I noen fysikkproblemer kan det ikke etableres en direkte sammenheng mellom mengdene som beskriver prosessen. Men det er en mulighet for å oppnå en likhet som inneholder derivatene av funksjonene som studeres. Dette er hvordan differensialligninger oppstår og behovet for å løse dem for å finne en ukjent funksjon.

Denne artikkelen er ment for de som står overfor problemet med å løse en differensialligning der den ukjente funksjonen er en funksjon av én variabel. Teorien er bygget på en slik måte at med null forståelse av differensialligninger kan du gjøre jobben din.

Hver type differensialligninger er knyttet til en løsningsmetode med detaljerte forklaringer og løsninger på typiske eksempler og problemer. Du må bare bestemme typen differensialligning for problemet ditt, finne et lignende analysert eksempel og utføre lignende handlinger.

Til vellykket løsning differensialligninger fra din side, vil du også trenge evnen til å finne sett med antiderivater (ubestemte integraler) av ulike funksjoner. Om nødvendig anbefaler vi at du henviser til avsnittet.

Tenk først på typene førsteordens ordinære differensialligninger som kan løses med hensyn til den deriverte, så vil vi gå videre til andreordens ODE-er, så vil vi dvele ved høyereordens ligninger og avslutte med differensialligningssystemer.

Husk at hvis y er en funksjon av argumentet x .

Første ordens differensialligninger.

De enkleste differensialligningene av første rekkefølge av formen.

La oss skrive ned flere eksempler på slike DE .

Differensiallikninger kan løses med hensyn til den deriverte ved å dele begge sider av likheten med f(x) . I dette tilfellet kommer vi til ligningen , som vil være ekvivalent med den opprinnelige for f(x) ≠ 0 . Eksempler på slike ODE-er er .

Hvis det er verdier av argumentet x som funksjonene f(x) og g(x) forsvinner for samtidig, vises flere løsninger. Ytterligere løsninger til ligningen gitt x er alle funksjoner definert for disse argumentverdiene. Eksempler på slike differensialligninger er .

Andre ordens differensialligninger.

Lineære homogene differensialligninger av andre orden med konstante koeffisienter.

LODE med konstante koeffisienter er en veldig vanlig type differensialligninger. Løsningen deres er ikke spesielt vanskelig. Røttene blir funnet først karakteristisk ligning . For forskjellige p og q er tre tilfeller mulige: røttene til den karakteristiske ligningen kan være reelle og forskjellige, reelle og sammenfallende eller komplekst konjugat. Avhengig av verdiene til røttene til den karakteristiske ligningen, er den skrevet felles vedtak differensialligning som , eller , eller hhv.

Tenk for eksempel på en andreordens lineær homogen differensialligning med konstante koeffisienter. Røttene til hans karakteristiske ligning er k 1 = -3 og k 2 = 0. Røttene er ekte og forskjellige, derfor er den generelle løsningen til LDE med konstante koeffisienter


Lineære ikke-homogene andre ordens differensialligninger med konstante koeffisienter.

Den generelle løsningen av andreordens LIDE med konstante koeffisienter y søkes som summen av den generelle løsningen til den tilsvarende LODE og en spesiell løsning av originalen homogen ligning, det er, . Det forrige avsnittet er viet til å finne en generell løsning på en homogen differensialligning med konstante koeffisienter. Og en bestemt løsning bestemmes enten av metoden med ubestemte koeffisienter ved bestemt form funksjon f(x) , som står på høyre side av den opprinnelige ligningen, eller ved metoden for variasjon av vilkårlige konstanter.

Som eksempler på andreordens LIDE-er med konstante koeffisienter presenterer vi


Forstå teorien og gjøre deg kjent med detaljerte vedtak eksempler vi tilbyr deg på siden med lineære inhomogene differensialligninger av andre orden med konstante koeffisienter.

Lineære homogene differensialligninger (LODEs) og andreordens lineære inhomogene differensialligninger (LNDE).

Et spesielt tilfelle av differensialligninger av denne typen er LODE og LODE med konstante koeffisienter.

Den generelle løsningen til LODE på et visst intervall er representert av en lineær kombinasjon av to lineært uavhengige spesielle løsninger y 1 og y 2 av denne ligningen, det vil si, .

Hovedvanskeligheten ligger nettopp i å finne lineært uavhengige partielle løsninger av denne typen differensialligninger. Vanligvis velges spesielle løsninger fra følgende systemer lineært uavhengige funksjoner:


Spesielle løsninger er imidlertid ikke alltid presentert i denne formen.

Et eksempel på en LODU er .

Den generelle løsningen til LIDE søkes i formen , hvor er den generelle løsningen til den tilsvarende LODE, og er en spesiell løsning av den opprinnelige differensialligningen. Vi snakket nettopp om å finne, men det kan bestemmes ved å bruke metoden for variasjon av vilkårlige konstanter.

Et eksempel på en LNDE er .

Differensialligninger av høyere orden.

Differensialligninger som innrømmer rekkefølgereduksjon.

Rekkefølgen på differensialligningen , som ikke inneholder den ønskede funksjonen og dens deriverte opp til k-1 orden, kan reduseres til n-k ved å erstatte .

I dette tilfellet reduseres den opprinnelige differensialligningen til . Etter å ha funnet løsningen p(x), gjenstår det å gå tilbake til erstatningen og bestemme den ukjente funksjonen y .

For eksempel differensialligningen etter at erstatningen blir en separerbar ligning , og rekkefølgen reduseres fra den tredje til den første.

Første ordens differensialligninger. Løsningseksempler.
Differensialligninger med separerbare variabler

Differensialligninger (DE). Disse to ordene skremmer vanligvis den gjennomsnittlige lekmann. Differensialligninger ser ut til å være noe opprørende og vanskelig å mestre for mange elever. Uuuuuu... differensialligninger, hvordan skulle jeg overleve alt dette?!

En slik mening og en slik holdning er grunnleggende feil, fordi faktisk DIFFERENSIALLIGNINGER ER ENKLE OG TIL OG MED GØYE. Hva trenger du å vite og kunne lære for å løse differensialligninger? For å lykkes med å studere diffurer, må du være god til å integrere og differensiere. Jo bedre emnene studeres Derivert av en funksjon av én variabel og Ubestemt integral, jo lettere blir det å forstå differensialligninger. Jeg vil si mer, hvis du har mer eller mindre anstendige integreringsevner, så er temaet praktisk talt mestret! Jo flere integraler forskjellige typer du vet hvordan du bestemmer deg - jo bedre. Hvorfor? Man må integrere mye. Og differensiere. Også anbefaler sterkt lære å finne.

I 95 % av tilfellene i kontrollarbeid det er 3 typer førsteordens differensialligninger: separerbare ligninger, som vi skal dekke i denne leksjonen; homogene ligninger og lineære inhomogene ligninger. For nybegynnere å studere diffusorer, anbefaler jeg deg å lese leksjonene i denne sekvensen, og etter å ha studert de to første artiklene, vil det ikke skade å konsolidere ferdighetene dine i en ekstra workshop - ligninger som reduserer til homogene.

Det er enda sjeldnere typer differensialligninger: ligninger i totale differensialer, Bernoullis ligninger og noen andre. Den viktigste av de to siste arten er ligningene i totale forskjeller, siden i tillegg til denne DE vurderer jeg nytt materiale – delvis integrasjon.

Hvis du bare har en dag eller to igjen, deretter for ultrarask tilberedning det er blitzkurs i pdf-format.

Så, landemerkene er satt - la oss gå:

La oss først huske de vanlige algebraiske ligningene. De inneholder variabler og tall. Det enkleste eksempelet: . Hva vil det si å løse en vanlig ligning? Dette betyr å finne sett med tall som tilfredsstiller denne ligningen. Det er lett å se at barnelikningen har en enkelt rot: . For moro skyld, la oss gjøre en sjekk, erstatte den funnet roten i ligningen vår:

- riktig likhet oppnås, noe som betyr at løsningen blir funnet riktig.

Diffuser er ordnet på omtrent samme måte!

Differensial ligning første orden i generell sak inneholder:
1) uavhengig variabel ;
2) avhengig variabel (funksjon);
3) den første deriverte av funksjonen: .

I noen ligninger av 1. orden kan det ikke være noen "x" eller (og) "y", men dette er ikke avgjørende - viktig slik at i DU var førstederiverte, og hadde ikke derivater av høyere orden - osv.

Hva betyr ?Å løse en differensialligning betyr å finne sett med alle funksjoner som tilfredsstiller denne ligningen. Et slikt sett med funksjoner har ofte formen ( er en vilkårlig konstant), som kalles generell løsning av differensialligningen.

Eksempel 1

Løs differensialligning

Full ammunisjon. Hvor du skal begynne løsning?

Først av alt må du skrive om den deriverte i en litt annen form. Vi husker den tungvinte notasjonen, som mange av dere sikkert syntes var latterlig og unødvendig. Det er det som regjerer i diffusorer!

I det andre trinnet, la oss se om det er mulig dele variabler? Hva vil det si å skille variabler? Omtrentlig sagt, på venstre side vi må dra bare "spill", a på høyre side organisere bare x-er. Separasjon av variabler utføres ved hjelp av "skole" manipulasjoner: parenteser, overføring av termer fra del til del med fortegnsendring, overføring av faktorer fra del til del i henhold til proporsjonsregelen, etc.

Differensialer og er fulle multiplikatorer og aktive deltakere i fiendtligheter. I dette eksemplet skilles variablene enkelt ved å vende faktorer i henhold til proporsjonsregelen:

Variabler er separert. På venstre side - bare "Spill", på høyre side - bare "X".

Neste nivå - differensialligningsintegrasjon. Det er enkelt, vi henger integraler på begge deler:

Selvfølgelig skal integraler tas. PÅ denne saken de er tabellformede:

Som vi husker, er en konstant tilordnet ethvert antiderivat. Det er to integraler her, men det er nok å skrive konstanten én gang (fordi en konstant + en konstant er fortsatt lik en annen konstant). I de fleste tilfeller er den plassert på høyre side.

Strengt tatt, etter at integralene er tatt, anses differensialligningen å være løst. Det eneste er at vår "y" ikke uttrykkes gjennom "x", det vil si at løsningen presenteres i det implisitte form. Den implisitte løsningen av en differensialligning kalles generell integral av differensialligningen. Det vil si, er det generelle integralet.

Et svar i denne formen er ganske akseptabelt, men finnes det et bedre alternativ? La oss prøve å få felles vedtak.

Vær så snill, husk den første teknikken, det er veldig vanlig og brukes ofte i praktiske oppgaver: hvis en logaritme vises på høyre side etter integrasjon, er det i mange tilfeller (men slett ikke alltid!) også lurt å skrive konstanten under logaritmen.

Det er, I STEDET FOR poster skrives vanligvis .

Hvorfor er dette nødvendig? Og for å gjøre det lettere å uttrykke "y". Vi bruker egenskapen til logaritmer . I dette tilfellet:

Nå kan logaritmer og moduler fjernes:

Funksjonen er presentert eksplisitt. Dette er den generelle løsningen.

Svar: felles beslutning: .

Svarene på mange differensialligninger er ganske enkle å sjekke. I vårt tilfelle gjøres dette ganske enkelt, vi tar den funnet løsningen og skiller den:

Deretter erstatter vi den deriverte i den opprinnelige ligningen:

- korrekt likhet oppnås, noe som betyr at den generelle løsningen tilfredsstiller ligningen , som var påkrevd å kontrollere.

Ved å gi en konstant forskjellige verdier, kan du få et uendelig antall private avgjørelser differensial ligning. Det er tydelig at noen av funksjonene , osv. tilfredsstiller differensialligningen.

Noen ganger kalles den generelle løsningen familie av funksjoner. PÅ dette eksemplet felles vedtak – Dette er en familie lineære funksjoner, eller rettere sagt, en familie av direkte proporsjonaliteter.

Etter en detaljert diskusjon av det første eksemplet, er det på sin plass å svare på noen naive spørsmål om differensialligninger:

1)I dette eksemplet klarte vi å skille variablene. Er det alltid mulig å gjøre dette? Nei ikke alltid. Og enda oftere kan variablene ikke skilles. For eksempel i homogene første ordens ligninger må byttes først. I andre typer ligninger, for eksempel i en lineær ikke-homogen ligning av første orden, må du bruke ulike triks og metoder for å finne en generell løsning. De separerbare variabellikningene som vi ser på i den første leksjonen er − enkleste typen differensiallikninger.

2) Er det alltid mulig å integrere en differensialligning? Nei ikke alltid. Det er veldig enkelt å komme opp med en "fancy" ligning som ikke kan integreres, i tillegg er det integraler som ikke kan tas. Men slike DE-er kan løses omtrent ved hjelp av spesielle metoder. D'Alembert og Cauchy garanterer... ...ugh, lurkmore. For jeg leste mye akkurat nå, la jeg nesten til "fra den andre verdenen."

3) I dette eksemplet har vi fått en løsning i form av en generell integral . Er det alltid mulig å finne en generell løsning fra det generelle integralet, det vil si å uttrykke "y" i en eksplisitt form? Nei ikke alltid. For eksempel: . Vel, hvordan kan jeg uttrykke "y" her?! I slike tilfeller bør svaret skrives som en generell integral. I tillegg kan man noen ganger finne en generell løsning, men den er skrevet så tungvint og klønete at det er bedre å la svaret være i form av et generelt integral

4) ...kanskje nok for nå. I det første eksemplet møttes vi en annen viktig poeng , men for ikke å dekke "dummiene" med et snøskred ny informasjon Jeg lar det ligge til neste leksjon.

La oss ikke skynde oss. En annen enkel fjernkontroll og en annen typisk løsning:

Eksempel 2

Finn en spesiell løsning av differensialligningen som tilfredsstiller startbetingelsen

Løsning: i henhold til tilstanden det kreves for å finne privat avgjørelse DE som tilfredsstiller en gitt startbetingelse. Denne typen avhør kalles også Cauchy problem.

Først finner vi en generell løsning. Det er ingen "x"-variabel i ligningen, men dette burde ikke være pinlig, det viktigste er at den har den første deriverte.

Vi omskriver den deriverte inn ønsket form:

Tydeligvis kan variablene deles, gutter til venstre, jenter til høyre:

Vi integrerer ligningen:

Den generelle integralen oppnås. Her tegnet jeg en konstant med en aksentstjerne, faktum er at den snart vil bli en annen konstant.

Nå prøver vi å konvertere det generelle integralet til en generell løsning (uttrykk "y" eksplisitt). Vi husker den gamle, gode skolen: . I dette tilfellet:

Konstanten i indikatoren ser på en eller annen måte ikke kosher ut, så den senkes vanligvis fra himmelen til jorden. I detalj skjer det slik. Ved å bruke egenskapen til grader omskriver vi funksjonen som følger:

Hvis er en konstant, så er det også en konstant, redesign den med bokstaven:

Husk "riving" av en konstant er andre teknikk, som ofte brukes i løpet av å løse differensialligninger.

Så den generelle løsningen er: En så fin familie av eksponentielle funksjoner.

På sluttfasen må du finne en bestemt løsning som tilfredsstiller den gitte startbetingelsen. Det er enkelt også.

Hva er oppgaven? Må hentes slik verdien av konstanten for å tilfredsstille betingelsen.

Du kan ordne det på forskjellige måter, men det mest forståelige vil kanskje være slik. I den generelle løsningen, i stedet for "x", erstatter vi null, og i stedet for "y", to:



Det er,

Standard designversjon:

Nå erstatter vi den funnet verdien av konstanten i den generelle løsningen:
– Dette er den spesielle løsningen vi trenger.

Svar: privat løsning:

La oss ta en sjekk. Verifisering av en bestemt løsning inkluderer to trinn:

Først er det nødvendig å sjekke om den bestemte løsningen som ble funnet virkelig tilfredsstiller startbetingelsen? I stedet for "x" erstatter vi null og ser hva som skjer:
- ja, faktisk, en toer ble oppnådd, noe som betyr at startbetingelsen er oppfylt.

Den andre fasen er allerede kjent. Vi tar den resulterende spesielle løsningen og finner den deriverte:

Bytt inn i den opprinnelige ligningen:

- riktig likestilling oppnås.

Konklusjon: den spesielle løsningen er funnet riktig.

La oss gå videre til mer meningsfulle eksempler.

Eksempel 3

Løs differensialligning

Løsning: Vi omskriver den deriverte i den formen vi trenger:

Vurdere om variabler kan skilles? Kan. Vi overfører den andre termen til høyre side med et tegnskifte:

Og vi snur faktorene i henhold til proporsjonsregelen:

Variablene er separert, la oss integrere begge deler:

Jeg må advare deg, dommens dag kommer. Hvis du ikke har lært godt ubestemte integraler, løst noen eksempler, så er det ingen steder å gå - du må mestre dem nå.

Integralet til venstre side er lett å finne, med integralet av cotangensen tar vi for oss standardteknikken som vi vurderte i leksjonen Integrasjon av trigonometriske funksjoner I det siste året:

På høyre side har vi en logaritme, og ifølge min første tekniske anbefaling skal konstanten også skrives under logaritmen.

Nå prøver vi å forenkle det generelle integralet. Siden vi kun har logaritmer, er det fullt mulig (og nødvendig) å bli kvitt dem. Ved bruk av kjente egenskaper maksimalt "pakke" logaritmene. Jeg vil skrive i detalj:

Emballasjen er komplett til å være barbarisk fillete:

Er det mulig å uttrykke "y"? Kan. Begge deler må være firkantet.

Men du trenger ikke.

Tredje teknisk tips: hvis for å få en generell løsning må du heve til en makt eller slå røtter, da I de fleste tilfeller du bør avstå fra disse handlingene og la svaret være i form av en generell integral. Faktum er at den generelle løsningen vil se bare forferdelig ut - med store røtter, skilt og annet søppel.

Derfor skriver vi svaret som en generell integral. Det anses som god form å presentere det i formen, det vil si på høyre side, hvis mulig, la bare en konstant være. Det er ikke nødvendig å gjøre dette, men det er alltid en fordel å glede professoren ;-)

Svar: generell integral:

! Merk: det generelle integralet til enhver ligning kan ikke skrives den eneste måten. Hvis resultatet ditt ikke falt sammen med et tidligere kjent svar, betyr ikke dette at du løste ligningen feil.

Det generelle integralet sjekkes også ganske enkelt, det viktigste er å kunne finne avledet av en funksjon definert implisitt. La oss skille svaret:

Vi multipliserer begge ledd med:

Og vi deler med:

Den opprinnelige differensialligningen ble oppnådd nøyaktig, noe som betyr at det generelle integralet ble funnet riktig.

Eksempel 4

Finn en spesiell løsning av differensialligningen som tilfredsstiller startbetingelsen. Kjør en sjekk.

Dette er et eksempel for uavhengig løsning.

Jeg minner deg om at algoritmen består av to trinn:
1) finne en generell løsning;
2) finne den nødvendige spesielle løsningen.

Kontrollen utføres også i to trinn (se prøven i eksempel nr. 2), du trenger:
1) forsikre deg om at den bestemte løsningen som ble funnet tilfredsstiller den opprinnelige betingelsen;
2) sjekk at en bestemt løsning generelt tilfredsstiller differensialligningen.

Komplett løsning og svaret på slutten av leksjonen.

Eksempel 5

Finn en bestemt løsning av en differensialligning , som tilfredsstiller startbetingelsen . Kjør en sjekk.

Løsning: La oss først finne en generell løsning Denne ligningen inneholder allerede ferdige differensialer og , som betyr at løsningen er forenklet. Separere variabler:

Vi integrerer ligningen:

Integralet til venstre er tabellformet, integralet til høyre er tatt metoden for å summere funksjonen under tegnet til differensialen:

Det generelle integralet er oppnådd, er det mulig å lykkes med å uttrykke den generelle løsningen? Kan. Vi henger logaritmer på begge sider. Siden de er positive, er modulo-tegnene overflødige:

(Jeg håper alle forstår transformasjonen, slike ting burde allerede være kjent)

Så den generelle løsningen er:

La oss finne en bestemt løsning som tilsvarer den gitte starttilstanden.
I den generelle løsningen, i stedet for "x", erstatter vi null, og i stedet for "y", logaritmen til to:

Mer kjent design:

Vi erstatter den funnet verdien av konstanten i den generelle løsningen.

Svar: privat løsning:

Sjekk: Kontroller først om startbetingelsen er oppfylt:
- alt er bra.

La oss nå sjekke om den bestemte løsningen som ble funnet tilfredsstiller differensialligningen i det hele tatt. Vi finner den deriverte:

La oss se på den opprinnelige ligningen: – det presenteres i differensialer. Det er to måter å sjekke. Det er mulig å uttrykke differensialen fra den funnet deriverte:

Vi erstatter den bestemte løsningen og den resulterende differensialen i den opprinnelige ligningen :

Vi bruker den grunnleggende logaritmiske identiteten:

Den riktige likheten oppnås, noe som betyr at den aktuelle løsningen blir funnet riktig.

Den andre måten å sjekke på er speilvendt og mer kjent: fra ligningen uttrykk den deriverte, for dette deler vi alle brikkene med:

Og i den transformerte DE erstatter vi den oppnådde spesielle løsningen og det funnet derivatet. Som følge av forenklinger bør det også oppnås riktig likestilling.

Eksempel 6

Løs differensialligningen. Uttrykk svaret som en generell integral.

Dette er et eksempel på selvløsning, full løsning og svar på slutten av timen.

Hvilke vanskeligheter venter med å løse differensialligninger med separerbare variabler?

1) Det er ikke alltid åpenbart (spesielt for en tekanne) at variabler kan skilles. Ta i betraktning betinget eksempel: . Her må du ta faktorene ut av parentes: og skille røttene:. Hvordan gå videre er klart.

2) Vansker i selve integreringen. Integraler oppstår ofte ikke den enkleste, og hvis det er feil i ferdighetene til å finne ubestemt integral, da blir det vanskelig med mange diffusorer. I tillegg er kompilatorene av samlinger og manualer populære med logikken "siden differensialligningen er enkel, vil i det minste integralene være mer kompliserte."

3) Transformasjoner med en konstant. Som alle har lagt merke til, kan en konstant i differensialligninger håndteres ganske fritt, og noen transformasjoner er ikke alltid klare for en nybegynner. La oss se på et annet hypotetisk eksempel: . I den er det tilrådelig å multiplisere alle leddene med 2: . Den resulterende konstanten er også en slags konstant, som kan betegnes med: . Ja, og siden det er en logaritme på høyre side, er det lurt å omskrive konstanten som en annen konstant: .

Problemet er at de ofte ikke bryr seg med indekser og bruker samme bokstav. Som et resultat tar beslutningsprotokollen neste visning:

Hvilken kjetteri? Her er feilene! Strengt tatt, ja. Fra et innholdsmessig synspunkt er det imidlertid ingen feil, fordi som et resultat av transformasjonen av en variabelkonstant, oppnås fortsatt en variabelkonstant.

Eller et annet eksempel, anta at i løpet av å løse ligningen, oppnås et generelt integral. Dette svaret ser stygt ut, så det anbefales å endre tegnet for hvert begrep: . Formelt sett er det igjen en feil - til høyre skal den skrives . Men det er uformelt antydet at "minus ce" fortsatt er en konstant ( som like godt tar på seg alle verdier!), så å sette et "minus" gir ikke mening, og du kan bruke samme bokstav.

Jeg vil prøve å unngå en uforsiktig tilnærming, og likevel sette ned forskjellige indekser for konstanter når jeg konverterer dem.

Eksempel 7

Løs differensialligningen. Kjør en sjekk.

Løsning: Denne ligningen tillater separasjon av variabler. Separere variabler:

Vi integrerer:

Konstanten her trenger ikke å defineres under logaritmen, siden det ikke kommer noe godt ut av den.

Svar: generell integral:

Sjekk: Differensiere svaret ( implisitt funksjon):

Vi blir kvitt brøker, for dette multipliserer vi begge ledd med:

Den opprinnelige differensialligningen er oppnådd, noe som betyr at det generelle integralet er funnet riktig.

Eksempel 8

Finn en spesiell løsning av DE.
,

Dette er et gjør-det-selv eksempel. Det eneste hintet er at her får du en generell integral, og mer korrekt, du må prøve å finne en bestemt løsning, men privat integral . Full løsning og svar på slutten av timen.

En førsteordensligning av formen a 1 (x) y "+ a 0 (x) y \u003d b (x) kalles en lineær differensialligning. Hvis b (x) ≡ 0 kalles ligningen homogen, ellers - heterogen. For en lineær differensialligning har eksistens- og unikhetsteoremet en mer konkret form.

Tjenesteoppdrag. Online kalkulator kan brukes til å teste løsningen homogene og ikke-homogene lineære differensialligninger som y"+y=b(x) .

=

Bruk variabelsubstitusjon y=u*v
Bruk metoden for vilkårlig konstant variasjon
Finn en spesiell løsning for y( ) = .

For å få en løsning må det opprinnelige uttrykket reduseres til formen: a 1 (x)y" + a 0 (x)y = b(x) . For eksempel for y"-exp(x)=2*y det vil være y"-2 *y=exp(x) .

Teorem. La a 1 (x), a 0 (x), b(x) være kontinuerlige på intervallet [α,β], a 1 ≠0 for ∀x∈[α,β]. Så for ethvert punkt (x 0 , y 0), x 0 ∈[α,β], er det en unik løsning på ligningen som tilfredsstiller betingelsen y(x 0) = y 0 og er definert på hele intervallet [α ,β].
Betrakt en homogen lineær differensialligning a 1 (x)y"+a 0 (x)y=0 .
Ved å separere variablene får vi , eller integrerer begge deler, Den siste relasjonen, tatt i betraktning notasjonen exp(x) = e x , skrives i formen

La oss nå prøve å finne en løsning på ligningen i spesifisert form, hvor funksjonen C(x) er erstattet med konstanten C, det vil si i formen

Å erstatte denne løsningen i den opprinnelige løsningen, etter de nødvendige transformasjonene, får vi Integrering av sistnevnte har vi

hvor C 1 er en ny konstant. Ved å erstatte det resulterende uttrykket med C(x), får vi til slutt løsningen av den opprinnelige lineære ligningen
.

Eksempel. Løs ligningen y" + 2y = 4x. Tenk på den tilsvarende homogene ligningen y" + 2y = 0. Når vi løser det, får vi y = Ce -2 x. Vi leter nå etter en løsning på den opprinnelige ligningen på formen y = C(x)e -2 x . Ved å erstatte y og y" = C"(x)e -2 x - 2C(x)e -2 x i den opprinnelige ligningen, har vi C"(x) = 4xe 2 x, hvorav C(x) = 2xe 2 x - e 2 x + C 1 og y(x) = (2xe 2 x - e 2 x + C 1)e -2 x = 2x - 1 + C 1 e -2 x er den generelle løsningen til den opprinnelige ligningen. denne løsningen, y 1 ( x) \u003d 2x-1 - bevegelsen av et objekt under påvirkning av en kraft b (x) \u003d 4x, y 2 (x) \u003d C 1 e -2 x - egen bevegelse gjenstand.

Eksempel #2. Finn den generelle løsningen av førsteordens differensialligning y"+3 y tan(3x)=2 cos(3x)/sin 2 2x.
den inhomogen ligning. La oss gjøre en endring av variabler: y=u v, y" = u"v + uv".
3u v tg(3x)+u v"+u" v = 2cos(3x)/sin 2 2x eller u(3v tg(3x)+v") + u" v= 2cos(3x)/sin 2 2x
Løsningen består av to trinn:
1. u(3vtg(3x)+v") = 0
2. u "v \u003d 2cos (3x) / sin 2 2x
1. Sett likhetstegn mellom u=0, finn løsning for 3v tg(3x)+v" = 0
Representer i formen: v" = -3v tg(3x)

Ved å integrere får vi:

ln(v) = ln(cos(3x))
v = cos(3x)
2. Å vite v, finne u fra betingelsen: u "v \u003d 2cos (3x) / sin 2 2x
u" cos(3x) = 2cos(3x)/sin 2 2x
u" = 2/sin 2 2x
Ved å integrere får vi:
Fra betingelsen y=u v, får vi:
y = u v = (C-cos(2x)/sin(2x)) cos(3x) eller y = C cos(3x)-cos(2x) ctg(3x)

Første ordens differensialligninger løst med hensyn til den deriverte

Hvordan løse førsteordens differensialligninger

La oss få en førsteordens differensialligning løst med hensyn til den deriverte:
.
Å dele denne ligningen med , ved , får vi formens ligning:
,
hvor .

Deretter ser vi for å se om disse ligningene tilhører en av typene som er oppført nedenfor. Hvis ikke, så omskriver vi ligningen i form av differensialer. For å gjøre dette skriver vi og multipliserer ligningen med . Vi får ligningen i form av differensialer:
.

Hvis denne ligningen ikke er en ligning i totale differensialer, så anser vi at i denne ligningen er en uavhengig variabel, og er en funksjon av . La oss dele ligningen med:
.
Deretter ser vi for å se om denne ligningen tilhører en av typene som er oppført nedenfor, med tanke på det og har blitt byttet.

Hvis det ikke finnes en type for denne ligningen, ser vi for å se om det er mulig å forenkle ligningen med en enkel substitusjon. For eksempel, hvis ligningen er:
,
da merker vi det. Så gjør vi et bytte. Etter det vil ligningen ta en enklere form:
.

Hvis dette ikke hjelper, så prøver vi å finne en integrerende faktor.

Separerbare variabellikninger

;
.
Del med og integrer. Når vi får:
.

Ligninger som reduseres til ligninger med separerbare variabler

Homogene ligninger

Vi løser ved substitusjon:
,
hvor er en funksjon av. Deretter
;
.
Separer variabler og integrer.

Ligninger som reduserer til homogene

Vi introduserer variabler og:
;
.
Konstantene og er valgt slik at de frie vilkårene forsvinner:
;
.
Som et resultat får vi en homogen ligning i variabler og .

Generaliserte homogene ligninger

Vi gjør et bytte. Vi får en homogen ligning i variabler og .

Lineære differensialligninger

Det er tre metoder for å løse lineære ligninger.

2) Bernoulli-metoden.
Vi ser etter en løsning i form av et produkt av to funksjoner og fra en variabel:
.
;
.
Vi kan velge en av disse funksjonene vilkårlig. Derfor, når vi velger enhver løsning som ikke er null av ligningen:
.

3) Metoden for variasjon av konstanten (Lagrange).
Her løser vi først den homogene ligningen:

Den generelle løsningen av den homogene ligningen har formen:
,
hvor er en konstant. Deretter erstatter vi konstanten med en funksjon avhengig av variabelen:
.
Erstatter i den opprinnelige ligningen. Som et resultat får vi en ligning som vi bestemmer .

Bernoullis ligninger

Ved substitusjon reduseres Bernoulli-ligningen til en lineær ligning.

Denne ligningen kan også løses med Bernoulli-metoden. Det vil si at vi ser etter en løsning i form av et produkt av to funksjoner avhengig av variabelen:
.
Vi bytter inn i den opprinnelige ligningen:
;
.
Når vi velger en hvilken som helst ikke-null løsning av ligningen:
.
Etter å ha bestemt, får vi en ligning med separerbare variabler for .

Riccati-ligninger

Det er ikke løst i generelt syn. Substitusjon

Riccati-ligningen er redusert til formen:
,
hvor er en konstant; ; .
Neste, erstatning:

det ser ut som:
,
hvor .

Egenskapene til Riccati-ligningen og noen spesielle tilfeller av løsningen er presentert på siden
Riccati differensialligning >>>

Jacobi-ligninger

Løst ved bytte:
.

Ligninger i totale differensialer

På betingelse av
.
Når denne betingelsen er oppfylt, er uttrykket på venstre side av likheten differensialen til en funksjon:
.
Deretter
.
Herfra får vi integralet til differensialligningen:
.

For å finne funksjonen er metoden den mest praktiske sekvensielt utvalg differensial. For dette brukes formler:
;
;
;
.

Integrerende faktor

Hvis differensialligningen av første orden ikke er redusert til noen av de listede typene, kan du prøve å finne en integreringsfaktor. En integrerende faktor er en slik funksjon, når multiplisert med den, blir differensialligningen en ligning i totale differensialer. En førsteordens differensialligning har et uendelig antall integrerende faktorer. Men, vanlige metoderå finne den integrerende faktoren er det ikke.

Ligninger ikke løst for den deriverte y"

Ligninger som tillater en løsning med hensyn til den deriverte y"

Først må du prøve å løse ligningen med hensyn til den deriverte. Hvis det er mulig, kan ligningen reduseres til en av typene som er oppført ovenfor.

Ligninger som tillater faktorisering

Hvis du kan faktorisere ligningen:
,
da er oppgaven konsekvent løsning enklere ligninger:
;
;

;
. Vi tror . Deretter
eller .
Deretter integrerer vi ligningen:
;
.
Som et resultat får vi uttrykket til den andre variabelen gjennom parameteren.

Mer generelle ligninger:
eller
løses også i en parametrisk form. For å gjøre dette må du velge en funksjon slik at du fra den opprinnelige ligningen kan uttrykke eller gjennom parameteren .
For å uttrykke den andre variabelen i form av parameteren, integrerer vi ligningen:
;
.

Ligninger løst med hensyn til y

Clairauts ligninger

Denne ligningen har en generell løsning

Lagrange-ligninger

Vi ser etter en løsning i parametrisk form. Vi antar , hvor er en parameter.

Ligninger som fører til Bernoulli-ligningen

Disse ligningene reduseres til Bernoulli-ligningen hvis vi ser etter deres løsninger i en parametrisk form ved å introdusere en parameter og gjøre en substitusjon.

Referanser:
V.V. Stepanov, Forløp for differensialligninger, LKI, 2015.
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Samling av oppgaver på høyere matematikk, "Lan", 2003.

1. Den første ordens differensialligningen har formen

Hvis denne ligningen kan løses med hensyn til ta, kan den skrives som

I dette tilfellet sier vi at differensialligningen er løst med hensyn til den deriverte. For en slik ligning er følgende teorem gyldig, som kalles teoremet om eksistensen og unikheten til en løsning på en differensialligning. Teorem. Hvis i ligningen

funksjon og dens partielle deriverte med hensyn til y er kontinuerlige i et eller annet domene D på et plan som inneholder et punkt, så er det en unik løsning på denne ligningen

tilfredsstiller betingelsen kl

Denne teoremet vil bli bevist i § 27 kap. XVI.

Den geometriske betydningen av teoremet er at det eksisterer og dessuten en unik funksjon hvis graf går gjennom punktet

Fra teoremet som nettopp er oppgitt, følger det at ligningen har et uendelig antall ulike løsninger(for eksempel en løsning hvis graf går gjennom et punkt en annen løsning hvis graf går gjennom et punkt osv., hvis bare disse punktene ligger i området

Betingelsen om at når funksjonen y må være lik et gitt tall kalles startbetingelsen. Det skrives ofte som

Definisjon 1. En generell løsning av en førsteordens differensialligning er en funksjon

som avhenger av en vilkårlig konstant C og tilfredsstiller følgende betingelser:

a) den tilfredsstiller differensialligningen for en bestemt verdi av konstanten C;

b) uansett startbetingelse for, kan du finne en slik verdi at funksjonen tilfredsstiller den gitte startbetingelsen. Det antas at verdiene tilhører variasjonsområdet for variablene x og y, der betingelsene for teoremet om eksistens og løsningens unikhet er oppfylt.

2. I prosessen med å søke etter en generell løsning av en differensialligning, kommer vi ofte til en relasjon av formen

ikke tillatt mht Ved å løse denne relasjonen med hensyn til y, får vi den generelle løsningen. Men for å uttrykke y fra relasjon (2) i elementære funksjoner er ikke alltid mulig; i slike tilfeller er den generelle løsningen implisitt. En likhet av formen som implisitt spesifiserer en generell løsning kalles en generell integral av en differensialligning.

Definisjon 2. En bestemt løsning er en hvilken som helst funksjon som oppnås fra den generelle løsningen, hvis vi i den siste vilkårlige konstanten C legger til viss verdi Relasjonen kalles i dette tilfellet det partielle integralet av ligningen.

Eksempel 1. For en førsteordens ligning

den generelle løsningen vil være en familie av funksjoner, dette kan kontrolleres ved en enkel substitusjon i ligningen.

La oss finne en bestemt løsning som tilfredsstiller følgende startbetingelse: for å erstatte disse verdiene i formelen, får vi eller Derfor vil den nødvendige spesielle løsningen være funksjonen

Fra et geometrisk synspunkt er det generelle integralet en familie av kurver på koordinatplan, avhengig av en vilkårlig konstant C (eller, som de sier, på en parameter C).

Disse kurvene kalles integralkurver av den gitte differensialligningen. Den partielle integralen tilsvarer en kurve av denne familien som går gjennom noen gitt poeng fly.

Ja, inn siste eksempel det generelle integralet er geometrisk representert av en familie av hyperbler, og det spesielle integralet definert av den angitte starttilstanden er representert av en av disse hyperbelene som går gjennom punktet. 251 viser familiekurver som tilsvarer noen parameterverdier: osv.

For å gjøre resonnementet mer tydelig, vil vi heretter kalle løsningen av en ligning ikke bare en funksjon som tilfredsstiller ligningen, men også den tilsvarende integralkurven. I den forbindelse vil vi for eksempel snakke om en løsning som går gjennom punktet .

Kommentar. Ligningen har ikke en løsning som går gjennom et punkt som ligger på aksen på fig. 251), fordi høyre del ligningen for er ikke definert og er derfor ikke kontinuerlig.

Å løse eller, som det ofte sies, integrere en differensialligning betyr:

a) finne dens generelle løsning eller generelle integral (hvis startbetingelsene ikke er gitt), eller

b) finn den spesielle løsningen av ligningen som tilfredsstiller det gitte Innledende forhold(Hvis det er noen).

3. La oss gi en geometrisk tolkning av førsteordens differensialligning.

La det gis en differensialligning som løses med hensyn til den deriverte:

og la det være en generell løsning gitt ligning. Denne generelle løsningen definerer en familie av integrerte kurver i planet

Ligning (D) for hvert punkt M med koordinatene x og y bestemmer verdien av den deriverte dvs. skråningen tangent til integralkurven som går gjennom dette punktet. Dermed gir differensialligningen (D) et sett med retninger, eller, som de sier, bestemmer retningsfeltet på planet

Derfor med geometrisk punkt Fra synspunktet består oppgaven med å integrere en differensialligning i å finne kurver hvis retning av tangenter sammenfaller med retningen til feltet i de tilsvarende punktene.

For differensialligningen (1) kalles lokuset til punktene der relasjonen er isoklinen til den gitte differensialligningen.

På ulike verdier k får vi forskjellige isokliner. Ligningen for isoklinen som tilsvarer verdien av k vil åpenbart være: Ved å konstruere en familie av isokliner kan man tilnærmet konstruere en familie av integralkurver. Det sies at når man kjenner isoklinene, kan man kvalitativt bestemme plasseringen av integralkurvene på planet.