Blant begrense eksempler funksjoner er vanlige funksjoner med røtter, som ikke alltid er klart hvordan de skal avsløre. Det er lettere når det er et eksempel på en kantlinje med en rotfunksjon av formen

Løsningen av slike grenser er enkel og tydelig for alle.
Vanskeligheter oppstår hvis det er følgende eksempler på funksjoner med røtter.

Eksempel 1. Beregn funksjonsgrense

Med en direkte erstatning av punktet x = 1 er det klart at både telleren og nevneren til funksjonen

snu til null, det vil si at vi har en usikkerhet på formen 0/0 .
For å avsløre usikkerheten bør man multiplisere uttrykket som inneholder roten med konjugatet og bruke kvadratforskjellsregelen. Til gitt eksempel transformasjoner vil være som følger



Grensen for en funksjon med røtter er 6. Uten regelen ovenfor ville det være vanskelig å finne den.
Ta i betraktning lignende eksempler grenseberegninger med den gitte regelen

Eksempel 2 Finn grensen for en funksjon

Vi sørger for at når vi erstatter x = 3, får vi en usikkerhet på formen 0/0.
Det avsløres ved å multiplisere telleren og nevneren med konjugatet til telleren.


Deretter dekomponerer vi telleren i henhold til regelen for forskjellen av kvadrater

Det var bare slik vi fant grensen for en funksjon med røtter.

Eksempel 3 Definer funksjonsgrense

Vi ser at vi har en usikkerhet på formen 0/0.
Å bli kvitt irrasjonalitet i nevneren

Funksjonsgrensen er 8 .

Vurder nå en annen type eksempler, når variabelen i omfordelingen har en tendens til uendelig.

Eksempel 4. Beregn funksjonsgrense

Mange av dere vet ikke hvordan man finner grensen for en funksjon. Beregningsteknikken vil bli beskrevet nedenfor.
Vi har en grense av typen uendelig minus uendelig. Multipliser og del med konjugert faktor og bruk regelen for forskjell på kvadrater

Funksjonsgrensene er -2,5.

Beregningen av slike grenser er faktisk redusert til avsløringen av irrasjonalitet, og deretter substitusjon av en variabel

Eksempel 5 Finn grensen for en funksjon

Grensen er ekvivalent - uendelig minus uendelig
.
Multipliser og del på det tilstøtende uttrykket og forenkle

Dette matematisk kalkulator online vil hjelpe deg om nødvendig beregne funksjonsgrense. Program begrense løsninger gir ikke bare svaret på problemet, det leder detaljert løsning med forklaringer, dvs. viser fremdriften til grenseberegningen.

Dette programmet kan være nyttig for elever på videregående skole allmennpedagogiske skoler som forberedelse til tester og eksamener, når du tester kunnskap før Unified State Examination, for foreldre å kontrollere løsningen av mange problemer i matematikk og algebra. Eller kanskje det er for dyrt for deg å ansette en veileder eller kjøpe nye lærebøker? Eller vil du bare få det gjort så fort som mulig? hjemmelekser matte eller algebra? I dette tilfellet kan du også bruke våre programmer med en detaljert løsning.

Dermed kan du gjennomføre din egen trening og/eller trene deres yngre brødre eller søstre, mens utdanningsnivået på oppgavefeltet som løses øker.

Skriv inn et funksjonsuttrykk

Beregn grense

Det ble funnet at noen skript som trengs for å løse denne oppgaven ikke ble lastet inn, og det kan hende at programmet ikke fungerer.
Du kan ha AdBlock aktivert.
I dette tilfellet, deaktiver den og oppdater siden.

Du har deaktivert JavaScript i nettleseren din.
JavaScript må være aktivert for at løsningen skal vises.
Her er instruksjoner for hvordan du aktiverer JavaScript i nettleseren din.

Fordi Det er mange mennesker som ønsker å løse problemet, forespørselen din står i kø.
Etter noen sekunder vil løsningen vises nedenfor.
Vennligst vent sek...

Hvis du oppdaget en feil i løsningen, så kan du skrive om det i tilbakemeldingsskjemaet .
Ikke glem angi hvilken oppgave du bestemmer hva skriv inn i feltene.

Våre spill, puslespill, emulatorer:

Litt teori.

Grensen for funksjonen ved x-> x 0

La funksjonen f(x) være definert på et sett X og la punktet \(x_0 \i X \) eller \(x_0 \notin X \)

Ta fra X en sekvens av andre punkter enn x 0:
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
konvergerer til x*. Funksjonsverdiene i punktene i denne sekvensen danner også en numerisk sekvens
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)
og man kan stille spørsmålet om eksistensen av dens grense.

Definisjon. Tallet A kalles grensen for funksjonen f (x) ved punktet x \u003d x 0 (eller ved x -> x 0), hvis for en hvilken som helst sekvens (1) av verdier av argumentet x som konvergerer til x 0, forskjellig fra x 0, konvergerer den tilsvarende sekvensen (2) av verdifunksjonen til tallet A.

$$ \lim_(x\to x_0)( f(x)) = A $$

Funksjonen f(x) kan bare ha én grense ved punktet x 0. Dette følger av at sekvensen
(f(x n)) har bare én grense.

Det er en annen definisjon av grensen for en funksjon.

Definisjon Tallet A kalles grensen for funksjonen f(x) i punktet x = x 0 hvis det for et hvilket som helst tall \(\varepsilon > 0 \) eksisterer et tall \(\delta > 0 \) slik at for alle \ (x \i X, \; x \neq x_0 \) som tilfredsstiller ulikheten \(|x-x_0| Ved å bruke logiske symboler kan denne definisjonen skrives som
\((\forall \varepsilon > 0) (\eksisterer \delta > 0) (\forall x \i X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Merk at ulikhetene \(x \neq x_0 , \; |x-x_0| Den første definisjonen er basert på forestillingen om en grense nummerrekkefølge, og det er derfor det ofte refereres til som "sekvensspråk"-definisjonen. Den andre definisjonen kalles "språk \(\varepsilon - \delta \)"-definisjonen.
Disse to definisjonene av grensen til en funksjon er ekvivalente, og du kan bruke en av dem, avhengig av hva som passer best for å løse et bestemt problem.

Merk at definisjonen av grensen til en funksjon "på sekvensspråket" også kalles definisjonen av grensen for en funksjon ifølge Heine, og definisjonen av grensen for en funksjon "i språket \(\varepsilon - \delta \)" kalles også definisjonen av grensen for en funksjon i henhold til Cauchy.

Funksjonsgrense ved x->x 0 - og ved x->x 0 +

I det følgende vil vi bruke begrepene ensidige grenser for en funksjon, som er definert som følger.

Definisjon Tallet A kalles høyre (venstre) grense for funksjonen f (x) i punktet x 0 hvis for en hvilken som helst sekvens (1) som konvergerer til x 0, hvis elementer x n er større (mindre) enn x 0 , den tilsvarende sekvensen (2) konvergerer til A.

Symbolsk er det skrevet slik:
$$ \lim_(x \to x_0+) f(x) = A \; \left(\lim_(x \to x_0-) f(x) = A \right) $$

Man kan gi en ekvivalent definisjon av ensidige grenser for en funksjon "på språket \(\varepsilon - \delta \)":

Definisjon tallet A kalles høyre (venstre) grense for funksjonen f(x) i punktet x 0 hvis det for noen \(\varepsilon > 0 \) eksisterer \(\delta > 0 \) slik at for alle x som tilfredsstiller ulikhetene \(x_0 symbolske oppføringer:

\((\forall \varepsilon > 0) (\eksisterer \delta > 0) (\forall x, \; x_0

\begin(ligning) a^4-b^4=(a-b)\cdot(a^3+a^2 b+ab^2+b^3)\end(ligning)

Eksempel #4

Finn $\lim_(x\to 4)\frac(\sqrt(5x-12)-\sqrt(x+4))(16-x^2)$.

Siden $\lim_(x\to 4)\left(\sqrt(5x-12)-\sqrt(x+4)\right)=0$ og $\lim_(x\to 4)(16-x^ 2 )=0$, da har vi å gjøre med en usikkerhet av formen $\frac(0)(0)$. For å bli kvitt irrasjonaliteten som forårsaket denne usikkerheten, må du multiplisere telleren og nevneren med uttrykket konjugert til telleren. vil ikke hjelpe her lenger, fordi multiplikasjon med $\sqrt(5x-12)+\sqrt(x+4)$ vil føre til følgende resultat:

$$ \left(\sqrt(5x-12)-\sqrt(x+4)\right)\left(\sqrt(5x-12)+\sqrt(x+4)\right)=\sqrt((5x) -12)^2)-\sqrt((x+4)^2) $$

Som du kan se, vil en slik multiplikasjon ikke redde oss fra forskjellen mellom røttene, noe som forårsaker ubestemtheten til $\frac(0)(0)$. Vi må gange med et annet uttrykk. Dette uttrykket må være slik at etter multiplikasjon med det forsvinner forskjellen av terningerøtter. Og kuberoten kan bare "fjerne" den tredje graden, så du må bruke . Bytter inn høyre side denne formelen $a=\sqrt(5x-12)$, $b=\sqrt(x+4)$, får vi:

$$ \left(\sqrt(5x-12)- \sqrt(x+4)\right)\left(\sqrt((5x-12)^2)+\sqrt(5x-12)\cdot \sqrt( x+4)+\sqrt((x+4)^2) \right)=\\ =\sqrt((5x-12)^3)-\sqrt((x+4)^3)=5x-12 -(x+4)=4x-16. $$

Så, etter å ha multiplisert med $\sqrt((5x-12)^2)+\sqrt(5x-12)\cdot \sqrt(x+4)+\sqrt((x+4)^2)$, er forskjellen av kuberøtter forsvant. Det er uttrykket $\sqrt((5x-12)^2)+\sqrt(5x-12)\cdot \sqrt(x+4)+\sqrt((x+4)^2)$ som vil bli konjugert til uttrykket $\ sqrt(5x-12)-\sqrt(x+4)$. La oss gå tilbake til grensen vår og multiplisere telleren og nevneren med uttrykket konjugert til telleren $\sqrt(5x-12)-\sqrt(x+4)$:

$$ \lim_(x\to 4)\frac(\sqrt(5x-12)-\sqrt(x+4))(16-x^2)=\venstre|\frac(0)(0)\høyre |=\\ =\lim_(x\to 4)\frac(\left(\sqrt(5x-12)- \sqrt(x+4)\right)\left(\sqrt((5x-12)^2 )+\sqrt(5x-12)\cdot \sqrt(x+4)+\sqrt((x+4)^2) \right))((16-x^2)\venstre(\sqrt((5x) -12)^2)+\sqrt(5x-12)\cdot \sqrt(x+4)+\sqrt((x+4)^2) \right))=\\ =\lim_(x\to 4 )\frac(4x-16)((16-x^2)\venstre(\sqrt((5x-12)^2)+\sqrt(5x-12)\cdot \sqrt(x+4)+\sqrt ((x+4)^2) \høyre)) $$

Oppgaven er praktisk talt løst. Det gjenstår bare å ta i betraktning at $16-x^2=-(x^2-16)=-(x-4)(x+4)$ (se ). I tillegg, $4x-16=4(x-4)$, så vi skriver om den siste grensen i dette skjemaet:

$$ \lim_(x\to 4)\frac(4x-16)((16-x^2)\left(\sqrt((5x-12)^2)+\sqrt(5x-12)\cdot \ sqrt(x+4)+\sqrt((x+4)^2) \right))=\\ =\lim_(x\to 4)\frac(4(x-4))(-(x-4) )(x+4)\venstre(\sqrt((5x-12)^2)+\sqrt(5x-12)\cdot \sqrt(x+4)+\sqrt((x+4)^2) \ høyre))=\\ =-4\cdot\lim_(x\to 4)\frac(1)((x+4)\left(\sqrt((5x-12)^2)+\sqrt(5x- 12)\cdot \sqrt(x+4)+\sqrt((x+4)^2) \right))=\\ =-4\cdot\frac(1)((4+4)\venstre(\ sqrt((5\cdot4-12)^2)+\sqrt(5\cdot4-12)\cdot \sqrt(4+4)+\sqrt((4+4)^2) \right))=-\ frac(1)(24). $$

Svar: $\lim_(x\to 4)\frac(\sqrt(5x-12)-\sqrt(x+4))(16-x^2)=-\frac(1)(24)$.

Tenk på et eksempel til (eksempel nr. 5) i denne delen, hvor vi bruker . I utgangspunktet er løsningsskjemaet ikke forskjellig fra de foregående eksemplene, bortsett fra at det konjugerte uttrykket vil ha en annen struktur. Det er forresten verdt å merke seg at i typiske beregninger og tester er det ofte oppgaver når det for eksempel uttrykkes med kubikkrot, og i nevneren - med kvadratrot. I dette tilfellet må du multiplisere både telleren og nevneren med ulike konjugerte uttrykk. For eksempel, når du beregner grensen $\lim_(x\to 8)\frac(\sqrt(x)-2)(\sqrt(x+1)-3)$ som inneholder en usikkerhet på formen $\frac(0 )(0 )$, vil multiplikasjonen se slik ut:

$$ \lim_(x\to 8)\frac(\sqrt(x)-2)(\sqrt(x+1)-3)=\venstre|\frac(0)(0)\right|= \lim_ (x\til 8)\frac(\venstre(\sqrt(x)-2\høyre)\cdot \venstre(\sqrt(x^2)+2\sqrt(x)+4\høyre)\cdot\venstre (\sqrt(x+1)+3\høyre))(\venstre(\sqrt(x+1)-3\høyre)\cdot\venstre(\sqrt(x+1)+3\høyre)\cdot\ venstre(\sqrt(x^2)+2\sqrt(x)+4\høyre))=\\= \lim_(x\til 8)\frac((x-8)\cdot\venstre(\sqrt( x+1)+3\høyre))(\venstre(x-8\høyre)\cdot\venstre(\sqrt(x^2)+2\sqrt(x)+4\høyre))= \lim_(x \to 8)\frac(\sqrt(x+1)+3)(\sqrt(x^2)+2\sqrt(x)+4)=\frac(3+3)(4+4+4) =\frac(1)(2). $$

Alle transformasjonene som er brukt ovenfor har allerede blitt vurdert tidligere, så jeg antar at det ikke er noen spesielle uklarheter her. Men hvis løsningen av ditt lignende eksempel reiser spørsmål, vennligst avslutt abonnementet om det på forumet.

Eksempel #5

Finn $\lim_(x\to 2)\frac(\sqrt(5x+6)-2)(x^3-8)$.

Siden $\lim_(x\to 2)(\sqrt(5x+6)-2)=0$ og $\lim_(x\to 2)(x^3-8)=0$, har vi med usikkerhet $ \frac(0)(0)$. For å avsløre denne usikkerheten bruker vi . Det konjugerte uttrykket for telleren har formen

$$\sqrt((5x+6)^3)+\sqrt((5x+6)^2)\cdot 2+\sqrt(5x+6)\cdot 2^2+2^3=\sqrt(( 5x+6)^3)+2\cdot\sqrt((5x+6)^2)+4\cdot\sqrt(5x+6)+8.$$

Ved å multiplisere telleren og nevneren til brøken $\frac(\sqrt(5x+6)-2)(x^3-8)$ med det konjugerte uttrykket ovenfor, får vi:

$$\lim_(x\to 2)\frac(\sqrt(5x+6)-2)(x^3-8)=\venstre|\frac(0)(0)\right|=\\ =\ lim_(x\to 2)\frac(\left(\sqrt(5x+6)-2\right)\cdot \left(\sqrt((5x+6)^3)+2\cdot\sqrt((5x) +6)^2)+4\cdot\sqrt(5x+6)+8\høyre))((x^3-8)\cdot\left(\sqrt((5x+6)^3)+2\ cdot\sqrt((5x+6)^2)+4\cdot\sqrt(5x+6)+8\right))=\\ =\lim_(x\to 2)\frac(5x+6-16) ((x^3-8)\cdot\left(\sqrt((5x+6)^3)+2\cdot\sqrt((5x+6)^2)+4\cdot\sqrt(5x+6) +8\høyre))=\\ =\lim_(x\to 2)\frac(5x-10)((x^3-8)\cdot\left(\sqrt((5x+6)^3)+ 2\cdot\sqrt((5x+6)^2)+4\cdot\sqrt(5x+6)+8\right)) $$

Siden $5x-10=5\cdot(x-2)$ og $x^3-8=x^3-2^3=(x-2)(x^2+2x+4)$ (se ), deretter:

$$ \lim_(x\to 2)\frac(5x-10)((x^3-8)\cdot\left(\sqrt((5x+6)^3)+2\cdot\sqrt((5x) +6)^2)+4\cdot\sqrt(5x+6)+8\right))=\\ =\lim_(x\to 2)\frac(5(x-2))((x-2) )(x^2+2x+4)\cdot\venstre(\sqrt((5x+6)^3)+2\cdot\sqrt((5x+6)^2)+4\cdot\sqrt(5x+ 6 )+8\høyre))=\\ \lim_(x\to 2)\frac(5)((x^2+2x+4)\cdot\left(\sqrt((5x+6)^3) + 2\cdot\sqrt((5x+6)^2)+4\cdot\sqrt(5x+6)+8\right))=\\ \frac(5)((2^2+2\cdot 2 + 4)\cdot\venstre(\sqrt((5\cdot 2+6)^3)+2\cdot\sqrt((5\cdot 2+6)^2)+4\cdot\sqrt(5\cdot 2 +6)+8\høyre))=\frac(5)(384). $$

Svar: $\lim_(x\to 2)\frac(\sqrt(5x+6)-2)(x^3-8)=\frac(5)(384)$.

Eksempel #6

Finn $\lim_(x\to 2)\frac(\sqrt(3x-5)-1)(\sqrt(3x-5)-1)$.

Siden $\lim_(x\to 2)(\sqrt(3x-5)-1)=0$ og $\lim_(x\to 2)(\sqrt(3x-5)-1)=0$, så vi har å gjøre med usikkerheten til $\frac(0)(0)$. I slike situasjoner, når uttrykkene under røttene er de samme, kan du bruke erstatningsmetoden. Det er nødvendig å erstatte uttrykket under roten (dvs. $3x-5$) ved å introdusere en ny variabel. Men bare å bruke den nye bokstaven vil ikke gjøre noe. Tenk deg at vi ganske enkelt erstattet uttrykket $3x-5$ med bokstaven $t$. Da blir brøken under grensen: $\frac(\sqrt(t)-1)(\sqrt(t)-1)$. Irrasjonaliteten har ikke forsvunnet noe sted, den har bare endret seg noe, noe som ikke har gjort oppgaven lettere.

Her er det på sin plass å minne om at roten bare kan fjerne graden. Men hvilken grad skal du bruke? Spørsmålet er ikke trivielt, for vi har to røtter. En rot av den femte, og den andre - av den tredje orden. Graden skal være slik at begge røttene fjernes samtidig! Vi trenger naturlig tall, som samtidig vil være delelig med $3$ og $5$. Slike tall uendelig sett, men den minste av dem er tallet $15$. Han blir kalt minste felles multiplum tall $3$ og $5$. Og erstatningen skal være slik: $t^(15)=3x-5$. Se hva en slik erstatning gjør med røttene.

Teorien om grenser er en av seksjonene matematisk analyse. Spørsmålet om å løse grenser er ganske omfattende, siden det finnes dusinvis av metoder for å løse grenser forskjellige typer. Det er dusinvis av nyanser og triks som lar deg løse en eller annen grense. Likevel vil vi fortsatt forsøke å forstå hovedtypene grenser som man oftest møter i praksis.

La oss starte med selve konseptet med en grense. Men først en kort historiereferanse. Det var en gang en franskmann Augustin Louis Cauchy på 1800-tallet, som la grunnlaget for matematisk analyse og ga strenge definisjoner, spesielt definisjonen av grensen. Det må sies at denne samme Cauchy drømte, drømmer og vil drømme i mareritt fra alle studenter ved fysikk og matematikk, som han beviste stor mengde teoremer for matematisk analyse, og det ene teoremet er mer ekkelt enn det andre. I denne forbindelse vil vi ikke vurdere en streng definisjon av grensen, men vil prøve å gjøre to ting:

1. Forstå hva en grense er.
2. Lær å løse hovedtypene grenser.

Jeg beklager noen uvitenskapelige forklaringer, det er viktig at materialet er forståelig selv for en tekanne, som faktisk er prosjektets oppgave.

Så hva er grensen?

Og umiddelbart et eksempel på hvorfor du skal pusse bestemoren din ....

Enhver grense består av tre deler:

1) Det velkjente grenseikonet.
2) Oppføringer under grenseikonet, i denne saken. Oppføringen lyder "x har en tendens til enhet." Oftest - nøyaktig, selv om det i stedet for "x" i praksis er andre variabler. PÅ praktiske oppgaver i stedet for enheten kan absolutt et hvilket som helst tall være, så vel som uendelig ().
3) Fungerer under grensetegnet, i dette tilfellet .

Selve rekorden lyder slik: "grensen for funksjonen når x har en tendens til enhet."

La oss analysere følgende viktig spørsmål Hva betyr uttrykket "X"? søker til enhet? Og hva er egentlig "streve"?
Konseptet med en grense er et konsept, så å si, dynamisk. La oss konstruere en sekvens: først , deretter , , …, , ….
Det vil si uttrykket "x søker til én" skal forstås som følger - "x" tar konsekvent verdiene som er uendelig nær enhet og praktisk talt sammenfaller med den.

Hvordan løser jeg eksemplet ovenfor? Basert på ovenstående, trenger du bare å erstatte enheten i funksjonen under grensetegnet:

Så den første regelen er: Når det er gitt en grense, prøv først å koble nummeret til funksjonen.

Vi har anmeldt enkleste grensen, men disse finnes også i praksis, og ikke så sjeldne!

Infinity eksempel:

Forstår du hva det er? Dette er tilfellet når det øker i det uendelige, det vil si: først, så, så, så, og så videre i det uendelige.

Og hva skjer med funksjonen på dette tidspunktet?
, , , …

Så: hvis , så har funksjonen en tendens til minus uendelig:

Grovt sett, i henhold til vår første regel, erstatter vi uendelighet i funksjonen i stedet for "x" og får svaret .

Et annet eksempel med uendelighet:

Igjen begynner vi å øke til det uendelige, og ser på funksjonen til funksjonen:

Konklusjon: for øker funksjonen i det uendelige:

Og en annen rekke eksempler:

Prøv å mentalt analysere følgende selv og husk de enkleste typene grenser:

, , , , , , , , ,
Er det tvil et sted, kan du ta opp en kalkulator og øve litt.
I tilfelle det , prøv å bygge sekvensen , , . Hvis da , , .

Merk: strengt tatt er denne tilnærmingen med å bygge sekvenser med flere tall feil, men den er ganske egnet for å forstå de enkleste eksemplene.

Vær også oppmerksom på følgende ting. Selv om det er gitt en grense et stort antall på toppen, selv med en million: da spiller det ingen rolle , fordi før eller siden vil "x" ta på seg så gigantiske verdier at en million sammenlignet med dem vil være en ekte mikrobe.

Hva bør huskes og forstås fra ovenstående?

1) Når det er gitt en grense, prøver vi først å erstatte et tall i funksjonen.

2) Du må forstå og umiddelbart løse de enkleste grensene, som f.eks , , etc.

Nå skal vi vurdere gruppen av grenser, når , og funksjonen er en brøk, i telleren og nevneren som er polynomer

Eksempel:

Beregn grense

I henhold til vår regel vil vi prøve å erstatte uendelig i en funksjon. Hva får vi på toppen? Evighet. Og hva skjer nedenfor? Også uendelig. Dermed har vi den såkalte ubestemtheten til formen. Man skulle kanskje tro det, og svaret er klart, men inn generell sak dette er ikke tilfelle i det hele tatt, og en løsning må brukes, som vi nå skal vurdere.

Hvordan takle grenser av denne typen?

Først ser vi på telleren og finner den høyeste potensen:

Den høyeste potensen i telleren er to.

Nå ser vi på nevneren og finner også høyeste grad:

Den høyeste potensen til nevneren er to.

Vi velger deretter den høyeste potensen av telleren og nevneren: in dette eksemplet de faller sammen og er lik to.

Så løsningsmetoden er som følger: for å avsløre usikkerheten er det nødvendig å dele telleren og nevneren med i høyeste grad.

Her er det, svaret, og ikke uendelig i det hele tatt.

Hva er viktig for å ta en beslutning?

Først angir vi usikkerheten, hvis noen.

For det andre er det ønskelig å avbryte løsningen for mellomliggende forklaringer. Jeg bruker vanligvis tegnet, det har ingen matematisk betydning, men betyr at løsningen avbrytes for en mellomliggende forklaring.

For det tredje, i grensen er det ønskelig å markere hva og hvor det pleier. Når arbeidet er tegnet opp for hånd, er det mer praktisk å gjøre det slik:

For notater er det bedre å bruke en enkel blyant.

Selvfølgelig kan du ikke gjøre noe med dette, men da vil kanskje læreren merke seg manglene i løsningen eller begynne å spørre tilleggsspørsmål på oppdrag. Og trenger du det?

Eksempel 2

Finn grensen
Igjen i telleren og nevneren finner vi i høyeste grad:

Maksimal grad i telleren: 3
Maksimal grad i nevneren: 4
Velge størst verdi, i dette tilfellet fire.
I henhold til vår algoritme, for å avsløre usikkerheten, deler vi telleren og nevneren med .
En komplett oppgave kan se slik ut:

Del teller og nevner med

Eksempel 3

Finn grensen
Maksimal grad av "x" i telleren: 2
Maksimal potens av "x" i nevneren: 1 (kan skrives som)
For å avdekke usikkerheten er det nødvendig å dele teller og nevner med . En ren løsning kan se slik ut:

Del teller og nevner med

Posten betyr ikke divisjon med null (det er umulig å dele med null), men divisjon med et uendelig lite tall.

Dermed, når vi avslører ubestemtheten til skjemaet, kan vi få endelig antall , null eller uendelig.

Grenser med typeusikkerhet og en metode for deres løsning

Neste gruppe grenser er noe lik grensene som nettopp er vurdert: det er polynomer i telleren og nevneren, men "x" har ikke lenger en tendens til uendelig, men til endelig nummer.

Eksempel 4

Løs grensen
La oss først prøve å erstatte -1 i en brøkdel:

I dette tilfellet oppnås den såkalte usikkerheten.

Generell regel : hvis det er polynomer i telleren og nevneren, og det er en usikkerhet i formen, så for avsløringen av den faktoriser telleren og nevneren.

For å gjøre dette må du oftest løse en andregradsligning og (eller) bruke forkortede multiplikasjonsformler. Hvis disse tingene er glemt, besøk siden Matematiske formler og tabeller og sjekke ut metodisk materiale Hotte formler skolekurs matematikk. Forresten, det er best å skrive det ut, det kreves veldig ofte, og informasjon fra papir absorberes bedre.

Så la oss løse grensen vår

Faktorisering av teller og nevner

For å faktorisere telleren må du løse andregradsligningen:

Først finner vi diskriminanten:

Og kvadratroten av det: .

Hvis diskriminanten er stor, for eksempel 361, bruker vi en kalkulator, uttrekksfunksjonen kvadratrot er på den enkleste kalkulatoren.

! Hvis roten ikke er helt ekstrahert (viser det seg brøktall med semikolon), er det svært sannsynlig at diskriminanten er beregnet feil eller det er en skrivefeil i oppgaven.

Deretter finner vi røttene:

På denne måten:

Alt. Telleren er faktorisert.

Nevner. Nevneren er allerede den enkleste faktoren, og det er ingen måte å forenkle den på.

Selvfølgelig kan det forkortes til:

Nå erstatter vi -1 i uttrykket som forblir under grensetegnet:

Naturligvis i kontrollarbeid, ved prøven, eksamen, er avgjørelsen aldri malt så detaljert. I den endelige versjonen skal designet se omtrent slik ut:

La oss faktorisere telleren.

Eksempel 5

Beregn grense

Først en "ren" løsning

La oss faktorisere telleren og nevneren.

Teller:
Nevner:



,

Hva er viktig i dette eksemplet?
Først må du forstå godt hvordan telleren blir avslørt, først satt vi i parentes 2, og brukte deretter formelen for forskjellen på kvadrater. Dette er formelen du trenger å vite og se.

Teorien om grenser er en av grenene til matematisk analyse. Spørsmålet om å løse grenser er ganske omfattende, siden det finnes dusinvis av metoder for å løse grenser av ulike typer. Det er dusinvis av nyanser og triks som lar deg løse en eller annen grense. Likevel vil vi fortsatt forsøke å forstå hovedtypene grenser som man oftest møter i praksis.

La oss starte med selve konseptet med en grense. Men først en kort historisk bakgrunn. Det var en gang en franskmann Augustin Louis Cauchy på 1800-tallet, som ga strenge definisjoner til mange begreper om matan og la dens grunnlag. Jeg må si at denne respekterte matematikeren drømte, drømmer og vil drømme i mareritt fra alle studenter ved fysikk og matematikk, ettersom han beviste et stort antall teoremer for matematisk analyse, og det ene teoremet er mer morder enn det andre. Av denne grunn vil vi ikke vurdere bestemmelse av Cauchy-grensen, men la oss prøve å gjøre to ting:

1. Forstå hva en grense er.
2. Lær å løse hovedtypene grenser.

Jeg beklager noen uvitenskapelige forklaringer, det er viktig at materialet er forståelig selv for en tekanne, som faktisk er prosjektets oppgave.

Så hva er grensen?

Og umiddelbart et eksempel på hvorfor du skal pusse bestemoren din ....

Enhver grense består av tre deler:

1) Det velkjente grenseikonet.
2) Oppføringer under grenseikonet, i dette tilfellet . Oppføringen lyder "x har en tendens til enhet." Oftest - nøyaktig, selv om det i stedet for "x" i praksis er andre variabler. I praktiske oppgaver, i stedet for en enhet, kan det være absolutt et hvilket som helst tall, så vel som uendelig ().
3) Fungerer under grensetegnet, i dette tilfellet .

Selve rekorden lyder slik: "grensen for funksjonen når x har en tendens til enhet."

La oss analysere det neste viktige spørsmålet - hva betyr uttrykket "x søker til enhet? Og hva er egentlig "streve"?
Konseptet med en grense er et konsept, så å si, dynamisk. La oss konstruere en sekvens: først , deretter , , …, , ….
Det vil si uttrykket "x søker til én" skal forstås som følger - "x" tar konsekvent verdiene som er uendelig nær enhet og praktisk talt sammenfaller med den.

Hvordan løser jeg eksemplet ovenfor? Basert på ovenstående, trenger du bare å erstatte enheten i funksjonen under grensetegnet:

Så den første regelen er: Når det er gitt en grense, prøv først å koble nummeret til funksjonen.

Vi vurderte den enkleste grensen, men slike finnes også i praksis, og ikke så sjelden!

Infinity eksempel:

Forstår du hva det er? Dette er tilfellet når det øker i det uendelige, det vil si: først, så, så, så, og så videre i det uendelige.

Og hva skjer med funksjonen på dette tidspunktet?
, , , …

Så: hvis , så har funksjonen en tendens til minus uendelig:

Grovt sett, i henhold til vår første regel, erstatter vi uendelighet i funksjonen i stedet for "x" og får svaret .

Et annet eksempel med uendelighet:

Igjen begynner vi å øke til det uendelige og ser på funksjonen til funksjonen:

Konklusjon: for øker funksjonen i det uendelige:

Og en annen rekke eksempler:

Prøv å mentalt analysere følgende selv og husk de enkleste typene grenser:

, , , , , , , , ,
Er det tvil et sted, kan du ta opp en kalkulator og øve litt.
I tilfelle det , prøv å bygge sekvensen , , . Hvis da , , .

! Merk: strengt tatt er en slik tilnærming med konstruksjon av sekvenser med flere tall feil, men den er ganske egnet for å forstå de enkleste eksemplene.

Vær også oppmerksom på følgende ting. Selv om det er gitt en grense med et stort tall øverst, eller i det minste med en million: , så er det likevel , fordi før eller siden "x" vil begynne å ta på seg så gigantiske verdier at en million sammenlignet med dem vil være en ekte mikrobe.

Hva bør huskes og forstås fra ovenstående?

1) Når det er gitt en grense, prøver vi først å erstatte et tall i funksjonen.

2) Du må forstå og umiddelbart løse de enkleste grensene, som f.eks , , etc.

Dessuten har grensen en veldig god geometrisk betydning. Til bedre forståelse emner jeg anbefaler å lese det metodiske materialet Grafer og egenskaper til elementære funksjoner. Etter å ha lest denne artikkelen vil du ikke bare endelig forstå hva en grense er, men også bli kjent med interessante saker når grensen for funksjonen i det hele tatt er eksisterer ikke!

I praksis er det dessverre få gaver. Og så vender vi oss til vurderingen av mer komplekse grenser. Forresten, om dette emnet er det intensivt kurs i pdf-format, noe som er spesielt nyttig hvis du har VELDIG liten tid til å forberede deg. Men materialene på nettstedet er selvfølgelig ikke verre:

Nå skal vi vurdere gruppen av grenser, når , og funksjonen er en brøk, i telleren og nevneren som er polynomer

Eksempel:

Beregn grense

I henhold til vår regel vil vi prøve å erstatte uendelig i en funksjon. Hva får vi på toppen? Evighet. Og hva skjer nedenfor? Også uendelig. Dermed har vi den såkalte ubestemtheten til formen. Man skulle kanskje tro det, og svaret er klart, men i det generelle tilfellet er dette ikke tilfelle i det hele tatt, og det må brukes en eller annen løsning, som vi nå skal vurdere.

Hvordan løser man grensene for denne typen?

Først ser vi på telleren og finner den høyeste potensen:

Den høyeste potensen i telleren er to.

Nå ser vi på nevneren og finner også høyeste grad:

Den høyeste potensen til nevneren er to.

Deretter velger vi den høyeste potensen av telleren og nevneren: i dette eksemplet er de like og lik to.

Så løsningsmetoden er som følger: for å avsløre usikkerheten er det nødvendig å dele telleren og nevneren med i høyeste grad.

Her er det, svaret, og ikke uendelig i det hele tatt.

Hva er viktig for å ta en beslutning?

Først angir vi usikkerheten, hvis noen.

For det andre er det ønskelig å avbryte løsningen for mellomliggende forklaringer. Jeg bruker vanligvis tegnet, det har ingen matematisk betydning, men betyr at løsningen avbrytes for en mellomliggende forklaring.

For det tredje, i grensen er det ønskelig å markere hva og hvor det pleier. Når arbeidet er tegnet opp for hånd, er det mer praktisk å gjøre det slik:

For notater er det bedre å bruke en enkel blyant.

Selvfølgelig kan du ikke gjøre noe med dette, men da vil kanskje læreren merke seg manglene i løsningen eller begynne å stille flere spørsmål om oppgaven. Og trenger du det?

Eksempel 2

Finn grensen
Igjen i telleren og nevneren finner vi i høyeste grad:

Maksimal grad i telleren: 3
Maksimal grad i nevneren: 4
Velge størst verdi, i dette tilfellet fire.
I henhold til vår algoritme, for å avsløre usikkerheten, deler vi telleren og nevneren med .
En komplett oppgave kan se slik ut:

Del teller og nevner med

Eksempel 3

Finn grensen
Maksimal grad av "x" i telleren: 2
Maksimal potens av "x" i nevneren: 1 (kan skrives som)
For å avdekke usikkerheten er det nødvendig å dele teller og nevner med . En ren løsning kan se slik ut:

Del teller og nevner med

Posten betyr ikke divisjon med null (det er umulig å dele med null), men divisjon med et uendelig lite tall.

Dermed, når vi avslører ubestemtheten til skjemaet, kan vi få endelig antall, null eller uendelig.

Grenser med typeusikkerhet og en metode for deres løsning

Den neste gruppen av grenser er noe lik grensene som nettopp er vurdert: det er polynomer i telleren og nevneren, men "x" har ikke lenger en tendens til uendelig, men til endelig nummer.

Eksempel 4

Løs grensen
La oss først prøve å erstatte -1 i en brøkdel:

I dette tilfellet oppnås den såkalte usikkerheten.

Generell regel: hvis det er polynomer i telleren og nevneren, og det er en usikkerhet i formen, så for avsløringen av den faktoriser telleren og nevneren.

For å gjøre dette må du oftest løse en andregradsligning og (eller) bruke forkortede multiplikasjonsformler. Hvis disse tingene er glemt, besøk siden Matematiske formler og tabeller og gjøre deg kjent med det metodiske materialet Hot School Mathematics Formler. Forresten, det er best å skrive det ut, det kreves veldig ofte, og informasjon fra papir absorberes bedre.

Så la oss løse grensen vår

Faktorisering av teller og nevner

For å faktorisere telleren må du løse andregradsligningen:

Først finner vi diskriminanten:

Og kvadratroten av det: .

Hvis diskriminanten er stor, for eksempel 361, bruker vi en kalkulator, kvadratrotfunksjonen er på den enkleste kalkulatoren.

! Hvis roten ikke trekkes ut fullstendig (det oppnås et brøktall med komma), er det svært sannsynlig at diskriminanten ble beregnet feil eller det er en skrivefeil i oppgaven.

Deretter finner vi røttene:

På denne måten:

Alt. Telleren er faktorisert.

Nevner. Nevneren er allerede den enkleste faktoren, og det er ingen måte å forenkle den på.

Selvfølgelig kan det forkortes til:

Nå erstatter vi -1 i uttrykket som forblir under grensetegnet:

Naturligvis, i en test, på en prøve, en eksamen, blir løsningen aldri malt så detaljert. I den endelige versjonen skal designet se omtrent slik ut:

La oss faktorisere telleren.

Eksempel 5

Beregn grense

Først en "ren" løsning

La oss faktorisere telleren og nevneren.

Teller:
Nevner:



,

Hva er viktig i dette eksemplet?
Først må du forstå godt hvordan telleren blir avslørt, først satt vi i parentes 2, og brukte deretter formelen for forskjellen på kvadrater. Dette er formelen du trenger å vite og se.

Anbefaling: Hvis det i grensen (av nesten hvilken som helst type) er mulig å ta et tall ut av braketten, så gjør vi alltid dette.
Dessuten er det tilrådelig å ta slike tall utover grensetegnet. Til hva? Bare så de ikke kommer i veien. Det viktigste er ikke å miste disse tallene i løpet av avgjørelsen.

Vær oppmerksom på at på siste trinn Jeg tok ut løsningen for grenseikonet deuce, og deretter minus.

! Viktig
I løpet av løsningen oppstår et typefragment veldig ofte. Reduser denne fraksjonendet er forbudt . Først må du endre fortegnet på telleren eller nevneren (sett -1 i parentes).
, det vil si at det vises et minustegn, som tas i betraktning ved beregning av grensen, og det er ikke nødvendig å miste det i det hele tatt.

Generelt la jeg merke til at man oftest må løse to når man finner grenser av denne typen andregradsligninger, det vil si at både telleren og nevneren inneholder kvadratiske trinomialer.

Metoden for å multiplisere telleren og nevneren med det tilstøtende uttrykket

Vi fortsetter å vurdere usikkerheten til skjemaet

Den neste typen grenser er lik den forrige typen. Det eneste, i tillegg til polynomer, vil vi legge til røtter.

Eksempel 6

Finn grensen

Vi begynner å bestemme oss.

Først prøver vi å erstatte 3 i uttrykket under grensetegnet
Nok en gang gjentar jeg - dette er den første tingen å gjøre for ENHVER grense. Denne handlingen vanligvis utført mentalt eller på utkast.

En usikkerhet på skjemaet, som må elimineres, oppnås.

Som du sikkert har lagt merke til, har vi forskjellen mellom røttene i telleren. Og det er vanlig å kvitte seg med røttene i matematikken, hvis det er mulig. Til hva? Og livet er lettere uten dem.