Hvordan løse eksempler med uekte brøker. Positive og negative brøker

Vi møter brøker i livet mye tidligere enn de begynner å studere på skolen. Hvis du kutter et helt eple i to, får vi et stykke frukt - ½. Klipp det igjen - det blir ¼. Dette er hva brøker er. Og alt, ser det ut til, er enkelt. For en voksen. For barnet (og dette emnet begynne å lære på slutten barneskole) abstrakt matematiske begreper er fortsatt skremmende uforståelige, og læreren må forklare på en tilgjengelig måte hva en egen brøk og en uekte, vanlig og desimal, er, hvilke operasjoner som kan utføres med dem og, viktigst av alt, hvorfor alt dette er nødvendig.

Hva er brøker

Bekjentskap med nytt tema på skolen begynner med vanlige brøker. De er lette å kjenne igjen på den horisontale linjen som skiller de to tallene – over og under. Toppen kalles telleren, bunnen kalles nevneren. Det er også en liten stavemåte av uekte og riktige vanlige brøker - gjennom en skråstrek, for eksempel: ½, 4/9, 384/183. Dette alternativet brukes når linjehøyden er begrenset og det ikke er mulig å bruke "to-etasjes"-formen for oppføringen. Hvorfor? Ja, fordi det er mer praktisk. Litt senere vil vi bekrefte dette.

I tillegg til ordinære, er det også desimalbrøker. Det er veldig enkelt å skille mellom dem: hvis det i ett tilfelle brukes en horisontal eller skråstrek, så i det andre - et komma som skiller tallsekvenser. La oss se et eksempel: 2.9; 163,34; 1.953. Vi brukte bevisst semikolon som skilletegn for å avgrense tallene. Den første av dem vil bli lest slik: «to hele, ni tideler».

Nye konsepter

La oss gå tilbake til vanlige brøker. De er av to slag.

Definisjonen av en egenbrøk er som følger: det er en brøk med teller mindre enn nevneren. Hvorfor er det viktig? Nå får vi se!

Du har flere epler kuttet i to. Totalt - 5 deler. Hvordan sier du: du har "to og et halvt" eller "fem sekunders" epler? Selvfølgelig høres det første alternativet mer naturlig ut, og når vi snakker med venner, vil vi bruke det. Men hvis du trenger å regne ut hvor mye frukt hver skal få, hvis det er fem personer i selskapet, vil vi skrive ned tallet 5/2 og dele det på 5 - fra et matematikksynspunkt vil dette bli klarere.

Så, for å navngi riktige og uekte brøker, er regelen som følger: hvis en heltallsdel (14/5, 2/1, 173/16, 3/3) kan skilles i en brøk, så er den feil. Hvis dette ikke kan gjøres, som for ½, 13/16, 9/10, vil det være riktig.

Grunnleggende egenskap til en brøk

Hvis telleren og nevneren til en brøk multipliseres eller divideres med samme tall samtidig, vil ikke verdien endres. Tenk deg: kaken ble kuttet i 4 like deler og de ga deg en. Den samme kaken ble skåret i åtte stykker og gitt deg to. Er ikke alt det samme? Tross alt er ¼ og 2/8 det samme!

Reduksjon

Forfattere av problemer og eksempler i lærebøker i matematikk prøver ofte å forvirre elevene ved å tilby brøker som er tungvinte å skrive og som faktisk kan reduseres. Her er et eksempel på en egen brøk: 167/334, som, det ser ut til, ser veldig "skummelt ut". Men faktisk kan vi skrive det som ½. Tallet 334 er delelig med 167 uten en rest - etter å ha utført denne operasjonen får vi 2.

blandede tall

En uekte brøk kan representeres som et blandet tall. Dette er når hele delen bringes frem og skrives på nivå med den horisontale linjen. Faktisk har uttrykket form av en sum: 11/2 = 5 + ½; 13/6 = 2 + 1/6 og så videre.

For å ta ut hele delen må du dele telleren på nevneren. Skriv resten av inndelingen over, over linjen, og hele delen før uttrykket. Dermed får vi to strukturelle deler: hele enheter + egenbrøk.

Du kan også utføre omvendt operasjon - for dette må du multiplisere heltallsdelen med nevneren og legge den resulterende verdien til telleren. Ikke noe komplisert.

Multiplikasjon og divisjon

Merkelig nok er det lettere å multiplisere brøker enn å legge dem til. Alt som kreves er å forlenge den horisontale linjen: (2/3) * (3/5) = 2*3 / 3*5 = 2/5.

Med divisjon er alt også enkelt: du må multiplisere brøkene på kryss og tvers: (7/8) / (14/15) \u003d 7 * 15 / 8 * 14 \u003d 15/16.

Tilsetning av brøker

Hva du skal gjøre hvis du trenger å utføre tillegg eller og i deres nevner forskjellige tall? Det vil ikke fungere på samme måte som med multiplikasjon – her bør man forstå definisjonen av en egenbrøk og dens essens. Vi må bringe vilkårene til fellesnevner, det vil si at nederst i begge brøkene skal det være samme tall.

For å gjøre dette bør du bruke den grunnleggende egenskapen til en brøk: multipliser begge deler med samme tall. For eksempel, 2/5 + 1/10 = (2*2)/(5*2) + 1/10 = 5/10 = ½.

Hvordan velge hvilken nevner vilkårene skal bringes til? Dette må være det minste multiplumet av begge nevnerne: for 1/3 og 1/9 vil det være 9; for ½ og 1/7 - 14, fordi det ikke er noen mindre verdi delelig med 2 og 7 uten en rest.

Bruk

Hva trenger du uekte brøker? Tross alt er det mye mer praktisk å umiddelbart velge hele delen, få et blandet nummer - og det er det! Det viser seg at hvis du trenger å multiplisere eller dele to brøker, er det mer lønnsomt å bruke feil.

La oss ta følgende eksempel: (2 + 3/17) / (37 / 68).

Det ser ut til at det ikke er noe å kutte i det hele tatt. Men hva om vi skriver resultatet av addisjonen i de første parentesene som en uekte brøk? Se: (37/17) / (37/68)

Nå faller alt på plass! La oss skrive eksempelet på en slik måte at alt blir åpenbart: (37 * 68) / (17 * 37).

La oss redusere 37-tallet i telleren og nevneren, og til slutt dele topp- og bunndelen med 17. Husker du grunnregelen for riktige og uekte brøker? Vi kan multiplisere og dele dem med et hvilket som helst tall, så lenge vi gjør det for telleren og nevneren samtidig.

Så vi får svaret: 4. Eksemplet så komplisert ut, og svaret inneholder bare ett siffer. Dette skjer ofte i matematikk. Det viktigste er ikke å være redd og følge enkle regler.

Vanlige feil

Ved trening kan eleven enkelt gjøre en av de populære feilene. Vanligvis oppstår de på grunn av uoppmerksomhet, og noen ganger på grunn av det faktum at det studerte materialet ennå ikke er riktig avsatt i hodet.

Ofte forårsaker summen av tallene i telleren et ønske om å redusere dens individuelle komponenter. Anta at i eksemplet: (13 + 2) / 13, skrevet uten parentes (med en horisontal linje), krysser mange elever på grunn av uerfarenhet ut 13 ovenfra og under. Men dette skal ikke i noe tilfelle gjøres, for det er det tabbe! Hvis det i stedet for addisjon var et multiplikasjonstegn, ville vi fått tallet 2 i svaret. Men ved addering er ingen operasjoner med ett av leddene tillatt, kun med hele summen.

Barn gjør ofte feil når de deler brøker. La oss ta to vanlige irreduserbare brøker og dele med hverandre: (5/6) / (25/33). Eleven kan forvirre og skrive det resulterende uttrykket som (5*25) / (6*33). Men dette ville ha skjedd med multiplikasjon, og i vårt tilfelle vil alt være litt annerledes: (5 * 33) / (6 * 25). Vi reduserer det som er mulig, og i svaret får vi se 11/10. Vi skriver den resulterende uekte brøken som en desimal - 1,1.

Parenteser

Husk det i enhver matematiske uttrykk rekkefølgen av handlinger bestemmes av forrangen til operasjonstegn og tilstedeværelsen av parenteser. Alt annet likt telles handlingssekvensen fra venstre til høyre. Dette gjelder også for brøker - uttrykket i telleren eller nevneren beregnes strengt i henhold til denne regelen.

Det er resultatet av å dele ett tall med et annet. Hvis de ikke deler seg helt, viser det seg en brøkdel - det er alt.

Hvordan skrive en brøk på en datamaskin

Siden standardverktøy ikke alltid lar deg lage en brøk som består av to «lag», går elevene noen ganger for ulike triks. For eksempel kopierer de tellerne og nevnerne inn i Paint-editoren og limer dem sammen, og tegner en horisontal linje mellom dem. Selvfølgelig er det et enklere alternativ, som forresten gir mye tilleggsfunksjoner som vil være nyttig for deg i fremtiden.

Åpne Microsoft Word. Et av panelene øverst på skjermen heter "Sett inn" - klikk på det. Til høyre, på siden der ikonene for å lukke og minimere vinduet er plassert, er det en formelknapp. Dette er akkurat det vi trenger!

Hvis du bruker denne funksjonen, vil et rektangulært område vises på skjermen der du kan bruke hvilket som helst matematiske tegn mangler på tastaturet, samt skrive brøker i klassisk form. Det vil si å skille telleren og nevneren med en horisontal linje. Du kan til og med bli overrasket over at en slik egen brøk er så lett å skrive ned.

Lær matematikk

Går du i klasse 5-6, så vil det snart kreves kunnskap om matematikk (inkludert evnen til å arbeide med brøker!) i mange skolefag. I nesten alle problemer i fysikk, når man måler massen av stoffer i kjemi, i geometri og trigonometri, kan ikke fraksjoner unnlates. Snart vil du lære å beregne alt i tankene dine, uten engang å skrive uttrykk på papir, men mer og mer komplekse eksempler. Lær derfor hva en riktig brøk er og hvordan du kan jobbe med den, følg med læreplan gjør leksene dine i tide, og da vil du lykkes.

Brøkdel i matematikk, et tall som består av en eller flere deler (brøker) av en enhet. Brøker er en del av feltet rasjonelle tall. Brøker er delt inn i 2 formater i henhold til måten de er skrevet på: vanlig snill og desimal .

Telleren til en brøk- et tall som viser antall aksjer tatt (plassert øverst i brøken - over linjen). Brøknevner- et tall som viser hvor mange deler enheten er delt inn i (plassert under linjen - i nedre del). på sin side er delt inn i: riktig og feil, blandet og sammensatte nært knyttet til måleenheter. 1 meter inneholder 100 cm. Noe som betyr at 1 m er delt opp i 100 like deler. Dermed er 1 cm = 1/100 m (en centimeter er lik en hundredel av en meter).

eller 3/5 (tre femtedeler), her er 3 telleren, 5 er nevneren. Hvis telleren er mindre enn nevneren, er brøken mindre enn én og kalles riktig:

Hvis telleren er lik nevneren, er brøken lik én. Hvis telleren er større enn nevneren, er brøken større enn én. I begge nylige tilfeller brøken kalles feil:

For å isolere det største heltallet i en uekte brøk, må du dele telleren med nevneren. Hvis divisjonen utføres uten en rest, er den uriktige brøken tatt lik kvotienten:

Hvis divisjonen utføres med en rest, gir den (ufullstendige) kvotienten ønsket heltall, resten blir telleren til brøkdelen; nevneren til brøkdelen forblir den samme.

Et tall som inneholder et heltall og en brøkdel kalles blandet. Brøkdel blandet tall kan være uekte brøk. Da er det mulig å trekke ut det største heltall fra brøkdelen og representere det blandede tallet på en slik måte at brøkdelen blir en egen brøk (eller forsvinner helt).

Ved ordet «brøker» løper mange gåsehud. For jeg husker skolen og oppgavene som ble løst i matematikk. Dette var en plikt som måtte oppfylles. Men hva om vi behandler oppgaver som inneholder riktige og uekte brøker som et puslespill? Mange voksne løser tross alt digitale og japanske kryssord. Forstå reglene og det er det. Samme her. Man trenger bare å fordype seg i teorien – og alt vil falle på plass. Og eksempler vil bli en måte å trene hjernen på.

Hvilke typer brøker finnes det?

La oss begynne med hva det er. En brøk er et tall som har en brøkdel av én. Det kan skrives i to former. Den første kalles vanlig. Det vil si en som har et horisontalt eller skrått slag. Det tilsvarer divisjonstegnet.

I en slik notasjon kalles tallet over streken for telleren, og under det kalles nevneren.

Blant vanlige brøker skilles riktige og gale brøker. For førstnevnte er modulo-telleren alltid mindre enn nevneren. De gale kalles det fordi de har det motsatte. Verdien av en egenbrøk er alltid mindre enn én. Mens feil alltid er større enn dette tallet.

Det er også blandede tall, det vil si de som har et heltall og en brøkdel.

Den andre typen rekord er desimal. Om hennes separate samtale.

Hva er forskjellen mellom uekte brøker og blandede tall?

I utgangspunktet ingenting. Det er bare en annen notasjon av samme tall. Uekte brøker etter enkle handlinger blir lett blandede tall. Og vice versa.

Alt avhenger av den spesifikke situasjonen. Noen ganger i oppgaver er det mer praktisk å bruke en uekte brøkdel. Og noen ganger er det nødvendig å oversette det til et blandet tall, og da vil eksemplet løses veldig enkelt. Derfor, hva du skal bruke: uekte brøker, blandede tall - avhenger av observasjonen av løseren av problemet.

Det blandede tallet sammenlignes også med summen av heltallsdelen og brøkdelen. Dessuten er den andre alltid mindre enn enhet.

Hvordan representere et blandet tall som en uekte brøk?

Hvis du ønsker å utføre en handling med flere tall som er skrevet inn forskjellige typer, så må du gjøre dem like. En metode er å representere tall som uekte brøker.

For dette formålet må du følge følgende algoritme:

multipliser nevneren med heltallsdelen;
legg til verdien av telleren til resultatet;
skriv svaret over linjen;
la nevneren være den samme.

Her er eksempler på hvordan du skriver uekte brøker fra blandede tall:

17 ¼ \u003d (17 x 4 + 1): 4 \u003d 69/4;
39 ½ \u003d (39 x 2 + 1): 2 \u003d 79/2.

Hvordan skrive en uekte brøk som et blandet tall?

Den neste metoden er den motsatte av den som er diskutert ovenfor. Det vil si når alle blandede tall erstattes med uekte brøker. Algoritmen for handlinger vil være som følger:

del telleren med nevneren for å få resten;
skriv kvotienten i stedet for heltallsdelen av det blandede;
resten skal plasseres over linjen;
deleren vil være nevneren.

Eksempler på en slik transformasjon:

76/14; 76:14 = 5 med en rest på 6; svaret er 5 heltall og 6/14; brøkdelen i dette eksemplet må reduseres med 2, du får 3/7; det endelige svaret er 5 hele 3/7.

108/54; etter deling oppnås kvotienten 2 uten rest; dette betyr at ikke alle uekte brøker kan representeres som et blandet tall; svaret er et heltall - 2.

Hvordan gjør du et heltall til en uekte brøk?

Det er situasjoner der slik handling er nødvendig. For å få uekte brøker med en forhåndsbestemt nevner, må du utføre følgende algoritme:

multipliser et heltall med ønsket nevner;
skriv denne verdien over linjen;
Plasser en nevner under den.

Det enkleste alternativet er når nevneren lik en. Da er det ikke nødvendig å multiplisere. Det er nok bare å skrive et heltall, som er gitt i eksempelet, og plassere en enhet under linjen.

Eksempel: Gjør 5 til en uekte brøk med nevneren 3. Etter å ha multiplisert 5 med 3, får du 15. Dette tallet vil være nevneren. Svaret på oppgaven er en brøkdel: 15/3.

To tilnærminger til å løse oppgaver med forskjellige tall

I eksemplet er det nødvendig å beregne summen og differansen, samt produktet og kvotienten av to tall: 2 heltall 3/5 og 14/11.

I den første tilnærmingen det blandede tallet vil bli representert som en uekte brøk.

Etter å ha utført trinnene beskrevet ovenfor, får du følgende verdi: 13/5.

For å finne summen må du regne om brøkene til samme nevner. 13/5 multiplisert med 11 blir 143/55. Og 14/11 etter å ha multiplisert med 5 vil ha formen: 70/55. For å regne ut summen trenger du bare å legge sammen tellerne: 143 og 70, og deretter skrive ned svaret med én nevner. 213/55 - denne upassende brøken er svaret på problemet.

Når du finner forskjellen, trekkes de samme tallene fra: 143 - 70 = 73. Svaret er en brøkdel: 73/55.

Når du multipliserer 13/5 og 14/11, trenger du ikke redusere til en fellesnevner. Bare multipliser tellerne og nevnerne i par. Svaret vil være: 182/55.

Likeså med deling. Til riktig avgjørelse du må erstatte divisjon med multiplikasjon og snu divisoren: 13/5: 14/11 \u003d 13/5 x 11/14 \u003d 143/70.

I den andre tilnærmingen En uekte brøk blir et blandet tall.

Etter å ha utført handlingene til algoritmen, vil 14/11 bli til et blandet tall med hele delen 1 og brøk 3/11.

Når du beregner summen, må du legge til heltalls- og brøkdelene separat. 2 + 1 = 3, 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55. Det endelige svaret er 3 hele 48/55. I den første innflygingen var det en brøkdel 213/55. Du kan sjekke riktigheten ved å konvertere det til et blandet tall. Etter å ha delt 213 på 55, er kvotienten 3 og resten er 48. Det er lett å se at svaret er riktig.

Ved subtrahering erstattes "+"-tegnet med "-". 2 - 1 = 1, 33/55 - 15/55 = 18/55. For å sjekke svaret fra forrige tilnærming, må du konvertere det til et blandet tall: 73 er delt på 55 og du får en kvotient på 1 og resten av 18.

For å finne produktet og kvotienten er det upraktisk å bruke blandede tall. Her anbefales det alltid å bytte til uekte brøker.

Denne artikkelen handler om vanlige brøker. Her skal vi bli kjent med begrepet en brøkdel av en helhet, som vil lede oss til definisjonen av en vanlig brøk. Deretter vil vi fokusere på aksepterte betegnelser for vanlige brøker og gi eksempler på brøker, si om telleren og nevneren til en brøk. Etter det vil vi gi definisjoner av riktige og uekte, positive og negative brøker, og også vurdere plasseringen av brøktall på koordinatstråle. Avslutningsvis lister vi hovedhandlingene med brøker.

Sidenavigering.

Andel av helheten

Først introduserer vi dele konsept.

La oss anta at vi har et objekt som består av flere absolutt identiske (det vil si like) deler. For klarhetens skyld kan du for eksempel forestille deg et eple skåret i flere like deler, eller en appelsin, bestående av flere like skiver. Hver av disse like deler som utgjør hele objektet kalles andel av helheten eller rett og slett aksjer.

Merk at andelene er forskjellige. La oss forklare dette. La oss si at vi har to epler. La oss kutte det første eplet i to like deler, og det andre i 6 like deler. Det er klart at andelen av det første eplet vil være forskjellig fra andelen til det andre eplet.

Avhengig av antall aksjer som utgjør hele objektet, har disse aksjene sine egne navn. La oss analysere dele navn. Hvis objektet består av to deler, kalles en av dem en andre del av hele objektet; hvis objektet består av tre deler, kalles noen av dem en tredjedel, og så videre.

Ett sekundslag har et spesielt navn - halv. En tredjedel kalles tredje, og en firedobbel - fjerdedel.

For korthets skyld, følgende aksjebetegnelser. En andre aksje er betegnet som eller 1/2, en tredjedel aksje - som eller 1/3; en fjerdedel - like eller 1/4, og så videre. Merk at notasjonen med en horisontal strek brukes oftere. For å konsolidere materialet, la oss gi et eksempel til: oppføringen angir en hundre og sekstisyvendedel av helheten.

Konseptet med en andel strekker seg naturligvis fra objekter til størrelser. For eksempel er et av lengdemålene meteren. For å måle lengder mindre enn en meter, kan brøkdeler av en meter brukes. Så du kan bruke for eksempel en halv meter eller en tiendedel eller tusendels meter. Andel av andre mengder brukes tilsvarende.

Vanlige brøker, definisjon og eksempler på brøker

For å beskrive antall aksjer brukes vanlige brøker. La oss gi et eksempel som vil tillate oss å nærme oss definisjonen av vanlige brøker.

La en appelsin bestå av 12 deler. Hver andel i dette tilfellet representerer en tolvtedel av en hel appelsin, det vil si . La oss betegne to slag som , tre slag som , og så videre, 12 slag som . Hver av disse oppføringene kalles en vanlig brøk.

La oss nå gi en general definisjon av vanlige brøker.

Den uttrykte definisjonen av vanlige brøker lar oss bringe eksempler på vanlige brøker: 5/10 , , 21/1 , 9/4 , . Og her er postene passer ikke til den uttrykte definisjonen av vanlige brøker, det vil si at de ikke er vanlige brøker.

Teller og nevner

For enkelhets skyld skiller vi i vanlige brøker teller og nevner.

Definisjon.

Teller ordinær brøk (m / n) er et naturlig tall m.

Definisjon.

Nevner ordinær brøk (m / n) er et naturlig tall n.

Så, telleren er plassert over brøkstreken (til venstre for skråstreken), og nevneren er under brøkstreken (til høyre for skråstreken). For eksempel, la oss ta en vanlig brøk 17/29, telleren for denne brøken er tallet 17, og nevneren er tallet 29.

Det gjenstår å diskutere betydningen i telleren og nevneren til en vanlig brøk. Nevneren av brøken viser hvor mange aksjer en vare består av, telleren angir på sin side antall slike aksjer. For eksempel betyr nevneren 5 i brøken 12/5 at ett element består av fem deler, og telleren 12 betyr at 12 slike deler er tatt.

Naturlig tall som en brøk med nevner 1

Nevneren til en vanlig brøk kan være lik én. I dette tilfellet kan vi anta at objektet er udelelig, med andre ord er det noe helt. Telleren til en slik brøk angir hvor mange hele gjenstander som tas. På denne måten, vanlig brøk av formen m/1 har betydningen av et naturlig tall m . Slik underbygget vi likheten m/1=m .

La oss omskrive den siste likheten slik: m=m/1 . Denne likheten lar oss representere et hvilket som helst naturlig tall m som en vanlig brøk. For eksempel er tallet 4 brøken 4/1, og tallet 103498 er brøken 103498/1.

Så, ethvert naturlig tall m kan representeres som en ordinær brøk med nevner 1 som m/1 , og enhver ordinær brøk av formen m/1 kan erstattes med et naturlig tall m.

Brøkstrek som delingstegn

Representasjonen av det opprinnelige objektet i form av n aksjer er ikke annet enn en oppdeling i n like deler. Etter at varen er delt inn i n andeler, kan vi dele den likt mellom n personer - hver vil motta en andel.

Hvis vi i utgangspunktet har m identiske gjenstander, som hver er delt inn i n aksjer, så kan vi dele disse m elementene likt mellom n personer, og gi hver person en andel fra hver av de m elementene. I dette tilfellet vil hver person ha m aksjer 1/n, og m aksjer 1/n gir en ordinær brøk m/n. Dermed kan fellesbrøken m/n brukes til å representere delingen av m elementer blant n personer.

Så vi fikk en eksplisitt forbindelse mellom vanlige brøker og divisjon (se den generelle ideen om delingen av naturlige tall). Dette forholdet er uttrykt som følger: Baren i en brøk kan forstås som et divisjonstegn, det vil si m/n=m:n.

Ved hjelp av en vanlig brøk kan du skrive resultatet av å dele to naturlige tall, som heltallsdeling ikke utføres for. For eksempel kan resultatet av å dele 5 epler med 8 personer skrives som 5/8, det vil si at hver får fem åttedeler av et eple: 5:8=5/8.

Like og ulik vanlige brøker, sammenligning av brøker

En ganske naturlig handling er sammenligning av vanlige brøker, fordi det er klart at 1/12 av en appelsin er forskjellig fra 5/12, og 1/6 av et eple er det samme som den andre 1/6 av dette eplet.

Som et resultat av å sammenligne to vanlige brøker, oppnås ett av resultatene: brøkene er enten like eller ikke like. I det første tilfellet har vi like vanlige brøker, og i den andre ulik vanlige brøk. La oss gi en definisjon av like og ulik vanlige brøk.

Definisjon.

lik, hvis likheten a d=b c er sann.

Definisjon.

To vanlige brøker a/b og c/d ikke lik, hvis likheten a d=b c ikke er tilfredsstilt.

Her er noen eksempler på like brøker. For eksempel er fellesbrøken 1/2 lik brøkdelen 2/4, siden 1 4=2 2 (se om nødvendig reglene og eksemplene på multiplikasjon av naturlige tall). For klarhetens skyld kan du forestille deg to identiske epler, den første er kuttet i to, og den andre - i 4 aksjer. Det er åpenbart at to fjerdedeler av et eple er 1/2 en andel. Andre eksempler på like vanlige brøker er brøkene 4/7 og 36/63, og brøkparet 81/50 og 1620/1000.

Og vanlige brøker 4/13 og 5/14 er ikke like, siden 4 14=56, og 13 5=65, det vil si 4 14≠13 5. Et annet eksempel på ulik vanlige brøk er brøkene 17/7 og 6/4.

Hvis det, når du sammenligner to vanlige brøker, viser seg at de ikke er like, må du kanskje finne ut hvilken av disse vanlige brøkene mindre en annen, og hvilken mer. For å finne det ut, brukes regelen for å sammenligne vanlige brøker, hvor essensen er å bringe de sammenlignede brøkene til en fellesnevner og deretter sammenligne tellerne. Detaljert informasjon om dette emnet er samlet i artikkelen sammenligning av brøker: regler, eksempler, løsninger.

Brøktall

Hver brøk er en rekord brøktall. Det vil si at en brøk bare er et "skall" av et brøktall, dens utseende, og hele den semantiske belastningen er inneholdt nøyaktig i et brøktall. For korthets skyld og enkelhets skyld er konseptet med en brøk og et brøktall kombinert og ganske enkelt kalt en brøk. Her er det på sin plass å parafrasere det velkjente ordtaket: vi sier en brøk - vi mener brøktall, sier vi et brøktall - vi mener en brøk.

Brøker på koordinatstrålen

Alle brøktall som tilsvarer vanlige brøker har sin egen unike plass på , det vil si at det er en-til-en-korrespondanse mellom brøker og punkter på koordinatstrålen.

For å komme til punktet som tilsvarer brøkdelen m / n på koordinatstrålen, er det nødvendig å utsette m segmenter fra origo i positiv retning, hvis lengde er 1 / n brøkdel av enhetssegmentet. Slike segmenter kan oppnås ved å dele et enkelt segment i n like deler, noe som alltid kan gjøres ved hjelp av kompass og linjal.

La oss for eksempel vise punktet M på koordinatstrålen, tilsvarende brøken 14/10. Lengden på segmentet med ender ved punktet O og punktet nærmest det, markert med en liten strek, er 1/10 av enhetssegmentet. Punktet med koordinat 14/10 fjernes fra origo med 14 slike segmenter.

Like brøker tilsvarer det samme brøktallet, det vil si like brøker er koordinatene til samme punkt på koordinatstrålen. For eksempel tilsvarer ett punkt koordinatene 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 på koordinatstrålen, siden alle skrevne brøker er like (det ligger i en avstand på halve enhetssegmentet, utsatt fra kl. opprinnelsen i positiv retning).

På en horisontal og høyrerettet koordinatstråle er punktet hvis koordinat er en stor brøkdel plassert til høyre for punktet hvis koordinat er mindre brøkdel. På samme måte ligger punktet med den mindre koordinaten til venstre for punktet med den større koordinaten.

Egne og uekte brøker, definisjoner, eksempler

Blant vanlige brøker er det riktige og uekte brøker. Denne divisjonen har i utgangspunktet en sammenligning av teller og nevner.

La oss gi en definisjon av riktige og uekte vanlige brøker.

Definisjon.

Riktig brøk er en vanlig brøk, hvis teller er mindre enn nevneren, det vil si hvis m

Definisjon.

Uekte brøk er en ordinær brøk der telleren er større enn eller lik nevneren, det vil si at hvis m≥n, så er ordinær brøk uekte.

Her er noen eksempler på egenbrøker: 1/4 , , 32 765/909 003 . Faktisk, i hver av de skrevne ordinære brøkene er telleren mindre enn nevneren (om nødvendig, se artikkelsammenligningen av naturlige tall), så de er korrekte per definisjon.

Og her er eksempler på uekte brøker: 9/9, 23/4,. Faktisk er telleren til den første av de skrevne ordinære brøkene lik nevneren, og i de resterende brøkene er telleren større enn nevneren.

Det finnes også definisjoner av riktige og uekte brøker basert på å sammenligne brøker med en.

Definisjon.

riktig hvis det er mindre enn én.

Definisjon.

Fellesbrøken kalles feil, hvis den enten er lik én eller større enn 1 .

Så den vanlige brøken 7/11 er riktig, siden 7/11<1 , а обыкновенные дроби 14/3 и 27/27 – неправильные, так как 14/3>1, og 27/27=1.

La oss tenke på hvordan vanlige brøker med en teller større enn eller lik nevneren fortjener et slikt navn - "feil".

La oss ta den uekte brøken 9/9 som eksempel. Denne brøken betyr at det tas ni deler av en gjenstand, som består av ni deler. Det vil si at av de tilgjengelige ni aksjene kan vi utgjøre et helt emne. Det vil si at den uekte brøken 9/9 i hovedsak gir et helt objekt, det vil si 9/9=1. Generelt betyr uekte brøker med en teller lik nevneren ett helt objekt, og en slik brøk kan erstattes med et naturlig tall 1.

Vurder nå de uekte brøkene 7/3 og 12/4. Det er ganske åpenbart at fra disse syv tredjedelene kan vi lage to hele objekter (ett helt objekt er 3 aksjer, så for å komponere to hele objekter trenger vi 3 + 3 = 6 aksjer) og det vil fortsatt være en tredjedel. Det vil si at upassende brøkdel 7/3 i hovedsak betyr 2 gjenstander og til og med 1/3 av andelen av en slik gjenstand. Og fra tolv kvartaler kan vi lage tre hele gjenstander (tre gjenstander med fire deler hver). Det vil si at brøken 12/4 betyr i hovedsak 3 hele objekter.

De vurderte eksemplene leder oss til følgende konklusjon: uekte brøker kan erstattes enten med naturlige tall, når telleren er delt på nevneren (for eksempel 9/9=1 og 12/4=3), eller summen av en naturlig tall og en egenbrøk, når telleren ikke er jevnt delelig med nevneren (for eksempel 7/3=2+1/3 ). Kanskje det er nettopp dette som upassende brøker fortjener et slikt navn - "feil".

Av spesiell interesse er representasjonen av en uegen brøk som summen av et naturlig tall og en egenbrøk (7/3=2+1/3). Denne prosessen kalles utvinning av en heltallsdel fra en uekte brøk, og fortjener en separat og mer nøye vurdering.

Det er også verdt å merke seg at det er et veldig nært forhold mellom uekte brøker og blandede tall.

Positive og negative brøker

Hver ordinær brøk tilsvarer et positivt brøktall (se artikkelen positive og negative tall). Det vil si at vanlige brøker er det positive brøker. For eksempel er vanlige brøker 1/5, 56/18, 35/144 positive brøker. Når det er nødvendig å understreke positiviteten til en brøk, plasseres et plusstegn foran den, for eksempel +3/4, +72/34.

Hvis du setter et minustegn foran en vanlig brøk, vil denne oppføringen tilsvare et negativt brøktall. I dette tilfellet kan man snakke om negative brøker. Her er noen eksempler på negative brøker: −6/10 , −65/13 , −1/18 .

De positive og negative brøkene m/n og −m/n er motsatte tall. For eksempel er brøkene 5/7 og −5/7 motsatte brøker.

Positive brøker, som positive tall generelt, angir en økning, inntekt, en endring i en eller annen verdi oppover, etc. Negative brøker tilsvarer utgifter, gjeld, en endring i enhver verdi i retning av nedgang. For eksempel kan en negativ brøk -3/4 tolkes som en gjeld, hvis verdi er 3/4.

På de horisontale og høyrerettede er negative fraksjoner plassert til venstre for referansepunktet. Punktene på koordinatlinjen hvis koordinater er den positive brøken m/n og den negative brøken −m/n er plassert i samme avstand fra origo, men på motsatte sider av punktet O .

Her er det verdt å nevne brøker av formen 0/n. Disse brøkene er lik tallet null, det vil si 0/n=0 .

Positive brøker, negative brøker og 0/n brøker kombineres for å danne rasjonelle tall.

Handlinger med brøker

En handling med vanlige brøker - sammenligne brøker - har vi allerede vurdert ovenfor. Fire flere aritmetikk er definert operasjoner med brøker- addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og deling av brøker. La oss dvele ved hver av dem.

Den generelle essensen av handlinger med brøker ligner essensen av de tilsvarende handlingene med naturlige tall. La oss tegne en analogi.

Multiplikasjon av brøker kan betraktes som en handling der en brøk finnes fra en brøk. For å avklare, la oss ta et eksempel. Anta at vi har 1/6 av et eple og vi må ta 2/3 av det. Delen vi trenger er resultatet av å multiplisere brøkene 1/6 og 2/3. Resultatet av å multiplisere to ordinære brøker er en ordinær brøk (som i et bestemt tilfelle er lik et naturlig tall). Videre anbefaler vi å studere informasjonen til artikkelen multiplikasjon av brøker - regler, eksempler og løsninger.

Bibliografi.

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematikk: lærebok for 5 celler. utdanningsinstitusjoner.
Vilenkin N.Ya. etc. Matematikk. 6. klasse: lærebok for utdanningsinstitusjoner.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematikk (en manual for søkere til tekniske skoler).

Studerer dronningen av alle vitenskaper - matematikk, på et tidspunkt står alle overfor brøker. Selv om dette konseptet (som selve brøktypene eller matematiske operasjoner med dem) ikke er vanskelig i det hele tatt, må det behandles nøye, fordi det i det virkelige liv utenfor skolen vil være veldig nyttig. Så la oss oppdatere kunnskapen vår om brøker: hva er det, hva er det for, hvilke typer brøker er det og hvordan lage forskjellige aritmetiske operasjoner.

Hennes Majestet brøkdelen: hva er det

Brøker i matematikk er tall, som hver består av en eller flere deler av enheten. Slike brøker kalles også ordinære, eller enkle. Som regel er de skrevet som to tall, som er atskilt med en horisontal eller skråstrek, det kalles en "brøk". For eksempel: ½, ¾.

Den øverste eller første av disse tallene er telleren (viser hvor mange brøkdeler av tallet som tas), og den nederste eller andre er nevneren (viser hvor mange deler enheten er delt inn i).

Brøkstreken fungerer faktisk som et divisjonstegn. For eksempel, 7:9=7/9

Tradisjonelt er vanlige brøker mindre enn én. Mens desimaler kan være større enn det.

Hva er brøker for? Ja, for alt, for i den virkelige verden er ikke alle tall heltall. For eksempel kjøpte to skolejenter i kafeteriaen sammen en deilig sjokoladeplate. Da de skulle dele dessert, møtte de en venninne og bestemte seg for å behandle henne også. Nå er det imidlertid nødvendig å dele sjokoladebaren riktig, gitt at den består av 12 firkanter.

Først ville jentene dele alt likt, og så fikk hver fire stykker. Men etter å ha tenkt over det, bestemte de seg for å behandle kjæresten sin, ikke 1/3, men 1/4 sjokolade. Og siden skolejenter ikke studerte brøker godt, tok de ikke hensyn til at i en slik situasjon ville de som et resultat ha 9 stykker som er veldig dårlig delt i to. Dette ganske enkle eksempelet viser hvor viktig det er å kunne finne delen av et tall riktig. Men i livet er det mange flere slike tilfeller.

Typer brøker: ordinære og desimaler

Alle matematiske brøker er delt inn i to store sifre: vanlig og desimal. Funksjonene til den første av dem ble beskrevet i forrige avsnitt, så nå er det verdt å ta hensyn til det andre.

En desimal er en posisjonsnotasjon av en brøkdel av et tall, som er festet i en bokstav atskilt med komma, uten bindestrek eller skråstrek. For eksempel: 0,75, 0,5.

Faktisk er en desimalbrøk identisk med en vanlig, men dens nevner er alltid en etterfulgt av nuller - derav navnet.

Tallet foran desimaltegnet er heltallsdelen, og alt etter desimaltegnet er brøkdelen. Enhver enkel brøk kan konverteres til en desimal. Så desimalbrøkene angitt i forrige eksempel kan skrives som vanlige: ¾ og ½.

Det er verdt å merke seg at både desimal- og ordinære brøker kan være både positive og negative. Hvis de innledes med et "-"-tegn, er denne brøken negativ, hvis "+" - så positiv.

Undertyper av vanlige brøker

Det finnes slike typer enkle brøker.

Underart av desimalbrøken

I motsetning til en enkel, er desimalbrøk delt inn i bare 2 typer.

Final - fikk navnet sitt på grunn av at den etter desimaltegn har et begrenset (endelig) antall sifre: 19,25.
En uendelig brøk er et tall med et uendelig antall sifre etter desimaltegnet. For eksempel, når du deler 10 med 3, vil resultatet være en uendelig brøk 3,333 ...

Tilsetning av brøker

Å utføre ulike aritmetiske manipulasjoner med brøker er litt vanskeligere enn med vanlige tall. Men hvis du lærer de grunnleggende reglene, vil det ikke være vanskelig å løse et eksempel med dem.

For eksempel: 2/3+3/4. Det minste felles multiplum for dem vil være 12, derfor er det nødvendig at dette tallet er i hver nevner. For å gjøre dette multipliserer vi telleren og nevneren til den første brøken med 4, det viser seg 8/12, vi gjør det samme med det andre leddet, men multipliserer bare med 3 - 9/12. Nå kan du enkelt løse eksempelet: 8/12+9/12= 17/12. Den resulterende brøken er en feil verdi fordi telleren er større enn nevneren. Den kan og bør konverteres til den riktige blandede ved å dele 17:12 = 1 og 5/12.

Hvis blandede brøker legges til, utføres først handlingene med heltall, og deretter med brøker.

Hvis eksemplet inneholder en desimalbrøk og en ordinær, er det nødvendig at begge blir enkle, så bring dem til samme nevner og legg dem til. For eksempel 3.1+1/2. Tallet 3.1 kan skrives som en blandet brøkdel av 3 og 1/10, eller som en upassende - 31/10. Fellesnevneren for begrepene vil være 10, så du må gange telleren og nevneren 1/2 med 5 etter tur, det blir 5/10. Da kan du enkelt regne ut alt: 31/10+5/10=35/10. Resultatet som er oppnådd er en upassende sammentrekkbar brøk, vi bringer den til normal form, reduserer den med 5: 7/2=3 og 1/2, eller desimal - 3,5.

Når du legger til 2 desimaler, er det viktig at det er like mange sifre etter desimaltegn. Hvis dette ikke er tilfelle, trenger du bare å legge til det nødvendige antallet nuller, for i en desimalbrøk kan dette gjøres smertefritt. For eksempel 3,5+3,005. For å løse denne oppgaven må du legge til 2 nuller til det første tallet og deretter legge til etter tur: 3.500 + 3.005 = 3.505.

Subtraksjon av brøker

Når du trekker fra brøker, er det verdt å gjøre det samme som når du legger til: reduser til en fellesnevner, trekk en teller fra en annen, konverter om nødvendig resultatet til en blandet brøk.

For eksempel: 16/20-5/10. Fellesnevneren vil være 20. Du må bringe den andre brøken til denne nevneren, multiplisere begge delene med 2, du får 10/20. Nå kan du løse eksempelet: 16/20-10/20= 6/20. Dette resultatet gjelder imidlertid reduserbare brøker, så det er verdt å dele begge deler med 2 og resultatet er 3/10.

Multiplikasjon av brøker

Divisjon og multiplikasjon av brøker er mye enklere operasjoner enn addisjon og subtraksjon. Faktum er at når du utfører disse oppgavene, er det ikke nødvendig å se etter en fellesnevner.

For å multiplisere brøker trenger du bare å multiplisere begge tellerne vekselvis, og deretter begge nevnerne. Reduser det resulterende resultatet hvis brøken er en redusert verdi.

For eksempel: 4/9x5/8. Etter alternativ multiplikasjon er resultatet 4x5/9x8=20/72. En slik brøk kan reduseres med 4, så det endelige svaret i eksemplet er 5/18.

Hvordan dele brøker

Å dele brøker er også en enkel handling, faktisk kommer det fortsatt ned til å multiplisere dem. For å dele en brøk med en annen, må du snu den andre og gange med den første.

For eksempel deling av brøk 5/19 og 5/7. For å løse eksemplet må du bytte nevneren og telleren til den andre brøken og multiplisere: 5/19x7/5=35/95. Resultatet kan reduseres med 5 - det viser seg 7/19.

Hvis du trenger å dele en brøk med et primtall, er teknikken litt annerledes. I utgangspunktet er det verdt å skrive dette tallet som en upassende brøk, og deretter dele i henhold til samme skjema. For eksempel skal 2/13:5 skrives som 2/13:5/1. Nå må du snu 5/1 og multiplisere de resulterende brøkene: 2/13x1/5= 2/65.

Noen ganger må du dele blandede brøker. Du må håndtere dem, som med heltall: gjør dem om til uekte brøker, snu divisoren og multipliser alt. For eksempel 8 ½: 3. Gjøre alt om til uekte brøker: 17/2: 3/1. Dette etterfølges av en 3/1-vending og multiplikasjon: 17/2x1/3= 17/6. Nå bør du oversette feil brøk til den rette - 2 heltall og 5/6.

Så etter å ha funnet ut hva brøker er og hvordan du kan utføre forskjellige aritmetiske operasjoner med dem, må du prøve å ikke glemme det. Tross alt er folk alltid mer tilbøyelige til å dele opp noe i deler enn å legge til, så du må kunne gjøre det riktig.