Hvordan løse likninger med en nevner. Rasjonelle ligninger - Kunnskapshypermarked

Smirnova Anastasia Yurievna

Leksjonstype: leksjon lære nytt materiale.

Organisasjonsform læringsaktiviteter : frontal, individuell.

Hensikten med leksjonen: å introdusere en ny type ligninger - rasjonelle brøklikninger, for å gi en idé om algoritmen for å løse brøk rasjonelle ligninger.

Leksjonens mål.

Opplæringen:

dannelse av konseptet med en brøkrasjonell ligning;
vurdere en algoritme for å løse rasjonelle brøklikninger, inkludert betingelsen om at brøken er lik null;
å lære løsningen av rasjonelle brøklikninger i henhold til algoritmen.

Utvikler:

skape forhold for dannelse av ferdigheter for å anvende den ervervede kunnskapen;
bidra til utviklingen kognitiv interesse studenter til faget;
utvikle elevenes evne til å analysere, sammenligne og trekke konklusjoner;
utvikling av ferdigheter for gjensidig kontroll og selvkontroll, oppmerksomhet, hukommelse, muntlig og skriving, uavhengighet.

Pleie:

utdanning av kognitiv interesse for emnet;
utdanning av uavhengighet i beslutninger Læringsmål;
utdanning av vilje og utholdenhet for å oppnå de endelige resultatene.

Utstyr: lærebok, tavle, fargestifter.

Lærebok "Algebra 8". Yu.N.Makarychev, N.G.Mindyuk, K.I.Neshkov, S.B.Suvorov, redigert av S.A.Telyakovsky. Moskva "Opplysningen". 2010

På dette emnet fem timer er tildelt. Denne leksjonen er den første. Hovedsaken er å studere algoritmen for å løse rasjonelle brøklikninger og utarbeide denne algoritmen i øvelser.

I løpet av timene

1. Organisatorisk øyeblikk.

Hei folkens! I dag vil jeg starte leksjonen vår med et kvad:
For å gjøre livet enklere for alle
Hva ville bli bestemt, hva kunne,
Smil, lykke til alle sammen
Uansett hvilke problemer
Smil til hverandre, skapt godt humør og startet arbeidet.

Ligninger er skrevet på tavlen, se nøye på dem. Kan du løse alle disse ligningene? Hvilke er det ikke og hvorfor?

Ligninger der venstre og høyre side er rasjonelle brøkuttrykk kalles rasjonelle brøklikninger. Hva tror du vi skal studere i dag i leksjonen? Formuler temaet for leksjonen. Så vi åpner notatbøker og skriver ned emnet for leksjonen "Løsning av rasjonelle brøklikninger".

2. Aktualisering av kunnskap. frontavstemning, muntlig arbeid med klasse.

Og nå vil vi gjenta det viktigste teoretiske materialet vi trenger å studere nytt emne. Vennligst svar på følgende spørsmål:

Hva er en ligning? ( Likhet med en variabel eller variabler.)
Hva kalles ligning #1? ( Lineær.) Metode for å løse lineære ligninger. ( Flytt alt med det ukjente til venstre side av ligningen, alle tall til høyre. Lede som vilkår. Finn den ukjente multiplikatoren).
Hva kalles ligning 3? ( Torget.) Metoder for å løse andregradsligninger. (S om formler)
Hva er en proporsjon? ( Likestilling av to relasjoner.) Hovedegenskapen til proporsjoner. ( Hvis andelen er sann, er produktet av de ekstreme leddene lik produktet av de midterste leddene.)
Hvilke egenskaper brukes til å løse ligninger? ( 1. Hvis vi i likningen overfører begrepet fra en del til en annen, og endrer fortegn, får vi en likning tilsvarende den gitte. 2. Hvis begge deler av ligningen multipliseres eller divideres med samme tall som ikke er null, vil det fås en ligning som tilsvarer den gitte.)
Når er en brøk lik null? ( En brøk er null når telleren er null og nevneren ikke er null.)

3. Forklaring av nytt materiale.

Løs ligning nr. 2 i notatbøker og på tavlen.

Svar: 10.

Hvilken rasjonell brøkligning kan du prøve å løse ved å bruke den grunnleggende egenskapen proporsjon? (nr. 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x + 8 \u003d x 2 + 3x + 2x + 6

x 2 -6x-x 2 -5x \u003d 6-8

Løs likning nr. 4 i notatbøker og på tavlen.

Svar: 1,5.

Hvilken rasjonell brøklikning kan du prøve å løse ved å multiplisere begge sider av ligningen med nevneren? (nr. 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1>0, x 1 = 3, x 2 = 4.

Svar: 3;4.

Vi vil vurdere løsningen av ligninger av typen ligning nr. 7 i de følgende leksjonene.

Forklar hvorfor dette skjedde? Hvorfor er det tre røtter i det ene tilfellet og to i det andre? Hvilke tall er røttene til denne rasjonelle brøklikningen?

Så langt har studenter med konseptet fremmed rot ikke har møttes, er det egentlig veldig vanskelig for dem å forstå hvorfor det skjedde. Hvis ingen i klassen kan gi en klar forklaring på denne situasjonen, stiller læreren ledende spørsmål.

Hvordan skiller ligning nr. 2 og 4 seg fra ligning nr. 5.6? ( I ligning nr. 2 og 4 i nevneren av tallet, nr. 5-6 - uttrykk med en variabel.)
Hva er roten til ligningen? ( Verdien av variabelen der ligningen blir en ekte likhet.)
Hvordan finne ut om et tall er roten til en ligning? ( Gjør en sjekk.)

Når de gjør en test, merker noen elever at de må dele på null. De konkluderer med at tallene 0 og 5 ikke er røtter. gitt ligning. Spørsmålet oppstår: er det en måte å løse rasjonelle brøklikninger som lar oss eliminere gitt feil? Ja, denne metoden er basert på betingelsen om at brøken er lik null.

La oss prøve å formulere en algoritme for å løse rasjonelle brøklikninger på denne måten. Barna formulerer selv algoritmen.

Algoritme for å løse rasjonelle brøklikninger:

Flytt alt til venstre.
Ta med brøker til fellesnevner.
Lag et system: en brøk er null når telleren er null og nevneren ikke er null.
Løs ligningen.
Sjekk ulikhet for å utelukke fremmede røtter.
Skriv ned svaret.

4. Primær forståelse av nytt materiale.

Arbeid i par. Elevene velger hvordan de skal løse ligningen på egenhånd, avhengig av type ligning. Oppgaver fra læreboken "Algebra 8", Yu.N. Makarychev, 2007: nr. 600(b, c); nr. 601(a, e). Læreren kontrollerer gjennomføringen av oppgaven, svarer på spørsmålene som har dukket opp, og gir bistand til dårlig presterende elever. Selvtest: Svar skrives på tavlen.

b) 2 - fremmed rot. Svar: 3.

c) 2 - fremmed rot. Svar: 1.5.

a) Svar: -12.5.

5. Uttalelse av lekser.

Les punkt 25 fra læreboka, analyser eksempel 1-3.
Lær algoritmen for å løse rasjonelle brøklikninger.
Løs i notatbøker nr. 600 (d, e); nr. 601 (g, h).

6. Oppsummering av leksjonen.

Så, i dag i leksjonen ble vi kjent med rasjonelle brøklikninger, lærte hvordan vi løser disse ligningene forskjellige måter. Uansett hvordan rasjonelle brøklikninger løses, hva bør man huske på? Hva er "sluen" med rasjonelle brøklikninger?

Takk alle sammen, leksjonen er over.

Et heltallsuttrykk er et matematisk uttrykk som består av tall og bokstavelige variabler ved å bruke operasjonene addisjon, subtraksjon og multiplikasjon. Heltall inkluderer også uttrykk som inkluderer divisjon med et annet tall enn null.

Konseptet med et rasjonelt brøkuttrykk

Et brøkuttrykk er et matematisk uttrykk som i tillegg til operasjonene addisjon, subtraksjon og multiplikasjon utført med tall og bokstavelige variabler, samt divisjon med et tall som ikke er lik null, også inneholder divisjon i uttrykk med bokstavelige variabler.

Rasjonelle uttrykk er alle heltalls- og brøkuttrykk. Rasjonelle ligninger er ligninger hvis venstre og høyre side er rasjonelle uttrykk. Hvis venstre og høyre del i en rasjonell ligning er heltallsuttrykk, kalles en slik rasjonell ligning et heltall.

Hvis i en rasjonell ligning er venstre eller høyre side brøkuttrykk, så kalles en slik rasjonell ligning brøk.

Eksempler på rasjonelle brøkuttrykk

1,x-3/x=-6*x+19

2. (x-4)/(2*x+5) = (x+7)/(x-2)

3. (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5))

Opplegg for å løse en rasjonell brøkligning

1. Finn fellesnevneren for alle brøkene som inngår i ligningen.

2. Multipliser begge sider av ligningen med en fellesnevner.

3. Løs den resulterende hele ligningen.

4. Sjekk røttene, og ekskluder de som snur fellesnevneren til null.

Siden vi løser rasjonelle brøklikninger, vil det være variabler i nevnerne til brøkene. Så de vil være i en fellesnevner. Og i andre ledd av algoritmen multipliserer vi med en fellesnevner, så kan det dukke opp fremmede røtter. Ved hvilken fellesnevneren vil være lik null, noe som betyr at multiplikasjon med den vil være meningsløs. Derfor, på slutten, sørg for å sjekke de oppnådde røttene.

Tenk på et eksempel:

Løs en rasjonell brøkligning: (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5)).

La oss holde oss til generell ordning: finn først fellesnevneren for alle brøkene. Vi får x*(x-5).

Multipliser hver brøk med en fellesnevner og skriv den resulterende hele ligningen.

(x-3)/(x-5) * (x*(x-5))= x*(x+3);
1/x * (x*(x-5)) = (x-5);
(x+5)/(x*(x-5)) * (x*(x-5)) = (x+5);
x*(x+3) + (x-5) = (x+5);

La oss forenkle den resulterende ligningen. Vi får:

x^2+3*x + x-5 - x - 5 =0;
x^2+3*x-10=0;

Vi fikk en enkel redusert andregradsligning. Vi løser det med noen av kjente måter, får vi røttene x=-2 og x=5.

Nå sjekker vi de oppnådde løsningene:

Vi bytter inn tallene -2 og 5 i fellesnevneren. Ved x=-2 forsvinner ikke fellesnevneren x*(x-5), -2*(-2-5)=14. Så tallet -2 vil være roten til den opprinnelige rasjonelle brøklikningen.

Ved x=5 blir fellesnevneren x*(x-5) null. Derfor er ikke dette tallet roten til den opprinnelige rasjonelle brøklikningen, siden det vil være deling med null.

Leksjonens mål:

Opplæringen:

dannelse av konseptet med rasjonelle brøklikninger;
å vurdere ulike måter å løse rasjonelle brøklikninger på;
vurdere en algoritme for å løse rasjonelle brøklikninger, inkludert betingelsen om at brøken er lik null;
å lære løsningen av rasjonelle brøklikninger i henhold til algoritmen;
sjekke nivået av assimilering av emnet ved å utføre testarbeid.

Utvikler:

utvikling av evnen til å fungere korrekt med den ervervede kunnskapen, til å tenke logisk;
utvikling av intellektuelle ferdigheter og mentale operasjoner- analyse, syntese, sammenligning og generalisering;
utvikling av initiativ, evnen til å ta beslutninger, ikke stoppe der;
utvikling kritisk tenking;
utvikling av forskningskompetanse.

Pleie:

utdanning av kognitiv interesse for emnet;
utdanning av uavhengighet i å løse pedagogiske problemer;
utdanning av vilje og utholdenhet for å oppnå de endelige resultatene.

Leksjonstype: leksjon - forklaring av nytt stoff.

I løpet av timene

1. Organisatorisk øyeblikk.

Hei folkens! Ligninger er skrevet på tavlen, se nøye på dem. Kan du løse alle disse ligningene? Hvilke er det ikke og hvorfor?

2. Aktualisering av kunnskap. Frontalundersøkelse, muntlig arbeid med klassen.

Og nå vil vi gjenta det viktigste teoretiske materialet som vi trenger for å studere et nytt emne. Vennligst svar på følgende spørsmål:

Hva er en ligning? ( Likhet med en variabel eller variabler.)
Hva kalles ligning #1? ( Lineær.) Metode for å løse lineære ligninger. ( Flytt alt med det ukjente til venstre side av ligningen, alle tall til høyre. Ta med like vilkår. Finn den ukjente multiplikatoren).
Hva kalles ligning 3? ( Torget.) Metoder for å løse andregradsligninger. ( Utvalg full firkant, ved formler, ved å bruke Vieta-teoremet og dets følger.)
Hva er en proporsjon? ( Likestilling av to relasjoner.) Hovedegenskapen til proporsjoner. ( Hvis andelen er sann, er produktet av de ekstreme leddene lik produktet av de midterste leddene.)
Hvilke egenskaper brukes til å løse ligninger? ( 1. Hvis vi i likningen overfører begrepet fra en del til en annen, og endrer fortegn, får vi en likning tilsvarende den gitte. 2. Hvis begge deler av ligningen multipliseres eller divideres med samme tall som ikke er null, vil det fås en ligning som tilsvarer den gitte.)
Når er en brøk lik null? ( En brøk er null når telleren er null og nevneren ikke er null.)

3. Forklaring av nytt materiale.

Løs ligning nr. 2 i notatbøker og på tavlen.

Svar: 10.

Hvilken rasjonell brøkligning kan du prøve å løse ved å bruke den grunnleggende egenskapen proporsjon? (nr. 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x + 8 \u003d x 2 + 3x + 2x + 6

x 2 -6x-x 2 -5x \u003d 6-8

Løs likning nr. 4 i notatbøker og på tavlen.

Svar: 1,5.

Hvilken rasjonell brøklikning kan du prøve å løse ved å multiplisere begge sider av ligningen med nevneren? (nr. 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1>0, x 1 = 3, x 2 = 4.

Svar: 3;4.

Prøv nå å løse ligning #7 på en av måtene.


(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x 2 -2x-5=x+5
x(x-5)(x2-2x-5-(x+5))=0			x 2 -2x-5-x-5=0
x(x-5)(x 2 -3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
x 1 \u003d 0 x 2 \u003d 5 D \u003d 49
x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2			x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2
Svar: 0;5;-2.			Svar: 5;-2.

Forklar hvorfor dette skjedde? Hvorfor er det tre røtter i det ene tilfellet og to i det andre? Hvilke tall er røttene til denne rasjonelle brøklikningen?

Til nå har elevene ikke møtt begrepet en fremmed rot, det er egentlig veldig vanskelig for dem å forstå hvorfor dette skjedde. Hvis ingen i klassen kan gi en klar forklaring på denne situasjonen, stiller læreren ledende spørsmål.

Hvordan skiller ligning nr. 2 og 4 seg fra ligning nr. 5,6,7? ( I ligning nr. 2 og 4 i nevneren av tallet, nr. 5-7 - uttrykk med en variabel.)
Hva er roten til ligningen? ( Verdien av variabelen der ligningen blir en ekte likhet.)
Hvordan finne ut om et tall er roten til en ligning? ( Gjør en sjekk.)

Når de gjør en test, merker noen elever at de må dele på null. De konkluderer med at tallene 0 og 5 ikke er røttene til denne ligningen. Spørsmålet oppstår: er det en måte å løse rasjonelle brøklikninger på som eliminerer denne feilen? Ja, denne metoden er basert på betingelsen om at brøken er lik null.

x 2 -3x-10 = 0, D = 49, x 1 = 5, x 2 = -2.

Hvis x=5, så er x(x-5)=0, så 5 er en fremmed rot.

Hvis x=-2, så x(x-5)≠0.

Svar: -2.

La oss prøve å formulere en algoritme for å løse rasjonelle brøklikninger på denne måten. Barna formulerer selv algoritmen.

Algoritme for å løse rasjonelle brøklikninger:

Flytt alt til venstre.
Bring brøker til en fellesnevner.
Lag et system: en brøk er null når telleren er null og nevneren ikke er null.
Løs ligningen.
Sjekk ulikhet for å utelukke fremmede røtter.
Skriv ned svaret.

Diskusjon: hvordan formalisere løsningen hvis den grunnleggende egenskapen proporsjon brukes og multiplikasjon av begge sider av ligningen med en fellesnevner. (Suppler løsningen: ekskluder fra røttene de som snur fellesnevneren til null).

4. Primær forståelse av nytt materiale.

Arbeid i par. Elevene velger hvordan de skal løse ligningen på egenhånd, avhengig av type ligning. Oppgaver fra læreboken "Algebra 8", Yu.N. Makarychev, 2007: nr. 600 (b, c, i); nr. 601(a, e, g). Læreren kontrollerer gjennomføringen av oppgaven, svarer på spørsmålene som har dukket opp, og gir bistand til dårlig presterende elever. Selvtest: Svar skrives på tavlen.

b) 2 er en fremmed rot. Svar: 3.

c) 2 er en fremmed rot. Svar: 1.5.

a) Svar: -12.5.

g) Svar: 1; 1.5.

5. Uttalelse av lekser.

Les punkt 25 fra læreboka, analyser eksempel 1-3.
Lær algoritmen for å løse rasjonelle brøklikninger.
Løs i notatbøker nr. 600 (a, d, e); nr. 601 (g, h).
Prøv å løse #696(a) (valgfritt).

6. Gjennomføring av kontrolloppgaven på det studerte temaet.

Arbeidet gjøres på ark.

Eksempel på jobb:

A) Hvilke av ligningene er brøkrasjonelle?

B) En brøk er null når telleren er ___________ og nevneren er _______________________.

Sp) Er tallet -3 roten til ligning #6?

D) Løs ligning nr. 7.

Kriterier for oppgaveevaluering:

«5» gis dersom eleven har fullført mer enn 90 % av oppgaven riktig.
"4" - 75 % -89 %
"3" - 50 % -74 %
«2» gis til en elev som fullførte mindre enn 50 % av oppgaven.
Karakter 2 settes ikke i journalen, 3 er valgfritt.

7. Refleksjon.

På brosjyrene med selvstendig arbeid, sett:

1 - hvis leksjonen var interessant og forståelig for deg;
2 - interessant, men ikke klart;
3 - ikke interessant, men forståelig;
4 - ikke interessant, ikke klart.

8. Oppsummering av leksjonen.

Så, i dag i leksjonen ble vi kjent med rasjonelle brøklikninger, lærte å løse disse ligningene på forskjellige måter, testet kunnskapen vår ved hjelp av en trening selvstendig arbeid. Du vil lære resultatene av selvstendig arbeid i neste leksjon, hjemme vil du ha muligheten til å konsolidere den oppnådde kunnskapen.

Hvilken metode for å løse rasjonelle brøklikninger er etter din mening enklere, mer tilgjengelig, mer rasjonell? Uansett metode for å løse rasjonelle brøklikninger, hva bør ikke glemmes? Hva er "sluen" med rasjonelle brøklikninger?

Takk alle sammen, leksjonen er over.

"Løsning av rasjonelle brøklikninger"

Leksjonens mål:

Opplæringen:

dannelse av konseptet med rasjonelle brøklikninger; å vurdere ulike måter å løse rasjonelle brøklikninger på; vurdere en algoritme for å løse rasjonelle brøklikninger, inkludert betingelsen om at brøken er lik null; å lære løsningen av rasjonelle brøklikninger i henhold til algoritmen; sjekke nivået av assimilering av emnet ved å utføre testarbeid.

Utvikler:

utvikling av evnen til å fungere korrekt med den ervervede kunnskapen, til å tenke logisk; utvikling av intellektuelle ferdigheter og mentale operasjoner - analyse, syntese, sammenligning og generalisering; utvikling av initiativ, evnen til å ta beslutninger, ikke stoppe der; utvikling av kritisk tenkning; utvikling av forskningskompetanse.

Pleie:

utdanning av kognitiv interesse for emnet; utdanning av uavhengighet i å løse pedagogiske problemer; utdanning av vilje og utholdenhet for å oppnå de endelige resultatene.

Leksjonstype: leksjon - forklaring av nytt stoff.

I løpet av timene

1. Organisatorisk øyeblikk.

Hei folkens! Ligninger er skrevet på tavlen, se nøye på dem. Kan du løse alle disse ligningene? Hvilke er det ikke og hvorfor?

2. Aktualisering av kunnskap. Frontalundersøkelse, muntlig arbeid med klassen.

Og nå vil vi gjenta det viktigste teoretiske materialet som vi trenger for å studere et nytt emne. Vennligst svar på følgende spørsmål:

1. Hva er en ligning? ( Likhet med en variabel eller variabler.)

2. Hva kalles ligning #1? ( Lineær.) Metode for å løse lineære ligninger. ( Flytt alt med det ukjente til venstre side av ligningen, alle tall til høyre. Ta med like vilkår. Finn den ukjente multiplikatoren).

3. Hva kalles ligning #3? ( Torget.) Metoder for å løse andregradsligninger. ( Valg av hele kvadratet, etter formler, ved å bruke Vieta-setningen og dens konsekvenser.)

4. Hva er en proporsjon? ( Likestilling av to relasjoner.) Hovedegenskapen til proporsjoner. ( Hvis andelen er sann, er produktet av de ekstreme leddene lik produktet av de midterste leddene.)

5. Hvilke egenskaper brukes til å løse ligninger? ( 1. Hvis vi i likningen overfører begrepet fra en del til en annen, og endrer fortegn, får vi en likning tilsvarende den gitte. 2. Hvis begge deler av ligningen multipliseres eller divideres med samme tall som ikke er null, vil det fås en ligning som tilsvarer den gitte.)

6. Når er en brøk lik null? ( En brøk er null når telleren er null og nevneren ikke er null.)

3. Forklaring av nytt materiale.

Løs ligning nr. 2 i notatbøker og på tavlen.

Svar: 10.

Hvilken rasjonell brøkligning kan du prøve å løse ved å bruke den grunnleggende egenskapen proporsjon? (nr. 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x2-4x-2x+8 = x2+3x+2x+6

x2-6x-x2-5x = 6-8

Løs likning nr. 4 i notatbøker og på tavlen.

Svar: 1,5.

Hvilken rasjonell brøklikning kan du prøve å løse ved å multiplisere begge sider av ligningen med nevneren? (nr. 6).

D=1>0, x1=3, x2=4.

Svar: 3;4.

Prøv nå å løse ligning #7 på en av måtene.


(x2-2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x2-2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0
x(x-5)(x2-2x-5-(x+5))=0			x2-2x-5-x-5=0
x(x-5)(x2-3x-10)=0
x=0 x-5=0 x2-3x-10=0
x1=0 x2=5 D=49

Svar: 0;5;-2.			Svar: 5;-2.

Forklar hvorfor dette skjedde? Hvorfor er det tre røtter i det ene tilfellet og to i det andre? Hvilke tall er røttene til denne rasjonelle brøklikningen?

I ligning nr. 2 og 4 i nevneren av tallet, nr. 5-7 - uttrykk med en variabel

Verdien av variabelen der ligningen blir en ekte likhet

Gjør en sjekk

x2-3x-10=0, D=49, x1=5, x2=-2.

Hvis x=5, så er x(x-5)=0, så 5 er en fremmed rot.

Hvis x=-2, så x(x-5)≠0.

Svar: -2.

La oss prøve å formulere en algoritme for å løse rasjonelle brøklikninger på denne måten. Barna formulerer selv algoritmen.

Algoritme for å løse rasjonelle brøklikninger:

1. Flytt alt til venstre side.

2. Ta med brøker til en fellesnevner.

3. Lag et system: brøken er lik null når telleren er lik null, og nevneren ikke er lik null.

4. Løs ligningen.

5. Sjekk ulikheten for å utelukke fremmede røtter.

6. Skriv ned svaret.

4. Primær forståelse av nytt materiale.

Arbeid i par. Elevene velger hvordan de skal løse ligningen på egenhånd, avhengig av type ligning. Oppgaver fra læreboka "Algebra 8", 2007: nr. 000 (b, c, i); nr. 000(a, e, g). Læreren kontrollerer gjennomføringen av oppgaven, svarer på spørsmålene som har dukket opp, og gir bistand til dårlig presterende elever. Selvtest: Svar skrives på tavlen.

b) 2 er en fremmed rot. Svar: 3.

c) 2 er en fremmed rot. Svar: 1.5.

a) Svar: -12.5.

g) Svar: 1; 1.5.

5. Uttalelse av lekser.

2. Lær algoritmen for å løse rasjonelle brøklikninger.

3. Løs i notatbøker nr. 000 (a, d, e); nr. 000(g, h).

4. Prøv å løse nr. 000(a) (valgfritt).

6. Gjennomføring av kontrolloppgaven på det studerte temaet.

Arbeidet gjøres på ark.

Eksempel på jobb:

A) Hvilke av ligningene er brøkrasjonelle?

B) En brøk er null når telleren er ___________ og nevneren er _______________________.

Sp) Er tallet -3 roten til ligning #6?

D) Løs ligning nr. 7.

Kriterier for oppgaveevaluering:

«5» gis dersom eleven har fullført mer enn 90 % av oppgaven riktig. "4" - 75% -89% "3" - 50% -74% "2" gis til eleven som fullførte mindre enn 50% av oppgaven. Karakter 2 settes ikke i journalen, 3 er valgfritt.

7. Refleksjon.

På brosjyrene med selvstendig arbeid, sett:

1 - hvis leksjonen var interessant og forståelig for deg; 2 - interessant, men ikke klart; 3 - ikke interessant, men forståelig; 4 - ikke interessant, ikke klart.

8. Oppsummering av leksjonen.

Så, i dag i leksjonen ble vi kjent med rasjonelle brøklikninger, lærte å løse disse ligningene på forskjellige måter, testet kunnskapen vår ved hjelp av pedagogisk uavhengig arbeid. Du vil lære resultatene av selvstendig arbeid i neste leksjon, hjemme vil du ha muligheten til å konsolidere den oppnådde kunnskapen.

Takk alle sammen, leksjonen er over.

La oss bli kjent med rasjonelle og fraksjonelle rasjonelle ligninger, gi deres definisjon, gi eksempler og også analysere de vanligste problemene.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Rasjonell ligning: Definisjon og eksempler

Bekjentskap med rasjonelle uttrykk begynner i 8. klasse på skolen. På denne tiden, i algebratimer, begynner elevene i økende grad å møte oppgaver med ligninger som inneholder rasjonelle uttrykk i notatene. La oss friske opp minnet om hva det er.

Definisjon 1

rasjonell ligning er en ligning der begge sider inneholder rasjonelle uttrykk.

I ulike manualer kan du finne en annen formulering.

Definisjon 2

rasjonell ligning er en slik ligning, posten til venstre side av som inneholder rasjonelt uttrykk, mens den høyre er null.

Definisjonene som vi har gitt for rasjonelle ligninger er likeverdige, siden de betyr det samme. Riktigheten av ordene våre bekreftes av det faktum at for alle rasjonelle uttrykk P og Q ligninger P=Q og P − Q = 0 vil være likeverdige uttrykk.

La oss nå gå til eksempler.

Eksempel 1

Rasjonelle ligninger:

x = 1 , 2 x − 12 x 2 y z 3 = 0 , x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2), 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3 .

Rasjonelle ligninger, akkurat som ligninger av andre typer, kan inneholde et hvilket som helst antall variabler fra 1 til flere. Til å begynne med vil vi vurdere enkle eksempler, der ligningene vil inneholde bare én variabel. Og så begynner vi gradvis å komplisere oppgaven.

Rasjonelle ligninger er delt i to store grupper: hel og brøkdel. La oss se hvilke ligninger som vil gjelde for hver av gruppene.

Definisjon 3

En rasjonell ligning vil være et heltall hvis posten av dens venstre og høyre del inneholder hele rasjonelle uttrykk.

Definisjon 4

En rasjonell ligning vil være brøk hvis en eller begge delene inneholder en brøk.

Fraksjonelt rasjonelle ligninger inneholder nødvendigvis divisjon med en variabel, eller variabelen er tilstede i nevneren. Det er ingen slik inndeling i å skrive heltallsligninger.

Eksempel 2

3 x + 2 = 0 og (x + y) (3 x 2 − 1) + x = − y + 0 , 5 er hele rasjonelle ligninger. Her er begge deler av ligningen representert med heltallsuttrykk.

1 x - 1 = x 3 og x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x − 1) : 5 er brøkrasjonelle ligninger.

Hele rasjonelle ligninger inkluderer lineære og kvadratiske ligninger.

Løse hele ligninger

Løsningen av slike ligninger reduseres vanligvis til deres transformasjon til ekvivalente algebraiske ligninger. Dette kan oppnås ved å utføre ekvivalente transformasjoner av ligningene i samsvar med følgende algoritme:

først får vi null på høyre side av ligningen, for dette er det nødvendig å overføre uttrykket som er på høyre side av ligningen til venstre side og endre tegnet;
så transformerer vi uttrykket på venstre side av ligningen til et polynom standard visning.

Vi må få en algebraisk ligning. Denne ligningen vil være ekvivalent med hensyn til den opprinnelige ligningen. Lette tilfeller lar oss løse problemet ved å redusere hele ligningen til en lineær eller kvadratisk. PÅ generell sak vi løser en algebraisk gradslikning n.

Eksempel 3

Det er nødvendig å finne røttene til hele ligningen 3 (x + 1) (x − 3) = x (2 x − 1) − 3.

Løsning

La oss transformere det opprinnelige uttrykket for å få en algebraisk ligning tilsvarende det. For å gjøre dette, vil vi overføre uttrykket i høyre side av ligningen til venstre side og endre tegnet til det motsatte. Som et resultat får vi: 3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = 0.

Nå vil vi transformere uttrykket på venstre side til et polynom av standardformen og utføre de nødvendige handlingene med dette polynomet:

3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = (3 x + 3) (x - 3) - 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 - 9 x + 3 x - 9 - 2 x 2 + x + 3 = x 2 - 5 x - 6

Vi klarte å redusere løsningen av den opprinnelige ligningen til løsningen kvadratisk ligning snill x 2 − 5 x − 6 = 0. Diskriminanten i denne ligningen er positiv: D = (− 5) 2 − 4 1 (− 6) = 25 + 24 = 49 . Det betyr at det blir to reelle røtter. La oss finne dem ved å bruke formelen til røttene til den kvadratiske ligningen:

x \u003d - - 5 ± 49 2 1,

x 1 \u003d 5 + 7 2 eller x 2 \u003d 5 - 7 2,

x 1 = 6 eller x 2 = - 1

La oss sjekke riktigheten av røttene til ligningen som vi fant i løpet av løsningen. For dette tallet, som vi mottok, erstatter vi i den opprinnelige ligningen: 3 (6 + 1) (6 − 3) = 6 (2 6 − 1) − 3 og 3 (− 1 + 1) (− 1 − 3) = (− 1) (2 (− 1) − 1) − 3. I det første tilfellet 63 = 63 , i den andre 0 = 0 . Røtter x=6 og x = − 1 er faktisk røttene til ligningen gitt i eksempelbetingelsen.

Svar: 6 , − 1 .

La oss se på hva "kraften til hele ligningen" betyr. Vi vil ofte støte på dette begrepet i de tilfellene vi trenger å representere en hel ligning i form av en algebraisk. La oss definere konseptet.

Definisjon 5

Grad av en heltallsligning er graden algebraisk ligning, som tilsvarer den opprinnelige hele ligningen.

Hvis du ser på ligningene fra eksemplet ovenfor, kan du fastslå: graden av hele denne ligningen er den andre.

Hvis kurset vårt var begrenset til å løse likninger av andre grad, så kunne behandlingen av emnet fullføres her. Men alt er ikke så enkelt. Å løse likninger av tredje grad er fulle av vanskeligheter. Og for ligninger over fjerde grad eksisterer den ikke i det hele tatt generelle formler røtter. I denne forbindelse krever løsningen av hele ligninger av tredje, fjerde og andre grader at vi bruker en rekke andre teknikker og metoder.

Den mest brukte tilnærmingen til å løse hele rasjonelle ligninger er basert på faktoriseringsmetoden. Algoritmen for handlinger i dette tilfellet er som følger:

vi overfører uttrykket fra høyre side til venstre side slik at null forblir på høyre side av posten;
vi representerer uttrykket på venstre side som et produkt av faktorer, og så går vi videre til et sett med flere enklere ligninger.

Eksempel 4

Finn løsningen til ligningen (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) = 2 x (x 2 − 10 x + 13) .

Løsning

Vi flytter uttrykket fra høyre side av platen til venstre med motsatt tegn: (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) − 2 x (x 2 − 10 x + 13) = 0. Konvertering av venstre side til et polynom av standardformen er upraktisk på grunn av det faktum at dette vil gi oss en algebraisk ligning av fjerde grad: x 4 − 12 x 3 + 32 x 2 − 16 x − 13 = 0. Den enkle transformasjonen rettferdiggjør ikke alle vanskelighetene med å løse en slik ligning.

Det er mye lettere å gå den andre veien: vi tar ut fellesfaktoren x 2 − 10 x + 13 . Dermed kommer vi til en formlikning (x 2 − 10 x + 13) (x 2 − 2 x − 1) = 0. Nå erstatter vi den resulterende ligningen med et sett med to andregradsligninger x 2 − 10 x + 13 = 0 og x 2 − 2 x − 1 = 0 og finne sine røtter gjennom diskriminanten: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .

Svar: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .

På samme måte kan vi bruke metoden for å introdusere en ny variabel. Denne metoden lar oss gå over til ekvivalente ligninger med potenser lavere enn de i den opprinnelige hele ligningen.

Eksempel 5

Har ligningen røtter? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = − 2 (x 2 + 3 x − 4)?

Løsning

Hvis vi nå prøver å redusere en hel rasjonell likning til en algebraisk, vil vi få en likning på grad 4, som ikke har noen rasjonelle røtter. Derfor vil det være lettere for oss å gå den andre veien: introdusere en ny variabel y, som vil erstatte uttrykket i ligningen x 2 + 3 x.

Nå skal vi jobbe med hele ligningen (y + 1) 2 + 10 = − 2 (y − 4). planlegge på nytt høyre side ligning til venstre med motsatt fortegn og utføre de nødvendige transformasjonene. Vi får: y 2 + 4 y + 3 = 0. La oss finne røttene til den kvadratiske ligningen: y = − 1 og y = − 3.

La oss nå gjøre omvendt erstatning. Vi får to ligninger x 2 + 3 x = − 1 og x 2 + 3 x = - 3 . La oss omskrive dem som x 2 + 3 x + 1 = 0 og x 2 + 3 x + 3 = 0. Vi bruker formelen til røttene til kvadratisk ligning for å finne røttene til den første oppnådde ligningen: - 3 ± 5 2 . Diskriminanten til den andre ligningen er negativ. Dette betyr at den andre ligningen ikke har noen reelle røtter.

Svar:- 3 ± 5 2

Hele ligninger høye grader kommer over i oppgaver ganske ofte. Det er ingen grunn til å være redd for dem. Må være klar til å søke ikke-standard metode deres løsninger, inkludert en rekke kunstige transformasjoner.

Løsning av brøkrasjonelle ligninger

Vi begynner vår vurdering av dette underemnet med en algoritme for å løse brøkrasjonelle ligninger av formen p (x) q (x) = 0 , hvor p(x) og q(x) er heltallsrasjonelle uttrykk. Løsningen av andre brøkrasjonelle ligninger kan alltid reduseres til løsningen av ligninger av den angitte formen.

Den mest brukte metoden for å løse ligningene p (x) q (x) = 0 er basert på følgende utsagn: brøkdel u v, hvor v er et tall som er forskjellig fra null, lik null bare i tilfeller hvor telleren til brøken er lik null. Etter logikken til utsagnet ovenfor, kan vi hevde at løsningen av ligningen p (x) q (x) = 0 kan reduseres til oppfyllelsen av to betingelser: p(x)=0 og q(x) ≠ 0. På dette bygges en algoritme for å løse rasjonelle brøklikninger av formen p (x) q (x) = 0:

finner vi løsningen av hele den rasjonelle ligningen p(x)=0;
vi sjekker om betingelsen er oppfylt for røttene funnet under løsningen q(x) ≠ 0.

Hvis denne betingelsen er oppfylt, er roten funnet. Hvis ikke, er ikke roten en løsning på problemet.

Eksempel 6

Finn røttene til ligningen 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 .

Løsning

Vi har å gjøre med en rasjonell brøkligning av formen p (x) q (x) = 0 , hvor p (x) = 3 · x − 2 , q (x) = 5 · x 2 − 2 = 0 . La oss begynne å løse den lineære ligningen 3 x - 2 = 0. Roten til denne ligningen vil være x = 2 3.

La oss sjekke den funnet roten, om den tilfredsstiller betingelsen 5 x 2 - 2 ≠ 0. For dette erstatter vi numerisk verdi til et uttrykk. Vi får: 5 2 3 2 - 2 \u003d 5 4 9 - 2 \u003d 20 9 - 2 \u003d 2 9 ≠ 0.

Vilkåret er oppfylt. Det betyr at x = 2 3 er roten til den opprinnelige ligningen.

Svar: 2 3 .

Det er et annet alternativ for å løse rasjonelle brøklikninger p (x) q (x) = 0 . Husk at denne ligningen er ekvivalent med hele ligningen p(x)=0 i området tillatte verdier variabel x av den opprinnelige ligningen. Dette lar oss bruke følgende algoritme for å løse ligningene p(x) q(x) = 0:

løse ligningen p(x)=0;
finn utvalget av akseptable verdier for variabelen x ;
vi tar røttene som ligger i området for tillatte verdier av variabelen x som de ønskede røttene til den opprinnelige rasjonelle brøklikningen.

Eksempel 7

Løs ligningen x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0 .

Løsning

La oss først løse den andregradsligningen x 2 − 2 x − 11 = 0. For å beregne røttene bruker vi rotformelen for en jevn andre koeffisient. Vi får D 1 = (− 1) 2 − 1 (− 11) = 12 og x = 1 ± 23.

Nå kan vi finne ODV av x for den opprinnelige ligningen. Dette er alle tall som x 2 + 3 x ≠ 0. Det er det samme som x (x + 3) ≠ 0, hvorfra x ≠ 0 , x ≠ − 3 .

La oss nå sjekke om røttene x = 1 ± 2 3 oppnådd i det første trinnet av løsningen er innenfor området til akseptable verdier for variabelen x . Vi ser hva som kommer inn. Dette betyr at den opprinnelige rasjonelle brøklikningen har to røtter x = 1 ± 2 3 .

Svar: x = 1 ± 2 3

Den andre løsningsmetoden beskrevet enklere enn den første i tilfeller der det er lett å finne arealet av tillatte verdier av variabelen x, og røttene til ligningen p(x)=0 irrasjonell. For eksempel 7 ± 4 26 9 . Røtter kan være rasjonelle, men med en stor teller eller nevner. For eksempel, 127 1101 og − 31 59 . Dette sparer tid for å kontrollere tilstanden. q(x) ≠ 0: det er mye lettere å utelukke røtter som ikke passer, ifølge ODZ.

Når røttene til ligningen p(x)=0 er heltall, er det mer hensiktsmessig å bruke den første av de beskrevne algoritmene for å løse likninger av formen p (x) q (x) = 0 . Finne røttene til en hel ligning raskere p(x)=0, og sjekk deretter om betingelsen er oppfylt for dem q(x) ≠ 0, og ikke finne ODZ, og løs deretter ligningen p(x)=0 på denne ODZ. Dette skyldes at det i slike tilfeller vanligvis er lettere å sjekke enn å finne ODZ.

Eksempel 8

Finn røttene til ligningen (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 = 0 .

Løsning

Vi starter med å vurdere hele ligningen (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) = 0 og finne røttene. For å gjøre dette bruker vi metoden for å løse ligninger gjennom faktorisering. Det viser seg at den opprinnelige ligningen tilsvarer et sett med fire ligninger 2 x - 1 = 0, x - 6 = 0, x 2 - 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0, hvorav tre er lineære og den ene er firkantet. Vi finner røttene: fra den første ligningen x = 1 2, fra den andre x=6, fra den tredje - x \u003d 7, x \u003d - 2, fra den fjerde - x = − 1.

La oss sjekke de oppnådde røttene. Definer OHS i denne saken det er vanskelig for oss, siden vi for dette må løse en algebraisk ligning av femte grad. Det vil være lettere å kontrollere tilstanden som gjør at nevneren til brøken, som er på venstre side av ligningen, ikke skal forsvinne.

I sin tur erstatter du røttene i stedet for variabelen x i uttrykket x 5 − 15 x 4 + 57 x 3 − 13 x 2 + 26 x + 112 og beregne verdien:

1 2 5 - 15 1 2 4 + 57 1 2 3 - 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 - 15 16 + 57 8 - 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 032;

6 5 − 15 6 4 + 57 6 3 − 13 6 2 + 26 6 + 112 = 448 ≠ 0;

7 5 − 15 7 4 + 57 7 3 − 13 7 2 + 26 7 + 112 = 0;

(− 2) 5 − 15 (− 2) 4 + 57 (− 2) 3 − 13 (− 2) 2 + 26 (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;

(− 1) 5 − 15 (− 1) 4 + 57 (− 1) 3 − 13 (− 1) 2 + 26 (− 1) + 112 = 0 .

Verifikasjonen som er utført lar oss fastslå at røttene til den opprinnelige rasjonelle brøklikningen er 1 2 , 6 og − 2 .

Svar: 1 2 , 6 , - 2

Eksempel 9

Finn røttene til den rasjonelle brøkligningen 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0 .

Løsning

La oss starte med ligningen (5 x 2 - 7 x - 1) (x - 2) = 0. La oss finne røttene. Det er lettere for oss å representere denne ligningen som en kombinasjon av kvadrat og lineære ligninger 5 x 2 - 7 x - 1 = 0 og x − 2 = 0.

Vi bruker formelen til røttene til en kvadratisk ligning for å finne røttene. Vi får to røtter x = 7 ± 69 10 fra den første ligningen, og fra den andre x=2.

Å erstatte verdien av røttene i den opprinnelige ligningen for å sjekke forholdene vil være ganske vanskelig for oss. Det vil være lettere å bestemme LPV for variabelen x . I dette tilfellet er DPV for variabelen x alle tall, bortsett fra de som betingelsen er oppfylt for x 2 + 5 x − 14 = 0. Vi får: x ∈ - ∞ , - 7 ∪ - 7 , 2 ∪ 2 , + ∞ .

La oss nå sjekke om røttene vi fant tilhører utvalget av akseptable verdier for x-variabelen.

Røttene x = 7 ± 69 10 - tilhører, derfor er de røttene til den opprinnelige ligningen, og x=2- hører ikke hjemme, derfor er det en fremmed rot.

Svar: x = 7 ± 69 10.

La oss undersøke tilfellene separat når telleren til en rasjonell brøkligning på formen p (x) q (x) = 0 inneholder et tall. I slike tilfeller, hvis telleren inneholder et annet tall enn null, vil ikke ligningen ha røtter. Hvis dette tallet er lik null, vil roten av ligningen være et hvilket som helst tall fra ODZ.

Eksempel 10

Løs den rasjonelle brøklikningen - 3 , 2 x 3 + 27 = 0 .

Løsning

Denne ligningen vil ikke ha røtter, siden telleren til brøken fra venstre side av ligningen inneholder et tall som ikke er null. Dette betyr at for alle verdier på x vil verdien av brøken gitt i tilstanden til problemet ikke være lik null.

Svar: ingen røtter.

Eksempel 11

Løs ligningen 0 x 4 + 5 x 3 = 0.

Løsning

Siden telleren til brøken er null, vil løsningen til ligningen være en hvilken som helst verdi av x fra ODZ-variabelen x.

La oss nå definere ODZ. Den vil inkludere alle x-verdier som x 4 + 5 x 3 ≠ 0. Ligningsløsninger x 4 + 5 x 3 = 0 er 0 og − 5 , siden denne ligningen er ekvivalent med ligningen x 3 (x + 5) = 0, og det på sin side er ekvivalent med settet med to ligninger x 3 = 0 og x + 5 = 0 hvor disse røttene er synlige. Vi kommer til den konklusjon at ønsket rekkevidde av akseptable verdier er hvilken som helst x , bortsett fra x=0 og x = -5.

Det viser seg at den rasjonelle brøklikningen 0 x 4 + 5 x 3 = 0 har uendelig sett løsninger, som er alle andre tall enn null og - 5 .

Svar: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

La oss nå snakke om rasjonelle brøklikninger av en vilkårlig form og metoder for å løse dem. De kan skrives som r(x) = s(x), hvor r(x) og s(x) er rasjonelle uttrykk, og minst ett av dem er brøk. Løsningen av slike ligninger reduseres til løsningen av ligninger av formen p (x) q (x) = 0 .

Vi vet allerede hva vi kan få ekvivalent ligning når du overfører et uttrykk fra høyre side av ligningen til venstre side med motsatt fortegn. Dette betyr at ligningen r(x) = s(x) er ekvivalent med ligningen r (x) − s (x) = 0. Vi har også allerede diskutert hvordan man konverterer et rasjonelt uttrykk til en rasjonell brøk. Takket være dette kan vi enkelt transformere ligningen r (x) − s (x) = 0 til sin identiske rasjonelle brøkdel av formen p (x) q (x) .

Så vi flytter fra den opprinnelige rasjonelle brøklikningen r(x) = s(x) til en likning på formen p (x) q (x) = 0 , som vi allerede har lært å løse.

Det skal bemerkes at når man gjør overganger fra r (x) − s (x) = 0 til p (x) q (x) = 0 og deretter til p(x)=0 vi kan ikke ta hensyn til utvidelsen av rekkevidden av gyldige verdier for variabelen x .

Det er ganske realistisk at den opprinnelige ligningen r(x) = s(x) og ligning p(x)=0 som følge av transformasjonene vil de slutte å være likeverdige. Så løsningen av ligningen p(x)=0 kan gi oss røtter som vil være fremmede for r(x) = s(x). I denne forbindelse er det i hvert tilfelle nødvendig å utføre en sjekk ved hjelp av en av metodene beskrevet ovenfor.

For å gjøre det lettere for deg å studere emnet, har vi generalisert all informasjon til en algoritme for å løse en rasjonell brøkligning av formen r(x) = s(x):

vi overfører uttrykket fra høyre side med motsatt fortegn og får null til høyre;
vi transformerer det opprinnelige uttrykket til en rasjonell brøk p (x) q (x) ved å utføre handlinger sekvensielt med brøker og polynomer;
løse ligningen p(x)=0;
vi avslører fremmede røtter ved å sjekke at de tilhører ODZ eller ved å erstatte dem i den opprinnelige ligningen.

Visuelt vil handlingskjeden se slik ut:

r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → frafall r o n d e r o o n s

Eksempel 12

Løs den rasjonelle brøklikningen x x + 1 = 1 x + 1.

Løsning

La oss gå videre til ligningen x x + 1 - 1 x + 1 = 0 . La oss transformere det rasjonelle brøkuttrykket på venstre side av ligningen til formen p (x) q (x) .

For dette må vi ta med rasjonelle brøker til en fellesnevner og forenkle uttrykket:

x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x (x + 1) = - 2 x - 1 x (x + 1)

For å finne røttene til ligningen - 2 x - 1 x (x + 1) = 0, må vi løse ligningen − 2 x − 1 = 0. Vi får én rot x = - 1 2.

Det gjenstår for oss å utføre kontrollen ved hjelp av noen av metodene. La oss vurdere dem begge.

Erstatt den resulterende verdien i den opprinnelige ligningen. Vi får - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1 . Vi har kommet til riktig numerisk likhet − 1 = − 1 . Det betyr at x = − 1 2 er roten til den opprinnelige ligningen.

Nå skal vi sjekke gjennom ODZ. La oss bestemme området med akseptable verdier for variabelen x . Dette vil være hele settet med tall, bortsett fra − 1 og 0 (når x = − 1 og x = 0, forsvinner nevnerne til brøkene). Roten vi fikk x = − 1 2 tilhører ODZ. Dette betyr at det er roten til den opprinnelige ligningen.

Svar: − 1 2 .

Eksempel 13

Finn røttene til ligningen x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 x .

Løsning

Vi har å gjøre med en rasjonell brøkligning. Derfor vil vi handle i henhold til algoritmen.

La oss flytte uttrykket fra høyre side til venstre side med motsatt fortegn: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0

La oss utføre de nødvendige transformasjonene: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = x 3 + 2 x 3 = 3 x 3 = x.

Vi kommer til ligningen x=0. Roten til denne ligningen er null.

La oss sjekke om denne roten er en fremmed for den opprinnelige ligningen. Erstatt verdien i den opprinnelige ligningen: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 0 . Som du kan se, gir ikke den resulterende ligningen mening. Dette betyr at 0 er en fremmed rot, og den opprinnelige rasjonelle brøklikningen har ingen røtter.

Svar: ingen røtter.

Hvis vi ikke inkluderte andre tilsvarende transformasjoner Det betyr ikke at de ikke kan brukes. Algoritmen er universell, men den er designet for å hjelpe, ikke begrense.

Eksempel 14

Løs ligningen 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24

Løsning

Den enkleste måten er å løse den gitte rasjonelle brøkligningen i henhold til algoritmen. Men det er en annen måte. La oss vurdere det.

Trekk fra høyre og venstre del 7, vi får: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 24.

Fra dette kan vi konkludere med at uttrykket i nevneren på venstre side skal være lik tallet gjensidig av tallet fra høyre side, det vil si 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7 .

Trekk fra begge deler 3: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7. Analogt 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 3, hvorfra 1 5 - x 2 \u003d 1 3, og videre 5 - x 2 \u003d 3, x 2 \u003d 2, x \u003d ± 2

La oss sjekke for å fastslå om de funnet røttene er røttene til den opprinnelige ligningen.

Svar: x = ± 2

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter