I noen fysikkproblemer kan det ikke etableres en direkte sammenheng mellom mengdene som beskriver prosessen. Men det er en mulighet for å oppnå en likhet som inneholder derivatene av funksjonene som studeres. Dette er hvordan differensialligninger oppstår og behovet for å løse dem for å finne en ukjent funksjon.

Denne artikkelen er ment for de som står overfor problemet med å løse en differensialligning der den ukjente funksjonen er en funksjon av én variabel. Teorien er bygget på en slik måte at med null forståelse av differensialligninger kan du gjøre jobben din.

Hver type differensialligninger er knyttet til en løsningsmetode med detaljerte forklaringer og løsninger på typiske eksempler og problemer. Du må bare bestemme typen differensialligning for problemet ditt, finne et lignende analysert eksempel og utføre lignende handlinger.

Til vellykket løsning differensialligninger fra din side, vil du også trenge evnen til å finne sett med antiderivater ( ubestemte integraler) av ulike funksjoner. Om nødvendig anbefaler vi at du henviser til avsnittet.

Tenk først på typene førsteordens ordinære differensialligninger som kan løses med hensyn til den deriverte, så vil vi gå videre til andreordens ODE-er, så vil vi dvele ved høyereordens ligninger og avslutte med differensialligningssystemer.

Husk at hvis y er en funksjon av argumentet x .

Første ordens differensialligninger.

De enkleste differensialligningene av første rekkefølge av formen.

La oss skrive ned flere eksempler på slike DE .

Differensiallikninger kan løses med hensyn til den deriverte ved å dele begge sider av likheten med f(x) . I dette tilfellet kommer vi til ligningen , som vil være ekvivalent med den opprinnelige for f(x) ≠ 0 . Eksempler på slike ODE-er er .

Hvis det er verdier av argumentet x som funksjonene f(x) og g(x) forsvinner for samtidig, vises flere løsninger. Ytterligere løsninger til ligningen gitt x er alle funksjoner definert for disse argumentverdiene. Eksempler på slike differensialligninger er .

Andre ordens differensialligninger.

Lineære homogene differensialligninger av andre orden med konstante koeffisienter.

LODE med konstante koeffisienter er en veldig vanlig type differensialligninger. Løsningen deres er ikke spesielt vanskelig. Først finner man røttene til den karakteristiske ligningen . For forskjellige p og q er tre tilfeller mulige: røttene til den karakteristiske ligningen kan være reelle og forskjellige, reelle og sammenfallende eller komplekst konjugat. Avhengig av verdiene til røttene til den karakteristiske ligningen, er den skrevet felles vedtak differensialligning som , eller , eller hhv.

Tenk for eksempel på en andreordens lineær homogen differensialligning med konstante koeffisienter. Røttene til hans karakteristiske ligning er k 1 = -3 og k 2 = 0. Røttene er ekte og forskjellige, derfor er den generelle løsningen til LDE med konstante koeffisienter


Lineære ikke-homogene andre ordens differensialligninger med konstante koeffisienter.

Den generelle løsningen av andreordens LIDE med konstante koeffisienter y søkes som summen av den generelle løsningen til den tilsvarende LODE og en spesiell løsning av den opprinnelige inhomogene ligningen, det vil si . Det forrige avsnittet er viet til å finne en generell løsning på en homogen differensialligning med konstante koeffisienter. Og en bestemt løsning bestemmes enten av metoden med ubestemte koeffisienter ved bestemt form funksjon f(x) , som står på høyre side av den opprinnelige ligningen, eller ved metoden for variasjon av vilkårlige konstanter.

Som eksempler på andreordens LIDE-er med konstante koeffisienter presenterer vi


For å forstå teorien og bli kjent med de detaljerte løsningene av eksempler, tilbyr vi deg på siden lineære inhomogene differensialligninger av andre orden med konstante koeffisienter.

Lineære homogene differensialligninger (LODEs) og andreordens lineære inhomogene differensialligninger (LNDE).

Et spesielt tilfelle av differensialligninger av denne typen er LODE og LODE med konstante koeffisienter.

Den generelle løsningen til LODE på et visst intervall er representert av en lineær kombinasjon av to lineært uavhengige spesielle løsninger y 1 og y 2 av denne ligningen, det vil si, .

Hovedvanskeligheten ligger nettopp i å finne lineært uavhengige partielle løsninger av denne typen differensialligninger. Vanligvis velges spesielle løsninger fra følgende systemer lineært uavhengige funksjoner:


Spesielle løsninger er imidlertid ikke alltid presentert i denne formen.

Et eksempel på en LODU er .

Den generelle løsningen til LIDE søkes i formen , hvor er den generelle løsningen til den tilsvarende LODE, og er en spesiell løsning av den opprinnelige differensialligningen. Vi snakket nettopp om å finne, men det kan bestemmes ved å bruke metoden for variasjon av vilkårlige konstanter.

Et eksempel på en LNDE er .

Differensialligninger av høyere orden.

Differensialligninger som innrømmer rekkefølgereduksjon.

Rekkefølgen på differensialligningen , som ikke inneholder den ønskede funksjonen og dens deriverte opp til k-1 orden, kan reduseres til n-k ved å erstatte .

I dette tilfellet reduseres den opprinnelige differensialligningen til . Etter å ha funnet løsningen p(x), gjenstår det å gå tilbake til erstatningen og bestemme den ukjente funksjonen y .

For eksempel differensialligningen etter at erstatningen blir en separerbar ligning , og rekkefølgen reduseres fra den tredje til den første.

Differensialligninger av andre orden og høyere orden.
Lineær DE av andre orden med konstante koeffisienter.
Løsningseksempler.

Vi går over til vurderingen av differensialligninger av andre orden og differensialligninger av høyere orden. Hvis du har en vag idé om hva en differensialligning er (eller ikke forstår hva det er i det hele tatt), anbefaler jeg å starte med leksjonen Første ordens differensialligninger. Løsningseksempler. Mange beslutningsprinsipper og enkle konsepter førsteordens diffuranter utvides automatisk til høyere ordens differensialligninger, altså det er veldig viktig å først forstå første ordens ligninger.

Mange lesere kan ha en fordom om at DE av 2., 3. og andre ordener er noe veldig vanskelig og utilgjengelig å mestre. Dette er feil . Lær å løse diffuser høyere ordre neppe mer komplisert enn "vanlige" 1. ordens DE-er. Og noen steder er det enda enklere, siden materialet i skolepensum brukes aktivt i beslutningene.

Mest populær andre ordens differensialligninger. Inn i en andreordens differensialligning Nødvendigvis inkluderer den andre deriverte og ikke inkludert

Det skal bemerkes at noen av babyene (og til og med alle på en gang) kan mangle i ligningen, det er viktig at faren var hjemme. Den mest primitive andreordens differensialligningen ser slik ut:

Tredje ordens differensialligninger i praktiske oppgaver forekommer mye sjeldnere, ifølge mine subjektive observasjoner i Statsdumaen de ville få rundt 3-4 % av stemmene.

Inn i en tredjeordens differensialligning Nødvendigvis inkluderer den tredje deriverte og ikke inkludert derivater av høyere orden:

Den enkleste differensialligningen av tredje orden ser slik ut: - pappa er hjemme, alle barna er ute på tur.

På samme måte kan differensialligninger av 4., 5. og høyere orden defineres. I praktiske problemer sklir slik DE ekstremt sjelden, men jeg skal prøve å gi relevante eksempler.

Differensialligninger av høyere orden som foreslås i praktiske oppgaver kan deles inn i to hovedgrupper.

1) Den første gruppen - den såkalte ligninger av lavere orden. Fly inn!

2) Den andre gruppen - lineære ligninger høyere ordre med konstante koeffisienter. Som vi vil begynne å vurdere akkurat nå.

Andre ordens lineære differensialligninger
med konstante koeffisienter

I teori og praksis skilles to typer slike ligninger - homogen ligning Og inhomogen ligning.

Homogen DE av andre orden med konstante koeffisienter Det har neste visning:
, hvor og er konstanter (tall), og på høyre side - strengt tatt null.

Som du kan se, er det ingen spesielle vanskeligheter med homogene ligninger, det viktigste er det bestemme riktig kvadratisk ligning .

Noen ganger er det ikke-standard homogene ligninger, for eksempel en ligning i formen , hvor det ved den andre deriverte er en konstant , forskjellig fra enhet (og, selvfølgelig, forskjellig fra null). Løsningsalgoritmen endres ikke i det hele tatt, du bør komponere rolig karakteristisk ligning og finne røttene. Hvis den karakteristiske ligningen vil ha to forskjellige reelle røtter, for eksempel: , så kan den generelle løsningen skrives på vanlig måte: .

I noen tilfeller, på grunn av en skrivefeil i tilstanden, kan "dårlige" røtter vise seg, noe sånt som . Hva du skal gjøre, svaret må skrives slik:

Med "dårlige" konjugerte komplekse røtter som ikke noe problem heller, generell løsning:

Det er, en generell løsning finnes uansett. Fordi enhver annengradsligning har to røtter.

I det siste avsnittet, som jeg lovet, vil vi kort vurdere:

Høyere ordens lineære homogene ligninger

Alt er veldig, veldig likt.

Den lineære homogene ligningen av tredje orden har følgende form:
, hvor er konstanter.
Til gitt ligning du må også lage en karakteristisk ligning og finne dens røtter. Den karakteristiske ligningen, som mange har gjettet, ser slik ut:
, og det Uansett Det har nøyaktig tre rot.

La for eksempel alle røtter være ekte og distinkte: , så kan den generelle løsningen skrives som følger:

Hvis en rot er reell, og de to andre er konjugerte komplekse, skriver vi den generelle løsningen som følger:

Et spesielt tilfelle når alle tre røttene er multipler (det samme). La oss vurdere den enkleste homogene DE av 3. orden med en ensom far: . Den karakteristiske ligningen har tre sammenfallende nullrøtter. Vi skriver den generelle løsningen som følger:

Hvis den karakteristiske ligningen har for eksempel tre multiple røtter, så er den generelle løsningen henholdsvis:

Eksempel 9

Løs en homogen differensialligning av tredje orden

Løsning: Vi komponerer og løser den karakteristiske ligningen:

, - en reell rot og to konjugerte komplekse røtter oppnås.

Svar: felles vedtak

På samme måte kan vi vurdere en lineær homogen fjerdeordens ligning med konstante koeffisienter: , hvor er konstanter.

Ofte bare en omtale differensiallikninger gjør elevene ukomfortable. Hvorfor skjer dette? Oftest, fordi når man studerer det grunnleggende i materialet, oppstår det et gap i kunnskap, på grunn av hvilket den videre studien av difurer blir ganske enkelt tortur. Ingenting er klart hva du skal gjøre, hvordan bestemme hvor du skal begynne?

Vi vil imidlertid prøve å vise deg at difurs ikke er så vanskelig som det ser ut til.

Grunnleggende begreper i teorien om differensialligninger

Fra skolen kjenner vi de enkleste ligningene der vi må finne den ukjente x. Faktisk differensiallikninger bare litt forskjellig fra dem - i stedet for en variabel X de må finne en funksjon y(x) , som vil gjøre ligningen til en identitet.

D differensiallikninger har en enorm anvendt verdi. Dette er ikke abstrakt matematikk som ikke har noe med verden rundt oss å gjøre. Differensialligninger beskriver mange virkelige naturlige prosesser. For eksempel, strengvibrasjoner, bevegelsen til en harmonisk oscillator, ved hjelp av differensialligninger i mekanikkens problemer, finner hastigheten og akselerasjonen til et legeme. Også DU er mye brukt i biologi, kjemi, økonomi og mange andre vitenskaper.

Differensial ligning (DU) er en ligning som inneholder de deriverte av funksjonen y(x), selve funksjonen, uavhengige variabler og andre parametere i ulike kombinasjoner.

Det finnes mange typer differensialligninger: vanlige differensialligninger, lineære og ikke-lineære, homogene og ikke-homogene, differensialligninger av første og høyere orden, partielle differensialligninger, og så videre.

Løsningen på en differensialligning er en funksjon som gjør den til en identitet. Det finnes generelle og spesielle løsninger for fjernkontroll.

Den generelle løsningen av differensialligningen er det generelle settet med løsninger som gjør ligningen til en identitet. En spesiell løsning av en differensialligning er en løsning som tilfredsstiller tilleggsbetingelser spesifisert i utgangspunktet.

Rekkefølgen på differensialligningen bestemmes høyeste orden derivater inkludert i den.

Vanlige differensialligninger

Vanlige differensialligninger er ligninger som inneholder én uavhengig variabel.

Tenk på den enkleste ordinære differensialligningen av første orden. Det ser ut som:

Denne ligningen kan løses ved ganske enkelt å integrere dens høyre side.

Eksempler på slike ligninger:

Separerbare variabellikninger

I generelt syn denne typen ligninger ser slik ut:

Her er et eksempel:

Når du løser en slik ligning, må du skille variablene og bringe den til skjemaet:

Etter det gjenstår det å integrere begge deler og få en løsning.

Lineære differensialligninger av første orden

Slike ligninger har formen:

Her er p(x) og q(x) noen funksjoner til den uavhengige variabelen, og y=y(x) er ønsket funksjon. Her er et eksempel på en slik ligning:

Ved å løse en slik ligning bruker de oftest metoden for variasjon av en vilkårlig konstant eller representerer den ønskede funksjonen som et produkt av to andre funksjoner y(x)=u(x)v(x).

For å løse slike ligninger kreves en viss forberedelse, og det vil være ganske vanskelig å ta dem "på et innfall".

Et eksempel på å løse en DE med separerbare variabler

Så vi har vurdert de enkleste typene fjernkontroll. La oss nå ta en titt på en av dem. La det være en ligning med separerbare variabler.

Først omskriver vi den deriverte i en mer kjent form:

Deretter vil vi skille variablene, det vil si at i en del av ligningen vil vi samle alle "spillene", og i den andre - "xene":

Nå gjenstår det å integrere begge deler:

Vi integrerer og får den generelle løsningen av denne ligningen:

Å løse differensialligninger er selvfølgelig en slags kunst. Du må kunne forstå hvilken type en ligning tilhører, og også lære å se hvilke transformasjoner du må gjøre med den for å bringe den til en eller annen form, for ikke å nevne bare evnen til å differensiere og integrere. Og det krever øvelse (som med alt) for å lykkes med å løse DE. Og hvis du har dette øyeblikket det er ikke tid til å forholde seg til hvordan differensialligninger løses eller Cauchy-problemet har steget som et bein i halsen eller du ikke vet, kontakt forfatterne våre. I løpet av kort tid vil vi gi deg klar og detaljert løsning, for å forstå detaljene som du kan når som helst passer for deg. I mellomtiden foreslår vi at du ser en video om emnet "Hvordan løser differensialligninger":

Differensialligninger av høyere orden

Grunnleggende terminologi for høyere ordens differensialligninger (DE VP).

En ligning av formen , hvor n >1 (2)

kalles en høyere ordens differensialligning, dvs. n-te orden.

Definisjonsdomene for fjernkontroll, n orden er området.

Dette kurset vil ta for seg følgende typer luftromskontroll:

Cauchy-problemet for VP:

La gitt DU,
Og Innledende forhold n/a: tall.

Det kreves å finne en kontinuerlig og n ganger differensierbar funksjon
:

1)
er løsningen av den gitte DE på , dvs.
;

2) tilfredsstiller de gitte startbetingelsene: .

For en andreordens DE er den geometriske tolkningen av løsningen av problemet som følger: det søkes en integralkurve som går gjennom punktet (x 0 , y 0 ) og tangent til linjen helningsfaktor k = y 0 ́ .

Eksistens- og unikhetsteorem(løsninger av Cauchy-problemet for DE (2)):

Hvis 1)
kontinuerlig (til sammen (n+1) argumenter) i området
; 2)
kontinuerlig (av settet med argumenter
) i , da ! løsning av Cauchy-problemet for DE som tilfredsstiller de gitte startbetingelsene n/s: .

Regionen kalles den unike regionen til DE.

Den generelle løsningen til DP VP (2) – n -parametrisk funksjon,
, Hvor
– vilkårlige konstanter som tilfredsstiller følgende krav:

1)

– løsning av DE (2) på ;

2) n/a fra regionen med unikhet!
:
tilfredsstiller de gitte startbetingelsene.

Kommentar.

Visningsforhold
, som implisitt bestemmer den generelle løsningen til DE (2) på kalles felles integral DU.

Privat avgjørelse DE (2) er hentet fra dens generelle løsning for en spesifikk verdi .

Integrasjon av DP VP.

Differensialligninger av høyere orden løses som regel ikke med eksakte analytiske metoder.

La oss skille ut en bestemt type DSW som tillater ordrereduksjoner og reduserer til kvadraturer. Vi oppsummerer disse typene ligninger og måter å redusere rekkefølgen på i en tabell.

DP VP, tillater reduksjoner i bestillingen

		Nedgraderingsmetode
	DU er ufullstendig, den mangler . For eksempel,	Etc. Etter n gjentatt integrasjon, får vi den generelle løsningen av differensialligningen.
	Ligningen er ufullstendig; den inneholder tydeligvis ikke ønsket funksjon og henne første derivater. For eksempel,	Substitusjon senker rekkefølgen av ligningen med k enheter.
	ufullstendig ligning; den inneholder tydeligvis ikke et argument ønsket funksjon. For eksempel,	Substitusjon rekkefølgen av ligningen reduseres med én.
	Ligningen er i eksakte deriverte, den kan være fullstendig og ufullstendig. En slik likning kan transformeres til formen (*) ́= (*)́, der høyre og venstre del av likningen er eksakte deriverte av noen funksjoner.	Å integrere høyre og venstre side av ligningen med hensyn til argumentet reduserer rekkefølgen på ligningen med én.
		Substitusjon senker rekkefølgen av ligningen med én.

Definisjon av en homogen funksjon:

Funksjon
kalles homogen i variabler
, Hvis


når som helst i funksjonens omfang
;

er homogenitetens rekkefølge.

For eksempel er en homogen funksjon av 2. orden mht
, dvs. .

Eksempel 1:

Finn en generell løsning av DE
.

DE av 3. orden, ufullstendig, inneholder ikke eksplisitt
. Integrer ligningen tre ganger etter hverandre.

,

er den generelle løsningen til DE.

Eksempel 2:

Løs Cauchy-problemet for DE
på

.

DE av andre rekkefølge, ufullstendig, inneholder ikke eksplisitt .

Substitusjon
og dens derivat
senker rekkefølgen på DE med én.

. Mottatt DE av første orden - Bernoulli-ligningen. For å løse denne ligningen bruker vi Bernoulli-substitusjonen:

,

og koble den inn i ligningen.

På dette stadiet løser vi Cauchy-problemet for ligningen
:
.

er en førsteordens ligning med separerbare variabler.

Vi erstatter startbetingelsene med den siste likheten:

Svar:
er løsningen på Cauchy-problemet som tilfredsstiller startbetingelsene.

Eksempel 3:

Løs DU.

– DE av 2. orden, ufullstendig, inneholder ikke eksplisitt variabelen , og tillater derfor å senke rekkefølgen ved å bruke substitusjon eller
.

Vi får ligningen
(la
).

– DE av 1. orden med skillevariabler. La oss dele dem.

er den generelle integralen til DE.

Eksempel 4:

Løs DU.

Ligningen
er en eksakt derivert ligning. Egentlig,
.

La oss integrere venstre og høyre del med hensyn til , dvs.
eller . Mottatt DE av 1. orden med separerbare variabler, dvs.
er den generelle integralen til DE.

Eksempel 5:

Løs Cauchy-problemet for
kl.

DE av 4. orden, ufullstendig, inneholder ikke eksplisitt
. Når vi legger merke til at denne ligningen er i eksakte derivater, får vi
eller
,
. Vi erstatter startbetingelsene i denne ligningen:
. La oss hente fjernkontrollen
3. orden av den første typen (se tabell). La oss integrere det tre ganger, og etter hver integrasjon vil vi erstatte startbetingelsene i ligningen:

Svar:
- løsning av Cauchy-problemet til den originale DE.

Eksempel 6:

Løs ligningen.

– DE av 2. orden, komplett, inneholder enhetlighet mht
. Substitusjon
vil senke rekkefølgen på ligningen. For å gjøre dette reduserer vi ligningen til formen
, å dele begge sider av den opprinnelige ligningen med . Og vi skiller funksjonen s:

.

Erstatning
Og
i DU:
. Dette er en 1. ordens separerbar variabelligning.

Gitt at
, får vi DE eller
er den generelle løsningen til den originale DE.

Teori for lineære differensialligninger av høyere orden.

Grunnleggende terminologi.

– NLDU -te orden, hvor - kontinuerlige funksjoner med et eller annet intervall.

Det kalles kontinuitetsintervallet til DE (3).

La oss introdusere en (betinget) differensialoperator av th orden

Når den virker på funksjonen, får vi

Det vil si venstre side av en lineær DE av -te orden.

Som et resultat kan LDE skrives

Lineære operatøregenskaper
:

1) - egenskap av additivitet

2)
– tall – homogenitetsegenskap

Egenskapene er lett å verifisere, siden derivatene av disse funksjonene har lignende egenskaper ( endelig beløp derivater er lik summen endelig antall derivater; konstantfaktoren kan tas ut av tegnet til den deriverte).

At.
er en lineær operator.

Vurder spørsmålet om eksistensen og unikheten til en løsning på Cauchy-problemet for LDE
.

La oss løse LDE mht
: ,
, er kontinuitetsintervallet.

Funksjonen er kontinuerlig i domenet , derivater
kontinuerlig i regionen

Derfor er unikhetens domene , der Cauchy-problemet LDE (3) har en unik løsning og avhenger bare av valget av punktet
, alle andre verdier av argumentene
funksjoner
kan tas vilkårlig.

Generell teori om OLDU.

er kontinuitetsintervallet.

Hovedegenskaper til OLDDE-løsninger:

1. Additivitetsegenskap

(
– OLDDE-løsning (4) på ​​)
(
er løsningen av OLDDE (4) på ​​).

Bevis:

er løsningen til OLDDE (4) på

er løsningen til OLDDE (4) på

Deretter

2. Egenskap av homogenitet

( er løsningen av OLDDE (4) på ​​) (
(- numerisk felt))

er løsningen til OLDDE (4) på ​​.

Det er bevist tilsvarende.

Egenskapene til additivitet og homogenitet kalles lineære egenskaper OLDU (4).

Konsekvens:

(
– løsning av OLDDE (4) på ​​)(

er løsningen av OLDDE (4) på ​​).

3. ( er en kompleks verdsatt løsning av OLDDE (4) på ​​)(
er reelt verdifulle løsninger av OLDDE (4) på ​​).

Bevis:

Hvis er løsningen av OLDDE (4) på ​​, så når den substitueres inn i ligningen, gjør den den til en identitet, dvs.
.

På grunn av lineariteten til operatøren kan venstre side av den siste likheten skrives som følger:
.

Dette betyr at , dvs. er reelt verdifulle løsninger av OLDDE (4) på ​​.

Følgende egenskaper til OLDDE-løsninger er relatert til begrepet " lineær avhengighet”.

Definisjon lineær avhengighet begrenset system av funksjoner

Et system av funksjoner kalles lineært avhengig av om det finnes ikke-trivielt sett med tall
slik at den lineære kombinasjonen
funksjoner
med disse tallene er identisk lik null på , dvs.
.n , som er feil. Teoremet er bevist differensial ligningerhøyerebestillinger(4 timer...