3, det vil si (0; 0) og (-3; 0) er ytterligere to punkter på grafen. Punktet (o; 0) er også skjæringspunktet mellom parabelen og y-aksen.

Ved x=1 er y=-1²-3∙1=-4, dvs. (1; -4) et tilleggspunkt for plotting.

Å bygge en parabel fra poeng er en mer tidkrevende metode sammenlignet med den første. Hvis parablen ikke skjærer okseaksen, vil flere tilleggspunkter være nødvendig.

Før du fortsetter å plotte kvadratiske funksjoner av formen y=ax²+bx+c, bør du vurdere å plotte funksjoner ved å bruke geometriske transformasjoner. Grafer av funksjoner av formen y=x²+c er også mest praktisk å bygge ved å bruke en av disse transformasjonene - parallell oversettelse.

Rubrikk: |