Leksjonstype:

Type leksjon: Forelesning, leksjon i problemløsning.

Varighet: 2 timer.

Mål:1) Lær den grafiske metoden.

2) Vis bruken av Maple-programmet til å løse ulikhetssystemer ved hjelp av en grafisk metode.

3) Utvikle oppfatning og tenkning om emnet.

Timeplan:

Kursfremgang.

Trinn 1: Den grafiske metoden består i å konstruere et sett med gjennomførbare LLP-løsninger, og finne et punkt i dette settet som tilsvarer maks/min for målfunksjonen.

På grunn av de begrensede mulighetene for en visuell grafisk representasjon, brukes denne metoden kun for systemer med lineære ulikheter med to ukjente og systemer som kan reduseres til denne formen.

For å visuelt demonstrere den grafiske metoden, vil vi løse følgende problem:

1. I den første fasen er det nødvendig å konstruere området med gjennomførbare løsninger. For dette eksemplet er det mest praktisk å velge X2 for abscissen, og X1 for ordinaten, og skrive ulikhetene i følgende form:

Siden både grafene og arealet av tillatte løsninger er i første kvartal. For å finne grensepunktene løser vi likningene (1)=(2), (1)=(3) og (2)=(3).

Som det fremgår av illustrasjonen, danner polyeder ABCDE et område med mulige løsninger.

Hvis domenet for tillatte løsninger ikke er lukket, vil enten max(f)=+ ? eller min(f)= -?.

2. Nå kan vi gå videre til direkte å finne maksimum av funksjonen f.

Ved å bytte ut koordinatene til toppunktene til polyederet i funksjonen f og sammenligne verdiene, finner vi at f(C)=f(4;1)=19 er maksimum av funksjonen.

Denne tilnærmingen er ganske gunstig for et lite antall hjørner. Men denne prosedyren kan bli forsinket hvis det er ganske mange hjørner.

I dette tilfellet er det mer praktisk å vurdere en nivålinje på formen f=a. Med en monoton økning i tallet a fra -? til +? linjene f=a er forskjøvet langs normalvektoren Normalvektoren har koordinater (С1;С2), hvor C1 og C2 er koeffisientene til de ukjente i objektivfunksjonen f=C1?X1+C2?X2+C0.. Hvis det er et punkt under en slik forskyvning av nivålinjen X er det første fellespunktet i området med mulige løsninger (polytop ABCDE) og nivålinjen, så er f(X) minimum av f på den angitte ABCDE. Hvis X er det siste skjæringspunktet mellom nivålinjen og settet ABCDE, så er f(X) maksimum på settet av mulige løsninger. Hvis for en>-? linjen f=a skjærer settet med tillatte løsninger, deretter min(f)= -?. Hvis dette skjer når a>+?, så max(f)=+?.

I vårt eksempel krysser linjen f=a området ABCDE i punktet С(4;1). Siden dette er det siste skjæringspunktet, max(f)=f(C)=f(4;1)=19.

Løs ulikhetssystemet grafisk. Finn hjørneløsninger.

x1>=0, x2>=0

>med(plott);

>med(plottverktøy);

> S1:=løse((f1x = X6, f2x = X6), );

Svar: Alle punktene Si hvor i=1..10 hvor x og y er positive.

Område avgrenset av disse punktene: (54/11.2/11) (5/7.60/7) (0.5) (10/3, 10/3)

Trinn 3. Hver elev får ett av 20 alternativer, der eleven blir bedt om å løse ulikheten selvstendig ved hjelp av en grafisk metode, og resten av eksemplene som lekser.

Leksjon №4 Grafisk løsning av et lineært programmeringsproblem

Leksjonstype: leksjon lære nytt materiale.

Type leksjon: Forelesning + oppgaveløsningstime.

Varighet: 2 timer.

Mål: 1) Studer den grafiske løsningen av det lineære programmeringsproblemet.

2) Lær å bruke Maple-programmet når du løser et lineært programmeringsproblem.

2) Utvikle persepsjon, tenkning.

Timeplan: Trinn 1: lære nytt materiale.

Trinn 2: Utvikling av nytt materiale i Maple matematisk pakke.

Trinn 3: kontroll av studert materiale og lekser.

Kursfremgang.

Den grafiske metoden er ganske enkel og oversiktlig for å løse lineære programmeringsproblemer med to variabler. Den er basert på geometrisk representasjon av tillatte løsninger og digitalt filter av problemet.

Hver av ulikhetene til det lineære programmeringsproblemet (1.2) definerer et visst halvplan på koordinatplanet (fig. 2.1), og systemet av ulikheter som helhet definerer skjæringspunktet mellom de tilsvarende planene. Settet med skjæringspunkter for disse halvplanene kalles domene for gjennomførbare løsninger(ODR). ODR er alltid konveks figur, dvs. som har følgende egenskap: hvis to punkter A og B tilhører denne figuren, så tilhører hele segmentet AB den. ODR kan representeres grafisk av en konveks polygon, et ubegrenset konveks polygonalt område, et segment, en stråle, et enkelt punkt. Hvis systemet med begrensninger av problem (1.2) er inkonsekvent, er ODE et tomt sett.

Alt det ovennevnte gjelder også for tilfellet når systemet med begrensninger (1.2) inkluderer likheter, siden enhver likhet

kan representeres som et system av to ulikheter (se fig. 2.1)

Det digitale filteret med en fast verdi definerer en rett linje på planet. Ved å endre verdiene til L får vi en familie av parallelle linjer, kalt nivålinjer.

Dette skyldes det faktum at en endring i verdien av L bare vil endre lengden på segmentet avskåret av nivålinjen på aksen (initialordinaten), og helningen til den rette linjen vil forbli konstant (se fig. 2.1). Derfor, for løsningen, vil det være nok å konstruere en av nivålinjene, vilkårlig velge verdien av L.

Vektoren med koordinater fra CF-koeffisientene ved og er vinkelrett på hver av nivålinjene (se fig. 2.1). Retningen til vektoren er den samme som retningen økende CF, som er et viktig poeng for å løse problemer. Retning synkende Det digitale filteret er motsatt av retningen til vektoren.

Essensen av den grafiske metoden er som følger. I retningen (mot retningen) av vektoren i ODR utføres søket etter det optimale punktet. Det optimale punktet er punktet som nivålinjen går gjennom, tilsvarende funksjonens største (minste) verdi. Den optimale løsningen er alltid plassert på ODT-grensen, for eksempel ved det siste toppunktet til ODT-polygonet som mållinjen passerer, eller på hele siden.

Når du søker etter den optimale løsningen på problemer med lineær programmering, er følgende situasjoner mulige: det er en unik løsning på problemet; det er et uendelig antall løsninger (alternativt optium); CF er ikke begrenset; området med gjennomførbare løsninger er et enkelt punkt; problemet har ingen løsninger.

Figur 2.1 Geometrisk tolkning av begrensningene og CF for problemet.

Metodikk for å løse LP-oppgaver med en grafisk metode

I. I begrensningene til oppgave (1.2), bytt ut tegn på ulikheter med tegn på eksakte likheter og konstruer de tilsvarende rette linjene.

II. Finn og skyggelegg halvplanene som er tillatt av hver av ulikhetsbegrensningene for problemet (1.2). For å gjøre dette, må du erstatte koordinatene til et punkt [for eksempel (0; 0)] med en spesifikk ulikhet og kontrollere sannheten til den resulterende ulikheten.

Hvis en ekte ulikhet,

deretter det er nødvendig å skygge halvplanet som inneholder det gitte punktet;

ellers(ulikheten er falsk) er det nødvendig å skyggelegge halvplanet som ikke inneholder det gitte punktet.

Siden og må være ikke-negative, vil deres gyldige verdier alltid være over aksen og til høyre for aksen, dvs. i I-kvadranten.

Likhetsbegrensninger tillater bare de punktene som ligger på den tilsvarende linjen. Derfor er det nødvendig å markere slike linjer på grafen.

III. Definer ODR som en del av flyet som samtidig tilhører alle tillatte områder, og velg det. I fravær av en SDE har problemet ingen løsninger.

IV. Hvis ODS ikke er et tomt sett, er det nødvendig å konstruere mållinjen, dvs. hvilken som helst av nivålinjene (hvor L er et vilkårlig tall, for eksempel et multiplum av og, dvs. praktisk for beregninger). Metoden for konstruksjon ligner på konstruksjonen av direkte begrensninger.

V. Konstruer en vektor som starter ved punktet (0;0) og slutter ved punktet. Hvis mållinjen og vektoren er bygd riktig, vil de gjøre det vinkelrett.

VI. Når du søker etter maksimum av det digitale filteret, er det nødvendig å flytte mållinjen i retningen vektor, når du søker etter minimum av det digitale filteret - mot retning vektor. Den siste toppen av ODR i bevegelsesretningen vil være maksimums- eller minimumspunktet til CF. Hvis det ikke er noe slikt punkt, kan vi konkludere med det ubegrensetheten til det digitale filteret på settet med planer ovenfra (når du søker etter et maksimum) eller nedenfra (når du søker etter et minimum).

VII. Bestem koordinatene til punktet maks (min) til det digitale filteret og beregn verdien til det digitale filteret. For å beregne koordinatene til det optimale punktet, er det nødvendig å løse systemet med ligninger av rette linjer i skjæringspunktet det er plassert.

Løs et lineært programmeringsproblem

1. f(x)=2x1+x2 ->ekstr

x1>=0, x2>=0

>plott((a+b<=3,a+3*b<=5,5*a-b<=5,a+b>=0,a>=0,b>=0), a=-2..5, b=-2..5, alternativer mulig=(farge=rød),

optionsopen=(farge=blå, tykkelse=2),

optionsclosed=(farge=grønn, tykkelse=3),

optionsexcluded=(farge=gul));

> med (enkelt):

> C:=(x+y<=3, x+3*y <=5, 5*x-y <=5,x+y >=0};

> dp:=oppsett((x+y<=3, x+3*y <=5, 5*x-y <=5,x+y >=0});

>n:=basis(dp);

W display(C,);

> L:=cterm(C);

W X:=dual(f,C,p);

W f_max:=subs(R,f);

W R1:=minimer(f,C,Ikke-NEGATIV);

f_min:=subs(R1,f);

SVAR: Når x 1 =5/4 x 2 =5/4 f_max=15/4; På x 1 =0 x 2 =0 f_min=0;

Leksjon #5

Leksjonstype: leksjonskontroll + leksjonslæring nytt materiale. Type leksjon: Forelesning.

Varighet: 2 timer.

Mål:1) Sjekk og konsolider kunnskap om tidligere materiale i tidligere leksjoner.

2) Lær en ny metode for å løse matrisespill.

3) utvikle hukommelse, matematisk tenkning og oppmerksomhet.

Trinn 1: sjekk lekser i form av selvstendig arbeid.

Trinn 2: gi en kort beskrivelse av sikksakkmetoden

Trinn 3: konsolidere nytt materiale og gi lekser.

Kursfremgang.

Lineære programmeringsmetoder - numeriske metoder for å løse optimaliseringsproblemer som er redusert til formelle modeller for lineær programmering.

Som kjent kan ethvert lineært programmeringsproblem reduseres til en kanonisk modell for å minimere en lineær objektivfunksjon med lineære likhetstype begrensninger. Siden antallet variabler i et lineært programmeringsproblem er større enn antall begrensninger (n > m), kan en løsning oppnås ved å likestille (n - m) variabler til null, kalt gratis. De resterende m variablene, kalt grunnleggende, kan lett bestemmes fra systemet med likhetsbegrensninger ved de vanlige metodene for lineær algebra. Hvis det finnes en løsning, kalles den grunnleggende. Hvis den grunnleggende løsningen er tillatt, kalles den grunnleggende tillatt. Geometrisk tilsvarer grunnleggende gjennomførbare løsninger toppunktene (ekstrempunkter) til et konveks polyeder, noe som begrenser settet med mulige løsninger. Hvis et lineært programmeringsproblem har optimale løsninger, er minst én av dem grunnleggende.

Ovennevnte betraktninger betyr at når man søker etter en optimal løsning på et lineært programmeringsproblem, er det tilstrekkelig å begrense oss til oppregning av grunnleggende tillatte løsninger. Antall grunnleggende løsninger er lik antall kombinasjoner av n variabler i m:

C = m n! /nm! * (n - m)!

og kan være store nok til å telle dem opp ved direkte oppregning i sanntid. Det faktum at ikke alle grunnleggende løsninger er tillatte, endrer ikke essensen av problemet, siden for å vurdere tillattheten til en grunnleggende løsning, må den innhentes.

Problemet med rasjonell oppregning av grunnleggende løsninger for et lineært programmeringsproblem ble først løst av J. Danzig. Simplexmetoden som er foreslått av ham er den desidert vanligste generelle lineære programmeringsmetoden. Simplex-metoden implementerer en rettet oppregning av mulige grunnleggende løsninger langs de tilsvarende ytterpunktene til det konvekse polyederet av gjennomførbare løsninger som en iterativ prosess, hvor verdiene til den objektive funksjonen strengt tatt avtar ved hvert trinn. Overgangen mellom ytterpunktene utføres langs kantene av det konvekse polyederet av mulige løsninger i samsvar med enkle lineær-algebraiske transformasjoner av systemet med begrensninger. Siden antall ekstreme punkter er endelige, og objektivfunksjonen er lineær, konvergerer simpleksmetoden til det globale minimum i et begrenset antall trinn ved å sortere gjennom ekstrempunktene i retning av avtagende objektivfunksjon.

Praksis har vist at for de fleste anvendte problemer med lineær programmering, tillater simpleksmetoden å finne den optimale løsningen i et relativt lite antall trinn sammenlignet med det totale antallet ekstreme punkter for et tillatt polyeder. Samtidig er det kjent at for noen lineære programmeringsproblemer med en spesielt valgt form av det tillatte området, fører bruken av simpleksmetoden til en fullstendig oppregning av ekstrempunktene. Dette faktum stimulerte til en viss grad søket etter nye effektive metoder for å løse et lineært programmeringsproblem, basert på andre ideer enn simpleksmetoden, som tillater å løse ethvert lineært programmeringsproblem i et begrenset antall trinn, betydelig mindre enn antallet ekstreme poeng.

Blant de polynomiske lineære programmeringsmetodene som er uforanderlige for konfigurasjonen av rekkevidden av tillatte verdier, er den vanligste metoden til L.G. Khachiyan. Men selv om denne metoden har et polynomisk kompleksitetsestimat avhengig av problemets dimensjon, viser den seg likevel å være ikke-konkurransedyktig sammenlignet med simpleksmetoden. Grunnen til dette er at avhengigheten av antall iterasjoner av simpleksmetoden av problemets dimensjon er uttrykt med et 3. ordens polynom for de fleste praktiske problemer, mens i Khachiyan-metoden har denne avhengigheten alltid en orden på minst 4. Dette faktum er av avgjørende betydning for praksis, der anvendte problemkomplekser for simpleksmetoden er ekstremt sjeldne.

Det bør også bemerkes at for anvendte problemer med lineær programmering som er viktige i praktisk forstand, er det utviklet spesielle metoder som tar hensyn til den spesifikke karakteren av begrensningene til problemet. Spesielt, for et homogent transportproblem, brukes spesielle algoritmer for å velge startgrunnlaget, hvorav de mest kjente er den nordvestlige hjørnemetoden og den omtrentlige Vogel-metoden, og den algoritmiske implementeringen av selve simpleksmetoden er nær spesifikasjonene til problemet. For å løse det lineære tilordningsproblemet (valgoppgave), i stedet for simpleksmetoden, brukes vanligvis enten den ungarske algoritmen, basert på tolkningen av problemet i form av grafteori som problemet med å finne maksimal vektet perfekt matching i en todelt graf, eller Mack-metoden.

Løs et 3x3 matrisespill

f(x)=x 1 +x 2 +x 3

x1>=0, x2>=0, x3>=0

> med (enkelt):

> C:=( 0*x+3*y+2*z<=1, 2*x+0*y+1*z <=1, 3*x+0*y+0*z <=1};

W display(C,);

> mulig(C, IKKE NEGATIV, "NyC", "Transformer");

> S:=dual(f,C,p);

W R:=maksimer(f,C,Ikke-NEGATIV);

W f_max:=subs(R,f);

W R1:=minimer(S,IKKE NEGATIV);

>G:=pl+p2+p3;

> f_min:=subs(R1,G);

Finn prisen på spillet

> V:=1/f_maks;

Finne den optimale strategien for den første spilleren >X:=V*Rl;

Finne den optimale strategien for den andre spilleren

SVAR: Når X=(3/7, 3/7,1/7) V=9/7; Med Y=(3/7,1/7,3/7) V=9/7;

Hver elev får ett av 20 alternativer, der eleven blir bedt om å løse 2x2 matrisespillet selvstendig, og resten av eksemplene som lekser.

Mål:

1. Gjenta kunnskap om den kvadratiske funksjonen.

2. Gjør deg kjent med metoden for å løse en kvadratisk ulikhet basert på egenskapene til en kvadratisk funksjon.

Utstyr: multimedia, presentasjon “Løse kvadratulikheter”, kort for selvstendig arbeid, tabell “Algorithm for solving square inequalities”, kontrollark med karbonpapir.

UNDER KLASSENE

I. Organisasjonsmoment (1 min).

II. Oppdatering av grunnleggende kunnskap(10 min).

1. Plotte en kvadratisk funksjon y \u003d x 2 -6x + 8<Рисунок 1. Приложение >

• bestemmelse av retningen til grenene til parabelen;
• bestemme koordinatene til parabelens toppunkt;
• bestemmelse av symmetriaksen;
• bestemmelse av skjæringspunkter med koordinatakser;
• finne flere poeng.

2. Bestem ut fra tegningen fortegnet til koeffisienten a og antall røtter til ligningen ax 2 +in+c=0.<Рисунок 2. Приложение >

3. Bestem i henhold til grafen til funksjonen y \u003d x 2 -4x + 3:

• Hva er nullpunktene til funksjonen;
• Finn intervallene som funksjonen tar positive verdier på;
• Finn intervallene som funksjonen tar negative verdier på;
• Ved hvilke verdier av x øker funksjonen, og med hvilke verdier synker den?<Рисунок 3>

4. Lære ny kunnskap (12 min.)

Oppgave 1: Løs ulikheten: x 2 +4x-5 > 0.

Ulikheten tilfredsstilles av x-verdiene der verdiene til funksjonen y=x 2 +4x-5 er lik null eller positiv, det vil si de x-verdiene der punktene til parablen ligger på x-aksen eller over denne aksen.

La oss bygge en graf av funksjonen y \u003d x 2 + 4x-5.

Med x-aksen: X 2 + 4x-5 \u003d 0. I følge Vieta-teoremet: x 1 \u003d 1, x 2 \u003d -5. Poeng(1;0),(-5;0).

Med y-aksen: y(0)=-5. Poeng (0;-5).

Ytterligere poeng: y(-1)=-8, y(2)=7.<Рисунок 4>

Bunnlinje: Verdiene til funksjonen er positive og lik null (ikke-negative) når

• Er det nødvendig å plotte en kvadratisk funksjon i detalj hver gang for å løse en ulikhet?
• Trenger jeg å finne koordinatene til toppunktet til parablen?
• Hva er viktig? (a, x 1, x 2)

Konklusjon: For å løse en kvadratisk ulikhet er det nok å bestemme nullpunktene til funksjonen, retningen til grenene til parablen og bygge en skisse av grafen.

Oppgave 2: Løs ulikheten: x 2 -6x + 8 < 0.

Løsning: La oss bestemme røttene til ligningen x 2 -6x+8=0.

I følge Vieta-teoremet: x 1 \u003d 2, x 2 \u003d 4.

a>0 - grenene til parablen er rettet oppover.

La oss lage en skisse av grafen.<Рисунок 5>

Vi markerer med tegn "+" og "–" intervallene som funksjonen tar positive og negative verdier på. La oss velge intervallet vi trenger.

Svar: X€.

5. Konsolidering av nytt materiale (7 min).

nr. 660 (3). Eleven bestemmer i styret.

Løs ulikhet-x 2 -3x-2<0.

X2-3x-2=0; x 2 +3x+2=0;

røttene til ligningen: x 1 \u003d -1, x 2 \u003d -2.

en<0 – ветви вниз. <Рисунок 6>

nr. 660 (1) - Arbeid med skjult brett.

Løs ulikheten x 2 -3x + 2 < 0.

Løsning: x 2 -3x+2=0.

La oss finne røttene: ; x 1 = 1, x 2 = 2.

a>0 - grener opp. Vi bygger en skisse av grafen til funksjonen.<Рисунок 7>

Algoritme:

1. Finn røttene til ligningen akse 2 + i + c \u003d 0.
2. Merk dem på koordinatplanet.
3. Bestem retningen til grenene til parabelen.
4. Skisser et diagram.
5. Merk med tegnene "+" og "-", intervallene som funksjonen tar positive og negative verdier på.
6. Velg ønsket intervall.

6. Selvstendig arbeid (10 min.).

(Resepsjon - karbonpapir).

Kontrollarket signeres og overleveres til lærer for verifikasjon og rettingsfastsettelse.

Styrets egenkontroll.

Ekstra oppgave:

№ 670. Finn verdiene til x der funksjonen tar verdier som ikke er større enn null: y=x 2 +6x-9.

7. Lekser (2 min).

№ 660 (2, 4), № 661 (2, 4).

Fyll ut tabellen:

D	Ulikhet	en	Tegning	Løsning
D>0	akse 2 + inn + s > 0	a>0
D>0	akse 2 + inn + s > 0	en<0
D>0	akse 2 + inn + s < 0	a>0
D>0	akse 2 + inn + s < 0	en<0

8. Oppsummering av leksjonen (3 min).

1. Gjengi algoritmen for å løse ulikheter.
2. Hvem gjorde en god jobb?
3. Hva virket vanskelig?

Den grafiske metoden er en av hovedmetodene for å løse kvadratiske ulikheter. I artikkelen vil vi presentere en algoritme for å bruke den grafiske metoden, og deretter vurdere spesielle tilfeller ved hjelp av eksempler.

Essensen av den grafiske metoden

Metoden er anvendelig for å løse eventuelle ulikheter, ikke bare firkantede. Dens essens er dette: høyre og venstre del av ulikheten betraktes som to separate funksjoner y \u003d f (x) og y \u003d g (x), grafene deres er bygget i et rektangulært koordinatsystem, og de ser på hvilke av grafene er plassert over den andre, og på hvilke intervaller. Intervallene vurderes som følger:

Definisjon 1

• løsningene på ulikheten f(x) > g(x) er intervallene der grafen til funksjonen f er høyere enn grafen til funksjonen g;
• løsningene av ulikheten f (x) ≥ g (x) er intervallene der grafen til funksjonen f ikke er lavere enn grafen til funksjonen g;
• løsninger av ulikheten f (x)< g (x) являются интервалы, где график функции f ниже графика функции g ;
• løsningene av ulikheten f (x) ≤ g (x) er intervallene der grafen til funksjonen f ikke er høyere enn grafen til funksjonen g;
• abscissen til skjæringspunktene til grafene til funksjonene f og g er løsninger på ligningen f(x) = g(x) .

Vurder algoritmen ovenfor med et eksempel. For å gjøre dette, ta den kvadratiske ulikheten a x 2 + b x + c< 0 (≤ , >, ≥) og utlede to funksjoner fra den. Venstre side av ulikheten vil tilsvare y = a x 2 + b x + c (i dette tilfellet f (x) = a x 2 + b x + c), og den høyre y = 0 (i dette tilfellet g (x) = 0 ).

Grafen til den første funksjonen er en parabel, den andre er en rett linje som faller sammen med x-aksen. La oss analysere posisjonen til parablen i forhold til x-aksen. For å gjøre dette vil vi utføre en skjematisk tegning.

Parabolens grener er rettet oppover. Den skjærer x-aksen i punkter x 1 og x2. Koeffisient a til denne saken positiv, siden det er han som er ansvarlig for retningen til grenene til parabelen. Diskriminanten er positiv, noe som indikerer at kvadrattrinomialet har to røtter. a x 2 + b x + c. Vi betegner røttene til trinomialet som x 1 og x2, og det ble akseptert x 1< x 2 , siden de på O x-aksen avbildet et punkt med abscisse x 1 til venstre for punktet med abscissen x2.

Delene av parabelen som ligger over O x-aksen er merket med rødt, under - med blått. Dette vil tillate oss å gjøre tegningen mer visuell.

La oss velge hullene som tilsvarer disse delene og markere dem i figuren med felt av en bestemt farge.

Vi markerte med rødt intervallene (− ∞, x 1) og (x 2, + ∞), på dem er parablen over O x-aksen. De er a x 2 + b x + c > 0 . I blått markerte vi intervallet (x 1 , x 2) , som er løsningen på ulikheten a x 2 + b x + c< 0 . Числа x 1 и x 2 будут отвечать равенству a · x 2 + b · x + c = 0 .

La oss gjøre et kort notat om løsningen. For a > 0 og D = b 2 − 4 a c > 0 (eller D " = D 4 > 0 for en jevn koeffisient b) får vi:

• løsningen på den kvadratiske ulikheten a x 2 + b x + c > 0 er (− ∞ , x 1) ∪ (x 2 , + ∞) eller på annen måte x< x 1 , x >x2;
• løsningen på den kvadratiske ulikheten a · x 2 + b · x + c ≥ 0 er (− ∞ , x 1 ] ∪ [ x 2 , + ∞) eller i annen notasjon x ≤ x 1 , x ≥ x 2 ;
• løsning av den kvadratiske ulikheten a x 2 + b x + c< 0 является (x 1 , x 2) или в другой записи x 1 < x < x 2 ;
• løsningen på den kvadratiske ulikheten a x 2 + b x + c ≤ 0 er [ x 1 , x 2 ] eller i annen notasjon x 1 ≤ x ≤ x 2 ,

hvor x 1 og x 2 er røttene til kvadrattrinomialet a x 2 + b x + c, og x 1< x 2 .

I denne figuren berører parablen O x-aksen på bare ett punkt, som er indikert som x0 a > 0. D=0, derfor har kvadrattrinomialet én rot x0.

Parablen er plassert helt over O x-aksen, bortsett fra kontaktpunktet til koordinataksen. Farg hullene (− ∞ , x 0) , (x 0 , ∞) .

La oss skrive ned resultatene. På a > 0 og D=0:

• løsning av den kvadratiske ulikheten a x 2 + b x + c > 0 er (− ∞ , x 0) ∪ (x 0 , + ∞) eller i annen notasjon x ≠ x0;
• løsning av den kvadratiske ulikheten a x 2 + b x + c ≥ 0 er (− ∞ , + ∞) eller i en annen notasjon x ∈ R ;
• kvadratisk ulikhet a x 2 + b x + c< 0 har ingen løsninger (det er ingen intervaller der parablen er plassert under aksen O x);
• kvadratisk ulikhet a x 2 + b x + c ≤ 0 har den eneste løsningen x = x0(det er gitt av kontaktpunktet),

hvor x0- roten til et kvadratisk trinomium a x 2 + b x + c.

Tenk på det tredje tilfellet, når grenene til parabelen er rettet oppover og ikke berører aksen O x. Parabolens grener peker oppover, noe som betyr at a > 0. Det kvadratiske trinomium har ingen reelle røtter pga D< 0 .

Det er ingen intervaller på grafen hvor parabelen vil være under x-aksen. Dette vil vi ta hensyn til når vi velger farge til tegningen vår.

Det viser seg at når a > 0 og D< 0 løsning av kvadratulikheter a x 2 + b x + c > 0 og a x 2 + b x + c ≥ 0 er settet av alle reelle tall, og ulikhetene a x 2 + b x + c< 0 og a x 2 + b x + c ≤ 0 ikke har løsninger.

Det gjenstår for oss å vurdere tre alternativer når grenene til parablen er rettet nedover. Vi trenger ikke å dvele ved disse tre alternativene, siden når vi multipliserer begge deler av ulikheten med − 1, får vi en ekvivalent ulikhet med en positiv koeffisient ved x 2.

Betraktningen av forrige del av artikkelen forberedte oss på oppfatningen av algoritmen for å løse ulikheter ved hjelp av en grafisk metode. For å utføre beregninger må vi bruke en tegning hver gang, som viser koordinatlinjen O x og en parabel som tilsvarer en kvadratisk funksjon y = a x 2 + b x + c. I de fleste tilfeller vil vi ikke avbilde O y-aksen, siden den ikke er nødvendig for beregninger og bare vil overbelaste tegningen.

For å konstruere en parabel må vi vite to ting:

Definisjon 2

• retningen til grenene, som bestemmes av verdien av koeffisienten a ;
• tilstedeværelsen av skjæringspunkter for parabelen og abscisseaksen, som bestemmes av verdien av diskriminanten til kvadrattrinomialet a · x 2 + b · x + c.

Vi vil utpeke skjæringspunktene og tangens på vanlig måte når vi løser ikke-strenge ulikheter og tomme når vi løser strenge.

Ved å ha en ferdig tegning kan du gå videre til neste trinn i løsningen. Det innebærer å bestemme intervallene som parabelen er plassert over eller under O x-aksen. Spaltene og skjæringspunktene er løsningen på den kvadratiske ulikheten. Hvis det ikke er noen skjærings- eller tangenspunkter og ingen intervaller, anses det at ulikheten spesifisert i betingelsene for problemet ikke har noen løsninger.

La oss nå løse noen kvadratiske ulikheter ved å bruke algoritmen ovenfor.

Eksempel 1

Det er nødvendig å løse ulikheten 2 · x 2 + 5 1 3 · x - 2 grafisk.

Løsning

La oss tegne en graf av den kvadratiske funksjonen y = 2 · x 2 + 5 1 3 · x - 2 . Koeffisient kl x2 positivt, fordi 2 . Dette betyr at grenene til parablen vil være rettet oppover.

Vi beregner diskriminanten til kvadrattrinomialet 2 · x 2 + 5 1 3 · x - 2 for å finne ut om parablen har fellespunkter med x-aksen. Vi får:

D \u003d 5 1 3 2 - 4 2 (- 2) \u003d 400 9

Som du kan se, er D større enn null, derfor har vi to skjæringspunkter: x 1 \u003d - 5 1 3 - 400 9 2 2 og x 2 \u003d - 5 1 3 + 400 9 2 2, det vil si, x 1 = − 3 og x 2 = 1 3.

Vi løser en ikke-streng ulikhet, derfor setter vi vanlige punkter på grafen. Vi tegner en parabel. Som du ser har tegningen samme utseende som i den første malen vi gjennomgikk.

Vår ulikhet har tegnet ≤ . Derfor må vi velge hullene på grafen der parabelen er plassert under O x-aksen og legge til skjæringspunkter til dem.

Intervallet vi trenger er − 3 , 1 3 . Vi legger til skjæringspunkter og får et numerisk segment − 3 , 1 3 . Dette er løsningen på problemet vårt. Svaret kan skrives som en dobbel ulikhet: − 3 ≤ x ≤ 1 3 .

Svar:− 3 , 1 3 eller − 3 ≤ x ≤ 1 3 .

Eksempel 2

− x 2 + 16 x − 63< 0 grafisk metode.

Løsning

Kvadratet til variabelen har en negativ numerisk koeffisient, så grenene til parablen vil peke nedover. Regn ut den fjerde delen av diskriminanten D" = 8 2 − (− 1) (− 63) = 64 − 63 = 1. Dette resultatet forteller oss at det vil være to skjæringspunkter.

La oss beregne røttene til kvadrattrinomialet: x 1 \u003d - 8 + 1 - 1 og x 2 \u003d - 8 - 1 - 1, x 1 \u003d 7 og x2 = 9.

Det viser seg at parabelen skjærer x-aksen i punkter 7 og 9 . Vi markerer disse punktene på grafen som tomme, siden vi jobber med streng ulikhet. Etter det tegner vi en parabel som skjærer O x-aksen på de markerte punktene.

Vi vil være interessert i intervallene som parabelen er plassert under O x-aksen. Merk disse intervallene med blått.

Vi får svaret: løsningen på ulikheten er intervallene (− ∞ , 7), (9 , + ∞) .

Svar:(− ∞ , 7) ∪ (9 , + ∞) eller i annen notasjon x< 7 , x > 9 .

I tilfeller der diskriminanten til et kvadrattrinomial er null, må man passe på å vurdere om abscissen til tangentpunktet skal inkluderes i svaret. For å ta den riktige avgjørelsen er det nødvendig å ta hensyn til ulikhetstegnet. I strenge ulikheter er kontaktpunktet til abscisseaksen ikke en løsning på ulikheten, i ikke-strenge er det det.

Eksempel 3

Løs den kvadratiske ulikheten 10 x 2 − 14 x + 4 , 9 ≤ 0 grafisk metode.

Løsning

Grenene til parabelen vil i dette tilfellet være rettet oppover. Den vil berøre O x-aksen ved punktet 0, 7, siden

La oss plotte funksjonen y = 10 x 2 − 14 x + 4, 9. Dens grener er rettet oppover, siden koeffisienten kl x2 positiv, og den berører x-aksen i punktet med x-aksen 0 , 7 , fordi D" = (− 7) 2 − 10 4 , 9 = 0, hvorfra x 0 = 7 10 eller 0 , 7 .

La oss sette et poeng og tegne en parabel.

Vi løser en ikke-streng ulikhet med tegnet ≤ . Følgelig. Vi vil være interessert i intervallene parablen er plassert under x-aksen og kontaktpunktet. Det er ingen intervaller i figuren som vil tilfredsstille våre betingelser. Det er bare et berøringspunkt 0, 7. Dette er den ønskede løsningen.

Svar: Ulikheten har bare én løsning 0, 7.

Eksempel 4

Løs den kvadratiske ulikheten – x 2 + 8 x – 16< 0 .

Løsning

Parabolens grener peker nedover. Diskriminanten er null. Krysspunkt x0 = 4.

Vi markerer kontaktpunktet på x-aksen og tegner en parabel.

Vi har å gjøre med en streng ulikhet. Derfor er vi interessert i intervallene som parablen befinner seg under O x-aksen. La oss merke dem med blått.

Punktet med abscisse 4 er ingen løsning, siden parablen ikke er plassert under O x-aksen ved den. Derfor får vi to intervaller (− ∞ , 4), (4 , + ∞) .

Svar: (− ∞ , 4) ∪ (4 , + ∞) eller i annen notasjon x ≠ 4 .

Ikke alltid med en negativ verdi av diskriminanten, vil ulikheten ikke ha løsninger. Det er tilfeller der løsningen vil være settet av alle reelle tall.

Eksempel 5

Løs den kvadratiske ulikheten 3 · x 2 + 1 > 0 grafisk.

Løsning

Koeffisienten a er positiv. Diskriminanten er negativ. Parabolens grener vil være rettet oppover. Det er ingen skjæringspunkter for parabelen med O x-aksen. La oss gå til tegningen.

Vi jobber med streng ulikhet, som har et >-tegn. Det betyr at vi er interessert i intervallene parablen befinner seg over x-aksen. Dette er akkurat tilfelle når svaret er settet av alle reelle tall.

Svar:(− ∞ , + ∞) eller så x ∈ R .

Eksempel 6

Det er nødvendig å finne en løsning på ulikheten − 2 x 2 − 7 x − 12 ≥ 0 grafisk måte.

Løsning

Parabolens grener peker nedover. Diskriminanten er negativ, derfor er det ingen fellespunkter for parabelen og x-aksen. La oss gå til tegningen.

Vi jobber med en ikke-streng ulikhet med tegnet ≥ , derfor er vi interessert i intervallene som parablen er plassert over x-aksen. Etter timeplanen å dømme er det ingen slike hull. Dette betyr at ulikheten gitt i tilstanden til problemet ikke har noen løsninger.

Svar: Det finnes ingen løsninger.

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter

Første nivå

Løse ligninger, ulikheter, systemer ved hjelp av funksjonsgrafer. Visuell guide (2019)

Mange oppgaver som vi er vant til å regne ut rent algebraisk kan løses mye enklere og raskere, bruk av funksjonsgrafer vil hjelpe oss med dette. Du sier "hvordan?" å tegne noe, og hva skal man tegne? Stol på meg, noen ganger er det mer praktisk og enklere. Skal vi starte? La oss starte med ligninger!

Grafisk løsning av ligninger

Grafisk løsning av lineære ligninger

Som du allerede vet, er grafen til en lineær ligning en rett linje, derav navnet på denne typen. Lineære ligninger er ganske enkle å løse algebraisk - vi overfører alle ukjente til den ene siden av ligningen, alt vi vet - til den andre, og vips! Vi har funnet roten. Nå skal jeg vise deg hvordan du gjør det grafisk måte.

Så du har en ligning:

Hvordan løse det?
valg 1, og det vanligste er å flytte de ukjente til den ene siden, og de kjente til den andre, får vi:

Og nå bygger vi. Hva fikk du?

Hva tror du er roten til ligningen vår? Det stemmer, koordinaten til skjæringspunktet til grafene:

Vårt svar er

Det er hele visdommen med den grafiske løsningen. Som du enkelt kan sjekke, er roten til ligningen vår et tall!

Som jeg sa ovenfor, er dette det vanligste alternativet, nær den algebraiske løsningen, men du kan løse det på en annen måte. For å vurdere en alternativ løsning, la oss gå tilbake til ligningen vår:

Denne gangen skal vi ikke flytte noe fra side til side, men bygge grafer direkte, slik de er nå:

Bygget? Se!

Hva er løsningen denne gangen? Greit. Det samme er koordinaten til skjæringspunktet for grafene:

Og igjen er svaret vårt.

Som du kan se, med lineære ligninger, er alt ekstremt enkelt. Det er på tide å vurdere noe mer komplisert... For eksempel, grafisk løsning av andregradsligninger.

Grafisk løsning av andregradsligninger

Så la oss nå begynne å løse den andregradsligningen. La oss si at du må finne røttene til denne ligningen:

Selvfølgelig kan du nå begynne å telle gjennom diskriminanten, eller i henhold til Vieta-teoremet, men mange nerver gjør feil når du multipliserer eller kvadrerer, spesielt hvis eksemplet er med store tall, og du vil som kjent ikke ha en kalkulator på eksamen ... La oss derfor prøve å slappe av litt og tegne mens vi løser denne ligningen.

Du kan finne løsninger på denne ligningen grafisk. forskjellige måter. Vurder de ulike alternativene, så velger du selv hvilken du liker best.

Metode 1. Direkte

Vi bygger bare en parabel i henhold til denne ligningen:

For å gjøre det raskt, vil jeg gi deg et lite hint: det er praktisk å starte konstruksjonen ved å bestemme toppunktet til parabelen. Følgende formler vil hjelpe med å bestemme koordinatene til toppunktet til parablen:

Du sier "Stopp! Formelen for er veldig lik formelen for å finne diskriminanten "ja, det er det, og dette er en stor ulempe ved" direkte "å bygge en parabel for å finne røttene. La oss imidlertid telle til slutten, og så skal jeg vise deg hvordan du kan gjøre det mye (mye!) enklere!

Har du telt? Hva er koordinatene til toppunktet til parablen? La oss finne ut av det sammen:

Nøyaktig samme svar? Bra gjort! Og nå kjenner vi allerede koordinatene til toppunktet, og for å bygge en parabel trenger vi flere ... poeng. Hva synes du, hvor mange minimumspoeng trenger vi? Riktig,.

Du vet at en parabel er symmetrisk om toppunktet, for eksempel:

Følgelig trenger vi ytterligere to punkter langs venstre eller høyre gren av parabelen, og i fremtiden vil vi symmetrisk reflektere disse punktene på motsatt side:

Vi går tilbake til parabelen vår. For vårt tilfelle, poenget. Vi trenger henholdsvis to poeng til, kan vi ta positive, men kan vi ta negative? Hva er de beste poengene for deg? Det er mer praktisk for meg å jobbe med positive, så jeg skal regne med og.

Nå har vi tre punkter, og vi kan enkelt bygge parabelen vår ved å reflektere de to siste punktene på toppen:

Hva tror du er løsningen på ligningen? Det er riktig, punktene der, det vil si, og. Fordi.

Og hvis vi sier det, så betyr det at det også må være likt, eller.

Bare? Vi er ferdige med å løse ligningen med deg på en kompleks grafisk måte, ellers kommer det flere!

Selvfølgelig kan du sjekke svaret vårt algebraisk - du kan beregne røttene gjennom Vieta-setningen eller Diskriminanten. Hva fikk du? Samme? Her ser du! La oss nå se en veldig enkel grafisk løsning, jeg er sikker på at du vil like den veldig godt!

Metode 2. Del opp i flere funksjoner

La oss ta alt også, ligningen vår: , men vi skriver det på en litt annen måte, nemlig:

Kan vi skrive det slik? Det kan vi, siden transformasjonen er ekvivalent. La oss se videre.

La oss bygge to funksjoner separat:

1. - Grafen er en enkel parabel, som du enkelt kan bygge selv uten å definere toppunktet ved å bruke formler og lage en tabell for å bestemme andre punkter.
2. - Grafen er en rett linje, som du like gjerne kan bygge ved å estimere verdiene og i hodet uten engang å ty til en kalkulator.

Bygget? Sammenlign med det jeg fikk:

Hva tror du er roten til ligningen i dette tilfellet? Riktig! Koordinater etter, som oppnås ved å krysse to grafer, og det vil si:

Følgelig er løsningen på denne ligningen:

Hva sier du? Enig, denne løsningsmetoden er mye enklere enn den forrige og enda enklere enn å lete etter røtter gjennom diskriminanten! I så fall, prøv denne metoden for å løse følgende ligning:

Hva fikk du? La oss sammenligne våre diagrammer:

Grafene viser at svarene er:

Klarte du deg? Bra gjort! La oss nå se på likningene litt mer kompliserte, nemlig løsningen av blandede likninger, det vil si likninger som inneholder funksjoner av forskjellige typer.

Grafisk løsning av blandede ligninger

La oss nå prøve å løse følgende:

Selvfølgelig kan du bringe alt til en fellesnevner, finne røttene til den resulterende ligningen, mens du ikke glemmer å ta hensyn til ODZ, men igjen, vi vil prøve å løse det grafisk, som vi gjorde i alle tidligere tilfeller.

La oss denne gangen plotte følgende 2 grafer:

1. - grafen er en hyperbel
2. - en graf er en rett linje som du enkelt kan bygge ved å estimere verdiene og i hodet uten engang å ty til en kalkulator.

Realisert? Begynn å bygge nå.

Her er hva som skjedde med meg:

Når du ser på dette bildet, hva er røttene til ligningen vår?

Det stemmer, og. Her er bekreftelsen:

Prøv å koble røttene våre inn i ligningen. Skjedd?

Greit! Enig, grafisk løsning av slike ligninger er en fornøyelse!

Prøv å løse ligningen selv grafisk:

Jeg gir deg et hint: flytt en del av ligningen til høyre slik at begge sider har de enkleste funksjonene å bygge. Har du hintet? Gjør noe!

La oss nå se hva du har:

Henholdsvis:

1. - kubikk parabel.
2. - en vanlig rett linje.

Vel, vi bygger:

Som du skrev ned lenge, er roten til denne ligningen -.

Har løst dette et stort nummer av eksempler, jeg er sikker på at du skjønte hvordan du enkelt og raskt kan løse ligninger grafisk. Det er på tide å finne ut hvordan man løser systemer på denne måten.

Grafisk løsning av systemer

Den grafiske løsningen av systemer er i hovedsak ikke forskjellig fra den grafiske løsningen av ligninger. Vi skal også bygge to grafer, og skjæringspunktene deres vil være røttene til dette systemet. En graf er en ligning, den andre grafen er en annen ligning. Alt er ekstremt enkelt!

La oss starte med det enkleste - å løse systemer av lineære ligninger.

Løse systemer av lineære ligninger

La oss si at vi har følgende system:

Til å begynne med vil vi transformere det på en slik måte at det til venstre er alt som er forbundet med, og til høyre - det som er forbundet med. Med andre ord, vi skriver disse ligningene som en funksjon i vanlig form for oss:

Og nå bygger vi bare to rette linjer. Hva er løsningen i vårt tilfelle? Riktig! Poenget med deres skjæringspunkt! Og her må du være veldig, veldig forsiktig! Tenk hvorfor? Jeg skal gi deg et hint: vi har å gjøre med et system: systemet har både, og... Har du tipset?

Greit! Når vi skal løse systemet, må vi se på begge koordinatene, og ikke bare, som når vi løser likninger! Et annet viktig poeng er å skrive dem ned riktig og ikke blande sammen hvor vi har verdien og hvor verdien er! Innspilt? La oss nå sammenligne alt i rekkefølge:

Og svarer: jeg. Foreta en sjekk - erstatte de funnet røttene inn i systemet og sørg for at vi løste det riktig på en grafisk måte?

Løse systemer av ikke-lineære ligninger

Men hva om vi i stedet for én rett linje har en annengradsligning? Det er greit! Du bygger bare en parabel i stedet for en rett linje! Ikke stol på? Prøv å løse følgende system:

Hva er vårt neste steg? Det stemmer, skriv det ned slik at det er praktisk for oss å bygge grafer:

Og nå handler det om den lille tingen - jeg bygde den raskt og her er løsningen for deg! Bygning:

Er grafikken den samme? Merk nå løsningene til systemet i bildet og skriv riktig ned de avslørte svarene!

Jeg har gjort alt? Sammenlign med notatene mine:

Greit? Bra gjort! Du klikker allerede på slike oppgaver som nøtter! Og i så fall, la oss gi deg et mer komplisert system:

Hva gjør vi? Riktig! Vi skriver systemet slik at det er praktisk å bygge:

Jeg skal gi deg et lite hint, siden systemet ser veldig komplisert ut! Når du bygger grafer, bygg dem "mer", og viktigst av alt, ikke bli overrasket over antall skjæringspunkter.

Så la oss gå! Utåndet? Begynn å bygge nå!

Vel, hvordan? Pent? Hvor mange skjæringspunkter fikk du? Jeg har tre! La oss sammenligne grafene våre:

Samme måten? Skriv nå nøye ned alle løsningene til systemet vårt:

Se nå på systemet igjen:

Kan du forestille deg at du løste det på bare 15 minutter? Enig, matematikk er fortsatt enkelt, spesielt når du ser på et uttrykk, er du ikke redd for å gjøre feil, men du tar det og bestemmer! Du er en stor gutt!

Grafisk løsning av ulikheter

Grafisk løsning av lineære ulikheter

Etter det siste eksemplet er du klar til oppgaven! Pust nå ut - sammenlignet med de forrige avsnittene, vil denne være veldig, veldig enkel!

Vi starter som vanlig med en grafisk løsning av en lineær ulikhet. For eksempel denne:

Til å begynne med vil vi utføre de enkleste transformasjonene - vi vil åpne parentesene til perfekte firkanter og gi lignende termer:

Ulikheten er ikke streng, derfor - er ikke inkludert i intervallet, og løsningen vil være alle punkter som er til høyre, siden mer, mer, og så videre:

Svar:

Det er alt! Enkelt? La oss løse en enkel ulikhet med to variabler:

La oss tegne en funksjon i koordinatsystemet.

Har du et slikt diagram? Og nå ser vi nøye på hva vi har av ulikhet? Mindre? Så vi maler over alt som er til venstre for vår rette linje. Hva om det var flere? Det stemmer, da ville de malt over alt som er til høyre for den rette linjen vår. Alt er enkelt.

Alle løsninger på denne ulikheten er farget i oransje. Det er det, den to-variable ulikheten er løst. Dette betyr at koordinatene og ethvert punkt fra det skraverte området er løsningene.

Grafisk løsning av kvadratiske ulikheter

Nå skal vi ta for oss hvordan man grafisk løser kvadratiske ulikheter.

Men før vi kommer rett til poenget, la oss oppsummere noen ting om kvadratfunksjonen.

Hva er diskriminanten ansvarlig for? Det stemmer, for posisjonen til grafen i forhold til aksen (hvis du ikke husker dette, så les garantert teorien om kvadratiske funksjoner).

Uansett, her er en liten påminnelse til deg:

Nå som vi har frisket opp alt materialet i minnet, la oss komme i gang – vi skal grafisk løse ulikheten.

Jeg vil fortelle deg med en gang at det er to alternativer for å løse det.

valg 1

Vi skriver parabelen vår som en funksjon:

Ved hjelp av formlene bestemmer vi koordinatene til toppunktet til parablen (på samme måte som når vi løser kvadratiske ligninger):

Har du telt? Hva fikk du?

La oss nå ta to forskjellige poeng og regne ut for dem:

Vi begynner å bygge en gren av parabelen:

Vi reflekterer poengene våre symmetrisk på en annen gren av parabelen:

Nå tilbake til vår ulikhet.

Vi trenger at den er mindre enn null, henholdsvis:

Siden i vår ulikhet er det et tegn strengt mindre, ekskluderer vi sluttpunktene - vi "stikker ut".

Svar:

Lang vei, ikke sant? Nå vil jeg vise deg en enklere versjon av den grafiske løsningen med samme ulikhet som et eksempel:

Alternativ 2

Vi går tilbake til ulikheten vår og markerer intervallene vi trenger:

Enig, det er mye raskere.

La oss skrive ned svaret nå:

La oss vurdere en annen løsningsmetode som forenkler den algebraiske delen, men det viktigste er ikke å bli forvirret.

Multipliser venstre og høyre side med:

Prøv å løse følgende kvadratiske ulikhet på egenhånd på den måten du vil: .

Klarte du deg?

Se hvordan diagrammet mitt ble:

Svar: .

Grafisk løsning av blandede ulikheter

La oss nå gå videre til mer komplekse ulikheter!

Hvordan liker du dette:

Fryktelig, ikke sant? Ærlig talt, jeg har ingen anelse om hvordan jeg skal løse dette algebraisk ... Men det er ikke nødvendig. Grafisk er det ikke noe komplisert i dette! Øynene er redde, men hendene gjør det!

Det første vi starter med er å bygge to grafer:

Jeg vil ikke skrive en tabell for alle - jeg er sikker på at du kan gjøre det perfekt på egen hånd (selvfølgelig er det så mange eksempler å løse!).

Malt? Bygg nå to grafer.

La oss sammenligne tegningene våre?

Har du det samme? Utmerket! La oss nå plassere skjæringspunktene og bestemme med en farge hvilken graf vi skal ha, i teorien, som skal være større, altså. Se hva som skjedde til slutt:

Og nå ser vi bare på hvor vårt valgte diagram er høyere enn diagrammet? Ta gjerne en blyant og mal over dette området! Det vil være løsningen på vår komplekse ulikhet!

Ved hvilke intervaller langs aksen er vi høyere enn? Ikke sant, . Dette er svaret!

Vel, nå kan du håndtere enhver ligning, og hvilket som helst system, og enda mer enhver ulikhet!

KORT OM HOVEDET

Algoritme for å løse ligninger ved hjelp av funksjonsgrafer:

1. Uttrykk gjennom
2. Definer funksjonstypen
3. La oss bygge grafer av de resulterende funksjonene
4. Finn skjæringspunktene til grafene
5. Skriv ned svaret riktig (ta hensyn til ODZ- og ulikhetstegnene)
6. Sjekk svaret (bytt ut røttene i ligningen eller systemet)

For mer informasjon om plotting av funksjonsgrafer, se emnet "".

I løpet av timen vil du selvstendig kunne studere emnet "Grafisk løsning av ligninger, ulikheter." Læreren i timen vil analysere de grafiske metodene for å løse likninger og ulikheter. Den vil lære deg hvordan du bygger grafer, analyserer dem og får løsninger på ligninger og ulikheter. Leksjonen vil også ta for seg konkrete eksempler på dette emnet.

Emne: Numeriske funksjoner

Leksjon: Grafisk løsning av ligninger, ulikheter

1. Leksjonsemne, introduksjon

Vi har vurdert grafer av elementære funksjoner, inkludert grafer av potensfunksjoner med forskjellige eksponenter. Vi vurderte også reglene for å skifte og transformere funksjonsgrafer. Alle disse ferdighetene må brukes når det er nødvendig. grafikkløsning ligninger eller grafikk løsningulikheter.

2. Løse ligninger og ulikheter grafisk

Eksempel 1. Løs ligningen grafisk:

La oss bygge grafer over funksjoner (fig. 1).

Grafen til funksjonen er en parabel som går gjennom punktene

Grafen til funksjonen er en rett linje, vi skal bygge den i henhold til tabellen.

Grafer skjærer hverandre i et punkt Det er ingen andre skjæringspunkter, siden funksjonen øker monotont, funksjonen er monotont avtagende, og derfor er skjæringspunktet deres unikt.

Eksempel 2. Løs ulikheten

en. For at ulikheten skal holde, må grafen til funksjonen være plassert over den rette linjen (fig. 1). Dette gjøres når

b. I dette tilfellet, tvert imot, bør parabelen være under streken. Dette gjøres når

Eksempel 3. Løs ulikheten

La oss bygge grafer over funksjoner (Fig. 2).

Finn roten til ligningen når det ikke finnes løsninger. Det er én løsning for.

For at ulikheten skal holde, må hyperbelen være plassert over linjen. Dette gjelder for .

Eksempel 4. Løs ulikheten grafisk:

Domene:

La oss bygge grafer over funksjoner for (fig. 3).

en. Grafen til funksjonen skal være plassert under grafen; dette gjøres når

b. Grafen til funksjonen er plassert over grafen ved Men siden vi har et ikke-strengt fortegn i tilstanden, er det viktig å ikke miste den isolerte roten

3. Konklusjon

Vi har vurdert en grafisk metode for å løse likninger og ulikheter; vurderte spesifikke eksempler, i løsningen som vi brukte slike egenskaper til funksjoner som monotonisitet og jevnhet.

1. Mordkovich A. G. et al. Algebra 9. klasse: Proc. For allmennutdanning Institusjoner - 4. utg. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 s.: ill.

2. Mordkovich A. G. et al. Algebra 9. klasse: Oppgavebok for studenter ved utdanningsinstitusjoner / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina et al. - 4. utg. — M.: Mnemosyne, 2002.-143 s.: ill.

3. Yu. N. Makarychev, Algebra. Klasse 9: lærebok. for allmennpedagogiske studenter. institusjoner / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. - 7. utgave, Rev. og tillegg - M .: Mnemosyne, 2008.

4. Sh. A. Alimov, Yu. M. Kolyagin og Yu. V. Sidorov, Algebra. 9. klasse 16. utg. - M., 2011. - 287 s.

5. Mordkovich A. G. Algebra. 9. klasse Kl. 14.00 Del 1. Lærebok for studenter ved utdanningsinstitusjoner / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 12. utgave, slettet. — M.: 2010. — 224 s.: ill.

6. Algebra. 9. klasse Ved 2 timer Del 2. Oppgavebok for studenter ved utdanningsinstitusjoner / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina og andre; Ed. A. G. Mordkovich. - 12. utgave, Rev. — M.: 2010.-223 s.: ill.

1. Høyskoleseksjon. ru i matematikk.

2. Internettprosjekt "Oppgaver".

3. Utdanningsportal "LØS BRUK".

1. Mordkovich A. G. et al. Algebra 9. klasse: Oppgavebok for studenter ved utdanningsinstitusjoner / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina et al. - 4. utg. - M .: Mnemosyne, 2002.-143 s.: ill. nr. 355, 356, 364.