Hvordan løse logaritmer eksamen grunnleggende nivå. Løse logaritmiske ligninger

I denne videoopplæringen vil vi se på å løse en ganske seriøs logaritmisk ligning, der du ikke bare trenger å finne røttene, men også velge de som ligger på et gitt segment.

Oppgave C1. Løs ligningen. Finn alle røttene til denne ligningen som hører til intervallet.

En merknad om logaritmiske ligninger

Men fra år til år kommer det studenter til meg som prøver å løse slike, ærlig talt, vanskelige ligninger, men samtidig kan de ikke forstå: hvor starter de i det hele tatt og hvordan skal man nærme seg logaritmer? Et slikt problem kan oppstå selv hos sterke, godt forberedte elever.

Som et resultat begynner mange å frykte dette emnet, eller til og med anser seg som dumme. Så husk: hvis du ikke kan løse en slik ligning, betyr det ikke i det hele tatt at du er dum. Fordi du for eksempel kan håndtere denne ligningen nesten verbalt:

log 2 x = 4

Og hvis det ikke er slik, ville du ikke lest denne teksten nå, fordi du var opptatt med enklere og mer dagligdagse oppgaver. Selvfølgelig vil noen nå innvende: "Hva har denne enkleste ligningen å gjøre med vår sunne design?" Jeg svarer: enhver logaritmisk ligning, uansett hvor kompleks den måtte være, kommer til slutt ned til slike enkle, verbalt løste konstruksjoner.

Selvfølgelig er det nødvendig å gå fra komplekse logaritmiske ligninger til enklere, ikke ved hjelp av valg eller dans med en tamburin, men i henhold til klare, lenge definerte regler, som kalles så - regler for konvertering av logaritmiske uttrykk. Når du kjenner dem, kan du enkelt finne ut selv de mest sofistikerte ligningene i eksamen i matematikk.

Og det er om disse reglene vi skal snakke om i dagens leksjon. Gå!

Løse den logaritmiske ligningen i oppgave C1

Så la oss løse ligningen:

Først av alt, når det kommer til logaritmiske ligninger, husker vi hovedtaktikken - om jeg kan si den grunnleggende regelen for å løse logaritmiske ligninger. Den består av følgende:

Teorem om kanonisk form. Enhver logaritmisk ligning, uansett hva den inkluderer, uansett hvilke logaritmer, uansett hvilken base, og uansett hva c har i seg selv, er det nødvendig å bringe den til en ligning av formen:

log a f (x ) = log a g (x )

Hvis vi ser på ligningen vår, legger vi umiddelbart merke til to problemer:

Til venstre har vi summen av to tall, hvorav en ikke er en logaritme i det hele tatt.
Til høyre er litt av en logaritme, men ved basen er det en rot. Og logaritmen til venstre har bare 2, dvs. basene til logaritmene til venstre og høyre er forskjellige.

Så vi har kommet opp med en liste over problemer som skiller ligningen vår fra den kanonisk ligning , som du må redusere enhver logaritmisk ligning til i prosessen med å løse. Dermed løsningen av ligningen vår for dette stadiet kommer ned til å eliminere de to problemene beskrevet ovenfor.

Enhver logaritmisk ligning kan løses raskt og enkelt hvis den reduseres til sin kanoniske form.

Summen av logaritmene og logaritmen til produktet

La oss fortsette i rekkefølge. La oss først ta for oss strukturen som står til venstre. Hva kan vi si om summen av to logaritmer? La oss huske den fantastiske formelen:

log a f (x) + log a g (x) = log a f (x) g (x)

Men det er verdt å tenke på at i vårt tilfelle er det første leddet ikke en logaritme i det hele tatt. Så du må representere enheten som en logaritme til base 2 (nemlig 2, fordi logaritmen til base 2 er til venstre). Hvordan gjøre det? Igjen, husk den fantastiske formelen:

a = log b b a

Her må du forstå: når vi sier "Hvilken som helst base b", så mener vi at b fortsatt ikke kan være et vilkårlig tall. Hvis vi setter inn et tall i logaritmen, blir visse tall umiddelbart lagt over det. begrensninger, nemlig: basen til logaritmen må være større enn 0 og må ikke være lik 1. Ellers gir logaritmen rett og slett ikke mening. La oss skrive det ned:

0 < b ≠ 1

La oss se hva som skjer i vårt tilfelle:

1 = logg 2 2 1 = logg 2 2

La oss nå omskrive hele ligningen vår med dette faktum i tankene. Og umiddelbart bruker vi en annen regel: summen av logaritmer er lik logaritmen til produktet av argumentene. Som et resultat får vi:

Vi har en ny ligning. Som du kan se, er det allerede mye nærmere den kanoniske justeringen som vi streber etter. Men det er ett problem, vi skrev det i form av det andre punktet: logaritmene våre, som er til venstre og høyre, ulike grunner. La oss gå videre til neste trinn.

Regler for å ta potenser fra logaritmen

Så logaritmen til venstre har en base på bare 2, og logaritmen til høyre har en rot ved basen. Men dette er heller ikke et problem, hvis vi husker at fra basene fra logaritmenes argumenter kan tas ut til en potens. La oss skrive en av disse reglene:

log a b n = n log a b

Oversette til menneskelig språk: du kan ta kraften fra basen av logaritmen og sette den foran som en multiplikator. Tallet n "migrerte" ut av logaritmen og ble en koeffisient foran.

Vi kan like gjerne ta kraften ut av basen til logaritmen. Det vil se slik ut:

Med andre ord, hvis du tar potensen ut av logaritmeargumentet, skrives denne potensen også som en faktor foran logaritmen, men ikke som et tall, men som den resiproke av 1/k.

Det er imidlertid ikke alt! Vi kan kombinere disse to formlene og komme opp med følgende formel:

Når eksponenten er både i grunntallet og argumentet til en logaritme, kan vi spare tid og forenkle beregninger ved å fjerne eksponentene fra både grunnlaget og argumentet på en gang. I dette tilfellet vil det som var i argumentet (i vårt tilfelle er dette koeffisienten n) være i telleren. Og hva som var graden ved basen, a k , vil gå til nevneren.

Og det er disse formlene vi nå skal bruke for å redusere logaritmene våre til samme base.

Først av alt vil vi velge en mer eller mindre vakker base. Tydeligvis er toeren ved basen mye mer behagelig å jobbe med enn med roten. Så la oss prøve å basere 2 den andre logaritmen. La oss skrive denne logaritmen separat:

Hva kan vi gjøre her? Husk kraftformelen rasjonell indikator. Vi kan med andre ord skrive røtter som en potens med en rasjonell eksponent. Og så tar vi ut potensen 1/2 fra både argumentet og basen til logaritmen. Vi reduserer toerne i koeffisientene i telleren og nevneren foran logaritmen:

Til slutt omskriver vi den opprinnelige ligningen under hensyntagen til de nye koeffisientene:

log 2 2(9x 2 + 5) = log 2 (8x 4 + 14)

Vi har fått den kanoniske logaritmiske ligningen. Både til venstre og til høyre har vi en logaritme i samme grunntall 2. I tillegg til disse logaritmene er det ingen koeffisienter, ingen ledd verken til venstre eller høyre.

Følgelig kan vi kvitte oss med tegnet til logaritmen. Selvfølgelig, med tanke på definisjonsdomenet. Men før vi gjør det, la oss gå tilbake og gjøre en liten avklaring om brøker.

Å dele en brøk med en brøk: Ytterligere hensyn

Ikke alle elever forstår hvor faktorene foran høyre logaritme kommer fra og hvor de går. La oss skrive det ned igjen:

La oss forstå hva en brøk er. La oss skrive:

Og nå husker vi regelen for å dele brøker: for å dele med 1/2, må du multiplisere med den inverterte brøken:

Selvfølgelig, for å gjøre det lettere for ytterligere beregninger, kan vi skrive toeren som 2/1 - og dette er nøyaktig hva vi observerer som den andre koeffisienten i løsningsprosessen.

Jeg håper nå alle forstår hvor den andre koeffisienten kommer fra, så vi går direkte til å løse vår kanoniske logaritmiske ligning.

Bli kvitt logaritmens fortegn

Jeg minner deg om at nå kan vi bli kvitt logaritmene og la følgende uttrykk ligge:

2(9x2 + 5) = 8x4 + 14

La oss utvide parentesene til venstre. Vi får:

18x2 + 10 = 8x4 + 14

La oss flytte alt fra venstre side til høyre:

8x4 + 14 - 18x2 - 10 = 0

Vi gir lignende og får:

8x4 - 18x2 + 4 = 0

Vi kan dele begge sider av denne ligningen med 2 for å forenkle koeffisientene, og vi får:

4x4 - 9x2 + 2 = 0

Foran oss er det vanlige biquadratisk ligning , og dens røtter kan lett beregnes i form av diskriminanten. Så la oss skrive diskriminanten:

D \u003d 81 - 4 4 2 \u003d 81 - 32 \u003d 49

Fint, Diskriminanten er "vakker", roten til det er 7. Det er det, vi vurderer X-ene selv. Men i denne saken røttene vil vise seg ikke x, men x 2, fordi vi har en biquadratisk ligning. Så våre alternativer er:

Vær oppmerksom på: vi hentet røttene, så det vil være to svar, fordi. torget - jevn funksjon. Og hvis vi bare skriver roten av to, mister vi rett og slett den andre roten.

Nå maler vi den andre roten av vår biquadratiske ligning:

Igjen trekker vi ut aritmetikken Kvadratrot fra begge deler av ligningen vår og vi får to røtter. Husk imidlertid:

Det er ikke nok å bare sette likhetstegn mellom logaritmenes argumenter i kanonisk form. Husk omfanget!

Totalt fikk vi fire røtter. Alle av dem er faktisk løsninger på vår opprinnelige ligning. Ta en titt: i vår opprinnelige logaritmiske ligning, inne i logaritmene er enten 9x 2 + 5 (denne funksjonen er alltid positiv), eller 8x 4 + 14 - den er også alltid positiv. Derfor er definisjonsdomenet til logaritmer oppfylt uansett, uansett hvilken rot vi får, noe som betyr at alle fire røttene er løsninger på ligningen vår.

Flott, la oss nå gå videre til den andre delen av problemet.

Valg av røtter til en logaritmisk ligning på et segment

Vi velger fra våre fire røtter de som ligger på intervallet [−1; 8/9]. Vi går tilbake til røttene våre, og nå skal vi utføre utvalget deres. Til å begynne med foreslår jeg å tegne koordinataksen og merk endene av segmentet på det:

Begge punktene vil være skyggelagt. De. av tilstanden til problemet er vi interessert i det skyggelagte segmentet. La oss nå ta for oss røttene.

Irrasjonelle røtter

La oss begynne med irrasjonelle røtter. Merk at 8/9< 9/9 = 1. С другой стороны, корень из двух явно больше единицы. Следовательно, наши корни будут находиться на отрезке в таком положении:

Det følger av dette at roten av to ikke faller inn i segmentet som er av interesse for oss. På samme måte vil vi få negativ rot: den er mindre enn −1, dvs. ligger til venstre for segmentet som er av interesse for oss.

rasjonelle røtter

Det er to røtter igjen: x = 1/2 og x = −1/2. La oss legge merke til at den venstre enden av segmentet (−1) er negativ, og den høyre enden (8/9) er positiv. Et sted mellom disse endene ligger derfor tallet 0. Roten x = −1/2 vil være mellom −1 og 0, dvs. vil inngå i det endelige svaret. Vi gjør det samme med roten x = 1/2. Denne roten ligger også på segmentet som vurderes.

Det er veldig enkelt å sørge for at tallet 8/9 er større enn 1/2. La oss trekke disse tallene fra hverandre:

Vi fikk brøken 7/18 > 0, som per definisjon betyr at 8/9 > 1/2.

La oss markere passende røtter på koordinataksen:

Det endelige svaret vil være to røtter: 1/2 og −1/2.

Sammenligning av irrasjonelle tall: en universell algoritme

Avslutningsvis vil jeg komme tilbake til irrasjonelle tall nok en gang. Ved å bruke deres eksempel vil vi nå se hvordan man sammenligner rasjonelle og irrasjonelle størrelser i matematikk. Til å begynne med er det en slik hake V mellom dem - skiltet "mer" eller "mindre", men vi vet ennå ikke i hvilken retning det er rettet. La oss skrive:

Hvorfor trenger vi noen sammenligningsalgoritmer i det hele tatt? Faktum er at i dette problemet var vi veldig heldige: i prosessen med å løse oppsto et skillenummer 1, som vi definitivt kan si om:

Du vil imidlertid ikke alltid se et slikt tall på farten. La oss derfor prøve å sammenligne tallene våre direkte.

Hvordan gjøres det? Vi gjør det samme som med de vanlige ulikhetene:

For det første, hvis vi hadde negative koeffisienter et sted, ville vi multiplisert begge sider av ulikheten med −1. Selvfølgelig endre skiltet. En slik hake V ville endret til en slik - Λ.
Men i vårt tilfelle er begge sider allerede positive, så det er ikke nødvendig å endre noe. Det som virkelig trengs er kvadrat begge sider for å bli kvitt det radikale.

Hvis når man sammenligner irrasjonelle tall Jeg kan ikke plukke opp et skilleelement med en gang, jeg anbefaler å gjøre en slik head-to-head-sammenligning - og beskriver det som en vanlig ulikhet.

Når du løser det, ser det slik ut:

Nå er alt enkelt å sammenligne. Faktum er at 64/81< 81/81 = 1 < 2. На основании той цепочки преобразований мы заключаем, что 64/81 < 2 и, следовательно, корень больше 8/9.

Det er det, vi har fått et strengt bevis på at alle tall er merket på talllinjen x riktig og i nøyaktig den rekkefølgen de egentlig skal være. Ingen vil klage på en slik avgjørelse, så husk: hvis du ikke umiddelbart ser skilletallet (i vårt tilfelle er det 1), så skriv gjerne ut konstruksjonen ovenfor, multipliser, kvadrat - og til slutt vil få en vakker ulikhet. Fra denne ulikheten vil det være klart nøyaktig hvilket tall som er større og hvilket som er mindre.

For å komme tilbake til problemet vårt, vil jeg igjen gjøre oppmerksom på hva vi gjorde helt i begynnelsen da vi løste ligningen vår. Vi så nemlig nøye på vår opprinnelige logaritmiske ligning og prøvde å redusere den til kanonisk logaritmisk ligning. Der det kun er logaritmer til venstre og høyre - uten tilleggsledd, koeffisienter foran osv. Vi trenger ikke to logaritmer til grunntallet a eller b, nemlig en logaritme lik en annen logaritme.

I tillegg må basene til logaritmene også være like. Dessuten, hvis ligningen er kompilert riktig, så ved hjelp av elementær logaritmiske transformasjoner(summen av logaritmer, konvertering av et tall til en logaritme osv.) vil vi redusere denne ligningen til den kanoniske.

Derfor, når du fremover ser en logaritmisk ligning som ikke umiddelbart løses "på pannen", bør du ikke gå deg vill eller prøve å finne et svar. Det er nok å følge disse trinnene:

Ta med alle frie elementer til logaritmen;
Legg deretter til disse logaritmene;
I den resulterende konstruksjonen fører alle logaritmer til samme base.

Som et resultat vil du få en enkel ligning, som løses ved hjelp av elementær algebra fra materialer av klasse 8-9. Generelt, gå til nettstedet mitt, øv på å løse logaritmer, løs logaritmiske ligninger som meg, løs dem bedre enn meg. Og det er alt for meg. Pavel Berdov var med deg. Ser deg snart!

Logaritmiske uttrykk, løsning av eksempler. I denne artikkelen vil vi vurdere problemer knyttet til å løse logaritmer. Oppgavene reiser spørsmålet om å finne verdien av uttrykket. Det skal bemerkes at konseptet med logaritmen brukes i mange oppgaver, og det er ekstremt viktig å forstå betydningen. Når det gjelder BRUK, brukes logaritmen til å løse ligninger, i anvendte problemer, og også i oppgaver knyttet til studiet av funksjoner.

Her er eksempler for å forstå selve betydningen av logaritmen:

Grunnleggende logaritmisk identitet:

Egenskaper til logaritmer som du alltid må huske:

*Logaritme av produktet er lik summen logaritmene til faktorene.

* * *

* Logaritmen til kvotienten (brøken) er lik differansen av logaritmene til faktorene.

* * *

*Logaritme av grad er lik produktet eksponent til logaritmen til basen.

* * *

*Overgang til ny base

* * *

Flere eiendommer:

* * *

Å beregne logaritmer er nært beslektet med å bruke egenskapene til eksponenter.

Vi lister opp noen av dem:

essens gitt eiendom er at når man overfører telleren til nevneren og omvendt, endres eksponentens fortegn til det motsatte. For eksempel:

Konsekvensen av denne egenskapen:

* * *

Når du hever en potens til en potens, forblir basen den samme, men eksponentene multipliseres.

* * *

Som du kan se, er selve konseptet med logaritmen enkelt. Hovedsaken er at det trengs god praksis, som gir en viss ferdighet. Kunnskap om formler er absolutt obligatorisk. Hvis ferdigheten i transformasjonen av elementære logaritmer ikke dannes, så når du løser enkle oppgaver det er lett å gjøre feil.

Øv deg, løs de enkleste eksemplene fra mattekurset først, og gå deretter videre til mer komplekse. I fremtiden vil jeg definitivt vise hvordan de "stygge" logaritmene løses, det vil ikke være slike på eksamen, men de er av interesse, ikke gå glipp av det!

Det er alt! Lykke til!

Med vennlig hilsen Alexander Krutitskikh

P.S: Jeg ville være takknemlig hvis du forteller om nettstedet i sosiale nettverk.

Personvernet ditt er viktig for oss. Av denne grunn har vi utviklet en personvernerklæring som beskriver hvordan vi bruker og lagrer informasjonen din. Vennligst les vår personvernerklæring og gi oss beskjed hvis du har spørsmål.

Innsamling og bruk av personopplysninger

Personopplysninger refererer til data som kan brukes til å identifisere eller kontakte en bestemt person.

Du kan bli bedt om å oppgi din personlige informasjon når som helst når du kontakter oss.

Følgende er noen eksempler på hvilke typer personopplysninger vi kan samle inn og hvordan vi kan bruke slik informasjon.

Hvilken personlig informasjon samler vi inn:

Når du sender inn en søknad på nettstedet, kan vi samle inn ulike opplysninger, inkludert navn, telefonnummer, adresse E-post etc.

Hvordan vi bruker dine personopplysninger:

Samlet av oss personlig informasjon lar oss kontakte deg og informere deg om unike tilbud, kampanjer og andre arrangementer og kommende arrangementer.
Fra tid til annen kan vi bruke din personlige informasjon til å sende deg viktige meldinger og kommunikasjoner.
Vi kan også bruke personopplysninger til interne formål, som å gjennomføre revisjoner, dataanalyser og ulike undersøkelser for å forbedre tjenestene vi leverer og gi deg anbefalinger angående våre tjenester.
Hvis du deltar i en premietrekning, konkurranse eller lignende insentiv, kan vi bruke informasjonen du gir til å administrere slike programmer.

Offentliggjøring til tredjeparter

Vi utleverer ikke informasjon mottatt fra deg til tredjeparter.

Unntak:

Om nødvendig - i samsvar med loven, rettsorden, i rettssaker, og/eller basert på offentlige forespørsler eller forespørsler fra offentlige etater på den russiske føderasjonens territorium - oppgi din personlige informasjon. Vi kan også avsløre informasjon om deg hvis vi fastslår at slik avsløring er nødvendig eller hensiktsmessig av hensyn til sikkerhet, rettshåndhevelse eller andre offentlige interesser.
Ved en omorganisering, fusjon eller salg kan vi overføre personopplysningene vi samler inn til den aktuelle tredjeparts etterfølgeren.

Beskyttelse av personopplysninger

Vi tar forholdsregler - inkludert administrative, tekniske og fysiske - for å beskytte din personlige informasjon mot tap, tyveri og misbruk, samt mot uautorisert tilgang, avsløring, endring og ødeleggelse.

Opprettholde personvernet ditt på bedriftsnivå

For å sikre at din personlige informasjon er sikker, kommuniserer vi personvern- og sikkerhetspraksis til våre ansatte og håndhever strengt personvernpraksis.

Som du vet, når du multipliserer uttrykk med potenser, summeres eksponentene deres alltid (a b * a c = a b + c). Denne matematiske loven ble utledet av Arkimedes, og senere, på 800-tallet, laget matematikeren Virasen en tabell med heltallsindikatorer. Det var de som tjente for videre oppdagelse av logaritmer. Eksempler på bruk av denne funksjonen finnes nesten overalt hvor det kreves å forenkle tungvint multiplikasjon til enkel addisjon. Hvis du bruker 10 minutter på å lese denne artikkelen, vil vi forklare deg hva logaritmer er og hvordan du kan jobbe med dem. Enkelt og tilgjengelig språk.

Definisjon i matematikk

Logaritmen er et uttrykk for følgende form: log a b=c, det vil si logaritmen til ethvert ikke-negativt tall (det vil si ethvert positivt) "b" i henhold til sin grunntall "a" regnes som potensen til "c" ", som det er nødvendig å heve basen "a", slik at du til slutt får verdien "b". La oss analysere logaritmen ved hjelp av eksempler, la oss si at det er et uttrykk log 2 8. Hvordan finne svaret? Det er veldig enkelt, du må finne en slik grad at fra 2 til den nødvendige graden får du 8. Etter å ha gjort noen beregninger i tankene dine, får vi tallet 3! Og med rette, fordi 2 i 3 potens gir tallet 8 i svaret.

Varianter av logaritmer

For mange elever og studenter virker dette emnet komplisert og uforståelig, men faktisk er logaritmer ikke så skumle, det viktigste er å forstå deres generelle betydning og huske egenskapene deres og noen regler. Det er tre visse typer logaritmiske uttrykk:

Naturlig logaritme ln a, der grunntall er Euler-tallet (e = 2,7).
Desimal a, der grunntallet er 10.
Logaritmen til ethvert tall b til grunntallet a>1.

Hver av dem er bestemt på en standard måte, som inkluderer forenkling, reduksjon og påfølgende reduksjon til én logaritme ved bruk av logaritmiske teoremer. For å få de riktige verdiene til logaritmer, bør man huske egenskapene deres og rekkefølgen av handlinger i avgjørelsene deres.

Regler og noen restriksjoner

I matematikk er det flere regler-begrensninger som aksepteres som et aksiom, det vil si at de ikke er gjenstand for diskusjon og er sanne. Du kan for eksempel ikke dele tall med null, og det er også umulig å trekke ut roten jevn grad fra negative tall. Logaritmer har også sine egne regler, og etter disse kan du enkelt lære hvordan du arbeider selv med lange og romslige logaritmiske uttrykk:

base "a" må alltid være Over null, og samtidig ikke være lik 1, ellers vil uttrykket miste sin betydning, fordi "1" og "0" i en hvilken som helst grad alltid er lik verdiene deres;
hvis a > 0, så a b > 0, viser det seg at "c" må være større enn null.

Hvordan løse logaritmer?

For eksempel ble oppgaven gitt for å finne svaret på ligningen 10 x \u003d 100. Det er veldig enkelt, du må velge en slik potens ved å øke tallet ti som vi får 100 til. Dette er selvfølgelig 10 2 \u003d 100.

La oss nå representere dette uttrykket som et logaritmisk uttrykk. Vi får log 10 100 = 2. Ved løsning av logaritmer konvergerer alle handlinger praktisk talt for å finne i hvilken grad basen til logaritmen må legges inn for å få et gitt tall.

For nøyaktig å bestemme verdien av en ukjent grad, må du lære å jobbe med en tabell over grader. Det ser slik ut:

Som du kan se, kan noen eksponenter gjettes intuitivt hvis du har en teknisk tankegang og kunnskap om multiplikasjonstabellen. Imidlertid for store verdier du trenger en tabell over grader. Det kan brukes selv av de som ikke forstår noe i det hele tatt i kompleks matematiske emner. Den venstre kolonnen inneholder tall (grunntall a), den øverste raden med tall er verdien av potensen c, som tallet a er hevet til. I skjæringspunktet i cellene bestemmes verdiene til tallene, som er svaret (a c =b). La oss for eksempel ta den aller første cellen med tallet 10 og kvadrere det, vi får verdien 100, som er indikert i skjæringspunktet mellom våre to celler. Alt er så enkelt og lett at selv den mest ekte humanist vil forstå!

Ligninger og ulikheter

Det viser seg at under visse forhold er eksponenten logaritmen. Derfor kan alle matematiske numeriske uttrykk skrives som en logaritmisk ligning. For eksempel kan 3 4 =81 skrives som logaritmen av 81 til grunntallet 3, som er fire (log 3 81 = 4). Til negative krefter reglene er de samme: 2 -5 \u003d 1/32 vi skriver i form av en logaritme, vi får log 2 (1/32) \u003d -5. En av de mest fascinerende delene av matematikken er temaet "logaritmer". Vi vil vurdere eksempler og løsninger på ligninger litt lavere, umiddelbart etter å ha studert egenskapene deres. La oss nå se på hvordan ulikheter ser ut og hvordan vi kan skille dem fra ligninger.

Et uttrykk av følgende form er gitt: log 2 (x-1) > 3 - det er logaritmisk ulikhet, siden den ukjente verdien "x" er under tegnet til logaritmen. Og også i uttrykket sammenlignes to mengder: logaritmen til det ønskede tallet i base to er større enn tallet tre.

Den viktigste forskjellen mellom logaritmiske ligninger og ulikheter er at ligninger med logaritmer (for eksempel logaritmen til 2 x = √9) innebærer en eller flere spesifikke numeriske verdier, mens i løsning av ulikhetene er definert som området tillatte verdier, og diskontinuitetspunktene til denne funksjonen. Som en konsekvens er svaret ikke et enkelt sett med individuelle tall, som i svaret på ligningen, men en kontinuerlig serie eller sett med tall.

Grunnleggende teoremer om logaritmer

Når du løser primitive oppgaver for å finne verdiene til logaritmen, kan dens egenskaper ikke være kjent. Men når det gjelder logaritmiske ligninger eller ulikheter, er det først og fremst nødvendig å forstå og anvende i praksis alle grunnleggende egenskaper logaritmer. Vi vil bli kjent med eksempler på ligninger senere, la oss først analysere hver egenskap mer detaljert.

Den grunnleggende identiteten ser slik ut: a logaB =B. Det gjelder bare hvis a er større enn 0, ikke lik én, og B er større enn null.
Logaritmen til produktet kan representeres i følgende formel: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. I dette tilfellet er forutsetningen: d, s 1 og s 2 > 0; a≠1. Du kan gi et bevis for denne formelen av logaritmer, med eksempler og en løsning. La log a s 1 = f 1 og log a s 2 = f 2 , så a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Vi får at s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (gradegenskaper ), og videre per definisjon: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, som skulle bevises.
Logaritmen til kvotienten ser slik ut: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
Teoremet i form av en formel får neste visning: log a q b n = n/q log a b.

Denne formelen kalles "egenskapen til graden av logaritmen". Det ligner egenskapene til vanlige grader, og det er ikke overraskende, fordi all matematikk hviler på vanlige postulater. La oss se på beviset.

La logge a b \u003d t, viser det seg a t \u003d b. Hvis du hever begge deler til potensen m: a tn = b n ;

men siden a tn = (a q) nt/q = b n, derav log a q b n = (n*t)/t, så log a q b n = n/q log a b. Teoremet er bevist.

Eksempler på problemer og ulikheter

De vanligste typene logaritmeproblemer er eksempler på likninger og ulikheter. De finnes i nesten alle oppgavebøker, og inngår også i den obligatoriske delen av eksamen i matematikk. For opptak til universitetet eller bestått opptaksprøver i matematikk må du vite hvordan du løser slike problemer riktig.

Dessverre, en enkelt plan eller plan for å ta opp og bestemme ukjent verdi det er ingen logaritme, men visse regler kan brukes på hver matematisk ulikhet eller logaritmisk ligning. Først av alt bør du finne ut om uttrykket kan forenkles eller reduseres til generelt syn. Du kan forenkle lange logaritmiske uttrykk hvis du bruker egenskapene deres riktig. La oss snart bli kjent med dem.

Når du løser logaritmiske ligninger, er det nødvendig å bestemme hva slags logaritme vi har foran oss: et eksempel på et uttrykk kan inneholde en naturlig logaritme eller en desimal.

Her er eksempler ln100, ln1026. Løsningen deres koker ned til det faktum at du må bestemme i hvilken grad basen 10 vil være lik henholdsvis 100 og 1026. For løsninger naturlige logaritmer trenger å søke logaritmiske identiteter eller deres egenskaper. La oss ta en titt på løsningen med eksempler. logaritmiske problemer annen type.

Hvordan bruke logaritmeformler: med eksempler og løsninger

Så, la oss se på eksempler på bruk av hovedsetningene på logaritmer.

Egenskapen til logaritmen til produktet kan brukes i oppgaver der det er nødvendig å utvide veldig viktig tall b med mer primære faktorer. For eksempel log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Svaret er 9.
log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - som du kan se, ved å bruke den fjerde egenskapen til logaritmen, klarte vi ved første øyekast å løse et komplekst og uløselig uttrykk. Det er bare nødvendig å faktorisere basen og deretter ta eksponentverdiene ut av fortegnet til logaritmen.

Oppgaver fra eksamen

Logaritmer finnes ofte i Opptaksprøve, spesielt mange logaritmiske problemer i eksamen ( Statlig eksamen for alle nyutdannede på videregående skole). Vanligvis er disse oppgavene til stede ikke bare i del A (den enkleste test del eksamen), men også i del C (de vanskeligste og mest omfangsrike oppgavene). Eksamen innebærer en nøyaktig og perfekt kunnskap om emnet "Naturlige logaritmer".

Eksempler og problemløsninger er hentet fra offisielle BRUK alternativer. La oss se hvordan slike oppgaver løses.

Gitt logg 2 (2x-1) = 4. Løsning:
la oss omskrive uttrykket, forenkle det litt log 2 (2x-1) = 2 2, ved definisjonen av logaritmen får vi at 2x-1 = 2 4, derfor 2x = 17; x = 8,5.

Alle logaritmer reduseres best til samme base slik at løsningen ikke blir tungvint og uoversiktlig.
Alle uttrykk under logaritmenes fortegn er indikert som positive, derfor, når du tar ut eksponenten til eksponenten til uttrykket, som er under logaritmens fortegn og som base, må uttrykket som blir igjen under logaritmen være positivt.

Hva er en logaritme?

Merk følgende!
Det er flere
materiale i spesialseksjon 555.
For de som sterkt "ikke veldig..."
Og for de som "veldig mye...")

Hva er en logaritme? Hvordan løse logaritmer? Disse spørsmålene forvirrer mange nyutdannede. Tradisjonelt anses temaet logaritmer som komplekst, uforståelig og skummelt. Spesielt - ligninger med logaritmer.

Dette er absolutt ikke sant. Absolutt! Tror du ikke? Fint. Nå, i 10-20 minutter:

1. Forstå hva er en logaritme.

2. Lær å løse en hel klasse eksponentielle ligninger. Selv om du ikke har hørt om dem.

3. Lær å regne ut enkle logaritmer.

Dessuten, for dette trenger du bare å vite multiplikasjonstabellen, og hvordan et tall heves til en potens ...

Jeg føler at du tviler ... Vel, hold tiden! Gå!

Løs først følgende ligning i tankene dine:

Hvis du liker denne siden...

Forresten, jeg har et par flere interessante nettsteder for deg.)

Du kan trene på å løse eksempler og finne ut nivået ditt. Testing med umiddelbar verifisering. Læring - med interesse!)

du kan bli kjent med funksjoner og deriverte.